5.2广义C-R型不等式（CRK不等式）

广义C-R型不等式（CRK不等式）完整讲解与推导

作为数理统计中参数估计的核心内容，广义C-R型不等式（CRK不等式）解决了经典C-R不等式无法处理的非正则分布族（支撑集随参数变化）的无偏估计方差下界问题，下面我将从背景、核心引理、定理、推论、例题全流程，做最详尽的推导与讲解。

一、背景与核心预备知识

1.1 经典C-R不等式的局限性

经典Cramér-Rao不等式有严格的正则性条件，最核心的限制之一是：分布族的支撑集\(A_\theta = \{x: f(x,\theta) > 0\}\)与参数\(\theta\)无关（共同支撑）。
但大量常用分布不满足该条件，例如：

• 均匀分布\(R(0,\theta)\)：支撑集\(A_\theta=(0,\theta]\)，随\(\theta\)增大而扩大；
• 移位指数分布\(\theta+\Gamma(1,1)\)：支撑集\(A_\theta=[\theta,+\infty)\)，随\(\theta\)变化而平移。

这类分布无法使用经典C-R不等式，因此需要广义C-R型不等式（CRK不等式），它完全去掉了“共同支撑”的限制，适用范围大幅扩展。

1.2 核心符号定义

1. 分布族：\(\{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)，\(f(x,\theta)\)为样本的概率密度/质量函数，\(\Theta\)为参数空间；
2. 支撑集：\(A_\theta = \{x: f(x,\theta) > 0\}\)，即密度大于0的样本点集合，非正则族中\(A_\theta\)随\(\theta\)变化；
3. 无偏估计：\(\widehat{g}(X)\)为\(g(\theta)\)的无偏估计，即对任意\(\theta \in \Theta\)，有\(E_\theta[\widehat{g}(X)] = g(\theta)\)；
4. 似然比（核心构造）：\(S_\phi = S_\phi(x,\theta,\phi) = \frac{f(x,\phi)}{f(x,\theta)}\)，是经典C-R中得分函数\(\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = \frac{f'}{f}\)的推广（得分函数是\(S_\phi\)在\(\phi \to \theta\)时的极限形式）。

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二、核心引理5.2.1 完整推导与证明

引理是CRK不等式的基础，本质是柯西-施瓦茨不等式在概率统计中的应用。

2.1 引理内容

设\(\{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)，\(\widehat{g}(X)\)为\(g(\theta)\)的无偏估计。对\(\theta, \phi \in \Theta\)，记\(S_\phi = \frac{f(x,\phi)}{f(x,\theta)}\)，假定\(\text{Var}_\theta(S_\phi)\)存在，则当\(A_\theta \supset A_\phi\)时，有：

\[\text{Var}_\theta[\widehat{g}(X)] \geqslant \frac{[g(\phi) - g(\theta)]^2}{\text{Var}_\theta(S_\phi)} \tag{5.2.1} \]

2.2 详细证明步骤

步骤1：应用柯西-施瓦茨（协方差）不等式

对任意两个二阶矩存在的随机变量\(\widehat{g}(X)\)和\(S_\phi\)，柯西-施瓦茨不等式的概率形式为：

\[\left[\text{Cov}_\theta\left(\widehat{g}(X), S_\phi\right)\right]^2 \leqslant \text{Var}_\theta\left(\widehat{g}(X)\right) \cdot \text{Var}_\theta\left(S_\phi\right) \]

将式子变形，把待求的方差单独放在左侧，得到：

\[\text{Var}_\theta\left(\widehat{g}(X)\right) \geqslant \frac{\left[\text{Cov}_\theta\left(\widehat{g}(X), S_\phi\right)\right]^2}{\text{Var}_\theta\left(S_\phi\right)} \tag{5.2.2} \]

