3.2+3.3探究加速度与力、质量的关系实验+牛顿第二定律

同学们好，我是有着多年高中物理教学经验的老师，今天咱们要拆解的“探究加速度与力、质量的关系”实验与牛顿第二定律，是整个高中物理的核心骨架——它是连接运动学与力学的唯一桥梁，也是后续所有动力学问题的基础。咱们从实验逻辑到理论本质，一步一步把知识点讲透，把考试的“坑”提前扫清。

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第一部分：探究加速度与力、质量的关系实验

咱们先从生活现象切入：空载的汽车起步比满载快，油门踩得越深、动力越大，汽车加速越快。这说明：物体的加速度，与它的质量、受到的合外力直接相关。要研究三个物理量的定量关系，咱们必须用到物理实验的核心方法——控制变量法。

一、实验核心思想：控制变量法

三个变量无法同时研究，必须固定一个量，研究另外两个量的关系：

1. 固定小车的质量不变，改变拉力，探究加速度a与合外力F的关系；
2. 固定拉力不变，改变小车的质量，探究加速度a与质量m的关系；
   最终综合两组结论，得到三者的普遍规律。

二、实验原理与物理量的测量

实验的研究对象是导轨上的小车，我们需要精准测量三个物理量，每个量的测量都有核心考点和易错点：

1. 质量m的测量
   方法：用天平直接测量小车的质量，通过在小车上增减砝码改变总质量。
   注意：这里的质量是小车+车上砝码的总质量，后续计算切勿遗漏。

2. 拉力F的获取与近似条件（核心难点）
   我们通过细绳跨过定滑轮悬挂重物，用重物的重力代替小车受到的拉力，但这个近似有严格的前提：重物的质量m必须远小于小车的总质量M。
   原理推导（必须理解，不能死记硬背）：

   • 对小车：水平方向仅受拉力F，有 \(F=Ma\)
   • 对重物：竖直方向受重力mg和拉力F，向下加速，有 \(mg-F=ma\)
     联立两式解得：\(F=\frac{Mmg}{M+m}=\frac{mg}{1+\frac{m}{M}}\)
     只有当 \(m\ll M\) 时，\(\frac{m}{M}\approx0\)，才能近似认为 \(F\approx mg\)。若重物质量接近小车质量，这个近似会完全失效，实验误差极大。

3. 加速度a的测量
   教材给出两种方法，均需掌握，其中打点计时器法是考试绝对重点：

   • DIS位移传感器法：数字化采集小车位移，电脑生成v-t图像，图像的斜率就是加速度，可直接读取。
   • 打点计时器法：纸带穿过打点计时器连在小车尾部，小车运动时打点计时器在纸带上留下点迹，通过逐差法，利用匀变速直线运动的推论 \(\Delta x=aT^2\) 计算加速度，逐差法的核心作用是减小偶然误差。

三、实验关键操作：平衡摩擦力（必考核心）

1. 平衡的目的：小车运动时会受到导轨的摩擦力、纸带与打点计时器的阻力，导致绳子的拉力不等于小车的合外力。平衡摩擦力就是抵消所有阻力，让绳子的拉力等于小车的合外力。
2. 平衡的方法：将导轨不带定滑轮的一端适当垫高，让小车重力沿导轨向下的分力，刚好抵消所有阻力，即 \(mg\sin\theta=\mu mg\cos\theta\)。
3. 平衡的判定：不挂重物，给小车一个初速度，若小车拖着纸带做匀速直线运动（打点计时器打出的点迹间距均匀），说明摩擦力已完全平衡。
4. 关于平衡的3个必记结论：
   • 平衡时必须拖着纸带，要把纸带的阻力一起平衡掉；
   • 一次平衡完成后，无论改变小车质量还是重物质量，都无需重新平衡（平衡公式中质量m可约去，与质量无关）；
   • 平衡过度（垫得太高）或平衡不足（垫得不够），都会导致实验图像偏离理想情况，是误差分析的核心考点。

