2.2.2统计量的完备性

统计量的完备性 知识点详解与推导证明

作为数理统计的核心概念，统计量的完备性是参数估计（尤其是最小方差无偏估计）的理论基石，下面我将从基础定义出发，逐层拆解推导、证明核心结论，最后进行系统归纳总结。

一、前置基础：分布族的完备性

统计量的完备性完全建立在分布族完备性的基础上，因此先明确分布族完备性的严格定义。

定义（分布族的完备性）

设随机变量\(X\)的分布族为\(\mathcal{F}_X = \{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)，其中\(\theta\)为未知参数，\(\Theta\)为参数空间。若对任意Borel可测函数\(h(x)\)，满足：

\[E_\theta[h(X)] = 0, \quad \forall \theta \in \Theta \]

时，必有\(h(x) = 0\)（几乎处处关于\(P_\theta^X\)，记为a.e. \(P_\theta^X\)），则称分布族\(\mathcal{F}_X\)是完备的。

核心内涵

完备性的本质是：不存在非平凡的（不几乎处处为0）、对所有参数\(\theta\)都无偏等于0的函数。如果能找到这样的非零函数，分布族就是不完备的。

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二、统计量的完备性：核心定义

统计量是样本的可测函数\(T=T(X)\)，它会诱导出一个新的分布族，统计量的完备性由这个诱导分布族的完备性定义。

定义2.2.2（统计量的完备性）

设样本\(X \sim \mathcal{F}_X = \{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)，统计量\(T=T(X)\)对应的诱导分布族为\(\mathcal{F}_T = \{g(t,\theta), \theta \in \Theta\}\)。若分布族\(\mathcal{F}_T\)是完备的，则称\(T=T(X)\)为完备统计量。

等价表述

对任意Borel可测函数\(h(t)\)，若

\[E_\theta[h(T)] = 0, \quad \forall \theta \in \Theta \]

则必有\(h(t) = 0\)（a.e. \(P_\theta^T\)）。

关键认知

样本本身的分布族不完备，不代表不存在完备的统计量。统计推断的核心是用统计量做决策，因此统计量的完备性比样本分布族的完备性更有实际意义。

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三、核心例题详解与严格证明

例2.2.7 样本分布族的不完备性

命题：设\(X_1,\cdots,X_n\)独立同分布，\(X_1 \sim f(x_1,\theta)\)且\(E(X_1)\)存在，则样本\(X=(X_1,\cdots,X_n)^T\)的分布族

\[\mathcal{F}_X = \left\{f(x,\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i,\theta), \theta \in \Theta\right\} \]

在任何情况下都不完备。

详细证明

根据完备性的定义，要证明分布族不完备，只需构造一个不几乎处处为0的函数\(h(x)\)，使得\(E_\theta[h(X)]=0\)对所有\(\theta \in \Theta\)成立。

1. 构造函数：取\(h(x) = x_1 - x_2\)，其中\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)为样本观测值。
2. 计算期望：
   由于\(X_1,X_2\)独立同分布，且\(E(X_1)\)存在，因此\(E_\theta(X_1)=E_\theta(X_2)=\mu(\theta)\)，于是
   \[E_\theta[h(X)] = E_\theta(X_1 - X_2) = E_\theta(X_1) - E_\theta(X_2) = 0 \]
   该等式对所有\(\theta \in \Theta\)恒成立。
3. 验证非零性：
   \(h(x)=x_1-x_2\)仅在\(x_1=x_2\)时为0，而样本空间中\(x_1 \neq x_2\)的集合具有正概率（连续型分布中\(P(X_1=X_2)=0\)，\(h(x)\)几乎处处非零；离散型分布中\(X_1 \neq X_2\)也有正概率），因此\(h(x)\)不是几乎处处为0的函数。

综上，我们找到了满足条件的非零函数，因此样本的分布族\(\mathcal{F}_X\)不完备。

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例2.2.8 不完备分布族可存在完备统计量

命题：设\(X \sim N(0,\sigma^2)\)，样本分布族\(\mathcal{F}_X = \{N(0,\sigma^2), \sigma^2 > 0\}\)不完备，但统计量\(T=X^2\)是完备的。

