7.2.1假设检验与置信域的对偶关系

假设检验与置信域的对偶关系 详细讲解与推导

一、前置核心概念铺垫

在正式讲解对偶关系前，先明确两个模块的基础定义，这是理解对偶性的前提：

1. 假设检验的核心要素

• 原假设 \(H_0: \theta = \theta_0\)，备择假设 \(H_1: \theta \in \Theta_1\)（\(\theta_0 \notin \Theta_1\)，可双侧/单侧）；
• 显著性水平 \(\alpha\)：犯第一类错误（弃真）的概率上限，即 \(P_{\theta_0}\{拒绝H_0 | H_0为真\} \leq \alpha\)；
• 否定域（拒绝域）\(R(\theta_0)\)：样本空间中拒绝 \(H_0\) 的样本集合，满足 \(P_{\theta_0}\{X \in R(\theta_0)\} \leq \alpha\)；
• 接受域 \(A(\theta_0)\)：样本空间中不拒绝 \(H_0\) 的样本集合，\(A(\theta_0) = \overline{R(\theta_0)}\)，因此 \(P_{\theta_0}\{X \in A(\theta_0)\} \geq 1-\alpha\)。

2. 置信域（置信区间）的核心定义

对于参数 \(\theta\)，给定置信水平 \(1-\alpha\)，若存在由样本 \(X\) 构造的集合 \(S(X)\)，使得对任意 \(\theta \in \Theta\)（参数空间），都有：

\[P_{\theta}\{\theta \in S(X)\} \geq 1-\alpha \]

则称 \(S(X)\) 是 \(\theta\) 的水平为 \(1-\alpha\) 的置信域；一维参数下，\(S(X)\) 通常为置信区间（双侧/单侧）。

3. 对偶性的核心本质

同一个概率不等式，存在两种等价视角：

• 假设检验视角：固定参数 \(\theta_0\)，判断样本是否落在接受域；
• 置信域视角：固定样本 \(X\)，判断参数是否落在置信集合。
  二者是同一事件的双向表述，形成一一对应的对偶关系。

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二、典型例题详细推导（例7.2.1）

我们先通过具体例题，直观理解“从假设检验接受域推导置信域”的完整过程，再推广到一般情形。

步骤1：明确题目设定

设 \(X_1,X_2,\dots,X_n\) 独立同分布，\(X_1 \sim \Gamma\left(\frac{1}{\theta}, 1\right)\)（本质为均值为 \(\theta\) 的指数分布，属于伽马分布特例），待检验单侧假设：

\[H_0: \theta = \theta_0 \longleftrightarrow H_1: \theta > \theta_0 \]

显著性水平为 \(\alpha\)。

步骤2：写出联合分布，确定充分统计量

样本的联合概率密度为：

\[f(x,\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i,\theta) = \left(\frac{1}{\theta}\right)^n \exp\left\{ -\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n x_i \right\}, \quad x_i>0, \theta>0 \]

根据因子分解定理，充分统计量为 \(T = \sum_{i=1}^n X_i\)，且该分布是关于 \(T\) 的单调似然比分布族，因此单侧检验的拒绝域形式为 \(T > c\)。

步骤3：确定检验统计量的分布

利用伽马分布的可加性与尺度变换性质：

1. 独立伽马变量的和仍为伽马分布，因此 \(T = \sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, \theta)\)（形状-尺度参数化）；
2. 卡方分布与伽马分布的关系：\(\chi^2(k) = \Gamma(k/2, 2)\)，因此对 \(T\) 做尺度变换：

\[\frac{2T}{\theta} \sim \Gamma(n, 2) = \chi^2(2n) \]

该变换对任意 \(\theta>0\) 均成立，是后续推导的核心。

步骤4：确定假设检验的接受域

在原假设 \(H_0: \theta=\theta_0\) 成立时，\(\frac{2T}{\theta_0} \sim \chi^2(2n)\)。
根据显著性水平 \(\alpha\) 的要求，拒绝域满足：

\[P_{\theta_0}\left\{ \frac{2T}{\theta_0} > \chi^2(2n, 1-\alpha) \right\} = \alpha \]

其中 \(\chi^2(2n, 1-\alpha)\) 是自由度为 \(2n\) 的卡方分布的下侧 \(1-\alpha\) 分位数（即 \(P\{\chi^2(2n) \leq \chi^2(2n,1-\alpha)\}=1-\alpha\)）。

