7.2.2一致最准确置信域（UMA）

一致最准确置信域（UMA） 知识点深度讲解与完整推导证明

本章节的核心逻辑是：置信域的优良性与假设检验的优良性通过对偶关系一一对应——最优的假设检验（UMP/UMPU），必然对应最优的置信域（UMA/UMAU），我们将从定义、对偶定理、优良性证明、单侧拓展四个维度，完成完整的讲解与推导。

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一、前置核心回顾：置信域与假设检验的对偶关系

整个UMA理论的根基是二者的对偶性，先凝练核心等价关系，为后续推导铺垫：

1. 事件等价：\(X \in A(\theta) \iff \theta \in S(X)\)，其中\(A(\theta)\)是假设\(H_0:\theta=\theta_0\)的接受域，\(S(X)\)是参数\(\theta\)的置信域。
2. 概率等价：\(P_\theta\{X \in A(\theta)\} = P_\theta\{\theta \in S(X)\} \geq 1-\alpha\)，前者是检验的接受概率，后者是置信域的覆盖概率。
3. 功效函数对应：检验的功效函数\(\beta_\phi(\theta) = E_\theta[\phi(X)] = P_\theta\{X \in \overline{A(\theta)}\} = 1 - P_\theta\{X \in A(\theta)\}\)，即备择假设下拒绝原假设的概率，是检验优良性的核心指标。

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二、核心定义的深度讲解

1. 一致最准确置信域（UMA）

定义7.2.1

参数\(\theta\)的水平为\(1-\alpha\)的置信域\(S(x)\)称为一致最准确置信域（UMA），若对任一水平为\(1-\alpha\)的置信域\(S^*(x)\)，有：

\[P_\theta\{\theta' \in S(X)\} \leq P_\theta\{\theta' \in S^*(X)\}, \quad \forall \theta' \neq \theta \]

定义内涵拆解

• 符号含义：\(\theta\)是真实参数，\(\theta'\)是非真实参数（错误参数值）。
• 核心本质：在所有满足“覆盖真实参数概率≥1-α”的置信域中，UMA置信域包含错误参数的概率一致最小。
• 命名逻辑：
  • 「准确」：置信域的核心目标是“只包含真实参数，不包含错误参数”，包含错误参数的概率越小，置信域的精准度越高；
  • 「一致」：这个“最小性”对所有非真实参数\(\theta' \neq \theta\)都成立，而非仅对特定的\(\theta'\)成立。

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2. 无偏置信域与一致最准确无偏置信域（UMAU）

定义7.2.2

称\(S(X)\)为\(\theta\)的水平为\(1-\alpha\)的无偏置信域，若满足：

\[P_\theta\{\theta \in S(X)\} \geq 1-\alpha, \quad P_\theta\{\theta' \in S(X)\} \leq 1-\alpha, \quad \forall \theta' \neq \theta \]

若对所有无偏置信域，都满足UMA的核心不等式，则称\(S(x)\)为一致最准确无偏置信域（UMAU）。

定义内涵拆解

• 无偏性的意义：置信域包含真实参数的概率≥1-α，包含任何错误参数的概率≤1-α，避免出现“包含错误参数的概率比真实参数还高”的有偏情况。
• 存在价值：双侧检验场景下通常不存在UMP检验，但存在一致最优无偏检验（UMPU），对应的UMAU置信域解决了UMA不存在的场景，是UMA的核心拓展。

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三、核心对偶定理：UMA与UMP检验的充要条件

定理7.2.1 核心结论

水平为\(1-\alpha\)的置信域\(S(x)\)是UMA置信域的充要条件是：其对应的检验函数\(\phi(x,\theta_0)\)是假设检验问题

\[H_0:\theta=\theta_0 \longleftrightarrow H_1:\theta \in \Theta_1 \ (\theta_0 \notin \Theta_1) \]

的水平为\(\alpha\)的一致最优检验（UMP检验），且该结论对所有\(\theta_0 \in \Theta\)成立。

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（1）必要性证明：UMA置信域 → 对应检验是UMP检验

