7.1.5单调似然比分布族参数的区间估计

单调似然比分布族参数的区间估计 深度讲解与完整证明

作为深耕数理统计领域多年的研究员，我将从方法背景、前置概念、定理拆解、逐步骤严格证明、应用场景、误区澄清、结构化总结七个维度，完整讲解该定理的核心逻辑与应用价值。该定理是离散型分布（二项、泊松等）参数区间估计的核心理论，完美解决了离散分布无法构造精确枢轴量的痛点，是数理统计中区间估计的重要补充。

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一、方法背景与前置核心概念

1. 为什么需要这个定理？

前序讲解的枢轴量法，仅能在连续型分布、存在精确分布已知的枢轴量的场景下，得到参数的精确置信区间。但对于离散型分布（如二项分布、泊松分布、负二项分布），无法构造分布完全已知且与参数无关的精确枢轴量，此时就需要本定理——通过分布函数的单调性，直接构造参数的保守置信区间（覆盖概率≥名义置信水平）。

同时，该定理的适用核心是单调似然比分布族，这是指数族分布的核心性质，绝大多数常用的参数分布族都满足该性质，因此该定理具有极强的普适性。

2. 前置核心概念

(1) 单调似然比分布族（MLR分布族）

设一维参数分布族\(\{f(x,\theta), \theta \in \Theta \subset \mathbb{R}\}\)，若存在统计量\(T=T(X)\)，使得对任意\(\theta_1 < \theta_2\)，似然比

\[\frac{f(x,\theta_2)}{f(x,\theta_1)} \]

是\(T(x)\)的非降（或非增）函数，则称该分布族关于统计量\(T\)具有单调似然比（Monotone Likelihood Ratio, MLR）。

常见MLR分布族示例：

• 二项分布\(b(n,p)\)：关于\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)具有MLR；
• 泊松分布\(P(\lambda)\)：关于\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)具有MLR；
• 指数分布\(\text{Exp}(\lambda)\)：关于\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)具有MLR；
• 正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)（\(\sigma^2\)已知）：关于\(T=\bar{X}\)具有MLR。

(2) MLR分布族的核心性质

对于关于\(T\)的MLR分布族，统计量\(T\)的分布函数\(F_T(t;\theta) = P_\theta(T \leq t)\)，对任意固定的\(t\)，是\(\theta\)的单调递减函数。

直观解释：\(\theta\)越大，MLR分布族中\(T\)取大值的概率越高，因此\(T\)小于等于固定值\(t\)的概率\(F_T(t;\theta)\)就越小，即\(F_T(t;\theta)\)随\(\theta\)增大而减小，这是本定理成立的核心前提。

(3) 分布函数的左极限

对于随机变量\(T\)的分布函数\(F_T(t) = P(T \leq t)\)，定义其左极限：

\[F_T(t-0) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} F_T(t-\varepsilon) = P(T < t) \]

• 连续型分布：\(F_T(t-0) = F_T(t)\)，二者无区别；
• 离散型分布：\(F_T(t-0) \neq F_T(t)\)，二者的差值为\(P(T=t)\)，这是离散型分布区间估计必须区分二者的核心原因。

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二、定理7.1.1 完整拆解与逐步骤证明

定理7.1.1 完整表述

设总体\(X \sim f(x,\theta), \theta \in \Theta \subset \mathbb{R}\)，统计量\(T=T(X)\)的分布函数记为\(F_T(t;\theta) = P_\theta(T \leq t)\)，左极限\(F_T(t-0;\theta) = P_\theta(T < t)\)。

(1) 置信上下限的存在性

若对任意固定的\(t\)，\(F_T(t;\theta)\)和\(F_T(t-0;\theta)\)均为\(\theta\)的减函数，定义：

\[\overline{\theta}(t) = \sup\left\{ \theta: F_T(t;\theta) \geq \alpha \right\}, \quad \underline{\theta}(t) = \inf\left\{ \theta: F_T(t-0;\theta) \leq 1-\alpha \right\} \]

则\(\overline{\theta}(T)\)和\(\underline{\theta}(T)\)分别为参数\(\theta\)的置信水平为\(1-\alpha\)的置信上限、置信下限。

(2) 严格单调连续下的唯一解

若对任意固定的\(t\)，在\(0 < F_T(t;\theta) < 1\)的范围内，\(F_T(t;\theta)\)和\(F_T(t-0;\theta)\)为\(\theta\)的严格减函数且处处连续，则：

• 置信上限\(\overline{\theta}=\overline{\theta}(T)\)满足方程：\(F_T(t;\overline{\theta}) = \alpha\)；
• 置信下限\(\underline{\theta}=\underline{\theta}(T)\)满足方程：\(F_T(t-0;\underline{\theta}) = 1-\alpha\)；
• 方程的解唯一，且\(\theta\)的置信水平为\(1-\alpha\)的双侧置信区间\([\underline{\theta}(T), \overline{\theta}(T)]\)满足方程：
  \[F_T(t;\overline{\theta}) = \frac{\alpha}{2}, \quad F_T(t-0;\underline{\theta}) = 1-\frac{\alpha}{2} \]

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定理的完整证明

第一部分：证明(1)中\(\overline{\theta}(T)\)是水平\(1-\alpha\)的置信上限

我们需要证明：对任意\(\theta \in \Theta\)，有\(P_\theta\left\{ \theta \leq \overline{\theta}(T) \right\} \geq 1-\alpha\)。

步骤1：证明事件等价性

已知\(F_T(t;\theta)\)是\(\theta\)的减函数，结合\(\overline{\theta}(t)\)的定义，对固定的\(t\)，有如下逻辑：

• 若\(\theta \leq \overline{\theta}(t)\)：因\(F_T(t;\cdot)\)是减函数，自变量越小，函数值越大，故\(F_T(t;\theta) \geq F_T(t;\overline{\theta}(t))\)；而\(\overline{\theta}(t)\)是满足\(F_T(t;\theta) \geq \alpha\)的\(\theta\)的上确界，故\(F_T(t;\overline{\theta}(t)) \geq \alpha\)，因此\(F_T(t;\theta) \geq \alpha\)。
• 若\(\theta > \overline{\theta}(t)\)：由上确界的定义，所有大于\(\overline{\theta}(t)\)的\(\theta\)都不满足\(F_T(t;\theta) \geq \alpha\)，故\(F_T(t;\theta) < \alpha\)。

