1.4+1.5匀变速直线运动及其规律+推论

同学们好，我还是那位教了多年高中物理的老师，今天咱们接着上一节的加速度，把匀变速直线运动及其规律这个高中运动学的核心内容，从定义、公式推导到易错点，彻底讲明白，让大家不仅能记住公式，更能理解本质、用对规律。

---

一、开篇承接：为什么要学匀变速直线运动？

上一节课我们讲了，加速度是描述速度变化快慢的物理量，\(v-t\)图像里倾斜直线的斜率就等于加速度。大家会发现，只要\(v-t\)图像是倾斜的直线，无论我们取哪个时间段，\(\frac{\Delta v}{\Delta t}\)的比值都是固定的——也就是说，加速度始终不变。

在生活中，汽车从静止启动、踩刹车减速、自由下落的物体，它们的运动都可以近似看作加速度不变的直线运动。这类运动是高中物理最基础、最核心的运动模型，也是我们解决所有运动学问题的根基，这就是我们今天要学的匀变速直线运动。

---

二、核心概念：匀变速直线运动的定义与分类

1. 严格定义

沿着一条直线运动，且加速度保持不变（大小、方向都恒定）的运动，叫做匀变速直线运动。

这里必须强调两个缺一不可的核心条件，也是同学们最容易踩坑的地方：

• 条件1：轨迹是直线（直线运动）。比如平抛运动，加速度是重力加速度\(g\)恒定不变，但轨迹是曲线，就不属于匀变速直线运动；
• 条件2：加速度\(a\)恒定不变。加速度的大小和方向都不能变，只要有一个变了，就不是匀变速。比如汽车启动时加速度越来越小，就属于变加速运动，不能用匀变速的规律。

2. 两大分类

根据速度变化的趋势，匀变速直线运动分为两类，判断标准只看加速度与速度的方向关系，和正负号无关：

1. 匀加速直线运动：物体的速度随时间均匀增加，核心特征是加速度\(a\)与速度\(v\)方向相同。
   规定正方向后，初速度\(v_0\)和加速度\(a\)同号（同为正或同为负），就是匀加速。
2. 匀减速直线运动：物体的速度随时间均匀减小，核心特征是加速度\(a\)与速度\(v\)方向相反。
   规定正方向后，初速度\(v_0\)和加速度\(a\)异号，就是匀减速。

举个例子帮大家理解：规定向右为正方向，小车向左运动，初速度\(v_0=-5\text{m/s}\)，加速度\(a=-2\text{m/s}^2\)，二者同号，小车向左做匀加速直线运动，而不是减速。

---

三、核心规律1：匀变速直线运动的速度与时间的关系

1. 公式推导（从加速度定义出发，拒绝死记硬背）

我们以匀加速直线运动为例，设：

• 物体的初速度（\(t=0\)时刻的速度）为\(v_0\)
• 运动的加速度为\(a\)
• 运动\(t\)时间后的瞬时速度为\(v\)

根据上一节学的加速度定义式：

\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t} \]

把公式变形，把\(v\)单独放在左边，就得到了匀变速直线运动的速度公式：

\[\boldsymbol{v=v_0+at} \]

2. 公式的核心说明

1. 矢量性（最高频易错点）
   速度公式里的\(v\)、\(v_0\)、\(a\)都是矢量，直线运动中我们要先规定一个正方向，和正方向相同的量取正值，相反的取负值，把矢量运算转化为代数运算。
   例：汽车以\(10\text{m/s}\)的初速度向右行驶，刹车时加速度大小为\(2\text{m/s}^2\)，规定向右为正方向，则\(v_0=10\text{m/s}\)，\(a=-2\text{m/s}^2\)，\(t=3\text{s}\)时的速度\(v=10+(-2)\times3=4\text{m/s}\)，正号说明速度方向仍向右。

2. 特殊情况简化

   • 当初速度\(v_0=0\)时（比如静止启动的汽车、自由下落的物体），公式简化为：\(\boldsymbol{v=at}\)，速度与时间成正比。
   • 当加速度\(a=0\)时，公式简化为\(v=v_0\)，就是我们学过的匀速直线运动，说明匀速直线运动是匀变速直线运动的特殊情况。

