4.1.2同变统计判决函数

同变统计判决函数知识点详解与理论推导

一、核心背景与框架定位

这部分内容是同变估计理论的通用化、公理化升级：
此前我们通过平移、相似变换两个特例，直观理解了同变估计的思想；而本节从统计判决理论的统一框架出发，借助群论工具，将“同变性”从参数估计问题，推广到所有统计决策问题（包括假设检验、预测、排序等），给出同变性的严格数学定义，为求解任意变换群下的最优同变判决函数（包括最优同变估计、最优同变检验）奠定理论基础。

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二、基础概念：样本空间的可测变换群

1. 前置概率空间定义

给定样本\(X\)，其概率测度空间为\((\mathcal{X}, \mathcal{B}_X, P_\theta)\)，其中：

• \(\mathcal{X}\)：样本空间，所有可能的样本观测值的集合；
• \(\mathcal{B}_X\)：样本空间上的Borel\(\sigma\)代数，即所有可测集的集合，保证我们可以定义样本的概率分布；
• \(P_\theta\)：参数为\(\theta\)时，样本\(X\)的概率分布，全体分布构成分布族\(\{P_\theta, \theta\in\Theta\}\)，\(\Theta\)为参数空间。

2. 可测变换

样本空间上的变换\(g\)是从\(\mathcal{X}\)到自身的映射：

\[g: \mathcal{X} \mapsto \mathcal{X}, \quad x' = gx = g(x) \]

称\(g\)为可测变换，当且仅当：对任意可测集\(A \in \mathcal{B}_X\)，其原像\(g^{-1}A = \{x: gx \in A\}\)也满足\(g^{-1}A \in \mathcal{B}_X\)。

• 核心意义：保证变换后的随机变量\(Y=gX\)仍然是该概率空间上的合法随机变量，可研究其概率分布。

3. 变换群的严格定义

样本空间上的一族可测变换\(G = \{g\}\)称为变换群，当且仅当满足群的4条公理：

群公理	数学表述	直观意义
恒等元封闭	恒等变换\(e \in G\)，其中\(e(x)=x, \forall x\in\mathcal{X}\)	“什么都不做”的变换属于群，是群的单位元
逆元封闭	若\(g \in G\)，则其逆变换\(g^{-1} \in G\)，满足\(g^{-1}(g(x))=g(g^{-1}(x))=x\)	群内的任意变换都可以“还原”，比如平移\(+c\)的逆是平移\(-c\)
乘法封闭	若\(g_1,g_2 \in G\)，则复合变换\(g_1 \cdot g_2 \in G\)，其中\((g_1 \cdot g_2)(x)=g_1(g_2(x))\)	连续做两次群内的变换，结果仍然是群内的变换
结合律	对任意\(g_1,g_2,g_3 \in G\)，有\(g_1 \cdot (g_2 \cdot g_3) = (g_1 \cdot g_2) \cdot g_3\)	复合变换的最终结果，仅与变换的先后顺序有关，与结合方式无关

4. 常见的变换群实例

• 平移变换群：\(G = \{g_c: g_c(x) = x + c, c\in\mathbb{R}\}\)，对应位置参数的平移变换；
• 相似（尺度）变换群：\(G = \{g_k: g_k(x) = kx, k>0\}\)，对应尺度参数的缩放变换；
• 线性变换群、置换变换群（交换样本顺序）、对称变换群等。

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三、核心定义：不变分布族与参数空间的导出群

1. 分布可识别性前提

定义不变分布族前，要求分布族满足可识别性：若\(\theta_1 \neq \theta_2\)，则必有\(P_{\theta_1} \neq P_{\theta_2}\)。

• 意义：保证参数与分布是一一对应的，不会出现“不同参数对应同一个分布”的情况，为后续参数变换的唯一性奠定基础。

2. 不变分布族的严格定义（定义4.1.1）

给定分布族\(\{P_\theta, \theta\in\Theta\}\)与样本空间上的可测变换群\(G\)，若对任意\(g \in G\)、任意\(\theta \in \Theta\)，当\(X \sim P_\theta\)时，变换后的随机变量\(Y=gX\)的分布仍然属于该分布族，即存在唯一的\(\theta' \in \Theta\)，使得：

\[Y = gX \sim P_{\theta'} \]

