2.1.1充分统计量定义

充分统计量知识点详解与推导证明

各位同学，今天我们来系统讲解数理统计中核心的基础概念——充分统计量。这个概念由Fisher在1922年提出，是整个参数统计推断的基石，它解决的核心问题是：我们拿到n维样本后，能不能在不丢失关于未知参数信息的前提下，把样本压缩成低维的统计量，让统计推断变得更简单。下面我们从背景、定义、数学推导到核心结论，一步步拆解。

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一、背景引入：统计推断与统计量的本质

我们做统计推断，核心逻辑是：从样本出发，推断总体的未知性质。
绝大多数情况下，总体的分布可以归结为参数模型，比如正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)、泊松分布\(P(\lambda)\)，这些分布的形式已知，只有参数\(\theta\)（比如\(\mu,\sigma^2,\lambda\)）是未知的，我们的目标就是通过样本推断\(\theta\)。

我们拿到的样本\(X=(X_1,X_2,\dots,X_n)^T\)，是n维的随机向量，样本容量n通常很大。如果直接用全样本做推断，维度太高、计算复杂，所以我们会对样本做“加工/压缩”，得到统计量\(T=T(X)=(T_1(X),T_2(X),\dots,T_k(X))^T\)，其中\(k\leq n\)。最常见的例子就是样本均值\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\)、样本方差\(S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\)，原本n维的样本，被压缩成了2维的统计量\(T=(\bar{X},S^2)\)。

这时候就有一个核心问题：压缩之后，我们会不会丢失关于未知参数\(\theta\)的信息？
如果压缩后的统计量\(T(X)\)，包含了原样本\(X\)中所有关于\(\theta\)的信息，用\(T\)做推断和用全样本\(X\)做推断的效果完全一致，没有任何信息损失，那这个统计量就叫做充分统计量。

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二、预备知识：统计量的严格数学定义

要讲充分统计量，首先要明确“统计量”的严格定义，这是所有推导的测度论基础。

1. 样本的概率空间描述

给定样本\(X=(X_1,X_2,\dots,X_n)^T\)，我们用概率空间严格描述它：

• 样本空间\(\mathcal{X}\)：样本\(X\)所有可能的取值构成的集合，通常是n维实数空间\(\mathbb{R}^n\)；
• 参数空间\(\Theta\)：未知参数\(\theta\)所有可能的取值构成的集合；
• 概率测度\(P_\theta^X\)：定义在样本空间\(\mathcal{X}\)的Borel域\(\mathcal{B}_X\)上的概率测度，对任意可测集\(A\in\mathcal{B}_X\)，\(P_\theta^X(A)\)表示“样本\(X\)落在集合\(A\)中”的概率，这个概率由参数\(\theta\)决定。

我们也可以用分布函数\(F(x,\theta)\)、概率密度函数\(f(x,\theta)\)来描述样本的分布，记为\(X\sim f(x,\theta),\theta\in\Theta\)；如果把\(f(x,\theta)\)看作\(\theta\)的函数，它就是我们熟知的似然函数。

2. 统计量的定义

定义2.1.1 设\(T=T(X)\)是样本\(X\)的函数，取值空间为\(\mathcal{T}\)（通常是k维实数空间\(\mathbb{R}^k,k\leq n\)）。若\(t=T(x)\)是\(\mathcal{X}\to\mathcal{T}\)上的可测函数，即：对\(\mathcal{T}\)上的任意Borel集\(B\in\mathcal{B}_T\)，都有原像集\(T^{-1}(B)=\{x\in\mathcal{X}:T(x)\in B\}\in\mathcal{B}_X\)，则称\(T=T(X)\)是样本\(X\)的一个统计量。

核心解读：

1. 统计量的本质是样本的可测函数，“可测”这个条件，是为了保证\(T(X)\)本身是一个随机向量，我们可以合法地讨论它的概率分布，不会出现不可测的病态情况；
2. 统计量有一个关键性质：它不能包含未知参数\(\theta\)。也就是说，只要我们拿到了样本的观测值\(x\)，就能算出\(T(x)\)的具体数值，不需要知道\(\theta\)，这是统计量和参数的核心区别。

