7.1方程求根与二分法

非线性方程求根开篇知识点深度讲解

各位同学，我从事数值分析与科学计算的教学与研究工作已有多年，今天我们逐字逐句、由浅入深地拆解非线性方程求根的核心基础内容。这部分是整个非线性科学计算的基石，无论是工程仿真、物理建模、金融定价，最终都会落到非线性方程的求解上，我们不仅要记住定义，更要吃透每一个定理的推导、每一个概念的本质。

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一、非线性问题的核心地位与线性→非线性的本质跃迁

我们先理解开篇的背景论述，它不是一句空话，而是整个学科的出发点。
我们低年级学习的线性代数、线性微分方程，本质上都是对实际问题的线性近似：比如材料力学的胡克定律是弹性范围内的线性近似，电路的欧姆定律是线性元件的近似。但当我们处理大变形结构、非线性电路、湍流流体、量子多体问题时，线性模型完全失效，必须用非线性模型描述——这就是非线性科学成为21世纪科技支柱的核心原因：要解决更贴合实际的问题，就必须直面非线性。

而所有非线性模型，无论是无限维的偏微分方程（如流体Navier-Stokes方程），还是有限维的非线性系统，最终要在计算机上求解，都必须离散化，转化为单个非线性方程或非线性方程组的求解。这是数值计算的核心：计算机只能处理有限、离散的数值运算，无论多复杂的非线性问题，最终都会落到\(f(x)=0\)这个最基础的式子上。

这里必须强调：从线性到非线性，是质的飞跃，而非量的变化。

• 线性方程的核心是叠加原理：若\(x_1,x_2\)是线性方程的解，其线性组合也是解，解空间是线性空间，解的情况只有无解、唯一解、无穷多解（线性流形）三种；
• 非线性方程完全无叠加原理，解的结构极其复杂：可以无解、唯一解、有限多解、无穷多解，甚至解的分布是混沌的。正因为性质有本质区别，线性方程的求解方法完全不能照搬，必须专门研究非线性方程的数值解法。

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二、单变量非线性方程与根（零点）的核心定义

本章的研究对象是单变量非线性方程，标准形式为：

\[f(x)=0 \tag{7.1} \]

我们先明确这个式子每一个符号的数学意义：

1. 自变量：\(x \in \mathbb{R}\)，即我们仅研究实数域上的根，复数根不在本章讨论范围内；
2. 函数光滑性：\(f(x) \in C[a,b]\)，表示\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续。\([a,b]\)可以是有限区间（如\([0,1]\)），也可以是无穷区间（如\([0,+\infty)\)、\((-\infty,+\infty)\)）。这里要求连续，是因为后续所有数值方法，都建立在连续函数的性质（如介值定理）之上；
3. 根（零点）的定义：若存在实数\(x^*\)满足\(f(x^*)=0\)，则称\(x^*\)是方程(7.1)的根，也叫函数\(f(x)\)的零点。

这里要讲透两个概念的本质：“方程的根”和“函数的零点”，是同一个数学对象的两种表述，仅视角不同：

• 代数视角：找让等式\(f(x)=0\)成立的未知数取值，叫根；
• 函数图像视角：找函数\(y=f(x)\)与x轴交点的横坐标，叫零点。
  二者完全等价，后续会交替使用，无需混淆。

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三、重根的定义、充要条件与严谨证明

这是本节的核心难点，也是后续数值方法收敛性分析的基础，我们必须把定义和定理证明完全吃透。

3.1 重根的代数定义

若函数\(f(x)\)可分解为如下形式：

\[f(x)=(x-x^*)^m \cdot g(x) \]

其中：

• \(m\)为正整数（\(m=1,2,3,\dots\)）；
• \(g(x^*)\neq0\)，即\(g(x)\)在\(x=x^*\)处不为0；
  则称\(x^*\)是方程(7.1)的m重根，也叫\(f(x)\)的m重零点。
  特别地，当\(m=1\)时，称\(x^*\)为单根（单零点）。