则称\(\{P_\theta, \theta\in\Theta\}\)为关于群\(G\)的不变分布族。

关键解读

“不变”的核心是分布族不变，而非单个分布不变：对样本做群内的任意变换，变换后的样本分布不会跳出原分布族，仅参数发生变化。

3. 参数空间的导出群

导出变换的定义

由于分布族是不变的，对每个\(g \in G\)，我们可以定义参数空间\(\Theta\)上的一一变换\(\overline{g}\)：

\[\overline{g}: \Theta \mapsto \Theta, \quad \overline{g}\theta = \theta' \]

其中\(\theta'\)满足：\(X \sim P_\theta \implies gX \sim P_{\overline{g}\theta}\)。

导出群的定义

所有导出变换构成的集合\(\overline{G} = \{\overline{g}\}\)，在参数空间\(\Theta\)上构成一个与样本变换群\(G\)同态的群，称为群\(G\)在参数空间\(\Theta\)上的导出群。

• 同态性质：对任意\(g_1,g_2 \in G\)，有\(\overline{g_1 \cdot g_2} = \overline{g_1} \cdot \overline{g_2}\)，即样本变换的复合，对应参数变换的复合，群结构完全匹配。

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四、实例详解：不变分布族的正反例

例1：平移群下的不变分布族（正面案例）

设\(X \sim N(\theta,1)\)，\(\theta \in \Theta = (-\infty,+\infty)\)，样本空间\(\mathcal{X}=\mathbb{R}\)，变换群为平移群\(G = \{g_c: g_c x = x + c, c\in\mathbb{R}\}\)。

1. 变换后的分布：若\(X \sim N(\theta,1)\)，则\(Y = g_c X = X + c \sim N(\theta + c, 1)\)；
2. 不变性验证：\(N(\theta+c,1)\)仍然属于原分布族\(\{N(\theta,1), \theta\in\mathbb{R}\}\)，因此该分布族是关于平移群\(G\)的不变分布族；
3. 导出群：对应的导出变换为\(\overline{g_c}\theta = \theta + c\)，导出群\(\overline{G}\)也是参数空间上的平移群，与样本群\(G\)同态。

例2：相似群下的非不变分布族（反面案例）

仍取分布族\(\{N(\theta,1), \theta\in\mathbb{R}\}\)，更换变换群为相似群\(G = \{g_k: g_k x = kx, k>0\}\)。

1. 变换后的分布：若\(X \sim N(\theta,1)\)，则\(Y = g_k X = kX \sim N(k\theta, k^2)\)；
2. 非不变性验证：变换后的分布方差为\(k^2 \neq 1\)，不属于原分布族\(\{N(\theta,1)\}\)，因此该分布族关于相似变换群\(G\)不是不变分布族。

核心启示

一个分布族是否为不变分布族，与对应的变换群强绑定：同一个分布族，对某一变换群是不变的，对另一变换群可能完全不满足不变性。

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五、同变统计判决函数的通用框架（理论延伸）

统计判决理论将所有统计问题统一为三要素：

1. 样本空间与分布族：\((\mathcal{X}, \{P_\theta, \theta\in\Theta\})\)；
2. 判决空间\(\mathcal{D}\)：所有可能的判决结果的集合（估计问题中\(\mathcal{D}=\Theta\)，检验问题中\(\mathcal{D}=\{0,1\}\)）；
3. 损失函数\(L(\theta,d)\)：参数为\(\theta\)时，做出判决\(d\)的损失。

统计判决函数\(\delta(x)\)是\(\mathcal{X} \mapsto \mathcal{D}\)的可测映射，对每个样本\(x\)给出判决\(\delta(x)\)。

同变统计判决函数的通用定义

对样本变换群\(G\)、参数导出群\(\overline{G}\)，定义判决空间的导出群\(\tilde{G} = \{\tilde{g}\}\)（与\(G\)同态），若判决函数\(\delta(x)\)满足：

\[\delta(gx) = \tilde{g} \cdot \delta(x), \quad \forall g\in G, \forall x\in\mathcal{X} \]

