2.6共点力作用下物体的平衡

同学们好，我是深耕高中物理教学多年的老师，今天咱们就把「共点力作用下物体的平衡」这个高中力学的核心基石知识点，从底层逻辑到解题应用，给大家彻彻底底讲透。这个知识点是后续牛顿运动定律、曲线运动、电磁学受力分析的基础，必须做到概念零模糊、解题有章法。

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一、先吃透核心前提：什么是平衡状态？

课本给出明确定义：一个物体在力的作用下，保持静止状态或者匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
这里必须抠透两个极易出错的关键点，也是我教学生涯中90%的同学都踩过的坑：

1. “保持静止”≠“瞬时速度为0”
   平衡状态的静止，是速度为0、同时加速度也为0、合外力为0，能持续保持不动的状态。
   反例：竖直上抛的小球飞到最高点的瞬间，速度为0，但只受重力、合外力向下、加速度为g，接下来会立刻下落，无法保持静止，因此绝对不是平衡状态。
2. “匀速直线运动”是速度矢量完全不变
   这里的匀速，要求速度的大小、方向都不能改变。
   反例：匀速转弯的汽车、做匀速圆周运动的物体，哪怕速度大小不变，方向一直在变，存在向心加速度，合外力不为0，不属于平衡状态。

平衡状态的本质

根据牛顿第二定律\(F_合=ma\)，物体处于平衡状态时，加速度\(a=0\)，因此必然满足合外力\(F_合=0\)；反过来，只要物体合外力为0，加速度就为0，一定处于平衡状态。二者是充要条件，是整个平衡知识点的底层逻辑，所有规律都由此推导而来。

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二、共点力的平衡条件：从基础到通用，层层拆解

首先明确：共点力，指几个力作用在物体的同一点，或力的作用线延长后能交于同一点的力，也是我们本节的研究对象。

1. 最基础的模型：二力平衡

课本中悬挂的球形吊灯，就是最典型的二力平衡：静止的吊灯只受竖直向上的拉力\(F\)、竖直向下的重力\(G\)。
二力平衡的4个充要条件，缺一不可：

• 两个力作用在同一个物体上（同体）；
• 两个力大小相等；
• 两个力方向相反；
• 两个力作用在同一条直线上（共线）。

高频易错区分：二力平衡 vs 相互作用力

很多同学到高三仍会混淆，一句话记死：平衡看同体，相互作用看异体。

• 绳子对吊灯的拉力、吊灯的重力：都作用在吊灯上，是二力平衡；
• 吊灯对绳子的拉力、绳子对吊灯的拉力：分别作用在绳子和吊灯两个物体上，是相互作用力，永远无法平衡。

2. 进阶模型：三力平衡

课本中两根轻绳悬挂的铁环，受两个拉力\(F_1\)、\(F_2\)和重力\(G\)，是典型的三力平衡。
三力平衡的核心逻辑：将陌生的三力平衡，转化为熟悉的二力平衡。
根据平行四边形定则，将\(F_1\)和\(F_2\)合成为合力\(F_{12}\)，此时铁环等效于只受\(F_{12}\)和\(G\)两个力，要平衡就必须满足：\(F_{12}\)与\(G\)等大、反向、共线。

因此三力平衡的核心条件：任意两个力的合力，与第三个力等大、反向、共线。

解题超实用推论

三力平衡时，将三个力的矢量首尾顺次相接，一定能构成一个封闭的矢量三角形。这个方法在解决动态平衡问题（如绳子拉力随角度变化）时，比正交分解更高效，必须掌握。

3. 通用模型：三个及以上多力平衡

当物体受3个以上共点力时，逐次合成的方法过于繁琐，此时最通用、最稳妥的方法是正交分解法。
平衡的本质是合外力\(F_合=0\)，因此我们建立平面直角坐标系，将所有力分解到\(x\)、\(y\)两个正交的坐标轴上，总合力在两个坐标轴上的分合力也必须为0（若某一方向合力不为0，物体就会在该方向产生加速度，不再平衡）。

由此得到多力平衡的正交分解核心公式：

• \(\sum F_x=0\)：沿\(x\)轴方向的所有力的合力为0；
• \(\sum F_y=0\)：沿\(y\)轴方向的所有力的合力为0。

坐标轴选取的核心技巧

课本提到“坐标轴选取原则是尽量少分解力”，具体操作遵循两个原则：

1. 让尽可能多的力直接落在坐标轴上，落在轴上的力无需分解，可大幅减少计算量；
2. 优先贴合运动趋势选轴，例如斜面上的物体，优先选「沿斜面为\(x\)轴、垂直斜面为\(y\)轴」，此时支持力、摩擦力都在轴上，仅需分解重力一个力，远比重建水平竖直坐标系简便。