3. 刹车问题的致命陷阱
   汽车刹车、滑块在摩擦力下减速这类运动，有一个核心特点：速度减到0后，会保持静止，不会反向运动。
   所以遇到刹车问题，必须先算停止时间\(t_停=\frac{0-v_0}{a}\)，再判断题目给的时间\(t\)是否超过停止时间，超过的话，速度就是0，不能直接套公式。
   例：上面的刹车例子，停止时间\(t_停=\frac{0-10}{-2}=5\text{s}\)，如果问\(t=6\text{s}\)时的速度，答案是0，而不是\(v=10+(-2)\times6=-2\text{m/s}\)。

3. 从\(v-t\)图像理解速度公式

匀变速直线运动的\(v-t\)图像是一条倾斜的直线，和数学里的一次函数\(y=kx+b\)完全对应：

• 纵轴截距\(b\)：对应初速度\(v_0\)，也就是\(t=0\)时的速度；
• 直线的斜率\(k\)：对应加速度\(a\)，斜率的绝对值是加速度大小，正负是加速度方向；
• 一次函数\(y=b+kx\)，对应物理公式\(v=v_0+at\)，完美对应，大家可以结合数学知识理解，不用死记硬背。

---

四、核心规律2：匀变速直线运动的位移与时间的关系

1. 铺垫：匀速直线运动的位移与\(v-t\)图像的关系

我们先从大家熟悉的匀速直线运动入手：
匀速直线运动的\(v-t\)图像是一条平行于时间轴的直线，位移公式是\(x=v_0t\)。
大家会发现，\(v_0t\)正好是\(v-t\)图像里，图线与时间轴围成的矩形的面积（长是时间\(t\)，宽是速度\(v_0\)）。
由此我们得到一个核心结论：\(v-t\)图像中，图线与时间轴围成的面积，等于物体在这段时间内的位移。这个结论对所有直线运动都成立，包括匀变速直线运动。

2. 微元法推导匀变速直线运动的位移公式

匀变速直线运动的\(v-t\)图像是倾斜直线，图线与时间轴围成的图形是梯形，我们用微元法（微积分的核心思想）来证明：

1. 把总时间\(t\)分成无数个非常小的时间间隔\(\Delta t\)，每个\(\Delta t\)都趋近于0；
2. 在每个极小的\(\Delta t\)内，物体的速度变化极小，可以近似看作匀速直线运动，每个\(\Delta t\)内的位移，就对应一个小矩形的面积；
3. 把所有小矩形的面积加起来，就是总位移；当\(\Delta t\)无限趋近于0时，小矩形的面积和，就无限趋近于梯形的总面积。

梯形的面积公式是：\(\text{面积}=\frac{1}{2}\times(\text{上底}+\text{下底})\times\text{高}\)
对应到物理量：上底是初速度\(v_0\)，下底是末速度\(v\)，高是运动时间\(t\)，因此得到位移的第一个公式：

\[\boldsymbol{x=\frac{1}{2}(v_0+v)t} \]

3. 位移与时间的核心公式

我们把速度公式\(v=v_0+at\)代入上面的梯形面积公式，消去末速度\(v\)：

\[x=\frac{1}{2}(v_0+v_0+at)t \]

化简后，就得到了匀变速直线运动的位移与时间的核心公式：

\[\boldsymbol{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2} \]

4. 公式的核心说明

1. 矢量性
   和速度公式一样，位移公式里的\(x\)、\(v_0\)、\(a\)都是矢量，必须先规定正方向，再代入正负号计算。
   例：上面的刹车例子，\(t=3\text{s}\)时的位移\(x=10\times3+\frac{1}{2}\times(-2)\times3^2=30-9=21\text{m}\)，正号说明位移方向向右。

2. 特殊情况简化

   • 当初速度\(v_0=0\)时，公式简化为：\(\boldsymbol{x=\frac{1}{2}at^2}\)，初速度为0的匀加速直线运动，位移与时间的平方成正比。
   • 当加速度\(a=0\)时，公式简化为\(x=v_0t\)，回到匀速直线运动的位移公式。