则称\(\delta(x)\)为同变统计判决函数。

与同变估计的对应关系

此前的同变估计，是该通用定义在参数估计问题下的特例：

• 估计问题中，判决空间\(\mathcal{D}=\Theta\)，判决空间的导出群就是参数导出群\(\overline{G}\)，因此同变估计的条件简化为：
  \[\delta(gx) = \overline{g} \cdot \delta(x) \]

• 平移群下：\(\overline{g_c}\delta(x) = \delta(x)+c\)，对应\(\delta(x+c\mathbf{1}) = \delta(x)+c\)，与此前的平移同变条件完全一致；
• 相似群下：\(\overline{g_k}\delta(x) = k\delta(x)\)，对应\(\delta(kx) = k\delta(x)\)，与此前的尺度同变条件完全一致。

最优同变判决函数

在所有满足同变条件的判决函数中，使得风险函数（损失函数的期望）最小的判决函数，称为最优同变判决函数：

• 估计问题中，就是我们此前研究的最小风险同变估计（MREE）；
• 检验问题中，就是最优同变检验。

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六、核心知识点归纳总结

核心概念	严格定义	核心条件	直观意义	典型实例
可测变换群	样本空间上满足群公理的可测变换族	恒等元、逆元、乘法封闭、结合律	刻画样本的一类有规律的变换，保证变换的可逆性与封闭性	平移变换群、相似变换群
不变分布族	样本做群内任意变换后，分布仍属于原分布族的分布族	分布可识别、变换后分布不跳出原族	保证样本变换仅改变参数，不改变分布的类型，为参数的同步变换奠定基础	正态分布族\(\{N(\theta,1)\}\)关于平移群是不变分布族
参数导出群	样本变换群在参数空间上对应的一一变换群，与原群同态	与样本变换一一对应、保持群结构	刻画样本变换对应的参数同步变换，建立样本-参数的变换对应关系	平移群的导出群是参数空间的平移群
同变统计判决函数	满足“样本变换→判决同步变换”的统计判决函数	\(\delta(gx) = \tilde{g}\delta(x)\)	保证统计判决的结果，不随样本的合法变换而改变其统计意义	平移同变估计、尺度同变估计
最优同变判决函数	同变判决函数中，风险最小的判决函数	满足同变条件、最小化风险	在同变性约束下，找到统计意义一致、损失最小的统计决策	最小风险同变估计（MREE）、最优同变检验

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同变统计判决函数与MREE通用理论详解

一、内容总览

本部分内容完成了同变理论从特例到通用公理化体系的完整构建：

1. 通过正反实例明确了「分布族与变换群的匹配性」，完善了不变分布族的应用场景；
2. 严格证明了不变分布族的核心概率性质与导出群的群结构，为同变理论奠定数学基础；
3. 从统计判决理论的统一框架出发，给出了同变判决函数、同变损失函数的通用定义；
4. 证明了同变判决的核心性质——风险函数的群不变性，最终给出最小风险同变估计（MREE）的通用定义，为任意变换群下最优同变估计的求解提供了理论依据。

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二、不变分布族的实例与匹配性规律

例4.1.4 均匀分布的不变分布族正反例

设\(X \sim R(0,\theta)\)，\(\theta \in \Theta=(0,+\infty)\)，其概率密度为：

\[f(x;\theta) = \frac{1}{\theta}I\{0<x<\theta\} \]

其中\(I\{\cdot\}\)为示性函数。

1. 相似变换群下的不变性（正面案例）

取相似变换群\(G = \{g_k: g_k x = kx, k>0\}\)，对变换后的随机变量\(Y=g_k X=kX\)：

• \(Y\)的支撑为\((0,k\theta)\)，密度为\(f_Y(y) = \frac{1}{k\theta}I\{0<y<k\theta\}\)，即\(Y \sim R(0,k\theta)\)；
• 变换后的分布仍属于原分布族\(\{R(0,\theta), \theta>0\}\)，因此\(\{R(0,\theta)\}\)是关于相似群\(G\)的不变分布族；
• 对应的参数导出群为\(\overline{G} = \{\overline{g}_k: \overline{g}_k \theta = k\theta\}\)，与样本群同态，同为相似变换群。

