7.4牛顿法（切线法）

牛顿法（切线法）知识点深度讲解与推导证明

各位同学，今天我们用一整节课的时间，把数值分析中核心的非线性方程求根方法——牛顿法，从核心思想、公式推导、收敛性证明，到工程中常用的改进变体，全部讲透。牛顿法的核心灵魂是「以直代曲、线性化近似」，这也是数值分析最核心的思想之一。

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一、标准牛顿法：核心思想与迭代公式推导

1.1 问题背景与核心思想

我们的目标是求解非线性方程 \(f(x)=0\) 的根 \(x^*\)。
如果 \(f(x)\) 是线性函数，求根是 trivial（平凡）的；但对于非线性函数，我们无法直接求解析解，因此牛顿法的核心思想是：在当前近似根的邻域内，用函数的一阶泰勒展开（切线）近似原非线性函数，将非线性方程转化为线性方程求解，用线性方程的根作为原方程根的新近似值，迭代直到满足精度。

1.2 迭代公式的严格推导

已知方程 \(f(x)=0\) 的第 \(k\) 步近似根 \(x_k\)，且满足 \(f'(x_k) \neq 0\)（导数不为0，保证切线不水平，有唯一解）。
将 \(f(x)\) 在 \(x=x_k\) 处做一阶泰勒展开：

\[f(x) = f(x_k) + f'(x_k)(x - x_k) + o(x - x_k) \]

当 \(x\) 在 \(x_k\) 的邻域内时，高阶无穷小项 \(o(x-x_k)\) 可以忽略，得到线性近似：

\[f(x) \approx f(x_k) + f'(x_k)(x - x_k) \]

我们要找 \(f(x)=0\) 的根，因此令近似式等于0，得到关于 \(x\) 的线性方程：

\[f(x_k) + f'(x_k)(x - x_k) = 0 \tag{7.16} \]

由于 \(f'(x_k) \neq 0\)，我们可以解这个线性方程：

1. 移项得：\(f'(x_k)(x - x_k) = -f(x_k)\)
2. 两边除以 \(f'(x_k)\)：\(x - x_k = -\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)
3. 整理得解：\(x = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)

我们将这个线性方程的解，作为原非线性方程根的第 \(k+1\) 步近似值 \(x_{k+1}\)，就得到了牛顿法的核心迭代公式：

\[\boldsymbol{x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}, \quad k=0,1,2,\dots} \tag{7.17} \]

1.3 几何意义（切线法的由来）

方程 \(f(x)=0\) 的根 \(x^*\)，几何上是曲线 \(y=f(x)\) 与 \(x\) 轴交点的横坐标。
对于近似根 \(x_k\)，对应曲线上的点 \(P_k(x_k, f(x_k))\)，过 \(P_k\) 作曲线的切线，切线的斜率就是 \(f'(x_k)\)，因此切线方程为：

\[y = f(x_k) + f'(x_k)(x - x_k) \]

这条切线与 \(x\) 轴（\(y=0\)）的交点，就是我们刚才推导的 \(x_{k+1}\)。

因此牛顿法的几何本质是：用曲线在当前点的切线与x轴的交点，代替曲线与x轴的交点（真实根），逐步迭代逼近真实根，因此牛顿法也被称为切线法。

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二、标准牛顿法的收敛性证明与误差分析

牛顿法本质是一种特殊的不动点迭代，我们用不动点迭代的收敛性定理，来严格证明牛顿法的收敛性。

2.1 迭代函数与不动点验证

不动点迭代的通用形式是 \(x_{k+1}=\varphi(x_k)\)，对比牛顿法迭代公式，我们可以写出牛顿法的迭代函数：

\[\varphi(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)} \]

首先验证不动点：若 \(x^*\) 是 \(f(x)=0\) 的根（\(f(x^*)=0\)），且 \(f'(x^*) \neq 0\)，则：

\[\varphi(x^*) = x^* - \frac{f(x^*)}{f'(x^*)} = x^* - 0 = x^* \]

因此 \(x^*\) 是 \(\varphi(x)\) 的不动点，牛顿法是不动点迭代的特例。

2.2 一阶导数计算与收敛性证明

对迭代函数 \(\varphi(x)\) 求一阶导数，分析其在根 \(x^*\) 处的取值：
根据求导的四则运算法则，\(\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)，令 \(u=f(x), v=f'(x)\)，则：

\[\varphi'(x) = \frac{d}{dx}\left(x\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{f'(x)}\right) = 1 - \frac{[f'(x)]^2 - f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2} \]

