4.2.1位置参数分布族的平移变换群

位置参数分布族的平移变换群 知识点详解与推导证明

我将从基础定义出发，逐层拆解核心概念，完成所有关键结论的严格推导，最后用结构化表格归纳全知识点。

一、位置参数分布族的核心定义与基础性质

1. 位置参数分布族的定义

设n维随机样本 \(X=(X_1,X_2,\dots,X_n)^T\)，其联合概率密度（分布）为 \(p(x,\theta)\)，若满足：

\[p(x,\theta) = f(x - \theta \mathbf{1}) = f(x_1-\theta, x_2-\theta, \dots, x_n-\theta) \]

其中：

• 位置参数 \(\theta \in \Theta = \mathbb{R}=(-\infty,+\infty)\)，
• \(\mathbf{1}=(1,1,\dots,1)^T\) 为n维全1向量，
• \(f(\cdot)\) 是与\(\theta\)无关的n元密度函数，

则称分布族 \(\{P_\theta, \theta\in\mathbb{R}\}\) 为位置参数分布族。

直观理解与典型例子

位置参数\(\theta\)仅控制分布在数轴上的“平移”，不改变分布的形状与离散程度。最经典的例子是正态分布族 \(\{N(\theta,1)\}\)：
其单样本密度为 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\theta)^2}{2}}\)，符合 \(f(x-\theta)\) 的形式，其中 \(f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\) 是标准正态分布\(N(0,1)\)的密度，也就是\(\theta=0\)时的标准分布。

2. 位置参数分布族的核心性质与证明

性质：若 \(X \sim P_\theta\)，则 \(Y = X - \theta \mathbf{1} \sim P_0\)（标准分布，与\(\theta\)无关）；反之，若 \(Y \sim P_0\)，则 \(X = Y + \theta \mathbf{1} \sim P_\theta\)。

严格证明

（1）正向证明：\(X \sim P_\theta \implies Y=X-\theta\mathbf{1} \sim P_0\)

对线性变换 \(y_i = x_i - \theta \ (i=1,\dots,n)\)，其逆变换为 \(x_i = y_i + \theta\)，雅可比矩阵为n阶单位矩阵，行列式的绝对值 \(|J|=1\)。

已知\(X\)的联合密度为 \(p_X(x,\theta)=f(x_1-\theta,x_2-\theta,\dots,x_n-\theta)\)，根据随机变量变换的密度公式，\(Y\)的联合密度为：

\[\begin{align*} p_Y(y) &= p_X(y_1+\theta, y_2+\theta, \dots, y_n+\theta) \cdot |J| \\ &= f\left( (y_1+\theta)-\theta, (y_2+\theta)-\theta, \dots, (y_n+\theta)-\theta \right) \cdot 1 \\ &= f(y_1, y_2, \dots, y_n) \end{align*} \]

该式与\(\theta\)完全无关，正是\(\theta=0\)时标准分布\(P_0\)的密度，正向得证。

（2）反向证明：\(Y \sim P_0 \implies X=Y+\theta\mathbf{1} \sim P_\theta\)

同理，对逆变换 \(y_i = x_i - \theta\)，雅可比行列式\(|J|=1\)，\(Y\)的密度为\(p_Y(y)=f(y_1,\dots,y_n)\)，因此\(X\)的联合密度为：

\[\begin{align*} p_X(x,\theta) &= p_Y(x_1-\theta, x_2-\theta, \dots, x_n-\theta) \cdot |J| \\ &= f(x_1-\theta, x_2-\theta, \dots, x_n-\theta) \end{align*} \]

完全符合位置参数分布族\(P_\theta\)的密度定义，反向得证。

性质的核心意义

位置参数分布族的所有分布，都可以通过标准分布\(P_0\)的平移生成，这是“位置参数”的本质，也是后续平移变换群与同变估计的理论基础。

二、平移变换群体系的定义与推导

“群”是满足封闭性、结合律、单位元存在、逆元存在四条公理的变换集合，平移变换天然满足群的定义，我们从样本空间、参数空间、判决空间三个维度完整推导。

1. 样本空间的平移变换群

设样本空间 \(\mathcal{X} = \mathbb{R}^n\)（n维实数空间），定义平移变换集合 \(G = \{g_c: c\in\mathbb{R}\}\)，其中每个变换\(g_c\)的作用为：

\[g_c x = x + c\mathbf{1}, \quad \text{即} \quad g_c x_i = x_i + c, \ i=1,2,\dots,n \]

含义是对样本的每个分量同步加上常数\(c\)，实现样本整体平移。

证明\(G\)是一个群

1. 封闭性：对任意\(g_c, g_d \in G\)，有 \(g_c(g_d x) = g_c(x+d\mathbf{1}) = x + (c+d)\mathbf{1} = g_{c+d}x\)，结果仍属于\(G\)；
2. 结合律：\((g_c g_d)g_e = g_{c+d}g_e = g_{(c+d)+e} = g_{c+(d+e)} = g_c(g_d g_e)\)，结合律成立；
3. 单位元：取\(c=0\)，\(g_0 x = x + 0\cdot\mathbf{1}=x\)，为恒等变换，单位元存在；
4. 逆元：对任意\(g_c \in G\)，取\(g_{-c}\)，则\(g_c g_{-c} x = x = g_0 x\)，逆元存在。

因此\(G\)是样本空间上的平移变换群。

2. 参数空间的导出群

样本做平移变换后，我们需要推导对应参数的变换规律，这就是参数空间导出群的来源。

设\(X \sim P_\theta\)，令\(Y = g_c X = X + c\mathbf{1}\)（即\(Y_i=X_i+c\)），我们推导\(Y\)的分布：
对变换\(y_i = x_i + c\)，逆变换\(x_i = y_i - c\)，雅可比行列式\(|J|=1\)，因此\(Y\)的联合密度为：

\[\begin{align*} p_Y(y,\theta) &= p_X(y_1 - c, y_2 - c, \dots, y_n - c) \cdot |J| \\ &= f\left( (y_1 - c) - \theta, (y_2 - c) - \theta, \dots, (y_n - c) - \theta \right) \\ &= f\left( y_1 - (\theta + c), y_2 - (\theta + c), \dots, y_n - (\theta + c) \right) \end{align*} \]

该式正是位置参数分布族中，参数为\(\theta' = \theta + c\)时的密度，即\(Y \sim P_{\theta + c}\)。

核心结论

1. 样本平移\(c\)后，分布仍属于原位置参数分布族，因此\(\{P_\theta, \theta\in\mathbb{R}\}\)是平移不变分布族；
2. 样本的平移\(c\)，对应参数同步平移\(c\)，因此定义参数空间\(\Theta=\mathbb{R}\)上的导出群 \(\overline{G} = \{\overline{g}_c: c\in\mathbb{R}\}\)，其中变换规则为：

\[\overline{g}_c \theta = \theta + c = \theta' \]