3. 统计量的导出测度（诱导分布）

统计量\(T(X)\)作为随机向量，有自己的概率分布，我们称之为导出测度，定义为：

\[P_\theta^T(B) \triangleq P_\theta^X(T^{-1}(B)),\quad \forall B\in\mathcal{B}_T \]

这个式子的含义非常直观：“统计量\(T\)落在集合\(B\)中”的概率，完全等于“样本\(X\)落在\(T\)的原像集\(T^{-1}(B)\)中”的概率。

积分形式的等价表达

根据测度论的积分定义，导出测度可以等价表示为积分形式，这是后续证明的核心工具：

\[\int_B \mathrm{d}P_\theta^T(t) \triangleq \int_{T^{-1}(B)} \mathrm{d}P_\theta^X(x) \]

更一般地，对任意可测函数\(m(t)\)，有：

\[\int_\mathcal{T} m(t)\mathrm{d}P_\theta^T(t) = \int_\mathcal{X} m(T(x))\mathrm{d}P_\theta^X(x) \]

这个等式的推导逻辑是：

1. 先对示性函数\(I_B(t)\)成立（就是上面的定义式）；
2. 对示性函数的线性组合（简单函数），自然成立；
3. 任意可测函数都可以表示为简单函数的极限，因此对一般可测函数也成立。

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三、充分统计量的直观含义与严格定义

1. 充分统计量的直观核心

我们先从信息的角度，把充分统计量的本质讲透：
样本\(X\)中包含的关于未知参数\(\theta\)的全部信息，可以拆成两部分：

\[\text{样本}X\text{关于}\theta\text{的总信息} = \text{统计量}T(X)\text{关于}\theta\text{的信息} + \text{已知}T(X)=t\text{后，样本}X\text{剩余的信息} \]

如果\(T(X)\)是充分统计量，那么后面这一项必须为0。也就是说：当我们已知\(T(X)=t\)之后，样本\(X\)的剩余信息里，再也没有任何关于\(\theta\)的内容了。所有能用来推断\(\theta\)的信息，已经被\(T(X)\)完全捕捉了。

换个更直白的说法：如果\(T\)是充分统计量，那么只要我们知道了\(T\)的取值，就算把原始样本丢掉，也不会影响我们对\(\theta\)的推断效果。

2. 充分统计量的严格数学定义

定义2.1.2 给定样本\(X\sim(\mathcal{X},\mathcal{B}_X,P_\theta^X),\theta\in\Theta\)，统计量\(T=T(X)\)称为充分统计量，若对任意的可测集\(A\in\mathcal{B}_X\)，条件概率

\[P_\theta^X(A|T(X)=t) \triangleq P_\theta^X(A|t) \]

与未知参数\(\theta\)无关。等价地，样本\(X\)在\(T=t\)下的条件分布\(F(x|t;\theta)\)、条件概率密度\(f(x|t;\theta)\)，都与\(\theta\)无关。

关键解读：

1. 这个定义完全对应了我们的直观含义：条件分布和\(\theta\)无关，意味着已知\(T=t\)之后，样本\(X\)的分布不再依赖\(\theta\)，自然也就没有能推断\(\theta\)的信息了；
2. 一个最平凡的例子：样本\(X\)本身一定是充分统计量。因为已知\(X=x\)时，\(X\)的条件分布是退化在\(x\)上的确定性分布，显然和\(\theta\)无关，这也说明充分统计量一定存在，我们后续要找的，是维度最低、压缩最彻底的“极小充分统计量”；
3. 这个定义是“充分性”的本质定义，但直接用定义验证一个统计量是否充分，需要计算条件分布，通常非常麻烦，所以我们需要更简便的判别工具，也就是后续的因子分解定理，而下面的引理，就是因子分解定理的核心铺垫。