证明目标

设\(S(x)\)是UMA置信域，对任意其他水平为1-α的置信域\(S^*(x)\)对应的检验函数\(\phi^*(x,\theta_0)\)，有：

\[\beta_\phi(\theta) \geq \beta_{\phi^*}(\theta), \quad \forall \theta \neq \theta_0 \]

即对应检验在备择假设下的功效一致最大，符合UMP检验的定义。

分步严格推导

1. 从UMA定义出发，写出核心不等式
   由UMA的定义，对任意同水平的置信域\(S^*(x)\)，所有非真实参数\(\theta' \neq \theta\)满足：

   \[P_\theta\{\theta' \in S(X)\} \leq P_\theta\{\theta' \in S^*(X)\} \]

2. 对偶关系转化：置信域事件 → 接受域事件
   由事件等价性\(\theta' \in S(X) \iff X \in A(\theta')\)，概率完全等价，因此不等式转化为：

   \[P_\theta\{X \in A(\theta')\} \leq P_\theta\{X \in A^*(\theta')\}, \quad \forall \theta' \neq \theta \]

3. 接受域概率 → 功效函数转化
   接受域与拒绝域为补集，结合功效函数的定义\(\beta_\phi(\theta) = P_\theta\{X \in \overline{A(\theta')}\}\)，可得：

   \[P_\theta\{X \in A(\theta')\} = 1 - \beta_\phi(\theta), \quad P_\theta\{X \in A^*(\theta')\} = 1 - \beta_{\phi^*}(\theta) \]

4. 不等式变形，得到功效比较结果
   将上式代入核心不等式：

   \[1 - \beta_\phi(\theta) \leq 1 - \beta_{\phi^*}(\theta) \]

   两边同乘-1，不等号反转，得到：

   \[\beta_\phi(\theta) \geq \beta_{\phi^*}(\theta), \quad \forall \theta' \neq \theta \]

5. 完成必要性证明
   令\(\theta' = \theta_0\)（原假设参数），则\(\theta\)为备择假设参数（\(\theta \neq \theta_0\)），不等式变为：

   \[\beta_\phi(\theta) \geq \beta_{\phi^*}(\theta), \quad \forall \theta \neq \theta_0 \]

   完全符合UMP检验的定义，必要性得证。

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（2）充分性证明：UMP检验 → 对应置信域是UMA

证明目标

设\(\phi(x,\theta_0)\)是上述检验问题的水平为α的UMP检验，其对应的置信域\(S(x)\)，对任意同水平的置信域\(S^*(x)\)，满足UMA的核心不等式：

\[P_\theta\{\theta' \in S(X)\} \leq P_\theta\{\theta' \in S^*(X)\}, \quad \forall \theta' \neq \theta \]

分步严格推导

1. 从UMP检验定义出发，写出核心不等式
   由UMP检验的定义，对任意同水平的检验函数\(\phi^*(x,\theta_0)\)，所有备择假设参数\(\theta \neq \theta_0\)满足：

   \[\beta_\phi(\theta) \geq \beta_{\phi^*}(\theta) \]

2. 功效函数 → 接受域概率转化
   同必要性的推导，功效函数与接受域概率满足：

   \[\beta_\phi(\theta) = 1 - P_\theta\{X \in A(\theta_0)\}, \quad \beta_{\phi^*}(\theta) = 1 - P_\theta\{X \in A^*(\theta_0)\} \]

3. 不等式变形，得到接受域概率比较结果
   代入UMP的核心不等式：

   \[1 - P_\theta\{X \in A(\theta_0)\} \geq 1 - P_\theta\{X \in A^*(\theta_0)\} \]

   不等号反转后得到：

   \[P_\theta\{X \in A(\theta_0)\} \leq P_\theta\{X \in A^*(\theta_0)\}, \quad \forall \theta \neq \theta_0 \]

4. 对偶关系转化：接受域事件 → 置信域事件
   由事件等价性\(X \in A(\theta_0) \iff \theta_0 \in S(X)\)，概率完全等价，因此：

   \[P_\theta\{\theta_0 \in S(X)\} \leq P_\theta\{\theta_0 \in S^*(X)\}, \quad \forall \theta \neq \theta_0 \]