通分化简：

\[\varphi'(x) = \frac{[f'(x)]^2 - [f'(x)]^2 + f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2} = \boldsymbol{\frac{f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2}} \]

单根情形的收敛性（核心结论）

若 \(x^*\) 是 \(f(x)=0\) 的单根，即满足：

\[f(x^*)=0, \quad f'(x^*) \neq 0 \]

将 \(x=x^*\) 代入 \(\varphi'(x)\) 的表达式：

\[\varphi'(x^*) = \frac{f(x^*)f''(x^*)}{[f'(x^*)]^2} = 0 \]

回顾不动点迭代的局部收敛性定理：

若迭代函数 \(\varphi(x)\) 在不动点 \(x^*\) 的邻域内连续可微，且 \(|\varphi'(x^*)|<1\)，则迭代局部收敛；若 \(\varphi'(x^*)=0\)，则迭代至少二阶收敛（平方收敛）。

因此我们得到核心结论：牛顿法在单根 \(x^*\) 的邻域内，是平方收敛（二阶收敛）的，这也是牛顿法收敛速度远快于线性收敛的不动点迭代的核心原因。

2.3 误差渐近式推导

我们进一步推导牛顿法的误差收敛规律，设迭代误差 \(e_k = x_k - x^*\)，我们来证明：

\[\lim_{k \to \infty} \frac{e_{k+1}}{e_k^2} = \frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)} \]

推导过程：

将 \(\varphi(x)\) 在 \(x=x^*\) 处做二阶泰勒展开：

\[\varphi(x) = \varphi(x^*) + \varphi'(x^*)(x-x^*) + \frac{\varphi''(x^*)}{2!}(x-x^*)^2 + o((x-x^*)^2) \]

代入 \(\varphi(x^*)=x^*\)、\(\varphi'(x^*)=0\)，化简得：

\[\varphi(x) = x^* + \frac{\varphi''(x^*)}{2}(x-x^*)^2 + o((x-x^*)^2) \]

由于 \(x_{k+1}=\varphi(x_k)\)，代入 \(x=x_k\)：

\[x_{k+1} = x^* + \frac{\varphi''(x^*)}{2}(x_k - x^*)^2 + o((x_k - x^*)^2) \]

移项得误差关系：

\[e_{k+1} = x_{k+1} - x^* = \frac{\varphi''(x^*)}{2} e_k^2 + o(e_k^2) \]

两边除以 \(e_k^2\)，令 \(k \to \infty\)（\(e_k \to 0\)，\(o(e_k^2)/e_k^2 \to 0\)），得：

\[\lim_{k \to \infty} \frac{e_{k+1}}{e_k^2} = \frac{\varphi''(x^*)}{2} \]

接下来计算 \(\varphi''(x^*)\)：
已知 \(\varphi'(x) = \frac{f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2}\)，对其求导，在 \(x=x^*\) 处，\(f(x^*)=0\)，因此含 \(f(x^*)\) 的项全部为0，最终化简得：

\[\varphi''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)} \]

代入误差极限式，最终得到：

\[\boldsymbol{\lim_{k \to \infty} \frac{x_{k+1} - x^*}{(x_k - x^*)^2} = \frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}} \]

这个式子直观体现了牛顿法的平方收敛特性：第k+1步的误差，与第k步误差的平方成正比，误差会呈指数级下降，收敛极快。

2.4 标准牛顿法的计算步骤

工程中实现牛顿法，遵循以下4步流程：

1. 准备阶段：选定初始近似值 \(x_0\)，计算 \(f_0=f(x_0)\)，\(f_0'=f'(x_0)\)。
2. 迭代阶段：按公式 \(x_1 = x_0 - \frac{f_0}{f_0'}\) 计算新的近似值 \(x_1\)，并计算 \(f_1=f(x_1)\)，\(f_1'=f'(x_1)\)。
3. 终止控制：判断是否满足精度条件：\(|\delta|<\varepsilon_1\) 或 \(|f_1|<\varepsilon_2\)（\(\varepsilon_1,\varepsilon_2\) 为允许误差）。其中误差 \(\delta\) 的定义为：
   \[\delta= \begin{cases} x_1 - x_0, & |x_1| < C \ (\text{一般取} \ C=1, \text{绝对误差}) \\ \frac{x_1 - x_0}{x_1}, & |x_1| \geq C \ (\text{相对误差}) \end{cases} \]
   满足条件则终止迭代，输出 \(x_1\) 作为根；否则继续迭代。
4. 异常处理：若迭代次数达到预设上限 \(N\)，或 \(f_k'=0\)（导数为0，切线水平，迭代失效），则判定方法失败；否则用 \((x_1,f_1,f_1')\) 代替 \((x_0,f_0,f_0')\)，回到步骤2继续迭代。

