2.6三次样条插值
三次样条插值 知识点详解
各位同学，今天我们系统讲解数值分析中应用最广泛、工程价值最高的插值方法——三次样条插值。我们先从它的工程起源讲起，再拆解定义、推导核心方程、分析性质，最后做系统的归纳总结。
一、三次样条插值的起源与核心动因
我们上一讲学习了分段低次插值，它解决了高次插值的龙格现象，保证了一致收敛性，但存在一个致命短板：光滑性不足。
- 分段线性插值：仅函数连续（\(C^0\) 光滑度），节点处导数间断，有尖点；
- 分段三次埃尔米特插值：仅一阶导数连续（\(C^1\) 光滑度），节点处二阶导数间断，曲率不连续。
而在航空、造船、汽车等工程领域，比如高速飞机的机翼型线、船体的放样曲线、汽车的车身曲面，都要求曲线有二阶连续导数（\(C^2\) 光滑度）——只有二阶导数连续，曲线的曲率才连续，才能保证流体流过时阻力最小、结构受力均匀。
三次样条的原型来自工程制图：早期工程师用富有弹性的细长木条（称为“样条”），用压铁固定在给定的样点上，让木条自由弯曲，沿木条画出的曲线就是样条曲线。从力学上看，弹性木条的弯曲变形满足二阶微分方程，其弯矩与二阶导数成正比，而压铁固定点之间的弯矩是线性变化的，因此样条曲线本质是分段三次多项式，且在连接点处二阶导数连续，这就是数学上三次样条的来源。
二、三次样条函数的定义
1. 三次样条函数的严格定义
设区间 \([a,b]\) 上有节点 \(a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\)，若函数 \(S(x)\) 满足以下两个核心条件，则称 \(S(x)\) 是该节点上的三次样条函数：
- 光滑性条件：\(S(x) \in C^2[a,b]\)，即 \(S(x)\) 在整个区间 \([a,b]\) 上二阶连续可导；
- 分段多项式条件：\(S(x)\) 在每个小区间 \([x_j, x_{j+1}]\)（\(j=0,1,\dots,n-1\)）上都是三次多项式。
2. 三次样条插值函数
若三次样条函数 \(S(x)\) 还满足插值条件：
即 \(S(x)\) 在所有节点上取到被插函数的函数值，则称 \(S(x)\) 为三次样条插值函数。
三、参数自由度分析：为什么需要边界条件？
很多同学会疑惑：为什么定义完插值条件，还要额外加边界条件？我们通过参数计数来彻底讲清这个问题。
-
总待定参数：整个区间被划分为 \(n\) 个小区间，每个小区间上的三次多项式有4个待定系数，因此总共有 \(4n\) 个待定参数。
-
已有的约束条件：
- 插值条件：\(n+1\) 个节点，每个节点要求 \(S(x_i)=y_i\)，共 \(n+1\) 个条件；
- 内点连续性条件：在 \(n-1\) 个内节点 \(x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\) 处，要求函数值、一阶导数、二阶导数都连续，即：\[S(x_k-0)=S(x_k+0),\ S'(x_k-0)=S'(x_k+0),\ S''(x_k-0)=S''(x_k+0) \]每个内节点有3个条件，共 \(3(n-1)=3n-3\) 个条件。
-
条件总数与自由度缺口：
现有条件总数为 \((n+1)+(3n-3)=4n-2\) 个，而总待定参数有 \(4n\) 个，因此还差2个独立条件，才能唯一确定 \(S(x)\)。
这2个条件通常加在区间的两个端点 \(x_0=a\) 和 \(x_n=b\) 上，称为边界条件。
四、常见的边界条件
工程中最常用的边界条件有两类，我们分别讲解其数学形式和物理意义：
1. 固支边界（一阶导数已知边界）
直接给定区间两端的一阶导数值，数学形式为：
- 物理意义：对应样条木条的两端被“夹紧固定”，不能转动，端点处的斜率被严格约束，也叫夹紧边界。
- 适用场景：已知被插函数在端点处的斜率，比如曲线的端点切线方向已知。
2. 二阶导数已知边界
直接给定区间两端的二阶导数值，数学形式为：
其最常用的特殊情况是自然边界条件：
- 物理意义：自然边界对应样条木条的两端“自由放置”，端点处弯矩为0，没有弯曲，因此端点处退化为直线，是工程中最常用的边界条件（当不知道端点导数时，默认使用自然边界）。
- 适用场景：无额外端点信息的通用插值，比如数据拟合、曲线平滑。
五、三次样条插值函数的构造：三弯矩方程的完整推导
构造三次样条的核心方法是三弯矩法，我们以节点处的二阶导数 \(M_i = S''(x_i)\) 为未知量（\(M_i\) 在力学上对应样条梁的弯矩，因此该方法称为三弯矩法），一步步推导完整的求解方程。
步骤1：写出小区间上二阶导数的表达式