2. 平移变换群下的非不变性（反面案例）

取平移变换群\(G = \{g_c: g_c x = x + c\}\)，对变换后的随机变量\(Y=g_c X=X+c\)：

• \(Y\)的支撑为\((c, \theta+c)\)，密度为\(f_Y(y) = \frac{1}{\theta}I\{c<y<\theta+c\}\)，即\(Y \sim R(c, \theta+c)\)；
• 变换后的分布支撑起点非0，不属于原分布族\(\{R(0,\theta)\}\)，因此该分布族关于平移群不是不变分布族。

核心规律总结

分布族是否为不变分布族，与变换群强绑定，存在天然的匹配关系：

• 位置参数分布族 → 平移变换群（不变）；
• 尺度参数分布族 → 相似变换群（不变）；
• 非匹配的变换群无法保证分布族的不变性。

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三、不变分布族的核心引理与证明

引理4.1.1 不变分布族的概率与期望变换公式

设\(\{P_\theta, \theta\in\Theta\}\)是关于变换群\(G\)的不变分布族，导出群为\(\overline{G}\)，则对任意\(g\in G\)，有：

1. 概率变换公式：\(P_{\overline{g}\theta}(B) = P_\theta(g^{-1}B)\)，等价形式\(P_{\overline{g}\theta}(gA) = P_\theta(A)\)；
2. 期望变换公式：\(\mathbb{E}_\theta[h(gX)] = \mathbb{E}_{\overline{g}\theta}[h(X)]\)，对任意可测函数\(h\)成立。

详细证明

（1）概率变换公式的证明

根据不变分布族的定义，若\(X\sim P_\theta\)，则\(Y=gX \sim P_{\overline{g}\theta}\)。
由随机变量变换的概率定义：

\[P_{\overline{g}\theta}(B) = P(Y \in B) = P(gX \in B) = P(X \in g^{-1}B) = P_\theta(g^{-1}B) \]

其中\(g^{-1}B = \{x: gx \in B\}\)是集合\(B\)的原像。

对等价形式，令\(B=gA\)，则\(g^{-1}B = A\)，代入上式得：

\[P_{\overline{g}\theta}(gA) = P_\theta(A) \]

得证。

（2）期望变换公式的证明

我们通过测度论的标准方法，从示性函数逐步推广到一般可测函数：

1. 示性函数情形：取\(h(x)=I_A(x)\)（\(x\in A\)时为1，否则为0），则
   \[\mathbb{E}_\theta[h(gX)] = \mathbb{E}_\theta[I_A(gX)] = P_\theta(gX \in A) = P_\theta(X \in g^{-1}A) \]
   由概率变换公式，\(P_\theta(X \in g^{-1}A) = P_{\overline{g}\theta}(A) = \mathbb{E}_{\overline{g}\theta}[I_A(X)] = \mathbb{E}_{\overline{g}\theta}[h(X)]\)，示性函数成立。
2. 非负简单函数情形：非负简单函数是示性函数的线性组合，由期望的线性性，公式自然成立。
3. 非负可测函数情形：非负可测函数可表示为非负简单函数的单调递增极限，由单调收敛定理，公式成立。
4. 一般可测函数情形：将一般可测函数分解为正部与负部\(h=h^+-h^-\)，正、负部均为非负可测函数，公式分别成立，因此整体成立。

引理意义

该引理是同变理论的「核心计算工具」，将变换后样本的概率/期望，等价转化为变换后参数下原样本的概率/期望，是后续所有同变性质证明的基础。

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引理4.1.2 参数导出群的群结构与同态性

参数空间上的导出群\(\overline{G} = \{\overline{g}\}\)是与样本变换群\(G\)同态的群。

前置定义回顾

群同态：若两个群\(G\)和\(\overline{G}\)之间存在映射\(\varphi:G\to\overline{G}\)，满足\(\varphi(g_1\cdot g_2) = \varphi(g_1)\cdot\varphi(g_2)\)（对任意\(g_1,g_2\in G\)），则称\(\varphi\)为同态映射，\(G\)与\(\overline{G}\)同态。