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三、牛顿法的改进变体：解决原生方法的缺陷

标准牛顿法有两个核心缺陷：

1. 每步都需要计算 \(f(x_k)\) 和 \(f'(x_k)\)，计算量大，部分场景导数难以计算；
2. 仅局部收敛，初始值 \(x_0\) 必须在根 \(x^*\) 的邻域内，否则可能发散。

针对这两个缺陷，工程中衍生出了多种改进方法，我们逐一讲解。

3.1 简化牛顿法（平行弦法）

核心思想

为了减少导数的计算量，我们固定导数的取值，用一个常数 \(C\) 代替每步的 \(1/f'(x_k)\)，避免每步计算导数。

迭代公式

\[\boldsymbol{x_{k+1} = x_k - C f(x_k), \quad C \neq 0, \ k=0,1,\dots} \tag{7.19} \]

最常用的形式是取 \(C=\frac{1}{f'(x_0)}\)，即只用初始点的导数代替所有迭代步的导数，迭代公式为：

\[x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_0)} \]

收敛性分析

迭代函数为 \(\varphi(x)=x-Cf(x)\)，求导得 \(\varphi'(x)=1-Cf'(x)\)。
根据不动点收敛定理，局部收敛的条件为 \(|\varphi'(x^*)|<1\)，代入得：

\[|1 - C f'(x^*)| < 1 \implies \boldsymbol{0 < C f'(x^*) < 2} \]

满足该条件时，简化牛顿法局部收敛，但由于 \(\varphi'(x^*) \neq 0\)，因此仅为线性收敛，收敛速度慢于标准牛顿法。

几何意义

标准牛顿法每步用当前点的切线，而简化牛顿法用 \(x_0\) 处切线的斜率，作一系列平行于初始切线的直线（平行弦），用这些直线与x轴的交点作为根的近似值，因此也叫平行弦法。

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3.2 牛顿下山法

核心思想

解决标准牛顿法对初值敏感、初值偏离根较远时发散的问题，通过引入「下山因子」保证迭代过程中函数值单调下降，强制迭代向根的方向收敛。

下山条件

迭代过程必须满足：

\[\boldsymbol{|f(x_{k+1})| < |f(x_k)|} \tag{7.21} \]

该条件保证每一步迭代，函数值的绝对值都在减小，不断向根（\(f(x^*)=0\)）靠近，满足该条件的算法称为下山法。

迭代公式

首先计算标准牛顿法的迭代结果 \(\bar{x}_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)，然后将其与上一步的 \(x_k\) 做加权平均，得到新的迭代值：

\[x_{k+1} = \lambda \bar{x}_{k+1} + (1-\lambda) x_k \]

其中 \(\lambda \in (0,1]\) 称为下山因子，化简后得到牛顿下山法的迭代公式：

\[\boldsymbol{x_{k+1} = x_k - \lambda \cdot \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}, \quad k=0,1,\dots} \]

当 \(\lambda=1\) 时，退化为标准牛顿法；\(\lambda<1\) 时，对迭代步长进行缩减，防止迭代跳转过远导致发散。

下山因子的选取规则

从 \(\lambda=1\) 开始，逐次将 \(\lambda\) 减半（\(\lambda=1, 1/2, 1/4, 1/8, \dots\)），直到满足下山条件 \(|f(x_{k+1})| < |f(x_k)|\) 为止。

收敛特性

满足下山条件后，可将 \(\lambda\) 恢复为1，回到标准牛顿法，保留二阶收敛的特性，同时解决了初值敏感的问题，是工程中最常用的牛顿法变体。

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四、重根情形的牛顿法改进

当 \(x^*\) 是 \(f(x)=0\) 的 \(m\) 重根（\(m \geq 2\)）时，标准牛顿法的收敛性会大幅下降，我们需要针对性改进。

4.1 重根的定义与标准牛顿法的收敛性

\(x^*\) 是 \(f(x)=0\) 的 \(m\) 重根，当且仅当 \(f(x)\) 可表示为：

\[f(x) = (x-x^*)^m g(x), \quad g(x^*) \neq 0 \]

此时满足：

\[f(x^*)=f'(x^*)=\dots=f^{(m-1)}(x^*)=0, \quad f^{(m)}(x^*) \neq 0 \]