\(S(x)\) 在每个小区间 \([x_j, x_{j+1}]\) 上是三次多项式，因此其二阶导数 \(S''(x)\) 在该区间上是一次多项式（线性函数）。
记小区间步长 \(h_j = x_{j+1} - x_j\)，区间两端的二阶导数为 \(M_j = S''(x_j)\)、\(M_{j+1} = S''(x_{j+1})\)，通过两点线性插值，直接写出 \(S''(x)\) 在 \([x_j, x_{j+1}]\) 上的表达式：
步骤2：积分两次得到三次样条的表达式
对 \(S''_j(x)\) 积分两次，即可得到 \(S_j(x)\) 的表达式，积分过程会产生两个积分常数，我们用插值条件 \(S_j(x_j)=y_j\)、\(S_j(x_{j+1})=y_{j+1}\) 确定。
- 第一次积分（求一阶导数）：\[S'_j(x) = \int S''_j(x) dx + C_1 = -M_j \cdot \frac{(x_{j+1}-x)^2}{2h_j} + M_{j+1} \cdot \frac{(x-x_j)^2}{2h_j} + C_1 \]
- 第二次积分（求原函数）：\[S_j(x) = \int S'_j(x) dx + C_2 = M_j \cdot \frac{(x_{j+1}-x)^3}{6h_j} + M_{j+1} \cdot \frac{(x-x_j)^3}{6h_j} + C_1 x + C_2 \]
将插值条件 \(S_j(x_j)=y_j\)、\(S_j(x_{j+1})=y_{j+1}\) 代入，解出积分常数 \(C_1,C_2\)，再代回原式整理，最终得到小区间上三次样条的标准表达式：
该式的物理意义非常清晰：前两项是弯矩对应的弯曲变形项，后两项是满足插值条件的线性项。
步骤3：利用一阶导数连续建立内点方程
我们的核心目标是求解未知量 \(M_0,M_1,\dots,M_n\)，因此需要利用内节点处一阶导数连续的条件：\(S'_j(x_j + 0) = S'_{j-1}(x_j - 0)\)（右导数=左导数）。
首先，对 \(S_j(x)\) 求导，得到一阶导数的表达式：
（1）求内节点处的右导数 \(S'_j(x_j + 0)\)
将 \(x=x_j\) 代入 \(S'_j(x)\)，化简得：
（2）求内节点处的左导数 \(S'_{j-1}(x_j - 0)\)
将区间换为 \([x_{j-1},x_j]\)，步长为 \(h_{j-1}=x_j - x_{j-1}\)，代入 \(x=x_j\) 化简得：
（3）建立内点方程
令左右导数相等，整理方程：
为了简化方程，我们定义三个系数：
- 权重系数：\(\mu_j = \frac{h_{j-1}}{h_{j-1}+h_j}\)，\(\lambda_j = \frac{h_j}{h_{j-1}+h_j}\)，显然 \(\mu_j + \lambda_j = 1\)；
- 右端项：\(d_j = 6 \cdot \frac{\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j} - \frac{y_j - y_{j-1}}{h_{j-1}}}{h_{j-1}+h_j} = 6 f[x_{j-1},x_j,x_{j+1}]\)，其中 \(f[x_{j-1},x_j,x_{j+1}]\) 是被插函数的二阶差商。
将系数代入方程，最终得到三弯矩方程的内点公式：
该式是关于 \(M_j\) 的线性方程，每个方程仅涉及相邻三个未知量，因此最终的方程组是三对角线性方程组。
步骤4：结合边界条件得到完整方程组
我们有 \(n-1\) 个内点方程，对应 \(n+1\) 个未知量 \(M_0 \sim M_n\)，需要结合边界条件补充2个方程，得到封闭的方程组。
（1）固支边界（一阶导数已知）
将 \(S'(x_0)=f'_0\)、\(S'(x_n)=f'_n\) 代入一阶导数表达式，整理得到两个端点方程：
将内点方程和端点方程合并，写成矩阵形式（三对角矩阵）：
其中 \(\lambda_0=1, \mu_n=1\)，\(d_0,d_n\) 为端点方程的右端项。
（2）二阶导数已知边界
该边界条件直接给出 \(M_0=f''_0\)、\(M_n=f''_n\)，无需额外推导，直接将 \(M_0\) 和 \(M_n\) 代入内点方程，即可得到关于 \(M_1 \sim M_{n-1}\) 的 \(n-1\) 阶三对角方程组。
- 自然边界条件：直接令 \(M_0=0, M_n=0\)，代入内点方程即可。
步骤5：解的唯一性与求解方法
