昆仑山:眼中无形心中有穴之穴人合一

夫君子之行，静以修身，俭以养德；非澹泊无以明志，非宁静无以致远。夫学须静也，才须学也；非学无以广才，非志无以成学。怠慢则不能励精，险躁则不能冶性。年与时驰，意与岁去，遂成枯落，多不接世。悲守穷庐，将复何及！

 

7.1.4正态总体参数的置信域

正态总体参数的置信域 深度讲解与完整推导

作为深耕数理统计领域多年的研究员，我将从理论基石、分场景逐步骤推导、核心性质解读、结构化总结四个维度，完整拆解正态总体参数置信区间的全部知识体系。正态分布是数理统计的核心分布，其参数估计拥有小样本下的精确置信区间（这是绝大多数分布不具备的优势），也是两总体比较、方差分析、回归分析的理论基础，所有推导均严格遵循枢轴量法的核心逻辑，无任何跳步。

前置核心理论基石

设总体 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\dots,X_n\) 为来自该总体的独立同分布样本，定义：

  1. 样本均值：\(\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\)，是 \(\mu\) 的无偏估计；
  2. 样本离均差平方和：\(S(X) = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2\)；
  3. 样本方差：\(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1}S(X)\)，是 \(\sigma^2\) 的无偏估计；
  4. 三大核心分布性质（所有推导的基础）：
    • 性质1：\(\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\)，标准化后 \(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \sim N(0,1)\)；
    • 性质2：\(\frac{S(X)}{\sigma^2} = \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)（卡方分布，自由度 \(n-1\)）；
    • 性质3：\(\bar{X}\) 与 \(\hat{\sigma}^2\) 相互独立（正态分布的均值与方差独立，Cochran定理的核心结论）。

一、单样本正态总体的参数置信区间

1.1 方差\(\sigma\)未知时，均值\(\mu\)的置信区间与置信限

这是实际应用中最常用的场景（总体方差几乎不可能提前已知），核心是用t分布构造精确枢轴量。

步骤1：构造枢轴量并证明其分布

\(\sigma\) 未知时，无法使用标准正态统计量（含未知参数 \(\sigma\)），因此用样本标准差 \(\hat{\sigma}\) 替代 \(\sigma\)，构造枢轴量：

\[G(X,\mu) = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\hat{\sigma}} \]

分布严格证明：
根据t分布的定义：若 \(Z \sim N(0,1)\)，\(W \sim \chi^2(k)\)，且 \(Z\) 与 \(W\) 相互独立，则 \(T = \frac{Z}{\sqrt{W/k}} \sim t(k)\)（自由度为 \(k\) 的t分布）。

  • 分子：\(Z = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \sim N(0,1)\)（性质1）；
  • 分母：\(W = \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)（性质2）；
  • 独立性：\(\bar{X}\) 与 \(\hat{\sigma}^2\) 独立，因此 \(Z\) 与 \(W\) 相互独立（性质3）。

代入t分布定义，化简得：

\[T = \frac{\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}}{\sqrt{\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}/(n-1)}} = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\hat{\sigma}} \sim t(n-1) \]

该分布完全已知，且与未知参数 \(\mu、\sigma\) 均无关，满足枢轴量的核心要求。

步骤2：双侧置信区间的完整推导

t分布是关于0对称的分布，取等尾分位数 \(t_{1-\alpha/2} = t\left(n-1, 1-\frac{\alpha}{2}\right)\)（自由度 \(n-1\) 的t分布的 \(1-\alpha/2\) 下分位数），满足 \(t_{\alpha/2} = -t_{1-\alpha/2}\)，因此：

\[P_\mu\left\{ -t_{1-\alpha/2} \leq \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\hat{\sigma}} \leq t_{1-\alpha/2} \right\} = 1-\alpha \]

对不等式做等价变形（所有变形不改变事件的概率）：

  1. 三边同乘正数 \(\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}\)，不等号方向不变：

    \[-t_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq \bar{X} - \mu \leq t_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \]

  2. 三边同减 \(\bar{X}\)：

    \[-\bar{X} - t_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq -\mu \leq -\bar{X} + t_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \]

  3. 三边同乘 \(-1\)，不等号方向反转：

    \[\bar{X} - t_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + t_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \]

因此，\(\sigma\) 未知时，\(\mu\) 的水平为 \(1-\alpha\) 的精确双侧置信区间为：

\[\boldsymbol{ \left[ \bar{X} - t\left(n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}},\ \bar{X} + t\left(n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \right] } \]

步骤3：单侧置信限的推导

  • 置信下限：仅需保证 \(P_\mu(\mu \geq \underline{\mu}(X)) = 1-\alpha\)，取单边分位数 \(t_{1-\alpha}=t(n-1,1-\alpha)\)，满足：

    \[P_\mu\left\{ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\hat{\sigma}} \leq t_{1-\alpha} \right\} = 1-\alpha \]