对标准牛顿法的迭代函数求导，可得在重根处：

\[\varphi'(x^*) = 1 - \frac{1}{m} \]

由于 \(m \geq 2\)，因此 \(|\varphi'(x^*)| < 1\)，标准牛顿法仍局部收敛，但 \(\varphi'(x^*) \neq 0\)，因此仅为线性收敛，收敛速度大幅下降，需要大量迭代才能达到精度。

4.2 改进方法1：已知根的重数 \(m\)

核心思想

修改迭代公式，抵消重根带来的收敛阶下降，恢复二阶收敛。

迭代公式

\[\boldsymbol{x_{k+1} = x_k - m \cdot \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}, \quad k=0,1,\dots} \tag{7.23} \]

收敛性

该迭代函数在重根 \(x^*\) 处满足 \(\varphi'(x^*)=0\)，因此恢复二阶收敛，收敛速度与单根情形的标准牛顿法一致。

4.3 改进方法2：未知根的重数 \(m\)（重根转单根）

核心思想

构造新的函数，将原方程的 \(m\) 重根转化为新方程的单根，再对新方程用标准牛顿法，无需知道重数 \(m\) 即可实现二阶收敛。

构造辅助函数：

\[\mu(x) = \frac{f(x)}{f'(x)} \]

若 \(x^*\) 是 \(f(x)=0\) 的 \(m\) 重根，代入可得：

\[\mu(x) = (x-x^*) \cdot \frac{g(x)}{m g(x) + (x-x^*)g'(x)} \]

令 \(h(x)=\frac{g(x)}{m g(x) + (x-x^*)g'(x)}\)，则 \(h(x^*)=\frac{1}{m} \neq 0\)，因此 \(x^*\) 是 \(\mu(x)=0\) 的单根。

对 \(\mu(x)=0\) 应用标准牛顿法，推导得到迭代公式：

\[\boldsymbol{x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)f'(x_k)}{[f'(x_k)]^2 - f(x_k)f''(x_k)}, \quad k=0,1,\dots} \tag{7.24} \]

收敛性

该方法无需知道根的重数，对单根、重根均能实现二阶收敛，通用性极强，缺点是每步需要计算二阶导数 \(f''(x_k)\)，计算量略有增加。

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五、牛顿法全系列方法归纳总结表

方法名称	迭代公式	局部收敛阶	核心优点	核心缺点	适用场景
标准牛顿法（单根）	\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)	二阶（平方收敛）	收敛速度快，迭代步数少，公式简单，几何意义明确	1. 每步需计算\(f(x_k)\)和\(f'(x_k)\)，计算量较大；2. 仅局部收敛，初值需在根的邻域内，否则可能发散；3. 导数为0时迭代失效	求解非线性方程的单根，可方便计算导数，初值能取到根附近的场景
标准牛顿法（重根）	\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)	一阶（线性收敛）	公式通用，无需知道根的重数	收敛速度大幅下降，高精度需求下迭代步数极多	仅用于重数未知的重根初步求解，不推荐高精度计算
简化牛顿法（平行弦法）	\(x_{k+1}=x_k-Cf(x_k)\)（常用\(C=1/f'(x_0)\)）	一阶（线性收敛）	仅需计算一次导数，每步迭代计算量极小，实现简单	收敛速度慢，仅当\(0<Cf'(x^*)<2\)时局部收敛	导数计算成本极高，对收敛速度要求不高，仅需根的粗略近似的场景
牛顿下山法	\(x_{k+1}=x_k-\lambda\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)，\(\lambda\in(0,1]\)（从1开始减半试算）	满足下山条件时，\(\lambda=1\)为二阶收敛	解决了标准牛顿法对初值敏感的问题，保证迭代收敛，同时保留快速收敛特性	需要试算下山因子，增加少量计算量，仍需计算每步导数	初值无法保证在根的邻域内，防止迭代发散的工程场景，最常用的实用变体
改进牛顿法（已知重数\(m\)）	\(x_{k+1}=x_k-m\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)	二阶（平方收敛）	恢复重根下的二阶收敛，收敛速度快，公式修改简单	需要提前知道根的重数\(m\)，实际中重数往往未知	已通过分析得到根的重数，需要高精度求解重根的场景
改进牛顿法（重根转单根，未知重数）	\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)f'(x_k)}{[f'(x_k)]^2-f(x_k)f''(x_k)}\)	二阶（平方收敛）	无需知道根的重数，对单根、重根均能实现二阶收敛，通用性强	每步需要计算\(f(x_k),f'(x_k),f''(x_k)\)，计算量更大，公式更复杂	根的重数未知，需要高精度求解重根的场景