5. 完成充分性证明
   令\(\theta_0 = \theta'\)（非真实参数），则\(\theta\)为真实参数，\(\theta' \neq \theta\)，不等式变为：

   \[P_\theta\{\theta' \in S(X)\} \leq P_\theta\{\theta' \in S^*(X)\}, \quad \forall \theta' \neq \theta \]

   完全符合UMA置信域的定义，充分性得证。

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核心推论

水平为\(1-\alpha\)的置信域\(S(x)\)是UMAU置信域的充要条件是：其对应的检验函数是上述假设检验问题的水平为α的一致最优无偏检验（UMPU检验）。

逻辑与主定理完全一致：无偏置信域的条件\(P_\theta\{\theta' \in S(X)\} \leq 1-\alpha\)，等价于无偏检验的条件\(\beta_\phi(\theta') \geq \alpha\)，二者一一对应。

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四、UMA置信域的优良性定理：平均测度最小

定理7.2.2 核心结论

设\(X \sim P_\theta(x)\)，\(S(x) \subset \Theta\)为\(\theta\)的水平为\(1-\alpha\)的UMA置信域。设\(m\)为参数空间\(\Theta\)上的测度，满足单点集测度\(m\{\theta\}=0\)，且\(S(x)\)、\(S^*(x)\)关于\(m\)可测有界，则必有：

\[E_\theta\{m[S(X)]\} \leq E_\theta\{m[S^*(X)]\}, \quad \forall \theta \in \Theta \]

其中\(S^*(x)\)是任意水平为\(1-\alpha\)的置信域。

定理内涵

• \(m[S(X)]\)：置信域的测度，一维参数下为置信区间的长度，二维下为面积，高维下为体积；
• \(E_\theta\{m[S(X)]\}\)：置信域的平均测度（平均长度/体积）；
• 核心价值：将抽象的“包含错误参数概率最小”，转化为直观的“平均长度最短”，是UMA置信域最具实际应用价值的性质。

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分步严格证明

1. 期望的积分展开与示性函数表示
   由期望的定义，置信域测度的期望可写为样本空间上的积分：

   \[E_\theta\{m[S(X)]\} = \int_{\mathcal{X}} m[S(x)] dP_\theta(x) \]

   而集合的测度可表示为参数空间上示性函数的积分（示性函数\(I\{\cdot\}\)在事件成立时取1，否则取0）：

   \[m[S(x)] = \int_{\Theta} I\{\theta': \theta' \in S(x)\} dm(\theta') \]

   代入期望表达式，得到二重积分：

   \[E_\theta\{m[S(X)]\} = \int_{\mathcal{X}} \left( \int_{\Theta} I\{\theta': \theta' \in S(x)\} dm(\theta') \right) dP_\theta(x) \]

2. Fubini定理交换积分次序
   示性函数有界，积分区域满足σ-有限条件，因此可交换二重积分的次序，先对样本空间积分，再对参数空间积分：

   \[E_\theta\{m[S(X)]\} = \int_{\Theta} \left( \int_{\mathcal{X}} I\{\theta': \theta' \in S(x)\} dP_\theta(x) \right) dm(\theta') \]

3. 示性函数积分转化为概率
   示性函数的积分（期望）等于对应事件的发生概率，因此：

   \[\int_{\mathcal{X}} I\{\theta': \theta' \in S(x)\} dP_\theta(x) = P_\theta\{\theta' \in S(X)\} \]

   最终得到核心化简结果：

   \[E_\theta\{m[S(X)]\} = \int_{\Theta} P_\theta\{\theta' \in S(X)\} dm(\theta') \]

   同理，对任意其他置信域\(S^*(x)\)，有：

   \[E_\theta\{m[S^*(X)]\} = \int_{\Theta} P_\theta\{\theta' \in S^*(X)\} dm(\theta') \]

4. 利用UMA定义比较积分大小
   由于单点集测度\(m\{\theta\}=0\)，去掉真实参数\(\theta\)不改变积分值：

   \[\int_{\Theta} P_\theta\{\theta' \in S(X)\} dm(\theta') = \int_{\Theta - \{\theta\}} P_\theta\{\theta' \in S(X)\} dm(\theta') \]