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三、三个以上共点力平衡的标准解题步骤

做物理题最忌讳无章法的乱分析，我给大家总结了四步标准流程，严格遵循就能避免漏力、错力，保证解题正确率：

第一步：确定研究对象

拿到题目，首先明确分析目标：研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的整体。
选对象的核心技巧：求外部对系统的力，优先选整体；求系统内部物体间的力，必须选单个物体。

第二步：受力分析，画受力示意图

这一步是整个力学的灵魂，一步错步步错。我教给大家一个永远不会漏力、多力的分析顺序：一重、二弹、三摩擦、四其他。

1. 一重：先画重力，除题目明确忽略重力外，所有物体都受重力，方向竖直向下；
2. 二弹：再看研究对象与哪些物体接触，有接触、有挤压形变就有弹力（支持力、拉力、压力等），弹力方向垂直接触面、指向研究对象；
3. 三摩擦：有弹力的接触面，再判断是否有相对运动/相对运动趋势，有则画摩擦力，滑动摩擦力与相对运动方向相反，静摩擦力与相对运动趋势相反；
4. 四其他：最后画题目给出的推力、电场力、磁场力等其他力。

两条绝对不能碰的红线

1. 不画效果力：每画一个力，必须找到对应的施力物体，找不到施力物体的力绝对不能画。例如“下滑力”“冲力”“向心力”都是效果力，是某个力的分力/合力，不是真实存在的性质力，画了就会重复受力；
2. 不漏力：严格按顺序分析，逐个排查接触的物体，避免遗漏。

第三步：建立平面直角坐标系，分解所有力

按照上述坐标轴选取原则建立坐标系，将所有未落在坐标轴上的力，全部分解到\(x\)、\(y\)轴上，用三角函数准确标注分力大小，避免\(\sin\theta\)和\(\cos\theta\)搞反。
小技巧：看力与坐标轴的夹角，邻边用\(\cos\theta\)，对边用\(\sin\theta\)，画一个小直角三角形就能一眼分清，绝对不会错。

第四步：列平衡方程，求解计算

根据\(\sum F_x=0\)、\(\sum F_y=0\)列方程：沿坐标轴正方向的力取正号，负方向的力取负号，所有分力的代数和为0。
若存在未知力，可先假设其方向，解出结果为正，说明实际方向与假设一致；结果为负，说明实际方向与假设相反，不影响计算结果。