\(\overline{G}\)同样满足群的四条公理，与样本空间的变换群\(G\)同态。

3. 判决空间的导出群

我们的目标是估计位置参数\(\theta\)，因此判决空间\(\mathcal{D}\)（估计量的取值空间）就是参数空间\(\Theta=\mathbb{R}\)。

为了保证估计的协调性：样本平移\(c\)、参数平移\(c\)，估计值也应同步平移\(c\)，因此定义判决空间上的导出群 \(G^* = \overline{G} = \{g_c^*: c\in\mathbb{R}\}\)，变换规则为：

\[g_c^* d = d + c, \quad d\in\mathcal{D} \]

特别地，对估计量\(\hat{\theta}(x)\)，有 \(g_c^* \hat{\theta}(x) = \hat{\theta}(x) + c\)。

三、平移同变估计与同变损失函数

1. 平移同变估计与同变条件

同变估计的核心思想：统计推断的结果应与变换群保持协调，样本做平移变换时，估计值同步平移，不改变推断的逻辑。

同变条件的推导

同变估计的通用定义：对样本空间群\(G\)、参数空间导出群\(\overline{G}\)、判决空间导出群\(G^*\)，若估计量\(\hat{\theta}(x)\)满足：

\[\hat{\theta}(g x) = g^* \hat{\theta}(x), \quad \forall g\in G, g^*\in G^* \]

则称\(\hat{\theta}(x)\)为同变估计量。

将平移变换\(g=g_c\)、\(g^*=g_c^*\)代入，结合\(g_c x = x + c\mathbf{1}\)、\(g_c^* \hat{\theta}(x)=\hat{\theta}(x)+c\)，直接得到平移同变条件：

\[\hat{\theta}(x + c\mathbf{1}) = \hat{\theta}(x) + c, \quad \forall c\in\mathbb{R}, x\in\mathcal{X} \tag{4.2.1} \]

这是平移同变估计必须满足的充要条件。

2. 核心推论与证明

推论：若\(\hat{\theta}(X)\)是\(\theta\)的平移同变估计，则必有

\[\hat{\theta}(X - \theta \mathbf{1}) = \hat{\theta}(X) - \theta \]

严格证明

同变条件(4.2.1)对任意实数\(c\)均成立，因此取\(c=-\theta\)，代入式(4.2.1)：

• 左边：\(\hat{\theta}(x + c\mathbf{1}) = \hat{\theta}(x - \theta \mathbf{1})\)
• 右边：\(\hat{\theta}(x) + c = \hat{\theta}(x) - \theta\)

左右两边恒等，因此\(\hat{\theta}(X - \theta \mathbf{1}) = \hat{\theta}(X) - \theta\)，推论得证。

推论的核心意义

我们已经证明\(X - \theta \mathbf{1} \sim P_0\)，其分布与\(\theta\)无关，因此\(\hat{\theta}(X - \theta \mathbf{1})\)的分布也与\(\theta\)无关。结合推论可得：
平移同变估计的估计误差\(\hat{\theta}(X)-\theta\)，其分布与未知参数\(\theta\)完全无关。
这是同变估计最核心的性质，也是求解最小风险同变估计（MREE）的关键基础。

3. 平移同变损失函数

为了保证风险函数与变换群协调，损失函数也需要满足平移同变性。

平移同变损失的定义

损失函数\(L(\theta,d)\)满足：对任意\(c\in\mathbb{R}\)，有

\[L(\theta, d) = L(\overline{g}_c \theta, g_c^* d) = L(\theta + c, d + c) \]

直观含义：参数和估计值同步平移\(c\)时，估计误差不变，损失也保持不变。

同变损失函数的标准形式推导

对任意\(\theta,d\)，取\(c=-\theta\)，代入同变条件得：

\[L(\theta, d) = L(\theta - \theta, d - \theta) = L(0, d - \theta) \]

令\(\rho(t) = L(0, t)\)（\(t=d-\theta\)为估计误差），则平移同变损失函数的充要标准形式为：

\[L(\theta, d) = \rho(d - \theta) \tag{4.2.2} \]

常见例子

1. 均方损失（平方误差损失）：\(L(\theta,d)=(d-\theta)^2\)，对应\(\rho(t)=t^2\)；
2. 绝对误差损失：\(L(\theta,d)=|d-\theta|\)，对应\(\rho(t)=|t|\)。

核心结论

结合同变估计的性质，平移同变估计的风险函数为：

\[R(\theta,\hat{\theta}) = E_\theta\left[ L(\theta,\hat{\theta}(X)) \right] = E_\theta\left[ \rho(\hat{\theta}(X)-\theta) \right] \]

由于\(\hat{\theta}(X)-\theta\)的分布与\(\theta\)无关，因此风险\(R(\theta,\hat{\theta})\)是与\(\theta\)无关的常数。这意味着：求解最小风险同变估计（MREE）时，只需在同变估计类中找到使该常数风险最小的估计量，无需考虑\(\theta\)的取值，极大简化了估计问题。