   由UMA的定义，对所有\(\theta' \neq \theta\)，有\(P_\theta\{\theta' \in S(X)\} \leq P_\theta\{\theta' \in S^*(X)\}\)，因此被积函数在整个积分区域上满足左≤右，积分后仍满足：

   \[\int_{\Theta - \{\theta\}} P_\theta\{\theta' \in S(X)\} dm(\theta') \leq \int_{\Theta - \{\theta\}} P_\theta\{\theta' \in S^*(X)\} dm(\theta') \]

5. 完成证明
   将积分还原为期望表达式，最终得到：

   \[E_\theta\{m[S(X)]\} \leq E_\theta\{m[S^*(X)]\}, \quad \forall \theta \in \Theta \]

   定理得证。

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两个核心推论

1. 推论1（一维置信区间）
   若\([\underline{\theta}(X), \bar{\theta}(X)]\)是水平为\(1-\alpha\)的UMA置信区间，则对任意同水平的置信区间\([\underline{\theta}^*(X), \bar{\theta}^*(X)]\)，有：

   \[E_\theta[\bar{\theta}(X) - \underline{\theta}(X)] \leq E_\theta[\bar{\theta}^*(X) - \underline{\theta}^*(X)] \]

   即UMA置信区间的平均长度最短，是定理7.2.2的一维特例（测度为勒贝格测度）。

2. 推论2（无偏置信域）
   定理7.2.2与推论1的结论，对UMAU置信域完全成立，即UMAU置信域的平均测度是所有无偏置信域中最小的。

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五、单侧置信限的UMA性质

1. UMA单侧置信限的定义

UMA置信下限

水平为\(1-\alpha\)的置信下限\(\underline{\theta}(X)\)，满足\(P_\theta\{\theta \in [\underline{\theta}(X), +\infty)\} \geq 1-\alpha\)，且对任意同水平的置信下限\(\underline{\theta}^*(X)\)，有：

\[P_\theta\{\theta' \in [\underline{\theta}(X), +\infty)\} \leq P_\theta\{\theta' \in [\underline{\theta}^*(X), +\infty)\}, \quad \forall \theta' < \theta \]

直观意义：UMA置信下限比其他置信下限更靠近真实参数\(\theta\)，不会过度低估真实参数，包含过小错误值的概率最小。

UMA置信上限

水平为\(1-\alpha\)的置信上限\(\bar{\theta}(X)\)，满足\(P_\theta\{\theta \in (-\infty, \bar{\theta}(X)]\} \geq 1-\alpha\)，且对任意同水平的置信上限\(\bar{\theta}^*(X)\)，有：

\[P_\theta\{\theta' \in (-\infty, \bar{\theta}(X)]\} \leq P_\theta\{\theta' \in (-\infty, \bar{\theta}^*(X)]\}, \quad \forall \theta' > \theta \]

直观意义：UMA置信上限比其他置信上限更靠近真实参数\(\theta\)，不会过度高估真实参数，包含过大错误值的概率最小。

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定理7.2.3 UMA置信下限的期望损失最小

定理核心结论

设\(X \sim P_\theta(x)\)为连续型分布，\(\underline{\theta}(X)\)是水平为\(1-\alpha\)的UMA置信下限，\(\underline{\theta}^*(X)\)是任意同水平的置信下限，二者均有连续分布且期望存在。记正部函数\(a^+ = \max(a, 0)\)，则必有：

\[E_\theta[\theta - \underline{\theta}(X)]^+ \leq E_\theta[\theta - \underline{\theta}^*(X)]^+, \quad \forall \theta \in \Theta \]

定理内涵

\([\theta - \underline{\theta}(X)]^+\)是置信下限的低估损失：当\(\underline{\theta}(X) < \theta\)时，损失为真实参数与置信下限的差距；当\(\underline{\theta}(X) \geq \theta\)时，损失为0。定理证明了UMA置信下限的平均低估损失是所有同水平置信下限中最小的。

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分步严格证明

1. 定义随机变量与分布函数
   记\(U = [\theta - \underline{\theta}(X)]^+\)，\(U^* = [\theta - \underline{\theta}^*(X)]^+\)，二者的分布函数分别为：

   \[F_\theta(u) = P_\theta(U \leq u), \quad F_\theta^*(u) = P_\theta(U^* \leq u) \]