综上，事件\(\{ \theta \leq \overline{\theta}(T) \}\)与事件\(\{ F_T(T;\theta) \geq \alpha \}\)完全等价，即：

\[P_\theta\left\{ \theta \leq \overline{\theta}(T) \right\} = P_\theta\left\{ F_T(T;\theta) \geq \alpha \right\} \]

步骤2：利用分位数性质计算概率

对任意随机变量\(T\)的分布函数\(F_T(t;\theta)\)，定义其\(\alpha\)分位数：

\[t_\alpha = \inf\left\{ t: F_T(t;\theta) \geq \alpha \right\} \]

根据分布函数与分位数的核心性质：\(F_T(t;\theta) \geq \alpha\) 等价于 \(t \geq t_\alpha\)。

因此，事件\(\{ F_T(T;\theta) \geq \alpha \}\)等价于\(\{ T \geq t_\alpha \}\)，代入概率得：

\[P_\theta\left\{ F_T(T;\theta) \geq \alpha \right\} = P_\theta\left\{ T \geq t_\alpha \right\} = 1 - P_\theta\left\{ T < t_\alpha \right\} = 1 - F_T(t_\alpha - 0;\theta) \]

步骤3：证明概率下界

根据分位数的基本性质：对任意\(p \in (0,1)\)，分布函数的\(p\)分位数\(t_p\)满足\(F_T(t_p - 0;\theta) \leq p\)。
此处\(p=\alpha\)，因此\(F_T(t_\alpha - 0;\theta) \leq \alpha\)，代入上式得：

\[1 - F_T(t_\alpha - 0;\theta) \geq 1 - \alpha \]

综上，\(P_\theta\left\{ \theta \leq \overline{\theta}(T) \right\} \geq 1-\alpha\)，即\(\overline{\theta}(T)\)是\(\theta\)的水平\(1-\alpha\)的置信上限，证明完毕。

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第二部分：证明(1)中\(\underline{\theta}(T)\)是水平\(1-\alpha\)的置信下限

我们需要证明：对任意\(\theta \in \Theta\)，有\(P_\theta\left\{ \theta \geq \underline{\theta}(T) \right\} \geq 1-\alpha\)，证明逻辑与置信上限对称。

步骤1：证明事件等价性

已知\(F_T(t-0;\theta)\)是\(\theta\)的减函数，结合\(\underline{\theta}(t)\)的定义，对固定的\(t\)：

• 若\(\theta \geq \underline{\theta}(t)\)：因\(F_T(t-0;\cdot)\)是减函数，自变量越大，函数值越小，故\(F_T(t-0;\theta) \leq F_T(t-0;\underline{\theta}(t))\)；而\(\underline{\theta}(t)\)是满足\(F_T(t-0;\theta) \leq 1-\alpha\)的\(\theta\)的下确界，故\(F_T(t-0;\underline{\theta}(t)) \leq 1-\alpha\)，因此\(F_T(t-0;\theta) \leq 1-\alpha\)。
• 若\(\theta < \underline{\theta}(t)\)：由下确界的定义，所有小于\(\underline{\theta}(t)\)的\(\theta\)都不满足\(F_T(t-0;\theta) \leq 1-\alpha\)，故\(F_T(t-0;\theta) > 1-\alpha\)。

综上，事件\(\{ \theta \geq \underline{\theta}(T) \}\)与事件\(\{ F_T(T-0;\theta) \leq 1-\alpha \}\)完全等价，即：

\[P_\theta\left\{ \theta \geq \underline{\theta}(T) \right\} = P_\theta\left\{ F_T(T-0;\theta) \leq 1-\alpha \right\} \]

步骤2：利用分位数性质证明概率下界

定义\(F_T(t;\theta)\)的\(1-\alpha\)分位数：

\[t_{1-\alpha} = \inf\left\{ t: F_T(t;\theta) \geq 1-\alpha \right\} \]

根据分位数性质，若\(T \leq t_{1-\alpha}\)，则\(F_T(T-0;\theta) \leq F_T(t_{1-\alpha}-0;\theta) \leq 1-\alpha\)，即事件\(\{ T \leq t_{1-\alpha} \}\)是事件\(\{ F_T(T-0;\theta) \leq 1-\alpha \}\)的子集，因此：

\[P_\theta\left\{ F_T(T-0;\theta) \leq 1-\alpha \right\} \geq P_\theta\left\{ T \leq t_{1-\alpha} \right\} = F_T(t_{1-\alpha};\theta) \]

再由分位数的基本性质：\(F_T(t_p;\theta) \geq p\)，此处\(p=1-\alpha\)，故\(F_T(t_{1-\alpha};\theta) \geq 1-\alpha\)。

综上，\(P_\theta\left\{ \theta \geq \underline{\theta}(T) \right\} \geq 1-\alpha\)，即\(\underline{\theta}(T)\)是\(\theta\)的水平\(1-\alpha\)的置信下限，证明完毕。

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第三部分：证明(2)严格单调连续下的唯一解

当\(F_T(t;\theta)\)和\(F_T(t-0;\theta)\)是\(\theta\)的严格减函数且处处连续时：

1. 解的唯一性：严格单调连续函数是一一映射，因此对任意\(\alpha \in (0,1)\)，存在唯一的\(\overline{\theta}\)使得\(F_T(t;\overline{\theta}) = \alpha\)，也存在唯一的\(\underline{\theta}\)使得\(F_T(t-0;\underline{\theta}) = 1-\alpha\)。此时上确界\(\sup\)和下确界\(\inf\)退化为等号，即\(\overline{\theta}(t) = \{ \theta: F_T(t;\theta) = \alpha \}\)，\(\underline{\theta}(t) = \{ \theta: F_T(t-0;\theta) = 1-\alpha \}\)。
2. 双侧置信区间的方程：根据引理7.1.3，若\(\underline{\theta}\)是水平\(1-\alpha/2\)的置信下限，\(\overline{\theta}\)是水平\(1-\alpha/2\)的置信上限，则\([\underline{\theta}, \overline{\theta}]\)是水平\(1-\alpha\)的置信区间。将\(\alpha\)替换为\(\alpha/2\)，即可得到双侧置信区间的方程：
   \[F_T(t;\overline{\theta}) = \frac{\alpha}{2}, \quad F_T(t-0;\underline{\theta}) = 1-\frac{\alpha}{2} \]
   证明完毕。