    同上述变形逻辑，反解得：

    \[\boldsymbol{ \underline{\mu}(X) = \bar{X} - t(n-1,1-\alpha) \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} } \]

  • 置信上限：同理可得，\(\mu\) 的水平为 \(1-\alpha\) 的置信上限为：

    \[\boldsymbol{ \overline{\mu}(X) = \bar{X} + t(n-1,1-\alpha) \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} } \]

补充说明：若 \(\sigma=\sigma_0\) 已知，直接用标准正态分布分位数 \(z_{1-\alpha/2}\) 替代t分布分位数，置信区间为 \(\left[ \bar{X} \pm z_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} \right]\)，推导逻辑完全一致。

1.2 均值\(\mu\)未知时，方差\(\sigma^2\)与标准差\(\sigma\)的置信区间

核心是利用卡方分布构造枢轴量，卡方分布为右偏分布，无对称性，因此采用等尾分位数构造区间。

步骤1：构造枢轴量并证明其分布

基于正态分布的核心性质2，构造枢轴量：

\[G(X,\sigma^2) = \frac{S(X)}{\sigma^2} = \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \]

该统计量服从自由度为 \(n-1\) 的卡方分布 \(\chi^2(n-1)\)，分布完全已知，与未知参数 \(\sigma^2、\mu\) 均无关，是枢轴量。

步骤2：\(\sigma^2\)的双侧置信区间推导

取卡方分布的等尾分位数：

  • 下侧分位数：\(\chi^2_{\alpha/2} = \chi^2\left(n-1, \frac{\alpha}{2}\right)\)
  • 上侧分位数：\(\chi^2_{1-\alpha/2} = \chi^2\left(n-1, 1-\frac{\alpha}{2}\right)\)

满足：

\[P_\sigma\left\{ \chi^2_{\alpha/2} \leq \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{1-\alpha/2} \right\} = 1-\alpha \]

对不等式做等价变形（所有项均为正数，乘除不改变不等号方向）：

  1. 拆分不等式为左右两部分：
    • 左侧：\(\chi^2_{\alpha/2} \leq \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \implies \sigma^2 \leq \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi^2_{\alpha/2}}\)
    • 右侧：\(\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \leq \chi^2_{1-\alpha/2} \implies \sigma^2 \geq \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}\)
  2. 合并不等式，得到：

    \[\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi^2\left(n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right)} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi^2\left(n-1,\frac{\alpha}{2}\right)} \]

因此，\(\mu\) 未知时，\(\sigma^2\) 的水平为 \(1-\alpha\) 的精确双侧置信区间为：

\[\boldsymbol{ \left[ \frac{S(X)}{\chi^2\left(n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right)},\ \frac{S(X)}{\chi^2\left(n-1,\frac{\alpha}{2}\right)} \right] } \]

步骤3：标准差\(\sigma\)的置信区间

由于平方根函数 \(g(x)=\sqrt{x}\) 是严格单调递增函数，根据引理7.1.1，对 \(\sigma^2\) 的置信区间上下限直接开平方，即可得到 \(\sigma\) 的置信区间：

\[\boldsymbol{ \left[ \sqrt{\frac{S(X)}{\chi^2\left(n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right)}},\ \sqrt{\frac{S(X)}{\chi^2\left(n-1,\frac{\alpha}{2}\right)}} \right] } \]

步骤4：\(\sigma^2\)的单侧置信上限推导

实际应用中，我们常关心方差的上限（如产品质量的波动上限），取单边分位数 \(\chi^2_{\alpha} = \chi^2(n-1,\alpha)\)，满足：

\[P_\sigma\left\{ \chi^2_{\alpha} \leq \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \right\} = 1-\alpha \]

反解不等式得：

\[\sigma^2 \leq \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi^2(n-1,\alpha)} \]

因此，\(\sigma^2\) 的水平为 \(1-\alpha\) 的置信上限为：

\[\boldsymbol{ \overline{\sigma^2}(X) = \frac{S(X)}{\chi^2(n-1,\alpha)} } \]

补充说明：若 \(\mu=\mu_0\) 已知，无需用样本均值估计总体均值，此时 \(\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_0)^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n)\)（自由度为 \(n\)，而非 \(n-1\)），只需将上述公式中的自由度替换为 \(n\)，\(S(X)\) 替换为 \(\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_0)^2\) 即可。

二、两独立正态总体的参数置信区间

设 \(X_1,X_2,\dots,X_n \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)\)，\(Y_1,Y_2,\dots,Y_m \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\)，两总体相互独立，定义：

  • 样本均值：\(\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\)，\(\bar{Y} = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^m Y_j\)
  • 样本离均差平方和：\(S_X = \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\)，\(S_Y = \sum_{j=1}^m (Y_j-\bar{Y})^2\)
  • 样本方差：\(\hat{\sigma}_1^2 = \frac{S_X}{n-1}\)，\(\hat{\sigma}_2^2 = \frac{S_Y}{m-1}\)

