3.2.2Lehmann-Scheffe定理

Lehmann-Scheffe定理 深度讲解与完整推导

作为参数估计中求解一致最小风险无偏估计（UMRUE）、尤其是一致最小方差无偏估计（UMVUE）的核心定理，Lehmann-Scheffe定理建立在充分统计量、完备统计量的基础上，我们将从基础概念、引理证明、定理推导、实例解析到归纳总结，进行完整且严谨的讲解。

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一、前置核心概念铺垫

要理解该定理，必须先掌握以下6个核心概念，这是所有推导的基础：

1. 无偏估计

对于待估参数\(g(\theta)\)，若估计量\(\hat{g}(X)\)满足：

\[\mathbb{E}_\theta[\hat{g}(X)] = g(\theta), \quad \forall \theta \in \Theta \]

则称\(\hat{g}(X)\)是\(g(\theta)\)的无偏估计，要求对参数空间\(\Theta\)内的所有\(\theta\)都成立，也叫“处处无偏”。
直观意义：估计量的平均取值等于参数的真实值，无系统性偏差。

2. 充分统计量

统计量\(T=T(X)\)称为\(\theta\)的充分统计量，若给定\(T(X)=t\)时，样本\(X\)的条件分布与\(\theta\)无关。

• 核心意义：充分统计量包含了样本中关于\(\theta\)的全部信息，用它代替原始样本不会损失任何关于参数的信息，同时大幅降维简化计算。
• 判定方法：因子分解定理——样本联合密度可分解为\(f(x;\theta)=g(T(x);\theta)\cdot h(x)\)，其中\(g\)仅通过\(T(x)\)依赖样本且与\(\theta\)有关，\(h(x)\)与\(\theta\)无关。

3. 完备统计量

统计量\(T=T(X)\)称为完备统计量，若对任意可测函数\(h(T)\)，满足：

\[\mathbb{E}_\theta[h(T)] = 0, \quad \forall \theta \in \Theta \]

就必有\(P_\theta(h(T)=0)=1\)（几乎处处等于0，记为a.e.）。

• 核心意义：完备性保证了基于\(T\)的无偏估计是几乎处处唯一的——不会存在两个不同的、关于\(T\)的函数，同时是同一个参数的无偏估计。

4. 完备充分统计量

同时满足充分性和完备性的统计量，是Lehmann-Scheffe定理的核心研究对象，也是求解UMVUE的关键。

5. 损失函数与风险函数

• 损失函数\(L(\theta,d)\)：参数真值为\(\theta\)时，用\(d\)估计\(g(\theta)\)产生的损失，是衡量估计误差的标准。
  常见类型：
  • 平方损失（\(L_2\)损失）：\(L(\theta,d)=(d-g(\theta))^2\)，严凸函数；
  • 绝对值损失（\(L_1\)损失）：\(L(\theta,d)=|d-g(\theta)|\)，凸但非严凸函数。
• 风险函数\(R(\theta,\hat{g})\)：损失函数的期望，即\(R(\theta,\hat{g})=\mathbb{E}_\theta[L(\theta,\hat{g}(X))]\)，衡量估计量的平均损失，风险越小，估计量性能越好。
  平方损失下，风险函数就是估计量的方差：\(R(\theta,\hat{g})=\text{Var}_\theta(\hat{g}(X))\)。

6. UMRUE与UMVUE

• 一致最小风险无偏估计（UMRUE）：若\(\hat{g}^*\)是\(g(\theta)\)的无偏估计，且对任意其他无偏估计\(\hat{g}\)，都有
  \[R(\theta,\hat{g}^*) \leq R(\theta,\hat{g}), \quad \forall \theta \in \Theta \]
  则称\(\hat{g}^*\)为UMRUE，即无偏估计类中风险最小的估计量。
• 一致最小方差无偏估计（UMVUE）：平方损失下的UMRUE，是无偏估计类中方差最小的估计量，也是实际应用中最常用的形式。

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二、先导实例：充分统计量的估计优势

我们先通过教材中的例3.2.3，直观理解“基于充分统计量的估计更优”，为后续定理建立直观认知。

例3.2.3 完整推导

设\(X_1,X_2,\dots,X_n \stackrel{i.i.d.}{\sim} R(0,\theta)\)（均匀分布\(U(0,\theta)\)），概率密度为\(f(x;\theta)=\frac{1}{\theta}I\{0<x<\theta\}\)，求\(\theta\)的无偏估计并比较性能。

1. 非充分统计量的无偏估计\(\hat{g}_1=2\bar{X}\)

• 无偏性验证：
  均匀分布的期望\(\mathbb{E}(X_1)=\int_0^\theta x\cdot\frac{1}{\theta}dx=\frac{\theta}{2}\)，因此\(\mathbb{E}(\bar{X})=\frac{\theta}{2}\)，故\(\mathbb{E}(2\bar{X})=\theta\)，满足无偏性。
• 方差（平方损失下的风险）计算：
  \(\text{Var}(X_1)=\mathbb{E}(X_1^2)-[\mathbb{E}(X_1)]^2=\frac{\theta^2}{3}-\frac{\theta^2}{4}=\frac{\theta^2}{12}\)，因此
  \[\text{Var}(\hat{g}_1)=\text{Var}(2\bar{X})=4\cdot\frac{\text{Var}(X_1)}{n}=\frac{\theta^2}{3n} \]

2. 充分统计量的无偏估计\(\hat{g}_2=\frac{n+1}{n}X_{(n)}\)

\(X_{(n)}=\max\{X_1,\dots,X_n\}\)是样本最大值，首先证明它是\(\theta\)的充分统计量：
样本联合密度为

\[f(x_1,\dots,x_n;\theta)=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta}I\{0<x_i<\theta\}=\frac{1}{\theta^n}I\{X_{(n)}<\theta\}\cdot I\{\min x_i>0\} \]

根据因子分解定理，\(T=X_{(n)}\)是\(\theta\)的充分统计量。

• 分布与期望计算：
  \(X_{(n)}\)的分布函数\(F(t)=P(X_{(n)}\leq t)=(\frac{t}{\theta})^n, 0<t<\theta\)，概率密度\(f(t)=\frac{nt^{n-1}}{\theta^n}\)。
  因此\(\mathbb{E}(X_{(n)})=\int_0^\theta t\cdot\frac{nt^{n-1}}{\theta^n}dt=\frac{n}{n+1}\theta\)，调整后得到无偏估计\(\hat{g}_2=\frac{n+1}{n}X_{(n)}\)，满足\(\mathbb{E}(\hat{g}_2)=\theta\)。
• 方差（平方损失下的风险）计算：
  \(\mathbb{E}(X_{(n)}^2)=\int_0^\theta t^2\cdot\frac{nt^{n-1}}{\theta^n}dt=\frac{n}{n+2}\theta^2\)，因此
  \[\text{Var}(X_{(n)})=\frac{n}{n+2}\theta^2 - \left(\frac{n}{n+1}\theta\right)^2=\frac{n\theta^2}{(n+2)(n+1)^2} \]
  \[\text{Var}(\hat{g}_2)=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2\text{Var}(X_{(n)})=\frac{\theta^2}{n(n+2)} \]

3. 性能比较

当\(n\geq2\)时，\(\frac{\theta^2}{n(n+2)} < \frac{\theta^2}{3n}\)，即\(\text{Var}(\hat{g}_2) < \text{Var}(\hat{g}_1)\)。
核心结论：基于充分统计量的无偏估计，性能显著优于非充分统计量的无偏估计。

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三、核心引理证明

Lehmann-Scheffe定理的推导完全建立在两个引理之上，我们先对两个引理进行严谨的证明。

引理3.2.1 唯一性引理

命题：设\(T=T(X)\)为完备统计量（不必为充分统计量），若\(\varphi_1(T(X))\)和\(\varphi_2(T(X))\)都是\(g(\theta)\)的无偏估计，则必有\(\varphi_1(T(X))=\varphi_2(T(X)) \ \text{a.e.}\)。
即：若\(g(\theta)\)的无偏估计存在且为\(T\)的函数，则该无偏估计几乎处处唯一。

完整证明：

1. 由无偏估计的定义，对任意\(\theta \in \Theta\)，有：
   \[\mathbb{E}_\theta[\varphi_1(T)] = g(\theta), \quad \mathbb{E}_\theta[\varphi_2(T)] = g(\theta) \]

2. 构造函数\(h(T)=\varphi_1(T)-\varphi_2(T)\)，计算其期望：
   \[\mathbb{E}_\theta[h(T)] = \mathbb{E}_\theta[\varphi_1(T)] - \mathbb{E}_\theta[\varphi_2(T)] = g(\theta)-g(\theta)=0, \quad \forall \theta \in \Theta \]

3. 由于\(T\)是完备统计量，根据完备统计量的定义，满足\(\mathbb{E}_\theta[h(T)]=0\)对所有\(\theta\)成立时，必有\(h(T)=0 \ \text{a.e.}\)，即
   \[\varphi_1(T(X))=\varphi_2(T(X)) \ \text{a.e.} \]

引理得证。

关键注记：无偏性必须是“处处无偏”，否则无法满足完备性定义中“对所有\(\theta\in\Theta\)期望为0”的要求，也就无法推出唯一性。

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引理3.2.2 最优性引理（Rao-Blackwell定理的推广）

命题：设\(\tilde{g}(X)\)为\(g(\theta)\)的无偏估计，损失函数\(L(\theta,d)\)为凸函数，\(T=T(X)\)为充分统计量（不必为完备的），令

\[\hat{g}(X) = \mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T] = \varphi(T(X)) \]