接下来的核心是计算协方差\(\text{Cov}_\theta(\widehat{g}, S_\phi)\)。

步骤2：协方差的展开

根据协方差的定义，有：

\[\text{Cov}_\theta\left(\widehat{g}, S_\phi\right) = E_\theta\left[\widehat{g} \cdot S_\phi\right] - E_\theta\left[\widehat{g}\right] \cdot E_\theta\left[S_\phi\right] \tag{5.2.3} \]

我们需要分别计算\(E_\theta[S_\phi]\)和\(E_\theta[\widehat{g} S_\phi]\)，核心条件是\(A_\theta \supset A_\phi\)。

步骤3：计算\(E_\theta[S_\phi]\)

根据期望的定义，期望是对样本空间\(\mathcal{X}\)的积分：

\[E_\theta[S_\phi] = \int_{\mathcal{X}} S_\phi(x,\theta,\phi) f(x,\theta) d\mu(x) \]

将样本空间拆分为支撑集\(A_\theta\)和支撑集外\(\mathcal{X}-A_\theta\)两部分，积分拆分为：

\[E_\theta[S_\phi] = \int_{A_\theta} S_\phi f(x,\theta) d\mu(x) + \int_{\mathcal{X}-A_\theta} S_\phi f(x,\theta) d\mu(x) \]

在\(\mathcal{X}-A_\theta\)上，\(f(x,\theta)=0\)，因此第二项积分恒为0，式子简化为：

\[E_\theta[S_\phi] = \int_{A_\theta} \frac{f(x,\phi)}{f(x,\theta)} \cdot f(x,\theta) d\mu(x) = \int_{A_\theta} f(x,\phi) d\mu(x) \]

再利用\(A_\theta \supset A_\phi\)，将\(A_\theta\)拆分为\(A_\phi\)和\(A_\theta - A_\phi\)：

\[\int_{A_\theta} f(x,\phi) d\mu(x) = \int_{A_\phi} f(x,\phi) d\mu(x) + \int_{A_\theta - A_\phi} f(x,\phi) d\mu(x) \]

在\(A_\theta - A_\phi\)上，根据支撑集定义，\(f(x,\phi)=0\)，因此第二项积分也为0，最终得到：

\[E_\theta[S_\phi] = \int_{A_\phi} f(x,\phi) d\mu(x) = \int_{\mathcal{X}} f(x,\phi) d\mu(x) = 1 \tag{5.2.4} \]

（密度函数在全空间的积分恒为1）

步骤4：计算\(E_\theta[\widehat{g} \cdot S_\phi]\)

与步骤3逻辑完全一致，展开期望：

\[E_\theta[\widehat{g} S_\phi] = \int_{\mathcal{X}} \widehat{g}(x) \cdot \frac{f(x,\phi)}{f(x,\theta)} \cdot f(x,\theta) d\mu(x) \]

同样，\(\mathcal{X}-A_\theta\)上\(f(x,\theta)=0\)，积分仅需在\(A_\theta\)上进行，约去\(f(x,\theta)\)后：

\[E_\theta[\widehat{g} S_\phi] = \int_{A_\theta} \widehat{g}(x) f(x,\phi) d\mu(x) \]

又因为\(A_\theta - A_\phi\)上\(f(x,\phi)=0\)，积分可扩展到全空间：

\[E_\theta[\widehat{g} S_\phi] = \int_{A_\phi} \widehat{g}(x) f(x,\phi) d\mu(x) = \int_{\mathcal{X}} \widehat{g}(x) f(x,\phi) d\mu(x) = E_\phi[\widehat{g}(X)] \]

根据无偏估计的定义，\(E_\phi[\widehat{g}(X)] = g(\phi)\)，因此：

\[E_\theta[\widehat{g} S_\phi] = g(\phi) \]

步骤5：代入协方差公式，完成证明

将上述结果代入协方差展开式(5.2.3)：

• \(E_\theta[\widehat{g} S_\phi] = g(\phi)\)
• \(E_\theta[\widehat{g}] = g(\theta)\)（无偏性）
• \(E_\theta[S_\phi] = 1\)