因此，原假设的接受域为：

\[P_{\theta_0}\left\{ \frac{2T}{\theta_0} \leq \chi^2(2n, 1-\alpha) \right\} = 1-\alpha \]

步骤5：从接受域反解置信域

上述概率等式对任意 \(\theta \in \Theta\) 都成立（因为 \(\frac{2T}{\theta} \sim \chi^2(2n)\) 与 \(\theta\) 的具体取值无关），因此将 \(\theta_0\) 替换为任意 \(\theta\)，得到：

\[P_{\theta}\left\{ \frac{2T}{\theta} \leq \chi^2(2n, 1-\alpha) \right\} = 1-\alpha \]

接下来对不等式做等价变形（反解）：
由于 \(\theta>0\)、\(\chi^2(2n,1-\alpha)>0\)、\(T>0\)，不等式两边同乘 \(\theta\) 再同除 \(\chi^2(2n,1-\alpha)\)，不等号方向不变：

\[\frac{2T}{\chi^2(2n, 1-\alpha)} \leq \theta \]

因此概率等式等价于：

\[P_{\theta}\left\{ \frac{2T}{\chi^2(2n, 1-\alpha)} \leq \theta \right\} = 1-\alpha \]

根据置信域的定义，\(\theta\) 的水平为 \(1-\alpha\) 的置信下界为：

\[\underline{\theta}(X) = \frac{2T}{\chi^2(2n, 1-\alpha)} \]

对应的单侧置信区间为 \(\left[ \frac{2T}{\chi^2(2n, 1-\alpha)}, +\infty \right)\)。

至此，我们完成了从“假设检验接受域”到“参数置信域”的完整推导。

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三、对偶关系的一般化严格证明

我们将例题的逻辑推广到一般情形，分双向完成严格证明，完整阐述对偶关系的普适性。

方向1：由假设检验的接受域构造参数的置信域

已知条件

1. 对假设检验问题 \(H_0: \theta = \theta_0 \longleftrightarrow H_1: \theta \in \Theta_1\)，给定显著性水平 \(\alpha\)，接受域 \(A(\theta_0) = \overline{R(\theta_0)}\) 满足：

\[P_{\theta_0}\{ X \in A(\theta_0) \} \geq 1-\alpha \]

2. 上述不等式对任意 \(\theta_0 \in \Theta\) 都成立；
3. 事件 \(\{ X \in A(\theta_0) \}\) 可双向反解，即 \(X \in A(\theta_0) \iff \theta_0 \in S(X)\)，其中 \(S(X)\) 是由样本 \(X\) 决定的参数集合。

证明过程

1. 对任意 \(\theta \in \Theta\)，由已知条件得 \(P_{\theta}\{ X \in A(\theta) \} \geq 1-\alpha\)；
2. 由事件的等价性，\(\{ X \in A(\theta) \}\) 与 \(\{ \theta \in S(X) \}\) 是同一事件，因此二者概率相等：

\[P_{\theta}\{ X \in A(\theta) \} = P_{\theta}\{ \theta \in S(X) \} \]

3. 联立得：

\[P_{\theta}\{ \theta \in S(X) \} \geq 1-\alpha, \quad \forall \theta \in \Theta \]

4. 根据置信域的定义，\(S(X)\) 就是参数 \(\theta\) 的水平为 \(1-\alpha\) 的置信域。

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方向2：由参数的置信域构造假设检验的接受域与否定域

已知条件

1. \(S(X)\) 是参数 \(\theta\) 的水平为 \(1-\alpha\) 的置信域，即对任意 \(\theta \in \Theta\)，有：

\[P_{\theta}\{ \theta \in S(X) \} \geq 1-\alpha \]

2. 事件 \(\{ \theta \in S(X) \}\) 可双向反解，即 \(\theta \in S(X) \iff X \in A(\theta)\)。

证明过程

1. 对任意 \(\theta_0 \in \Theta\)，当 \(H_0: \theta = \theta_0\) 成立时，有：

\[P_{\theta_0}\{ \theta_0 \in S(X) \} \geq 1-\alpha \]

2. 由事件等价性，\(\{ \theta_0 \in S(X) \} = \{ X \in A(\theta_0) \}\)，因此：

\[P_{\theta_0}\{ X \in A(\theta_0) \} \geq 1-\alpha \]

3. 对补集（否定域），有：

\[P_{\theta_0}\{ X \in \overline{A(\theta_0)} \} = 1 - P_{\theta_0}\{ X \in A(\theta_0) \} \leq \alpha \]