3. 高频易错提醒

   • 公式里的\(\frac{1}{2}\)绝对不能漏掉，这是同学们计算时最容易犯的错误；
   • 公式里是\(t\)的平方，不是\(a\)的平方，不要写错位置；
   • 刹车问题同样要先算停止时间，超过停止时间后，位移不再变化，不能直接套公式。

---

五、知识点核心归纳总结

表1 匀变速直线运动核心定义与分类

项目	核心内容	关键判断标准
定义	沿一条直线运动，且加速度大小、方向都恒定不变的运动	两个必要条件： 1. 轨迹为直线 2. 加速度\(a\)恒定
匀加速直线运动	速度随时间均匀增加的匀变速直线运动	加速度\(a\)与速度\(v\)方向相同（\(v_0\)与\(a\)同号）
匀减速直线运动	速度随时间均匀减小的匀变速直线运动	加速度\(a\)与速度\(v\)方向相反（\(v_0\)与\(a\)异号）

表2 匀变速直线运动两大基本公式全解

公式名称	表达式	公式推导来源	各物理量含义	特殊情况简化
速度-时间公式	\(v=v_0+at\)	加速度定义式\(a=\frac{v-v_0}{t}\)变形	\(v_0\)：初速度 \(a\)：加速度 \(t\)：运动时间 \(v\)：\(t\)时刻的瞬时速度	\(v_0=0\)时，\(v=at\) \(a=0\)时，\(v=v_0\)（匀速）
位移-时间公式	\(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\)	\(v-t\)图像梯形面积公式\(x=\frac{1}{2}(v_0+v)t\)，代入速度公式推导	\(x\)：\(t\)时间内的位移 其余物理量含义同上	\(v_0=0\)时，\(x=\frac{1}{2}at^2\) \(a=0\)时，\(x=v_0t\)（匀速）

表3 匀变速直线运动\(v-t\)图像的物理意义

图像特征	对应的物理意义
图像形状	倾斜的直线，对应匀变速直线运动（加速度恒定）
纵轴截距	等于物体的初速度\(v_0\)
直线的斜率	等于物体的加速度\(a\)： 1. 斜率绝对值=加速度大小 2. 斜率正负=加速度方向
图线与时间轴围成的面积	等于对应时间内物体的位移 （时间轴上方的面积为正位移，下方为负位移）
直线上升	加速度与速度方向相同，物体做匀加速直线运动
直线下降	加速度与速度方向相反，物体做匀减速直线运动

---

同学们好，我还是那位教了多年高中物理的老师。今天咱们要讲的匀变速直线运动的推论，是咱们运动学的“解题利器”——所有推论都从上节课学的两个基本公式推导而来，目的就是帮大家避开复杂的联立计算，快速解决不同场景的运动学问题，更是咱们实验题、选择题、计算题的核心考点，必须学透、用熟。

---

开篇总述：推论的核心逻辑

上节课我们学了匀变速直线运动的两个基本公式，这是所有推论的“根”：

1. 速度-时间公式：\(\boldsymbol{v=v_0+at}\)
2. 位移-时间公式：\(\boldsymbol{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\)

咱们今天的所有推论，都是通过联立、变形这两个公式，针对“不涉及时间”“求瞬时速度”“实验数据处理”“初速度为0的特殊场景”等不同情况推导出来的，大家既要记住结论，更要懂推导，才能灵活运用，不踩坑。

---

一、推论1：速度与位移的关系式

1. 公式推导

当题目里不涉及时间t时，我们可以联立两个基本公式，消去t：
从速度公式解出时间：\(t=\frac{v-v_0}{a}\)
将其代入位移公式：\(x=v_0\cdot\frac{v-v_0}{a}+\frac{1}{2}a\cdot(\frac{v-v_0}{a})^2\)
化简后得到核心公式：

\[\boldsymbol{v^2-v_0^2=2ax} \]