因此协方差为：

\[\text{Cov}_\theta(\widehat{g}, S_\phi) = g(\phi) - g(\theta) \cdot 1 = g(\phi) - g(\theta) \]

将其代入不等式(5.2.2)，最终得到：

\[\text{Var}_\theta[\widehat{g}(X)] \geqslant \frac{[g(\phi) - g(\theta)]^2}{\text{Var}_\theta(S_\phi)} \]

引理证明完毕。

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三、CRK不等式（定理5.2.1）完整讲解

引理给出了单个\(\phi\)对应的方差下界，CRK不等式则对所有满足条件的\(\phi\)取上确界，得到最紧的理论下界。

3.1 定理内容（Chapman-Robins-Kiefer不等式）

设\(\{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)，\(\widehat{g}(X)\)为\(g(\theta)\)的无偏估计，则有：

\[\begin{aligned} \text{Var}_\theta[\widehat{g}(X)] &\geqslant \sup_{\{\phi: A_\phi \subset A_\theta\}} \frac{[g(\phi) - g(\theta)]^2}{\text{Var}_\theta[f(X,\phi)/f(X,\theta)]} \\ &= \sup_{\{\phi: A_\phi \subset A_\theta\}} \frac{[g(\phi) - g(\theta)]^2}{\text{Var}_\theta\left[ \frac{f(X,\phi) - f(X,\theta)}{f(X,\theta)} \right]} \end{aligned} \tag{5.2.5} \]

该不等式简称CRK不等式，右端称为CRK下界。

3.2 定理证明

引理5.2.1已证明：对每一个满足\(A_\phi \subset A_\theta\)的\(\phi\)，不等式(5.2.1)都成立。
也就是说，\(\text{Var}_\theta(\widehat{g})\)大于等于所有满足条件的下界中的每一个，因此它必然大于等于这些下界的上确界（最大值），即：

\[\text{Var}_\theta[\widehat{g}(X)] \geqslant \sup_{\{\phi: A_\phi \subset A_\theta\}} \frac{[g(\phi) - g(\theta)]^2}{\text{Var}_\theta(S_\phi)} \]

第二个等号的证明：
注意到\(S_\phi = \frac{f(X,\phi)}{f(X,\theta)} = \frac{f(X,\phi) - f(X,\theta)}{f(X,\theta)} + 1\)，根据方差的性质：常数不影响方差，即\(\text{Var}(X + c) = \text{Var}(X)\)，因此：

\[\text{Var}_\theta(S_\phi) = \text{Var}_\theta\left( \frac{f(X,\phi) - f(X,\theta)}{f(X,\theta)} + 1 \right) = \text{Var}_\theta\left( \frac{f(X,\phi) - f(X,\theta)}{f(X,\theta)} \right) \]

定理证明完毕。

3.3 定理的核心意义

1. 适用范围极广：完全去掉了经典C-R不等式的“共同支撑”“得分函数可导”等正则条件，可处理均匀分布、移位指数分布等非正则族；
2. 下界更紧：对正则族，CRK下界≥经典C-R下界，给出的理论下界更精确；
3. 局限性：上确界的解析计算难度大，多数场景只能求近似值。

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四、两个核心推论的推导与证明

4.1 推论1：CRK不等式与经典C-R不等式的关系

推论内容

若\(\{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)为C-R正则族，则由CRK不等式可推出经典C-R不等式，且CRK下界≥C-R下界。

详细证明

C-R正则族的核心条件是分布族有共同支撑，即对任意\(\theta, \phi \in \Theta\)，\(A_\theta = A_\phi\)，因此自然满足\(A_\phi \subset A_\theta\)，CRK不等式对所有\(\phi \in \Theta\)成立。

取\(\phi = \theta + \Delta\theta\)（令\(\Delta\theta \to 0\)，即\(\phi\)趋近于\(\theta\)），根据CRK不等式有：

\[\text{Var}_\theta[\widehat{g}(X)] \geqslant \text{CRK下界} \geqslant \frac{[g(\theta + \Delta\theta) - g(\theta)]^2}{\text{Var}_\theta\left[ \frac{f(X,\theta + \Delta\theta) - f(X,\theta)}{f(X,\theta)} \right]} \]