四、知识点结构化归纳总结

模块分类	核心概念	数学表达式	核心意义与说明
基础定义	位置参数分布族	样本\(X=(X_1,\dots,X_n)^T\)的联合密度\(p(x,\theta)=f(x-\theta\mathbf{1})=f(x_1-\theta,\dots,x_n-\theta)\)，\(\theta\in\mathbb{R}\)	分布族由标准分布\(f(\cdot)\)平移生成，\(\theta\)仅控制分布位置，不改变形状；典型例子：\(N(\theta,1)\)分布族
基础定义	标准分布	\(\theta=0\)时，\(X\sim P_0\)，密度为\(f(x_1,\dots,x_n)\)	分布族的基准分布，与\(\theta\)无关，所有\(P_\theta\)均可由\(P_0\)平移得到
变换群体系	样本空间平移变换群\(G\)	\(G=\{g_c:c\in\mathbb{R}\}\)，\(g_c x = x + c\mathbf{1}\)，即\(g_c x_i = x_i + c\)	对样本做同步平移，满足群的封闭性、结合律、单位元、逆元四条公理
变换群体系	参数空间导出群\(\overline{G}\)	\(\overline{G}=\{\overline{g}_c:c\in\mathbb{R}\}\)，\(\overline{g}_c \theta = \theta + c\)	样本平移\(c\)对应参数同步平移\(c\)，证明位置参数分布族是平移不变分布族
变换群体系	判决空间导出群\(G^*\)	\(G^*=\{g_c^*:c\in\mathbb{R}\}\)，\(g_c^* d = d + c\)，即\(g_c^* \hat{\theta}(x)=\hat{\theta}(x)+c\)	保证估计值与样本、参数同步平移，是同变估计的核心前提
同变估计	平移同变条件	\(\hat{\theta}(x + c\mathbf{1}) = \hat{\theta}(x) + c\)，\(\forall c\in\mathbb{R},x\in\mathcal{X}\)	平移同变估计的充要条件，直观含义：样本整体平移\(c\)，估计值同步平移\(c\)
同变估计	核心推论	若\(\hat{\theta}(X)\)是平移同变估计，则\(\hat{\theta}(X - \theta\mathbf{1}) = \hat{\theta}(X) - \theta\)	1. 由同变条件取\(c=-\theta\)直接推导； 2. 核心结论：估计误差\(\hat{\theta}(X)-\theta\)的分布与\(\theta\)无关
同变损失函数	平移同变损失条件	\(L(\theta,d) = L(\theta + c, d + c)\)，\(\forall c\in\mathbb{R}\)	损失仅与估计误差有关，与参数、估计值的绝对位置无关
同变损失函数	同变损失标准形式	\(L(\theta,d) = \rho(d - \theta)\)，其中\(\rho(t)=L(0,t)\)	平移同变损失的充要形式，常见例子：均方损失\(\rho(t)=t^2\)、绝对损失\(\rho(t)=|t|\)
最终核心结论	同变估计的风险性质	平移同变估计的风险\(R(\theta,\hat{\theta})=E_\theta[\rho(\hat{\theta}(X)-\theta)]\)为与\(\theta\)无关的常数	风险不依赖未知参数\(\theta\)，为求解最小风险同变估计（MREE）提供了核心简化依据

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位置参数的最优同变估计（MREE）知识点详解与完整推导

本节承接上一节平移变换群与同变估计的基础，核心目标是：在平移同变估计类中，找到使平移同变损失下风险最小的估计量——最小风险同变估计（MREE，也叫最优同变估计），最终推导出经典的Pitman估计公式，并完成所有结论的严格证明与应用讲解。

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一、核心前置概念：平移不变量与最大不变量

要刻画所有平移同变估计的通用结构，首先需要明确平移不变量的定义与性质，它是连接所有同变估计的核心桥梁。

1. 平移不变量的定义

设\(g_c\)为样本空间的平移变换（\(g_c x = x + c\mathbf{1}\)），若统计量\(u(x)\)满足：

\[u(g_c x) = u(x), \quad \forall c\in\mathbb{R} \]

即样本整体平移后，统计量的取值保持不变，则称\(u(x)\)为平移不变量。

• 直观例子：样本分量的差\(x_2-x_1, x_{(n)}-x_{(1)}\)等，都是平移不变量——所有分量同步加\(c\)后，差值完全不变。

2. 核心引理与证明

引理4.2.1 同变估计与不变量的关系

设\(\hat{\theta}_1(x)\)和\(\hat{\theta}_2(x)\)都是\(\theta\)的平移同变估计，则\(u(x)=\hat{\theta}_1(x)-\hat{\theta}_2(x)\)为平移不变量；
反之，若\(\hat{\theta}_1(x)\)为平移同变估计，\(u(x)\)为平移不变量，则\(\hat{\theta}_2(x)=\hat{\theta}_1(x)+u(x)\)也是\(\theta\)的平移同变估计。

严格证明

1. 正向证明（同变估计的差是不变量）
   由平移同变条件\(\hat{\theta}(x + c\mathbf{1}) = \hat{\theta}(x) + c\)，对\(u(x)=\hat{\theta}_1(x)-\hat{\theta}_2(x)\)有：

\[\begin{align*} u(x + c\mathbf{1}) &= \hat{\theta}_1(x + c\mathbf{1}) - \hat{\theta}_2(x + c\mathbf{1}) \\ &= \left[\hat{\theta}_1(x) + c\right] - \left[\hat{\theta}_2(x) + c\right] \\ &= \hat{\theta}_1(x) - \hat{\theta}_2(x) = u(x) \end{align*} \]

满足平移不变量的定义，正向得证。

2. 反向证明（同变估计+不变量仍是同变估计）
   已知\(\hat{\theta}_1(x)\)满足同变条件，\(u(x + c\mathbf{1})=u(x)\)，则对\(\hat{\theta}_2(x)=\hat{\theta}_1(x)+u(x)\)有：

\[\begin{align*} \hat{\theta}_2(x + c\mathbf{1}) &= \hat{\theta}_1(x + c\mathbf{1}) + u(x + c\mathbf{1}) \\ &= \hat{\theta}_1(x) + c + u(x) \\ &= \hat{\theta}_2(x) + c \end{align*} \]

满足平移同变条件，反向得证。

引理核心意义

该引理完全刻画了平移同变估计类的结构：
只要找到任意一个「基准平移同变估计」，所有平移同变估计都可以表示为「基准估计 + 一个平移不变量」。这为我们求解MREE提供了核心思路：无需遍历所有同变估计，只需在基准估计+不变量的通用结构中，找到使风险最小的不变量即可。

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引理4.2.2 平移不变量的充要条件

\(u(x)\)为平移不变量的充要条件是：存在函数\(\psi(\cdot)\)，使得\(u(x)=\psi(y)\)，其中

\[y = y(x) = (x_2 - x_1, x_3 - x_1, \dots, x_n - x_1)^T \]

且平移不变量\(u(X)\)的分布仅与标准分布\(P_0\)（\(\theta=0\)时的分布）有关，与未知参数\(\theta\)无关。

严格证明

1. 必要性（不变量必为\(y\)的函数）
   若\(u(x)\)是平移不变量，则对任意\(c\)有\(u(x + c\mathbf{1})=u(x)\)。取\(c=-x_1\)，代入得：

\[u(x) = u(x_1 - x_1, x_2 - x_1, \dots, x_n - x_1) = u(0, x_2 - x_1, \dots, x_n - x_1) \]

该式仅与\(y=(x_2-x_1,\dots,x_n-x_1)^T\)有关，因此存在\(\psi(\cdot)\)使得\(u(x)=\psi(y)\)，必要性得证。

同时，取\(c=-\theta\)，则\(u(x)=u(x - \theta\mathbf{1})\)，而\(X - \theta\mathbf{1} \sim P_0\)（与\(\theta\)无关），因此\(u(X)\)的分布仅由\(P_0\)决定，与\(\theta\)无关。