四、实验步骤与数据处理

（一）探究a与F的关系（控制小车质量不变）

1. 组装器材，平衡摩擦力；
2. 固定小车总质量M，更换不同质量的重物，改变拉力F，测量多组F与对应的加速度a；
3. 数据处理：以F为横坐标、a为纵坐标，绘制a-F图像。
   • 理想情况：过原点的倾斜直线，说明质量一定时，a与F成正比；
   • 误差分析：
     ① 图像与F轴相交（F不为零时a仍为零）：平衡摩擦力不足，拉力需先克服阻力才能产生加速度；
     ② 图像与a轴相交（F为零时a不为零）：平衡摩擦力过度，重力分力大于阻力，无拉力也有加速度；
     ③ 图像末端向下弯曲：重物质量过大，不再满足“远小于小车质量”的条件，实际拉力小于重物重力，加速度比理想值小。

（二）探究a与m的关系（控制拉力不变）

1. 固定重物质量（即拉力F不变），在小车上增减砝码，改变小车总质量M，测量多组M与对应的加速度a；
2. 数据处理：不绘制a-M图像，而是绘制a-1/M图像。
   原因：a与M成反比，a-M图像是曲线，无法直接判断比例关系；而a与1/M成正比，a-1/M图像是过原点的直线，可直观判断线性关系，这是物理中“曲线化直”的核心处理思想。
   • 误差分析：图像不过原点的原因与a-F图像一致；图像末端向下弯曲，是因为小车质量过小，不再满足“远大于重物质量”的条件。

五、实验最终结论

1. 当物体的质量一定时，物体的加速度与所受的合外力成正比；
2. 当物体所受的合外力一定时，物体的加速度与物体的质量成反比。

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第二部分：牛顿第二定律

通过大量重复实验，我们将实验结论上升为普适的动力学规律，也就是牛顿第二定律，它是经典力学的核心定律。

一、定律内容与表达式

1. 定律内容

物体加速度的大小跟它所受的合外力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向始终跟合外力的方向相同。

2. 表达式推导

从实验结论可得 \(a\propto\frac{F}{m}\)，即 \(F\propto ma\)，引入比例系数k，得 \(F=kma\)。
在国际单位制中，我们规定：使质量为1kg的物体产生1m/s²加速度的力，为1牛顿（N），即 \(1\ \text{N}=1\ \text{kg·m/s}^2\)。此时比例系数k=1，牛顿第二定律的表达式简化为：

\[\boldsymbol{F_{合}=ma} \]

⚠️ 核心提醒：公式中的F是物体受到的合外力，不是某个单独的分力！

二、牛顿第二定律的四大核心性质（理解的关键，高频考点）

这四个性质是牛顿第二定律的灵魂，也是所有题型的命题核心，每个性质都配实例帮大家吃透：

1. 因果性
   力是产生加速度的唯一原因，加速度是力的作用效果。合外力不为零，才有加速度；合外力为零，加速度立即为零，物体保持静止或匀速直线运动状态（与牛顿第一定律衔接）。
   ❌ 高频误区：力与速度无直接关系！力决定的是速度的变化率（加速度），不是速度本身。比如竖直上抛到最高点的物体，速度为0，但合外力为重力，加速度为g；高速匀速行驶的高铁，速度极大，但合外力为0，加速度也为0。

2. 矢量性
   牛顿第二定律是矢量式，加速度的方向始终与合外力的方向完全一致。
   核心应用：

   • 已知合外力方向，可直接确定加速度方向；已知加速度方向，可反推合外力方向；
   • 正交分解法：将合外力分解到互相垂直的x、y轴上，分别列方程：
     \[\sum F_x=ma_x \quad \sum F_y=ma_y \]
     这是解决所有牛顿第二定律计算题的核心方法。