步骤1：证明样本分布族不完备

构造\(h(x)=x\)，则\(E_\sigma[h(X)] = E_\sigma(X) = 0\)对所有\(\sigma^2>0\)成立，但\(h(x)=x\)显然不几乎处处为0，因此\(\mathcal{F}_X\)不完备。

步骤2：证明\(T=X^2\)的完备性

1. 推导\(T\)的分布
   已知\(X \sim N(0,\sigma^2)\)，则\(\frac{X}{\sigma} \sim N(0,1)\)，因此\(\frac{X^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)\)（自由度为1的卡方分布）。
   自由度为1的卡方分布密度为：

   \[f_{\chi^2(1)}(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{-1/2} e^{-y/2}, \quad y>0 \]

   令\(T=X^2 = \sigma^2 Y\)，做变量替换\(Y=T/\sigma^2\)，雅可比行列式\(\left|\frac{dY}{dT}\right|=\frac{1}{\sigma^2}\)，因此\(T\)的概率密度为：

   \[g(t,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} t^{-1/2} e^{-\frac{t}{2\sigma^2}}, \quad t>0 \]

2. 利用完备性定义证明
   对任意Borel可测函数\(h(t)\)，若\(E_{\sigma^2}[h(T)] = 0\)对所有\(\sigma^2>0\)成立，则：

   \[\int_{0}^{+\infty} h(t) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} t^{-1/2} e^{-\frac{t}{2\sigma^2}} dt = 0, \quad \forall \sigma^2>0 \]

   去掉非零常数项，等式简化为：

   \[\int_{0}^{+\infty} h(t) t^{-1/2} e^{-\frac{t}{2\sigma^2}} dt = 0, \quad \forall \sigma^2>0 \]

3. Laplace变换唯一性推导
   令\(s = \frac{1}{2\sigma^2}\)（\(\sigma^2>0\)等价于\(s>0\)），上式转化为：

   \[\int_{0}^{+\infty} \left[ h(t) t^{-1/2} \right] e^{-st} dt = 0, \quad \forall s>0 \]

   左边是函数\(\varphi(t)=h(t)t^{-1/2}\)的Laplace变换。根据Laplace变换的唯一性定理：若函数的Laplace变换在\(s>0\)上恒为0，则该函数几乎处处为0。因此：

   \[\varphi(t) = h(t) t^{-1/2} = 0, \quad \text{a.e.} \]

   由于\(t^{-1/2}\)在\(t>0\)时几乎处处非零，故\(h(t)=0\)（a.e. \(P_{\sigma^2}^T\)）。

综上，\(T=X^2\)满足完备性定义，是完备统计量。

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例2.2.9 正态分布的完备统计量

命题：设\(X_1,\cdots,X_n\)独立同分布，\(X_1 \sim N(\mu,\sigma^2)\)，则：

1. 样本\((X_1,\cdots,X_n)\)的分布族不完备；
2. 样本均值\(\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\)是完备统计量；
3. 样本方差\(S = \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2\)是完备统计量；
4. 联合统计量\(T=(\overline{X}, S)\)是完备充分统计量。

证明要点

1. 样本分布族不完备：同例2.2.7，构造\(h(X)=X_1-X_2\)即可证明。
2. \(\overline{X}\)的完备性：\(\overline{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)\)，属于指数族分布，自然参数空间包含内点，根据指数族完备性定理，其分布族完备，因此\(\overline{X}\)是完备统计量。
3. \(S\)的完备性：\(\frac{S}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\)，与例2.2.8逻辑一致，通过Laplace变换唯一性可证明其完备性。
4. \((\overline{X},S)\)的完备性：其联合分布为双参数指数族，自然参数空间包含内点，因此分布族完备，同时它也是充分统计量，故为完备充分统计量。