2. 充分性（\(y\)的函数必为不变量）
   若\(u(x)=\psi(y)\)，对\(y\)的任意分量\(y_i = x_i - x_1\)，样本平移后有：

\[y_i(x + c\mathbf{1}) = (x_i + c) - (x_1 + c) = x_i - x_1 = y_i(x) \]

即\(y(x + c\mathbf{1})=y(x)\)，因此\(u(x + c\mathbf{1})=\psi(y(x + c\mathbf{1}))=\psi(y(x))=u(x)\)，满足平移不变量的定义，充分性得证。

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定义4.2.1 最大平移不变量

称\(y=y(x)\)为最大平移不变量，若满足：

1. \(y(x)\)本身是平移不变量；
2. 任意一个平移不变量\(u(x)\)，都可以表示为\(y(x)\)的函数，即存在\(\psi(\cdot)\)使得\(u(x)=\psi(y(x))\)。

关键说明

• 引理4.2.2中的\(y=(x_2-x_1,\dots,x_n-x_1)^T\)是最常用的最大平移不变量；
• 最大不变量不唯一：例如以\(x_n\)为基准，\(z=(x_1-x_n, x_2-x_n, \dots, x_{n-1}-x_n)^T\)也是最大平移不变量；
• 核心性质：所有最大不变量都能完全刻画平移不变量的全部信息，任意不变量都可由其生成。

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引理4.2.3 平移同变估计的通用表达式

设\(\hat{\theta}(x)\)为\(\theta\)的某一基准平移同变估计，则任意一个平移同变估计\(\hat{\theta}^*(x)\)都可表示为：

\[\hat{\theta}^*(x) = \hat{\theta}(x) - \psi(y), \quad y=(x_2-x_1,\dots,x_n-x_1)^T \]

其中\(\psi(\cdot)\)是关于最大不变量\(y\)的任意函数。

严格证明

由引理4.2.1，\(\hat{\theta}^*(x) - \hat{\theta}(x)\)是平移不变量；再由引理4.2.2，该不变量必为最大不变量\(y\)的函数，记为\(\psi(y)\)，即：

\[\hat{\theta}^*(x) - \hat{\theta}(x) = -\psi(y) \]

移项后即得\(\hat{\theta}^*(x) = \hat{\theta}(x) - \psi(y)\)，引理得证。

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3. 求解MREE的通用步骤

基于上述3个引理，我们得到了求解位置参数最优同变估计的标准化流程：

1. 选取一个合适的基准平移同变估计\(\hat{\theta}(X)\)（如\(X_1\)、样本均值\(\bar{X}\)、最小次序统计量\(X_{(1)}\)等）；
2. 写出所有平移同变估计的通用形式：\(\hat{\theta}^*(X) = \hat{\theta}(X) - \psi(Y)\)，其中\(Y\)为最大平移不变量；
3. 针对给定的平移同变损失函数，求解最优的\(\psi(\cdot)\)，使得估计量的风险函数最小。

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二、核心定理：Pitman（皮特曼）估计（均方损失下的MREE）

我们以统计中最常用的均方损失\(L(\theta,d)=(d-\theta)^2\)为例，推导位置参数的最优同变估计，即经典的Pitman估计。

定理4.2.1 Pitman定理

设\(\hat{\theta}(X)\)为\(\theta\)的任意一个平移同变估计，损失函数为均方损失\(L(\theta,d)=(d-\theta)^2\)，则\(\theta\)的最优同变估计（MREE）为：

\[\hat{\theta}^*(X) = \hat{\theta}(X) - \mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X) \mid Y\right] \tag{4.2.4} \]

其中：

• \(\mathrm{E}_0\)表示对标准分布\(P_0\)（\(\theta=0\)时的分布）求期望；
• \(Y=(X_2-X_1,\dots,X_n-X_1)^T\)为最大平移不变量；
• 该最优估计唯一，与基准同变估计\(\hat{\theta}(X)\)的选取无关。

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完整证明（分最优性、唯一性两部分）

第一部分：最优性证明（式4.2.4使风险最小）

我们的目标是：在同变估计类\(\hat{\theta}^*(X)=\hat{\theta}(X)-\psi(Y)\)中，找到\(\psi(\cdot)\)使均方损失下的风险最小。

1. 步骤1：风险函数的初始形式
   均方损失下，估计量的风险即为均方误差（MSE）：

\[R(\theta, \hat{\theta}^*) = \mathrm{E}_\theta\left[\left(\hat{\theta}^*(X) - \theta\right)^2\right] = \mathrm{E}_\theta\left[\left(\hat{\theta}(X) - \psi(Y) - \theta\right)^2\right] \]

2. 步骤2：利用同变条件化简误差项
   由平移同变条件\(\hat{\theta}(x + c\mathbf{1})=\hat{\theta}(x)+c\)，取\(c=-\theta\)，可得：

\[\hat{\theta}(X - \theta\mathbf{1}) = \hat{\theta}(X) - \theta \]

将其代入风险函数，得：

\[R(\theta, \hat{\theta}^*) = \mathrm{E}_\theta\left[\left(\hat{\theta}(X - \theta\mathbf{1}) - \psi(Y)\right)^2\right] \]

3. 步骤3：将期望转换为标准分布\(P_0\)下的期望
   由位置参数分布族的核心性质，\(X - \theta\mathbf{1} \sim P_0\)（与\(\theta\)无关）；同时\(Y\)是平移不变量，\(Y(X)=Y(X - \theta\mathbf{1})\)，其分布也仅与\(P_0\)有关，与\(\theta\)无关。因此，风险函数可完全转换为\(\theta=0\)时的期望：

\[R(\theta, \hat{\theta}^*) = \mathrm{E}_0\left[\left(\hat{\theta}(X) - \psi(Y)\right)^2\right], \quad X \sim P_0 \]

关键结论：平移同变估计的风险是与\(\theta\)无关的常数，只需最小化该常数即可，无需考虑\(\theta\)的取值。

4. 步骤4：利用条件期望最小化均方误差
   根据重期望公式（全期望公式），对任意随机变量\(Z\)有\(\mathrm{E}[Z^2] = \mathrm{E}\left[\mathrm{E}[Z^2 \mid Y]\right]\)，因此：

\[R(\theta, \hat{\theta}^*) = \mathrm{E}_0\left[ \mathrm{E}_0\left( \left(\hat{\theta}(X) - \psi(Y)\right)^2 \mid Y \right) \right] \tag{4.2.5} \]