将分子分母同时除以\((\Delta\theta)^2\)，得到：

\[\text{Var}_\theta[\widehat{g}(X)] \geqslant \frac{\left[ \frac{g(\theta + \Delta\theta) - g(\theta)}{\Delta\theta} \right]^2}{\text{Var}_\theta\left[ \frac{f(X,\theta + \Delta\theta) - f(X,\theta)}{f(X,\theta) \Delta\theta} \right]} \]

令\(\Delta\theta \to 0\)取极限：

• 分子极限：根据导数定义，\(\lim_{\Delta\theta \to 0} \frac{g(\theta + \Delta\theta) - g(\theta)}{\Delta\theta} = g'(\theta)\)，因此分子极限为\([g'(\theta)]^2\)；
• 分母极限：\(\lim_{\Delta\theta \to 0} \frac{f(X,\theta + \Delta\theta) - f(X,\theta)}{f(X,\theta) \Delta\theta} = \frac{\partial \ln f(X,\theta)}{\partial \theta}\)，即得分函数\(U(X,\theta)\)，其方差为Fisher信息\(I(\theta)\)，因此分母极限为\(I(\theta)\)。

最终得到：

\[\text{Var}_\theta[\widehat{g}(X)] \geqslant \text{CRK下界} \geqslant \frac{[g'(\theta)]^2}{I(\theta)} \]

其中\(\frac{[g'(\theta)]^2}{I(\theta)}\)正是经典C-R不等式的下界，由此证明：

1. CRK不等式可推出经典C-R不等式；
2. CRK下界≥C-R下界，更紧更精确。

4.2 推论2：充分统计量下的CRK不等式简化

推论内容

若\(\widehat{g}(X)\)为充分统计量\(T = T(X)\)的函数，即\(\widehat{g}(X) = \phi(T)\)，且\(T \sim h(t,\theta)\)，则有：

\[\text{Var}_\theta[\widehat{g}(X)] \geqslant \sup_{\{\phi: A_\phi \subset A_\theta\}} \frac{[g(\phi) - g(\theta)]^2}{\text{Var}_\theta\left[ \frac{h(T,\phi)}{h(T,\theta)} \right]} \]

证明思路

根据因子分解定理：若\(T\)是充分统计量，则样本密度可分解为\(f(x,\theta) = h(T(x),\theta) \cdot c(x)\)，其中\(c(x)\)与参数\(\theta\)无关。

因此似然比可简化为：

\[S_\phi = \frac{f(x,\phi)}{f(x,\theta)} = \frac{h(T(x),\phi) c(x)}{h(T(x),\theta) c(x)} = \frac{h(T,\phi)}{h(T,\theta)} \]

\(c(x)\)被完全约去，似然比仅与充分统计量\(T\)有关。将其代入CRK不等式原式，即可得到推论2的结果。

该推论的核心价值是：利用充分统计量降维，大幅简化CRK下界的计算。

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五、典型例题完整推导

CRK不等式最核心的应用是支撑集随参数变化的非正则分布，下面两个例题覆盖了最典型的两类场景。

5.1 例5.2.1 移位指数分布\(\theta + \Gamma(1,1)\)的CRK下界

题目

设\(X_1,\dots,X_n\)独立同分布，\(X_1 \sim \theta + \Gamma(1,1)\)（密度为\(f(x,\theta) = e^{-(x-\theta)} I\{x \geqslant \theta\}\)），求\(g(\theta)=\theta\)的无偏估计的CRK下界。

完整推导步骤

步骤1：写出样本联合密度与支撑集

n个样本的联合密度为：

\[f(x,\theta) = \prod_{i=1}^n e^{-(x_i - \theta)} I\{x_i \geqslant \theta\} = \exp\left\{ -\sum_{i=1}^n (x_i - \theta) \right\} \cdot I\{x_{(1)} \geqslant \theta\} \]