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四、平衡问题的核心技巧：整体法与隔离法

解决连接体（多个物体叠放、拴接）平衡问题时，最核心的方法就是整体法与隔离法，记住一句核心口诀：外力看整体，内力看隔离。

1. 整体法

把多个相互作用的物体看成一个整体作为研究对象，此时整体内部物体间的相互作用力（内力）无需分析，只需要分析整体外的物体对整体施加的力（外力）。

• 适用场景：求系统受到的外力（如地面的支持力、摩擦力）；系统内所有物体都处于平衡状态（或加速度相同），可大幅简化受力分析，避开复杂的内力。

2. 隔离法

把要研究的单个物体从系统中单独隔离出来作为研究对象，此时原系统内其他物体对它的作用力（原内力），就变成了该物体的外力，可直接分析计算。

• 适用场景：求系统内部物体间的相互作用力（如叠放木块间的摩擦力、压力）；隔离时优先选择受力少、受力简单的物体，降低计算难度。

3. 整体与隔离的组合使用

考试中的高频难题，大多需要「先整体、后隔离」的组合：先通过整体法求出系统受到的外力，再通过隔离法求出内部物体间的相互作用力，这是连接体平衡问题的最优解题思路。

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五、知识点完整归纳总结表

分类模块	核心内容	关键细节与注意事项
平衡状态定义	物体保持静止或匀速直线运动状态，本质是加速度\(a=0\)	1. 瞬时速度为0（如竖直上抛最高点）不是平衡状态； 2. 匀速圆周运动、匀速转弯不是平衡状态，速度方向改变、存在加速度
平衡核心条件	共点力作用下，物体的合外力为零，即\(F_合=0\)	\(F_合=0\) ↔ \(a=0\) ↔ 平衡状态，三者互为充要条件
二力平衡	同体、等大、反向、共线，四者缺一不可	与相互作用力的核心区别：二力平衡作用在同一物体，相互作用力作用在两个不同物体
三力平衡	任意两个力的合力，与第三个力等大、反向、共线	实用推论：三个力的矢量首尾相接，可构成封闭的矢量三角形，适用于动态平衡问题
多力（≥3个）平衡	正交分解平衡条件： \(\sum F_x=0\)（x方向合力为0） \(\sum F_y=0\)（y方向合力为0）	坐标轴选取原则：让尽可能多的力落在坐标轴上，减少力的分解，优先贴合运动趋势选轴
标准解题步骤	1. 确定研究对象； 2. 受力分析，画受力示意图； 3. 建立坐标系，分解力； 4. 列平衡方程求解	1. 受力分析严格遵循“一重二弹三摩擦四其他”； 2. 只画性质力，不画效果力，每个力必须有施力物体； 3. 未知力可先假设方向，结果正负对应实际方向与假设是否一致
整体法	以多个物体组成的整体为研究对象，只分析外力，不分析内力	适用场景：求系统受到的外力；系统内所有物体均处于平衡状态（或加速度相同）
隔离法	以单个物体为研究对象，分析其受到的所有力（含原系统内力）	适用场景：求系统内部物体间的相互作用力；优先隔离受力少、受力简单的物体
方法组合	先整体求外力，后隔离求内力	核心口诀：外力看整体，内力看隔离
高频易错点	1. 误将瞬时静止当作平衡状态； 2. 受力分析画效果力，导致重复受力； 3. 混淆二力平衡与相互作用力； 4. 正交分解时三角函数搞反； 5. 用整体法时错误分析内力	所有错误的核心根源：概念模糊、受力分析无章法，严格遵循解题步骤可规避90%的错误

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三道共点力平衡例题 详细解析

我会按照「答案速览→考点定位→逐题拆解→易错提醒」的结构，给你讲透每道题的解题逻辑和底层方法，完全贴合之前讲的平衡知识点。

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例1 答案：AB

考点定位

光滑挂钩的动态平衡问题，核心是等大拉力的对称平衡+几何关系约束，是高中物理高频经典模型。

核心模型拆解

衣架钩是光滑的，因此挂钩两侧的绳子拉力大小始终相等，设为\(F\)；绳子总长为\(L\)，两杆\(M、N\)的水平间距为\(d\)，挂钩两侧绳子与水平方向的夹角相等，设为\(\theta\)。

1. 平衡方程：竖直方向合力为0，两个拉力的竖直分力之和等于衣服重力\(G\)
   \[2F\sin\theta = G \implies F=\frac{G}{2\sin\theta} \]

2. 几何约束：绳子总长不变，水平间距由两杆位置决定
   \[d = L\cos\theta \implies \cos\theta=\frac{d}{L} \]
   核心结论：\(\theta\)仅由绳长\(L\)和两杆水平间距\(d\)决定，与绳子两端高度差、悬挂物重力无关。

选项逐一分析

• A. 绳子的右端上移到\(b'\)处，绳子的拉力不变
  右端上移时，绳长\(L\)、两杆水平间距\(d\)均不变，因此\(\theta\)不变；\(G\)不变，代入\(F=\frac{G}{2\sin\theta}\)，拉力\(F\)不变。A正确。

• B. 将杆\(N\)向右移一些，绳子的拉力变大
  杆\(N\)右移，\(d\)变大，\(L\)不变，因此\(\cos\theta\)变大，\(\theta\)变小，\(\sin\theta\)变小；代入\(F=\frac{G}{2\sin\theta}\)，分母变小，拉力\(F\)变大。B正确。

• C. 绳的两端高度差越小，绳子的拉力越小
  由几何约束可知，\(\theta\)与两端高度差无关，只要\(L、d\)不变，\(\theta\)就不变，拉力也不变。高度差变化不会改变绳子的夹角，这是本题最高频易错点。C错误。

• D. 若换挂质量更大的衣服，则衣架的悬挂点右移
  悬挂点位置由\(\theta\)决定，\(\theta\)与悬挂物重力无关，因此悬挂点位置不变，仅绳子拉力随重力增大而增大。D错误。

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例2 答案：AD

考点定位

动态平衡问题的矢量三角形法（动态圆法），核心是抓住「恒力+定夹角」的不变量，是动态平衡的难点题型。

核心模型拆解

重物缓慢拉起，始终处于平衡状态，结点\(M\)受三个力：

• \(OM\)绳的拉力\(F_2\)（沿\(OM\)向上）
• \(MN\)绳的拉力\(F_1\)（沿\(MN\)向外）
• 重物的拉力（大小等于重力\(G\)，方向始终竖直向下，是大小、方向都不变的恒力）