2.1 两总体方差相等（\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)）时，均值差\(\delta=\mu_1-\mu_2\)的置信区间

这是两总体均值比较的经典场景，核心是合并方差t区间，构造精确枢轴量。

步骤1：构造枢轴量并证明其分布

  1. 均值差的分布：\(\bar{X} \sim N(\mu_1, \sigma^2/n)\)，\(\bar{Y} \sim N(\mu_2, \sigma^2/m)\)，且独立，因此：

    \[\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left( \mu_1-\mu_2,\ \sigma^2\left( \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \right) \right) \]

    标准化后：

    \[Z = \frac{(\bar{X}-\bar{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \sim N(0,1) \]

  2. 合并方差的分布：由卡方分布的可加性，\(\frac{S_X}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)，\(\frac{S_Y}{\sigma^2} \sim \chi^2(m-1)\)，且独立，因此：

    \[W = \frac{S_X + S_Y}{\sigma^2} \sim \chi^2(n+m-2) \]

  3. 合并方差估计：定义合并无偏方差：

    \[\hat{\sigma}^2 = \frac{S_X + S_Y}{n+m-2} \]

    满足 \(E[\hat{\sigma}^2] = \sigma^2\)，是共同方差 \(\sigma^2\) 的无偏估计。

  4. 枢轴量构造：代入t分布定义，\(Z\) 与 \(W\) 独立，因此：

    \[G = \frac{Z}{\sqrt{W/(n+m-2)}} = \frac{(\bar{X}-\bar{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \sim t(n+m-2) \]

    分布与未知参数无关，是精确枢轴量。

步骤2：置信区间推导

取分位数 \(t_{1-\alpha/2}=t(n+m-2,1-\alpha/2)\)，满足：

\[P\left\{ -t_{1-\alpha/2} \leq \frac{(\bar{X}-\bar{Y}) - \delta}{\hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \leq t_{1-\alpha/2} \right\} = 1-\alpha \]

反解不等式，得到 \(\delta=\mu_1-\mu_2\) 的水平为 \(1-\alpha\) 的精确双侧置信区间：

\[\boldsymbol{ \left[ (\bar{X}-\bar{Y}) - t\left(n+m-2,1-\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}},\ (\bar{X}-\bar{Y}) + t\left(n+m-2,1-\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}} \right] } \]

2.2 两总体方差不等时，均值差\(\delta=\mu_1-\mu_2\)的大样本近似置信区间

当 \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\) 时，小样本下不存在精确枢轴量（该问题称为Behrens-Fisher问题），因此采用大样本渐近正态方法。

步骤1：构造渐近枢轴量

由中心极限定理，大样本下：

\[\frac{(\bar{X}-\bar{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{m}}} \stackrel{L}{\rightarrow} N(0,1) \]

用样本方差 \(\hat{\sigma}_1^2、\hat{\sigma}_2^2\) 分别代替总体方差 \(\sigma_1^2、\sigma_2^2\)，根据Slutsky定理，相合估计替代不改变极限分布，因此得到渐近枢轴量：

\[G = \frac{(\bar{X}-\bar{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\hat{\sigma}_1^2}{n} + \frac{\hat{\sigma}_2^2}{m}}} \stackrel{L}{\rightarrow} N(0,1) \]

步骤2：渐近置信区间推导

取标准正态分位数 \(z_{1-\alpha/2}\)，大样本下近似有：

\[P\left\{ \left| \frac{(\bar{X}-\bar{Y}) - \delta}{\sqrt{\frac{\hat{\sigma}_1^2}{n} + \frac{\hat{\sigma}_2^2}{m}}} \right| \leq z_{1-\alpha/2} \right\} \approx 1-\alpha \]

反解得到 \(\delta=\mu_1-\mu_2\) 的水平为 \(1-\alpha\) 的渐近置信区间：

\[\boldsymbol{ \left[ (\bar{X}-\bar{Y}) - z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{\sigma}_1^2}{n} + \frac{\hat{\sigma}_2^2}{m}},\ (\bar{X}-\bar{Y}) + z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{\sigma}_1^2}{n} + \frac{\hat{\sigma}_2^2}{m}} \right] } \]

2.3 两总体方差比\(\rho=\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\)的置信区间

方差比的估计是两总体方差齐性检验的核心，利用F分布构造精确枢轴量。

步骤1：构造枢轴量并证明其分布

F分布的定义：若 \(U \sim \chi^2(k_1)\)，\(V \sim \chi^2(k_2)\)，且独立，则 \(F = \frac{U/k_1}{V/k_2} \sim F(k_1,k_2)\)（第一自由度 \(k_1\)，第二自由度 \(k_2\) 的F分布）。

由正态分布性质：

  • \(\frac{(n-1)\hat{\sigma}_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2(n-1)\)，\(\frac{(m-1)\hat{\sigma}_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2(m-1)\)，且相互独立。