3. 瞬时性
   加速度与合外力是瞬时对应的关系：合外力与加速度同时产生、同时变化、同时消失，没有时间差。
   经典考点：绳子与弹簧的区别

   • 绳子的拉力可突变：剪断绳子的瞬间，拉力立即消失，加速度同步变化；
   • 弹簧的弹力不可突变：弹簧的形变需要时间，瞬间内形变未改变，弹力不变，加速度也不变。

4. 独立性（力的独立作用原理）
   物体受到多个力时，每个力都会独立产生一个对应的加速度，不受其他力的影响；物体的合加速度，等于所有力单独产生的加速度的矢量和。
   实例：平抛运动的物体，水平方向不受力，加速度为0，做匀速直线运动；竖直方向只受重力，加速度为g，做自由落体运动，两个方向的运动互不干扰，完美体现了力的独立作用原理。

三、质量是惯性大小的唯一量度

牛顿第一定律指出，惯性是物体保持匀速直线运动或静止状态的性质，也就是物体抵抗运动状态改变的性质。
根据牛顿第二定律：合外力一定时，质量越大，加速度越小，运动状态越难改变，惯性越大；质量越小，加速度越大，运动状态越容易改变，惯性越小。
因此，质量是物体惯性大小的唯一量度。
❌ 高频误区：惯性与速度、受力、运动状态无关，仅由质量决定。高速行驶的汽车难停下，是因为它的动能大，不是惯性大；同一辆汽车，静止和高速行驶时，惯性完全相同。

四、牛顿第二定律的适用范围

牛顿第二定律不是万能的，仅适用于：

1. 惯性参考系（相对地面静止或匀速直线运动的参考系）；
2. 宏观物体（不适用于电子、质子等微观粒子，微观领域需用量子力学）；
3. 低速运动（速度远小于光速，接近光速时需用相对论）。
   高中阶段研究的问题均满足以上条件，因此牛顿第二定律普遍适用。

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知识点归纳总结表

表1 探究加速度与力、质量的关系实验 核心总结

项目	核心内容	易错提醒/注意事项
实验目的	1. 探究质量不变时，加速度a与合外力F的关系 2. 探究合外力不变时，加速度a与质量m的关系	研究对象为小车，合外力为平衡摩擦力后的绳子拉力
核心方法	控制变量法	1. 探究a-F：固定小车质量不变 2. 探究a-m：固定拉力不变
物理量测量	1. 质量：天平测量，增减砝码改变总质量 2. 拉力：重物重力mg近似代替 3. 加速度：DIS系统（v-t图像斜率）或打点计时器（逐差法）	拉力近似的前提：重物质量远小于小车质量
关键操作：平衡摩擦力	1. 目的：抵消阻力，使拉力等于合外力 2. 方法：垫高导轨无滑轮端，重力分力平衡阻力 3. 判定：不挂重物，小车拖着纸带匀速直线运动	1. 平衡时必须带纸带，平衡纸带阻力 2. 一次平衡后无需重复平衡 3. 禁止平衡过度/不足
数据处理	1. a-F关系：绘制a-F图像，理想为过原点的倾斜直线 2. a-m关系：绘制a-1/m图像（曲线化直），理想为过原点的倾斜直线	不可直接绘制a-m图像，曲线无法判断比例关系
误差分析	1. 图像与F轴相交：平衡摩擦力不足 2. 图像与a轴相交：平衡摩擦力过度 3. 图像末端向下弯曲：重物质量未远小于小车质量	图像弯曲方向为向下，切勿记反
实验结论	1. 质量一定，加速度与合外力成正比 2. 合外力一定，加速度与质量成反比	结论中的力为合外力，非单个拉力