题目关键条件：保持\(OM\)与\(MN\)的夹角\(\alpha\)不变，因此\(F_2\)与\(F_1\)的夹角\(\varphi=180^\circ-\alpha\)固定不变。
根据三力平衡，三个力的矢量可构成封闭三角形，其中\(G\)是定边，\(F_1\)与\(F_2\)的夹角固定，符合圆周角定理（同弦对应的圆周角相等），因此\(F_1、F_2\)的矢量端点在同一个圆上，可用动态圆法分析变化。

选项逐一分析

• A. \(F_1\)逐渐增大；B. \(F_1\)先增大后减小
  初始状态\(OM\)竖直，\(F_1=0\)，\(F_2=G\)；在\(OM\)从竖直转到水平的过程中，\(F_1\)的矢量长度从0开始持续增大，直到\(OM\)水平时达到最大值，全程无减小过程。A正确，B错误。

• C. \(F_2\)逐渐增大；D. \(F_2\)先增大后减小
  在动态圆中，\(F_2\)的矢量长度先增大，当\(F_2\)为圆的直径时达到最大值，之后随着\(OM\)继续向水平转动，\(F_2\)的长度逐渐减小，因此\(F_2\)先增大后减小。D正确，C错误。

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例3 答案：风力大小为\(\boldsymbol{mg}\)

考点定位

三力平衡的正交分解+联立方程求解，核心是抓住「风力大小、方向均为定值」的隐含条件，易错点是默认风力水平。

解题过程

步骤1：受力分析与方程建立

小球受三个力平衡：重力\(mg\)（竖直向下）、风力\(F\)（大小、方向均固定）、绳子拉力\(T\)。
设风力与竖直向上方向的夹角为\(\varphi\)（固定未知量），绳子与竖直向上方向的夹角为\(\theta\)，根据正交分解列平衡方程：

• 水平方向：\(F\sin\varphi = T\sin\theta\)
• 竖直方向：\(F\cos\varphi + T\cos\theta = mg\)

消去拉力\(T\)，整理得核心公式：

\[F\sin(\theta+\varphi) = mg\sin\theta \]

步骤2：代入两个平衡状态联立求解

• 状态1：质量\(m\)，\(\theta_1=60^\circ\)，代入得：
  \[F\sin(60^\circ+\varphi) = mg\cdot\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}mg \tag{1} \]

• 状态2：质量\(2m\)，\(\theta_2=30^\circ\)，代入得：
  \[F\sin(30^\circ+\varphi) = 2mg\cdot\sin30^\circ = mg \tag{2} \]

将(1)÷(2)消去\(F、mg\)，用正弦和角公式展开化简：

\[\frac{\sin(60^\circ+\varphi)}{\sin(30^\circ+\varphi)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\varphi + \frac{1}{2}\sin\varphi}{\frac{1}{2}\cos\varphi + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\varphi} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

交叉相乘、移项化简得：

\[\sqrt{3}\cos\varphi = \sin\varphi \implies \tan\varphi=\sqrt{3} \implies \varphi=60^\circ \]

将\(\varphi=60^\circ\)代入(2)式：

\[F\sin(30^\circ+60^\circ)=mg \implies F\cdot\sin90^\circ=mg \implies \boldsymbol{F=mg} \]

验证

将\(F=mg、\varphi=60^\circ\)代入两个状态，均满足平衡条件，结果正确。

三道共点力平衡例题 完整解析

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例1 答案：\(\boldsymbol{BC}\)

考点定位

连接体平衡的受力分析，核心是零力绳的判断+三力平衡的矢量约束，是平衡问题的基础经典题型。

详细解析

第一步：找到突破口——分析B球的受力

OB绳沿竖直方向，B球静止处于平衡状态。
B球受竖直向下的重力、OB绳竖直向上的拉力；若AB绳有拉力，会给B球水平方向的力，而B球水平方向无其他力平衡，因此AB绳的拉力一定为0。

第二步：分析A球的三力平衡

A球受3个力平衡，合力为0：

1. 自身重力\(G_A\)，方向竖直向下；
2. OA绳的拉力\(T\)，方向沿OA指向O点（左上方）；
3. 外力\(F\)，需满足：\(F\)与\(T\)的合力，与\(G_A\)等大反向（竖直向上）。