其中\(x_{(1)} = \min\{x_1,\dots,x_n\}\)为样本最小值，支撑集\(A_\theta = \{x: x_{(1)} \geqslant \theta\} = [\theta, +\infty)^n\)。

步骤2：确定\(\phi\)的取值范围

\(A_\phi = \{x: x_{(1)} \geqslant \phi\}\)，要满足\(A_\phi \subset A_\theta\)，等价于\(\phi \geqslant \theta\)，因此\(\{\phi: A_\phi \subset A_\theta\} = \{\phi: \phi \geqslant \theta\}\)。

CRK下界可写为：

\[\text{CRK下界} = \sup_{\phi \geqslant \theta} \frac{(\phi - \theta)^2}{\text{Var}_\theta(S_\phi)} \]

步骤3：计算似然比\(S_\phi\)（\(\phi \geqslant \theta\)）

\[\begin{aligned} S_\phi &= \frac{f(x,\phi)}{f(x,\theta)} = \frac{\exp\left\{ -\sum_{i=1}^n (x_i - \phi) \right\} I\{x_{(1)} \geqslant \phi\}}{\exp\left\{ -\sum_{i=1}^n (x_i - \theta) \right\} I\{x_{(1)} \geqslant \theta\}} \\ &= \exp\left\{ n(\phi - \theta) \right\} \cdot I\{x_{(1)} \geqslant \phi\} \end{aligned} \]

步骤4：计算\(\text{Var}_\theta(S_\phi)\)

根据方差公式\(\text{Var}_\theta(S_\phi) = E_\theta[S_\phi^2] - (E_\theta[S_\phi])^2\)，已知\(E_\theta[S_\phi] = 1\)，只需计算\(E_\theta[S_\phi^2]\)。

首先，样本最小值\(X_{(1)} \sim \theta + \Gamma(n,1)\)，密度为\(f_{X_{(1)}}(t) = n e^{-n(t - \theta)} I\{t \geqslant \theta\}\)。

计算\(E_\theta[S_\phi^2]\)：

\[\begin{aligned} E_\theta[S_\phi^2] &= E_\theta\left[ \exp\{2n(\phi - \theta)\} I\{X_{(1)} \geqslant \phi\} \right] \\ &= \exp\{2n(\phi - \theta)\} \cdot P_\theta(X_{(1)} \geqslant \phi) \end{aligned} \]

其中概率\(P_\theta(X_{(1)} \geqslant \phi) = \int_{\phi}^{+\infty} n e^{-n(t - \theta)} dt = e^{-n(\phi - \theta)}\)，代入得：

\[E_\theta[S_\phi^2] = \exp\{2n(\phi - \theta)\} \cdot e^{-n(\phi - \theta)} = \exp\{n(\phi - \theta)\} \]

因此方差为：

\[\text{Var}_\theta(S_\phi) = \exp\{n(\phi - \theta)\} - 1 \]

步骤5：求上确界，得到CRK下界

代入后CRK下界为：

\[\text{CRK下界} = \sup_{\phi \geqslant \theta} \frac{(\phi - \theta)^2}{\exp\{n(\phi - \theta)\} - 1} \]

令\(t = \phi - \theta\)（\(t \geqslant 0\)），即求函数\(h(t) = \frac{t^2}{e^{nt} - 1}\)的最大值。通过求导找极值点，数值解为\(nt \approx 1.5936\)，代入得最大值近似为\(\approx \frac{0.47}{n^2}\)（教材保守近似值）。

步骤6：与UMVUE对比

该分布中\(\theta\)的UMVUE为\(\widehat{\theta} = X_{(1)} - 1/n\)，其方差为\(\text{Var}_\theta(\widehat{\theta}) = 1/n^2\)，显著大于CRK下界，说明CRK下界更紧，但无法达到。