   由正部函数的定义，当\(u \leq 0\)时，\(U \leq u\)为不可能事件，因此\(F_\theta(u) = 0\)。

2. 推导\(u>0\)时的分布函数表达式
   当\(u>0\)时，正部的不等式等价于内部不等式，因此：

   \[F_\theta(u) = P_\theta(\theta - \underline{\theta}(X) \leq u) = P_\theta(\theta - u \leq \underline{\theta}(X)) \]

   变形为补事件的概率：

   \[F_\theta(u) = 1 - P_\theta(\theta - u > \underline{\theta}(X)) \]

3. 转化为置信下限的覆盖概率
   令\(\theta' = \theta - u\)，因\(u>0\)，故\(\theta' < \theta\)（非真实参数），因此：

   \[P_\theta(\theta - u > \underline{\theta}(X)) = P_\theta(\theta' \in [\underline{\theta}(X), +\infty)) \]

   最终得到生存函数的表达式：

   \[1 - F_\theta(u) = P_\theta(\theta' \in [\underline{\theta}(X), +\infty)) \]

   同理，对\(U^*\)有：

   \[1 - F_\theta^*(u) = P_\theta(\theta' \in [\underline{\theta}^*(X), +\infty)) \]

4. 利用UMA定义比较生存函数
   由UMA置信下限的定义，对所有\(\theta' < \theta\)（即\(u>0\)），有：

   \[P_\theta(\theta' \in [\underline{\theta}(X), +\infty)) \leq P_\theta(\theta' \in [\underline{\theta}^*(X), +\infty)) \]

   代入生存函数表达式，得到：

   \[1 - F_\theta(u) \leq 1 - F_\theta^*(u), \quad \forall u>0 \]

5. 非负随机变量期望公式完成证明
   概率论核心结论：非负随机变量的期望等于其生存函数从0到无穷的积分，即：

   \[E_\theta(U) = \int_0^{+\infty} [1 - F_\theta(u)] du, \quad E_\theta(U^*) = \int_0^{+\infty} [1 - F_\theta^*(u)] du \]

   由生存函数的大小关系，积分后满足：

   \[\int_0^{+\infty} [1 - F_\theta(u)] du \leq \int_0^{+\infty} [1 - F_\theta^*(u)] du \]

   即：

   \[E_\theta[\theta - \underline{\theta}(X)]^+ \leq E_\theta[\theta - \underline{\theta}^*(X)]^+ \]

   定理得证。

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对应推论（UMA置信上限）

设\(\bar{\theta}(X)\)是水平为\(1-\alpha\)的UMA置信上限，\(\bar{\theta}^*(X)\)是任意同水平的置信上限，满足定理条件，则必有：

\[E_\theta[\bar{\theta}(X) - \theta]^+ \leq E_\theta[\bar{\theta}^*(X) - \theta]^+, \quad \forall \theta \in \Theta \]

即UMA置信上限的平均高估损失最小。

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六、知识点归纳总结表

分类	核心对象	定义/核心结论	对应假设检验对象	核心优良性
基础定义	一致最准确置信域（UMA）	水平1-α的置信域中，对所有\(\theta' \neq \theta\)，包含非真实参数的概率\(P_\theta\{\theta' \in S(X)\}\)一致最小	一致最优检验（UMP检验）	包含错误参数概率最小，平均测度（长度/体积）最小
	一致最准确无偏置信域（UMAU）	水平1-α的无偏置信域中，对所有\(\theta' \neq \theta\)，包含非真实参数的概率一致最小	一致最优无偏检验（UMPU检验）	无偏性前提下，平均测度最小，解决双侧场景UMA不存在的问题
	UMA置信下限	水平1-α的置信下限中，对所有\(\theta' < \theta\)，包含非真实参数的概率一致最小	单侧UMP检验（\(H_0:\theta=\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta>\theta_0\)）	平均低估损失最小，更靠近真实参数
	UMA置信上限	水平1-α的置信上限中，对所有\(\theta' > \theta\)，包含非真实参数的概率一致最小	单侧UMP检验（\(H_0:\theta=\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta<\theta_0\)）	平均高估损失最小，更靠近真实参数
核心对偶定理	充要条件	置信域是UMA ↔ 对应检验是UMP检验；置信域是UMAU ↔ 对应检验是UMPU检验	检验与置信域一一映射，事件、概率、优良性完全等价	无需重复推导，可直接由最优检验得到最优置信域
优良性定理	平均测度最小	UMA/UMAU置信域的平均测度（长度/体积），在同水平的同类置信域中一致最小	检验的功效最大，对应置信域的精度最高	直观体现为置信区间的平均长度最短，估计精度最高
实际应用	典型场景	1. 单调似然比分布族的单侧置信限（UMA）；2. 正态总体单侧Z/t检验对应的置信限（UMA）；3. 正态总体双侧t/卡方/F检验对应的置信区间（UMAU）；4. 均匀分布参数的双侧置信区间（UMAU）	直接复用第六章的最优检验结果，通过对偶关系直接得到最优置信域	大幅简化区间估计的推导，保证估计的最优性