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四、核心引理的详细证明

引理2.1.1 给定样本\(X\sim f(x,\theta)\)，\(T=T(X)\)是统计量，则\(X\)和\(T\)的联合分布、以及\(X|T\)的条件分布，可表示为：

1. 联合密度：\(f(x_1,\dots,x_n,t_1,\dots,t_k;\theta) = f(x_1,\dots,x_n;\theta) \cdot I\{x:T(x)=t\} \tag{2.1.3}\)
2. 条件密度：\(f(x_1,\dots,x_n|t;\theta) = \frac{f(x_1,\dots,x_n;\theta) \cdot I\{x:T(x)=t\}}{f(t_1,\dots,t_k;\theta)} \tag{2.1.4}\)

其中\(I\{\cdot\}\)是示性函数，满足\(I\{A\}=1\)当事件\(A\)发生，\(I\{A\}=0\)当事件\(A\)不发生。

证明过程（每一步都标注依据）

我们分两步证明，先证联合密度，再证条件密度。

第一步：证明联合密度公式(2.1.3)

根据概率论中联合密度的乘法公式，对任意两个随机向量\((X,T)\)，联合密度一定可以分解为：

\[f(x,t;\theta) = f(x;\theta) \cdot f(t|x;\theta) \]

这个公式是概率论的基本结论，含义是：联合密度 = 样本\(X\)的边缘密度 × 已知\(X=x\)时\(T\)的条件密度，对任意随机向量都成立，没有额外约束。

接下来分析\(f(t|x;\theta)\)，也就是“已知样本\(X=x\)时，统计量\(T\)的条件密度”。
这里有一个关键事实：\(T\)是\(X\)的函数，\(T=T(X)\)。也就是说，当样本的观测值\(x\)完全确定时，\(T\)的取值\(t=T(x)\)就被唯一确定了，不可能取其他值。因此，这个条件分布是退化分布（确定性分布），它的密度可以写为：

\[f(t|x;\theta) = \begin{cases} 1, & T(x)=t \\ 0, & T(x)\neq t \end{cases}\]

而这个分段函数，恰好可以用示性函数完美表示：

\[f(t|x;\theta) = I\{x:T(x)=t\} \]

把这个结果代入联合密度的乘法公式，就得到：

\[f(x,t;\theta) = f(x;\theta) \cdot I\{x:T(x)=t\} \]

公式(2.1.3)得证。

第二步：证明条件密度公式(2.1.4)

同样，根据概率论中条件密度的定义，已知\(T=t\)时\(X\)的条件密度，等于联合密度除以\(T\)的边缘密度：

\[f(x|t;\theta) = \frac{f(x,t;\theta)}{f(t;\theta)} \]

这个公式是条件密度的核心定义，没有任何额外约束。

我们已经在第一步证明了\(f(x,t;\theta)\)的表达式，把它直接代入上式，就得到：

\[f(x|t;\theta) = \frac{f(x;\theta) \cdot I\{x:T(x)=t\}}{f(t;\theta)} \]

公式(2.1.4)得证。

引理的核心意义

这个引理把充分统计量的定义，和样本的似然函数直接关联起来了。
我们回顾充分统计量的定义：\(f(x|t;\theta)\)与\(\theta\)无关。结合引理的结果，要让\(f(x|t;\theta)\)和\(\theta\)无关，就意味着：

\[\frac{f(x;\theta) \cdot I\{x:T(x)=t\}}{f(t;\theta)} \]

这个式子中，所有和\(\theta\)有关的部分，都必须只和\(t=T(x)\)有关，不能单独和\(x\)有关。这就是后续因子分解定理的核心思想，也是这个引理最重要的作用。