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例2.2.12 极小充分统计量不一定完备

命题：设\(X_1,\cdots,X_n\)独立同分布，\(X_1 \sim R\left(\theta - \frac{1}{2}, \theta + \frac{1}{2}\right)\)（位置参数\(\theta \in \mathbb{R}\)的均匀分布），则\(T=(X_{(1)}, X_{(n)})\)（次序统计量的最小值和最大值）是极小充分统计量，但不是完备统计量。

步骤1：证明\(T\)是极小充分统计量

样本的联合密度为：

\[f(x_1,\cdots,x_n,\theta) = \prod_{i=1}^n I\left\{ \theta - \frac{1}{2} \leq x_i \leq \theta + \frac{1}{2} \right\} = I\left\{ \theta - \frac{1}{2} \leq X_{(1)} \right\} \cdot I\left\{ X_{(n)} \leq \theta + \frac{1}{2} \right\} \]

根据因子分解定理，\(T\)是充分统计量；再由Lehmann-Scheffé极小充分统计量判别法，似然比与\(\theta\)无关当且仅当\(X_{(1)}\)和\(X_{(n)}\)对应相等，因此\(T\)是极小充分统计量。

步骤2：证明\(T\)不完备

1. 做变量替换：令\(Y_i = X_i - \left(\theta - \frac{1}{2}\right)\)，则\(Y_i \sim R(0,1)\)，与\(\theta\)无关。此时：
   \[X_{(1)} = \theta - \frac{1}{2} + Y_{(1)}, \quad X_{(n)} = \theta - \frac{1}{2} + Y_{(n)} \]
   极差\(R = X_{(n)} - X_{(1)} = Y_{(n)} - Y_{(1)}\)，其分布与\(\theta\)完全无关。
2. 计算极差的期望：\(R \sim BE(n-1,2)\)（Beta分布），因此\(E[R] = \frac{n-1}{n+1}\)，为与\(\theta\)无关的常数。
3. 构造非零无偏零函数：令
   \[h(X_{(1)}, X_{(n)}) = (X_{(n)} - X_{(1)}) - \frac{n-1}{n+1} \]
   显然\(E_\theta[h(T)] = 0\)对所有\(\theta \in \mathbb{R}\)成立，但\(h(T)\)不几乎处处为0（仅当\(R=\frac{n-1}{n+1}\)时为0，连续型随机变量取单点的概率为0）。

综上，\(T=(X_{(1)}, X_{(n)})\)是极小充分统计量，但不是完备统计量。

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四、核心定理详解与严格证明

定理2.2.1 完备统计量的基本性质

定理内容：设\(T=T(X)\)和\(S=S(X)\)为统计量，则

1. 若\(T\)完备，则\(S(X) = \psi(T(X))\)（\(S\)是\(T\)的可测函数）也完备，反之不真；
2. 若\((S,T)\)完备，则\(T\)完备，反之不真。

(1) 的证明

正向证明：
要证\(S=\psi(T)\)完备，即证：对任意\(h(s)\)，若\(E_\theta[h(S)]=0, \forall \theta\)，则\(h(s)=0\) a.e.。

• 代入\(S=\psi(T)\)，得\(E_\theta[h(\psi(T))] = 0, \forall \theta\)。
• 令\(\tilde{h}(t) = h(\psi(t))\)，则\(E_\theta[\tilde{h}(T)] = 0, \forall \theta\)。
• 由\(T\)的完备性，得\(\tilde{h}(t)=0\) a.e.，即\(h(\psi(t))=0\) a.e.，等价于\(h(s)=0\) a.e. \(P_\theta^S\)。
  因此\(S=\psi(T)\)完备。

反向不真的反例：
设\(X \sim N(0,\sigma^2)\)，取\(T(X)=X\)，\(S(X)=X^2\)。已证\(S\)完备，但\(T\)不完备（构造\(h(t)=t\)即可），因此反之不真。

(2) 的证明

正向证明：
要证\(T\)完备，即证：对任意\(h(t)\)，若\(E_\theta[h(T)]=0, \forall \theta\)，则\(h(t)=0\) a.e.。