4. 根据假设检验的定义，\(\overline{A(\theta_0)}\) 是 \(H_0: \theta = \theta_0 \longleftrightarrow H_1: \theta \in \Theta_1\) 的水平为 \(\alpha\) 的否定域，\(A(\theta_0)\) 为对应的接受域。
5. 对应的非随机化检验函数为：

\[\phi(x, \theta_0) = \begin{cases} 1, & x \in \overline{A(\theta_0)} \quad (\text{拒绝} H_0) \\ 0, & x \in A(\theta_0) \quad (\text{接受} H_0) \end{cases}\]

该检验的第一类错误概率满足显著性水平要求。

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四、核心内涵与关键补充说明

1. 反解的核心地位：对偶关系成立的关键是事件可双向反解，即 \(X \in A(\theta) \iff \theta \in S(X)\)。实际应用中，通常通过检验统计量实现反解，将“关于样本的不等式”转化为“关于参数的不等式”。
2. 单侧/双侧的一一对应：
   • 双侧检验 \(H_0:\theta=\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta \neq \theta_0\) → 双侧置信区间；
   • 单侧检验 \(H_0:\theta=\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta > \theta_0\) → 单侧置信下界；
   • 单侧检验 \(H_0:\theta=\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta < \theta_0\) → 单侧置信上界。
3. 最优性的对应：假设检验的一致最优检验（UMP），与置信域的一致最准确置信域（UMA）一一对应；UMP检验通过对偶关系得到的置信域，就是UMA置信域。
4. 适用范围限制：非随机化检验主要适用于连续型分布；离散型分布通常需要随机化检验才能精确达到显著性水平，与置信域的关系更复杂，实际应用较少。
5. 实际应用价值：正态总体参数的Z检验、t检验、卡方检验、F检验，以及似然比检验，都可通过对偶关系直接得到对应的置信域，无需重复推导，大幅简化了区间估计的计算过程。

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五、知识点归纳总结表

对比维度	假设检验（显著性水平 \(\alpha\)）	置信域/置信区间（置信水平 \(1-\alpha\)）
核心问题	验证参数是否等于给定值 \(\theta_0\)，对假设做出判断	估计参数的取值范围，给出包含真实参数的集合
核心概率表述	固定参数 \(\theta=\theta_0\)，样本落在接受域的概率≥\(1-\alpha\)： \(P_{\theta_0}\{X \in A(\theta_0)\} \geq 1-\alpha\)	固定样本 \(X\)，参数落在置信域的概率≥\(1-\alpha\)： \(P_{\theta}\{\theta \in S(X)\} \geq 1-\alpha\)
核心集合定义	接受域 \(A(\theta_0)\)：不拒绝 \(H_0\) 的样本集合； 否定域 \(R(\theta_0)=\overline{A(\theta_0)}\)：拒绝 \(H_0\) 的样本集合	置信域 \(S(X)\)：由样本构造的参数集合，一维下为置信区间（双侧/单侧）
对偶等价关系	事件等价：\(X \in A(\theta) \iff \theta \in S(X)\)	事件等价：\(\theta \in S(X) \iff X \in A(\theta)\)
构造逻辑	给定置信域 \(S(X)\)，反解得到接受域 \(A(\theta_0)=\{X: \theta_0 \in S(X)\}\)，否定域为 \(\overline{A(\theta_0)}\)	给定接受域 \(A(\theta)\)，反解得到置信域 \(S(X)=\{\theta: X \in A(\theta)\}\)，验证置信水平要求
单侧/双侧对应	双侧检验 \(H_0:\theta=\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta \neq \theta_0\)	双侧置信区间 \([\underline{\theta}, \bar{\theta}]\)
	单侧检验 \(H_0:\theta=\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta > \theta_0\)	单侧置信下界 \([\underline{\theta}, +\infty)\)
	单侧检验 \(H_0:\theta=\theta_0 \leftrightarrow H_1:\theta < \theta_0\)	单侧置信上界 \((-\infty, \bar{\theta}]\)
最优性对应	一致最优检验（UMP检验）：水平为 \(\alpha\) 的检验中，备择假设下功效最大	一致最准确置信域（UMA置信域）：水平为 \(1-\alpha\) 的置信域中，覆盖错误参数的概率最小
核心约束	控制第一类错误概率不超过 \(\alpha\)	控制真实参数的覆盖概率不低于 \(1-\alpha\)
典型应用	正态总体的Z/t/卡方/F检验、似然比检验	正态总体参数的置信区间、似然置信域
实际判断规则	若 \(\theta_0\) 不在置信区间内，在显著性水平 \(\alpha\) 下拒绝 \(H_0\)	若在显著性水平 \(\alpha\) 下不拒绝 \(H_0\)，则 \(\theta_0\) 落在 \(1-\alpha\) 置信区间内