上述三对角方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵（对角线元素为2，非对角线元素绝对值之和为 \(\mu_j+\lambda_j=1 < 2\)），根据线性代数理论，严格对角占优矩阵非奇异，因此方程组有且仅有唯一解，即三次样条插值函数是唯一的。
求解该方程组的最优方法是追赶法（Thomas算法），计算复杂度仅为 \(O(n)\)，远低于高斯消元的 \(O(n^3)\)，计算效率极高。解出 \(M_0 \sim M_n\) 后，代回小区间的样条表达式，即可得到完整的三次样条插值函数。
六、三次样条插值的核心性质
- 超高光滑性：整体达到 \(C^2\) 连续，二阶导数连续，曲率连续，完全满足工程中对曲线光滑度的核心需求；
- 无条件一致收敛性：若被插函数 \(f(x) \in C^2[a,b]\)，当最大步长 \(h \to 0\) 时，\(S(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛到 \(f(x)\)，且其一阶、二阶导数也一致收敛，收敛性远优于分段低次插值；
- 极佳的数值稳定性：具有局部支撑特性，单个节点的数据扰动仅影响相邻的2~3个小区间，不会出现高次插值的龙格振荡现象；
- 计算高效性：三对角方程组用追赶法求解，计算量小，适合大规模节点的插值计算。
七、核心知识点归纳总结表
表1 各类插值方法核心特性对比
| 对比维度 | 高次拉格朗日插值 | 分段线性插值 | 分段三次埃尔米特插值 | 三次样条插值 |
|---|---|---|---|---|
| 光滑性 | 无穷阶可导，全局 \(C^\infty\) | 仅函数连续，\(C^0\) | 一阶导数连续，\(C^1\) | 二阶导数连续，\(C^2\) |
| 插值条件 | 节点处函数值相等 | 节点处函数值相等 | 节点处函数值+一阶导数值相等 | 节点处函数值相等，仅需端点边界条件 |
| 待定参数总数 | \(n+1\)（n次多项式） | \(2n\) | \(4n\) | \(4n\) |
| 收敛性 | 等距节点下不保证收敛，存在龙格现象 | 只要 \(f \in C[a,b]\)，\(h \to 0\) 时一致收敛 | 只要 \(f \in C^1[a,b]\)，\(h \to 0\) 时一致收敛 | 只要 \(f \in C^2[a,b]\)，\(h \to 0\) 时一致收敛，一、二阶导数也收敛 |
| 误差阶（光滑性足够） | 理论 \(O(h^{n+1})\)，实际发散 | \(O(h^2)\) | \(O(h^4)\) | \(O(h^4)\) |
| 数值稳定性 | 极差，全局支撑，节点扰动影响全局 | 极好，局部支撑，扰动仅影响相邻区间 | 极好，局部支撑，扰动仅影响相邻区间 | 极好，局部支撑，扰动仅影响相邻区间 |
| 核心优点 | 全局光滑性极高，表达式单一 | 形式极简，计算量极小，无条件收敛 | 光滑性较好，收敛速度快，精度高 | 光滑性最优，曲率连续，工程适用性最强 |
| 核心缺点 | 高次振荡，龙格现象，稳定性极差 | 光滑性极差，有尖点，精度低 | 需要节点处一阶导数值，额外信息需求大 | 需要求解线性方程组，计算量略高于分段插值 |
| 适用场景 | 仅适用于n≤7的低次插值，几乎无工程应用 | 粗粒度快速插值，对光滑性无要求的场景 | 已知节点导数，对一阶光滑有要求的场景 | 航空、造船、汽车、图形学等对曲线光滑度要求高的工程场景 |
表2 三次样条常用边界条件对比
| 边界条件类型 | 数学形式 | 物理意义 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 固支边界（一阶导数已知） | \(S'(x_0)=f'_0,\ S'(x_n)=f'_n\) | 样条两端被夹紧，斜率固定，不能转动 | 已知端点切线方向，如曲线拼接、指定端点斜率的设计场景 |
| 二阶导数已知边界 | \(S''(x_0)=f''_0,\ S''(x_n)=f''_n\) | 样条两端弯矩固定，弯曲程度被约束 | 已知端点曲率，如结构力学、曲线平滑过渡场景 |
| 自然边界条件 | \(S''(x_0)=0,\ S''(x_n)=0\) | 样条两端自由，弯矩为0，端点退化为直线 | 无额外端点信息的通用插值，是工程默认边界条件 |
最终核心结论
三次样条插值是数值插值中“光滑性、收敛性、稳定性、计算效率”的最优平衡点，它彻底解决了高次插值的龙格现象，同时弥补了分段低次插值光滑性不足的短板，是目前工程领域应用最广泛的插值方法，也是计算机图形学、CAD/CAM、逆向工程等领域的核心基础算法。
三次样条插值 例题详解与知识点总结
一、例2.7 完整推导与详解
题目回顾