• 令\(\tilde{h}(s,t) = h(t)\)，则\(E_\theta[\tilde{h}(S,T)] = E_\theta[h(T)] = 0, \forall \theta\)。
• 由\((S,T)\)的完备性，得\(\tilde{h}(s,t)=0\) a.e.，即\(h(t)=0\) a.e. \(P_\theta^{S,T}\)，自然也a.e. 关于\(T\)的边缘分布。
  因此\(T\)完备。

反向不真的反例：
设\(X_1,X_2 \sim N(\mu,\sigma^2)\) i.i.d.，取\(T=X_1\)，联合统计量\((X_1,X_2)\)。\(T=X_1\)是完备的，但\((X_1,X_2)\)不完备（构造\(h(X_1,X_2)=X_1-X_2\)即可），因此反之不真。

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定理2.2.2 完备充分统计量与极小充分统计量的关系

定理内容：给定分布族\(X \sim \mathcal{F} = \{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)，

1. 当极小充分统计量存在时，完备的充分统计量一定是极小充分统计量；
2. 当完备的充分统计量存在时，极小充分统计量一定是完备的充分统计量。

核心前置概念

极小充分统计量：若充分统计量\(T\)可表示为任意充分统计量的可测函数，则\(T\)为极小充分统计量，是“最精简”的充分统计量。

(1) 的证明

设\(U(X)\)是完备充分统计量，\(T(X)\)是极小充分统计量，证\(U\)是极小充分统计量。

1. 由极小充分统计量的定义，\(U\)是充分统计量，因此存在可测函数\(h\)，使得\(T = h(U)\)。
2. 构造函数\(\varphi(u) = u - E_\theta\left[ U \mid T \right]\)，由于\(T\)是\(U\)的函数，因此\(\varphi(u)\)仅与\(u\)有关，与\(\theta\)无关。
3. 计算期望：\(E_\theta[\varphi(U)] = E_\theta(U) - E_\theta\left[ E_\theta(U \mid T) \right] = 0, \forall \theta\)。
4. 由\(U\)的完备性，得\(\varphi(u)=0\) a.e.，即\(U = E_\theta[U \mid T] = g(T)\)，说明\(U\)是\(T\)的函数。
5. 结合\(T=h(U)\)，\(U\)与\(T\)可互相表示，因此\(U\)也是极小充分统计量。

(2) 的证明

设\(S(X)\)是极小充分统计量，\(T(X)\)是完备充分统计量，证\(S\)是完备充分统计量。

1. 由极小充分统计量的定义，\(T\)是充分统计量，因此存在可测函数\(\psi\)，使得\(S = \psi(T)\)。
2. 由定理2.2.1(1)，\(T\)完备则其可测函数\(S\)也完备。
3. \(S\)本身是极小充分统计量，因此\(S\)是完备的充分统计量。