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例7.2.2 均匀分布R(0,θ)参数置信域推导 详细讲解与完整证明

一、前置基础知识点铺垫

在正式推导前，先明确本例核心用到的基础分布与统计量性质，补全课本省略的前置逻辑。

1. 均匀分布R(0,θ)的核心定义

设随机变量 \(X \sim R(0,\theta)\)（即区间\((0,\theta)\)上的均匀分布），其概率密度函数与分布函数为：

• 概率密度：\(f_X(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\theta}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{其他} \end{cases}\)
• 分布函数：\(F_X(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \displaystyle \frac{x}{\theta}, & 0 < x < \theta \\ 1, & x \geq \theta \end{cases}\)

2. 样本最大值\(X_{(n)}\)的分布推导

设\(X_1,X_2,\dots,X_n\)独立同分布于\(R(0,\theta)\)，定义次序统计量 \(X_{(n)} = \max\{X_1,X_2,\dots,X_n\}\)（样本最大值），它是本例的核心充分统计量，其分布推导如下：

样本最大值的分布函数，本质是所有样本都小于等于\(x\)的概率：

\[F_{X_{(n)}}(x) = P(X_{(n)} \leq x) = P(X_1 \leq x, X_2 \leq x, \dots, X_n \leq x) \]

由样本独立性，联合概率等于边缘概率的乘积，因此：

\[F_{X_{(n)}}(x) = \prod_{i=1}^n P(X_i \leq x) = \left[F_X(x)\right]^n \]

代入均匀分布的分布函数，得到\(X_{(n)}\)的完整分布：

• 分布函数：\(F_{X_{(n)}}(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \displaystyle \left( \frac{x}{\theta} \right)^n, & 0 < x < \theta \\ 1, & x \geq \theta \end{cases}\)
• 概率密度：\(f_{X_{(n)}}(x) = \frac{d}{dx}F_{X_{(n)}}(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{n x^{n-1}}{\theta^n}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{其他} \end{cases}\)

该分布仅与参数\(\theta\)和样本量\(n\)有关，是后续检验与置信域推导的核心基础。

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二、原假设检验问题的似然比检验完整推导

课本中直接给出了检验函数，这里补全其背后的似然比检验完整推导（对应课本例6.6.1），保证逻辑链条完整。

1. 检验问题设定

待检验双侧假设：

\[H_0: \theta = \theta_0 \longleftrightarrow H_1: \theta \neq \theta_0 \]

显著性水平为\(\alpha\)。

2. 似然函数与似然比统计量构造

样本的联合似然函数为：

\[L(\theta; x) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \begin{cases} \displaystyle \left( \frac{1}{\theta} \right)^n, & 0 < x_{(1)} \leq x_{(n)} < \theta \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \]

（注：仅当所有样本都小于\(\theta\)时，似然函数非零，否则为0）

似然比检验的核心是构造似然比统计量：

\[\lambda(x) = \frac{\sup_{\theta = \theta_0} L(\theta; x)}{\sup_{\theta > 0} L(\theta; x)} \]

• 分子：原假设下的似然函数最大值，即\(\theta=\theta_0\)时的似然值：
  当\(x_{(n)} < \theta_0\)时，\(L(\theta_0; x) = \left( \frac{1}{\theta_0} \right)^n\)；当\(x_{(n)} \geq \theta_0\)时，\(L(\theta_0; x)=0\)。
• 分母：全参数空间下的似然函数最大值：
  似然函数\(L(\theta;x)=\left( \frac{1}{\theta} \right)^n\)在\(\theta \geq x_{(n)}\)时是关于\(\theta\)的严格减函数，因此\(\theta\)越小，似然值越大，最大值在\(\theta\)的最小可行值\(\hat{\theta}=x_{(n)}\)处取得，即：
  \[\sup_{\theta > 0} L(\theta; x) = L(x_{(n)}; x) = \left( \frac{1}{x_{(n)}} \right)^n \]

因此，似然比统计量的最终形式为：

\[\lambda(x) = \begin{cases} \displaystyle \left( \frac{x_{(n)}}{\theta_0} \right)^n, & 0 < x_{(n)} < \theta_0 \\ 0, & x_{(n)} \geq \theta_0 \end{cases} \]