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例7.2.3 完整讲解与详细推导

本例是置信域与假设检验对偶关系的核心应用案例，完整展示了如何从最优假设检验（UMPT/UMPUT）推导对应的最优置信域（UMA置信下限/UMAU置信区间），我们将补全课本省略的理论依据、推导细节与直观解释。

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一、前置基础回顾

1. 分布设定与核心统计量

设\(X_1,X_2,\dots,X_n\)独立同分布，\(X_1 \sim \Gamma(1/\theta,1)\)，本质是均值为\(\theta\)的指数分布，其概率密度为：

\[f(x,\theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x>0, \theta>0 \]

样本的联合分布为指数族分布：

\[f(x,\theta) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n \exp\left\{ -\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i \right\} \]

定义充分统计量\(T = T(X) = \sum_{i=1}^n X_i\)，由伽马分布的可加性，\(T \sim \Gamma(n, \theta)\)，做尺度变换后可得核心分布结论：

\[\frac{2T}{\theta} \sim \chi^2(2n) \]

（卡方分布的自由度为\(2n\)，该结论是后续所有推导的核心）

2. 对偶关系核心准则

根据定理7.2.1，最优置信域与最优假设检验一一对应：

• 单侧UMA置信限 ↔ 单侧假设检验的UMPT（一致最优检验）
• 双侧UMAU置信区间 ↔ 双侧假设检验的UMPUT（一致最优无偏检验）

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二、θ的水平1-α UMA置信下限 完整推导

1. 对应假设检验问题

UMA置信下限对应右侧单侧检验：

\[H_0: \theta = \theta_0 \longleftrightarrow H_1: \theta > \theta_0 \]

我们需要先证明该检验存在UMPT，再通过对偶关系反解得到置信下限。

2. UMPT的存在性与拒绝域

样本联合分布为单参数指数族，可写为标准形式：

\[f(x,\theta) = \exp\left\{ -\frac{1}{\theta} T(X) - n\ln\theta \right\} \]

其中自然参数\(Q(\theta) = -1/\theta\)是关于\(\theta\)的严格增函数，因此该分布是关于\(T(X)\)的单调似然比分布族。

根据Neyman-Pearson引理的推广，单调似然比分布族的单侧检验存在UMPT，拒绝域形式为：

\[R^+ = \{ T > c \} \]

3. 检验临界值与接受域

由\(\frac{2T}{\theta_0} \sim \chi^2(2n)\)，结合显著性水平\(\alpha\)的要求，拒绝域满足：

\[P_{\theta_0}\left\{ \frac{2T}{\theta_0} > \chi^2(2n, 1-\alpha) \right\} = \alpha \]

其中\(\chi^2(2n, 1-\alpha)\)是自由度为\(2n\)的卡方分布的下侧\(1-\alpha\)分位数。

因此，原假设的接受域为：

\[A(\theta_0) = \left\{ \frac{2T}{\theta_0} \leq \chi^2(2n, 1-\alpha) \right\} \]

满足\(P_{\theta_0}\{X \in A(\theta_0)\} = 1-\alpha\)。

4. 对偶反解得到UMA置信下限

对接受域的不等式做等价变形（\(\theta_0>0, T>0\)，不等号方向不变）：

\[\frac{2T}{\theta_0} \leq \chi^2(2n, 1-\alpha) \iff \theta_0 \geq \frac{2T}{\chi^2(2n, 1-\alpha)} \]