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三、图7.1.1 核心解读

图7.1.1展示了分布函数\(F_T(t;\theta)\)随\(\theta\)的单调性与置信上下限的关系：

1. 图(a)：\(F_T(t;\theta)\)随\(\theta\)递减（本定理的核心场景）
   • 横轴为参数\(\theta\)，纵轴为分布函数值\(F_T(t;\theta)\)；
   • 曲线随\(\theta\)增大而下降，符合“\(\theta\)越大，\(P(T \leq t)\)越小”的单调性；
   • 置信下限\(\underline{\theta}\)：曲线与\(1-\alpha\)水平线的交点，满足\(F_T(t-0;\underline{\theta})=1-\alpha\)；
   • 置信上限\(\overline{\theta}\)：曲线与\(\alpha\)水平线的交点，满足\(F_T(t;\overline{\theta})=\alpha\)；
   • 区间\([\underline{\theta}, \overline{\theta}]\)即为\(\theta\)的水平\(1-\alpha\)置信区间。
2. 图(b)：\(F_T(t;\theta)\)随\(\theta\)递增
   为递减场景的对称情况，置信上下限的定义与方程对称反转，实际应用中极少出现。

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四、核心应用场景与经典案例

本定理最经典的应用是离散型分布参数的置信区间构造，最具代表性的是二项分布成功概率\(p\)的Clopper-Pearson置信区间，这是该定理的直接产物。

案例：二项分布\(b(n,p)\)的置信区间

设\(X \sim b(n,p)\)（\(n\)次伯努利试验，成功次数为\(X\)），\(X\)的分布函数为：

\[F_X(k;p) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^k C_n^i p^i (1-p)^{n-i} \]

该函数关于\(p\)是严格减函数，满足定理条件。

对观测到的成功次数\(k\)，\(p\)的95%置信区间\([\underline{p}, \overline{p}]\)满足方程：

\[\sum_{i=0}^k C_n^i \overline{p}^i (1-\overline{p})^{n-i} = 0.025, \quad \sum_{i=0}^{k-1} C_n^i \underline{p}^i (1-\underline{p})^{n-i} = 0.975 \]

这就是统计学中最常用的二项分布精确置信区间，完全由本定理推导而来。

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五、常见误区澄清

1. 误区：离散型分布可以得到精确覆盖概率的置信区间
   纠正：离散型分布的分布函数是阶梯函数，无法找到恰好满足\(P(\theta \in [\underline{\theta},\overline{\theta}])=1-\alpha\)的区间，本定理得到的是保守置信区间，即实际覆盖概率≥名义水平\(1-\alpha\)，这是离散型分布的固有特性。
2. 误区：连续型分布不能用该定理
   纠正：连续型分布既可以用枢轴量法，也可以用本定理，二者得到的结果完全一致。例如指数分布的参数区间估计，用本定理和枢轴量法推导的置信区间完全相同。
3. 误区：可以忽略\(F_T(t;\theta)\)和\(F_T(t-0;\theta)\)的区别
   纠正：连续型分布中二者相等，无影响；但离散型分布中，二者的差值为\(P(T=t)\)，若混用会导致置信区间的覆盖概率不足，无法满足置信水平要求。

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六、全知识点结构化归纳总结

表1 定理核心内容与公式汇总

项目	核心内容与公式
适用前提	1. 一维参数分布族\(\{f(x,\theta), \theta \in \Theta \subset \mathbb{R}\}\)； 2. 统计量\(T\)的分布函数\(F_T(t;\theta)\)、左极限\(F_T(t-0;\theta)\)是\(\theta\)的减函数； 3. 核心适用场景：单调似然比分布族（MLR），尤其是离散型分布
置信上限定义	\(\overline{\theta}(T) = \sup\left\{ \theta: F_T(T;\theta) \geq \alpha \right\}\)
置信下限定义	\(\underline{\theta}(T) = \inf\left\{ \theta: F_T(T-0;\theta) \leq 1-\alpha \right\}\)
置信水平保证	\(P_\theta(\theta \leq \overline{\theta}(T)) \geq 1-\alpha\)，\(P_\theta(\theta \geq \underline{\theta}(T)) \geq 1-\alpha\)
严格单调连续下的方程	置信上限：\(F_T(t;\overline{\theta}) = \alpha\)； 置信下限：\(F_T(t-0;\underline{\theta}) = 1-\alpha\)； 双侧置信区间：\(F_T(t;\overline{\theta}) = \alpha/2\)，\(F_T(t-0;\underline{\theta}) = 1-\alpha/2\)
核心优势	无需构造枢轴量，适用于离散型分布，可得到保守的精确置信区间
经典应用	二项分布的Clopper-Pearson置信区间、泊松分布参数的置信区间

表2 连续型与离散型场景的区别

维度	连续型分布场景	离散型分布场景
\(F_T(t;\theta)\)与\(F_T(t-0;\theta)\)	二者相等，无区别	二者不相等，差值为\(P(T=t)\)，必须严格区分
覆盖概率	严格单调连续下，覆盖概率精确等于\(1-\alpha\)	覆盖概率≥名义水平\(1-\alpha\)，为保守置信区间
方程求解	可通过分布函数直接求解唯一解	需通过数值方法求解，解为满足不等式的区间边界
替代方法	可使用枢轴量法得到精确区间	无通用的精确枢轴量法，本定理是核心方法

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单调似然比分布族区间估计例题 完整推导与深度讲解

作为深耕数理统计领域60余年的研究员，我将对两道核心例题进行逐步骤无跳步推导，结合前序定理7.1.1的核心逻辑，拆解连续型、离散型分布下该方法的应用细节，澄清离散型分布区间估计的核心难点，最后通过结构化表格完成知识点归纳。

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前置核心回顾

定理7.1.1的核心逻辑：对于关于统计量\(T\)的单调似然比分布族，\(T\)的分布函数\(F_T(t;\theta)\)是\(\theta\)的单调减函数，因此可通过方程

\[F_T(t;\overline{\theta}) = \frac{\alpha}{2}, \quad F_T(t-0;\underline{\theta}) = 1-\frac{\alpha}{2} \]

求解得到\(\theta\)的水平\(1-\alpha\)置信区间\([\underline{\theta}(T), \overline{\theta}(T)]\)。

• 连续型分布：\(F_T(t-0;\theta)=F_T(t;\theta)\)，方程解唯一，与枢轴量法结果等价；
• 离散型分布：\(F_T(t-0;\theta)=F_T(t-1;\theta)\)，需通过分布的对偶性转换求解，得到保守的精确置信区间。

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例7.1.19 平移指数分布（连续型）位置参数\(\mu\)的置信区间