2. 核心说明

• 适用场景：已知量和未知量都不涉及时间的问题，比如：
  ① 已知初速度、末速度、加速度，求位移；
  ② 已知初末速度、位移，求加速度；
  ③ 刹车问题求滑行距离（末速度为0）。
• 矢量性（易错点）：公式中\(v、v_0、a、x\)全是矢量，必须先规定正方向，代入正负号计算。尤其是匀减速运动，加速度要取负值。
• 示例：汽车以\(10\ \text{m/s}\)的速度行驶，刹车加速度大小为\(2\ \text{m/s}^2\)，求滑行多远停下。
  规定初速度方向为正，\(v_0=10\ \text{m/s}\)，\(v=0\)，\(a=-2\ \text{m/s}^2\)，代入公式：
  \(0-10^2=2\times(-2)\cdot x\)，直接解得\(x=25\ \text{m}\)，无需计算刹车时间，一步到位。

---

二、推论2：平均速度与瞬时速度的关系

1. 公式推导

首先，平均速度的定义式是：\(\bar{v}=\frac{x}{t}\)（所有运动都适用）
匀变速直线运动的位移公式：\(x=\frac{1}{2}(v_0+v)t\)
将位移公式代入平均速度定义式，得到第一个结论：

\[\boldsymbol{\bar{v}=\frac{v_0+v}{2}} \]

即：匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度，等于这段时间初、末速度的平均值。

再将速度公式\(v=v_0+at\)代入上式，可得：
\(\bar{v}=\frac{v_0+v_0+at}{2}=v_0+\frac{1}{2}at\)
而这段时间中间时刻\(\frac{t}{2}\)的瞬时速度为：\(v_{\frac{t}{2}}=v_0+a\cdot\frac{t}{2}\)
二者完全相等，因此得到核心结论：

\[\boldsymbol{\bar{v}=\frac{x}{t}=\frac{v_0+v}{2}=v_{\frac{t}{2}}} \]

2. 核心说明

• 适用场景：
  ① 快速求匀变速运动的平均速度；
  ② 打点计时器实验的核心考点：求纸带上某点的瞬时速度（用该点相邻两段的平均速度，等于该点的瞬时速度）。
• 高频易错点：这个推论仅适用于匀变速直线运动，非匀变速运动（加速度变化）不能使用。
• 示例：物体做匀加速直线运动，初速度\(2\ \text{m/s}\)，\(4\ \text{s}\)后速度为\(10\ \text{m/s}\)，这段时间的平均速度\(\bar{v}=\frac{2+10}{2}=6\ \text{m/s}\)，同时也是\(2\ \text{s}\)末（中间时刻）的瞬时速度。

---

三、推论3：中间时刻与位移中点的瞬时速度关系

1. 位移中点瞬时速度推导

把总位移分成相等的两段，每段位移为\(\frac{x}{2}\)，对前后两段分别用速度-位移公式：

• 前半段：\(v_{\frac{x}{2}}^2 - v_0^2 = 2a\cdot\frac{x}{2}\)
• 后半段：\(v^2 - v_{\frac{x}{2}}^2 = 2a\cdot\frac{x}{2}\)

联立两式，消去\(a\)和\(x\)，得到位移中点的瞬时速度公式：

\[\boldsymbol{v_{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{v_0^2+v^2}{2}}} \]

2. 大小比较

我们通过平方差比较中间时刻速度\(v_{\frac{t}{2}}\)和位移中点速度\(v_{\frac{x}{2}}\)的大小：

\[v_{\frac{x}{2}}^2 - v_{\frac{t}{2}}^2 = \frac{v_0^2+v^2}{2} - \left(\frac{v_0+v}{2}\right)^2 = \frac{(v-v_0)^2}{4} > 0 \]

因此得到核心结论：
无论物体做匀加速还是匀减速直线运动，同一过程中，位移中点的瞬时速度永远大于中间时刻的瞬时速度，即\(\boldsymbol{v_{\frac{x}{2}}>v_{\frac{t}{2}}}\)。

3. 核心说明

• 这个结论可以通过\(v-t\)图像直观验证：
  匀加速时，前半时间速度小，位移不到总位移的一半，位移中点在\(\frac{t}{2}\)之后，速度更大；
  匀减速时，前半时间速度大，位移超过总位移的一半，位移中点在\(\frac{t}{2}\)之前，速度仍更大。
• 适用场景：选择题中快速比较两个速度的大小，无需计算。