举直观例子：\(f(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\)，这里\(x^*=1\)，\(m=3\)，\(g(x)=1\)，\(g(1)=1\neq0\)，因此\(x=1\)是\(f(x)\)的3重根。

3.2 重根的充要条件与严谨证明

定理：若\(f(x)\)在\(x=x^*\)的邻域内充分光滑（即具有直到\(m\)阶的连续导数），则\(x^*\)是\(f(x)\)的\(m\)重零点的充要条件为：

\[f(x^*)=f'(x^*)=\dots=f^{(m-1)}(x^*)=0, \quad f^{(m)}(x^*)\neq0 \]

即：函数在\(x^*\)处，0阶到\(m-1\)阶导数全为0，第\(m\)阶导数不为0。

这个定理是连接重根代数定义与微积分性质的桥梁，我们分必要性和充分性两部分严谨证明。

（1）必要性证明（已知是m重根→证明导数条件成立）

已知：\(f(x)=(x-x^*)^m g(x)\)，\(g(x^*)\neq0\)，\(f(x)\)充分光滑。
要证：\(f(x^*)=f'(x^*)=\dots=f^{(m-1)}(x^*)=0\)，且\(f^{(m)}(x^*)\neq0\)。

证明过程：
我们使用莱布尼茨乘积求导公式：两个可导函数\(u(x)\)和\(v(x)\)，乘积的\(n\)阶导数为：

\[(u\cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k \cdot u^{(k)}(x) \cdot v^{(n-k)}(x) \]

其中\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)为组合数，\(u^{(0)}(x)=u(x)\)，\(v^{(0)}(x)=v(x)\)。

令\(u(x)=(x-x^*)^m\)，\(v(x)=g(x)\)，则\(f(x)=u(x)\cdot v(x)\)。
先求\(u(x)=(x-x^*)^m\)的\(k\)阶导数：

• 当\(k \leq m\)时：\(u^{(k)}(x) = \frac{m!}{(m-k)!} \cdot (x-x^*)^{m-k}\)
• 当\(k > m\)时：\(u^{(k)}(x) = 0\)（多项式导数阶数超过次数后为0）

分两种情况讨论\(f^{(n)}(x^*)\)：
① 当\(n < m\)时：
对于莱布尼茨公式中的每一项\(k\)（\(0\leq k\leq n\)），都有\(k \leq n < m\)，因此\(m-k \geq m-n \geq 1\)，代入\(x=x^*\)得：

\[u^{(k)}(x^*) = \frac{m!}{(m-k)!} \cdot (x^*-x^*)^{m-k} = 0 \]

即莱布尼茨公式的每一项都为0，因此\(f^{(n)}(x^*)=0\)，也就证明了\(f(x^*)=f'(x^*)=\dots=f^{(m-1)}(x^*)=0\)。

② 当\(n = m\)时：
莱布尼茨公式中，仅当\(k=m\)时，\(u^{(m)}(x^*) = \frac{m!}{(m-m)!} \cdot (x^*-x^*)^{0} = m!\)，其余所有\(k < m\)的项，\(u^{(k)}(x^*)=0\)。
因此\(f^{(m)}(x^*)\)的展开式仅剩\(k=m\)的一项：

\[f^{(m)}(x^*) = C_m^m \cdot u^{(m)}(x^*) \cdot g^{(0)}(x^*) = 1 \cdot m! \cdot g(x^*) \]

根据重根定义，\(g(x^*)\neq0\)，因此\(f^{(m)}(x^*)=m! \cdot g(x^*) \neq 0\)。

至此，必要性得证。

（2）充分性证明（已知导数条件成立→证明是m重根）

已知：\(f(x^*)=f'(x^*)=\dots=f^{(m-1)}(x^*)=0\)，\(f^{(m)}(x^*)\neq0\)，且\(f(x)\)充分光滑。
要证：\(x^*\)是\(f(x)\)的\(m\)重零点，即\(f(x)\)可分解为\((x-x^*)^m g(x)\)，且\(g(x^*)\neq0\)。