详细证明

我们需要先证明\(\overline{G}\)满足群的4条公理，再证明其与\(G\)同态。

步骤1：证明\(\overline{G}\)是群

1. 恒等元存在：样本群\(G\)的恒等变换\(e\)满足\(eX=X\sim P_\theta\)，对应参数空间的恒等变换\(\overline{e}: \overline{e}\theta=\theta\)，显然\(\overline{e}\in\overline{G}\)，是\(\overline{G}\)的恒等元。
2. 乘法封闭性：若\(\overline{g}_1,\overline{g}_2\in\overline{G}\)，对应\(g_1,g_2\in G\)。因\(G\)是群，故\(g_1\cdot g_2\in G\)，由不变分布族定义，\(g_1\cdot g_2\)对应导出变换\(\overline{g_1\cdot g_2}\in\overline{G}\)。
   下证\(\overline{g_1\cdot g_2} = \overline{g}_1\cdot\overline{g}_2\)：
   对任意可测集\(B\)，由引理4.1.1：
   \[P_{\overline{g_1\cdot g_2}\theta}(B) = P_\theta\left( (g_1\cdot g_2)^{-1}B \right) = P_\theta\left( g_2^{-1}g_1^{-1}B \right) \]
   先对\(g_2\)应用引理4.1.1：\(P_\theta\left( g_2^{-1}(g_1^{-1}B) \right) = P_{\overline{g}_2\theta}\left( g_1^{-1}B \right)\)；
   再对\(g_1\)应用引理4.1.1：\(P_{\overline{g}_2\theta}\left( g_1^{-1}B \right) = P_{\overline{g}_1(\overline{g}_2\theta)}(B) = P_{\overline{g}_1\cdot\overline{g}_2\theta}(B)\)。
   由分布族的可识别性（不同参数对应不同分布），得\(\overline{g_1\cdot g_2} = \overline{g}_1\cdot\overline{g}_2\)，因此\(\overline{g}_1\cdot\overline{g}_2\in\overline{G}\)，封闭性成立。
3. 逆元存在：对任意\(\overline{g}\in\overline{G}\)，对应\(g\in G\)，因\(G\)是群，故\(g^{-1}\in G\)，对应导出变换\(\overline{g^{-1}}\in\overline{G}\)。
   由封闭性结论：\(\overline{g}\cdot\overline{g^{-1}} = \overline{g\cdot g^{-1}} = \overline{e}\)，因此\(\overline{g^{-1}}\)是\(\overline{g}\)的逆元，逆元存在。
4. 结合律：样本变换的复合满足结合律，导出变换的复合与样本变换完全对应，因此自然满足结合律。

综上，\(\overline{G}\)是群。

步骤2：证明\(G\)与\(\overline{G}\)同态

定义映射\(\varphi:G\to\overline{G}\)，\(\varphi(g)=\overline{g}\)，由封闭性证明中的结论\(\varphi(g_1\cdot g_2) = \varphi(g_1)\cdot\varphi(g_2)\)，可知\(\varphi\)是同态映射，因此\(G\)与\(\overline{G}\)同态。

引理意义

该引理保证了样本变换的群结构可以完全传递到参数空间，确保了「样本变换-参数变换」的一致性，不会出现变换逻辑的混乱，为同变条件的合理性奠定了代数基础。

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四、同变统计判决的通用定义体系

统计判决理论将所有统计问题统一为三要素：样本空间与分布族、判决空间\(\mathcal{D}\)（所有可能的判决结果的集合）、损失函数\(L(\theta,d)\)。同变理论将同变性约束推广到了整个统计判决框架。

定义4.1.2 判决空间的导出群

设分布族关于变换群\(G\)不变，参数导出群为\(\overline{G}\)。若对任意\(g\in G\)，都存在判决空间\(\mathcal{D}\)上的一一变换\(g^*\)，且所有\(g^*\)构成的集合\(G^*\)是与\(G\)同态的群，则称\(G^*\)为\(G\)在判决空间\(\mathcal{D}\)上的导出群。