---

四、推论4：相邻相等时间内的位移差公式（逐差法基础）

1. 公式推导

设物体做匀变速直线运动，加速度为\(a\)，取连续相等的时间间隔\(T\)，则：

• 第1个\(T\)内的位移：\(x_1=v_0T+\frac{1}{2}aT^2\)
• 第2个\(T\)内的位移：\(x_2=(v_0+aT)T+\frac{1}{2}aT^2\)
• 第3个\(T\)内的位移：\(x_3=(v_0+2aT)T+\frac{1}{2}aT^2\)
• ……

对相邻位移作差：\(x_2-x_1=aT^2\)，\(x_3-x_2=aT^2\)，以此类推，得到核心公式：

\[\boldsymbol{\Delta x = aT^2} \]

推广式（逐差法核心）：不相邻的相等时间内的位移差\(\boldsymbol{x_m - x_n = (m-n)aT^2}\)，例如\(x_4-x_1=3aT^2\)。

2. 核心说明

• 核心结论：做匀变速直线运动的物体，在相邻相等的时间内，位移之差为恒定值。
• 适用场景：
  ① 判断物体是否做匀变速直线运动（纸带点迹的位移差恒定，即为匀变速）；
  ② 打点计时器实验中求加速度，是逐差法的理论基础。
• 高频易错点：
  ① 必须是相邻、相等的时间间隔，时间间隔\(T\)必须统一，不相邻的位移差要用推广式；
  ② \(T\)是单段的时间间隔，不是总时间（比如打点计时器每5个点取一个计数点，\(T=0.1\ \text{s}\)，不是\(0.02\ \text{s}\)）。

---

五、推论5：初速度为0的匀加速直线运动的比例关系

当初速度\(v_0=0\)时，匀加速直线运动的公式简化为\(v=at\)、\(x=\frac{1}{2}at^2\)，由此可以推导出5组秒杀选择题的比例关系，所有比例均从\(t=0\)开始计时。

比例类型	核心结论
第\(1\ \text{s}\)、第\(2\ \text{s}\)……第\(n\ \text{s}\)末的瞬时速度之比	\(v_1:v_2:v_3:\dots:v_n = 1:2:3:\dots:n\)（速度与时间成正比）
\(1\ \text{s}\)内、\(2\ \text{s}\)内……\(n\ \text{s}\)内的总位移之比	\(x_1:x_2:x_3:\dots:x_n = 1^2:2^2:3^2:\dots:n^2 = 1:4:9:\dots:n^2\)（位移与时间平方成正比）
第\(1\ \text{s}\)内、第\(2\ \text{s}\)内……第\(n\ \text{s}\)内的位移之比	\(x_Ⅰ:x_Ⅱ:x_Ⅲ:\dots:x_n = 1:3:5:\dots:(2n-1)\)（连续奇数比）
通过\(1\ \text{m}\)、\(2\ \text{m}\)……\(n\ \text{m}\)的总时间之比	\(t_1:t_2:t_3:\dots:t_n = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\dots:\sqrt{n}\)（时间与位移的平方根成正比）
通过第\(1\ \text{m}\)、第\(2\ \text{m}\)……第\(n\ \text{m}\)的时间之比	\(t_Ⅰ:t_Ⅱ:t_Ⅲ:\dots:t_n = 1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):\dots:(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)

核心说明

• 适用场景：仅适用于初速度\(v_0=0\)的匀加速直线运动（如自由落体、静止启动的汽车等），有初速度的运动不能直接套用。
• 高频易错点：严格区分“\(n\ \text{s}\)内”（总时间）和“第\(n\ \text{s}\)内”（第\(n\)个1s时间段）、“\(n\ \text{m}\)内”和“第\(n\ \text{m}\)”，一字之差，比例完全不同。