证明过程：
因为\(f(x)\)在\(x^*\)的邻域内有直到\(m\)阶的连续导数，根据泰勒定理，可将\(f(x)\)在\(x=x^*\)处做\(m\)阶泰勒展开（带拉格朗日余项）：

\[f(x) = \sum_{k=0}^{m-1} \frac{f^{(k)}(x^*)}{k!} (x-x^*)^k + \frac{f^{(m)}(\xi)}{m!} (x-x^*)^m \]

其中\(\xi\)介于\(x\)和\(x^*\)之间。

根据已知条件，所有\(k=0,1,\dots,m-1\)的\(f^{(k)}(x^*)=0\)，因此泰勒展开的前\(m\)项全部为0，展开式简化为：

\[f(x) = \frac{f^{(m)}(\xi)}{m!} \cdot (x-x^*)^m \]

令\(g(x) = \frac{f^{(m)}(\xi)}{m!}\)，注意\(\xi\)是\(x\)的函数，当\(x \to x^*\)时，\(\xi \to x^*\)。
因\(f^{(m)}(x)\)连续，因此：

\[\lim_{x \to x^*} g(x) = \lim_{x \to x^*} \frac{f^{(m)}(\xi)}{m!} = \frac{f^{(m)}(x^*)}{m!} \]

根据已知条件\(f^{(m)}(x^*)\neq0\)，因此\(\lim_{x \to x^*} g(x) \neq 0\)，即在\(x^*\)的足够小邻域内，\(g(x^*) \neq 0\)，完全满足重根定义的条件。

因此\(f(x)=(x-x^*)^m g(x)\)，且\(g(x^*)\neq0\)，\(x^*\)是\(f(x)\)的\(m\)重零点。

至此，充分性得证。

验证例子：\(f(x)=x^2-2x+1\)，\(x^*=1\)。

• \(f(1)=0\)，\(f'(x)=2x-2\)，\(f'(1)=0\)，\(f''(x)=2\)，\(f''(1)=2\neq0\)，符合\(m=2\)的充要条件，与代数分解\((x-1)^2\)完全一致。

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四、代数方程与超越方程的分类与核心特性

我们根据\(f(x)\)的类型，将非线性方程分为代数方程（多项式方程）和超越方程两大类，二者特性有本质区别。

4.1 代数方程（多项式方程）

定义

若\(f(x)\)是\(n\)次多项式，即：

\[f(x)=a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n \]

其中\(a_0 \neq 0\)（保证是\(n\)次多项式），\(a_i (i=0,1,\dots,n)\)均为实数，则方程\(f(x)=0\)称为n次代数方程。

核心定理与特性

1. 代数基本定理：\(n\)次代数方程在复数域上有且仅有\(n\)个根（含重根，\(m\)重根算\(m\)个根），这是代数学的基础，说明代数方程的根的个数有限，最多不超过次数\(n\)；
2. 求根公式的局限性：
   • \(n=1\)（一次方程）：求根公式\(x=-\frac{a_1}{a_0}\)，唯一解，手算即可；
   • \(n=2\)（二次方程）：求根公式\(x=\frac{-a_1\pm\sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_0}\)，应用广泛；
   • \(n=3\)（三次方程）有卡尔丹公式，\(n=4\)（四次方程）有费拉里公式，但公式极其复杂，手算极易出错，完全不适合工程计算；
   • \(n\geq5\)：根据阿贝尔-鲁菲尼定理，5次及以上代数方程不存在通用求根公式，即无法用系数的有限次四则运算和开方运算表示根。

因此，\(n\geq3\)的代数方程，几乎都采用数值方法求根。

4.2 超越方程

定义

若\(f(x)\)中包含超越函数（非多项式函数），如指数函数\(e^x\)、对数函数\(\ln x\)、三角函数\(\sin x\)、反三角函数\(\arctan x\)等，则方程\(f(x)=0\)称为超越方程。

