2.2.1分布族的完备性

统计量与分布族的完备性 详细讲解与推导

作为深耕数理统计领域60余年的研究员，我将从提出动机、核心定义、数学本质、严格推导、反例与推论、统计量完备性延伸六个维度，完整拆解这个知识点，最后进行结构化总结。

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一、完备性的提出动机：为什么要研究这个性质？

数理统计的核心任务，是通过样本\(X\)推断总体的未知参数\(\theta\)，而我们几乎所有的推断都依赖于统计量的期望性质（比如无偏估计、矩估计）。

这里就出现了一个非常核心的现实问题：

假设我们有两个可测函数\(h_1(X)\)和\(h_2(X)\)，如果它们的数学期望对所有的参数\(\theta \in \Theta\)都相等，即\(\mathbb{E}_\theta[h_1(X)] = \mathbb{E}_\theta[h_2(X)], \forall \theta \in \Theta\)，我们能不能断定\(h_1(x)\)和\(h_2(x)\)是“几乎完全一样”的？

等价地说：如果一个随机变量的期望对所有参数都恒为0，即\(\mathbb{E}_\theta[h(X)] = 0, \forall \theta \in \Theta\)，能不能推出\(h(x)\)几乎处处为0？

这个问题直接决定了统计推断的唯一性：比如无偏估计，如果两个不同的函数都能成为参数的无偏估计，我们就无法从期望的角度唯一确定最优估计；而完备性，就是为了保证“期望相等”能唯一确定函数本身，为统计推断的唯一性提供理论支撑。

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二、分布族完备性的严格定义与等价性证明

2.1 前置符号说明

• 总体\(X\)服从分布族\(\mathcal{F} = \{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)：其中\(\Theta\)为参数空间，\(f(x,\theta)\)是\(X\)的概率密度函数（连续型）/概率质量函数（离散型，积分替换为求和），\(P_\theta\)是参数\(\theta\)对应的概率测度。
• 可测函数\(h(x)\)：保证\(h(X)\)是随机变量，且数学期望\(\mathbb{E}_\theta[h(X)]\)存在。
• \(\text{a.e. } P_\theta\)：几乎处处关于\(P_\theta\)成立，即集合\(\{x: h(x) \neq 0\}\)的\(P_\theta\)测度为0，也就是“不成立的点概率为0”，是概率意义下的“恒成立”。

2.2 分布族完备性的正式定义

定义2.2.1 设\(X \sim \mathcal{F} = \{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)，称分布族\(\mathcal{F}\)为完备的，若对任意可测函数\(h(x)\)，由

\[\varphi(\theta) = \mathbb{E}_\theta[h(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} h(x) dF_\theta(x) = 0, \quad \forall \theta \in \Theta \]

可推出\(h(x) = 0 \ (\text{a.e. } P_\theta)\)。

2.3 等价定义与严格证明

完备性有一个更直观的等价定义：

对任意两个可测函数\(h_1(x), h_2(x)\)，若\(\mathbb{E}_\theta[h_1(X)] = \mathbb{E}_\theta[h_2(X)], \forall \theta \in \Theta\)，则可推出\(h_1(x) = h_2(x) \ (\text{a.e. } P_\theta)\)。

下面证明两个定义的等价性：

1. 必要性（原定义→等价定义）
   假设\(\mathbb{E}_\theta[h_1(X)] = \mathbb{E}_\theta[h_2(X)]\)对所有\(\theta \in \Theta\)成立。令\(h(x) = h_1(x) - h_2(x)\)，根据期望的线性性：

   \[\mathbb{E}_\theta[h(X)] = \mathbb{E}_\theta[h_1(X)] - \mathbb{E}_\theta[h_2(X)] = 0, \quad \forall \theta \in \Theta \]

   根据原定义的完备性，由上式可推出\(h(x) = 0 \ (\text{a.e. } P_\theta)\)，即\(h_1(x) = h_2(x) \ (\text{a.e. } P_\theta)\)，必要性得证。

2. 充分性（等价定义→原定义）
   假设等价定义成立，取\(h_2(x) \equiv 0\)，则若\(\mathbb{E}_\theta[h_1(X)] = 0 = \mathbb{E}_\theta[h_2(X)], \forall \theta \in \Theta\)，根据等价定义可直接推出\(h_1(x) = 0 \ (\text{a.e. } P_\theta)\)，完全符合原定义的要求，充分性得证。

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三、完备性的数学本质：积分变换的唯一性

完备性不是一个孤立的统计概念，它的本质是积分变换的单射性（唯一性）。

我们把期望式展开：

\[\mathbb{E}_\theta[h(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} h(x) f(x,\theta) dx = \varphi(\theta) \]

这个式子可以看作一个积分变换：

• 变换的原像：样本空间上的可测函数\(h(x)\)
• 变换的核：分布族的密度\(f(x,\theta)\)
• 变换的像：参数空间上的函数\(\varphi(\theta)\)