---

六、全节知识点核心归纳总结

推论名称	核心公式	核心结论	核心适用场景	关键易错点
速度-位移公式	\(v^2-v_0^2=2ax\)	匀变速直线运动中，速度平方差与位移成正比	不涉及时间\(t\)的匀变速问题	矢量性，需规定正方向代入正负号
平均速度公式	\(\bar{v}=\frac{v_0+v}{2}=v_{\frac{t}{2}}\)	匀变速的平均速度=初末速度平均值=中间时刻瞬时速度	求平均速度、纸带求某点瞬时速度	仅适用于匀变速直线运动
位移中点速度公式	\(v_{\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{v_0^2+v^2}{2}}\)	同一匀变速过程中，\(v_{\frac{x}{2}}>v_{\frac{t}{2}}\)	比较两点速度大小	公式中是速度的平方和开根号，不要和平均速度混淆
相邻相等时间位移差公式	\(\Delta x=aT^2\) \(x_m-x_n=(m-n)aT^2\)	匀变速直线运动，相邻相等时间内位移差恒定	判断匀变速运动、纸带求加速度	时间间隔\(T\)必须相等且统一，区分相邻与不相邻
初速度为0的匀加速比例关系	5组比例（见上表）	初速度为0的匀加速，速度、位移、时间满足固定比例	选择题快速判断、秒杀计算	仅适用于\(v_0=0\)的匀加速，严格区分“第n个”和“n个”

---

例1

答案：末速度大小为8.5 m/s，斜坡长度为45 m

核心考点

匀加速直线运动基本公式的直接应用，考察速度公式\(v=v_0+at\)和位移公式\(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\)的使用。

解题步骤详解

1. 确定已知量与正方向：以运动员初速度方向为正方向，已知初速度\(v_0=0.5\ \text{m/s}\)，加速度\(a=0.8\ \text{m/s}^2\)，运动时间\(t=10\ \text{s}\)。
2. 求末速度：代入匀变速直线运动速度公式
   \[v=v_0+at=0.5\ \text{m/s}+0.8\times10\ \text{m/s}=8.5\ \text{m/s} \]

3. 求斜坡长度（位移）：代入位移公式
   \[x=v_0t+\frac{1}{2}at^2=0.5\times10\ \text{m}+\frac{1}{2}\times0.8\times10^2\ \text{m}=45\ \text{m} \]

易错点提醒与拓展

• 本题加速度与初速度方向一致，直接代入正值计算即可；若为匀减速运动，加速度需代入负值。
• 拓展方法：位移也可通过平均速度公式计算，\(x=\bar{v}t=\frac{v_0+v}{2}t=\frac{0.5+8.5}{2}\times10=45\ \text{m}\)，计算更简便。

---

例2

答案：10 s内小汽车运动的位移大小为121.875 m

核心考点

刹车类匀减速直线运动问题，核心是刹车陷阱：汽车速度减为0后会保持静止，不会反向运动，必须先计算刹车停止时间，再判断有效运动时间。

解题步骤详解

1. 单位换算与已知量确定：以汽车初速度方向为正方向，初速度\(v_0=117\ \text{km/h}=32.5\ \text{m/s}\)，反应时间\(t_1=0.5\ \text{s}\)，刹车加速度\(a=-5\ \text{m/s}^2\)（与初速度方向相反，取负值）。
2. 计算刹车停止时间：汽车刹车到速度为0的时间
   \[t_{\text{停}}=\frac{0-v_0}{a}=\frac{0-32.5}{-5}\ \text{s}=6.5\ \text{s} \]
   汽车总有效运动时间：反应时间+刹车时间\(=0.5\ \text{s}+6.5\ \text{s}=7\ \text{s}\)，即7 s后汽车静止，10 s内的后3 s位移为0。
3. 分段计算位移
   • 反应时间内（匀速直线运动）：\(x_1=v_0t_1=32.5\times0.5\ \text{m}=16.25\ \text{m}\)
   • 刹车时间内（匀减速直线运动）：\(x_2=v_0t_{\text{停}}+\frac{1}{2}at_{\text{停}}^2=32.5\times6.5\ \text{m}-\frac{1}{2}\times5\times6.5^2\ \text{m}=105.625\ \text{m}\)
4. 总位移：\(x=x_1+x_2=16.25+105.625=121.875\ \text{m}\)

易错点提醒

• 绝对不能直接将\(t=10\ \text{s}\)代入位移公式，否则会算出汽车反向运动的错误结果，所有刹车类问题第一步必须计算停止时间。
• 单位换算必须准确，\(1\ \text{km/h}=\frac{1}{3.6}\ \text{m/s}\)，是高频计算易错点。