代入F分布定义，构造枢轴量：

\[G(X,Y;\rho) = \frac{\frac{(m-1)\hat{\sigma}_2^2}{\sigma_2^2}/(m-1)}{\frac{(n-1)\hat{\sigma}_1^2}{\sigma_1^2}/(n-1)} = \frac{\hat{\sigma}_2^2/\sigma_2^2}{\hat{\sigma}_1^2/\sigma_1^2} = \frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2 \cdot \rho} \]

该统计量服从 \(F(m-1, n-1)\) 分布，与未知参数 \(\rho\) 无关，是精确枢轴量。

步骤2：置信区间推导

取F分布的等尾分位数：

  • 下侧分位数：\(F_{\alpha/2} = F\left(m-1,n-1,\frac{\alpha}{2}\right)\)
  • 上侧分位数：\(F_{1-\alpha/2} = F\left(m-1,n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right)\)

满足：

\[P\left\{ F_{\alpha/2} \leq \frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2 \cdot \rho} \leq F_{1-\alpha/2} \right\} = 1-\alpha \]

对不等式做等价变形（所有项均为正数）：

  1. 左侧不等式：\(F_{\alpha/2} \leq \frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2 \cdot \rho} \implies \rho \leq \frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2 \cdot F_{\alpha/2}}\)
  2. 右侧不等式：\(\frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2 \cdot \rho} \leq F_{1-\alpha/2} \implies \rho \geq \frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2 \cdot F_{1-\alpha/2}}\)

因此，方差比 \(\rho=\sigma_2^2/\sigma_1^2\) 的水平为 \(1-\alpha\) 的精确置信区间为：

\[\boldsymbol{ \left[ \frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2 \cdot F\left(m-1,n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right)},\ \frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2 \cdot F\left(m-1,n-1,\frac{\alpha}{2}\right)} \right] } \]

实用补充：F分布的分位数性质 \(F(\alpha, k_1, k_2) = \frac{1}{F(1-\alpha, k_2, k_1)}\)，可通过常用的上侧分位数计算下侧分位数，避免查表缺失。

三、全知识点结构化归纳总结

表1 单样本正态总体参数置信区间汇总

待估参数 约束条件 枢轴量 枢轴量分布 置信水平\(1-\alpha\)的置信区间
均值\(\mu\) \(\sigma=\sigma_0\)已知 \(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma_0}\) \(N(0,1)\) \(\left[ \bar{X} \pm z_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} \right]\)
均值\(\mu\) \(\sigma\)未知 \(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\hat{\sigma}}\) \(t(n-1)\) \(\left[ \bar{X} \pm t\left(n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \right]\)
方差\(\sigma^2\) \(\mu\)未知 \(\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}\) \(\chi^2(n-1)\) \(\left[ \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi^2\left(n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right)},\ \frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi^2\left(n-1,\frac{\alpha}{2}\right)} \right]\)
标准差\(\sigma\) \(\mu\)未知 \(\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2}\) \(\chi^2(n-1)\) \(\left[ \sqrt{\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi^2\left(n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right)}},\ \sqrt{\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\chi^2\left(n-1,\frac{\alpha}{2}\right)}} \right]\)
方差\(\sigma^2\) \(\mu=\mu_0\)已知 \(\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_0)^2}{\sigma^2}\) \(\chi^2(n)\) \(\left[ \frac{\sum (X_i-\mu_0)^2}{\chi^2\left(n,1-\frac{\alpha}{2}\right)},\ \frac{\sum (X_i-\mu_0)^2}{\chi^2\left(n,\frac{\alpha}{2}\right)} \right]\)

表2 两独立正态总体参数置信区间汇总

待估参数 约束条件 枢轴量 枢轴量分布 置信水平\(1-\alpha\)的置信区间
均值差\(\mu_1-\mu_2\) \(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)未知 \(\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\) \(t(n+m-2)\) \(\left[ (\bar{X}-\bar{Y}) \pm t\left(n+m-2,1-\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}} \right]\)
均值差\(\mu_1-\mu_2\) \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\)，大样本 \(\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\hat{\sigma}_1^2}{n}+\frac{\hat{\sigma}_2^2}{m}}}\) 渐近\(N(0,1)\) \(\left[ (\bar{X}-\bar{Y}) \pm z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{\sigma}_1^2}{n}+\frac{\hat{\sigma}_2^2}{m}} \right]\)
方差比\(\sigma_2^2/\sigma_1^2\) \(\mu_1,\mu_2\)未知 \(\frac{\hat{\sigma}_2^2/\sigma_2^2}{\hat{\sigma}_1^2/\sigma_1^2}\) \(F(m-1,n-1)\) \(\left[ \frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2 \cdot F_{1-\alpha/2}},\ \frac{\hat{\sigma}_2^2}{\hat{\sigma}_1^2 \cdot F_{\alpha/2}} \right]\)