完备性，就是这个积分变换是单射：如果变换后的像\(\varphi(\theta) \equiv 0\)（对所有\(\theta\)），那么变换前的原像\(h(x)\)只能是几乎处处为0的函数。换句话说，这个积分变换的零空间（核空间）中只有几乎处处为0的函数，没有非零元素。

我们可以用两个经典的积分变换类比，更直观理解这个性质：

1. Fourier变换：\(h(x) \mapsto \varphi(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(x) e^{itx} dx\)，它是唯一的——若\(\varphi(t) = 0\)对所有\(t\)成立，则\(h(x) = 0 \ \text{a.e.}\)。
2. Laplace变换：\(h(x) \mapsto \psi(s) = \int_{0}^{+\infty} h(x) e^{-sx} dx\)，在收敛域内是唯一的——若\(\psi(s) = 0\)对收敛域内所有\(s\)成立，则\(h(x) = 0 \ \text{a.e.}\)。

而分布族的完备性，就是以\(f(x,\theta)\)为核的积分变换，具备和Fourier、Laplace变换一样的唯一性。

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四、反例：不完备的分布族

不是所有分布族都是完备的，我们用教材中的经典例子，验证不完备的分布族，同时加深对定义的理解。

例子：设\(X \sim N(0, \sigma^2)\)，参数空间\(\Theta = \{\sigma^2: \sigma^2 > 0\}\)，分布族\(\mathcal{F} = \{N(0, \sigma^2), \sigma^2 > 0\}\)，证明该分布族不完备。

证明：
取可测函数\(h(x) = x\)，计算其数学期望：

\[\mathbb{E}_{\sigma^2}[h(X)] = \mathbb{E}_{\sigma^2}[X] = 0, \quad \forall \sigma^2 > 0 \]

显然，\(h(x) = x\)不是几乎处处为0的：正态分布的支撑是整个实数轴，\(\{x: h(x) \neq 0\} = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)，其\(P_{\sigma^2}\)测度为1，完全不满足\(h(x) = 0 \ \text{a.e. } P_\theta\)。

根据完备性的定义，该分布族不满足完备性的要求，因此是不完备分布族。

直观解释：这个分布族的密度是偶函数（\(f(-x,\sigma^2)=f(x,\sigma^2)\)），所有奇函数的期望都恒为0（比如\(h(x)=x, h(x)=x^3\)等），存在大量非零的\(h(x)\)满足期望为0，积分变换的零空间有非零元素，因此不具备唯一性，也就是不完备。

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五、推论的严格证明与直观解释

5.1 推论内容

若分布族\(\mathcal{F} = \{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)完备，且参数空间\(\Theta' \supset \Theta\)，则分布族\(\mathcal{F}' = \{f(x,\theta), \theta \in \Theta'\}\)也完备；反之不成立。

5.2 正向结论的严格证明

证明：
要证明\(\mathcal{F}'\)是完备的，根据完备性的定义，只需证明：对任意可测函数\(h(x)\)，若

\[\mathbb{E}_\theta[h(X)] = 0, \quad \forall \theta \in \Theta' \]

则可推出\(h(x) = 0 \ (\text{a.e. } P_\theta)\)。

已知\(\Theta' \supset \Theta\)，因此“对所有\(\theta \in \Theta'\)期望为0”，必然包含“对所有\(\theta \in \Theta\)期望为0”，即：

\[\mathbb{E}_\theta[h(X)] = 0, \quad \forall \theta \in \Theta \]

而\(\mathcal{F}\)是完备分布族，根据完备性定义，由上式可直接推出\(h(x) = 0 \ (\text{a.e. } P_\theta)\)，完全满足\(\mathcal{F}'\)完备的定义。因此\(\mathcal{F}'\)是完备的，正向结论得证。

5.3 反向结论不成立的解释与例子

“\(\mathcal{F}'\)完备，\(\Theta \subset \Theta'\)，则\(\mathcal{F}\)完备”这个结论不成立，核心原因是：

参数空间越大，对\(\varphi(\theta)=0\)的约束就越多（要求φ在更多的θ上等于0），越难找到非零的\(h(x)\)满足条件，因此越容易完备；反之，参数空间越小，约束越少，越容易找到非零的\(h(x)\)，越容易不完备。

反例：
设\(\mathcal{F}' = \{N(\mu, 1), \mu \in \mathbb{R}\}\)（均值\(\mu\)为参数，方差固定为1，参数空间为全体实数），该分布族是完备的；取\(\Theta = \{0\}\)，则\(\mathcal{F} = \{N(0,1)\}\)（仅包含一个分布）。

对\(\mathcal{F}\)，取\(h(x)=x\)，则\(\mathbb{E}_0[h(X)] = 0\)，但\(h(x)=x\)不是几乎处处为0，因此\(\mathcal{F}\)是不完备的。

这个例子中，\(\mathcal{F}'\)完备、\(\Theta \subset \Theta'\)，但\(\mathcal{F}\)不完备，直接证明了反向结论不成立。