在条件期望中，\(Y\)是已知的，因此\(\psi(Y)\)是一个常数。我们知道：对随机变量\(Z\)，\(\mathrm{E}\left[(Z - \lambda)^2\right]\)在\(\lambda=\mathrm{E}[Z]\)时取得最小值（二次函数极小值性质）。

将该结论应用于式(4.2.5)，令\(Z=\hat{\theta}(X)\)，\(\lambda=\psi(Y)\)，则当\(\psi(Y)=\mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X) \mid Y\right]\)时，内层条件期望取得最小值，整个风险函数也随之最小。

将最优的\(\psi(Y)\)代入同变估计的通用形式，即得Pitman公式(4.2.4)，最优性得证。

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第二部分：唯一性证明（最优估计与基准估计的选取无关）

假设我们选取另一个基准平移同变估计\(\tilde{\theta}(X)\)，代入Pitman公式得到对应的最优估计：

\[\tilde{\theta}^*(X) = \tilde{\theta}(X) - \mathrm{E}_0\left[\tilde{\theta}(X) \mid Y\right] \]

我们需要证明\(\tilde{\theta}^*(X) = \hat{\theta}^*(X)\)。

1. 由引理4.2.3，任意同变估计都可表示为基准估计加不变量，因此\(\tilde{\theta}(X)\)可写为：

\[\tilde{\theta}(X) = \hat{\theta}(X) - \varphi(Y) \]

其中\(\varphi(Y)\)是最大不变量\(Y\)的某个函数。

2. 将其代入\(\tilde{\theta}^*(X)\)的表达式，展开条件期望：

\[\begin{align*} \tilde{\theta}^*(X) &= \left[\hat{\theta}(X) - \varphi(Y)\right] - \mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X) - \varphi(Y) \mid Y\right] \\ &= \hat{\theta}(X) - \varphi(Y) - \mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X) \mid Y\right] + \mathrm{E}_0\left[\varphi(Y) \mid Y\right] \end{align*} \]

由于\(\varphi(Y)\)是\(Y\)的函数，条件期望下\(\mathrm{E}_0\left[\varphi(Y) \mid Y\right] = \varphi(Y)\)，因此：

\[\tilde{\theta}^*(X) = \hat{\theta}(X) - \varphi(Y) - \mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X) \mid Y\right] + \varphi(Y) = \hat{\theta}(X) - \mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X) \mid Y\right] = \hat{\theta}^*(X) \]

即无论选取哪个基准同变估计，最终得到的最优估计完全相同，唯一性得证。

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三、Pitman估计的核心推论与证明

基于Pitman定理，我们可以得到3个极具实用价值的推论，大幅简化最优同变估计的计算。

推论1 最简基准估计的Pitman形式

\(\theta\)的最优同变估计可表示为：

\[\hat{\theta}^*(X) = X_1 - \mathrm{E}_0(X_1 \mid Y) = X_{(1)} - \mathrm{E}_0\left[X_{(1)} \mid Y\right] \tag{4.2.6} \]

证明与说明

\(X_1\)（第一个样本分量）、\(X_{(1)}\)（最小次序统计量）都是天然的平移同变估计：

• \(X_1(x + c\mathbf{1}) = x_1 + c = X_1(x) + c\)，满足同变条件；
• \(X_{(1)}(x + c\mathbf{1}) = x_{(1)} + c = X_{(1)}(x) + c\)，满足同变条件。

将其代入Pitman公式(4.2.4)，直接得到式(4.2.6)。该推论的意义是：我们可以选取最简单的同变估计作为基准，无需构造复杂的估计量。

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推论2 完备充分统计量下的简化公式

若\(T\)为\(\theta\)的完备充分统计量，且\(\hat{\theta}(X)=\varphi(T)\)为\(\theta\)的平移同变估计，则最优同变估计为：

\[\hat{\theta}^*(X) = \varphi(T) - \mathrm{E}_0\left[\varphi(T)\right] \tag{4.2.7} \]

严格证明

1. 首先，最大不变量\(Y\)的分布与\(\theta\)无关，因此\(Y\)是辅助统计量；
2. 根据Basu定理：完备充分统计量与任意辅助统计量独立，因此\(T\)与\(Y\)独立，进而\(\varphi(T)\)与\(Y\)独立；
3. 独立随机变量的条件期望等于无条件期望，因此\(\mathrm{E}_0\left[\varphi(T) \mid Y\right] = \mathrm{E}_0\left[\varphi(T)\right]\)；
4. 将其代入Pitman公式(4.2.4)，即得式(4.2.7)。

核心意义

该推论是Pitman估计最常用的简化形式：当分布存在完备充分统计量时，无需计算复杂的条件期望，只需计算一个无条件期望即可得到最优同变估计，计算量大幅降低。

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推论3 Pitman估计是无偏估计

即对Pitman估计\(\hat{\theta}^*(X)\)，有\(\mathrm{E}_\theta\left[\hat{\theta}^*(X)\right] = \theta\)，偏差\(\mathrm{bias}(\hat{\theta}^*)=0\)。

严格证明

估计量的偏差定义为：

\[\mathrm{bias}(\hat{\theta}^*) = \mathrm{E}_\theta\left[\hat{\theta}^*(X) - \theta\right] \]

将Pitman公式代入，得：

\[\mathrm{bias}(\hat{\theta}^*) = \mathrm{E}_\theta\left[\hat{\theta}(X) - \mathrm{E}_0\left(\hat{\theta}(X) \mid Y\right) - \theta\right] \]

1. 由同变条件，\(\hat{\theta}(X) - \theta = \hat{\theta}(X - \theta\mathbf{1})\)，且\(X - \theta\mathbf{1} \sim P_0\)，\(Y\)的分布也仅与\(P_0\)有关，因此期望可转换为\(P_0\)下的期望：

\[\mathrm{bias}(\hat{\theta}^*) = \mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X) - \mathrm{E}_0\left(\hat{\theta}(X) \mid Y\right)\right] \]

2. 再次应用重期望公式，\(\mathrm{E}_0\left[\mathrm{E}_0\left(\hat{\theta}(X) \mid Y\right)\right] = \mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X)\right]\)，因此：

\[\begin{align*} \mathrm{bias}(\hat{\theta}^*) &= \mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X)\right] - \mathrm{E}_0\left[\mathrm{E}_0\left(\hat{\theta}(X) \mid Y\right)\right] \\ &= \mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X)\right] - \mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X)\right] = 0 \end{align*} \]