则：

1. \(\hat{g}(X)\)也是\(g(\theta)\)的无偏估计；
2. 风险满足\(R(\theta,\hat{g}) \leq R(\theta,\tilde{g}), \forall \theta \in \Theta\)；
3. 若\(L(\theta,d)\)为严凸函数，则等号成立的充要条件是\(\tilde{g}(X)\)是\(T(X)\)的函数，即\(\tilde{g}(X)=h(T(X))\)。

完整证明：

步骤1：证明\(\hat{g}(X)\)的无偏性

根据重期望公式（全期望公式）：对任意随机变量\(X,Y\)，有\(\mathbb{E}[\mathbb{E}(Y|X)]=\mathbb{E}(Y)\)。
因此对任意\(\theta \in \Theta\)：

\[\mathbb{E}_\theta[\hat{g}(X)] = \mathbb{E}_\theta\left[\mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T]\right] = \mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)] = g(\theta) \]

故\(\hat{g}(X)\)是\(g(\theta)\)的无偏估计。

补充说明：由于\(T\)是充分统计量，给定\(T\)时样本的条件分布与\(\theta\)无关，因此\(\mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T]\)的结果仅与\(T\)有关，与\(\theta\)无关，确实是\(T\)的函数\(\varphi(T)\)。

步骤2：证明风险不等式

风险函数是损失的期望，因此：

\[R(\theta,\hat{g}) = \mathbb{E}_\theta\left[L\left(\theta, \mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T]\right)\right] \]

由于\(L(\theta,d)\)是关于\(d\)的凸函数，对条件期望应用Jensen不等式：对凸函数\(L\)，有

\[L\left(\theta, \mathbb{E}[Y|T]\right) \leq \mathbb{E}\left[L(\theta,Y) | T\right] \]

令\(Y=\tilde{g}(X)\)，代入得：

\[L\left(\theta, \mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T]\right) \leq \mathbb{E}_\theta\left[L(\theta,\tilde{g}(X)) | T\right] \]

对不等式两边同时取期望，结合重期望公式：

\[\mathbb{E}_\theta\left[L\left(\theta, \mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T]\right)\right] \leq \mathbb{E}_\theta\left[\mathbb{E}_\theta\left[L(\theta,\tilde{g}(X)) | T\right]\right] = \mathbb{E}_\theta\left[L(\theta,\tilde{g}(X))\right] \]

即

\[R(\theta,\hat{g}) \leq R(\theta,\tilde{g}), \quad \forall \theta \in \Theta \]

步骤3：严凸损失下等号成立的充要条件

Jensen不等式对严凸函数，等号成立的充要条件是\(Y\)在给定\(T\)时几乎处处为常数，即

\[\tilde{g}(X) = \mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T] = \varphi(T) \ \text{a.e.} \]

也就是\(\tilde{g}(X)\)是\(T\)的函数。
反之，若\(\tilde{g}(X)\)是\(T\)的函数，则\(\mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T]=\tilde{g}(X)\)，此时\(\hat{g}=\tilde{g}\)，风险自然相等。
引理得证。

推论（平方损失下的Rao-Blackwell定理）：
当损失为平方损失\(L(\theta,d)=(d-g(\theta))^2\)（严凸），则

\[\text{Var}(\hat{g}) \leq \text{Var}(\tilde{g}), \quad \forall \theta \in \Theta \]

等号成立当且仅当\(\tilde{g}(X)\)是\(T\)的函数。
即：任何无偏估计对充分统计量取条件期望后，方差不会增大，性能更优。

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四、Lehmann-Scheffe定理 完整证明

结合上述两个引理，我们正式给出Lehmann-Scheffe定理的完整表述与严谨证明。

定理3.2.1 Lehmann-Scheffe（莱曼-谢费）定理

给定样本\(X_1,\dots,X_n\)，设\(X=(X_1,\dots,X_n)^T \sim f(x;\theta), \theta \in \Theta\)。考虑\(g(\theta)\)的无偏估计，损失函数\(L(\theta,d)\)为凸函数，\(T=T(X)\)为\(\theta\)的完备充分统计量，则有：

1. 若\(\hat{g}(X)\)是\(g(\theta)\)的无偏估计，且\(\hat{g}(X)=h(T(X))\)（是\(T\)的函数），则\(\hat{g}(X)\)必为\(g(\theta)\)的一致最小风险无偏估计（UMRUE）。
2. 若\(\tilde{g}(X)\)是\(g(\theta)\)的任意无偏估计，则\(\hat{g}(X)=\mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T]\)必为\(g(\theta)\)的UMRUE。
3. 若\(L(\theta,d)\)为严凸函数，且\(g(\theta)\)的UMRUE存在，则UMRUE必为\(T(X)\)的函数，且几乎处处唯一。

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结论(1)的证明

目标：证明对任意无偏估计\(\tilde{g}(X)\)，都有\(R(\theta,\hat{g}) \leq R(\theta,\tilde{g}), \forall \theta \in \Theta\)。

1. 对任意无偏估计\(\tilde{g}(X)\)，构造\(g^*(X)=\mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T]\)。
2. 由引理3.2.2，\(g^*(X)\)是\(g(\theta)\)的无偏估计，且\(R(\theta,g^*) \leq R(\theta,\tilde{g}), \forall \theta \in \Theta\)。
3. \(g^*(X)\)是\(T\)的函数，而\(\hat{g}(X)=h(T(X))\)也是\(T\)的函数，且两者都是\(g(\theta)\)的无偏估计。
4. 由于\(T\)是完备统计量，由引理3.2.1（唯一性引理），得\(\hat{g}(X)=g^*(X) \ \text{a.e.}\)，因此两者风险相等：\(R(\theta,\hat{g})=R(\theta,g^*)\)。
5. 结合不等式得：\(R(\theta,\hat{g})=R(\theta,g^*) \leq R(\theta,\tilde{g}), \forall \theta \in \Theta\)。

由于\(\tilde{g}(X)\)是任意无偏估计，因此\(\hat{g}(X)\)是\(g(\theta)\)的UMRUE，结论(1)得证。

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结论(2)的证明

目标：证明\(\hat{g}(X)=\mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T]\)是UMRUE。

1. 由充分统计量的性质，\(\hat{g}(X)\)是\(T\)的函数；
2. 由引理3.2.2，\(\mathbb{E}_\theta[\hat{g}(X)]=g(\theta)\)，即\(\hat{g}(X)\)是\(g(\theta)\)的无偏估计；
3. 结合结论(1)，作为完备充分统计量\(T\)的无偏估计函数，\(\hat{g}(X)\)必为UMRUE，结论(2)得证。

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结论(3)的证明

目标：严凸损失下，UMRUE必为\(T\)的函数，且几乎处处唯一。

1. 设\(\hat{g}(X)\)是\(g(\theta)\)的UMRUE，构造\(g^*(X)=\mathbb{E}_\theta[\hat{g}(X)|T]\)。
2. 由引理3.2.2，\(g^*(X)\)是无偏估计，且\(R(\theta,g^*) \leq R(\theta,\hat{g}), \forall \theta \in \Theta\)。
3. 由于\(\hat{g}(X)\)是UMRUE，其风险是无偏估计中的最小值，因此必有\(R(\theta,\hat{g}) \leq R(\theta,g^*), \forall \theta \in \Theta\)。
4. 结合两个不等式得\(R(\theta,\hat{g})=R(\theta,g^*), \forall \theta \in \Theta\)。
5. 由于损失函数是严凸的，由引理3.2.2，等号成立的充要条件是\(\hat{g}(X)\)是\(T\)的函数，即\(\hat{g}(X)=h(T(X))\)。
6. 再由引理3.2.1，基于完备统计量\(T\)的无偏估计几乎处处唯一，因此UMRUE是唯一的，结论(3)得证。

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定理的常用推论

损失函数类型	定理适用性	核心结论
平方损失（\(L_2\)，严凸）	结论(1)(2)(3)全部成立	UMRUE即UMVUE，是无偏估计类中方差最小的估计量，且必为完备充分统计量的函数，几乎处处唯一
绝对值损失（\(L_1\)，凸非严凸）	结论(1)(2)成立，(3)不成立	可通过定理构造UMRUE，但UMRUE不一定唯一，也不一定是完备充分统计量的函数

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五、定理的核心应用：UMVUE的两种求解方法

Lehmann-Scheffe定理给出了平方损失下求解UMVUE的两种标准方法，也是参数估计的核心实用技巧：

方法1：直接构造法

1. 找到参数\(\theta\)的完备充分统计量\(T(X)\)；
2. 构造\(T\)的函数\(h(T)\)，使得\(\mathbb{E}_\theta[h(T)]=g(\theta)\)（即\(h(T)\)是\(g(\theta)\)的无偏估计）；
3. 由定理结论(1)，\(h(T)\)就是\(g(\theta)\)的UMVUE。

示例：例3.2.3中，完备充分统计量是\(X_{(n)}\)，构造\(h(X_{(n)})=\frac{n+1}{n}X_{(n)}\)，其期望为\(\theta\)，因此它就是\(\theta\)的UMVUE。

方法2：条件期望法（Rao-Blackwell化）

1. 找到参数\(\theta\)的完备充分统计量\(T(X)\)；
2. 先找\(g(\theta)\)的任意一个简单无偏估计\(\tilde{g}(X)\)（通常取仅依赖单个样本的估计量）；
3. 计算条件期望\(\hat{g}(X)=\mathbb{E}_\theta[\tilde{g}(X)|T]\)，由定理结论(2)，该结果就是\(g(\theta)\)的UMVUE。