---

例3

答案：(1) 20 s；(2) 28 s；(3) 180 m

核心考点

匀变速直线运动的追及相遇问题，核心规律：

1. 追上的临界条件：两车位移相等；
2. 追及过程中最大距离的临界条件：两车速度相等。

逐问解题步骤详解

已知条件：货车匀速速度\(v=20\ \text{m/s}\)，警车启动延迟时间\(\Delta t=5\ \text{s}\)，警车加速度\(a=2.5\ \text{m/s}^2\)，警车最大速度\(v_{\text{max}}=30\ \text{m/s}\)。

(1) 警车一直匀加速，求追上时间

设警车发动后经\(t_1\)时间追上货车。

• 追上时，货车的总运动时间为\(t_1+\Delta t\)，位移：\(x_{\text{货}}=v(t_1+\Delta t)\)
• 警车的位移：\(x_{\text{警}}=\frac{1}{2}at_1^2\)
• 追上的临界条件：\(x_{\text{货}}=x_{\text{警}}\)，代入数据得
  \[\frac{1}{2}\times2.5\times t_1^2=20\times(t_1+5) \]
  解方程得正根\(t_1=20\ \text{s}\)（负根不符合物理意义，舍去）。

(2) 警车有最大速度限制，求追上时间

1. 先计算警车匀加速到最大速度的时间：
   \[t_0=\frac{v_{\text{max}}}{a}=\frac{30}{2.5}\ \text{s}=12\ \text{s} \]

2. 判断达到最大速度时是否追上：
   • 12 s内警车的位移：\(x_1=\frac{1}{2}at_0^2=\frac{1}{2}\times2.5\times12^2\ \text{m}=180\ \text{m}\)
   • 此时货车的总位移：\(x_{\text{货1}}=v(t_0+\Delta t)=20\times(12+5)\ \text{m}=340\ \text{m}\)
     \(x_1<x_{\text{货1}}\)，说明警车达到最大速度时仍未追上，后续警车以\(v_{\text{max}}\)匀速运动。
3. 设总追上时间为\(t_2\)，列位移相等方程：
   \[\frac{1}{2}at_0^2 + v_{\text{max}}(t_2-t_0) = v(t_2+\Delta t) \]
   代入数据解得\(t_2=28\ \text{s}\)。

(3) 求两车的最大距离

1. 临界条件分析：警车速度小于货车时，两车距离持续拉大；警车速度超过货车后，距离持续缩小。因此两车速度相等时，距离最大。
2. 计算速度相等的时间：设警车发动后经\(t_3\)时间两车速度相等，\(v=at_3\)，得
   \[t_3=\frac{v}{a}=\frac{20}{2.5}\ \text{s}=8\ \text{s} \]

3. 计算此时两车的位移：
   • 货车总位移：\(x_1=v(t_3+\Delta t)=20\times(8+5)\ \text{m}=260\ \text{m}\)
   • 警车位移：\(x_2=\frac{1}{2}at_3^2=\frac{1}{2}\times2.5\times8^2\ \text{m}=80\ \text{m}\)
4. 最大距离：\(\Delta x=x_1-x_2=260-80=180\ \text{m}\)

易错点提醒

• 追及问题必须注意两车的运动时间差，货车比警车多运动了5s，计算货车位移时必须加上延迟时间，是高频易错点。
• 有最大速度限制的追及问题，必须先判断达到最大速度时是否追上，不能直接套用匀加速公式。

---

三类题型解题通法总结

题型	核心解题步骤	关键注意事项
基本匀变速公式应用	1. 定正方向，列已知量；2. 选对应公式代入计算	注意加速度的正负号，单位统一
刹车类匀减速问题	1. 单位换算；2. 计算刹车停止时间；3. 按有效运动时间分段计算位移	绝对不能直接用题目总时间套公式，避免反向运动的错误
追及相遇问题	1. 分析两车运动过程；2. 追上：列位移相等方程；3. 最大距离：找速度相等的临界条件	注意两车的运动时间差，有最大速度时先判断是否追上

---

例1

答案：C

核心解题思路

本题考察末速度为0的匀减速直线运动的逆向思维法：将末速度为0的匀减速直线运动，反向等效为初速度为0的匀加速直线运动，直接套用初速度为0的匀加速直线运动的比例推论，大幅简化计算。