Pitman估计的偏差为0，是无偏估计，推论得证。

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四、应用实例详解

例4.2.1 位置参数最优同变估计的计算

设\(X_1,X_2,\dots,X_n\)为独立同分布样本，分别求解以下两种分布下位置参数\(\mu\)的最优同变估计：

1. \(X_1 \sim N(\mu, 1)\)（正态分布，位置参数\(\mu\)，方差1）；
2. \(X_1 \sim \mu + \Gamma(1,1)\)（平移指数分布，\(X=\mu+Z\)，\(Z\sim\mathrm{Exp}(1)\)）。

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解(1) 正态分布\(N(\mu,1)\)的最优同变估计

1. 选取基准同变估计与完备充分统计量
   选取样本均值\(\hat{\mu}(X)=\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\)，它满足平移同变条件：

\[\hat{\mu}(X + c\mathbf{1}) = \bar{X} + c = \hat{\mu}(X) + c \]

同时，对于\(N(\mu,1)\)分布，样本均值\(\bar{X}\)是\(\mu\)的完备充分统计量。

2. 应用推论2计算最优估计
   需要计算\(\mathrm{E}_0[\bar{X}]\)，即\(\mu=0\)时\(\bar{X}\)的期望：当\(\mu=0\)时，\(X_i \sim N(0,1)\)，因此\(\mathrm{E}[\bar{X}]=0\)。

代入推论2的公式，得最优同变估计：

\[\hat{\mu}^*(X) = \bar{X} - \mathrm{E}_0[\bar{X}] = \bar{X} - 0 = \bar{X} \]

该结果与\(\mu\)的一致最小方差无偏估计（UMVUE）完全一致。

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解(2) 平移指数分布\(\mu + \Gamma(1,1)\)的最优同变估计

1. 选取基准同变估计与完备充分统计量
   该分布的密度为\(f(x,\mu)=e^{-(x-\mu)}, x>\mu\)，选取最小次序统计量\(\hat{\mu}(X)=X_{(1)}\)，它满足平移同变条件：

\[\hat{\mu}(X + c\mathbf{1}) = X_{(1)} + c = \hat{\mu}(X) + c \]

同时，对于该平移指数分布，最小次序统计量\(X_{(1)}\)是\(\mu\)的完备充分统计量。

2. 应用推论2计算最优估计
   需要计算\(\mathrm{E}_0[X_{(1)}]\)，即\(\mu=0\)时\(X_{(1)}\)的期望：
   当\(\mu=0\)时，\(X_i \sim \mathrm{Exp}(1)\)（即\(\Gamma(1,1)\)），\(n\)个独立\(\mathrm{Exp}(1)\)变量的最小次序统计量\(X_{(1)} \sim \mathrm{Exp}(n)\)（即\(\Gamma(1,n)\)），其期望为\(\mathrm{E}[X_{(1)}] = \frac{1}{n}\)。

代入推论2的公式，得最优同变估计：

\[\hat{\mu}^*(X) = X_{(1)} - \mathrm{E}_0[X_{(1)}] = X_{(1)} - \frac{1}{n} \]

该结果同样与\(\mu\)的UMVUE完全一致。

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五、知识点结构化归纳总结

模块分类	核心内容	数学表达式/核心结论	关键意义与说明
核心概念	平移不变量	满足\(u(g_c x)=u(x)\)的统计量，即样本平移后取值不变	刻画了平移变换下保持不变的信息，是连接所有同变估计的桥梁
核心概念	最大平移不变量	常用形式\(Y=(X_2-X_1,\dots,X_n-X_1)^T\)，所有不变量都可表示为它的函数	完全刻画了平移不变量的全部信息，是同变估计通用结构的核心
基础引理	引理4.2.1	两个同变估计的差是不变量；同变估计+不变量仍是同变估计	揭示了同变估计类的基本结构，为通用表达式奠定基础
基础引理	引理4.2.2	平移不变量的充要条件是可表示为最大不变量的函数，且分布与\(\theta\)无关	给出了不变量的显式表达，证明了不变量是辅助统计量
基础引理	引理4.2.3	任意同变估计可表示为\(\hat{\theta}^*(x)=\hat{\theta}(x)-\psi(Y)\)	给出了所有平移同变估计的通用形式，将MREE求解转化为最优\(\psi\)的求解
核心定理	Pitman定理（均方损失下的MREE）	\(\hat{\theta}^*(X) = \hat{\theta}(X) - \mathrm{E}_0\left[\hat{\theta}(X) \mid Y\right]\)	给出了位置参数最优同变估计的显式公式，解唯一，与基准估计无关
实用推论	推论1（最简形式）	\(\hat{\theta}^*(X) = X_1 - \mathrm{E}_0(X_1 \mid Y) = X_{(1)} - \mathrm{E}_0[X_{(1)} \mid Y]\)	可选取最简单的同变估计作为基准，无需构造复杂估计量
实用推论	推论2（完备充分统计量简化）	\(\hat{\theta}^*(X) = \varphi(T) - \mathrm{E}_0[\varphi(T)]\)（\(T\)为完备充分统计量）	利用Basu定理将条件期望转化为无条件期望，大幅简化计算
实用推论	推论3（无偏性）	Pitman估计满足\(\mathrm{E}_\theta[\hat{\theta}^*(X)]=\theta\)，偏差为0	最优同变估计同时是无偏估计，与UMVUE具有一致性
求解流程	MREE求解三步法	1. 选取基准同变估计；2. 写出同变估计通用形式；3. 求解最优\(\psi\)使风险最小	标准化的最优同变估计求解流程，适用于所有位置参数分布族

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Pitman积分公式 知识点详解与完整推导

Pitman积分公式是位置参数最优同变估计（MREE）的显式积分表达形式，它将上一节中需要计算条件期望的Pitman定理，转化为仅依赖样本联合密度的积分运算，彻底解决了无完备充分统计量时最优同变估计的求解问题，是位置参数MREE最具实用性的计算公式。

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一、Pitman积分公式（定理4.2.2）

设n维样本\(X=(X_1,X_2,\dots,X_n)^T\)服从位置参数分布族，联合密度为

\[p(x,\theta) = f(x - \theta \mathbf{1}) = f(x_1-\theta, x_2-\theta, \dots, x_n-\theta) \]

其中\(\mathbf{1}=(1,1,\dots,1)^T\)为n维全1向量，\(f(\cdot)\)为\(\theta=0\)时标准分布\(P_0\)的联合密度。

则位置参数\(\theta\)的平移最优同变估计（均方损失下的MREE）可表示为：

\[\hat{\theta}^*(X) = \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} t f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t} \tag{4.2.8-1} \]

或等价地（积分哑元替换\(t\to\theta\)）：

\[\hat{\theta}^*(X) = \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} \theta f(X - \theta\mathbf{1}) \mathrm{d}\theta}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(X - \theta\mathbf{1}) \mathrm{d}\theta} \tag{4.2.8-2} \]