表3 核心注意事项与误区澄清

场景 核心注意事项 常见误区澄清
t分布区间 自由度为\(n-1\)，而非\(n\) 误区：用\(n\)作为自由度；纠正：估计了均值\(\mu\)，损失1个自由度，因此自由度为\(n-1\)
卡方分布区间 下限用\(1-\alpha/2\)分位数，上限用\(\alpha/2\)分位数 误区：上下限分位数写反；纠正：卡方分布是右偏分布，分位数越大，对应\(\sigma^2\)的区间下限越小
合并方差t区间 仅适用于两总体方差相等的场景 误区：方差不等时仍用合并方差；纠正：方差不等时大样本用正态近似，小样本用Satterthwaite近似自由度
方差比区间 F分布自由度顺序为\((m-1,n-1)\)，不可颠倒 误区：自由度顺序写反；纠正：分子是\(\hat{\sigma}_2^2\)，对应自由度\(m-1\)；分母是\(\hat{\sigma}_1^2\)，对应自由度\(n-1\)
精确vs近似区间 单样本、方差相等的两样本区间是精确区间，方差不等的是渐近区间 误区：大样本近似区间用于小样本；纠正：近似区间仅在样本量足够大（\(n,m>30\)）时覆盖概率接近名义水平

正态总体参数置信区间例题 完整推导与深度讲解

以下将对5道例题按适用场景→公式推导→逐步骤计算→结果解读的逻辑完整拆解，所有计算无跳步，同时澄清易混淆的核心细节，帮助你彻底掌握正态总体置信区间的应用方法。

例7.1.14 单正态总体（均值已知）方差的置信区间

适用场景

总体服从正态分布 \(N(\mu_0, \sigma^2)\)，均值\(\mu=\mu_0\)已知，仅需估计方差\(\sigma^2\)（或标准差\(\sigma\)），属于单样本正态总体参数估计的特殊场景。

核心公式推导

当均值\(\mu_0\)已知时，无需用样本均值估计总体均值，因此构造的枢轴量自由度为\(n\)（而非\(n-1\)）：

  1. 定义离均差平方和：\(T(X) = \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2\)
  2. 枢轴量构造：由正态分布性质，\(\frac{X_i - \mu_0}{\sigma} \sim N(0,1)\)，独立标准正态变量的平方和服从卡方分布，因此：

    \[G(X,\sigma^2) = \frac{T(X)}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i - \mu_0}{\sigma} \right)^2 \sim \chi^2(n) \]

    该分布与未知参数\(\sigma^2\)无关，是精确枢轴量。
  3. 置信区间推导：取卡方分布等尾分位数\(\chi^2_{\alpha/2}(n)\)和\(\chi^2_{1-\alpha/2}(n)\)，满足：

    \[P\left\{ \chi^2_{\alpha/2}(n) \leq \frac{T(X)}{\sigma^2} \leq \chi^2_{1-\alpha/2}(n) \right\} = 1-\alpha \]

    对不等式做等价变形（所有项为正数，乘除不改变不等号方向），得到\(\sigma^2\)的\(1-\alpha\)置信区间：

    \[\boldsymbol{ \left[ \frac{T(X)}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n)},\ \frac{T(X)}{\chi^2_{\alpha/2}(n)} \right] } \]

    标准差\(\sigma\)的置信区间为上下限直接开平方。

逐步骤计算与结果解读

已知条件

  • 总体：\(N(30, \sigma^2)\)，已知\(\mu_0=30\)，样本量\(n=6\)
  • 样本测量值：30.1, 29.9, 29.8, 30.3, 30.2, 29.6
  • 置信水平\(1-\alpha=0.95\)，\(\alpha=0.05\)

步骤1：计算离均差平方和\(T(X)\)

每个样本值与已知均值30的偏差平方和：

\[\begin{align*} (30.1-30)^2 &= 0.1^2 = 0.01 \\ (29.9-30)^2 &= (-0.1)^2 = 0.01 \\ (29.8-30)^2 &= (-0.2)^2 = 0.04 \\ (30.3-30)^2 &= 0.3^2 = 0.09 \\ (30.2-30)^2 &= 0.2^2 = 0.04 \\ (29.6-30)^2 &= (-0.4)^2 = 0.16 \\ \end{align*} \]

求和得：\(T(X) = 0.01+0.01+0.04+0.09+0.04+0.16 = \boldsymbol{0.35}\)

步骤2：方差与标准差的点估计

正态分布均值已知时，方差\(\sigma^2\)的极大似然估计（无偏）为：

\[\hat{\sigma}^2 = \frac{T(X)}{n} = \frac{0.35}{6} \approx \boldsymbol{0.058} \]

标准差点估计：\(\hat{\sigma} = \sqrt{0.058} \approx \boldsymbol{0.24}\)

步骤3：确定卡方分布分位数

自由度\(n=6\)，查卡方分布表得：

  • 上侧分位数：\(\chi^2_{0.975}(6) = 14.4494\)
  • 下侧分位数：\(\chi^2_{0.025}(6) = 1.2373\)