示例：仍以\(X_1,\dots,X_n \sim U(0,\theta)\)为例，取简单无偏估计\(\tilde{g}(X)=2X_1\)，计算条件期望\(\mathbb{E}[2X_1 | X_{(n)}=t]=\frac{n+1}{n}t\)，因此\(\hat{g}(X)=\frac{n+1}{n}X_{(n)}\)，与直接构造法结果一致，即为\(\theta\)的UMVUE。

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六、知识点完整归纳总结

模块	核心内容	关键结论与要点
基础概念	无偏估计	满足\(\mathbb{E}_\theta[\hat{g}]=g(\theta), \forall \theta\in\Theta\)，无系统性偏差，要求处处无偏
	充分统计量	给定\(T\)时样本条件分布与\(\theta\)无关，包含样本关于\(\theta\)的全部信息，因子分解定理判定
	完备统计量	若\(\mathbb{E}_\theta[h(T)]=0,\forall\theta\)，则\(h(T)=0 \ \text{a.e.}\)，保证基于\(T\)的无偏估计唯一
	完备充分统计量	同时满足充分性与完备性，是Lehmann-Scheffe定理的核心对象
	损失与风险	凸损失：平方损失（严凸）、绝对值损失（凸非严凸）；风险是损失的期望，平方损失下风险即方差
	UMRUE/UMVUE	UMRUE：无偏估计类中风险最小；UMVUE：平方损失下的UMRUE，无偏估计类中方差最小
核心引理	唯一性引理	条件：\(T\)完备，\(\varphi_1(T),\varphi_2(T)\)均为\(g(\theta)\)的无偏估计 结论：\(\varphi_1(T)=\varphi_2(T) \ \text{a.e.}\)，基于完备统计量的无偏估计唯一
	最优性引理	条件：\(\tilde{g}\)无偏，\(T\)充分，\(L\)凸，$\hat{g}=\mathbb{E}[\tilde
Lehmann-Scheffe定理	结论(1)	条件：\(T\)是完备充分统计量，\(\hat{g}=h(T)\)是\(g(\theta)\)的无偏估计 结论：\(\hat{g}\)是\(g(\theta)\)的UMRUE
	结论(2)	条件：\(T\)是完备充分统计量，\(\tilde{g}\)是任意无偏估计，$\hat{g}=\mathbb{E}[\tilde
	结论(3)	条件：\(L\)严凸，\(g(\theta)\)的UMRUE存在 结论：UMRUE必为\(T\)的函数，且几乎处处唯一
实用方法	直接构造法	1. 找完备充分统计量\(T\)；2. 构造\(T\)的无偏函数\(h(T)\)；3. \(h(T)\)即为UMVUE
	条件期望法	1. 找完备充分统计量\(T\)；2. 找简单无偏估计\(\tilde{g}\)；3. 计算$\mathbb{E}[\tilde
易错点提醒	完备性+充分性缺一不可	仅充分无完备：无法保证估计量是最小风险；仅完备无充分：无法保证估计量最优
	无偏性要求	必须处处无偏，仅对部分\(\theta\)无偏无法应用定理
	最优性范围	UMVUE是无偏估计类中的最优，有偏估计可能有更小的均方误差

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补充说明

对于指数族分布，我们有通用的完备充分统计量判定方法：自然指数族\(f(x;\theta)=C(\theta)\exp\left\{\sum_{i=1}^k Q_i(\theta)T_i(x)\right\}h(x)\)，若参数空间\(\Theta\)包含内点，则\(T(X)=(T_1(X),\dots,T_k(X))\)就是完备充分统计量，这是实际应用中寻找完备充分统计量的最常用方法。

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Lehmann-Scheffe定理例题 深度讲解与完整推导

作为参数估计的核心应用，Lehmann-Scheffe定理的价值完全体现在各类分布的UMRUE/UMVUE求解中。我将以60余年的教研经验，从方法本质、逐题完整推导、细节补全、逻辑拆解四个维度，把所有例题讲透，最后用表格归纳所有核心结论。

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一、先回顾：Lehmann-Scheffe定理的核心逻辑与求解方法

所有例题的求解都完全遵循定理的核心结论，我们先把底层逻辑讲透，避免陷入无意义的公式计算。

定理核心结论

若\(T(X)\)是参数\(\theta\)的完备充分统计量，则：

1. 任何基于\(T\)的无偏估计\(\hat{g}(T)\)，都是\(g(\theta)\)的一致最小风险无偏估计（UMRUE）；
2. 平方损失下，UMRUE就是一致最小方差无偏估计（UMVUE），且几乎处处唯一。

两种标准求解方法的本质

方法	核心逻辑	适用场景	通用步骤
直接法	直接构造完备充分统计量\(T\)的函数\(h(T)\)，使其满足无偏性\(E[h(T)]=g(\theta)\)	待估函数形式简单，容易通过期望变形构造无偏估计	1. 找完备充分统计量\(T\)；2. 构造\(h(T)\)并验证无偏性；3. 由定理得UMRUE
条件期望法	先找一个简单无偏估计，再对完备充分统计量\(T\)求条件期望，得到最优估计	待估函数形式复杂，直接构造无偏函数困难	1. 找完备充分统计量\(T\)；2. 构造简单无偏估计\(\tilde{g}\)；3. 计算\(E[\tilde{g}|T]\)；4. 由定理得UMRUE

核心提醒：所有例题的第一步，永远是找到并验证完备充分统计量，这是Lehmann-Scheffe定理应用的前提，也是教材中最容易省略的关键步骤。

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二、例题逐题详细讲解与完整推导

例3.2.4 基础指数族分布的UMRUE

题目：设\(X_1,\dots,X_n \stackrel{i.i.d.}{\sim}\) 以下分布，求对应参数的UMRUE：
(1) \(X_1 \sim b(1,\theta)\)（伯努利分布），待估参数\(\theta\)；
(2) \(X_1 \sim P(\lambda)\)（泊松分布），待估参数\(\lambda\)；
(3) \(X_1 \sim N(\mu,1)\)（方差已知的正态分布），待估参数\(\mu\)。

完整推导与讲解

步骤1：确定完备充分统计量

这三个分布都属于自然指数族分布，对于指数族分布，若参数空间包含内点，则其自然充分统计量就是完备充分统计量。

(1) 伯努利分布\(b(1,\theta)\)：
样本联合概率质量函数为：

\[f(x;\theta)=(1-\theta)^n \cdot \exp\left\{ \ln\left(\frac{\theta}{1-\theta}\right) \cdot \sum_{i=1}^n x_i \right\} \]

自然充分统计量为\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)，参数空间\(\Theta=(0,1)\)包含内点，因此\(T\)是\(\theta\)的完备充分统计量，样本均值\(\bar{X}=\frac{1}{n}T\)是\(T\)的一一对应函数，也是完备充分统计量。

(2) 泊松分布\(P(\lambda)\)：
样本联合概率质量函数为：

\[f(x;\lambda)=e^{-n\lambda} \cdot \exp\left\{ \ln\lambda \cdot \sum_{i=1}^n x_i \right\} \cdot \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i!} \]

自然充分统计量为\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)，参数空间\(\Theta=(0,+\infty)\)包含内点，因此\(T\)是\(\lambda\)的完备充分统计量，\(\bar{X}=\frac{1}{n}T\)也是完备充分统计量。

(3) 正态分布\(N(\mu,1)\)：
样本联合概率密度为：

\[f(x;\mu)=(2\pi)^{-n/2}e^{-\frac{n\mu^2}{2}} \cdot \exp\left\{ \mu \cdot \sum_{i=1}^n x_i \right\} \cdot e^{-\frac{1}{2}\sum x_i^2} \]

自然充分统计量为\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)，参数空间\(\Theta=(-\infty,+\infty)\)包含内点，因此\(T\)是\(\mu\)的完备充分统计量，\(\bar{X}=\frac{1}{n}T\)也是完备充分统计量。

步骤2：验证无偏性

(1) 伯努利分布：\(E(X_1)=\theta\)，因此\(E(\bar{X})=\frac{1}{n}\sum E(X_i)=\theta\)，\(\bar{X}\)是\(\theta\)的无偏估计；
(2) 泊松分布：\(E(X_1)=\lambda\)，因此\(E(\bar{X})=\lambda\)，\(\bar{X}\)是\(\lambda\)的无偏估计；
(3) 正态分布：\(E(X_1)=\mu\)，因此\(E(\bar{X})=\mu\)，\(\bar{X}\)是\(\mu\)的无偏估计。

步骤3：最终结论

\(\bar{X}\)是完备充分统计量，且是待估参数的无偏估计，由Lehmann-Scheffe定理，\(\bar{X}\)分别是\(\theta、\lambda、\mu\)的UMRUE。

教学提醒：这个例题是定理最基础的应用，核心是让大家理解：指数族分布的位置参数，样本均值本身就是完备充分统计量+无偏估计，因此直接就是UMRUE。

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例3.2.5 均匀分布\(R(0,\theta)\)的UMRUE

题目：设\(X_1,\dots,X_n \stackrel{i.i.d.}{\sim} R(0,\theta)\)（均匀分布，也记\(U(0,\theta)\)），
(1) 求\(\theta\)和\(\theta^{-1}\)的UMRUE；
(2) 求任意可导函数\(g(\theta)\)的UMRUE。