核心特性

1. 解的个数可无穷多：如教材例子\(e^{-x/10}\sin10x=0\)，因\(e^{-x/10}\)恒大于0，方程等价于\(\sin10x=0\)，解为\(x=\frac{k\pi}{5}\)（\(k=0,\pm1,\pm2,\dots\)），实数域上有无穷多解；
2. 无通用求根公式：超越方程没有统一求根公式，甚至解的存在性、个数都很难通过解析方法判断，必须结合函数的单调性、周期性、极限等性质分析；
3. 必须限定求解区间：正因解的个数可能无穷多，讨论超越方程的求解，必须明确指定求解区间\([a,b]\)，不同区间的解的个数、取值完全不同；
4. 只能用数值方法求解：绝大多数超越方程无解析解，只能通过数值方法求满足精度要求的近似解。

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五、非线性方程数值求解的核心逻辑与二分法的引入

前面我们已经明确：无论是高次代数方程，还是超越方程，绝大多数都没有解析解，没有直接求根公式，因此必须采用数值方法求解。

数值方法求解非线性方程的核心思路是迭代法：

1. 先给出根\(x^*\)的一个初始近似值\(x_0\)；
2. 设计固定的迭代格式\(x_{k+1}=\varphi(x_k)\)，不断更新近似值，得到序列\(\{x_k\}\)；
3. 当序列收敛到\(x^*\)，且近似值的误差满足精度要求时，停止迭代，得到根的近似解。

但迭代法有一个核心难点：初始值的选取。若初始值\(x_0\)选得不好，离根\(x^*\)太远，迭代序列可能不收敛、收敛到其他根，甚至发散到无穷大。

解决这个问题的思路，就是分而治之：先确定根所在的区间（有根区间），再不断把区间缩小，直到区间长度小于精度要求，此时区间内的任意一点，都可以作为根的近似值。

这个思路，就是二分法的核心思想。二分法是最简单、最鲁棒的非线性方程求根方法，理论基础是闭区间上连续函数的介值定理，完全解决了迭代法初始值难选的问题，是工程上最常用的“保底”求根方法。

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六、核心知识点归纳总结表

知识点分类	核心定义/定理	关键说明与补充
非线性问题的核心地位	实际问题大多为非线性，线性模型是非线性问题的近似；计算机求解需转化为非线性方程（组）的求解	线性→非线性是质的飞跃：非线性无叠加原理，解的结构复杂，求解方法与线性方程完全不同
单变量非线性方程标准形式	\(f(x)=0\)，\(x\in\mathbb{R}\)，\(f(x)\in C[a,b]\)（\([a,b]\)可为无穷区间）	\(C[a,b]\)表示\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，是后续数值方法的理论前提
根（零点）的定义	若实数\(x^*\)满足\(f(x^*)=0\)，则\(x^*\)是方程的根，也是函数\(f(x)\)的零点	方程的根（代数视角）与函数的零点（函数图像视角）完全等价
重根的代数定义	若\(f(x)=(x-x^*)^m g(x)\)，\(m\)为正整数，\(g(x^*)\neq0\)，则\(x^*\)是\(m\)重根；\(m=1\)时为单根	\(g(x^*)\neq0\)是核心条件，保证\((x-x^*)\)的因子恰好有\(m\)个
重根的充要条件（微积分形式）	\(f(x)\)充分光滑时，\(x^*\)是\(m\)重零点\(\iff f(x^*)=f'(x^*)=\dots=f^{(m-1)}(x^*)=0\)，且\(f^{(m)}(x^*)\neq0\)	连接代数定义与微积分性质的核心定理，是后续收敛性分析的基础，需掌握充分性与必要性证明
代数方程（多项式方程）	\(f(x)\)为\(n\)次多项式：\(f(x)=a_0x^n+\dots+a_n\)，\(a_0\neq0\)	1. 代数基本定理：复数域上有且仅有\(n\)个根（含重根）； 2. \(n\geq5\)无通用求根公式，\(n\geq3\)需用数值方法求解
超越方程	\(f(x)\)包含指数、对数、三角等超越函数的方程	1. 解的个数可无穷多，必须限定求解区间\([a,b]\)； 2. 无通用求根公式，只能用数值方法求解
非线性方程数值求解核心思路	迭代法：给定初始近似值，通过迭代格式更新近似值，直到满足精度要求	核心难点是初始值的选取，初始值不当会导致迭代不收敛
二分法的引入逻辑	分而治之：先确定有根区间，再不断缩小区间，直到区间长度小于精度要求	理论基础是连续函数的介值定理，鲁棒性强，无初始值选取难题，是最基础的求根方法