5.2 例5.2.2 均匀分布\(R(0,\theta)\)的CRK下界

题目

设\(X_1,\dots,X_n\)独立同分布，\(X_1 \sim R(0,\theta)\)（密度为\(f(x,\theta) = \frac{1}{\theta} I\{0 \leqslant x \leqslant \theta\}\)），求\(g(\theta)=\theta\)的无偏估计的CRK下界。

完整推导步骤

步骤1：写出样本联合密度与支撑集

n个样本的联合密度为：

\[f(x,\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} I\{0 \leqslant x_i \leqslant \theta\} = \frac{1}{\theta^n} I\{x_{(n)} \leqslant \theta\} I\{x_{(1)} \geqslant 0\} \]

其中\(x_{(n)} = \max\{x_1,\dots,x_n\}\)为样本最大值，支撑集\(A_\theta = \{x: 0 \leqslant x_{(n)} \leqslant \theta\} = (0, \theta]^n\)。

步骤2：确定\(\phi\)的取值范围

\(A_\phi = \{x: x_{(n)} \leqslant \phi\}\)，要满足\(A_\phi \subset A_\theta\)，等价于\(\phi \leqslant \theta\)，因此\(\{\phi: A_\phi \subset A_\theta\} = \{\phi: \phi \leqslant \theta\}\)。

CRK下界可写为：

\[\text{CRK下界} = \sup_{\phi \leqslant \theta} \frac{(\phi - \theta)^2}{\text{Var}_\theta(S_\phi)} \]

步骤3：计算似然比\(S_\phi\)（\(\phi \leqslant \theta\)）

\[\begin{aligned} S_\phi &= \frac{f(x,\phi)}{f(x,\theta)} = \frac{\frac{1}{\phi^n} I\{x_{(n)} \leqslant \phi\}}{\frac{1}{\theta^n} I\{x_{(n)} \leqslant \theta\}} \\ &= \left( \frac{\theta}{\phi} \right)^n I\{x_{(n)} \leqslant \phi\} \end{aligned} \]

步骤4：计算\(\text{Var}_\theta(S_\phi)\)

同样，\(\text{Var}_\theta(S_\phi) = E_\theta[S_\phi^2] - 1\)，只需计算\(E_\theta[S_\phi^2]\)。

样本最大值\(X_{(n)}\)的密度为\(f_{X_{(n)}}(t) = \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} I\{0 \leqslant t \leqslant \theta\}\)，因此：

\[\begin{aligned} E_\theta[S_\phi^2] &= E_\theta\left[ \left( \frac{\theta}{\phi} \right)^{2n} I\{X_{(n)} \leqslant \phi\} \right] \\ &= \left( \frac{\theta}{\phi} \right)^{2n} \cdot P_\theta(X_{(n)} \leqslant \phi) \end{aligned} \]

其中概率\(P_\theta(X_{(n)} \leqslant \phi) = \int_{0}^{\phi} \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} dt = \left( \frac{\phi}{\theta} \right)^n\)，代入得：

\[E_\theta[S_\phi^2] = \left( \frac{\theta}{\phi} \right)^{2n} \cdot \left( \frac{\phi}{\theta} \right)^n = \left( \frac{\theta}{\phi} \right)^n \]

因此方差为：

\[\text{Var}_\theta(S_\phi) = \left( \frac{\theta}{\phi} \right)^n - 1 \]

步骤5：求上确界，得到CRK下界

代入后CRK下界为：

\[\text{CRK下界} = \sup_{\phi \leqslant \theta} \frac{(\phi - \theta)^2}{\left( \frac{\theta}{\phi} \right)^n - 1} = \sup_{\phi \leqslant \theta} \frac{\phi^n (\phi - \theta)^2}{\theta^n - \phi^n} \]

令\(r = \frac{\phi}{\theta}\)（\(0 < r \leqslant 1\)），则式子简化为：

\[\text{CRK下界} = \theta^2 \cdot \sup_{0 < r \leqslant 1} \frac{r^n (1 - r)^2}{1 - r^n} \]