公式核心价值

1. 无需求解条件期望：直接通过标准分布的密度\(f(\cdot)\)的积分计算最优估计，避开了最大不变量\(Y\)的条件分布推导；
2. 适用范围极广：无论分布是否存在完备充分统计量，只要是位置参数分布族，均可代入计算；
3. 直观统计意义：该公式本质是\(\theta\)在给定样本\(X\)下的后验期望（贝叶斯估计），对应\(\theta\)取无信息先验\(\pi(\theta)\equiv1\)时的贝叶斯解，兼具频率派最优性与贝叶斯优良性。

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二、Pitman积分公式的完整证明

证明核心思路：基于上一节Pitman定理的最简形式\(\hat{\theta}^*(X) = X_1 - \mathrm{E}_0(X_1 | Y)\)，先推导\(\theta=0\)时\(X_1\)关于最大不变量\(Y\)的条件分布，再计算条件期望，最后通过变量替换化简得到积分公式。

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步骤1：确定基准估计与最大不变量

根据上一节推论1，选取最简单的基准平移同变估计\(\hat{\theta}(X)=X_1\)，对应的最大平移不变量为：

\[Y = (Y_2, Y_3, \dots, Y_n)^T = (X_2 - X_1, X_3 - X_1, \dots, X_n - X_1)^T \]

此时最优同变估计可写为：

\[\hat{\theta}^*(X) = X_1 - \mathrm{E}_0\left(X_1 \mid Y\right) \]

其中\(\mathrm{E}_0\)表示对标准分布\(P_0\)（\(\theta=0\)时\(X\sim f(x_1,\dots,x_n)\)）求期望。

我们的目标转化为：计算条件期望\(\mathrm{E}_0(X_1 | Y)\)，为此需要先推导\(\theta=0\)时\(X_1\)关于\(Y\)的条件分布\(p(x_1 | Y)\)。

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步骤2：构造变量变换，推导联合分布

为得到\((X_1, Y)\)的联合分布，构造从\(X=(X_1,X_2,\dots,X_n)\)到\((Y_1,Y_2,\dots,Y_n)\)的一一变换：

\[\begin{cases} Y_1 = X_1 \\ Y_2 = X_2 - X_1 \\ Y_3 = X_3 - X_1 \\ \quad\vdots \\ Y_n = X_n - X_1 \end{cases} \]

其逆变换为：

\[\begin{cases} X_1 = Y_1 \\ X_2 = Y_1 + Y_2 \\ X_3 = Y_1 + Y_3 \\ \quad\vdots \\ X_n = Y_1 + Y_n \end{cases} \]

计算变换的Jacobi行列式

该线性变换的Jacobi矩阵为n阶方阵，对角线元素全为1，第一行除第一个元素外全为0，第\(i\)行（\(i\geq2\)）第一个元素为1、第\(i\)个元素为1，其余为0，因此Jacobi行列式的绝对值为：

\[|J| = \left| \frac{\partial(x_1,x_2,\dots,x_n)}{\partial(y_1,y_2,\dots,y_n)} \right| = 1 \]

推导\((Y_1,Y)\)的联合分布

当\(\theta=0\)时，\(X\sim f(x_1,x_2,\dots,x_n)\)，根据随机变量变换的密度公式，\((Y_1,Y_2,\dots,Y_n)\)的联合密度为：

\[p(y_1, y_2, \dots, y_n) = f\left(y_1,\ y_1+y_2,\ y_1+y_3,\ \dots,\ y_1+y_n\right) \cdot |J| = f\left(y_1,\ y_1+y_2,\ \dots,\ y_1+y_n\right) \]

其中\(Y_1=X_1\)，\(Y=(Y_2,\dots,Y_n)\)，因此\((X_1,Y)\)的联合密度为\(p(x_1, y) = f(x_1, x_1+y_2, \dots, x_1+y_n)\)。

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步骤3：推导\(X_1\)关于\(Y\)的条件密度

根据条件密度的定义，\(X_1 | Y\)的条件密度为联合密度除以\(Y\)的边缘密度：

\[p(x_1 | y) = \frac{p(x_1, y)}{p(y)} \]

其中\(Y\)的边缘密度为联合密度对\(x_1\)积分：

\[p(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} p(x_1, y) \mathrm{d}x_1 = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u,\ u+y_2,\ \dots,\ u+y_n) \mathrm{d}u \]

（积分哑元\(x_1\)替换为\(u\)，避免后续混淆）

因此条件密度的显式表达式为：

\[p(x_1 | y_2, \dots, y_n) = \frac{f\left(x_1,\ x_1+y_2,\ \dots,\ x_1+y_n\right)}{\int_{-\infty}^{+\infty} f\left(u,\ u+y_2,\ \dots,\ u+y_n\right) \mathrm{d}u} \]

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步骤4：计算条件期望\(\mathrm{E}_0(X_1 | Y)\)

根据连续型随机变量条件期望的定义：

\[\mathrm{E}_0(X_1 | Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} x_1 \cdot p(x_1 | Y) \mathrm{d}x_1 \]

将步骤3的条件密度代入，得：

\[\mathrm{E}_0(X_1 | Y) = \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} u \cdot f\left(u,\ u+Y_2,\ \dots,\ u+Y_n\right) \mathrm{d}u}{\int_{-\infty}^{+\infty} f\left(u,\ u+Y_2,\ \dots,\ u+Y_n\right) \mathrm{d}u} \]

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步骤5：变量替换，化简积分形式

对积分做变量替换，转化为关于样本\(X\)的对称形式。注意到\(Y_i = X_i - X_1\)（\(i=2,\dots,n\)），因此\(u + Y_i = u + X_i - X_1\)。

令变量替换：\(X_1 - u = t\)，即\(u = X_1 - t\)，则：

1. 积分上下限：\(u\to-\infty\)时\(t\to+\infty\)，\(u\to+\infty\)时\(t\to-\infty\)，因此\(\int_{-\infty}^{+\infty} \dots \mathrm{d}u = \int_{+\infty}^{-\infty} \dots (-1)\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} \dots \mathrm{d}t\)；
2. 被积函数：\(u + Y_i = (X_1 - t) + (X_i - X_1) = X_i - t\)，因此\(f(u, u+Y_2, \dots, u+Y_n) = f(X_1 - t, X_2 - t, \dots, X_n - t) = f(X - t\mathbf{1})\)。