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二分法知识点深度讲解（资深高级研究员版）

各位同学，我从事数值分析教学与科研工作六十余年，见过无数学生在复杂迭代法上栽跟头，根源就是没把二分法的底层逻辑吃透。二分法不仅是一个求根算法，更是理解非线性方程解的存在性、区间迭代思想的核心入口，是工程上所有非线性求根问题的“保底手段”。今天我们从底层定理出发，逐字逐句拆解原理、严谨推导证明、拆解算法步骤、分析实例与适用边界，把二分法讲深讲透。

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一、二分法的理论基石：闭区间连续函数的零点存在定理

整个二分法的合法性与收敛性，完全建立在这个定理之上，必须先把核心前提讲死，不能有半点含糊。

1.1 零点存在定理（介值定理核心推论）

定理表述：若函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续（即\(f(x)\in C[a,b]\)），且区间端点函数值满足\(f(a)\cdot f(b) < 0\)，则在开区间\((a,b)\)内至少存在一点\(x^*\)，使得\(f(x^*)=0\)，即方程\(f(x)=0\)在\((a,b)\)内至少有一个,b)$内至少有一个实根。

定理的3个核心要点（缺一不可）

1. 前提条件：\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续。若函数不连续，定理直接失效，例如\(f(x)=1/x\)在\([-1,1]\)上\(f(-1)f(1)=-1<0\)，但区间内无实根，因为\(x=0\)处函数间断。
2. 符号条件：\(f(a)\cdot f(b)<0\)，即端点函数值严格异号，说明函数从\(a\)到\(b\)必然穿过\(x\)轴。
3. 结论边界：定理保证“至少一个实根”，而非“恰好一个”。若函数在区间内严格单调，则根唯一；若不单调，区间内可能存在多个根。

1.2 有根区间的定义与获取

基于零点存在定理，我们定义：满足\(f(a)f(b)<0\)的闭区间\([a,b]\)，称为方程\(f(x)=0\)的有根区间。

工程上通常用逐次搜索法获取初始有根区间，结合例7.1讲解：
例7.1 求方程\(f(x)=x^3-11.1x^2+38.8x-41.77=0\)的有根区间。
我们以步长\(h=1\)，从\(x=0\)开始逐点计算函数值符号：

\(x\)	0	1	2	3	4	5	6
\(f(x)\)符号	-	-	-	+	-	-	+

函数值符号发生变化的区间为\([2,3]\)、\([3,4]\)、\([5,6]\)，这三个区间均满足\(f(a)f(b)<0\)，因此都是有根区间，说明该三次方程有3个实根。

逐次搜索法的局限性

步长是人为设定的：步长过大，会漏掉区间内的多个根（如区间内函数先负再正再负，端点同号，会被直接跳过）；步长过小，计算量会急剧增大，不具备自动性。而二分法，就是解决这个问题的核心方法。

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二、二分法的核心迭代原理与区间套构造

二分法的核心思想：对有根区间不断进行二等分，通过函数值符号判断，保留有根子区间、舍弃无根子区间，逐步将有根区间缩小，直到区间长度满足精度要求，此时区间中点即可作为根的近似值。