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六、延伸：统计量的完备性

我们的核心主题是“统计量的完备性”，而分布族的完备性是它的基础，这里给出统计量完备性的定义与核心结论。

6.1 统计量完备性的定义

设\(T = T(X)\)是基于样本\(X\)的统计量，它的抽样分布族为\(\mathcal{F}_T = \{f_T(t, \theta), \theta \in \Theta\}\)（\(f_T(t,\theta)\)是\(T\)的概率密度/质量函数）。若分布族\(\mathcal{F}_T\)是完备的，则称统计量\(T(X)\)是完备统计量。

等价定义：统计量\(T\)是完备的，当且仅当对任意可测函数\(g(t)\)，若

\[\mathbb{E}_\theta[g(T)] = 0, \quad \forall \theta \in \Theta \]

则可推出\(g(t) = 0 \ (\text{a.e. } P_\theta^T)\)（关于\(T\)的分布几乎处处为0）。

6.2 经典例子：正态分布样本均值的完备性证明

设\(X_1,X_2,\dots,X_n\)是来自\(N(\mu, 1)\)的独立同分布样本，参数\(\mu \in \mathbb{R}\)，证明样本均值\(\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\)是完备统计量。

证明：

1. 首先写出\(\bar{X}\)的抽样分布：\(\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{1}{n}\right)\)，其概率密度为：
   \[f(t,\mu) = \sqrt{\frac{n}{2\pi}} \exp\left\{ -\frac{n}{2}(t - \mu)^2 \right\}, \quad t \in \mathbb{R} \]

2. 对任意可测函数\(g(t)\)，假设\(\mathbb{E}_\mu[g(\bar{X})] = 0, \forall \mu \in \mathbb{R}\)，展开期望：
   \[\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \cdot \sqrt{\frac{n}{2\pi}} \exp\left\{ -\frac{n}{2}(t - \mu)^2 \right\} dt = 0, \quad \forall \mu \in \mathbb{R} \]

3. 展开指数项，分离与\(t\)无关的项：
   \[-\frac{n}{2}(t - \mu)^2 = -\frac{n}{2}t^2 + nt\mu - \frac{n}{2}\mu^2 \]
   代入后，将\(\sqrt{\frac{n}{2\pi}} e^{-\frac{n}{2}\mu^2}\)（恒大于0）提出，原式等价于：
   \[\int_{-\infty}^{+\infty} \left[ g(t) e^{-\frac{n}{2}t^2} \right] e^{nt\mu} dt = 0, \quad \forall \mu \in \mathbb{R} \]

4. 令\(s = n\mu\)，则\(s \in \mathbb{R}\)，上式变为：
   \[\int_{-\infty}^{+\infty} h(t) e^{st} dt = 0, \quad \forall s \in \mathbb{R} \]
   其中\(h(t) = g(t) e^{-\frac{n}{2}t^2}\)。左边是\(h(t)\)的双边Laplace变换，在整个实数域上收敛，根据Laplace变换的唯一性，变换结果恒为0当且仅当\(h(t) = 0 \ \text{a.e.}\)。
5. 由于\(e^{-\frac{n}{2}t^2} > 0\)对所有\(t\)成立，因此\(h(t) = 0 \ \text{a.e.}\)等价于\(g(t) = 0 \ \text{a.e.}\)。

综上，\(\bar{X}\)的抽样分布族是完备的，因此\(\bar{X}\)是完备统计量。

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七、核心知识点结构化总结表

核心概念	严格定义/表述	数学本质	关键结论/反例
分布族的完备性	对任意可测函数\(h(x)\)，若\(\mathbb{E}_\theta[h(X)] = 0, \forall \theta \in \Theta\)，则\(h(x) = 0 \ (\text{a.e. } P_\theta)\)	以\(f(x,\theta)\)为核的积分变换具有唯一性（单射性），零空间仅含几乎处处为0的函数	正例：\(\{N(\mu,1), \mu \in \mathbb{R}\}\)完备；反例：\(\{N(0,\sigma^2), \sigma^2>0\}\)不完备
完备性的等价定义	对任意\(h_1,h_2\)，若\(\mathbb{E}_\theta[h_1(X)] = \mathbb{E}_\theta[h_2(X)], \forall \theta \in \Theta\)，则\(h_1(x) = h_2(x) \ (\text{a.e. } P_\theta)\)	期望映射是单射：相同的期望对应唯一的函数（几乎处处）	与原定义完全等价，是无偏估计唯一性的理论基础
完备性的推论	若\(\mathcal{F}(\Theta)\)完备，\(\Theta' \supset \Theta\)，则\(\mathcal{F}'(\Theta')\)完备；反之不成立	参数空间越大，积分变换的约束越强，越容易满足唯一性	例子：\(\{N(\mu,1), \mu \in \mathbb{R}\}\)完备，但子族\(\{N(0,1)\}\)不完备
统计量的完备性	统计量\(T\)的抽样分布族\(\mathcal{F}_T\)是完备的，则\(T\)为完备统计量	统计量的期望映射具有唯一性	例子：正态分布\(N(\mu,1)\)的样本均值\(\bar{X}\)是完备统计量
完备性的核心应用	1. Lehmann-Scheffé定理：完备充分统计量的无偏估计是唯一的（几乎处处）；2. Basu定理：完备充分统计量与辅助统计量相互独立	为参数估计的唯一性、统计量的独立性证明提供核心支撑	是UMVUE（一致最小方差无偏估计）的核心理论基础