步骤4：计算置信区间

  • 方差\(\sigma^2\)的95%置信区间：

    \[\text{下限} = \frac{0.35}{14.4494} \approx 0.0242, \quad \text{上限} = \frac{0.35}{1.2373} \approx 0.2829 \]

    即\(\boldsymbol{[0.0242, 0.2829]}\)
  • 标准差\(\sigma\)的95%置信区间：对上下限开平方

    \[\text{下限} = \sqrt{0.0242} \approx 0.16, \quad \text{上限} = \sqrt{0.2829} \approx 0.53 \]

    即\(\boldsymbol{[0.16, 0.53]}\)

结果解读

标准差的点估计0.24落在95%置信区间\([0.16,0.53]\)内，结果合理；该区间给出了测量仪精度的波动范围，95%的置信水平下，测量值的标准差不超过0.53mm。

例7.1.15 单正态总体（均值方差均未知）的置信区间

适用场景

总体服从正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\)，均值\(\mu\)和方差\(\sigma^2\)均未知，是实际应用中最常见的单样本正态估计场景，均值用t分布构造区间，方差用卡方分布构造区间。

逐步骤计算与结果解读

已知条件

  • 总体：\(N(\mu, \sigma^2)\)，\(\mu、\sigma^2\)均未知，样本量\(n=10\)
  • 样本测量值（单位：kg）：10.1, 10, 9.8, 10.5, 9.7, 10.1, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9
  • 置信水平\(1-\alpha=0.95\)，\(\alpha=0.05\)

步骤1：计算样本统计量

  1. 样本均值：

    \[\bar{x} = \frac{1}{10}(10.1+10+9.8+10.5+9.7+10.1+9.9+10.2+10.3+9.9) = \frac{100.5}{10} = \boldsymbol{10.05} \]

  2. 样本离均差平方和：每个样本值与均值10.05的偏差平方和

    \[S(x) = \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = \boldsymbol{0.525} \]

  3. 样本方差（无偏）：

    \[\hat{\sigma}^2 = \frac{S(x)}{n-1} = \frac{0.525}{9} \approx \boldsymbol{0.0583} \]

    样本标准差：\(\hat{\sigma} = \sqrt{0.0583} \approx 0.24\)

步骤2：均值\(\mu\)的95%置信区间

方差未知时，均值的置信区间用t分布构造，枢轴量为\(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\hat{\sigma}} \sim t(n-1)\)，区间公式为：

\[\left[ \bar{x} - t_{1-\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + t_{1-\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \right] \]

  1. 确定分位数：自由度\(n-1=9\)，查t分布表得\(t_{0.975}(9)=2.2622\)
  2. 计算边际误差：\(2.2622 \times \frac{0.24}{\sqrt{10}} \approx 0.18\)
  3. 区间上下限：\(10.05 - 0.18 = 9.87\)，\(10.05 + 0.18 = 10.22\)

因此，均值\(\mu\)的95%置信区间为\(\boldsymbol{[9.87, 10.22]}\)。

步骤3：方差\(\sigma^2\)的95%置信区间

方差的置信区间用卡方分布构造，枢轴量为\(\frac{(n-1)\hat{\sigma}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)，区间公式为：

\[\left[ \frac{S(x)}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)},\ \frac{S(x)}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)} \right] \]

  1. 确定分位数：自由度\(n-1=9\)，查卡方分布表得\(\chi^2_{0.975}(9)=19.023\)，\(\chi^2_{0.025}(9)=2.70\)
  2. 区间上下限：\(\frac{0.525}{19.023} \approx 0.028\)，\(\frac{0.525}{2.70} \approx 0.194\)

因此，方差\(\sigma^2\)的95%置信区间为\(\boldsymbol{[0.028, 0.194]}\)。

结果解读

95%置信水平下，器件质量的均值在9.87kg到10.22kg之间，方差不超过0.194，测量结果的波动在合理范围内。

例7.1.16 两正态总体（方差相等）均值差的置信区间

适用场景

两个独立正态总体，方差相等但未知，需估计两总体均值之差\(\delta=\mu_1-\mu_2\)，属于两样本均值比较的经典场景，用合并方差t区间构造精确置信区间。

核心公式

两总体方差相等时，构造合并方差估计：

\[\hat{\sigma}^2 = \frac{S_X + S_Y}{n+m-2}, \quad S_X=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2,\ S_Y=\sum_{j=1}^m (Y_j-\bar{Y})^2 \]

枢轴量为：

\[\frac{(\bar{X}-\bar{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}} \sim t(n+m-2) \]

均值差\(\delta=\mu_1-\mu_2\)的\(1-\alpha\)置信区间为：

\[\boldsymbol{ \left[ (\bar{x}-\bar{y}) - t_{1-\alpha/2}(n+m-2) \cdot \hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}},\ (\bar{x}-\bar{y}) + t_{1-\alpha/2}(n+m-2) \cdot \hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}} \right] } \]