根据置信域的定义，\(\theta\)的水平\(1-\alpha\)的置信下限为：

\[\underline{\theta}(X) = \frac{2T}{\chi^2(2n, 1-\alpha)} \]

对应的单侧置信区间为\(\left[ \frac{2T}{\chi^2(2n, 1-\alpha)}, +\infty \right)\)。

5. 最优性说明

由于该检验是水平\(\alpha\)的UMPT（所有同水平检验中功效最大），根据对偶定理，对应的置信下限是水平1-α的UMA置信下限，即所有同水平置信下限中，包含非真实参数\(\theta'<\theta\)的概率一致最小，平均低估损失最小。

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三、θ的水平1-α UMAU置信区间 完整推导

1. 对应假设检验问题

UMAU（一致最准确无偏）置信区间对应双侧检验：

\[H_0: \theta = \theta_0 \longleftrightarrow H_1: \theta \neq \theta_0 \]

对于指数族的双侧检验，不存在UMPT，但存在UMPUT（一致最优无偏检验），对应的置信域即为UMAU置信区间。

2. UMPUT的存在性与接受域形式

根据单参数指数族双侧无偏检验的核心定理（课本定理6.4.4），该检验的UMPUT拒绝域形式为：

\[R^+ = \{ T < k_1 \text{ 或 } T > k_2 \} \]

对应的接受域为：

\[A(\theta_0) = \{ k_1 < T < k_2 \} \]

3. 接受域的分布变换

利用核心分布结论\(\frac{2T}{\theta_0} \sim \chi^2(2n)\)，令\(Y = \frac{2T}{\theta_0}\)，则接受域可等价变换为：

\[A(\theta_0) = \left\{ c_1 < \frac{2T}{\theta_0} < c_2 \right\} \]

其中\(c_1 = \frac{2k_1}{\theta_0}\)，\(c_2 = \frac{2k_2}{\theta_0}\)，\(Y \sim \chi^2(2n)\)。

4. 对偶反解得到置信区间形式

对接受域的不等式做双向等价变形：

1. 左侧不等式：\(c_1 < \frac{2T}{\theta_0} \implies \theta_0 < \frac{2T}{c_1}\)
2. 右侧不等式：\(\frac{2T}{\theta_0} < c_2 \implies \theta_0 > \frac{2T}{c_2}\)

合并后得到：

\[\frac{2T}{c_2} < \theta_0 < \frac{2T}{c_1} \]

因此置信区间的形式为：

\[C(X) = \left\{ \theta: \frac{2T}{c_2} < \theta < \frac{2T}{c_1} \right\} \]

5. 临界值\(c_1,c_2\)的确定（无偏检验条件）

UMPUT的临界值需满足无偏检验的两个核心条件，我们补全其推导过程：

条件1：水平条件（检验的显著性水平为α）

检验函数\(\phi(X)\)在拒绝域取1，接受域取0，因此水平条件为：

\[E_{\theta_0}[\phi(X)] = P_{\theta_0}(拒绝H_0 | H_0为真) = \alpha \]

对应接受域的概率为：

\[E_{\theta_0}[1-\phi(X)] = P_{\theta_0}(c_1 < Y < c_2) = \int_{c_1}^{c_2} \chi^2(2n,y) dy = 1-\alpha \]

其中\(\chi^2(2n,y)\)是自由度为\(2n\)的卡方分布的概率密度函数。

条件2：无偏性条件（功效函数在θ₀处导数为0）

无偏检验要求备择假设下的功效\(\beta(\theta) \geq \alpha\)，即功效函数在\(\theta=\theta_0\)处取得最小值，因此导数\(\beta'(\theta_0)=0\)。

对指数族的功效函数求导，最终可推导出无偏性的等价条件：

\[E_{\theta_0}[\phi(X) T(X)] = \alpha E_{\theta_0}[T(X)] \]

变换为接受域的形式（两边乘\(2/\theta_0\)，整理后）：

\[E_{\theta_0}\left[ (1-\phi(X)) \cdot \frac{2T}{\theta_0} \right] = (1-\alpha) E_{\theta_0}\left[ \frac{2T}{\theta_0} \right] \]