表2 牛顿第二定律 核心总结

项目	核心内容	易错提醒/注意事项
定律内容	加速度大小与合外力成正比，与质量成反比，加速度方向与合外力方向相同	公式中F为合外力，非单个分力
表达式	国际单位制下：\(\boldsymbol{F_{合}=ma}\)	\(1\ \text{N}=1\ \text{kg·m/s}^2\)，仅国际单位制下k=1
四大核心性质	1. 因果性：力是加速度的唯一原因，合外力为零→加速度为零 2. 矢量性：加速度与合外力方向始终一致，可正交分解列方程 3. 瞬时性：加速度与合外力瞬时对应，同步产生/变化/消失 4. 独立性：各力独立产生加速度，合加速度为矢量和	1. 力与速度无直接关系，仅决定速度变化率 2. 绳子拉力可突变，弹簧弹力不可突变 3. 正交分解注意加速度与合外力的方向一致性
惯性的量度	质量是惯性大小的唯一量度，质量越大，惯性越大	惯性与速度、受力、运动状态无关，仅由质量决定
适用范围	宏观、低速、惯性参考系	不适用于微观粒子、近光速运动、非惯性系
高频误区	1. 力越大，速度越大 2. 速度越大，惯性越大 3. 用单个分力代入公式计算 4. 忽略加速度与合外力的矢量性	所有误区均源于对定律核心性质的理解不到位

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这两道题是「探究加速度与力、质量的关系」实验的核心经典题型，覆盖了实验操作误差分析、逐差法计算加速度、a-F图像解读三大高考高频考点。下面为你拆解官方解析的底层逻辑，把考点、易错点彻底讲透。

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例1 解析深度拆解

（1）实验操作正误判断

结论：措施A存在重大错误，措施B正确

错误点核心拆解

平衡摩擦力的本质目的：让小车重力沿木板向下的分力，完全抵消小车运动的所有阻力（木板摩擦力、纸带与打点计时器的阻力），最终实现「绳子对小车的拉力 = 小车的合外力」。

• 错误操作的问题：若用砝码盘拉动小车平衡摩擦力，小车匀速的条件是「重力分力 = 摩擦力 + 砝码盘的拉力」，相当于把砝码盘的拉力也“平衡”掉了。后续实验中，砝码和砝码盘的总重力就不再等于小车的合外力，会引入不可逆的系统误差。
• 正确操作：不挂砝码盘和砝码，仅让小车拖着纸带，垫高木板无滑轮端，直到小车能匀速下滑（纸带上点迹间距均匀），此时才真正平衡了所有阻力。

拉力近似条件的推导逻辑（措施B的原理）

很多同学死记“m远小于M”，却不懂推导逻辑，这里拆解每一步的物理意义：

1. 前提：绳子不可伸长，因此小车与砝码（含砝码盘）的加速度大小a完全相同；
2. 对小车（总质量M）：水平方向仅受绳子拉力F，由牛顿第二定律得：\(\boldsymbol{F=Ma}\) ①
3. 对砝码和砝码盘（总质量m）：竖直方向受重力mg、拉力F，向下加速，合力向下，得：\(\boldsymbol{mg-F=ma}\) ②
4. 联立①②消去a，解得绳子的真实拉力：
   \[\boldsymbol{F=\frac{M}{M+m}\cdot mg=\frac{mg}{1+\frac{m}{M}}} \]

5. 近似条件：当\(\boldsymbol{m\ll M}\)时，\(\frac{m}{M}\approx0\)，此时\(F\approx mg\)，即砝码和砝码盘的总重力近似等于小车受到的拉力，因此措施B正确。

（2）逐差法计算加速度

答案：\(4.0\ \text{m/s}^2\)