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常见分布族完备性例题 详细讲解与推导

一、通用证明框架

要证明分布族\(\mathcal{F}=\{f(x,\theta),\theta\in\Theta\}\)完备，核心是遵循完备性定义：

任取可测函数\(h(x)\)，若\(\mathbb{E}_\theta[h(X)]=0\)对所有\(\theta\in\Theta\)成立，可推出\(h(x)=0 \ (\text{a.e. } P_\theta)\)，则\(\mathcal{F}\)完备；若能找到一个非零的\(h(x)\)使得期望恒为0，则\(\mathcal{F}\)不完备。

核心证明工具分为三类：

1. Laplace变换唯一性：若函数的Laplace变换在收敛域内恒为0，则原函数几乎处处为0；
2. 多项式恒等定理：次数不超过n的多项式在无穷多点取值为0，则所有系数全为0；
3. Lebesgue微分定理：变限积分恒为0，则被积函数几乎处处为0。

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二、各例题详细推导

例2.2.1 Γ（伽马）分布族的完备性

\(\Gamma(\lambda,\nu)\)的概率密度：\(f(x;\lambda,\nu) = \frac{\lambda^\nu}{\Gamma(\nu)} x^{\nu-1} e^{-\lambda x}, \ x>0\)，参数\(\lambda>0,\nu>0\)。

完整推导

1. 任取可测函数\(h(x)\)，假设对所有\(\lambda>0,\nu>0\)，有
   \[\mathbb{E}_{\lambda,\nu}[h(X)] = \int_0^\infty h(x) \cdot \frac{\lambda^\nu}{\Gamma(\nu)} x^{\nu-1} e^{-\lambda x} dx = 0 \]

2. 化简：\(\frac{\lambda^\nu}{\Gamma(\nu)}>0\)，两边乘\(\frac{\Gamma(\nu)}{\lambda^\nu}\)得
   \[\int_0^\infty \left[ h(x) x^{\nu-1} \right] e^{-\lambda x} dx = 0, \ \forall \lambda>0 \]

3. 识别Laplace变换：上式是\(g(x)=h(x)x^{\nu-1}\)的单边Laplace变换，在\(\lambda>0\)上恒为0。
4. 应用唯一性：由Laplace变换唯一性，得\(g(x)=h(x)x^{\nu-1}=0 \ \text{a.e.}\)。
5. 结论：\(x>0\)时\(x^{\nu-1}\neq0\)，故\(h(x)=0 \ \text{a.e.}\)，因此\(\Gamma\)分布族\(\mathcal{F}=\{\Gamma(\lambda,\nu),\lambda>0,\nu>0\}\)完备。

固定形状参数的子族

\(\mathcal{F}_0 = \{\Gamma(\lambda,\nu_0),\lambda>0\}\)（\(\nu_0\)已知），推导与上述完全一致，同样可证完备。

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例2.2.2 正态分布族的完备性

正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)的概率密度：\(\varphi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}, \ x\in\mathbb{R}\)。

(1) 方差固定\(\sigma^2=1\)，均值\(\mu\in\mathbb{R}\)：\(\mathcal{F}_1=\{N(\mu,1),\mu\in\mathbb{R}\}\)完备

1. 任取\(h(x)\)，假设\(\mathbb{E}_\mu[h(X)] = \int_{-\infty}^\infty h(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2}} dx = 0, \ \forall \mu\in\mathbb{R}\)。
2. 展开指数项：\(-\frac{(x-\mu)^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + \mu x - \frac{\mu^2}{2}\)，提出正的常数项\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\mu^2}{2}}\)，得
   \[\int_{-\infty}^\infty \left[ h(x) e^{-\frac{x^2}{2}} \right] e^{\mu x} dx = 0, \ \forall \mu\in\mathbb{R} \]

3. 识别双边Laplace变换，应用唯一性得\(h(x)e^{-\frac{x^2}{2}}=0 \ \text{a.e.}\)。
4. 结论：\(e^{-\frac{x^2}{2}}>0\)，故\(h(x)=0 \ \text{a.e.}\)，\(\mathcal{F}_1\)完备。

(2) 方差固定为\(\sigma_0^2\)，均值\(\mu\in\mathbb{R}\)：\(\mathcal{F}_2=\{N(\mu,\sigma_0),\mu\in\mathbb{R}\}\)完备