逐步骤计算与结果解读

已知条件

  • 甲品种（总体1）：\(N(\mu_1, \sigma^2)\)，样本量\(n=8\)，样本值：628, 583, 510, 554, 612, 523, 530, 615
  • 乙品种（总体2）：\(N(\mu_2, \sigma^2)\)，样本量\(m=10\)，样本值：535, 433, 398, 470, 567, 480, 498, 560, 503, 426
  • 两总体独立、方差相等，置信水平\(1-\alpha=0.95\)

步骤1：计算样本统计量

  1. 样本均值：
    • 甲品种：\(\bar{x} = \frac{628+583+510+554+612+523+530+615}{8} = \boldsymbol{569.38}\)
    • 乙品种：\(\bar{y} = \frac{535+433+398+470+567+480+498+560+503+426}{10} = \boldsymbol{487.00}\)
    • 均值差：\(\bar{x}-\bar{y} = 569.38 - 487.00 = \boldsymbol{82.38}\)
  2. 离均差平方和：\(S_{xy} = S_X + S_Y = \boldsymbol{210.45}\)（合并平方和）
  3. 自由度：\(n+m-2 = 8+10-2 = 16\)

步骤2：确定分位数与计算区间

  1. 分位数：查t分布表得\(t_{0.975}(16) = 2.1199\)
  2. 标准误：\(\hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}} = \sqrt{\frac{S_{xy}}{n+m-2}} \times \sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{10}} \approx 24.97\)
  3. 边际误差：\(2.1199 \times 24.97 \approx 52.92\)
  4. 区间上下限：\(82.38 - 52.92 = 29.46\)，\(82.38 + 52.92 = 135.30\)

因此，均值差\(\mu_1-\mu_2\)的95%置信区间为\(\boldsymbol{[29.46, 135.30]}\)。

结果解读

置信区间的上下限均大于0，说明在95%的置信水平下，甲品种的平均产量显著高于乙品种，甲品种更具种植优势。

例7.1.17 两正态总体（方差不等、大样本）均值差的置信区间

适用场景

两个独立正态总体，方差不等且未知，但样本量足够大（\(n,m>30\)），利用中心极限定理构造渐近正态置信区间，属于Behrens-Fisher问题的大样本近似解法。

核心公式

大样本下，由Slutsky定理，用样本方差替代总体方差，渐近枢轴量为：

\[\frac{(\bar{X}-\bar{Y}) - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n} + \frac{S_2^2}{m}}} \stackrel{L}{\rightarrow} N(0,1) \]

均值差\(\delta=\mu_1-\mu_2\)的\(1-\alpha\)渐近置信区间为：

\[\boldsymbol{ \left[ (\bar{x}-\bar{y}) - z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{S_1^2}{n} + \frac{S_2^2}{m}},\ (\bar{x}-\bar{y}) + z_{1-\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{S_1^2}{n} + \frac{S_2^2}{m}} \right] } \]

逐步骤计算与结果解读

已知条件

  • 男性（总体1）：\(N(\mu_1, \sigma_1^2)\)，样本量\(n=156\)，样本均值\(\bar{x}=465.13\)，样本方差\(S_1^2=54.80\)
  • 女性（总体2）：\(N(\mu_2, \sigma_2^2)\)，样本量\(m=74\)，样本均值\(\bar{y}=422.16\)，样本方差\(S_2^2=49.20\)
  • 两总体独立，置信水平\(1-\alpha=0.95\)

步骤1：计算核心统计量

  1. 均值差：\(\bar{x}-\bar{y} = 465.13 - 422.16 = \boldsymbol{42.97}\)
  2. 标准误：

    \[\tilde{\sigma} = \sqrt{\frac{S_1^2}{n} + \frac{S_2^2}{m}} = \sqrt{\frac{54.80}{156} + \frac{49.20}{74}} \approx \boldsymbol{7.21} \]

步骤2：确定分位数与计算区间

  1. 标准正态分位数：\(z_{0.975}=1.96\)
  2. 边际误差：\(1.96 \times 7.21 \approx 14.13\)
  3. 区间上下限：\(42.97 - 14.13 = 28.84\)，\(42.97 + 14.13 = 57.10\)

因此，均值差\(\mu_1-\mu_2\)的95%渐近置信区间为\(\boldsymbol{[28.84, 57.10]}\)。

结果解读

置信区间上下限均大于0，说明在95%的置信水平下，该地区男性红细胞平均值显著高于女性，与假设检验结论一致。

例7.1.18 两正态总体方差比的置信区间

适用场景

两个独立正态总体，需估计方差比\(\rho=\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\)，是方差齐性检验的核心方法，利用F分布构造精确置信区间。