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牛顿法例题详细讲解与计算推导

我们结合两个经典例题，完整演示牛顿法的迭代公式推导、逐次计算过程，以及不同场景下的收敛性差异，将理论落地到实际计算中。

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例7.7 标准牛顿法求解超越方程 \(f(x)=xe^x -1=0\)

1. 问题背景

该方程为超越方程，无解析解，等价于 \(x=e^{-x}\)，即求直线 \(y=x\) 与指数曲线 \(y=e^{-x}\) 的交点横坐标，该根也叫朗伯W函数在1处的值，真实根 \(x^*\approx0.56714329\)。
本题的核心是演示标准牛顿法的迭代推导、计算过程，以及对比不动点迭代的收敛速度差异。

2. 迭代公式推导

牛顿法通用迭代公式为：

\[x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \]

第一步：求 \(f(x)\) 的一阶导数
根据乘积求导法则：

\[f(x) = xe^x -1 \]

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(xe^x) - \frac{d}{dx}(1) = e^x + xe^x = (1+x)e^x \]

第二步：代入牛顿公式并化简
将 \(f(x_k)\)、\(f'(x_k)\) 代入迭代公式：

\[x_{k+1} = x_k - \frac{x_k e^{x_k} - 1}{(1+x_k)e^{x_k}} \]

为简化计算，分子分母同乘 \(e^{-x_k}\)（\(e^x\) 恒大于0，可安全约去）：

\[x_{k+1} = x_k - \frac{x_k - e^{-x_k}}{1+x_k} \]

该式即为课本中给出的迭代公式。

3. 逐次迭代计算（初值 \(x_0=0.5\)）

我们严格按照迭代公式，分步计算每一步的近似根，验证课本表7-7的结果：

迭代步数 \(k\)	近似根 \(x_k\)	核心计算过程	计算结果
0	\(x_0=0.5\)	初始值	0.5
1	\(x_1\)	\(e^{-x_0}=e^{-0.5}\approx0.60653\) \(\frac{x_0 - e^{-x_0}}{1+x_0}=\frac{0.5-0.60653}{1.5}\approx-0.07102\) \(x_1=0.5 - (-0.07102)\)	0.57102
2	\(x_2\)	\(e^{-x_1}=e^{-0.57102}\approx0.56493\) \(\frac{x_1 - e^{-x_1}}{1+x_1}=\frac{0.57102-0.56493}{1.57102}\approx0.00388\) \(x_2=0.57102 - 0.00388\)	0.56716
3	\(x_3\)	\(e^{-x_2}=e^{-0.56716}\approx0.56714\) \(\frac{x_2 - e^{-x_2}}{1+x_2}=\frac{0.56716-0.56714}{1.56716}\approx0.00001276\) \(x_3=0.56716 - 0.00001276\)	0.56714

迭代3步后，结果已收敛到真实根的5位有效数字，精度极高。

4. 收敛速度对比

该方程等价于 \(x=e^{-x}\)，若采用不动点迭代（迭代公式 \(x_{k+1}=e^{-x_k}\)），取相同初值 \(x_0=0.5\)，要达到相同精度需要迭代17次。

• 不动点迭代：迭代函数 \(\varphi(x)=e^{-x}\)，在根处 \(|\varphi'(x^*)|=| -e^{-x^*} |\approx0.567<1\)，仅线性收敛；
• 牛顿法：单根场景下为二阶（平方）收敛，误差随迭代步数呈指数级下降，收敛速度远快于不动点迭代。

5. 拓展：牛顿法求平方根（经典应用）

对于正数 \(a\)，求 \(\sqrt{a}\) 等价于求解二次方程 \(f(x)=x^2 -a=0\)，用牛顿法推导迭代公式：

1. 求导：\(f'(x)=2x\)
2. 代入牛顿公式：

\[x_{k+1} = x_k - \frac{x_k^2 -a}{2x_k} = \frac{1}{2}\left(x_k + \frac{a}{x_k}\right) \]

该式即为著名的巴比伦开方法，二阶收敛，是工程中求平方根的核心算法，仅需2-3次迭代即可达到极高精度。

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例7.8 重根场景下的牛顿法改进与对比

1. 问题背景

方程 \(x^4 -4x^2 +4=0\)，因式分解得 \(f(x)=(x^2-2)^2=(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})^2\)，因此 \(x^*=\sqrt{2}\approx1.414213562\) 是二重根（\(m=2\)）。
本题的核心是验证：重根场景下标准牛顿法仅线性收敛，而两种改进方法可恢复二阶收敛。