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五、核心知识点归纳总结

概念	严格定义	核心含义	数学表达	关键性质/说明
统计量	样本\(X\)的可测函数\(T=T(X)\)，不包含未知参数\(\theta\)	对n维样本的压缩/加工，把高维样本转化为低维的、可计算的数值	\(T:\mathcal{X}\to\mathcal{T}\)，对\(\forall B\in\mathcal{B}_T\)，\(T^{-1}(B)\in\mathcal{B}_X\)	1. 不依赖未知参数；2. 是随机向量，有自身的概率分布；3. 维度\(k\leq n\)
导出测度	统计量\(T\)的概率测度，由样本的概率测度诱导得到	统计量\(T\)的概率分布，完全由样本分布和\(T\)的函数形式决定	\(P_\theta^T(B) = P_\theta^X(T^{-1}(B))\)，\(\forall B\in\mathcal{B}_T\)	积分等价形式：\(\int_\mathcal{T} m(t)\mathrm{d}P_\theta^T(t) = \int_\mathcal{X} m(T(x))\mathrm{d}P_\theta^X(x)\)
充分统计量	统计量\(T=T(X)\)，若已知\(T=t\)时，样本\(X\)的条件分布与未知参数\(\theta\)无关，则\(T\)为充分统计量	压缩后的统计量，完全捕捉了样本中所有关于\(\theta\)的信息，无信息损失；用\(T\)推断\(\theta\)和用全样本推断效果完全一致	1. 概率形式：$P_\theta^X(A	t)\(与\)\theta\(无关，\)\forall A\in\mathcal{B}_X\(<br>2. 密度形式：\)f(x
条件分布引理	样本与统计量的联合密度、条件密度的表达式	搭建了样本密度、统计量密度、条件密度之间的桥梁，是因子分解定理的理论基础	1. 联合密度：\(f(x,t;\theta) = f(x;\theta) \cdot I\{x:T(x)=t\}\) 2. 条件密度：$f(x	t;\theta) = \frac{f(x;\theta) \cdot I{x:T(x)=t}}{f(t;\theta)}$

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充分统计量经典例题详解与推导

我们通过两个经典例题，完整演示定义法验证充分统计量的全流程，拆解每一步的数学依据与逻辑，同时说明“非充分统计量”的证明思路。

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一、验证充分性的通用方法与核心逻辑

1. 充分统计量的核心判定准则

根据上一节的定义与引理，验证统计量\(T=T(X)\)为充分统计量，核心是证明：
给定\(T=t\)时，样本\(X\)的条件密度/条件分布列\(f(x|t;\theta)\)与未知参数\(\theta\)无关。

2. 定义法的标准步骤

1. 写出独立同分布样本的联合密度/联合分布列\(f(x;\theta)\)；
2. 推导统计量\(T\)的概率分布（密度/分布列）\(f(t;\theta)\)；
3. 代入条件密度公式（引理2.1.4）：
   \[f(x|t;\theta) = \frac{f(x;\theta) \cdot I\{x:T(x)=t\}}{f(t;\theta)} \]

4. 化简表达式，验证最终结果是否与未知参数\(\theta\)无关。

3. 非充分统计量的证明逻辑

充分统计量的定义是对所有可测集，条件概率都与\(\theta\)无关（全称命题），因此要证明一个统计量不是充分统计量，只需找到一个反例：存在某个条件概率/条件密度与\(\theta\)有关，即可完成证明。

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二、例2.1.1 泊松分布的充分统计量验证

题目背景

设\(X_1,\dots,X_n\)为独立同分布（i.i.d.）样本，总体\(X_1 \sim\)泊松分布\(P(\lambda)\)，其中\(\lambda>0\)为未知参数。

• (1) 证明\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)为充分统计量；
• (2) 若\(n=2\)，证明\(X_1+2X_2\)不是充分统计量。

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(1) 证明\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)为充分统计量

前置知识补充

1. 泊松分布的分布列：若\(X\sim P(\lambda)\)，则\(P(X=x)=\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}, x=0,1,2,\dots\)；
2. 独立样本的联合分布列：独立随机变量的联合分布为各变量分布的乘积；
3. 泊松分布的可加性：若\(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. \(\sim P(\lambda)\)，则\(\sum_{i=1}^n X_i \sim P(n\lambda)\)。