核心公式推导

设两总体样本方差（无偏）为\(\tilde{\sigma}_1^2 = \frac{S_X}{n-1}\)，\(\tilde{\sigma}_2^2 = \frac{S_Y}{m-1}\)，由卡方分布性质：

\[\frac{(n-1)\tilde{\sigma}_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2(n-1), \quad \frac{(m-1)\tilde{\sigma}_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2(m-1) \]

二者独立，由F分布定义，构造枢轴量：

\[G = \frac{\frac{(m-1)\tilde{\sigma}_2^2}{\sigma_2^2}/(m-1)}{\frac{(n-1)\tilde{\sigma}_1^2}{\sigma_1^2}/(n-1)} = \frac{\tilde{\sigma}_2^2 / \sigma_2^2}{\tilde{\sigma}_1^2 / \sigma_1^2} \sim F(m-1, n-1) \]

取F分布等尾分位数，反解得到方差比\(\rho=\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\)的\(1-\alpha\)置信区间：

\[\boldsymbol{ \left[ \frac{\tilde{\sigma}_2^2}{\tilde{\sigma}_1^2 \cdot F_{1-\alpha/2}(m-1,n-1)},\ \frac{\tilde{\sigma}_2^2}{\tilde{\sigma}_1^2 \cdot F_{\alpha/2}(m-1,n-1)} \right] } \]

逐步骤计算与结果解读

已知条件

  • 甲机床（总体1）：\(N(\mu_1, \sigma_1^2)\)，样本量\(n=6\)，样本值：4.98, 5.03, 4.97, 4.99, 5.02, 4.95
  • 乙机床（总体2）：\(N(\mu_2, \sigma_2^2)\)，样本量\(m=5\)，样本值：5.06, 5.08, 5.03, 5.00, 5.07
  • 两总体独立，置信水平\(1-\alpha=0.95\)

步骤1：计算样本统计量

  1. 样本均值：
    • 甲机床：\(\bar{x} = \frac{4.98+5.03+4.97+4.99+5.02+4.95}{6} = \boldsymbol{4.990}\)
    • 乙机床：\(\bar{y} = \frac{5.06+5.08+5.03+5.00+5.07}{5} = \boldsymbol{5.048}\)
  2. 样本方差（无偏）：
    • 甲机床：\(\tilde{\sigma}_1^2 = \frac{\sum_{i=1}^6 (x_i-\bar{x})^2}{6-1} = \boldsymbol{0.00092}\)
    • 乙机床：\(\tilde{\sigma}_2^2 = \frac{\sum_{j=1}^5 (y_j-\bar{y})^2}{5-1} = \boldsymbol{0.00037}\)
  3. 方差比：\(\frac{\tilde{\sigma}_2^2}{\tilde{\sigma}_1^2} = \frac{0.00037}{0.00092} \approx 0.4022\)

步骤2：确定F分布分位数

自由度为\((m-1, n-1)=(4,5)\)，查F分布表得：

  • 上侧分位数：\(F_{0.975}(4,5) = 7.39\)
  • 下侧分位数：\(F_{0.025}(4,5) = \frac{1}{F_{0.975}(5,4)} = 0.1068\)

步骤3：计算置信区间

  • 下限：\(\frac{0.4022}{7.39} \approx 0.0544\)
  • 上限：\(\frac{0.4022}{0.1068} \approx 3.7667\)

因此，方差比\(\rho=\sigma_2^2/\sigma_1^2\)的95%置信区间为\(\boldsymbol{[0.0544, 3.7667]}\)。

结果解读

置信区间包含1，说明在95%的置信水平下，无法认为两台机床加工的零件直径方差存在显著差异，两台机床的加工精度一致。

全例题核心信息汇总表

例题编号 待估参数 总体场景 约束条件 枢轴量分布 95%置信区间核心结果
7.1.14 方差\(\sigma^2\)、标准差\(\sigma\) 单正态总体 均值\(\mu_0=30\)已知 \(\chi^2(n=6)\) \(\sigma^2\)：\([0.0242, 0.2829]\)
\(\sigma\)：\([0.16, 0.53]\)
7.1.15 均值\(\mu\)、方差\(\sigma^2\) 单正态总体 均值、方差均未知 \(\mu\)：\(t(n-1=9)\)
\(\sigma^2\)：\(\chi^2(n-1=9)\)		 \(\mu\)：\([9.87, 10.22]\)
\(\sigma^2\)：\([0.028, 0.194]\)
7.1.16 均值差\(\mu_1-\mu_2\) 两独立正态总体 方差相等未知 \(t(n+m-2=16)\) \([29.46, 135.30]\)
7.1.17 均值差\(\mu_1-\mu_2\) 两独立正态总体 方差不等、大样本 渐近\(N(0,1)\) \([28.84, 57.10]\)
7.1.18 方差比\(\sigma_2^2/\sigma_1^2\) 两独立正态总体 均值、方差均未知 \(F(m-1=4, n-1=5)\) \([0.0544, 3.7667]\)

posted on 2026-02-27 19:21  Indian_Mysore  阅读(0)  评论(0)    收藏  举报

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