推导与(1)完全一致，仅替换方差项，可证完备。

(3) 均值固定为0，方差\(\sigma^2>0\)：\(\mathcal{F}_3=\{N(0,\sigma^2),\sigma^2>0\}\)不完备

要证不完备，只需找到非零的\(h(x)\)使得期望恒为0：
取\(h(x)=x\)，显然\(h(x)\neq0 \ \text{a.e.}\)，而\(X\sim N(0,\sigma^2)\)时\(\mathbb{E}_\sigma[X]=0\)对所有\(\sigma^2>0\)成立，因此\(\mathcal{F}_3\)不完备。

(4) 均值固定为\(\mu_0\)，方差\(\sigma^2>0\)：\(\mathcal{F}_4=\{N(\mu_0,\sigma^2),\sigma^2>0\}\)不完备

取\(h(x)=x-\mu_0\)，则\(\mathbb{E}_\sigma[h(X)]=0\)对所有\(\sigma^2>0\)成立，且\(h(x)\neq0 \ \text{a.e.}\)，故\(\mathcal{F}_4\)不完备。

(5) 均值、方差均为参数：\(\mathcal{F}=\{N(\mu,\sigma^2),\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}\)完备

\(\mathcal{F}\)的参数空间包含\(\mathcal{F}_1\)的参数空间，由参数空间单调性推论（子族完备则全族完备），结合\(\mathcal{F}_1\)完备，可直接推出\(\mathcal{F}\)完备。

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例2.2.3 β（贝塔）分布族的完备性

\(BE(a,b)\)的概率密度：\(f(x;a,b) = \frac{1}{\beta(a,b)} x^{a-1} (1-x)^{b-1}, \ x\in(0,1)\)，参数\(a>0,b>0\)。

完整推导

1. 先证固定\(b=b_0\)的子族\(\mathcal{F}_0=\{BE(a,b_0),a>0\}\)完备：
   任取\(h(x)\)，假设\(\mathbb{E}_a[h(X)] = \int_0^1 h(x) \cdot \frac{1}{\beta(a,b_0)} x^{a-1} (1-x)^{b_0-1} dx = 0, \ \forall a>0\)。
2. 变量替换：令\(t=-\ln x\)（即\(x=e^{-t}\)），\(dx=-e^{-t}dt\)，代入后化简得
   \[\frac{1}{\beta(a,b_0)} \int_0^\infty \left[ h(e^{-t}) (1-e^{-t})^{b_0-1} \right] e^{-at} dt = 0 \]

3. 提出正的常数项，识别单边Laplace变换，应用唯一性得\(h(e^{-t})(1-e^{-t})^{b_0-1}=0 \ \text{a.e.}\)。
4. 还原变量：\(x\in(0,1)\)时\((1-x)^{b_0-1}>0\)，故\(h(x)=0 \ \text{a.e.}\)，\(\mathcal{F}_0\)完备。
5. 全族完备性：\(\mathcal{F}=\{BE(a,b),a>0,b>0\}\)的参数空间包含\(\mathcal{F}_0\)，由单调性推论，\(\mathcal{F}\)完备。

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例2.2.4 二项分布族的完备性

二项分布\(b(n,\theta)\)的概率质量函数：\(P(X=x)=\binom{n}{x}\theta^x(1-\theta)^{n-x}, \ x=0,1,\dots,n\)，参数\(\theta\in(0,1)\)。

完整推导

1. 任取\(h(x)\)，假设\(\mathbb{E}_\theta[h(X)] = \sum_{x=0}^n h(x) \binom{n}{x} \theta^x (1-\theta)^{n-x} = 0, \ \forall \theta\in(0,1)\)。
2. 代数变形：两边除以\((1-\theta)^n>0\)，令\(y=\frac{\theta}{1-\theta}\)（\(\theta\in(0,1)\)对应\(y>0\)），得
   \[\sum_{x=0}^n \left[ h(x)\binom{n}{x} \right] y^x = 0, \ \forall y>0 \]

3. 应用多项式恒等定理：上式是n次多项式，在无穷多\(y>0\)上为0，故所有系数为0，即\(h(x)\binom{n}{x}=0\)。
4. 结论：\(\binom{n}{x}>0\)，故\(h(x)=0\)对所有\(x=0,1,\dots,n\)成立，二项分布族\(\mathcal{F}=\{b(n,\theta),\theta\in(0,1)\}\)完备。

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例2.2.5 均匀分布族\(\mathcal{F}=\{U(0,\theta),\theta>0\}\)的完备性

均匀分布\(U(0,\theta)\)的概率密度：\(f(x;\theta)=\frac{1}{\theta}I_{(0,\theta)}(x)\)，参数\(\theta>0\)。