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分步推导

步骤1：写出样本的联合分布列

因为\(X_1,\dots,X_n\)独立同分布，所以联合分布列为每个样本分布列的乘积：

\[f(x;\lambda) = \prod_{i=1}^n P(X_i=x_i) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{x_i} e^{-\lambda}}{x_i!} \]

对乘积项化简：

• 指数项：\(\prod_{i=1}^n \lambda^{x_i} = \lambda^{\sum_{i=1}^n x_i}\)，\(\prod_{i=1}^n e^{-\lambda} = e^{-n\lambda}\)；
• 阶乘项：\(\prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i!} = \frac{1}{\prod_{i=1}^n x_i!}\)。

因此联合分布列可写为：

\[f(x;\lambda) = \frac{\lambda^{\sum_{i=1}^n x_i} e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^n x_i!} \]

步骤2：写出统计量\(T\)的分布列

根据泊松分布的可加性，\(T=\sum_{i=1}^n X_i \sim P(n\lambda)\)，因此\(T\)的分布列为：

\[f(t;\lambda) = P(T=t) = \frac{(n\lambda)^t e^{-n\lambda}}{t!}, \quad t=0,1,2,\dots \]

步骤3：代入条件密度公式并化简

根据引理2.1.4，条件分布列为：

\[f(x|t;\lambda) = \frac{f(x;\lambda) \cdot I\left\{x:\sum_{i=1}^n x_i = t\right\}}{f(t;\lambda)} \]

其中示性函数\(I\left\{\sum_{i=1}^n x_i = t\right\}\)的含义是：只有当样本观测值的和等于\(t\)时，\(T(x)=t\)成立，条件分布才有意义，否则为0。

在示性函数成立的前提下，\(\sum_{i=1}^n x_i = t\)，因此可将分子中的\(\lambda^{\sum_{i=1}^n x_i}\)替换为\(\lambda^t\)，代入后得到：

\[f(x|t;\lambda) = \frac{\frac{\lambda^t e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^n x_i!} \cdot I\left\{\sum_{i=1}^n x_i = t\right\}}{\frac{(n\lambda)^t e^{-n\lambda}}{t!}} \]

对分子分母进行约分消元：

• 分子分母的\(e^{-n\lambda}\)完全抵消；
• 分子的\(\lambda^t\)与分母的\((n\lambda)^t = n^t \lambda^t\)中的\(\lambda^t\)完全抵消。

最终化简结果为：

\[f(x|t;\lambda) = \frac{t! \cdot I\left\{\sum_{i=1}^n x_i = t\right\}}{n^t \cdot \prod_{i=1}^n x_i!} \]

结论

化简后的条件分布列中，完全不包含未知参数\(\lambda\)，仅与样本观测值、\(t\)、\(n\)有关，因此根据充分统计量的定义，\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)是\(\lambda\)的充分统计量。

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(2) 证明\(n=2\)时，\(T'=X_1+2X_2\)不是充分统计量

核心思路

找到一个反例，证明存在某个条件概率与\(\lambda\)有关，即可证明\(T'\)不是充分统计量。

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分步推导

步骤1：确定事件\(T'=2\)的所有可能取值

泊松分布的取值为非负整数，因此\(X_1+2X_2=2\)的非负整数解只有两组：

• 解1：\(X_2=1\)，\(X_1=2-2\times1=0\)，即\((X_1=0,X_2=1)\)；
• 解2：\(X_2=0\)，\(X_1=2-0=2\)，即\((X_1=2,X_2=0)\)。

因此事件\(\{T'=2\}\)等价于两个互斥事件的并：

\[\{T'=2\} = \{X_1=0,X_2=1\} \cup \{X_1=2,X_2=0\} \]

步骤2：计算条件概率\(P(X_1=0,X_2=1 | T'=2)\)