已知条件：滑块做匀减速直线运动，恰好停在门5正下方；相邻门间距\(x=1\ \text{m}\)，门4到门5的运动时间\(t_4=1\ \text{s}\)，总共有4段相等的位移（门1到门2、门2到门3、门3到门4、门4到门5）。

逐选项详细解析

1. 选项A：错误
   反向等效为初速度为0的匀加速直线运动，通过连续相等位移的时间比为：

   \[t_4:t_3:t_2:t_1=1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):(2-\sqrt{3}) \]

   已知\(t_4=1\ \text{s}\)，则总时间\(t=t_1+t_2+t_3+t_4=(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{2}-1)+1=2\ \text{s}\)，并非4s。

2. 选项B：错误
   反向看第一段位移（门5到门4），初速度为0的匀加速直线运动，位移公式\(x=\frac{1}{2}at^2\)，代入\(x=1\ \text{m}\)、\(t=1\ \text{s}\)，得：

   \[a=\frac{2x}{t^2}=\frac{2\times1}{1^2}=2\ \text{m/s}^2 \]

   加速度大小为\(2\ \text{m/s}^2\)，并非\(3\ \text{m/s}^2\)。

3. 选项C：正确
   滑块经过门1的速度，等效为反向匀加速运动总时间\(2\ \text{s}\)末的瞬时速度，由\(v=at\)得：

   \[v=2\times2=4\ \text{m/s} \]

4. 选项D：错误
   门1到门5的总位移\(x_{\text{总}}=4\times1=4\ \text{m}\)，总时间\(2\ \text{s}\)，平均速度：

   \[\bar{v}=\frac{x_{\text{总}}}{t_{\text{总}}}=\frac{4}{2}=2\ \text{m/s} \]

   并非\(1\ \text{m/s}\)。

---

例2

答案：B

核心解题思路

本题考察匀变速直线运动基本公式的实际应用，核心步骤是单位换算，再结合速度公式、速度-位移公式分析运动过程，注意规避“全程匀速”的思维陷阱。

已知条件：列车最大速度\(v_{\text{max}}=1080\ \text{km/h}\)，加速、减速的加速度大小\(a=2\ \text{m/s}^2\)。
第一步单位换算：\(1080\ \text{km/h}=1080\times\frac{1}{3.6}\ \text{m/s}=300\ \text{m/s}\)。

逐选项详细解析

1. 选项A：错误
   列车从静止加速到最大速度，由\(v=v_0+at\)，\(v_0=0\)，得加速时间：

   \[t=\frac{v_{\text{max}}}{a}=\frac{300}{2}=150\ \text{s} \]

   并非540s。

2. 选项B：正确
   加速过程位移，由速度-位移公式\(v^2-v_0^2=2ax\)，得：

   \[x=\frac{v_{\text{max}}^2}{2a}=\frac{300^2}{2\times2}=22500\ \text{m}=22.5\ \text{km} \]

3. 选项C：错误
   减速过程与加速过程对称：初速度\(300\ \text{m/s}\)，末速度0，加速度大小相同，因此减速位移与加速位移相等，也为\(22.5\ \text{km}\)，并非\(25.5\ \text{km}\)。

4. 选项D：错误
   即使列车最大速度为\(1080\ \text{km/h}\)，也无法1小时到达：
   列车加速、减速的总位移为\(22.5\times2=45\ \text{km}\)，总时间为\(150\times2=300\ \text{s}=\frac{1}{12}\ \text{h}\)；
   剩余\(1080-45=1035\ \text{km}\)即使全程匀速，也需要\(\frac{1035}{1080}\ \text{h}\)，总时间必然大于1小时。

---

两道题核心考点总结

例题	核心考点	解题关键技巧	高频易错点
例1	末速度为0的匀减速直线运动、初速度为0的匀加速比例推论	逆向思维法，将匀减速反向等效为初速度为0的匀加速	时间比例的对应关系、总时间的计算
例2	匀变速直线运动基本公式、实际运动过程分析	先完成单位换算，再结合公式计算	单位换算错误、忽略加速减速过程，误判全程匀速的时间