完整推导

1. 任取\(h(x)\)，假设\(\mathbb{E}_\theta[h(X)] = \int_0^\theta h(x) \cdot \frac{1}{\theta} dx = 0, \ \forall \theta>0\)。
2. 化简：两边乘\(\theta>0\)，得变上限积分\(\varphi(\theta)=\int_0^\theta h(x)dx=0, \ \forall \theta>0\)。
3. 应用Lebesgue微分定理：\(\varphi(\theta)\)绝对连续，几乎处处可导，且\(\varphi'(\theta)=h(\theta) \ \text{a.e.}\)。
4. 结论：\(\varphi(\theta)\)恒为0，故导数\(h(\theta)=0 \ \text{a.e.}\)，均匀分布族\(\mathcal{F}=\{U(0,\theta),\theta>0\}\)完备。

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例2.2.6 位置参数指数分布族的完备性

位置参数指数分布\(E(1,\mu)\)的概率密度：\(f(x;\mu)=e^{-(x-\mu)}I_{(\mu,+\infty)}(x)\)，参数\(\mu\in\mathbb{R}\)。

完整推导

1. 任取\(h(x)\)，假设\(\mathbb{E}_\mu[h(X)] = \int_\mu^\infty h(x) e^{-(x-\mu)} dx = 0, \ \forall \mu\in\mathbb{R}\)。
2. 化简：提出\(e^\mu>0\)，得变下限积分\(\varphi(\mu)=\int_\mu^\infty h(x)e^{-x}dx=0, \ \forall \mu\in\mathbb{R}\)。
3. 求导：\(\varphi(\mu)\)几乎处处可导，导数\(\varphi'(\mu) = -h(\mu)e^{-\mu} \ \text{a.e.}\)。
4. 结论：\(\varphi(\mu)\)恒为0，故\(h(\mu)e^{-\mu}=0\)，结合\(e^{-\mu}>0\)得\(h(\mu)=0 \ \text{a.e.}\)，该分布族完备。

推论

位置参数伽马分布族\(\{\mu+\Gamma(\lambda,1)\}\)完备：其参数空间包含上述位置指数分布族（\(\Gamma(1,1)=E(1,\mu)\)），由单调性推论得证。

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三、所有例题核心结论汇总表

分布族	参数空间	完备性	核心证明工具	关键要点
\(\Gamma(\lambda,\nu)\)	\(\lambda>0,\nu>0\)	完备	Laplace变换唯一性	固定形状参数\(\nu_0\)的子族同样完备
\(N(\mu,1)\)	\(\mu\in\mathbb{R}\)	完备	双边Laplace变换唯一性	方差固定、均值自由的正态分布族完备
\(N(\mu,\sigma_0^2)\)	\(\mu\in\mathbb{R}\)	完备	双边Laplace变换唯一性	任意固定方差的均值族均完备
\(N(0,\sigma^2)\)	\(\sigma^2>0\)	不完备	构造反例\(h(x)=x\)	均值固定、方差自由的正态分布族，奇函数期望恒为0
\(N(\mu_0,\sigma^2)\)	\(\sigma^2>0\)	不完备	构造反例\(h(x)=x-\mu_0\)	固定均值的方差族均不完备
\(N(\mu,\sigma^2)\)	\(\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0\)	完备	参数空间单调性推论	均值、方差均自由的全正态分布族完备
\(BE(a,b)\)	\(a>0,b>0\)	完备	变量替换+Laplace变换+单调性推论	固定一个参数的子族完备，全族也完备
\(b(n,\theta)\)	\(\theta\in(0,1)\)	完备	多项式恒等定理	参数空间为开区间时完备，有限参数空间不完备
\(U(0,\theta)\)	\(\theta>0\)	完备	Lebesgue微分定理（变上限积分求导）	单边均匀分布族完备，双边双参数均匀分布的次序统计量完备
\(E(1,\mu)\)（位置指数）	\(\mu\in\mathbb{R}\)	完备	Lebesgue微分定理（变下限积分求导）	位置参数指数分布族完备，可推广到位置伽马分布族