完整推导与讲解

均匀分布\(R(0,\theta)\)的概率密度为：\(f(x;\theta)=\frac{1}{\theta}I\{0<x<\theta\}\)，\(I\{\cdot\}\)为示性函数。

步骤1：确定完备充分统计量

• 充分性验证（因子分解定理）：
  样本联合密度为：

  \[f(x;\theta)=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta}I\{0<x_i<\theta\} = \frac{1}{\theta^n} I\{X_{(n)}<\theta\} \cdot I\{\min X_i>0\} \]

  其中\(X_{(n)}=\max\{X_1,\dots,X_n\}\)是样本最大值。联合密度可分解为\(g(T;\theta)\cdot h(x)\)，其中\(g(T;\theta)=\frac{1}{\theta^n}I\{T<\theta\}\)仅通过\(T=X_{(n)}\)依赖样本，\(h(x)=I\{\min X_i>0\}\)与\(\theta\)无关，因此\(T=X_{(n)}\)是\(\theta\)的充分统计量。

• 完备性验证：
  \(T=X_{(n)}\)的概率密度为：\(f_T(t;\theta)=\frac{n t^{n-1}}{\theta^n} I\{0<t<\theta\}\)（分布函数\(F_T(t)=(t/\theta)^n\)，求导得密度）。
  对任意可测函数\(h(T)\)，若\(E_\theta[h(T)]=0\)对所有\(\theta>0\)成立，即：

  \[\int_0^\theta h(t) \cdot \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} dt = 0 \implies n\int_0^\theta h(t) t^{n-1} dt = 0, \forall \theta>0 \]

  对\(\theta\)求导得\(n h(\theta) \theta^{n-1}=0\)，即\(h(\theta)=0\) a.e.，因此\(T=X_{(n)}\)是完备统计量。

综上，\(T=X_{(n)}\)是\(\theta\)的完备充分统计量。

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(1) 求\(\theta\)和\(\theta^{-1}\)的UMRUE

① \(\theta\)的UMRUE

计算\(T\)的期望：

\[E_\theta(T) = \int_0^\theta t \cdot \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} dt = \frac{n}{\theta^n} \cdot \frac{\theta^{n+1}}{n+1} = \frac{n}{n+1}\theta \]

变形得到无偏估计：

\[E\left( \frac{n+1}{n} T \right) = \theta \]

因此\(\hat{\theta}=\frac{n+1}{n}X_{(n)}\)是完备充分统计量的函数，且是\(\theta\)的无偏估计。由Lehmann-Scheffe定理，\(\hat{\theta}=\frac{n+1}{n}X_{(n)}\)是\(\theta\)的UMRUE。

② \(\theta^{-1}\)的UMRUE

教材直接给出了结果，这里补全推导（要求\(n\geq2\)，否则期望不存在）：

\[E_\theta(T^{-1}) = \int_0^\theta \frac{1}{t} \cdot \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} dt = \frac{n}{\theta^n} \int_0^\theta t^{n-2} dt = \frac{n}{\theta^n} \cdot \frac{\theta^{n-1}}{n-1} = \frac{n}{n-1}\theta^{-1} \]

变形得到无偏估计：

\[E\left( \frac{n-1}{n} T^{-1} \right) = \theta^{-1} \]

因此\(\widehat{\theta^{-1}}=\frac{n-1}{n}X_{(n)}^{-1}\)是\(\theta^{-1}\)的UMRUE。

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(2) 求可导函数\(g(\theta)\)的UMRUE

设\(g(\theta)\)的UMRUE为\(h(T)\)，由无偏性要求：

\[E_\theta[h(T)] = g(\theta), \forall \theta>0 \]

代入\(T\)的密度，得到积分方程：

\[\int_0^\theta h(t) \cdot \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} dt = g(\theta) \implies n\int_0^\theta h(t) t^{n-1} dt = \theta^n g(\theta), \forall \theta>0 \]

对等式两边关于\(\theta\)求导（左边变上限积分求导，右边乘积求导）：

• 左边：\(\frac{d}{d\theta}\left(n\int_0^\theta h(t)t^{n-1}dt\right) = n h(\theta) \theta^{n-1}\)
• 右边：\(\frac{d}{d\theta}\left(\theta^n g(\theta)\right) = n\theta^{n-1}g(\theta) + \theta^n g'(\theta)\)

等式两边除以\(\theta^{n-1}\)，化简得：

\[n h(\theta) = n g(\theta) + \theta g'(\theta) \implies h(\theta) = g(\theta) + \frac{1}{n}\theta g'(\theta) \]

将\(\theta\)替换为\(T=X_{(n)}\)，得到\(g(\theta)\)的UMRUE：

\[\widehat{g(\theta)} = g(X_{(n)}) + \frac{1}{n} X_{(n)} g'(X_{(n)}) \]

验证：代入\(g(\theta)=\theta\)，得\(\hat{g}=\frac{n+1}{n}X_{(n)}\)；代入\(g(\theta)=\theta^{-1}\)，得\(\hat{g}=\frac{n-1}{n}X_{(n)}^{-1}\)，和(1)的结果完全一致，验证了公式的正确性。

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例3.2.6 伯努利分布方差的UMRUE

题目：设\(X_1,\dots,X_n \stackrel{i.i.d.}{\sim} b(1,\theta)\)，求\(\sigma^2(\theta)=\theta(1-\theta)\)的UMRUE。

完整推导与讲解

步骤1：确定完备充分统计量

和例3.2.4一致，伯努利分布的完备充分统计量为\(T=\sum_{i=1}^n X_i \sim b(n,\theta)\)（二项分布）。

步骤2：待定系数法构造无偏估计

待估函数\(\sigma^2(\theta)=\theta-\theta^2\)是\(\theta\)的二次多项式，而二项分布的一阶矩、二阶矩都是\(\theta\)的多项式，因此设无偏估计为\(\varphi(T)=\alpha T + \beta T^2\)（\(\alpha、\beta\)为待定系数）。

首先计算\(T\)的矩：

• 一阶矩：\(E(T)=n\theta\)
• 二阶矩：\(E(T^2)=\text{Var}(T)+[E(T)]^2 = n\theta(1-\theta) + n^2\theta^2\)

因此\(\varphi(T)\)的期望为：

\[E[\varphi(T)] = \alpha n\theta + \beta\left(n\theta(1-\theta)+n^2\theta^2\right) = n(\alpha+\beta)\theta + n\beta(n-1)\theta^2 \]

要求\(E[\varphi(T)]=\theta-\theta^2\)，因此同次项系数必须相等，得到方程组：

1. 一次项：\(n(\alpha+\beta)=1\)
2. 二次项：\(n\beta(n-1)=-1\)

步骤3：解方程组得UMRUE

解第二个方程得：\(\beta=-\frac{1}{n(n-1)}\)
代入第一个方程得：\(\alpha=\frac{1}{n-1}\)

因此无偏估计为：

\[\varphi(T) = \frac{1}{n-1}T - \frac{1}{n(n-1)}T^2 = \frac{1}{n(n-1)}(nT-T^2) \]

\(\varphi(T)\)是完备充分统计量的函数，且无偏，由Lehmann-Scheffe定理，\(\widehat{\sigma^2}=\frac{1}{n(n-1)}(nT-T^2)\)是\(\sigma^2(\theta)\)的UMRUE。

补充验证：样本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2\)，展开后恰好等于\(\frac{1}{n(n-1)}(nT-T^2)\)，说明样本方差就是伯努利分布方差的UMVUE，符合我们的直观认知。

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例3.2.7 异方差正态分布的UMRUE

题目：设\(X_1,\dots,X_n\)相互独立，\(X_j \sim N(0,\sigma^2), j\neq i\)，求：
(1) 若\(X_i \sim N(\gamma,\sigma^2)\)，求\(\gamma、\sigma^2\)的UMRUE；
(2) 若\(X_i \sim N(0,\omega\sigma^2) (n>3)\)，求\(\sigma^2、\omega\)的UMRUE。

完整推导与讲解

这个例题的核心是：样本非同分布，需先找到完备充分统计量，再利用\(\chi^2\)分布的性质构造无偏估计。

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(1) 情形1：\(X_i \sim N(\gamma,\sigma^2)\)，其余\(X_j \sim N(0,\sigma^2)\)

步骤1：确定完备充分统计量

样本联合密度为：

\[f(x;\gamma,\sigma^2) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2} e^{-\frac{\gamma^2}{2\sigma^2}} \cdot \exp\left\{ -\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{j=1}^n x_j^2 + \frac{\gamma}{\sigma^2}x_i \right\} \]

这是自然指数族，自然充分统计量为\(T=\left(\sum_{j=1}^n X_j^2, X_i\right)\)，参数空间包含内点，因此\(T\)是完备充分统计量。令\(T_1=\sum_{j\neq i}X_j^2\)，则\((T_1,X_i)\)也是完备充分统计量。

步骤2：构造无偏估计

• \(\gamma\)的UMRUE：\(E(X_i)=\gamma\)，\(X_i\)是完备充分统计量的函数且无偏，因此\(\hat{\gamma}=X_i\)是\(\gamma\)的UMRUE。
• \(\sigma^2\)的UMRUE：\(\frac{T_1}{\sigma^2}=\sum_{j\neq i}\frac{X_j^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)，\(\chi^2(k)\)的期望为\(k\)，因此\(E\left(\frac{T_1}{n-1}\right)=\sigma^2\)，故\(\widehat{\sigma^2}=\frac{1}{n-1}\sum_{j\neq i}X_j^2\)是\(\sigma^2\)的UMRUE。