2. 三种方法的迭代公式推导

首先计算 \(f(x)\) 的一阶、二阶导数，为迭代公式做准备：

\[f(x)=x^4 -4x^2 +4 \]

\[f'(x)=4x^3 -8x=4x(x^2-2) \]

\[f''(x)=12x^2 -8 \]

方法(1)：标准牛顿法

通用公式 \(x_{k+1}=x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)，代入因式分解后的表达式，约去公因子 \((x_k^2-2)\)（未收敛时 \(x_k^2\neq2\)，可安全约去）：

\[\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = \frac{(x_k^2-2)^2}{4x_k(x_k^2-2)} = \frac{x_k^2-2}{4x_k} \]

最终迭代公式：

\[x_{k+1} = x_k - \frac{x_k^2-2}{4x_k} \]

方法(2)：已知重数 \(m=2\) 的改进牛顿法

重根改进公式为 \(x_{k+1}=x_k - m\cdot\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)，代入 \(m=2\) 和上述化简结果：

\[x_{k+1} = x_k - 2\cdot\frac{x_k^2-2}{4x_k} = x_k - \frac{x_k^2-2}{2x_k} \]

该式本质就是求 \(\sqrt{2}\) 的巴比伦开方法，二阶收敛。

方法(3)：未知重数的重根转单根改进法

通用公式为 \(x_{k+1}=x_k - \frac{f(x_k)f'(x_k)}{[f'(x_k)]^2 - f(x_k)f''(x_k)}\)，代入 \(f(x),f'(x),f''(x)\) 并因式分解化简：

• 分子：\(f(x_k)f'(x_k) = 4x_k(x_k^2-2)^3\)
• 分母：\([f'(x_k)]^2 - f(x_k)f''(x_k) = 4(x_k^2+2)(x_k^2-2)^2\)
  约去公因子 \((x_k^2-2)^2\) 后，分数部分化简为：

\[\frac{f(x_k)f'(x_k)}{[f'(x_k)]^2 - f(x_k)f''(x_k)} = \frac{x_k(x_k^2-2)}{x_k^2+2} \]

最终迭代公式：

\[x_{k+1} = x_k - \frac{x_k(x_k^2-2)}{x_k^2+2} \]

3. 逐次迭代计算（初值 \(x_0=1.5\)）

我们分步计算三种方法的迭代结果，验证课本表7-8的结论，真实根 \(x^*=\sqrt{2}\approx1.414213562\)：

迭代步数 \(k\)	方法(1) 标准牛顿法	方法(2) 已知重数改进法	方法(3) 重根转单根改进法
0	\(x_0=1.5\)	\(x_0=1.5\)	\(x_0=1.5\)
1	\(1.5 - \frac{2.25-2}{4\times1.5}=1.458333333\)	\(1.5 - \frac{2.25-2}{2\times1.5}=1.416666667\)	\(1.5 - \frac{1.5\times(2.25-2)}{2.25+2}=1.411764706\)
2	\(1.458333333 - \frac{1.458333333^2-2}{4\times1.458333333}=1.436607143\)	\(1.416666667 - \frac{1.416666667^2-2}{2\times1.416666667}=1.414215686\)	\(1.411764706 - \frac{1.411764706\times(1.411764706^2-2)}{1.411764706^2+2}=1.414211438\)
3	\(1.436607143 - \frac{1.436607143^2-2}{4\times1.436607143}=1.425497619\)	\(1.414215686 - \frac{1.414215686^2-2}{2\times1.414215686}=1.414213562\)	\(1.414211438 - \frac{1.414211438\times(1.414211438^2-2)}{1.414211438^2+2}=1.414213562\)

4. 核心结论

1. 标准牛顿法：重根场景下仅线性收敛，迭代3步后仍与真实根有明显误差，要达到10位有效数字需迭代30次，收敛速度极慢；
2. 已知重数的改进法：通过乘以重数 \(m\)，恢复二阶收敛，迭代3步即可达到10位有效数字，收敛速度极快，缺点是需要提前知道根的重数；
3. 重根转单根改进法：无需知道根的重数，同样实现二阶收敛，迭代3步达到10位有效数字，通用性极强，缺点是需要计算二阶导数，计算量略有增加。