核心结论

当完备充分统计量存在时，完备充分统计量与极小充分统计量在可测意义下等价。

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五、知识点系统归纳总结

分类	核心内容	严格表述/等价定义	关键例子/反例
基础定义：分布族完备性	分布族的完备性是统计量完备性的基础	对任意\(h(x)\)，\(E_\theta[h(X)]=0(\forall \theta)\)可推出\(h(x)=0\) a.e.	正例：\(N(\mu,\sigma^2)\)（\(\sigma^2\)固定）是完备分布族； 反例：i.i.d.样本的联合分布族永远不完备
核心定义：统计量完备性	统计量的完备性由其诱导分布族的完备性定义	对任意\(h(t)\)，\(E_\theta[h(T)]=0(\forall \theta)\)可推出\(h(t)=0\) a.e.	正例：\(X \sim N(0,\sigma^2)\)，\(T=X^2\)完备； 反例：均匀分布\(R(\theta-1/2,\theta+1/2)\)的\(T=(X_{(1)},X_{(n)})\)不完备
核心性质1	完备统计量的可测函数仍保持完备性，反之不成立	若\(T\)完备，\(S=\psi(T)\)，则\(S\)完备；\(S\)完备推不出\(T\)完备	正例：\(X^2\)完备，则$
核心性质2	联合完备统计量的边缘统计量必完备，反之不成立	若\((S,T)\)完备，则\(T\)完备；\(T\)完备推不出\((S,T)\)完备	正例：\((\overline{X},S^2)\)完备，则\(\overline{X}\)、\(S^2\)均完备； 反例：\(X_1\)完备，但\((X_1,X_2)\)不完备
核心定理	完备充分统计量与极小充分统计量的等价性	1. 完备充分统计量必是极小充分统计量； 2. 完备充分统计量存在时，极小充分统计量必完备	正例：正态分布的\((\overline{X},S^2)\)既是完备充分统计量，也是极小充分统计量； 反例：均匀分布的\((X_{(1)},X_{(n)})\)是极小充分统计量，但不完备
核心应用	完备性是参数估计的核心理论工具	1. Lehmann-Scheffé定理：完备充分统计量的无偏函数是唯一的最小方差无偏估计； 2. Basu定理：完备充分统计量与辅助统计量独立	应用：正态分布中，\(\overline{X}\)是\(\mu\)的UMVUE，\(\frac{S^2}{n-1}\)是\(\sigma^2\)的UMVUE

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补充：完备性的核心价值

完备性的本质是保证无偏估计的唯一性，是求解最小方差无偏估计（UMVUE）的核心工具。Lehmann-Scheffé定理告诉我们：只要找到完备充分统计量，对其做无偏修正，就能直接得到待估参数的唯一最优无偏估计，这也是完备性在数理统计中最核心的应用。

例2.2.10与例2.2.11 完备统计量证明详解

下面我将从分布基础、分步推导、核心技巧三个维度，完整拆解两个例题的证明过程，并补充背后的原理与关键注意事项。

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例2.2.10 平移Gamma分布的完备统计量证明

命题

设\(X_1,\cdots,X_n\)独立同分布，\(X_1 \sim \mu + \Gamma(\lambda,1)\)（即平移指数分布，位置参数\(\mu\in\mathbb{R}\)，率参数\(\lambda>0\)），则统计量\(T=(X_{(1)}, S)\)是完备的极小充分统计量，其中：

• \(X_{(1)}=\min\{X_1,\cdots,X_n\}\)为最小次序统计量
• \(S=\sum_{i=1}^n (X_i - X_{(1)})\)为样本中心化后的和

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前置基础：分布性质

\(X_1 \sim \mu + \Gamma(\lambda,1)\)等价于\(X_1 - \mu \sim \text{Exp}(\lambda)\)（指数分布），其概率密度为：

\[f(x_1,\mu,\lambda) = \lambda e^{-\lambda(x_1-\mu)} I\{x_1\geq\mu\} \]

指数分布有两个核心性质，是证明的关键：

1. 独立同分布指数分布的最小次序统计量\(Z_{(1)} \sim \text{Exp}(n\lambda)\)；
2. 最小次序统计量\(Z_{(1)}\)与间距和\(S=\sum_{i=1}^n (Z_i - Z_{(1)})\)相互独立，且\(S \sim \Gamma(\lambda, n-1)\)。

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分步证明

步骤1：推导\(Y=X_{(1)}\)与\(S\)的分布

1. \(Y=X_{(1)}\)的密度
   由指数分布的次序统计量性质，\(X_{(1)} = \mu + Z_{(1)}\)，因此：

\[f_Y(y,\mu,\lambda) = n\lambda e^{-n\lambda(y-\mu)} I\{y \geq \mu\} \]

2. \(S\)的密度与独立性
   \(S = \sum_{i=1}^n (X_i - X_{(1)}) = \sum_{i=1}^n (Z_i - Z_{(1)})\)，是\(n-1\)个独立指数分布的和，因此\(S \sim \Gamma(\lambda, n-1)\)，密度为：

\[f_S(s,\lambda) = \frac{\lambda^{n-1}}{\Gamma(n-1)} s^{n-2} e^{-\lambda s} I\{s \geq 0\} \]