将变量替换代入条件期望，分子分母分别化简：

分子化简

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} u \cdot f(u, u+Y_2, \dots, u+Y_n) \mathrm{d}u &= \int_{-\infty}^{+\infty} (X_1 - t) \cdot f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t \\ &= X_1 \int_{-\infty}^{+\infty} f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t - \int_{-\infty}^{+\infty} t \cdot f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t \end{align*} \]

分母化简

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(u, u+Y_2, \dots, u+Y_n) \mathrm{d}u = \int_{-\infty}^{+\infty} f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t \]

条件期望的最终形式

\[\begin{align*} \mathrm{E}_0(X_1 | Y) &= \frac{X_1 \int_{-\infty}^{+\infty} f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t - \int_{-\infty}^{+\infty} t f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t} \\ &= X_1 - \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} t f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t} \end{align*} \]

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步骤6：代入最优估计公式，完成证明

将化简后的条件期望代入\(\hat{\theta}^*(X) = X_1 - \mathrm{E}_0(X_1 | Y)\)，得：

\[\begin{align*} \hat{\theta}^*(X) &= X_1 - \left( X_1 - \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} t f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t} \right) \\ &= \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} t f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t} \end{align*} \]

将积分哑元\(t\)替换为\(\theta\)，即可得到等价形式，Pitman积分公式得证。

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三、Pitman积分公式的应用实例

例：均匀分布\(U(\theta, \theta+1)\)的位置参数最优同变估计

设\(X_1,X_2,\dots,X_n\)为独立同分布样本，\(X_1 \sim U(\theta, \theta+1)\)，\(\theta\in\mathbb{R}\)为位置参数，求\(\theta\)的最优同变估计。

背景说明

该分布的充分统计量为\(T=(X_{(1)}, X_{(n)})\)（最小、最大次序统计量），但不是完备充分统计量，无法通过常规方法求解UMVUE，而Pitman积分公式可直接求解其MREE。

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步骤1：写出样本的联合密度

\(X_i \sim U(\theta, \theta+1)\)的密度为\(p(x_i,\theta) = I\{\theta \leq x_i \leq \theta+1\}\)（\(I\{\cdot\}\)为示性函数，条件满足时取1，否则取0）。

n个样本的联合密度为：

\[\begin{align*} f(x - \theta\mathbf{1}) &= \prod_{i=1}^n I\{\theta \leq x_i \leq \theta+1\} \\ &= I\{\theta \leq x_{(1)} \leq x_{(n)} \leq \theta+1\} \end{align*} \]

其中\(x_{(1)}=\min\{x_1,\dots,x_n\}\)，\(x_{(n)}=\max\{x_1,\dots,x_n\}\)。

对示性函数做等价变形，分离\(\theta\)：

\[\theta \leq x_{(1)} \text{ 且 } x_{(n)} \leq \theta+1 \iff x_{(n)} - 1 \leq \theta \leq x_{(1)} \]

因此联合密度可简化为：

\[f(x - \theta\mathbf{1}) = I\{x_{(n)} - 1 \leq \theta \leq x_{(1)}\} \]

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步骤2：计算Pitman公式的分子和分母

（1）分母计算

积分仅在\(\theta\in[X_{(n)}-1, X_{(1)}]\)上非零，因此：

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(X - \theta\mathbf{1}) \mathrm{d}\theta = \int_{X_{(n)}-1}^{X_{(1)}} 1 \cdot \mathrm{d}\theta = X_{(1)} - X_{(n)} + 1 \]

（2）分子计算

\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} \theta f(X - \theta\mathbf{1}) \mathrm{d}\theta &= \int_{X_{(n)}-1}^{X_{(1)}} \theta \mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{2}\theta^2 \bigg|_{X_{(n)}-1}^{X_{(1)}} \\ &= \frac{1}{2}\left[ X_{(1)}^2 - (X_{(n)} - 1)^2 \right] \end{align*} \]

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步骤3：代入公式得到最优估计

将分子分母代入Pitman公式，利用平方差公式化简：

\[\begin{align*} \hat{\theta}^*(X) &= \frac{\frac{1}{2}\left[ X_{(1)}^2 - (X_{(n)} - 1)^2 \right]}{X_{(1)} - X_{(n)} + 1} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\left[ X_{(1)} - (X_{(n)} - 1) \right]\left[ X_{(1)} + (X_{(n)} - 1) \right]}{X_{(1)} - X_{(n)} + 1} \\ &= \frac{1}{2}\left( X_{(1)} + X_{(n)} - 1 \right) \end{align*} \]

结果说明

该结果是均匀分布\(U(\theta,\theta+1)\)位置参数的最小风险同变估计，同时也是无偏估计，完美解决了该分布因充分统计量不完备而无法直接求解UMVUE的问题，充分体现了Pitman积分公式的强大适用性。

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四、知识点结构化归纳总结

模块分类	核心内容	关键公式/结论	核心意义与说明
核心定理	Pitman积分公式	\(\hat{\theta}^*(X) = \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} t f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(X - t\mathbf{1}) \mathrm{d}t}\)	位置参数MREE的显式积分形式，均方损失下的最优同变估计
公式本质	统计意义	对应\(\theta\)取无信息先验\(\pi(\theta)\equiv1\)时的贝叶斯后验期望	兼具频率派最优性（最小风险同变）与贝叶斯优良性
证明核心	关键步骤	1. 推导\(X_1\)关于最大不变量\(Y\)的条件分布；2. 计算条件期望；3. 变量替换化简积分	从条件期望形式的Pitman定理，推导出直接可计算的积分形式
核心优势	适用性	无论分布是否存在完备充分统计量，只要是位置参数分布族均可使用	解决了非完备充分统计量分布的最优估计求解问题
计算要点	示性函数处理	对带支撑限制的分布，先通过示性函数确定积分区间，再计算积分	Pitman公式最常用的计算技巧，适用于均匀分布、平移指数分布等
实例结论	均匀分布\(U(\theta,\theta+1)\)的MREE	\(\hat{\theta}^*(X) = \frac{1}{2}\left(X_{(1)} + X_{(n)} - 1\right)\)	经典应用案例，验证了公式在非完备充分统计量场景下的有效性

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补充说明与注意事项

1. 损失函数适用性：该积分公式是均方损失下的最优同变估计，若损失函数为其他形式（如绝对损失），则积分公式会对应调整为加权积分形式；
2. 积分存在性：使用时需保证分子分母的积分绝对可积，正态、均匀、指数、拉普拉斯等常见位置参数分布均满足该条件；
3. 与其他估计的关系：当分布存在完备充分统计量时，Pitman积分公式的结果与UMVUE完全一致，与极大似然估计（MLE）也通常具有一致性。