根据条件概率的定义\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)，此处\(A=\{X_1=0,X_2=1\}\)是\(B=\{T'=2\}\)的子集，因此\(AB=A\)，代入得：

\[P(X_1=0,X_2=1 | T'=2) = \frac{P(X_1=0,X_2=1)}{P(X_1=0,X_2=1) + P(X_1=2,X_2=0)} \]

步骤3：计算两个概率项

因为\(X_1,X_2\)独立同分布\(\sim P(\lambda)\)，因此：

\[P(X_1=0,X_2=1) = P(X_1=0)P(X_2=1) = \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!} \cdot \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \lambda e^{-2\lambda} \]

\[P(X_1=2,X_2=0) = P(X_1=2)P(X_2=0) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} \cdot \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!} = \frac{\lambda^2}{2} e^{-2\lambda} \]

步骤4：代入化简

将两个概率项代入条件概率公式，分子分母的\(e^{-2\lambda}\)可完全抵消：

\[P(X_1=0,X_2=1 | T'=2) = \frac{\lambda e^{-2\lambda}}{\lambda e^{-2\lambda} + \frac{\lambda^2}{2} e^{-2\lambda}} = \frac{\lambda}{\lambda + \frac{\lambda^2}{2}} = \frac{1}{1+\frac{\lambda}{2}} = \left(1+\frac{\lambda}{2}\right)^{-1} \]

结论

该条件概率的结果中包含未知参数\(\lambda\)，说明给定\(T'=2\)时，样本的条件分布与\(\lambda\)有关，不满足充分统计量的定义，因此\(X_1+2X_2\)不是充分统计量。

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三、例2.1.2 均匀分布的充分统计量验证

题目背景

设\(X_1,\dots,X_n\)为i.i.d.样本，总体\(X_1 \sim\)均匀分布\(R(0,\theta)\)，其中\(\theta>0\)为未知参数，证明\(T=X_{(n)}=\max\{X_1,\dots,X_n\}\)（样本最大次序统计量）为充分统计量。

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前置知识补充

1. 均匀分布的密度函数：若\(X\sim R(0,\theta)\)，则概率密度为
   \[f(x;\theta) = \frac{1}{\theta} I\{0\leq x\leq \theta\} \]
   其中示性函数\(I\{0\leq x\leq \theta\}\)表示：仅当\(x\in[0,\theta]\)时密度非零，该分布的支撑集与未知参数\(\theta\)有关，是本例的核心特点。
2. 最大次序统计量的分布：若\(X_1,\dots,X_n\) i.i.d.，总体分布函数为\(F_X(x)\)，则最大次序统计量\(X_{(n)}\)的分布函数为\(F_{X_{(n)}}(t) = [F_X(t)]^n\)。

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分步推导

步骤1：写出样本的联合密度函数

因为\(X_1,\dots,X_n\)独立同分布，联合密度为每个样本密度的乘积：

\[f(x;\theta) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{1}{\theta} I\{0\leq x_i\leq \theta\} \right] = \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^n I\{0\leq x_i\leq \theta\} \]

对示性函数进行关键化简：
\(\prod_{i=1}^n I\{0\leq x_i\leq \theta\}\)表示所有样本观测值都落在\([0,\theta]\)内，等价于：

• 样本最小值\(\geq0\)：\(x_{(1)}=\min\{x_1,\dots,x_n\} \geq 0\)；
• 样本最大值\(\leq\theta\)：\(x_{(n)}=\max\{x_1,\dots,x_n\} \leq \theta\)。

因此示性函数可化简为：

\[\prod_{i=1}^n I\{0\leq x_i\leq \theta\} = I\{0\leq x_{(n)}\leq \theta\} \cdot I\{x_{(1)}\geq 0\} \]

最终联合密度为：

\[f(x;\theta) = \frac{1}{\theta^n} I\{0\leq x_{(n)}\leq \theta\} I\{x_{(1)}\geq 0\} \]