且由指数分布的性质，\(Y\)与\(S\)相互独立。

步骤2：写出完备性的核心条件

统计量\(T=(Y,S)\)的联合密度为边缘密度的乘积（独立性）：

\[f_{Y,S}(y,s,\mu,\lambda) = n\lambda e^{-n\lambda(y-\mu)} I\{y\geq\mu\} \cdot \frac{\lambda^{n-1}}{\Gamma(n-1)} s^{n-2} e^{-\lambda s} I\{s\geq0\} \]

根据完备性定义：对任意Borel可测函数\(h(y,s)\)，若\(E_{\mu,\lambda}[h(Y,S)] = 0\)对所有\(\mu\in\mathbb{R}, \lambda>0\)成立，需推出\(h(y,s)=0\)几乎处处成立。

写出期望的积分表达式，去掉与积分变量无关的非零常数项后，得到核心等式：

\[\int_{0}^{+\infty} \int_{\mu}^{+\infty} h(y,s) e^{-n\lambda y} e^{-\lambda s} s^{n-2} dy ds = 0, \quad \forall \mu\in\mathbb{R}, \lambda>0 \]

步骤3：交换积分次序，简化方程

交换积分次序，先对\(s\)积分再对\(y\)积分，令内层积分\(g(y,\lambda) = \int_{0}^{+\infty} h(y,s) s^{n-2} e^{-\lambda s} ds\)，等式简化为：

\[\int_{\mu}^{+\infty} g(y,\lambda) e^{-n\lambda y} dy = 0, \quad \forall \mu\in\mathbb{R}, \lambda>0 \]

步骤4：对\(\mu\)求导，剥离位置参数

上式是关于\(\mu\)的变限积分，根据莱布尼茨积分求导法则，对\(\mu\)求导得：

\[- g(\mu,\lambda) e^{-n\lambda \mu} = 0 \]

由于\(e^{-n\lambda \mu} > 0\)对所有\(\mu,\lambda\)成立，因此直接得到：

\[g(\mu,\lambda) = \int_{0}^{+\infty} h(\mu,s) s^{n-2} e^{-\lambda s} ds = 0, \quad \forall \mu\in\mathbb{R}, \lambda>0 \]

步骤5：利用Laplace变换唯一性，证明\(h=0\)

上式左边是函数\(\varphi_\mu(s) = h(\mu,s) s^{n-2}\)的Laplace变换。根据Laplace变换的唯一性定理：若函数的Laplace变换在\(\lambda>0\)上恒为0，则该函数几乎处处为0。

因此对任意固定的\(\mu\)，有\(h(\mu,s) s^{n-2} = 0\)几乎处处成立。而\(s^{n-2}\)在\(s>0\)时几乎处处非零，故推出：

\[h(y,s) = 0, \quad \text{a.e.} \]

满足完备性定义，因此\(T=(X_{(1)},S)\)是完备统计量。

补充：极小充分性

由因子分解定理，样本联合密度可表示为仅与\(T=(X_{(1)},S)\)和参数有关的形式，因此\(T\)是充分统计量。结合定理2.2.2，完备的充分统计量必为极小充分统计量，因此\(T\)是完备的极小充分统计量。

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例2.2.11 单参数均匀分布的完备统计量证明

命题

设\(X_1,\cdots,X_n\)独立同分布，\(X_1 \sim R(0,\theta)\)（区间\((0,\theta)\)上的均匀分布，参数\(\theta>0\)），则最大次序统计量\(X_{(n)} = \max\{X_1,\cdots,X_n\}\)是完备的极小充分统计量。

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分步证明

步骤1：推导\(X_{(n)}\)的分布

\(X_i \sim R(0,\theta)\)的密度为\(f(x,\theta) = \frac{1}{\theta} I\{0\leq x\leq\theta\}\)，最大次序统计量\(X_{(n)}\)的分布函数为：

\[F_{X_{(n)}}(t,\theta) = P(X_{(n)} \leq t) = \left( \frac{t}{\theta} \right)^n I\{0\leq t\leq\theta\} + I\{t>\theta\} \]