题目

设\(X_1,X_2,\dots,X_n\)为独立同分布样本，\(X_1 \sim \mu + \Gamma(1,1)\)（即位置参数为\(\mu\)的平移指数分布，\(X-\mu \sim \text{Exp}(1)\)），求\(\mu\)的水平为\(1-\alpha\)的置信区间。

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步骤1：验证分布族的单调似然比性质

平移指数分布的概率密度为：

\[f(x,\mu) = e^{-(x-\mu)} \cdot I\{x \geq \mu\} \]

其中\(I\{\cdot\}\)为指示函数，\(x\geq\mu\)时取1，否则取0。

对于任意\(\mu_1 < \mu_2\)，似然比为：

\[\frac{L(\mu_2)}{L(\mu_1)} = \frac{\prod_{i=1}^n e^{-(x_i-\mu_2)} I\{x_i \geq \mu_2\}}{\prod_{i=1}^n e^{-(x_i-\mu_1)} I\{x_i \geq \mu_1\}} = e^{n(\mu_2-\mu_1)} \cdot \frac{I\{X_{(1)} \geq \mu_2\}}{I\{X_{(1)} \geq \mu_1\}} \]

其中\(X_{(1)} = \min\{X_1,\dots,X_n\}\)为样本最小次序统计量。

显然，似然比是\(X_{(1)}\)的非降函数，因此该分布族关于完备充分统计量\(T=X_{(1)}\)为单调似然比分布族，满足定理7.1.1的前提条件。

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步骤2：推导\(T=X_{(1)}\)的分布函数

对于平移指数分布，\(X_i - \mu \sim \text{Exp}(1)\)，因此\(X_{(1)} - \mu \sim \text{Exp}(n)\)（最小次序统计量的分布），其生存函数为：

\[P(X_{(1)} > t) = \prod_{i=1}^n P(X_i > t) = \left[e^{-(t-\mu)}\right]^n = e^{-n(t-\mu)}, \quad t \geq \mu \]

当\(t < \mu\)时，\(P(X_{(1)} > t)=1\)。

因此\(T=X_{(1)}\)的分布函数为：

\[F_T(t;\mu) = P(T \leq t) = \left[1 - e^{-n(t-\mu)}\right] \cdot I\{t \geq \mu\} \]

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步骤3：验证分布函数的单调性与连续性

1. 单调性：对固定的\(t\)，对\(\mu\)求导（\(t\geq\mu\)时）：
   \[\frac{\partial F_T(t;\mu)}{\partial \mu} = -n e^{-n(t-\mu)} < 0 \]
   因此\(F_T(t;\mu)\)是\(\mu\)的严格减函数，满足定理要求。
2. 连续性：该分布为连续型分布，因此\(F_T(t-0;\mu) = F_T(t;\mu)\)，左极限与分布函数本身相等，无需区分。

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步骤4：代入定理求解置信区间

根据定理7.1.1的双侧置信区间公式(7.1.26)，置信上下限满足：

\[F_T(t;\overline{\mu}) = \frac{\alpha}{2}, \quad F_T(t;\underline{\mu}) = 1-\frac{\alpha}{2} \]

求解置信上限\(\overline{\mu}\)

代入分布函数：

\[1 - e^{-n(t - \overline{\mu})} = \frac{\alpha}{2} \]

整理得：

\[e^{-n(t - \overline{\mu})} = 1 - \frac{\alpha}{2} \]

两边取自然对数：

\[-n(t - \overline{\mu}) = \ln\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \]

最终解得：

\[\overline{\mu}(X) = X_{(1)} + \frac{1}{n}\ln\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \]

求解置信下限\(\underline{\mu}\)

代入分布函数：

\[1 - e^{-n(t - \underline{\mu})} = 1-\frac{\alpha}{2} \]

整理得：

\[e^{-n(t - \underline{\mu})} = \frac{\alpha}{2} \]

两边取自然对数：

\[-n(t - \underline{\mu}) = \ln\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

最终解得：

\[\underline{\mu}(X) = X_{(1)} + \frac{1}{n}\ln\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]

因此，\(\mu\)的水平为\(1-\alpha\)的置信区间为：

\[\boldsymbol{ \left[ X_{(1)} + \frac{1}{n}\ln\left(\frac{\alpha}{2}\right),\ X_{(1)} + \frac{1}{n}\ln\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \right] } \]

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步骤5：数值示例与枢轴量法对比

数值示例

取\(n=10\)，\(\alpha=0.05\)，则\(\alpha/2=0.025\)，\(1-\alpha/2=0.975\)，代入对数计算：

\[\ln(0.025) \approx -3.68897, \quad \ln(0.975) \approx -0.02532 \]

因此置信区间为：

\[\left[ X_{(1)} - 0.3689,\ X_{(1)} - 0.0025 \right] \]

与枢轴量法的等价性验证

平移指数分布存在精确枢轴量：\(2n(X_{(1)} - \mu) \sim \chi^2(2)\)（自由度为2的卡方分布），基于该枢轴量的置信区间为：

\[\left[ X_{(1)} - \frac{1}{2n}\chi^2\left(1-\frac{\alpha}{2},2\right),\ X_{(1)} - \frac{1}{2n}\chi^2\left(\frac{\alpha}{2},2\right) \right] \]

代入\(n=10\)，\(\alpha=0.05\)，查卡方分布表得\(\chi^2(0.975,2)=7.378\)，\(\chi^2(0.025,2)=0.051\)，计算得：

\[\text{下限}=X_{(1)} - \frac{7.378}{20} \approx X_{(1)}-0.3689, \quad \text{上限}=X_{(1)} - \frac{0.051}{20} \approx X_{(1)}-0.0025 \]

与单调似然比方法得到的结果完全一致，验证了定理的正确性。

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例7.1.20 泊松分布（离散型）参数\(\lambda\)的置信区间

题目

设\(X_1,X_2,\dots,X_n\)为独立同分布样本，\(X_1 \sim P(\lambda)\)（泊松分布），求\(\lambda\)的水平为\(1-\alpha\)的置信上下限与置信区间。

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步骤1：验证分布族的单调似然比性质

泊松分布的概率质量函数为：

\[f(x,\lambda) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, \quad x=0,1,2,\dots \]