由于\(Y=\frac{2T}{\theta_0} \sim \chi^2(2n)\)，\(E[Y]=2n\)，因此上式可写为积分形式：

\[\int_{c_1}^{c_2} y \cdot \chi^2(2n,y) dy = 2n(1-\alpha) \]

最终定解方程组

临界值\(c_1,c_2\)需联立求解以下积分方程组：

\[\begin{cases} \displaystyle \int_{c_1}^{c_2} \chi^2(2n,y) dy = 1-\alpha \\ \displaystyle \int_{c_1}^{c_2} y \cdot \chi^2(2n,y) dy = 2n(1-\alpha) \end{cases} \]

解出\(c_1,c_2\)后，代入置信区间形式，即可得到严格的UMAU置信区间。

6. 实用近似：等尾置信区间

上述积分方程组无解析解，数值求解较为繁琐，因此实际应用中通常采用等尾置信区间作为近似：

\[\left[ \underline{\theta}(X), \bar{\theta}(X) \right] = \left[ \frac{2T}{\chi^2\left(2n, 1-\frac{\alpha}{2}\right)}, \frac{2T}{\chi^2\left(2n, \frac{\alpha}{2}\right)} \right] \]

近似说明

1. 构造逻辑：将显著性水平\(\alpha\)平均分配到卡方分布的两侧，即\(P(Y < \chi^2(2n, \alpha/2))=\alpha/2\)，\(P(Y > \chi^2(2n, 1-\alpha/2))=\alpha/2\)，对应\(c_1=\chi^2(2n, \alpha/2)\)，\(c_2=\chi^2(2n, 1-\alpha/2)\)。
2. 最优性：该区间由水平\(1-\alpha/2\)的UMA置信下限和UMA置信上限构成，是无偏置信区间，样本量较大时与严格UMAU置信区间几乎一致，且可直接通过卡方分布表查询分位数，计算便捷。

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四、数值示例（直观理解）

设样本量\(n=5\)，显著性水平\(\alpha=0.05\)，样本和\(T=\sum_{i=1}^5 X_i=20\)，则\(2T=40\)，自由度\(2n=10\)。

1. 95% UMA置信下限：\(\chi^2(10, 0.95)=18.307\)，因此\(\underline{\theta}=40/18.307 \approx 2.185\)，置信区间为\([2.185, +\infty)\)。
2. 95% 等尾UMAU置信区间：\(\chi^2(10, 0.975)=20.483\)，\(\chi^2(10, 0.025)=3.247\)，因此置信区间为\([40/20.483, 40/3.247] \approx [1.953, 12.319]\)。

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五、核心结论归纳表

置信域类型	对应假设检验	最优检验类型	置信域表达式	核心特点
UMA置信下限	\(H_0:\theta=\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta>\theta_0\)	UMPT（一致最优检验）	\(\left[ \displaystyle \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{\chi^2(2n, 1-\alpha)}, +\infty \right)\)	包含非真实参数的概率一致最小，平均低估损失最小
严格UMAU置信区间	\(H_0:\theta=\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta \neq \theta_0\)	UMPUT（一致最优无偏检验）	\(\left( \displaystyle \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{c_2}, \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{c_1} \right)\)，\(c_1,c_2由无偏检验方程组确定\)	无偏置信域中平均长度最短，包含非真实参数的概率最小
实用等尾置信区间	双侧检验	近似无偏检验	\(\left[ \displaystyle \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{\chi^2(2n, 1-\alpha/2)}, \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{\chi^2(2n, \alpha/2)} \right]\)	计算便捷，大样本下与严格UMAU区间一致，工程应用最广

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六、本例核心启示

1. 单侧置信限的最优性极易获得：单调似然比分布族的单侧检验存在UMPT，直接通过对偶关系即可得到UMA置信限，无需额外推导。
2. 双侧最优置信区间的难点在于临界值求解：指数族双侧检验的UMPUT需要求解积分方程组，实际应用中通常用等尾区间近似。
3. 对偶关系的核心价值：无需重复推导区间估计的最优性，直接复用假设检验的最优性结论，即可得到对应的最优置信域，大幅简化了统计推断的流程。