核心原理与计算逻辑

1. 逐差法的意义：利用匀变速直线运动推论\(\Delta x=aT^2\)，纳入全部实验数据，减小偶然误差。若只用相邻两段位移计算，仅用到一半数据，误差会显著增大。
2. 关键参数确定（高频易错点）
   打点计时器的打点周期\(T_0=0.02\ \text{s}\)，相邻计数点间有1个未标出的点，因此计数点的时间间隔\(\boldsymbol{T=2\times0.02=0.04\ \text{s}}\)（很多同学直接用0.02s计算，导致结果错误）。
3. 公式代入计算
   6段位移（单位转换为m）：\(x_1=0.0774\ \text{m}\)、\(x_2=0.0841\ \text{m}\)、\(x_3=0.0905\ \text{m}\)、\(x_4=0.0968\ \text{m}\)、\(x_5=0.1033\ \text{m}\)、\(x_6=0.1095\ \text{m}\)
   逐差法公式：
   \[a=\frac{(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)}{9T^2} \]
   代入数据：
   分子：\((0.0968+0.1033+0.1095)-(0.0774+0.0841+0.0905)=0.0576\ \text{m}\)
   分母：\(9\times(0.04)^2=0.0144\ \text{s}^2\)
   计算得：\(a=\frac{0.0576}{0.0144}=4.0\ \text{m/s}^2\)（保留两位有效数字）。

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例2 解析深度拆解

这道题是实验图像分析的核心题型，本质是将牛顿第二定律转化为一次函数，对应图像的斜率和截距，是高考的高频命题方向。

（1）图线判断

答案：甲

图像截距的物理意义拆解

a-F图像的纵轴截距，是拉力F=0时滑块的加速度，可直接判断平衡摩擦力的情况：

1. 图线甲：\(F=0\)时，\(a=2\ \text{m/s}^2>0\)，说明无拉力时滑块仍有加速度。原因是轨道左侧抬高，滑块重力沿斜面向下的分力大于摩擦力，即平衡摩擦力过度，符合题目“轨道左侧抬高成斜面”的条件。
2. 图线乙：\(F=0\)时，\(a=-2\ \text{m/s}^2<0\)，说明无拉力时滑块加速度为负，原因是轨道水平，滑块受摩擦力，需要拉力先克服摩擦力才能产生加速度，即未平衡摩擦力（或平衡不足）。

（2）质量与动摩擦因数计算

答案：\(m=0.5\ \text{kg}\)，\(\mu=0.2\)

核心逻辑：牛顿第二定律→一次函数→图像斜率、截距对应

1. 对水平轨道的滑块（图线乙），水平方向受拉力F、滑动摩擦力\(f=\mu mg\)，由牛顿第二定律得：
   \[F-\mu mg=ma \]

2. 整理为一次函数形式（\(y=kx+b\)），将a作为因变量，F作为自变量：
   \[\boldsymbol{a=\frac{1}{m}\cdot F - \mu g} \]
   对应关系：
   • 因变量\(y=a\)，自变量\(x=F\)；
   • 斜率\(\boldsymbol{k=\frac{1}{m}}\)；
   • 纵轴截距\(\boldsymbol{b=-\mu g}\)。
3. 计算总质量m
   图线乙经过\((0,-2)\)、\((1,0)\)两个点，因此斜率：
   \[k=\frac{\Delta a}{\Delta F}=\frac{0-(-2)}{1-0}=2\ \text{m/(s}^2\cdot\text{N)} \]
   由\(k=\frac{1}{m}\)，得\(\boldsymbol{m=\frac{1}{k}=0.5\ \text{kg}}\)。
4. 计算动摩擦因数μ
   图线乙的纵轴截距\(b=-2\ \text{m/s}^2\)，由\(b=-\mu g\)，代入\(g=10\ \text{N/kg}\)，得：
   \[-2=-\mu\times10 \implies \boldsymbol{\mu=0.2} \]

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核心考点与易错点总结表

考点类型	核心考点	高频易错点
实验操作	平衡摩擦力的正确方法	平衡摩擦力时挂砝码盘；忘记拖着纸带平衡阻力
拉力近似	砝码质量远小于小车质量的原理	死记结论，不懂推导，忽略近似条件的适用范围
加速度计算	逐差法的应用	计数点时间间隔T计算错误；仅用相邻位移计算，浪费数据、增大误差
图像分析	a-F图像斜率、截距的物理意义	不会将牛顿第二定律转化为一次函数；混淆平衡摩擦力过度/不足对应的图像特征