对于任意\(\lambda_1 < \lambda_2\)，似然比为：

\[\frac{L(\lambda_2)}{L(\lambda_1)} = \frac{\prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda_2}\lambda_2^{x_i}}{x_i!}}{\prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda_1}\lambda_1^{x_i}}{x_i!}} = e^{-n(\lambda_2-\lambda_1)} \cdot \left( \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \right)^{\sum_{i=1}^n x_i} \]

令充分统计量\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)，则似然比为\(e^{-n(\lambda_2-\lambda_1)} \cdot (\lambda_2/\lambda_1)^T\)，是\(T\)的严格增函数，因此泊松分布族关于\(T\)为单调似然比分布族，满足定理7.1.1的前提。

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步骤2：推导\(T\)的分布与分布函数

独立泊松变量的和仍服从泊松分布，因此\(T = \sum_{i=1}^n X_i \sim P(n\lambda)\)，其概率质量函数为：

\[P(T=t) = \frac{e^{-n\lambda}(n\lambda)^t}{t!}, \quad t=0,1,2,\dots \]

分布函数为：

\[F_T(t;\lambda) = P(T \leq t) = \sum_{k=0}^t \frac{e^{-n\lambda}(n\lambda)^k}{k!} \]

核心对偶性：泊松分布与Gamma/卡方分布的转换

泊松分布的分布函数可通过上不完全Gamma函数表示（泊松-Gamma对偶性）：

\[F_T(t;\lambda) = P(T \leq t) = \frac{\int_{n\lambda}^{+\infty} e^{-x} x^t dx}{\Gamma(t+1)} \]

该式的本质是：\(P(T \leq t) = P(Z > n\lambda)\)，其中\(Z \sim \Gamma(t+1,1)\)（形状参数\(t+1\)、率参数1的Gamma分布）。

同时，Gamma分布与卡方分布的关系为：若\(Z \sim \Gamma(k,1)\)，则\(2Z \sim \chi^2(2k)\)（自由度为\(2k\)的卡方分布），这是求解离散型置信区间的核心工具。

离散型分布的左极限

由于\(T\)是离散型随机变量，其分布函数的左极限满足：

\[F_T(t-0;\lambda) = P(T < t) = P(T \leq t-1) = F_T(t-1;\lambda) \]

这是离散型与连续型分布的核心区别，必须严格区分。

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步骤3：求解置信下限\(\underline{\lambda}\)

根据定理7.1.1，置信下限\(\underline{\lambda}\)满足：

\[F_T(t-0;\underline{\lambda}) = 1-\alpha \]

代入左极限的表达式与Gamma对偶性，得：

\[F_T(t-1;\underline{\lambda}) = P(T \leq t-1) = \frac{\int_{n\underline{\lambda}}^{+\infty} e^{-x} x^{t-1} dx}{\Gamma(t)} = 1-\alpha \]

由\(P(T \leq t-1) = P(Z > n\underline{\lambda}) = 1-\alpha\)（其中\(Z \sim \Gamma(t,1)\)），得\(P(Z \leq n\underline{\lambda}) = \alpha\)。

结合Gamma与卡方分布的关系，\(2Z \sim \chi^2(2t)\)，因此：

\[P(2Z \leq 2n\underline{\lambda}) = \alpha \implies P(\chi^2(2t) \leq 2n\underline{\lambda}) = \alpha \]

根据卡方分位数的定义，\(\chi^2(\alpha,2t)\)是自由度\(2t\)的卡方分布的\(\alpha\)分位数，因此：

\[2n\underline{\lambda} = \chi^2(\alpha, 2t) \]

最终得到\(\lambda\)的水平为\(1-\alpha\)的置信下限：

\[\boldsymbol{ \underline{\lambda}(T) = \frac{1}{2n} \chi^2\left(\alpha, 2T\right) } \]

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步骤4：求解置信上限\(\overline{\lambda}\)

根据定理7.1.1，置信上限\(\overline{\lambda}\)满足：

\[F_T(t;\overline{\lambda}) = \alpha \]

代入Gamma对偶性，得：

\[F_T(t;\overline{\lambda}) = P(T \leq t) = \frac{\int_{n\overline{\lambda}}^{+\infty} e^{-x} x^t dx}{\Gamma(t+1)} = \alpha \]

由\(P(T \leq t) = P(Z' > n\overline{\lambda}) = \alpha\)（其中\(Z' \sim \Gamma(t+1,1)\)），得\(P(Z' \leq n\overline{\lambda}) = 1-\alpha\)。

结合Gamma与卡方分布的关系，\(2Z' \sim \chi^2(2t+2)\)，因此：

\[P(2Z' \leq 2n\overline{\lambda}) = 1-\alpha \implies P(\chi^2(2t+2) \leq 2n\overline{\lambda}) = 1-\alpha \]

根据卡方分位数的定义，得：

\[2n\overline{\lambda} = \chi^2\left(1-\alpha, 2t+2\right) \]

最终得到\(\lambda\)的水平为\(1-\alpha\)的置信上限：

\[\boldsymbol{ \overline{\lambda}(T) = \frac{1}{2n} \chi^2\left(1-\alpha, 2T+2\right) } \]

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步骤5：双侧置信区间

根据引理7.1.3，将\(\alpha\)替换为\(\alpha/2\)，即可得到\(\lambda\)的水平为\(1-\alpha\)的双侧置信区间：

\[\boldsymbol{ \left[ \frac{1}{2n} \chi^2\left(\frac{\alpha}{2}, 2T\right),\ \frac{1}{2n} \chi^2\left(1-\frac{\alpha}{2}, 2T+2\right) \right] } \]

该区间也被称为Garwood置信区间，是统计学中泊松分布参数的标准精确置信区间。

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定理的核心价值

对于泊松、二项、负二项等离散型分布，无法构造分布完全已知的精确枢轴量，而定理7.1.1给出了构造保守精确置信区间的通用方法，这是该定理最核心的应用价值。

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全知识点结构化归纳总结

表1 两道例题核心内容对比

维度	例7.1.19 平移指数分布（连续型）	例7.1.20 泊松分布（离散型）
分布类型	连续型位置-尺度分布	离散型计数分布
充分统计量\(T\)	最小次序统计量\(X_{(1)}\)	样本和\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)
\(T\)的分布	\(X_{(1)} \sim \mu + \text{Exp}(n)\)	\(T \sim P(n\lambda)\)
分布函数单调性	\(F_T(t;\mu)\)是\(\mu\)的严格减函数、处处连续	\(F_T(t;\lambda)\)是\(\lambda\)的严格减函数，离散型需区分左极限\(F_T(t-0;\lambda)=F_T(t-1;\lambda)\)
置信区间公式	\(\left[ X_{(1)} + \frac{1}{n}\ln\left(\frac{\alpha}{2}\right),\ X_{(1)} + \frac{1}{n}\ln\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) \right]\)	\(\left[ \frac{1}{2n} \chi^2\left(\frac{\alpha}{2}, 2T\right),\ \frac{1}{2n} \chi^2\left(1-\frac{\alpha}{2}, 2T+2\right) \right]\)
与枢轴量法的关系	连续型严格单调下，与枢轴量法结果完全等价	离散型无通用精确枢轴量，该方法是构造精确置信区间的唯一通用方法
区间性质	覆盖概率精确等于\(1-\alpha\)	覆盖概率≥名义水平\(1-\alpha\)，为保守置信区间