该函数无解析最大值，取近似极值点\(r = \frac{n}{n+2}\)，代入得近似值：

\[\text{CRK下界} \approx \frac{\theta^2}{1.5(n+2)^2} \]

步骤6：与UMVUE对比

该分布中\(\theta\)的UMVUE为\(\widehat{\theta} = \frac{n+1}{n} X_{(n)}\)，其方差为\(\text{Var}_\theta(\widehat{\theta}) = \frac{\theta^2}{n(n+2)}\)，显著大于CRK下界，同样说明CRK下界更紧但无法达到。

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六、知识点归纳总结表

知识点类别	核心内容	关键细节与说明
背景与适用场景	解决非C-R正则族（尤其是支撑集随参数\(\theta\)变化的分布族）的无偏估计方差下界问题	经典C-R不等式要求共同支撑、得分函数可导等正则条件，CRK不等式无这些限制，适用范围更广
核心符号定义	1. 支撑集\(A_\theta = \{x: f(x,\theta) > 0\}\) 2. 似然比\(S_\phi = \frac{f(x,\phi)}{f(x,\theta)}\) 3. 无偏估计\(\widehat{g}(X)\)满足\(E_\theta[\widehat{g}] = g(\theta)\)	\(S_\phi\)是经典C-R中得分函数的推广，得分函数是\(S_\phi\)在\(\phi \to \theta\)时的极限
引理5.2.1	当\(A_\theta \supset A_\phi\)时，\(\text{Var}_\theta[\widehat{g}(X)] \geqslant \frac{[g(\phi)-g(\theta)]^2}{\text{Var}_\theta(S_\phi)}\)	核心是柯西-施瓦茨不等式，关键结论：\(E_\theta[S_\phi] = 1\)，\(\text{Cov}_\theta(\widehat{g},S_\phi) = g(\phi)-g(\theta)\)
CRK不等式（定理5.2.1）	\(\text{Var}_\theta[\widehat{g}(X)] \geqslant \sup_{\{\phi: A_\phi \subset A_\theta\}} \frac{[g(\phi)-g(\theta)]^2}{\text{Var}_\theta(S_\phi)}\)	对所有满足\(A_\phi \subset A_\theta\)的\(\phi\)取上确界，得到最紧下界，右端称为CRK下界
推论1（与经典C-R的关系）	对C-R正则族，CRK不等式可推出C-R不等式，且CRK下界≥C-R下界	正则族有共同支撑，令\(\phi \to \theta\)取极限即可得到C-R不等式，CRK下界更紧
推论2（充分统计量简化）	若\(\widehat{g}(X) = \phi(T)\)，\(T\)是充分统计量，密度为\(h(t,\theta)\)，则CRK下界可简化为用\(h(t,\theta)\)计算	利用因子分解定理，似然比仅与充分统计量有关，大幅降低计算维度
典型应用1：移位指数分布\(\theta+\Gamma(1,1)\)	1. 支撑集\(A_\theta = [\theta, +\infty)\)，满足条件的\(\phi \geqslant \theta\) 2. CRK下界近似值：\(\approx \frac{0.47}{n^2}\) 3. UMVUE方差：\(\frac{1}{n^2}\)	样本最小值\(X_{(1)}\)是充分统计量，CRK下界小于UMVUE方差，无法达到
典型应用2：均匀分布\(R(0,\theta)\)	1. 支撑集\(A_\theta = (0, \theta]\)，满足条件的\(\phi \leqslant \theta\) 2. CRK下界近似值：\(\approx \frac{\theta^2}{1.5(n+2)^2}\) 3. UMVUE方差：\(\frac{\theta^2}{n(n+2)}\)	样本最大值\(X_{(n)}\)是充分统计量，CRK下界更紧，但无偏估计无法达到
优缺点	优点：适用范围广，下界更紧； 缺点：上确界的解析计算难度大，通常只能求近似值	非正则族中，CRK下界通常无法达到，仅作为方差的理论下界