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例1 答案：B

详细解析

本题核心考点：牛顿第二定律的矢量性、硬杆弹力的特点（杆的弹力方向不一定沿杆）

1. 受力分析：小球与小车相对静止，加速度与小车完全相同（水平向右）。小球始终受两个力：
   • 重力\(mg\)：竖直向下，大小、方向始终不变；
   • 杆的作用力\(F\)：待分析的变力。
2. 正交分解与牛顿第二定律应用：
   将杆的作用力\(F\)分解为竖直分量\(F_y\)和水平分量\(F_x\)：
   • 竖直方向：小球无竖直加速度，合力为0，因此\(\boldsymbol{F_y=mg}\)，恒定不变；
   • 水平方向：合力提供加速度，因此\(\boldsymbol{F_x=ma}\)，小车加速度\(a\)逐渐增大，\(F_x\)同步线性增大。
3. 力的合成与选项判断：
   杆的作用力\(F\)是\(F_y\)和\(F_x\)的合力，由于\(F_y\)恒定、\(F_x\)水平向右逐渐增大，因此\(F\)的末端始终在同一水平线上（竖直高度不变，水平位置右移）。
   • 选项A：力沿杆方向，错误。杆的弹力方向不一定沿杆，只有加速度为0时，杆的弹力才竖直向上平衡重力，加速度变化时弹力方向必然偏离杆；
   • 选项B：力的竖直分量不变，水平分量逐渐增大，符合推导结论，正确；
   • 选项C：力的末端为曲线，竖直分量发生变化，错误；
   • 选项D：力的竖直分量逐渐增大，违背竖直方向合力为0的结论，错误。

易错提醒

很多同学会混淆“杆的弹力”和“绳的弹力”：绳的弹力一定沿绳收缩方向，而硬杆的弹力可以是任意方向，需结合物体的运动状态（加速度）判断，这是本题的核心易错点。

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例2 答案：D

详细解析

本题核心考点：牛顿第二定律的正交分解、滑动摩擦力的计算

1. 受力分析与正交分解：
   设推力\(F\)与水平方向的夹角为\(\theta\)，对木箱受力分析：
   • 竖直方向：受重力\(mg\)、地面支持力\(N\)、推力的竖直分量\(F\sin\theta\)（向下），竖直方向无加速度，合力为0，因此：
     \[N = mg + F\sin\theta \]
     滑动摩擦力\(f = \mu N = \boldsymbol{\mu(mg + F\sin\theta)}\)
   • 水平方向：受推力的水平分量\(F\cos\theta\)、滑动摩擦力\(f\)，合力提供加速度，由牛顿第二定律得：
     \[F\cos\theta - f = ma \]

2. 加速度表达式推导：
   将\(f\)代入水平方向方程，整理得原加速度\(a\)的表达式：
   \[a = \frac{F(\cos\theta - \mu\sin\theta) - \mu mg}{m} \]
   当推力增大为\(4F\)时，新的加速度\(a'\)为：
   \[a' = \frac{4F(\cos\theta - \mu\sin\theta) - \mu mg}{m} \]

3. 加速度大小对比：
   将\(a'\)变形，与原加速度\(a\)关联：
   \[a' = 4\cdot\frac{F(\cos\theta - \mu\sin\theta) - \mu mg}{m} + \frac{3\mu mg}{m} = \boldsymbol{4a + 3\mu g} \]
   由于动摩擦因数\(\mu>0\)、重力加速度\(g>0\)，因此\(3\mu g>0\)，可得\(\boldsymbol{a'>4a}\)。
4. 选项判断：
   选项中只有D选项\(5a>4a\)，符合推导结论，因此选D。

易错提醒

本题的核心陷阱是：推力斜向下，会增大木箱对地面的压力，从而增大滑动摩擦力，因此加速度不会随推力成正比增大，而是会比4倍的原加速度更大。很多同学会忽略压力的变化，误选C选项，这是高频错误点。