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(2) 情形2：\(X_i \sim N(0,\omega\sigma^2)\)，其余\(X_j \sim N(0,\sigma^2)\)，\(n>3\)

步骤1：确定完备充分统计量

样本联合密度为：

\[f(x;\omega,\sigma^2) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2}\omega^{-1/2} \cdot \exp\left\{ -\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{j\neq i}x_j^2 - \frac{1}{2\omega\sigma^2}x_i^2 \right\} \]

自然充分统计量为\(T=\left(\sum_{j\neq i}X_j^2, X_i^2\right)\)，参数空间包含内点，因此\(T\)是完备充分统计量。令\(T_1=\sum_{j\neq i}X_j^2\)，则\(\frac{T_1}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)，\(\frac{X_i^2}{\omega\sigma^2}\sim\chi^2(1)\)，且\(T_1\)与\(X_i^2\)独立。

步骤2：构造无偏估计

• \(\sigma^2\)的UMRUE：和情形1一致，\(\widehat{\sigma^2}=\frac{1}{n-1}T_1\)。
• \(\omega\)的UMRUE：首先用到\(\chi^2\)分布的核心性质：若\(Y\sim\chi^2(k)\)，则\(k>2\)时，\(E(Y^{-1})=\frac{1}{k-2}\)。
  题目中\(n>3\)，因此\(n-1>2\)，满足条件，故：
  \[E\left( \left(\frac{T_1}{\sigma^2}\right)^{-1} \right) = \frac{1}{n-3} \implies E\left( \frac{n-3}{T_1} \right) = \sigma^{-2} \]
  又\(E(X_i^2)=\omega\sigma^2\)，且\(X_i^2\)与\(T_1\)独立，因此：
  \[E\left( X_i^2 \cdot \frac{n-3}{T_1} \right) = E(X_i^2)E\left( \frac{n-3}{T_1} \right) = \omega\sigma^2 \cdot \sigma^{-2} = \omega \]
  因此\(\hat{\omega}=\frac{(n-3)X_i^2}{\sum_{j\neq i}X_j^2}\)是\(\omega\)的UMRUE。

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例3.2.8 正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)的UMRUE

题目：设\(X_1,\dots,X_n \stackrel{i.i.d.}{\sim} N(\mu,\sigma^2)\)，求以下参数的UMRUE：
(1) \(\mu, \sigma^2\)；(2) \(\mu^2, \mu^3\)；(3) \(\sigma, \sigma^k, \mu/\sigma\)（\(n>2\)）；(4) \(p\)分位数\(x_p=\mu+z_p\sigma\)。

完整推导与讲解

步骤1：确定完备充分统计量

正态分布的样本联合密度为：

\[f(x;\mu,\sigma^2) = (2\pi\sigma^2)^{-n/2}e^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}} \cdot \exp\left\{ \frac{\mu}{\sigma^2}\sum X_i - \frac{1}{2\sigma^2}\sum X_i^2 \right\} \]

自然充分统计量为\(T=\left(\sum X_i, \sum X_i^2\right)\)，参数空间包含内点，因此\(T\)是完备充分统计量。样本均值\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum X_i\)、样本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2\)是\(T\)的一一对应函数，因此\((\bar{X},S^2)\)也是\((\mu,\sigma^2)\)的完备充分统计量。

同时，正态分布有两个核心性质，后续推导反复用到：

1. \(\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\)，\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)；
2. \(\bar{X}\)与\(S^2\)相互独立。

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(1) \(\mu、\sigma^2\)的UMRUE

• \(\mu\)的UMRUE：\(E(\bar{X})=\mu\)，因此\(\hat{\mu}=\bar{X}\)是\(\mu\)的UMRUE；
• \(\sigma^2\)的UMRUE：\(E(S^2)=\sigma^2\)，因此\(\widehat{\sigma^2}=S^2\)是\(\sigma^2\)的UMRUE。

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(2) \(\mu^2、\mu^3\)的UMRUE

① \(\mu^2\)的UMRUE

计算\(\bar{X}^2\)的期望：

\[E(\bar{X}^2) = \text{Var}(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \]

我们需要消去\(\frac{\sigma^2}{n}\)，而\(E\left(\frac{S^2}{n}\right)=\frac{\sigma^2}{n}\)，因此构造估计量：

\[\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}{n} \]

其期望为\(E\left(\bar{X}^2 - \frac{S^2}{n}\right)=\mu^2\)，因此是\(\mu^2\)的UMRUE。

② \(\mu^3\)的UMRUE

令\(\bar{Y}=\bar{X}-\mu \sim N(0,\sigma^2/n)\)，则\(\bar{X}=\bar{Y}+\mu\)，展开\(\bar{X}^3\)：

\[\bar{X}^3 = (\bar{Y}+\mu)^3 = \bar{Y}^3 + 3\bar{Y}^2\mu + 3\bar{Y}\mu^2 + \mu^3 \]

正态分布的奇数阶中心矩为0，即\(E(\bar{Y})=E(\bar{Y}^3)=0\)，\(E(\bar{Y}^2)=\frac{\sigma^2}{n}\)，因此：

\[E(\bar{X}^3) = 3\mu \cdot \frac{\sigma^2}{n} + \mu^3 \]

利用\(\bar{X}\)与\(S^2\)独立，\(E(\bar{X}S^2)=E(\bar{X})E(S^2)=\mu\sigma^2\)，因此构造估计量：

\[\widehat{\mu^3} = \bar{X}^3 - \frac{3\bar{X}S^2}{n} \]

其期望为\(\mu^3\)，因此是\(\mu^3\)的UMRUE。

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(3) \(\sigma、\sigma^k、\mu/\sigma\)的UMRUE

这里的核心是：\(S^2\)是\(\sigma^2\)的无偏估计，但\(S\)不是\(\sigma\)的无偏估计，需要通过\(\Gamma\)函数修正。

首先推导\(\sigma^k\)的通用公式：
已知\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) = \Gamma\left(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2}\right)\)，Gamma分布\(\Gamma(\alpha,\lambda)\)的\(k\)阶矩为\(E(Y^k)=\frac{\Gamma(\alpha+k)}{\lambda^k \Gamma(\alpha)}\)。

令\(Y=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\)，则\(Y^{k/2}=\frac{(n-1)^{k/2}S^k}{\sigma^k}\)，因此：

\[E(Y^{k/2}) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+k-1}{2}\right) \cdot 2^{k/2}}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} \]

变形得到\(E(S^k)\)：

\[E(S^k) = \sigma^k \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n+k-1}{2}\right) \cdot 2^{k/2}}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right) \cdot (n-1)^{k/2}} \]

因此，\(\sigma^k\)的UMRUE为：

\[\widehat{\sigma^k} = \frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+k-1}{2}\right)} \cdot 2^{-k/2} \cdot (\sqrt{n-1}S)^k \]

要求\(n+k-1>0\)，保证\(\Gamma\)函数有意义。

---

① \(\sigma\)的UMRUE

令\(k=1\)，代入通用公式，记修正系数\(K(n)=\sqrt{\frac{n-1}{2}} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\)，则\(\hat{\sigma}=K(n)S\)，是\(\sigma\)的UMRUE。

② \(\sigma^{-1}\)的UMRUE

令\(k=-1\)（\(n>2\)），代入得\(\widehat{\sigma^{-1}}=\frac{n-2}{n-1}K(n)S^{-1}\)。

③ 信噪比\(\mu/\sigma\)的UMRUE

\(\bar{X}\)与\(S\)独立，因此：

\[E\left( \bar{X} \cdot \frac{n-2}{n-1}K(n)S^{-1} \right) = E(\bar{X})E\left(\frac{n-2}{n-1}K(n)S^{-1}\right) = \mu \cdot \sigma^{-1} = \frac{\mu}{\sigma} \]

因此\(\widehat{\mu/\sigma}=\frac{n-2}{n-1}K(n)\cdot\frac{\bar{X}}{S}\)是信噪比的UMRUE。

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(4) \(p\)分位数\(x_p=\mu+z_p\sigma\)的UMRUE

\(p\)分位数满足\(P(X_1\leq x_p)=p\)，标准化得\(\frac{x_p-\mu}{\sigma}=z_p\)（\(z_p\)是标准正态分布的\(p\)分位数，已知常数），因此\(x_p=\mu+z_p\sigma\)。

构造估计量\(\hat{x}_p=\bar{X} + K(n)S z_p\)，其期望为：

\[E(\hat{x}_p)=E(\bar{X}) + z_p K(n)E(S) = \mu + z_p \sigma = x_p \]

因此\(\hat{x}_p=\bar{X} + K(n)S z_p\)是\(p\)分位数的UMRUE。

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例3.2.9 平移Gamma分布的UMRUE

题目：设\(X_1,\dots,X_n \stackrel{i.i.d.}{\sim} \mu + \Gamma(\lambda,1)\)（\(X_i-\mu \sim \text{Exp}(\lambda)\)，平移指数分布），求以下参数的UMRUE：
(1) \(\mu\)；(2) \(\lambda、\lambda^{-1}\)；(3) \(\lambda\mu\)；(4) \(\lambda^2\)；(5) \(\mu/\lambda\)。