3. 拒绝域与检验函数推导

似然比检验的拒绝域规则为：\(\lambda(x) \leq c\)（\(c\)为临界值，满足\(P_{H_0}(\lambda(x) \leq c) = \alpha\)）。

对\(\lambda(x)\)分情况分析：

1. 当\(x_{(n)} \geq \theta_0\)时，\(\lambda(x)=0 \leq c\)，天然满足拒绝域条件；
2. 当\(0 < x_{(n)} < \theta_0\)时，\(\lambda(x)=\left( \frac{x_{(n)}}{\theta_0} \right)^n\)是关于\(x_{(n)}\)的严格增函数，因此\(\lambda(x) \leq c\)等价于：
   \[\left( \frac{x_{(n)}}{\theta_0} \right)^n \leq c \implies x_{(n)} \leq \theta_0 c^{1/n} \]

综上，拒绝域的形式为：

\[R = \{ x: x_{(n)} \geq \theta_0 \text{ 或 } x_{(n)} \leq \theta_0 c^{1/n} \} \]

接下来确定临界值\(c\)：
在\(H_0: \theta=\theta_0\)成立时，\(X_{(n)} < \theta_0\)几乎必然成立，因此\(P_{\theta_0}(X_{(n)} \geq \theta_0)=0\)，因此：

\[P_{\theta_0}(\text{拒绝}H_0) = P_{\theta_0}(X_{(n)} \leq \theta_0 c^{1/n}) = \alpha \]

代入\(H_0\)下\(X_{(n)}\)的分布函数：

\[P_{\theta_0}(X_{(n)} \leq \theta_0 c^{1/n}) = \left( \frac{\theta_0 c^{1/n}}{\theta_0} \right)^n = c = \alpha \]

因此临界值\(c=\alpha\)，最终拒绝域为：

\[R = \{ x: x_{(n)} \geq \theta_0 \text{ 或 } x_{(n)} \leq \theta_0 \alpha^{1/n} \} \]

对应的检验函数（拒绝\(H_0\)取1，接受\(H_0\)取0）为：

\[\phi(x) = \begin{cases} 1, & x_{(n)} \geq \theta_0 \text{ 或 } x_{(n)} \leq \theta_0 \alpha^{1/n} \\ 0, & \theta_0 \alpha^{1/n} < x_{(n)} < \theta_0 \end{cases} \]

与课本给出的结果完全一致。

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三、基于对偶关系的置信域完整推导

1. 接受域的确定与概率验证

接受域是拒绝域的补集，因此\(H_0\)的接受域为：

\[A(\theta_0) = \{ x: \theta_0 \alpha^{1/n} < x_{(n)} < \theta_0 \} \]

根据显著性水平的定义，接受域满足：

\[P_{\theta_0}\{ X \in A(\theta_0) \} = 1 - \alpha \]

我们用\(X_{(n)}\)的分布严格验证该式：

\[P_{\theta_0}\{ \theta_0 \alpha^{1/n} < X_{(n)} < \theta_0 \} = F_{X_{(n)}}(\theta_0) - F_{X_{(n)}}(\theta_0 \alpha^{1/n}) \]

代入分布函数，\(F_{X_{(n)}}(\theta_0)=1\)，\(F_{X_{(n)}}(\theta_0 \alpha^{1/n}) = \left( \frac{\theta_0 \alpha^{1/n}}{\theta_0} \right)^n = \alpha\)，因此：

\[P_{\theta_0}\{ \theta_0 \alpha^{1/n} < X_{(n)} < \theta_0 \} = 1 - \alpha \]

关键性质：该概率等式对任意\(\theta>0\)都成立，而非仅对\(\theta_0\)成立。因为无论\(\theta\)取何正值，\(X_{(n)}\)的分布形式始终为\(\left( \frac{x}{\theta} \right)^n\)，因此将\(\theta_0\)替换为任意\(\theta\)，等式依然成立：

\[P_{\theta}\{ \theta \alpha^{1/n} < X_{(n)} < \theta \} = 1 - \alpha \]

2. 不等式的等价反解（对偶关系核心）

假设检验与置信域的对偶关系，本质是事件的等价变形：将“固定\(\theta\)，关于样本\(X_{(n)}\)的不等式”，转化为“固定样本\(X_{(n)}\)，关于参数\(\theta\)的不等式”。