2.1 迭代过程的分步拆解

1. 初始步：给定初始有根区间\([a_0,b_0]=[a,b]\)，满足\(f(a_0)f(b_0)<0\)，初始区间长度\(L_0 = b_0 - a_0 = b-a\)。
2. 第1次二分：
   • 取区间中点\(x_0 = \frac{a_0+b_0}{2}\)，计算\(f(x_0)\)；
   • 符号判断与区间更新：
     ① 若\(f(x_0)=0\)，则\(x_0\)就是方程的精确根，计算结束；
     ② 若\(f(x_0)\cdot f(a_0) > 0\)，说明\(f(x_0)\)与\(f(a_0)\)同号，根不在左半区间\([a_0,x_0]\)，而在右半区间\([x_0,b_0]\)，令新的有根区间\([a_1,b_1]=[x_0,b_0]\)；
     ③ 若\(f(x_0)\cdot f(a_0) < 0\)，说明\(f(x_0)\)与\(f(a_0)\)异号，根在左半区间\([a_0,x_0]\)，令新的有根区间\([a_1,b_1]=[a_0,x_0]\)；
   • 新区间长度\(L_1 = b_1 - a_1 = \frac{b_0-a_0}{2} = \frac{L_0}{2}\)，为初始区间的一半。
3. 第k次二分：
   对第\(k-1\)次得到的有根区间\([a_{k-1},b_{k-1}]\)，重复上述步骤，得到新的有根区间\([a_k,b_k]\)，满足：
   • \(f(a_k)\cdot f(b_k) < 0\)，始终为有根区间；
   • 区间长度\(L_k = b_k - a_k = \frac{b_{k-1}-a_{k-1}}{2} = \frac{b-a}{2^k}\)。

2.2 有根区间套的构造

反复二分后，我们会得到一个严格的闭区间套：

\[[a,b] = [a_0,b_0] \supset [a_1,b_1] \supset [a_2,b_2] \supset \dots \supset [a_k,b_k] \supset \dots \]

该区间套满足两个核心性质：

1. 后一个区间完全包含在前一个区间内，所有区间都包含方程的根\(x^*\)；
2. 第\(k\)个区间的长度为初始区间的\(\frac{1}{2^k}\)，当\(k\to\infty\)时，区间长度\(L_k \to 0\)。

这里必须联系数学分析中的区间套定理：若闭区间列\(\{[a_k,b_k]\}\)满足上述区间套条件，则存在唯一的点\(x^*\)，属于所有的闭区间\([a_k,b_k]\)，且\(\lim_{k\to\infty}a_k = \lim_{k\to\infty}b_k = x^*\)。而根据我们的构造，每个\([a_k,b_k]\)都是有根区间，因此这个唯一的\(x^*\)，就是方程\(f(x)=0\)的根。这就是二分法收敛性的底层数学依据。

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三、二分法的收敛性证明与误差估计公式严格推导

这是本节的核心重点，也是工程应用中最常用的部分，我们给出完全严谨的推导与证明，而非直接给出结论。

3.1 二分法的收敛性严格证明

定理：二分法产生的中点序列\(x_k = \frac{a_k + b_k}{2}\)，必然收敛到方程\(f(x)=0\)的根\(x^*\)，即\(\lim_{k\to\infty}x_k = x^*\)。

证明过程：

1. 由区间套定理，存在唯一的\(x^*\)，使得\(x^* \in [a_k,b_k]\)对所有\(k\geq0\)成立，且\(\lim_{k\to\infty}a_k = \lim_{k\to\infty}b_k = x^*\)。
2. 中点\(x_k\)是区间\([a_k,b_k]\)的中点，因此满足不等式：
   \[a_k \leq x_k \leq b_k, \quad a_k \leq x^* \leq b_k \]

3. 对\(x_k\)与\(x^*\)的绝对误差做放缩：
   \[|x_k - x^*| \leq b_k - a_k \]
   （\(x_k\)和\(x^*\)都在长度为\(b_k-a_k\)的区间内，二者的距离不可能超过区间总长度）
4. 已知\(b_k - a_k = \frac{b-a}{2^k}\)，当\(k\to\infty\)时，\(\frac{b-a}{2^k} \to 0\)，因此：
   \[\lim_{k\to\infty} |x_k - x^*| \leq \lim_{k\to\infty} \frac{b-a}{2^k} = 0 \]
   根据极限的定义，\(\lim_{k\to\infty}x_k = x^*\)。