完整推导与讲解

步骤1：确定完备充分统计量

平移Gamma分布的完备充分统计量为\(T=(X_{(1)}, S)\)，其中：

• \(X_{(1)}=\min\{X_1,\dots,X_n\}\)（样本最小值），\(X_{(1)} \sim \mu + \Gamma(n\lambda,1)\)；
• \(S=\sum_{i=1}^n (X_i - X_{(1)})\)，\(S \sim \Gamma(\lambda, n-1)\)；
• \(X_{(1)}\)与\(S\)相互独立。

教材给出核心期望结果：

1. \(E(X_{(1)})=\mu + \frac{1}{n\lambda}\)；
2. \(E(S)=\frac{n-1}{\lambda}\)，\(E(S^{-1})=\frac{\lambda}{n-2}\)（\(n>2\)），\(E(S^{-2})=\frac{\lambda^2}{(n-2)(n-3)}\)（\(n>3\)）。

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各参数UMRUE的推导

(1) \(\mu\)的UMRUE：
由\(E(X_{(1)})=\mu + \frac{1}{n\lambda}\)，\(E\left(\frac{S}{n(n-1)}\right)=\frac{1}{n\lambda}\)，因此：

\[E\left( X_{(1)} - \frac{S}{n(n-1)} \right) = \mu \]

故\(\hat{\mu}=X_{(1)} - \frac{S}{n(n-1)}\)是\(\mu\)的UMRUE。

(2) \(\lambda、\lambda^{-1}\)的UMRUE：

• \(\lambda^{-1}\)：\(E\left(\frac{S}{n-1}\right)=\frac{1}{\lambda}\)，故\(\widehat{\lambda^{-1}}=\frac{S}{n-1}\)；
• \(\lambda\)：\(E\left((n-2)S^{-1}\right)=\lambda\)，故\(\hat{\lambda}=(n-2)S^{-1}\)（\(n>2\)）。

(3) \(\lambda\mu\)的UMRUE：
\(X_{(1)}\)与\(S\)独立，因此：

\[E[X_{(1)}S^{-1}] = E(X_{(1)})E(S^{-1}) = \left(\mu+\frac{1}{n\lambda}\right)\cdot\frac{\lambda}{n-2} = \frac{\lambda\mu}{n-2} + \frac{1}{n(n-2)} \]

变形得：

\[E\left( (n-2)X_{(1)}S^{-1} - \frac{1}{n} \right) = \lambda\mu \]

故\(\widehat{\lambda\mu}=(n-2)X_{(1)}S^{-1} - \frac{1}{n}\)是\(\lambda\mu\)的UMRUE。

(4) \(\lambda^2\)的UMRUE：
\(E\left((n-2)(n-3)S^{-2}\right)=\lambda^2\)，故\(\widehat{\lambda^2}=(n-2)(n-3)S^{-2}\)（\(n>3\)）。

(5) \(\mu/\lambda\)的UMRUE：

\[E[X_{(1)}S] = E(X_{(1)})E(S) = \left(\mu+\frac{1}{n\lambda}\right)\cdot\frac{n-1}{\lambda} = \frac{(n-1)\mu}{\lambda} + \frac{n-1}{n\lambda^2} \]

又\(E(S^2)=\frac{n(n-1)}{\lambda^2}\)，因此\(E\left(\frac{S^2}{n^2(n-1)}\right)=\frac{1}{n\lambda^2}\)，构造估计量：

\[E\left( \frac{X_{(1)}S}{n-1} - \frac{S^2}{n^2(n-1)} \right) = \frac{\mu}{\lambda} \]

故\(\widehat{\mu/\lambda}=\frac{1}{n-1}\left(X_{(1)}S - \frac{S^2}{n^2}\right)\)是\(\mu/\lambda\)的UMRUE。

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三、所有例题核心结论归纳总结表

例题编号	分布类型	待估参数	完备充分统计量	UMRUE（UMVUE）	适用条件
例3.2.4(1)	伯努利分布\(b(1,\theta)\)	\(\theta\)	\(\bar{X}\)（或\(\sum X_i\)）	\(\hat{\theta}=\bar{X}\)	-
例3.2.4(2)	泊松分布\(P(\lambda)\)	\(\lambda\)	\(\bar{X}\)（或\(\sum X_i\)）	\(\hat{\lambda}=\bar{X}\)	-
例3.2.4(3)	正态分布\(N(\mu,1)\)	\(\mu\)	\(\bar{X}\)（或\(\sum X_i\)）	\(\hat{\mu}=\bar{X}\)	-
例3.2.5(1)	均匀分布\(R(0,\theta)\)	\(\theta\)	\(X_{(n)}=\max X_i\)	\(\hat{\theta}=\frac{n+1}{n}X_{(n)}\)	-
例3.2.5(1)	均匀分布\(R(0,\theta)\)	\(\theta^{-1}\)	\(X_{(n)}\)	\(\widehat{\theta^{-1}}=\frac{n-1}{n}X_{(n)}^{-1}\)	\(n\geq2\)
例3.2.5(2)	均匀分布\(R(0,\theta)\)	可导函数\(g(\theta)\)	\(X_{(n)}\)	\(\widehat{g(\theta)}=g(X_{(n)})+\frac{1}{n}X_{(n)}g'(X_{(n)})\)	\(g(\theta)\)可导
例3.2.6	伯努利分布\(b(1,\theta)\)	\(\sigma^2=\theta(1-\theta)\)	\(T=\sum X_i\)	\(\widehat{\sigma^2}=\frac{1}{n(n-1)}(nT-T^2)=S^2\)	-
例3.2.7(1)	异方差正态\(X_i\sim N(\gamma,\sigma^2),X_j\sim N(0,\sigma^2)\)	\(\gamma\)	\((\sum_{j\neq i}X_j^2,X_i)\)	\(\hat{\gamma}=X_i\)	-
例3.2.7(1)	同上	\(\sigma^2\)	\((\sum_{j\neq i}X_j^2,X_i)\)	\(\widehat{\sigma^2}=\frac{1}{n-1}\sum_{j\neq i}X_j^2\)	-
例3.2.7(2)	异方差正态\(X_i\sim N(0,\omega\sigma^2),X_j\sim N(0,\sigma^2)\)	\(\sigma^2\)	\((\sum_{j\neq i}X_j^2,X_i^2)\)	\(\widehat{\sigma^2}=\frac{1}{n-1}\sum_{j\neq i}X_j^2\)	-
例3.2.7(2)	同上	\(\omega\)	\((\sum_{j\neq i}X_j^2,X_i^2)\)	\(\hat{\omega}=\frac{(n-3)X_i^2}{\sum_{j\neq i}X_j^2}\)	\(n>3\)
例3.2.8(1)	正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)	\(\mu\)	\((\bar{X},S^2)\)	\(\hat{\mu}=\bar{X}\)	-
例3.2.8(1)	正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)	\(\sigma^2\)	\((\bar{X},S^2)\)	\(\widehat{\sigma^2}=S^2\)	-
例3.2.8(2)	正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)	\(\mu^2\)	\((\bar{X},S^2)\)	\(\widehat{\mu^2}=\bar{X}^2-\frac{S^2}{n}\)	-
例3.2.8(2)	正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)	\(\mu^3\)	\((\bar{X},S^2)\)	\(\widehat{\mu^3}=\bar{X}^3-\frac{3\bar{X}S^2}{n}\)	-
例3.2.8(3)	正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)	\(\sigma^k\)	\((\bar{X},S^2)\)	\(\widehat{\sigma^k}=\frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+k-1}{2}\right)}2^{-k/2}(\sqrt{n-1}S)^k\)	\(n+k-1>0\)
例3.2.8(3)	正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)	\(\sigma\)	\((\bar{X},S^2)\)	\(\hat{\sigma}=K(n)S,K(n)=\sqrt{\frac{n-1}{2}}\frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\)	-
例3.2.8(3)	正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)	\(\mu/\sigma\)（信噪比）	\((\bar{X},S^2)\)	\(\widehat{\mu/\sigma}=\frac{n-2}{n-1}K(n)\frac{\bar{X}}{S}\)	\(n>2\)
例3.2.8(4)	正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)	\(p\)分位数\(x_p=\mu+z_p\sigma\)	\((\bar{X},S^2)\)	\(\hat{x}_p=\bar{X}+K(n)S z_p\)	-
例3.2.9(1)	平移Gamma分布\(\mu+\Gamma(\lambda,1)\)	\(\mu\)	\((X_{(1)},S=\sum(X_i-X_{(1)}))\)	\(\hat{\mu}=X_{(1)}-\frac{S}{n(n-1)}\)	-
例3.2.9(2)	平移Gamma分布\(\mu+\Gamma(\lambda,1)\)	\(\lambda\)	\((X_{(1)},S)\)	\(\hat{\lambda}=(n-2)S^{-1}\)	\(n>2\)
例3.2.9(2)	平移Gamma分布\(\mu+\Gamma(\lambda,1)\)	\(\lambda^{-1}\)	\((X_{(1)},S)\)	\(\widehat{\lambda^{-1}}=\frac{S}{n-1}\)	-
例3.2.9(3)	平移Gamma分布\(\mu+\Gamma(\lambda,1)\)	\(\lambda\mu\)	\((X_{(1)},S)\)	\(\widehat{\lambda\mu}=(n-2)X_{(1)}S^{-1}-\frac{1}{n}\)	\(n>2\)
例3.2.9(4)	平移Gamma分布\(\mu+\Gamma(\lambda,1)\)	\(\lambda^2\)	\((X_{(1)},S)\)	\(\widehat{\lambda^2}=(n-2)(n-3)S^{-2}\)	\(n>3\)
例3.2.9(5)	平移Gamma分布\(\mu+\Gamma(\lambda,1)\)	\(\mu/\lambda\)	\((X_{(1)},S)\)	\(\widehat{\mu/\lambda}=\frac{1}{n-1}\left(X_{(1)}S-\frac{S^2}{n^2}\right)\)	-