表2 定理7.1.1的应用要点

场景	核心操作	关键注意事项
连续型单调似然比分布族	1. 找充分统计量\(T\)；2. 推导\(T\)的分布函数；3. 解方程\(F_T(t;\overline{\theta})=\alpha/2\)、\(F_T(t;\underline{\theta})=1-\alpha/2\)	分布函数需关于\(\theta\)严格单调、连续，方程解唯一
离散型单调似然比分布族	1. 找充分统计量\(T\)；2. 推导\(T\)的分布函数与左极限；3. 利用分布的对偶性转换为连续分布求解	必须严格区分\(F_T(t;\theta)\)与\(F_T(t-0;\theta)\)，不可混用；区间为保守型
单侧置信限	置信上限解方程\(F_T(t;\overline{\theta})=\alpha\)；置信下限解方程\(F_T(t-0;\underline{\theta})=1-\alpha\)	单侧置信限的分位数无需拆分\(\alpha\)，直接用\(\alpha\)或\(1-\alpha\)

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单调似然比分布族核心性质定理 深度讲解与完整证明

作为深耕数理统计领域多年的研究员，我将从定理定位、前置铺垫、逐步骤严谨证明、逻辑解读、对称推广、结构化总结六个维度，完整拆解定理7.1.2与7.1.3的核心逻辑。这两个定理是单调似然比（MLR）分布族区间估计的理论基石——定理7.1.2为定理7.1.1提供了普适性的适用前提，定理7.1.3补全了分布函数单调递增场景的对称体系，彻底打通了MLR分布族参数区间估计的完整逻辑链。

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一、定理定位与前置核心定义回顾

1. 定理的核心定位

• 定理7.1.2：严格证明了单调似然比分布族的本质性质——只要分布族关于统计量\(T\)具有单调似然比，\(T\)的分布函数必然是参数\(\theta\)的减函数，直接为定理7.1.1的区间估计方法提供了理论保障，让定理7.1.1从“特殊场景适用”升级为“所有MLR分布族通用”。
• 定理7.1.3：是定理7.1.1的对称推广，针对“分布函数是参数\(\theta\)的增函数”的场景，给出了平行的置信区间构造方法，补全了单调似然比分布族区间估计的完整框架。

2. 前置核心定义

1. 单调似然比（MLR）分布族
   设一维参数分布族\(\{f(x,\theta), \theta \in \Theta \subset \mathbb{R}\}\)，若存在统计量\(T=T(X)\)，使得对任意\(\theta_1 < \theta_2\)，似然比

   \[\lambda(x) = \frac{f(x,\theta_2)}{f(x,\theta_1)} \]

   是\(T(x)\)的非减函数，则称该分布族关于\(T\)为单调似然比分布族。

   直观解读：参数\(\theta\)越大，统计量\(T\)取大值的概率越高，这是MLR分布族的核心内涵。

2. 分布函数与左极限
   统计量\(T\)的分布函数：\(F_T(t;\theta) = P_\theta(T \leq t)\)；
   分布函数的左极限：\(F_T(t-0;\theta) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} F_T(t-\varepsilon;\theta) = P_\theta(T < t)\)；
   连续型分布：\(F_T(t-0;\theta)=F_T(t;\theta)\)；离散型分布：\(F_T(t-0;\theta)=F_T(t-1;\theta)\)。

3. 指示函数与期望的关系
   指示函数\(I\{A\}\)：事件\(A\)发生时取1，否则取0，满足\(E_\theta\left[ I\{A\} \right] = P_\theta(A)\)，这是连接期望与概率的核心桥梁。

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二、定理7.1.2 完整表述与逐步骤证明

定理7.1.2 完整表述

设分布族\(\{X \sim f(x,\theta), \theta \in \Theta \subset \mathbb{R}\}\)关于统计量\(T=T(X)\)为单调似然比分布族，则：

1. 期望单调性：设\(\psi(t)\)为\(t\)的非减函数，则\(g(\theta) = E_\theta\left[ \psi(T(X)) \right]\)是\(\theta\)的非减函数；
2. 分布函数单调性：设\(F_T(t;\theta)\)为统计量\(T\)的分布函数，则对任意固定的\(t_0\)，\(F_T(t_0;\theta)\)和\(F_T(t_0-0;\theta)\)均为\(\theta\)的减函数。

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(1) 期望单调性的完整证明

我们需要证明：对任意\(\theta_1 < \theta_2\)，有\(g(\theta_1) \leq g(\theta_2)\)，即\(E_{\theta_1}[\psi(T)] \leq E_{\theta_2}[\psi(T)]\)。

步骤1：利用MLR性质拆解似然比

由MLR分布族的定义，对\(\theta_1 < \theta_2\)，似然比\(\lambda(x) = \frac{f(x,\theta_2)}{f(x,\theta_1)}\)是\(T(x)\)的非减函数，即存在非减函数\(h(\cdot)\)，使得：

\[\lambda(x) = h(T(x); \theta_1, \theta_2) \]

也就是说，似然比的取值完全由\(T(x)\)决定，且随\(T(x)\)增大而不减小。

步骤2：拆分样本空间

根据似然比与1的大小关系，将样本空间\(\mathcal{X}\)拆分为三个互不相交的完备子集：

• \(R^+ = \{x: f(x,\theta_2) > f(x,\theta_1)\}\)：似然比\(\lambda(x) > 1\)的区域；
• \(R^- = \{x: f(x,\theta_2) < f(x,\theta_1)\}\)：似然比\(\lambda(x) < 1\)的区域；
• \(R^0 = \{x: f(x,\theta_2) = f(x,\theta_1)\}\)：似然比\(\lambda(x) = 1\)的区域，该区域对期望差的贡献为0，后续可忽略。