我们对原不等式\(\theta \alpha^{1/n} < X_{(n)} < \theta\)做双向等价变形（\(\theta>0, X_{(n)}>0, \alpha^{1/n}>0\)，不等号方向不变）：

1. 拆分复合不等式为两部分：

   • 右侧不等式：\(X_{(n)} < \theta\)，直接等价于\(\theta > X_{(n)}\)；
   • 左侧不等式：\(\theta \alpha^{1/n} < X_{(n)}\)，两边同时除以正数\(\alpha^{1/n}\)，等价于\(\theta < \frac{X_{(n)}}{\alpha^{1/n}}\)。

2. 合并两个等价不等式，原事件与以下事件完全等价：

   \[\theta \alpha^{1/n} < X_{(n)} < \theta \iff X_{(n)} < \theta < \frac{X_{(n)}}{\alpha^{1/n}} \]

因此，二者的概率完全相等：

\[P_{\theta}\left\{ X_{(n)} < \theta < \frac{X_{(n)}}{\alpha^{1/n}} \right\} = 1 - \alpha \]

3. 置信区间的确定

根据置信域的定义：若对任意\(\theta \in \Theta\)，有\(P_{\theta}\{ \theta \in S(X) \} \geq 1-\alpha\)，则\(S(X)\)为\(\theta\)的水平\(1-\alpha\)的置信域。

本例中我们得到了精确的等式，因此\(\theta\)的水平\(1-\alpha\)的双侧置信区间为：

\[\left[ \underline{\theta}(X), \bar{\theta}(X) \right] = \left[ X_{(n)}, \frac{X_{(n)}}{\alpha^{1/n}} \right] \]

其中：

• 置信下限\(\underline{\theta}(X) = X_{(n)}\)
• 置信上限\(\bar{\theta}(X) = \frac{X_{(n)}}{\alpha^{1/n}}\)

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四、结果验证与方法对比

1. 置信水平的直观验证

举一个数值例子验证：设样本量\(n=5\)，显著性水平\(\alpha=0.05\)，则\(\alpha^{1/5} \approx 0.5493\)，置信上限为\(\frac{X_{(n)}}{0.5493} \approx 1.8206 X_{(n)}\)，置信区间为\([X_{(n)}, 1.8206 X_{(n)}]\)。

直观上，均匀分布\(R(0,\theta)\)的参数\(\theta\)必然大于所有样本，因此置信下限为样本最大值符合直觉；样本量\(n\)越大，\(\alpha^{1/n}\)越接近1，置信上限越接近\(X_{(n)}\)，区间越窄，符合“样本量越大，估计精度越高”的统计规律。

2. 与枢轴量法的一致性说明

课本提到“结果与枢轴量法完全一致”，这里做简要验证：
构造枢轴量\(T = \frac{X_{(n)}}{\theta}\)，其分布函数为：

\[P(T \leq t) = P\left( \frac{X_{(n)}}{\theta} \leq t \right) = P(X_{(n)} \leq \theta t) = \left( \frac{\theta t}{\theta} \right)^n = t^n, \quad 0<t<1 \]

该分布与参数\(\theta\)无关，因此\(T\)是枢轴量。

为得到最短置信区间，取\(c_2=1\)（\(T\)的密度在\(t=1\)处最大），令\(P(T \leq c_1)=\alpha\)，得\(c_1^n=\alpha\)，即\(c_1=\alpha^{1/n}\)，因此：

\[P\left( \alpha^{1/n} < \frac{X_{(n)}}{\theta} < 1 \right) = 1 - \alpha \]

反解后得到的置信区间与本例完全一致，验证了对偶关系方法的正确性。

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五、本例核心要点总结

1. 对偶关系的完美体现：本例完整展示了“双侧假设检验的接受域”与“双侧置信区间”的一一对应关系，无需重新构造枢轴量，仅通过接受域的等价反解，即可直接得到参数的精确置信区间。
2. 充分统计量的核心作用：均匀分布\(R(0,\theta)\)的参数\(\theta\)的所有信息都包含在样本最大值\(X_{(n)}\)中，因此无论是假设检验还是区间估计，都仅需用到\(X_{(n)}\)，大幅简化了推导过程。
3. 方法的普适性：该方法可推广到任意分布的参数估计——只要完成了参数的假设检验推导，就可通过对偶关系直接得到对应的置信域，是区间估计的通用高效方法。
4. 结果的精确性：本例得到的是精确置信区间（置信水平严格等于\(1-\alpha\)），而非近似区间，适用于小样本场景。