步骤2：写出统计量\(T=X_{(n)}\)的密度函数

首先求总体\(X\sim R(0,\theta)\)的分布函数：

\[F_X(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ \frac{x}{\theta}, & 0\leq x\leq \theta \\ 1, & x>\theta \end{cases} \]

根据最大次序统计量的分布性质，\(T=X_{(n)}\)的分布函数为：

\[F_T(t) = [F_X(t)]^n = \begin{cases} 0, & t<0 \\ \left(\frac{t}{\theta}\right)^n, & 0\leq t\leq \theta \\ 1, & t>\theta \end{cases} \]

对分布函数求导，得到\(T\)的概率密度函数：

\[f(t;\theta) = \frac{dF_T(t)}{dt} = \frac{n t^{n-1}}{\theta^n} I\{0\leq t\leq \theta\} \]

步骤3：代入条件密度公式并化简

根据引理2.1.4，条件密度为：

\[f(x|t;\theta) = \frac{f(x;\theta) \cdot I\{x:x_{(n)}=t\}}{f(t;\theta)} \]

其中示性函数\(I\{x:x_{(n)}=t\}\)表示：只有当样本最大值等于\(t\)时，\(T(x)=t\)成立，条件密度才有意义。

将\(f(x;\theta)\)和\(f(t;\theta)\)代入公式：

\[f(x|t;\theta) = \frac{\frac{1}{\theta^n} I\{0\leq x_{(n)}\leq \theta\} I\{x_{(1)}\geq 0\} \cdot I\{x_{(n)}=t\}}{\frac{n t^{n-1}}{\theta^n} I\{0\leq t\leq \theta\}} \]

对式子进行化简：

1. 示性函数化简：因为\(I\{x_{(n)}=t\}\)，所以\(x_{(n)}=t\)，因此\(I\{0\leq x_{(n)}\leq \theta\}\)等价于\(I\{0\leq t\leq \theta\}\)，与分母的示性函数完全一致，在密度非零的区域可直接抵消；
2. 常数项化简：分子分母的\(\frac{1}{\theta^n}\)完全抵消，未知参数\(\theta\)被完全消去。

最终化简结果为：

\[f(x|t;\theta) = \frac{1}{n t^{n-1}} I\{x_{(1)}\geq 0\} I\{x_{(n)}=t\} \]

结论

化简后的条件密度中，完全不包含未知参数\(\theta\)，仅与样本观测值、\(t\)、\(n\)有关，因此根据充分统计量的定义，\(T=X_{(n)}\)是\(\theta\)的充分统计量。

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四、核心知识点与例题总结

例题类型	分布类型	待验证统计量	核心化简关键	充分性结论	核心注意事项
例2.1.1(1)	离散型泊松分布\(P(\lambda)\)	\(T=\sum_{i=1}^n X_i\)	利用泊松可加性得到\(T\)的分布，约分消去\(\lambda\)	充分统计量	离散型用分布列计算，示性函数限定样本和为\(t\)
例2.1.1(2)	离散型泊松分布\(P(\lambda)\)	\(T'=X_1+2X_2\)	找到反例，证明条件概率包含\(\lambda\)	非充分统计量	否定全称命题只需一个反例，无需验证所有情况
例2.1.2	连续型均匀分布\(R(0,\theta)\)	\(T=X_{(n)}\)（样本最大值）	示性函数等价转换，约分消去\(\theta\)	充分统计量	支撑集与参数有关的分布，核心是示性函数的化简，最大次序统计量包含了\(\theta\)的全部信息

通用结论

1. 定义法验证充分性的核心是消去未知参数，只要条件密度/分布列中不含未知参数，即可判定为充分统计量；
2. 对于支撑集与参数有关的分布（如均匀分布、指数分布），示性函数的等价转换是化简的关键；
3. 一一对应的函数变换不改变充分性：若\(T\)是充分统计量，\(g(T)\)是\(T\)的一一对应函数，则\(g(T)\)也是充分统计量（如泊松分布中，样本均值\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum X_i\)也是充分统计量）。