定义解读

• 与参数导出群不同，参数导出群由不变分布族唯一确定，而判决空间导出群由统计问题的实际意义决定，核心是保证「样本变、参数变、判决结果同步变」；
• 典型场景：
  • 估计参数\(\theta\)本身：判决空间\(\mathcal{D}=\Theta\)，自然取\(G^*=\overline{G}\)，即判决变换与参数变换完全一致；
  • 估计参数的函数\(h(\theta)\)：判决空间\(\mathcal{D}=h(\Theta)\)，取\(g^* h(\theta) = h(\overline{g}\theta)\)，保证变换的一致性。

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定义4.1.3 同变判决函数与同变损失函数

1. 同变判决函数

若统计判决函数\(\delta(x)\)满足：

\[\delta(gx) = g^* \delta(x), \quad \forall g\in G, x\in\mathcal{X} \]

则称\(\delta(x)\)为关于变换群\(G\)的同变判决函数。

直观意义

「先对样本做变换再判决」的结果，与「先对样本判决再对判决结果做变换」的结果完全一致，保证了判决的统计意义不随样本的合法变换而改变。

实例对应

平移变换群下估计位置参数\(\theta\)：\(g_c x=x+c\)，\(g_c^* d=d+c\)，同变条件为\(\delta(x+c)=\delta(x)+c\)，与我们之前的平移同变条件完全一致。

2. 同变损失函数

若损失函数\(L(\theta,d)\)满足：

\[L(\theta,d) = L(\overline{g}\theta, g^* d), \quad \forall g\in G, \theta\in\Theta, d\in\mathcal{D} \]

则称\(L(\theta,d)\)为关于变换群\(G\)的同变损失函数。

直观意义

参数和判决同步变换后，损失保持不变，即损失仅与「判决的相对误差」有关，与参数、判决的绝对取值无关。

实例对应

平移变换群下的同变损失函数：\(L(\theta,d)=L(\theta+c,d+c)\)，取\(c=-\theta\)，得\(L(\theta,d)=L(0,d-\theta)=\rho(d-\theta)\)，即损失仅与估计误差\(d-\theta\)有关，典型的二次损失\(\rho(t)=t^2\)、绝对损失\(\rho(t)=|t|\)均满足该条件。

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五、同变判决的核心性质：风险函数的群不变性

引理4.1.3 同变判决的风险不变性

设\(\delta(x)\)是同变判决函数，\(L(\theta,d)\)是同变损失函数，则：

1. 损失不变性：\(L(\theta,\delta(x)) = L(\overline{g}\theta, \delta(gx))\)；
2. 风险不变性：风险函数\(R(\theta,\delta) = \mathbb{E}_\theta[L(\theta,\delta(X))]\)满足
   \[R(\theta,\delta) = R(\overline{g}\theta, \delta), \quad \forall g\in G, \theta\in\Theta \]

详细证明

（1）损失不变性的证明

由同变判决函数的定义：\(\delta(gx)=g^*\delta(x)\)；
由同变损失函数的定义：\(L(\theta,d)=L(\overline{g}\theta, g^*d)\)；
将\(d=\delta(x)\)代入损失函数的同变条件，得：

\[L(\theta,\delta(x)) = L(\overline{g}\theta, g^*\delta(x)) = L(\overline{g}\theta, \delta(gx)) \]

得证。

（2）风险不变性的证明

风险函数是损失的期望，因此：

\[R(\theta,\delta) = \mathbb{E}_\theta\left[ L(\theta,\delta(X)) \right] = \mathbb{E}_\theta\left[ L(\overline{g}\theta, \delta(gX)) \right] \]

由引理4.1.1的期望变换公式\(\mathbb{E}_\theta[h(gX)] = \mathbb{E}_{\overline{g}\theta}[h(X)]\)，令\(h(X)=L(\overline{g}\theta, \delta(X))\)，代入得：

\[\mathbb{E}_\theta\left[ L(\overline{g}\theta, \delta(gX)) \right] = \mathbb{E}_{\overline{g}\theta}\left[ L(\overline{g}\theta, \delta(X)) \right] = R(\overline{g}\theta, \delta) \]