证毕。该证明明确了：只要初始有根区间选对，二分法的中点序列必然收敛，这是它区别于其他迭代法的核心优势，不存在发散风险。

3.2 误差估计公式的严谨推导

教材中核心公式(7.2)：

\[|x_k - x^*| \leq \frac{1}{2}(b_k - a_k) = \frac{b-a}{2^{k+1}} \tag{7.2} \]

推导过程：

1. 首先，\(x^* \in [a_k,b_k]\)，\(x_k = \frac{a_k+b_k}{2}\)是区间中点，我们将\([a_k,b_k]\)以\(x_k\)为中点分为两半：左半区间\([a_k,x_k]\)、右半区间\([x_k,b_k]\)，两半的长度均为\(\frac{b_k-a_k}{2}\)。
2. 无论\(x^*\)落在左半区间还是右半区间，它到中点\(x_k\)的距离，最大不会超过区间长度的一半：
   • 若\(x^* \in [a_k,x_k]\)，则\(|x_k - x^*| = x_k - x^* \leq x_k - a_k = \frac{b_k-a_k}{2}\)；
   • 若\(x^* \in [x_k,b_k]\)，则\(|x_k - x^*| = x^* - x_k \leq b_k - x_k = \frac{b_k-a_k}{2}\)。
3. 因此，无论哪种情况，都有核心不等式：
   \[|x_k - x^*| \leq \frac{1}{2}(b_k - a_k) \]

4. 将第\(k\)次二分的区间长度\(b_k - a_k = \frac{b-a}{2^k}\)代入上式，最终得到：
   \[|x_k - x^*| \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{b-a}{2^k} = \frac{b-a}{2^{k+1}} \]

推导完毕。

3.3 先验误差估计的工程应用

该误差公式的核心价值是先验估计：在计算开始前，就可以根据预定的精度要求\(\varepsilon\)，提前算出需要二分的次数\(k\)，无需边算边判断，这是二分法独有的优势。

以例7.2为例，讲解如何根据精度求\(k\)：
例7.2 求方程\(f(x)=x^3-x-1=0\)在\([1.0,1.5]\)内的实根，要求精确到小数点后第2位。

• 精度要求：精确到小数点后2位，即绝对误差限\(\varepsilon=0.005\)（四舍五入后小数点后2位准确）；
• 初始区间长度\(b-a=1.5-1.0=0.5\)；
• 代入误差公式，令\(\frac{b-a}{2^{k+1}} < \varepsilon\)，即：
  \[\frac{0.5}{2^{k+1}} < 0.005 \]

• 解不等式得：\(2^{k+1} > 100\)，因\(2^6=64\)，\(2^7=128\)，故\(k+1\geq7\)，即\(k\geq6\)。
• 结论：仅需二分6次，即可满足精度要求，与教材例7.2的计算完全一致。

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四、二分法的标准算法步骤与终止条件

我们将二分法标准化为可直接编程实现的步骤，明确每一步的目的与判断逻辑：

4.1 二分法标准计算步骤

输入：连续函数\(f(x)\)、初始有根区间\([a,b]\)、函数值精度\(\varepsilon_1\)、根的绝对误差精度\(\varepsilon_2\)
输出：方程\(f(x)=0\)的近似根\(x^*\)

1. 准备验证：计算端点函数值\(f(a)\)、\(f(b)\)，验证\(f(a)\cdot f(b) < 0\)，确认是有根区间；若不满足，终止算法，提示区间无效。
2. 二分计算：计算区间中点\(x_m = \frac{a+b}{2}\)，计算中点函数值\(f(x_m)\)。
3. 终止条件判断：
   • 条件1：若\(|f(x_m)| < \varepsilon_1\)，说明中点函数值已足够接近0，\(x_m\)为满足精度的近似根，输出\(x_m\)，算法结束；
   • 条件2：若区间长度\(b-a < \varepsilon_2\)，说明区间已足够小，中点误差满足要求，输出\(x_m\)，算法结束；
   • 两个条件均不满足，进入下一步。
4. 区间更新：
   • 若\(f(x_m)\cdot f(a) < 0\)，说明根在左半区间，令\(b = x_m\)；
   • 否则，说明根在右半区间，令\(a = x_m\)。
5. 循环迭代：返回步骤2，重复二分、判断、更新，直到满足终止条件。