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统计量完备性知识点 详细归纳总结表

知识点分类	核心内容与严格表述	关键说明/数学本质	典型实例/反例
一、基础核心定义
1. 分布族的完备性（完备分布族）	设总体\(X \sim \mathcal{F} = \{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)（\(f(x,\theta)\)为概率密度/质量函数，\(\Theta\)为参数空间）。若对任意可测函数\(h(x)\)，由\(\mathbb{E}_\theta[h(X)] = \int h(x)dF_\theta(x) = 0, \quad \forall \theta \in \Theta\)可推出\(h(x) = 0 \ (\text{a.e. } P_\theta)\)（关于概率测度\(P_\theta\)几乎处处为0），则称分布族\(\mathcal{F}\)为完备分布族。	本质是积分变换的唯一性（单射性）：以分布密度\(f(x,\theta)\)为核的积分变换，其零空间仅包含几乎处处为0的函数；即“变换后的像恒为0”能唯一推出“原像几乎处处为0”。	正例：正态分布族\(\{N(\mu,1), \mu \in \mathbb{R}\}\)是完备分布族； 反例：正态分布族\(\{N(0,\sigma^2), \sigma^2>0\}\)是不完备分布族。
2. 统计量的完备性	设\(T=T(X)\)是基于样本\(X\)的统计量，其抽样分布族为\(\mathcal{F}_T = \{f_T(t,\theta), \theta \in \Theta\}\)。若\(\mathcal{F}_T\)是完备分布族，则称\(T(X)\)为完备统计量。 等价表述：对任意可测函数\(g(t)\)，若\(\mathbb{E}_\theta[g(T)] = 0, \forall \theta \in \Theta\)，则\(g(t) = 0 \ (\text{a.e. } P_\theta^T)\)。	是分布族完备性在统计量抽样分布上的延伸，本质是统计量的期望映射具有单射性：若两个关于\(T\)的函数对所有参数的期望相等，则两个函数几乎处处相等。	正例：设\(X_1,\dots,X_n \sim N(\mu,1)\)，样本均值\(\bar{X}\)是完备统计量； 反例：设\(X \sim N(0,\sigma^2)\)，统计量\(T=X\)是不完备统计量。
3. 完备性的等价定义	对分布族\(\mathcal{F}\)，若对任意两个可测函数\(h_1(x),h_2(x)\)，由\(\mathbb{E}_\theta[h_1(X)] = \mathbb{E}_\theta[h_2(X)], \quad \forall \theta \in \Theta\)可推出\(h_1(x) = h_2(x) \ (\text{a.e. } P_\theta)\)，则\(\mathcal{F}\)是完备分布族。	是原定义的直接推论，也是实际应用中更常用的形式；核心是“期望全参数相等”等价于“函数本身几乎处处相等”，是无偏估计唯一性的理论基础。	若\(T\)是完备统计量，\(g_1(T)\)和\(g_2(T)\)都是参数\(g(\theta)\)的无偏估计，则\(g_1(T)=g_2(T) \ \text{a.e.}\)。
二、核心性质与推论
1. 参数空间单调性推论	若分布族\(\mathcal{F} = \{f(x,\theta), \theta \in \Theta\}\)完备，且参数空间\(\Theta' \supset \Theta\)，则分布族\(\mathcal{F}' = \{f(x,\theta), \theta \in \Theta'\}\)也完备；反之不成立。	参数空间越大，对\(\mathbb{E}_\theta[h(X)]=0\)的约束越强（要求在更多参数上成立），越难找到非零的\(h(x)\)满足条件，因此越容易完备；参数空间缩小，约束减弱，更容易出现不完备。	正例：\(\{N(\mu,1), \mu \in \mathbb{R}\}\)完备，其扩展族\(\{N(\mu,1), \mu \in [-100,100]\}\)也完备； 反例：\(\{N(\mu,1), \mu \in \mathbb{R}\}\)完备，但子族\(\{N(0,1)\}\)（单点参数空间）不完备。
2. 完备性的可测变换不变性	若\(T(X)\)是完备统计量，\(S = \psi(T)\)是关于\(T\)的Borel可测函数，则\(S\)也是完备统计量。	完备性可通过可测函数传递：若\(T\)的期望映射是单射，则其可测变换的期望映射也保持单射性。	设\(X_1,\dots,X_n \sim N(\mu,1)\)，\(\bar{X}\)是完备统计量，则\(S=2\bar{X}+1\)、\(S=\bar{X}^2\)均为完备统计量。
3. 有界完备性（弱完备性）	若对任意有界可测函数\(h(x)\)，由\(\mathbb{E}_\theta[h(X)]=0, \forall \theta \in \Theta\)可推出\(h(x)=0 \ (\text{a.e. } P_\theta)\)，则称分布族为有界完备的。	是比完备性更弱的性质：完备分布族一定是有界完备的，有界完备分布族不一定是完备的；本质是仅对有界函数保证积分变换的唯一性。	位置参数分布族的次序统计量是有界完备的，但不一定是完备的。
三、易混淆概念对比