因此\(R(\theta,\delta) = R(\overline{g}\theta, \delta)\)，得证。

引理的核心意义

这是MREE求解的理论基石：
同变判决的风险函数在参数导出群的变换下完全不变，即：

• 位置参数分布族：所有\(\theta\)可通过平移变换联系，因此同变估计的风险是与\(\theta\)无关的常数；
• 尺度参数分布族：所有\(\sigma\)可通过相似变换联系，因此同变估计的风险是与\(\sigma^p\)成正比、比例系数为常数的函数。

这一性质将「在所有参数下最小化风险」的全局优化问题，简化为「最小化一个常数/常数比例系数」的单变量优化问题，极大降低了MREE的求解难度。

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六、最小风险同变估计（MREE）的通用定义

定义4.1.4 最小风险同变判决与MREE

设\(\Delta\)为某一统计问题的所有同变判决函数构成的集合，\(R(\theta,\delta)\)为同变损失函数对应的风险函数。若存在\(\delta^*(x)\in\Delta\)，使得：

\[R(\theta,\delta^*) \leq R(\theta,\delta), \quad \forall \delta\in\Delta, \theta\in\Theta \]

则称\(\delta^*(x)\)为该统计问题的最小风险同变判决。
若该问题为参数估计，则称\(\delta^*(x)\)为最优同变估计，记为MREE（Minimum Risk Equivariant Estimator）。

定义解读

1. 结合引理4.1.3，由于同变判决的风险具有群不变性，因此只需\(\delta^*\)在任意一个参数点上的风险最小，即可保证其在所有参数点上的风险都是最小的；
2. 对于参数函数\(h(\theta)\)的估计，同变条件可推广为：\(\delta(gx) = g^* \delta(x) = h(\overline{g}\theta)\)，例如估计尺度参数的幂\(\sigma^r\)，同变条件为\(\delta(kx)=k^r\delta(x)\)。

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七、核心知识点归纳总结

核心概念	严格定义	核心条件	直观意义	典型实例
不变分布族	样本做群内任意变换后，分布仍属于原分布族的分布族	分布可识别、变换后分布不跳出原族	样本变换仅改变参数，不改变分布类型，保证参数变换的唯一性	\(R(0,\theta)\)关于相似群是不变分布族；\(N(\theta,1)\)关于平移群是不变分布族
参数导出群	样本变换群在参数空间上对应的同态群，刻画样本变换对应的参数同步变换	与样本群同态、一一对应	建立「样本变换-参数变换」的对应关系，保证变换逻辑一致	平移群的导出群是参数平移群；相似群的导出群是参数相似群
判决空间导出群	样本变换群在判决空间上对应的同态群，刻画样本变换对应的判决同步变换	与样本群同态、符合统计问题的实际意义	保证判决结果随样本、参数同步变换，统计意义不变	估计\(\theta\)时取\(G^*=\overline{G}\)；估计\(\sigma^2\)时取\(g^*d=k^2d\)
同变判决函数	满足\(\delta(gx)=g^*\delta(x)\)的统计判决函数	样本变换后的判决 = 判决结果的变换	保证判决的一致性，不随样本的合法变换改变统计意义	平移同变估计\(\hat{\mu}(x+c)=\hat{\mu}(x)+c\)
同变损失函数	满足\(L(\theta,d)=L(\overline{g}\theta,g^*d)\)的损失函数	参数与判决同步变换后损失不变	损失仅与判决的相对误差有关，与绝对取值无关	二次损失\(L(\theta,d)=(d-\theta)^2\)、绝对损失$L(\theta,d)=
风险函数群不变性	同变判决的风险满足\(R(\theta,\delta)=R(\overline{g}\theta,\delta)\)	同变判决+同变损失	同变判决的风险在导出群变换下不变，将全局优化简化为单点优化	平移同变估计的风险是与\(\theta\)无关的常数
MREE（最优同变估计）	同变估计类中风险最小的估计	满足同变条件、在所有参数下风险最小	同变性约束下，统计意义一致且损失最小的参数估计	正态分布\(N(\mu,1)\)中\(\mu\)的MREE为\(\bar{X}\)；\(N(0,\sigma^2)\)中\(\sigma^2\)的MREE为\(\frac{1}{n+2}\sum X_i^2\)