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四、教学核心总结

所有例题的求解，都遵循Lehmann-Scheffe定理的四步通用流程，这也是求解UMRUE/UMVUE的万能方法：

1. 找：找到待估参数对应的完备充分统计量（指数族用自然充分统计量，非指数族用因子分解定理+完备性定义验证）；
2. 构：构造完备充分统计量的函数，或找一个简单的无偏估计；
3. 验：通过期望计算、待定系数法、积分方程求解等方式，验证估计量的无偏性；
4. 定：由Lehmann-Scheffe定理，该估计量就是唯一的UMRUE（平方损失下为UMVUE）。

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条件期望法求解UMRUE 深度讲解与完整推导

条件期望法是Lehmann-Scheffe定理最具实用价值的应用，专门解决直接构造无偏函数困难的估计问题。我将从方法本质、逐题完整推导、核心知识点拆解、结果验证四个维度，把所有例题讲透，最后用表格归纳核心结论。

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一、先回顾：条件期望法的核心原理与通用流程

1. 方法的理论依据

根据Lehmann-Scheffe定理：
若\(T(X)\)是参数\(\theta\)的完备充分统计量，\(\tilde{g}(X)\)是待估函数\(g(\theta)\)的任意一个无偏估计，则

\[\hat{g}(X) = \mathbb{E}[\tilde{g}(X) | T(X)] \]

必为\(g(\theta)\)的一致最小风险无偏估计（UMRUE）。

2. 方法的核心优势

当待估函数\(g(\theta)\)包含指数项、分布函数、非线性项时，直接构造完备充分统计量的无偏函数需要解复杂的积分/期望方程，难度极高。
而条件期望法可以绕开这个难题：我们只需要构造一个极其简单的无偏估计（通常是示性函数），再通过条件期望计算，就能直接得到最优估计。

3. 通用四步流程

1. 找：确定待估参数的完备充分统计量\(T\)；
2. 构：构造简单无偏估计\(\tilde{g}\)（最常用示性函数，天然满足无偏性）；
3. 算：计算条件期望\(\hat{g}=\mathbb{E}[\tilde{g}|T]\)，利用分布性质、Basu定理简化计算；
4. 定：由Lehmann-Scheffe定理，\(\hat{g}\)即为UMRUE。

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二、例题逐题详细讲解与完整推导

例3.2.10 泊松分布取指定值概率的UMRUE

题目：设\(X_1,\dots,X_n \stackrel{i.i.d.}{\sim} P(\lambda)\)（泊松分布），求\(\mu_k = P(X_1=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)的UMRUE。

步骤1：为什么用条件期望法？

待估函数包含指数项\(e^{-\lambda}\)，若用直接法，需要找\(\varphi(T)\)使得\(\mathbb{E}[\varphi(T)]=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)，需要解泊松分布的无穷级数期望方程，计算复杂；而条件期望法可以轻松绕开这个问题。

步骤2：确定完备充分统计量

泊松分布是自然指数族，样本联合概率质量函数为：

\[f(x;\lambda) = e^{-n\lambda} \cdot \exp\left\{ \ln\lambda \cdot \sum_{i=1}^n x_i \right\} \cdot \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i!} \]

自然充分统计量为\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)，参数空间\(\lambda>0\)包含内点，因此\(T\)是\(\lambda\)的完备充分统计量，且\(T \sim P(n\lambda)\)。

步骤3：构造简单无偏估计

取示性函数：

\[\tilde{\mu}_k = I\{X_1 = k\} \]

其中\(I\{\cdot\}\)为示性函数，事件发生时取1，否则取0。
无偏性验证：

\[\mathbb{E}[\tilde{\mu}_k] = \mathbb{E}[I\{X_1=k\}] = P(X_1=k) = \mu_k \]

完美满足无偏性，且构造极其简单。

步骤4：计算条件期望

示性函数的条件期望等于条件概率，因此：

\[\hat{\mu}_k = \mathbb{E}[\tilde{\mu}_k | T] = P\left(X_1=k \bigg| \sum_{i=1}^n X_i = T\right) \]

分情况计算条件概率

• 边界情况：\(T < k\)
  若总和\(T < k\)，则\(X_1\)不可能等于\(k\)，因此条件概率为0，即\(\hat{\mu}_k=0\)。

• 常规情况：\(T \geq k\)
  根据条件概率定义：

  \[P\left(X_1=k \bigg| \sum_{i=1}^n X_i = t\right) = \frac{P\left(X_1=k, \sum_{i=1}^n X_i = t\right)}{P\left(\sum_{i=1}^n X_i = t\right)} \]

  分子利用独立性拆分：\(X_1\)与\(X_2,\dots,X_n\)独立，因此

  \[P\left(X_1=k, \sum_{i=1}^n X_i = t\right) = P(X_1=k) \cdot P\left(\sum_{i=2}^n X_i = t-k\right) \]

  代入泊松分布的概率质量函数：

  • \(P(X_1=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)
  • \(\sum_{i=2}^n X_i \sim P((n-1)\lambda)\)，因此\(P\left(\sum_{i=2}^n X_i = t-k\right) = e^{-(n-1)\lambda}\frac{[(n-1)\lambda]^{t-k}}{(t-k)!}\)
  • 分母\(\sum_{i=1}^n X_i \sim P(n\lambda)\)，因此\(P\left(\sum_{i=1}^n X_i = t\right) = e^{-n\lambda}\frac{(n\lambda)^t}{t!}\)

  分子分母代入后化简：

  \[\begin{align*} \text{分子} &= e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-(n-1)\lambda}\frac{[(n-1)\lambda]^{t-k}}{(t-k)!} = e^{-n\lambda} \cdot \frac{(n-1)^{t-k} \lambda^t}{k! (t-k)!} \\ \text{分母} &= e^{-n\lambda}\frac{(n\lambda)^t}{t!} \end{align*} \]

  约去公共项\(e^{-n\lambda}\)和\(\lambda^t\)，最终得到：

  \[P\left(X_1=k \bigg| \sum_{i=1}^n X_i = t\right) = \binom{t}{k} \left( \frac{1}{n} \right)^k \left( 1-\frac{1}{n} \right)^{t-k} \]

  这正是二项分布\(b(k; t, 1/n)\)的概率质量函数。

步骤5：最终结果与验证

\(\mu_k\)的UMRUE为：

\[\hat{\mu}_k = \begin{cases} \dbinom{T}{k} \left( \dfrac{1}{n} \right)^k \left( 1-\dfrac{1}{n} \right)^{T-k}, & T \geq k \\ 0, & T < k \end{cases} \]

特殊情况验证（k=0）：
当\(k=0\)时，\(\mu_0=P(X_1=0)=e^{-\lambda}\)，代入公式得\(\hat{\mu}_0=\left(1-\frac{1}{n}\right)^T\)。
无偏性验证：泊松分布的矩生成函数为\(\mathbb{E}[a^T]=e^{n\lambda(a-1)}\)，代入\(a=1-\frac{1}{n}\)，得\(\mathbb{E}\left[\left(1-\frac{1}{n}\right)^T\right]=e^{n\lambda(-1/n)}=e^{-\lambda}\)，完全符合无偏性。

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例3.2.11 正态分布累积概率的UMRUE

题目：设\(X_1,\dots,X_n \stackrel{i.i.d.}{\sim} N(\mu,1)\)（方差已知的正态分布），\(\xi\)为已知常数，求\(p=P(X_1 \leq \xi)\)的UMRUE。

步骤1：为什么用条件期望法？

待估函数\(p=\Phi(\xi-\mu)\)（\(\Phi(\cdot)\)为标准正态分布函数），是\(\mu\)的非线性函数。若用直接法，需要找\(\varphi(\bar{X})\)使得\(\mathbb{E}[\varphi(\bar{X})]=\Phi(\xi-\mu)\)，需要解正态分布的积分方程，难度极大；条件期望法可以轻松解决。

步骤2：确定完备充分统计量

正态分布\(N(\mu,1)\)是自然指数族，样本联合密度为：

\[f(x;\mu) = (2\pi)^{-n/2}e^{-\frac{n\mu^2}{2}} \cdot \exp\left\{ \mu \cdot \sum_{i=1}^n x_i \right\} \cdot e^{-\frac{1}{2}\sum x_i^2} \]

自然充分统计量为\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\)，参数空间\(\mu \in \mathbb{R}\)包含内点，因此\(\bar{X}\)是\(\mu\)的完备充分统计量，且\(\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)\)。

步骤3：构造简单无偏估计

取示性函数：

\[\tilde{p} = I\{X_1 \leq \xi\} \]

无偏性验证：\(\mathbb{E}[\tilde{p}] = P(X_1 \leq \xi) = p\)，天然无偏。

步骤4：计算条件期望（核心：Basu定理的应用）

首先，条件期望转化为条件概率：

\[\hat{p} = \mathbb{E}[\tilde{p} | \bar{X}] = P\left(X_1 \leq \xi \bigg| \bar{X} = \bar{x}\right) \]

关键变形与Basu定理

将条件概率变形：

\[P\left(X_1 \leq \xi \bigg| \bar{X} = \bar{x}\right) = P\left(X_1 - \bar{X} \leq \xi - \bar{x} \bigg| \bar{X} = \bar{x}\right) \]