步骤3：证明\(R^+\)与\(R^-\)中\(T\)的取值关系

核心结论：对任意\(x' \in R^+\)，\(x \in R^-\)，必有\(T(x') > T(x)\)。

反证法证明：
假设存在\(x' \in R^+\)，\(x \in R^-\)，使得\(T(x') \leq T(x)\)。
由MLR性质，\(\lambda(x)\)是\(T(x)\)的非减函数，因此\(T(x') \leq T(x)\)可推出\(\lambda(x') \leq \lambda(x)\)。
但\(x' \in R^+\)意味着\(\lambda(x') > 1\)，\(x \in R^-\)意味着\(\lambda(x) < 1\)，因此\(\lambda(x') \leq \lambda(x)\)与\(\lambda(x')>1>\lambda(x)\)矛盾。
假设不成立，故\(T(x') > T(x)\)。

步骤4：结合\(\psi(t)\)的非减性

由于\(\psi(t)\)是\(t\)的非减函数，结合\(T(x') > T(x)\)（\(x' \in R^+, x \in R^-\)），可得：

\[\psi(T(x')) \geq \psi(T(x)), \quad \forall x' \in R^+, x \in R^- \]

定义两个常数：

\[a = \sup_{x \in R^-} \psi(T(x)), \quad b = \inf_{x' \in R^+} \psi(T(x')) \]

由上述不等式，显然有\(b \geq a\)。

步骤5：计算期望差并放缩

期望差可表示为积分形式（离散型为求和，逻辑完全一致）：

\[g(\theta_2) - g(\theta_1) = E_{\theta_2}[\psi(T)] - E_{\theta_1}[\psi(T)] = \int_{\mathcal{X}} \psi(T(x)) \left[ f(x,\theta_2) - f(x,\theta_1) \right] d\mu(x) \]

将积分拆分为\(R^+\)和\(R^-\)两部分（\(R^0\)的积分贡献为0）：

\[g(\theta_2) - g(\theta_1) = \int_{R^+} \psi(T(x)) \left[ f(x,\theta_2) - f(x,\theta_1) \right] d\mu(x) + \int_{R^-} \psi(T(x)) \left[ f(x,\theta_2) - f(x,\theta_1) \right] d\mu(x) \]

对积分进行放缩：

• 在\(R^+\)中，\(f(x,\theta_2) - f(x,\theta_1) > 0\)，且\(\psi(T(x)) \geq b\)，因此第一项积分\(\geq b \int_{R^+} \left[ f(x,\theta_2) - f(x,\theta_1) \right] d\mu(x)\)；
• 在\(R^-\)中，\(f(x,\theta_2) - f(x,\theta_1) < 0\)，且\(\psi(T(x)) \leq a\)，因此第二项积分\(\geq a \int_{R^-} \left[ f(x,\theta_2) - f(x,\theta_1) \right] d\mu(x)\)。

因此期望差满足：

\[g(\theta_2) - g(\theta_1) \geq b \int_{R^+} \Delta f d\mu + a \int_{R^-} \Delta f d\mu \]

其中\(\Delta f = f(x,\theta_2) - f(x,\theta_1)\)。

步骤6：利用密度函数的归一性化简

由于概率密度函数在全空间的积分为1，因此：

\[\int_{\mathcal{X}} \Delta f d\mu = \int_{\mathcal{X}} f(x,\theta_2) d\mu - \int_{\mathcal{X}} f(x,\theta_1) d\mu = 1 - 1 = 0 \]

因此：

\[\int_{R^+} \Delta f d\mu + \int_{R^-} \Delta f d\mu = 0 \implies \int_{R^-} \Delta f d\mu = - \int_{R^+} \Delta f d\mu \]

将其代入期望差的放缩式：

\[\begin{align*} g(\theta_2) - g(\theta_1) &\geq b \int_{R^+} \Delta f d\mu + a \cdot \left( - \int_{R^+} \Delta f d\mu \right) \\ &= (b - a) \int_{R^+} \left[ f(x,\theta_2) - f(x,\theta_1) \right] d\mu(x) \end{align*} \]

步骤7：证明期望差非负

我们已经知道\(b \geq a\)，同时在\(R^+\)中\(f(x,\theta_2) - f(x,\theta_1) > 0\)，因此积分项\(\int_{R^+} \Delta f d\mu > 0\)，最终可得：

\[g(\theta_2) - g(\theta_1) \geq 0 \implies g(\theta_1) \leq g(\theta_2) \]

即\(g(\theta) = E_\theta[\psi(T)]\)是\(\theta\)的非减函数，(1)的证明完毕。

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(2) 分布函数单调性的完整证明

我们需要证明：对任意固定的\(t_0\)，\(F_T(t_0;\theta) = P_\theta(T \leq t_0)\)和\(F_T(t_0-0;\theta) = P_\theta(T < t_0)\)均为\(\theta\)的减函数。

第一步：证明\(F_T(t_0;\theta)\)是\(\theta\)的减函数

利用指示函数与期望的关系，分布函数可表示为期望形式：

\[F_T(t_0;\theta) = P_\theta(T \leq t_0) = 1 - P_\theta(T > t_0) = 1 - E_\theta\left[ I\{ T > t_0 \} \right] \]

令\(\psi(t) = I\{ t > t_0 \}\)，显然\(\psi(t)\)是\(t\)的非减函数（\(t\)越大，\(I\{t>t_0\}\)取1的概率越高）。

根据(1)的结论，\(E_\theta\left[ I\{ T > t_0 \} \right]\)是\(\theta\)的非减函数，因此：

\[F_T(t_0;\theta) = 1 - \text{非减函数} \]

必然是\(\theta\)的非增函数（减函数）。

第二步：证明\(F_T(t_0-0;\theta)\)是\(\theta\)的减函数

同理，左极限可表示为：

\[F_T(t_0-0;\theta) = P_\theta(T < t_0) = 1 - P_\theta(T \geq t_0) = 1 - E_\theta\left[ I\{ t \geq t_0 \} \right] \]

令\(\psi'(t) = I\{ t \geq t_0 \}\)，同样是\(t\)的非减函数，根据(1)的结论，\(E_\theta\left[ I\{ T \geq t_0 \} \right]\)是\(\theta\)的非减函数，因此：

\[F_T(t_0-0;\theta) = 1 - \text{非减函数} \]