完备性 vs 充分性	完备性：统计量包含的参数信息无冗余，不会出现“不同函数对应相同的参数期望”； 充分性：统计量包含样本中关于参数的全部信息，样本在给定统计量的条件下与参数无关。	二者是完全独立的两个性质： - 充分性是“信息全包含”，完备性是“信息无冗余”； - 一个统计量可以是充分但不完备的，也可以是完备但不充分的。	充分但不完备：设\(X_1,\dots,X_n \sim N(0,\sigma^2)\)，样本二阶矩\(T=\sum_{i=1}^n X_i^2\)是充分统计量，但\(T\)本身不完备； 完备但不充分：设\(X_1,\dots,X_n \sim N(\mu,1)\)，\(T=X_1\)是完备统计量，但不是充分统计量。
完备性 vs 有界完备性	完备性：对所有可测函数满足期望为0→几乎处处为0； 有界完备性：仅对有界可测函数满足上述性质。	强弱关系：完备性 ⇒ 有界完备性，反向不成立；有界完备性足以支撑Basu定理等核心结论，适用范围更广。	反例：均匀分布族\(\{U(\theta,\theta+1), \theta \in \mathbb{R}\}\)是有界完备的，但不是完备的。
四、常用分布族的完备性判定结论
1. 指数族完备性核心定理	设分布族为自然形式指数族：\(f(x,\theta) = C(\theta) \exp\left\{ \sum_{i=1}^k \theta_i T_i(x) \right\} h(x)\)若其自然参数空间\(\Theta\)包含非空开集（内点），则其自然充分统计量\(T(X)=(T_1(X),\dots,T_k(X))\)是完备统计量。	是数理统计中判定完备性的最核心工具，绝大多数常用的完备统计量都来自该定理；“参数空间有内点”是关键条件，缺失则无法保证完备性。	正例：二项分布\(B(n,p)\)、泊松分布\(P(\lambda)\)、正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)、指数分布\(Exp(\lambda)\)均满足条件，其自然充分统计量均为完备统计量； 反例：二项分布\(B(1,p)\)，若参数空间\(p \in \{0.1,0.2\}\)（无内点），则分布族不完备。
2. 离散型常用分布完备性	- 二项分布\(B(n,p)\)：\(p \in (0,1)\)时，样本和\(\sum X_i\)是完备统计量； - 泊松分布\(P(\lambda)\)：\(\lambda>0\)时，样本和\(\sum X_i\)是完备统计量； - 几何分布\(Ge(p)\)：\(p \in (0,1)\)时，样本和\(\sum X_i\)是完备统计量。	均属于指数族，参数空间为开区间，满足指数族完备性定理的条件。	反例：泊松分布\(P(\lambda)\)，若\(\lambda\)的参数空间为有限集，则样本和不是完备统计量。
3. 连续型常用分布完备性	- 正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)：\(\mu \in \mathbb{R},\sigma^2>0\)时，\((\sum X_i, \sum X_i^2)\)是完备统计量； - 指数分布\(Exp(\lambda)\)：\(\lambda>0\)时，样本和\(\sum X_i\)是完备统计量； - 均匀分布\(U(0,\theta)\)：\(\theta>0\)时，样本最大值\(X_{(n)}\)是完备统计量； - 均匀分布\(U(\theta_1,\theta_2)\)：\(\theta_1<\theta_2\)时，\((X_{(1)},X_{(n)})\)是完备统计量。	均匀分布不属于指数族，需通过完备性的原始定义直接验证；其余分布均满足指数族完备性条件。	反例：均匀分布\(U(\theta,\theta+1)\)，\(\theta \in \mathbb{R}\)时，次序统计量不是完备统计量。
五、与完备性相关的核心定理
1. Lehmann-Scheffé定理	若\(T(X)\)是参数\(\theta\)的完备充分统计量，\(g(T)\)是\(g(\theta)\)的无偏估计，则\(g(T)\)是\(g(\theta)\)的唯一一致最小方差无偏估计（UMVUE）（几乎处处意义下）。	完备性是UMVUE唯一性的核心保障：若无完备性，可能存在多个不同的无偏估计，无法确定唯一的最小方差估计。	设\(X_1,\dots,X_n \sim Exp(\lambda)\)，样本和\(T=\sum X_i\)是完备充分统计量，\(\frac{n-1}{T}\)是\(\lambda\)的无偏估计，因此是\(\lambda\)的UMVUE。
2. Basu定理	若\(T(X)\)是参数\(\theta\)的完备充分统计量，\(S(X)\)是辅助统计量（其分布与参数\(\theta\)无关），则\(T(X)\)与\(S(X)\)相互独立。	完备性是证明统计量独立性的核心工具，无需计算联合分布与边缘分布，仅通过完备性、充分性、辅助性三个性质即可直接判定独立。	设\(X_1,\dots,X_n \sim N(\mu,\sigma^2)\)，样本均值\(\bar{X}\)是\(\mu\)的完备充分统计量，样本方差\(S^2\)是辅助统计量，因此\(\bar{X}\)与\(S^2\)相互独立。
六、核心应用场景
1. 参数估计	求解参数的一致最小方差无偏估计（UMVUE），验证无偏估计的唯一性。	完备性保证了“基于完备充分统计量的无偏估计”是唯一的最优无偏估计。	基于正态分布、指数分布、二项分布的完备充分统计量，求解对应参数的UMVUE。
2. 统计量独立性证明	证明两个统计量的相互独立性，无需计算联合分布。	Basu定理的核心应用，大幅简化独立性的证明过程。	证明正态分布的样本均值与样本极差、样本变异系数等辅助统计量独立。
3. 假设检验	构造相似检验、无偏检验，确定检验的最优性。	完备性保证了检验统计量的分布性质唯一，是Neyman-Pearson理论中最优检验的重要支撑。	指数族分布的一致最优无偏检验构造。