对分布函数求导，得到\(X_{(n)}\)的概率密度：

\[f(t,\theta) = \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} I\{0\leq t\leq\theta\} \]

也可表示为\(X_{(n)}/\theta \sim BE(n,1)\)（Beta分布），与题目表述一致。

步骤2：写出完备性的核心条件

根据完备性定义：对任意Borel可测函数\(h(t)\)，若\(E_\theta[h(X_{(n)})] = 0\)对所有\(\theta>0\)成立，需推出\(h(t)=0\)几乎处处成立。

写出期望的积分表达式，去掉非零常数项\(\frac{n}{\theta^n}\)后，得到核心等式：

\[\int_{0}^{\theta} h(t) t^{n-1} dt = 0, \quad \forall \theta>0 \]

步骤3：对\(\theta\)求导，直接推出\(h=0\)

上式是关于\(\theta\)的变上限积分，令\(F(\theta) = \int_{0}^{\theta} h(t) t^{n-1} dt = 0\)，根据莱布尼茨求导法则，对\(\theta\)求导得：

\[F'(\theta) = h(\theta) \cdot \theta^{n-1} = 0, \quad \forall \theta>0 \]

由于\(\theta^{n-1} > 0\)对所有\(\theta>0\)成立，因此直接推出：

\[h(\theta) = 0, \quad \text{a.e.} \]

满足完备性定义，因此\(T=X_{(n)}\)是完备统计量。

补充：极小充分性

由因子分解定理，样本联合密度为：

\[f(x_1,\cdots,x_n,\theta) = \frac{1}{\theta^n} I\{x_{(n)} \leq \theta\} I\{x_{(1)} \geq 0\} \]

仅通过\(X_{(n)}\)与参数\(\theta\)有关，因此\(X_{(n)}\)是充分统计量。结合定理2.2.2，完备的充分统计量必为极小充分统计量，因此\(X_{(n)}\)是完备的极小充分统计量。

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注的补充说明

注中提到：若\(X_1 \sim R(\theta_1, \theta_2)\)（双参数均匀分布，\(\theta_1<\theta_2\)为未知参数），则\(T=(X_{(1)}, X_{(n)})\)是完备的极小充分统计量。

核心逻辑：

1. 充分性：样本联合密度仅通过\(X_{(1)},X_{(n)}\)与参数相关，由因子分解定理得充分性；
2. 完备性：对期望为0的积分方程，先对\(\theta_2\)求导、再对\(\theta_1\)求导，可推出\(h=0\)几乎处处成立；
3. 极小充分性：完备充分统计量必为极小充分统计量。

关键区别：双参数均匀分布的参数空间是二维的，而例2.2.12中\(R(\theta-1/2,\theta+1/2)\)的参数空间是一维的，参数空间“足够丰富”是完备性成立的核心前提。

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核心方法与知识点总结

对比维度	例2.2.10 平移Gamma分布	例2.2.11 单参数均匀分布
核心分布	平移指数分布（双参数）	单参数均匀分布
目标统计量	\(T=(X_{(1)}, S)\)	\(T=X_{(n)}\)
证明核心技巧	变限积分求导 + Laplace变换唯一性	变限积分求导（微积分基本定理）
关键前提	指数分布的次序统计量独立性	分布支撑集与参数直接相关
完备性成立的核心	二维参数空间足够丰富	单参数空间覆盖所有\(\theta>0\)，足够丰富

通用结论

1. 对于支撑集与参数相关的分布族，变限积分对参数求导是证明完备性的核心技巧，可直接将积分方程转化为函数方程；
2. 对于指数族分布，Laplace变换/傅里叶变换的唯一性是证明完备性的核心工具；
3. 完备性高度依赖参数空间的大小：参数空间维度越高、范围越广，分布族越容易满足完备性；参数空间退化会导致完备性不成立；
4. 完备的充分统计量一定是极小充分统计量，是求解最小方差无偏估计（UMVUE）的核心工具。