4.2 终止条件的说明

• 条件1（函数值判停）：从函数值角度判断接近程度，但部分函数在远离根的位置函数值也很小，不可单独使用；
• 条件2（区间长度判停）：从根的绝对误差角度判断，结合误差公式，只要区间长度小于\(\varepsilon_2\)，中点误差必然小于\(\varepsilon_2/2\)，是更可靠的判停条件。

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五、二分法的优缺点与适用场景

结合六十余年的工程与教学经验，我给大家讲透二分法的适用边界，而非只记教材上的简单结论。

5.1 核心优点

1. 算法极简，编程零门槛：仅需函数值计算、符号判断、区间更新，无复杂导数计算，新手也可快速实现；
2. 无条件收敛，鲁棒性拉满：只要初始区间是有根区间、函数连续，二分法必然收敛，无发散风险，是工程上的“保底算法”；
3. 先验误差估计，可精准控制计算量：提前根据精度算出迭代次数，无需边算边判断；
4. 对函数要求极低：仅要求函数在有根区间连续，无需可导、无需光滑，适用范围极广。

5.2 核心缺点

1. 收敛速度慢：二分法为线性收敛，收敛阶为1，每一次二分误差仅减半，要提高1位有效数字需3-4次二分，高精度需求下迭代次数极多，效率极低；
2. 适用范围受限：仅能求单实根，无法求复根（复数无正负号），也无法求偶数重根（偶数重根处函数值不变号，无法形成有根区间）；
3. 无法同时求多根：一个初始区间只能找到一个根，若区间内有多个根，需先用逐次搜索法拆分有根区间，再分别求解；
4. 对函数值计算精度敏感：若函数值计算存在误差，可能导致符号判断错误，进而选错有根区间。

5.3 核心适用场景

1. 为牛顿法、割线法等快速迭代法提供高质量的初始迭代值；
2. 求解低精度要求的非线性方程实根；
3. 求解连续但不可导、光滑性差的非线性函数的实根；
4. 工程上的根存在性验证，当其他迭代法发散时，用二分法定位根的大致区间。

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六、二分法核心知识点归纳总结表

知识点分类	核心内容	关键说明与补充
理论基础	闭区间连续函数的零点存在定理	前提：\(f(x)\in C[a,b]\)且\(f(a)f(b)<0\)；结论：\((a,b)\)内至少有一个实根，是二分法的合法性来源
有根区间定义	满足\(f(a)f(b)<0\)的闭区间\([a,b]\)	是二分法的迭代起点，需通过逐次搜索法获取
核心迭代逻辑	对有根区间二等分，通过符号判断保留有根子区间，逐步缩小区间	每次迭代后区间长度减半，形成严格的闭区间套
收敛性定理	二分法产生的中点序列\(x_k=\frac{a_k+b_k}{2}\)必然收敛到根\(x^*\)	底层依据是区间套定理，只要初始区间有效，必然收敛，无发散风险
误差估计公式	$	x_k - x^*
标准算法步骤	准备验证→二分计算→终止判断→区间更新→循环迭代	两个终止条件需结合使用，区间长度判停更可靠
核心优点	算法简单、无条件收敛、先验误差估计、对函数光滑性要求低	工程上的保底求根算法，鲁棒性极强
核心缺点	收敛速度慢、仅能求单实根、无法求复根/偶数重根、无法同时求多根	不适合高精度求根，仅适合定位根的大致区间
收敛特性	线性收敛，收敛阶为1，收敛速度与公比1/2的等比数列一致	10次二分仅能提高3位有效数字，高精度场景效率极低