也是\(\theta\)的非增函数（减函数）。

至此，定理7.1.2的全部结论证明完毕。

核心意义：该定理彻底证明了——所有关于\(T\)的MLR分布族，天然满足定理7.1.1的前提条件（\(T\)的分布函数是\(\theta\)的减函数），因此定理7.1.1的区间估计方法可直接应用于二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等绝大多数常用参数分布族，无需额外验证单调性。

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三、定理7.1.3 完整讲解与对称推导

定理7.1.3 完整表述

设分布族\(\{X \sim f(x,\theta), \theta \in \Theta \subset \mathbb{R}\}\)，统计量\(T=T(X)\)的分布函数为\(F_T(t;\theta)\)，则：

1. 置信上下限的存在性：若对任意固定的\(t\)，\(F_T(t;\theta)\)和\(F_T(t-0;\theta)\)为\(\theta\)的增函数，定义：
   \[\underline{\theta}(t) = \inf\left\{ \theta: F_T(t;\theta) \geq \alpha \right\}, \quad \overline{\theta}(t) = \sup\left\{ \theta: F_T(t-0;\theta) \leq 1-\alpha \right\} \]
   则\(\overline{\theta}(T)\)和\(\underline{\theta}(T)\)分别为\(\theta\)的水平为\(1-\alpha\)的置信上限、置信下限。
2. 严格单调连续下的唯一解：若对任意固定的\(t\)，在\(0 < F_T(t;\theta) < 1\)的范围内，\(F_T(t;\theta)\)和\(F_T(t-0;\theta)\)为\(\theta\)的严格增函数且处处连续，则：
   • 置信上限\(\overline{\theta}\)满足方程：\(F_T(t-0;\overline{\theta}) = 1-\alpha\)；
   • 置信下限\(\underline{\theta}\)满足方程：\(F_T(t;\underline{\theta}) = \alpha\)；
   • 方程的解唯一，且\(\theta\)的水平为\(1-\alpha\)的双侧置信区间\([\underline{\theta}(T), \overline{\theta}(T)]\)满足方程：
     \[F_T(t;\underline{\theta}) = \frac{\alpha}{2}, \quad F_T(t-0;\overline{\theta}) = 1-\frac{\alpha}{2} \]

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核心解读与对称逻辑

该定理是定理7.1.1的完全对称版本，核心区别在于分布函数的单调性方向相反：

• 定理7.1.1：分布函数是\(\theta\)的减函数，对应似然比是\(T\)的非减函数（\(\theta\)越大，\(T\)取大值的概率越高）；
• 定理7.1.3：分布函数是\(\theta\)的增函数，对应似然比是\(T\)的非增函数（\(\theta\)越大，\(T\)取小值的概率越高）。

最典型的应用场景：当参数\(\theta\)是“率参数”（如指数分布的失效率\(\lambda\)），似然比是\(T=\sum X_i\)的非增函数，此时\(T\)的分布函数是\(\lambda\)的增函数，需用定理7.1.3构造置信区间。

证明逻辑

该定理的证明与定理7.1.1完全对称，仅需将“减函数”替换为“增函数”，调整不等式的方向与上下限的定义，核心逻辑完全一致，此处不再重复推导。

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四、常见误区澄清

1. 误区：MLR分布族的似然比必须是严格增函数
   纠正：似然比只需是非减函数即可，无需严格递增，非减性已经足够保证期望与分布函数的单调性。
2. 误区：定理7.1.2仅适用于连续型分布
   纠正：证明过程中使用的积分形式可完全替换为离散型的求和形式，定理对离散型分布（二项、泊松等）完全适用，这也是该定理的核心价值之一。
3. 误区：定理7.1.3与定理7.1.1的置信上下限公式可以混用
   纠正：必须严格匹配分布函数的单调性方向，若分布函数是减函数却用了定理7.1.3的公式，会导致置信区间的覆盖概率严重不足，完全偏离置信水平要求。

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五、全知识点结构化归纳总结

表1 三大核心定理对比汇总

定理编号	核心前提	核心结论	核心应用场景
定理7.1.2	分布族关于\(T\)为单调似然比分布族	1. 非减函数\(\psi(T)\)的期望是\(\theta\)的非减函数； 2. \(T\)的分布函数\(F_T(t;\theta)\)是\(\theta\)的减函数	为MLR分布族的区间估计提供理论前提，验证定理7.1.1的普适性
定理7.1.1	\(F_T(t;\theta)\)是\(\theta\)的减函数	给出置信上下限的定义与求解方程，构造\(\theta\)的置信区间	似然比是\(T\)的非减函数的MLR分布族，如二项、泊松、平移指数分布
定理7.1.3	\(F_T(t;\theta)\)是\(\theta\)的增函数	给出对称的置信上下限定义与求解方程，构造\(\theta\)的置信区间	似然比是\(T\)的非增函数的分布族，如指数分布的失效率估计

表2 分布函数单调性与置信区间方程对应关系

分布函数单调性	置信下限\(\underline{\theta}\)满足的方程	置信上限\(\overline{\theta}\)满足的方程	双侧置信区间方程
关于\(\theta\)严格减函数	\(F_T(t-0;\underline{\theta}) = 1-\alpha\)	\(F_T(t;\overline{\theta}) = \alpha\)	\(F_T(t-0;\underline{\theta})=1-\alpha/2\)，\(F_T(t;\overline{\theta})=\alpha/2\)
关于\(\theta\)严格增函数	\(F_T(t;\underline{\theta}) = \alpha\)	\(F_T(t-0;\overline{\theta}) = 1-\alpha\)	\(F_T(t;\underline{\theta})=\alpha/2\)，\(F_T(t-0;\overline{\theta})=1-\alpha/2\)

表3 定理7.1.2的核心推论与应用

推论场景	非减函数\(\psi(t)\)	期望形式	单调性结论
分布函数	\(\psi(t)=I\{t > t_0\}\)	\(E[\psi(T)]=P(T>t_0)\)	\(P(T>t_0)\)是\(\theta\)的非减函数，\(P(T\leq t_0)\)是\(\theta\)的非增函数
生存函数	\(\psi(t)=I\{t \geq t_0\}\)	\(E[\psi(T)]=P(T\geq t_0)\)	\(P(T\geq t_0)\)是\(\theta\)的非减函数，\(P(T<t_0)\)是\(\theta\)的非增函数
矩估计	\(\psi(t)=t^k\)（\(k>0\)）	\(E[T^k]\)	\(T\)的\(k\)阶原点矩是\(\theta\)的非减函数