Basu定理：完备充分统计量与辅助统计量（分布与未知参数无关的统计量）相互独立。

我们分析统计量\(Y=X_1 - \bar{X}\)：

1. 分布计算：
   \(Y = X_1 - \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{n} = \frac{(n-1)X_1 - X_2 - \dots - X_n}{n}\)
   由于\(X_i\)独立正态，\(Y\)服从正态分布，计算期望和方差：

   • 期望：\(\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[X_1] - \mathbb{E}[\bar{X}] = \mu - \mu = 0\)
   • 协方差：\(\text{Cov}(X_1, \bar{X}) = \frac{1}{n}\text{Var}(X_1) = \frac{1}{n}\)
   • 方差：\(\text{Var}(Y) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(\bar{X}) - 2\text{Cov}(X_1,\bar{X}) = 1 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n} = \frac{n-1}{n}\)
     因此\(Y \sim N\left(0, \frac{n-1}{n}\right)\)，其分布与\(\mu\)完全无关，是辅助统计量。

2. 独立性应用：
   \(\bar{X}\)是完备充分统计量，\(Y\)是辅助统计量，由Basu定理，\(Y\)与\(\bar{X}\)相互独立。因此条件概率等于无条件概率：

   \[P\left(Y \leq \xi - \bar{x} \bigg| \bar{X} = \bar{x}\right) = P(Y \leq \xi - \bar{x}) \]

最终概率计算

对\(Y\)标准化，令\(Z = \sqrt{\frac{n}{n-1}} Y\)，则\(Z \sim N(0,1)\)，因此：

\[P(Y \leq \xi - \bar{x}) = P\left( Z \leq \sqrt{\frac{n}{n-1}} (\xi - \bar{x}) \right) = \Phi\left( \sqrt{\frac{n}{n-1}} (\xi - \bar{x}) \right) \]

步骤5：最终结果

将\(\bar{x}\)换回\(\bar{X}\)，得到\(p\)的UMRUE：

\[\hat{p} = \Phi\left( \sqrt{\frac{n}{n-1}} (\xi - \bar{X}) \right) \]

关键提醒：不能直接用\(\Phi(\xi - \bar{X})\)作为估计量，因为\(\mathbb{E}[\Phi(\xi - \bar{X})] \neq \Phi(\xi - \mu)\)，正态分布的分布函数的期望不等于期望的分布函数，必须通过\(\sqrt{\frac{n}{n-1}}\)修正。

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例3.2.12 指数分布累积概率的UMRUE

题目：设\(X_1,\dots,X_n \stackrel{i.i.d.}{\sim} \Gamma(\lambda,1)\)（指数分布，概率密度\(f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0\)），\(\xi>0\)为已知常数，求\(p=P(X_1 \leq \xi)\)的UMRUE。

步骤1：为什么用条件期望法？

待估函数\(p=1-e^{-\lambda \xi}\)包含指数项，直接构造\(T\)的无偏函数需要解Gamma分布的积分方程，计算复杂；条件期望法可以快速求解。

步骤2：确定完备充分统计量

指数分布是自然指数族，样本联合密度为：

\[f(x;\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum x_i} \cdot \prod_{i=1}^n I\{x_i>0\} \]

自然充分统计量为\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)，参数空间\(\lambda>0\)包含内点，因此\(T\)是\(\lambda\)的完备充分统计量，且\(T \sim \Gamma(\lambda,n)\)（Gamma分布，形状参数\(n\)，率参数\(\lambda\)），概率密度为\(f_T(t)=\frac{\lambda^n t^{n-1} e^{-\lambda t}}{(n-1)!}, t>0\)。

步骤3：构造简单无偏估计

取示性函数：

\[\tilde{p} = I\{X_1 \leq \xi\} \]

无偏性验证：\(\mathbb{E}[\tilde{p}] = P(X_1 \leq \xi) = p\)，天然无偏。

步骤4：计算条件期望（Basu定理的再次应用）

条件期望转化为条件概率：

\[\hat{p} = \mathbb{E}[\tilde{p} | T] = P\left(X_1 \leq \xi \bigg| T = t\right) \]

分情况计算

• 边界情况：\(T=t < \xi\)
  由于\(X_1 \leq \sum_{i=1}^n X_i = T = t < \xi\)，因此\(X_1 \leq \xi\)必然成立，条件概率为1，即\(\hat{p}=1\)。

• 常规情况：\(T=t \geq \xi\)
  变形条件概率：

  \[P\left(X_1 \leq \xi \bigg| T = t\right) = P\left( \frac{X_1}{T} \leq \frac{\xi}{t} \bigg| T = t \right) \]

  分析统计量\(Y=\frac{X_1}{T}\)：
  \(X_1 \sim \Gamma(\lambda,1)\)，\(X_2+\dots+X_n \sim \Gamma(\lambda,n-1)\)，两者独立。根据Beta-Gamma分布关系：若\(X\sim\Gamma(\alpha,\lambda), Y\sim\Gamma(\beta,\lambda)\)独立，则\(\frac{X}{X+Y} \sim \text{Beta}(\alpha,\beta)\)。
  因此\(Y=\frac{X_1}{X_1+(X_2+\dots+X_n)} \sim \text{Beta}(1, n-1)\)，概率密度为\(f_Y(y)=(n-1)(1-y)^{n-2}, 0<y<1\)，其分布与\(\lambda\)完全无关，是辅助统计量。

  由Basu定理，\(Y\)与完备充分统计量\(T\)独立，因此条件概率等于无条件概率：

  \[P\left( Y \leq \frac{\xi}{t} \bigg| T = t \right) = P\left(Y \leq \frac{\xi}{t}\right) \]

计算Beta分布的分布函数

\[P(Y \leq y) = \int_0^y (n-1)(1-s)^{n-2} ds = 1 - (1-y)^{n-1} \]

代入\(y=\frac{\xi}{t}\)，得：

\[P\left(Y \leq \frac{\xi}{t}\right) = 1 - \left(1 - \frac{\xi}{t}\right)^{n-1} \]

步骤5：最终结果与验证

综合两种情况，用正部函数\(a^+ = \max(a,0)\)统一表示，\(p\)的UMRUE为：

\[\hat{p} = 1 - \left[ \left(1 - \frac{\xi}{T}\right)^+ \right]^{n-1} \]

即：

\[\hat{p} = \begin{cases} 1 - \left(1 - \dfrac{\xi}{T}\right)^{n-1}, & T \geq \xi \\ 1, & T < \xi \end{cases} \]

无偏性验证（以n=2为例）：
\(T\sim\Gamma(\lambda,2)\)，密度为\(\lambda^2 t e^{-\lambda t}\)，则

\[\mathbb{E}[\hat{p}] = 1 - \int_\xi^\infty \left(1-\frac{\xi}{t}\right) \lambda^2 t e^{-\lambda t} dt = 1 - \lambda^2 \int_\xi^\infty (t-\xi)e^{-\lambda t} dt \]

计算积分得\(\int_\xi^\infty (t-\xi)e^{-\lambda t} dt = \frac{e^{-\lambda \xi}}{\lambda^2}\)，因此\(\mathbb{E}[\hat{p}]=1 - e^{-\lambda \xi}=p\)，完全符合无偏性。

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三、核心知识点与例题归纳总结表

例题编号	分布类型	待估参数	完备充分统计量	简单无偏估计	UMRUE最终结果	核心技巧
例3.2.10	泊松分布\(P(\lambda)\)	\(\mu_k=P(X_1=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)	\(T=\sum_{i=1}^n X_i \sim P(n\lambda)\)	\(\tilde{\mu}_k=I\{X_1=k\}\)	\(\hat{\mu}_k=\begin{cases}\dbinom{T}{k}\left(\dfrac{1}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{T-k}, & T\geq k \\ 0, & T<k\end{cases}\)	泊松分布的可加性、条件概率化简
例3.2.11	正态分布\(N(\mu,1)\)	\(p=P(X_1\leq\xi)=\Phi(\xi-\mu)\)	\(\bar{X} \sim N\left(\mu,\dfrac{1}{n}\right)\)	\(\tilde{p}=I\{X_1\leq\xi\}\)	\(\hat{p}=\Phi\left( \sqrt{\dfrac{n}{n-1}}(\xi-\bar{X}) \right)\)	Basu定理、辅助统计量构造、正态分布标准化
例3.2.12	指数分布\(\Gamma(\lambda,1)\)	\(p=P(X_1\leq\xi)=1-e^{-\lambda\xi}\)	\(T=\sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(\lambda,n)\)	\(\tilde{p}=I\{X_1\leq\xi\}\)	\(\hat{p}=1 - \left[ \left(1 - \dfrac{\xi}{T}\right)^+ \right]^{n-1}\)	Basu定理、Beta-Gamma分布关系、Beta分布积分

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四、教学核心总结

1. 示性函数是万能的简单无偏估计：对于待估的概率\(P(A)\)，直接取示性函数\(I\{A\}\)，其期望就是\(P(A)\)，天然满足无偏性，无需任何复杂构造。
2. Basu定理是简化条件期望的核心工具：通过构造与未知参数无关的辅助统计量，利用完备充分统计量与辅助统计量的独立性，将复杂的条件概率转化为无条件概率，大幅降低计算难度。
3. 条件期望法的本质是Rao-Blackwell化：将一个粗糙的无偏估计，通过对充分统计量求条件期望，得到方差更小的无偏估计；再结合完备性，保证这个估计是唯一的UMRUE。