选项逐一判断

• A. \(F_1\)：方向右下方，竖直分量向下，无法平衡重力的竖直向下分量，三个力合力不可能为0，排除。
• B. \(F_2\)：方向水平向右，可提供向右的水平分量平衡\(T\)的向左水平分量；\(T\)的竖直向上分量可平衡A的重力，满足三力平衡，正确。
• C. \(F_3\)：方向右上方，向右的水平分量平衡\(T\)的向左水平分量，向上的竖直分量可辅助平衡重力，满足三力平衡，正确。
• D. \(F_4\)：方向左上方，水平分量向左，与\(T\)的水平分量同向，无向右的力平衡，合力不可能为0，排除。

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例2 答案：拉力\(F\)的最小值为\(\boldsymbol{\dfrac{mg(\sin\theta + \mu\cos\theta)}{\sqrt{1+\mu^2}}}\)

考点定位

正交分解法解平衡问题，辅助角公式求极值，滑动摩擦力的综合应用，是平衡问题的高频计算题型。

详细解析

第一步：受力分析与坐标系建立

物块沿斜面向上匀速运动，处于平衡状态，受4个力：

• 重力\(mg\)（竖直向下）
• 拉力\(F\)（与斜面成夹角\(\alpha\)，斜向上）
• 斜面的支持力\(N\)（垂直斜面向上）
• 滑动摩擦力\(f\)（沿斜面向下，与相对运动方向相反）

建立坐标系：沿斜面向上为\(x\)轴正方向，垂直斜面向上为\(y\)轴正方向，将重力和拉力正交分解。

第二步：列平衡方程

• 沿斜面（\(x\)方向）合力为0：
  \[F\cos\alpha = mg\sin\theta + f \tag{1} \]

• 垂直斜面（\(y\)方向）合力为0：
  \[N + F\sin\alpha = mg\cos\theta \tag{2} \]

• 滑动摩擦力公式：
  \[f = \mu N \tag{3} \]

第三步：联立方程整理\(F\)的表达式

将(2)变形为\(N = mg\cos\theta - F\sin\alpha\)，代入(3)后再代入(1)，整理得：

\[F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha) = mg(\sin\theta + \mu\cos\theta) \]

\[F = \frac{mg(\sin\theta + \mu\cos\theta)}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha} \]

第四步：用辅助角公式求最小值

\(F\)的分子为定值，因此分母\(\cos\alpha + \mu\sin\alpha\)取最大值时，\(F\)最小。
根据辅助角公式：

\[\cos\alpha + \mu\sin\alpha = \sqrt{1+\mu^2}\sin(\alpha + \varphi) \]

其中\(\sin(\alpha + \varphi)\)的最大值为1，因此分母的最大值为\(\sqrt{1+\mu^2}\)。

最终拉力的最小值为：

\[F_{\text{min}} = \frac{mg(\sin\theta + \mu\cos\theta)}{\sqrt{1+\mu^2}} \]

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例3 答案：\(\boldsymbol{F_1:F_2=5:2}\)

考点定位

整体法与隔离法结合解连接体平衡问题，几何关系与平衡方程的联立，是平衡问题的综合题型。

详细解析

第一步：确定几何约束

设OA绳与竖直方向的夹角为\(\alpha\)，AB绳与竖直方向的夹角为\(\beta\)。
已知OA、AB绳等长，且B在O点正下方，因此\(\triangle OAB\)为等腰三角形，\(\alpha=\beta\)，即\(\tan\alpha=\tan\beta\)。

第二步：隔离B球，列平衡方程

B球受重力\(2mg\)、AB绳拉力\(T'\)、水平向左的\(F_2\)，平衡状态下：

• 水平方向：\(T'\sin\beta = F_2 \tag{1}\)
• 竖直方向：\(T'\cos\beta = 2mg \tag{2}\)
  (1)÷(2)得：\(\tan\beta = \frac{F_2}{2mg} \tag{3}\)

第三步：对A、B整体列平衡方程

整体受总重力\(3mg\)、OA绳拉力\(T\)、水平向右的\(F_1\)、水平向左的\(F_2\)，平衡状态下：

• 水平方向：\(T\sin\alpha = F_1 - F_2 \tag{4}\)
• 竖直方向：\(T\cos\alpha = 3mg \tag{5}\)
  (4)÷(5)得：\(\tan\alpha = \frac{F_1 - F_2}{3mg} \tag{6}\)

第四步：联立求比值

由\(\tan\alpha=\tan\beta\)，联立(3)(6)：

\[\frac{F_2}{2mg} = \frac{F_1 - F_2}{3mg} \]

约去\(mg\)后交叉相乘，整理得：

\[3F_2 = 2F_1 - 2F_2 \implies 2F_1=5F_2 \]

因此\(\frac{F_1}{F_2}=\frac{5}{2}\)，即\(F_1:F_2=5:2\)。