已知区间 \([27.7,30]\) 上的节点与函数值：
\(x_0=27.7,\ f(x_0)=4.1\)；\(x_1=28,\ f(x_1)=4.3\)；\(x_2=29,\ f(x_2)=4.1\)；\(x_3=30,\ f(x_3)=3.0\)
边界条件：\(S'(27.7)=3.0\)，\(S'(30)=-4.0\)，求满足条件的三次样条函数 \(S(x)\)。
步骤1：确定小区间步长 \(h_j\)
步长定义：\(h_j = x_{j+1}-x_j\)，计算得：
步骤2：计算权重系数 \(\mu_j、\lambda_j\)
对内点 \(j=1,2\)，权重公式为：
- \(j=1\)：\(\mu_1=\frac{h_0}{h_0+h_1}=\frac{0.3}{1.3}=\frac{3}{13}\)，\(\lambda_1=\frac{h_1}{h_0+h_1}=\frac{10}{13}\)
- \(j=2\)：\(\mu_2=\frac{h_1}{h_1+h_2}=\frac{1}{2}\)，\(\lambda_2=\frac{h_2}{h_1+h_2}=\frac{1}{2}\)
对一阶导数已知的固支边界，补充边界系数：\(\lambda_0=1\)，\(\mu_3=1\)。
步骤3：计算方程组右端项 \(d_j\)
首先计算一阶差商 \(f[x_j,x_{j+1}]=\frac{f(x_{j+1})-f(x_j)}{h_j}\)：
再根据公式计算 \(d_j\)：
- 左边界（\(j=0\)）：\(d_0=\frac{6}{h_0}\left(f[x_0,x_1]-f'_0\right)=\frac{6}{0.3}\left(\frac{2}{3}-3\right)=-\frac{140}{3}\approx-46.6666\)
- 内点 \(j=1\)：\(d_1=6\cdot\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{h_0+h_1}=6\cdot\frac{-0.2-2/3}{1.3}=-4\)
- 内点 \(j=2\)：\(d_2=6\cdot\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{h_1+h_2}=6\cdot\frac{-1.1+0.2}{2}=-2.7\)
- 右边界（\(j=3\)）：\(d_3=\frac{6}{h_2}\left(f'_3-f[x_2,x_3]\right)=6\cdot\left(-4+1.1\right)=-17.4\)
步骤4：建立三弯矩方程组
三弯矩方程的通用形式为 \(\mu_j M_{j-1}+2M_j+\lambda_j M_{j+1}=d_j\)，结合边界条件得到4阶方程组：
矩阵形式为：
步骤5：求解三对角方程组（追赶法）
通过消元求解得：
步骤6：代入样条表达式，写出分段函数
三次样条在小区间 \([x_j,x_{j+1}]\) 上的标准表达式为：
分区间代入计算，最终得到：
二、例2.8 核心意义解读
题目与结论
对龙格函数 \(f(x)=\frac{1}{1+x^2},x\in[-5,5]\)，取等距节点 \(x_k=-5+k\ (k=0,1,\dots,10)\)，边界条件取 \(S'(-5)=f'(-5),S'(5)=f'(5)\)，构造三次样条插值 \(S_{10}(x)\)，并与10次拉格朗日插值 \(L_{10}(x)\) 对比。
核心结论
- 无龙格现象：在区间两端（如 \(x=-4.8\)），\(L_{10}(x)=1.80439\)，与真实值 \(f(x)=0.04160\) 严重偏离；而 \(S_{10}(x)=0.04162\)，误差极小，彻底解决了高次插值的振荡发散问题。
- 全局高精度：在整个区间上，\(S_{10}(x)\) 与 \(f(x)\) 的误差始终保持在极小范围，而 \(L_{10}(x)\) 越靠近区间两端误差越大。
- 导数收敛性：三次样条不仅函数值收敛，其一阶、二阶导数也收敛到原函数的导数，保证了曲线的光滑性。
三、三次样条插值的误差界与收敛性定理
定理2.5 完整表述
设 \(f(x)\in C^4[a,b]\)，\(S(x)\) 为满足固支边界（一阶导数已知）或二阶导数已知边界的三次样条函数，记 \(h_j=x_{j+1}-x_j\)，\(h=\max_{0\leq j\leq n-1}h_j\)，则有误差估计式：
其中常数 \(C_0=\frac{5}{384},\ C_1=\frac{1}{24},\ C_2=\frac{3}{8}\)。
定理核心解读
-
收敛阶
导数阶数 \(k\) 误差阶 物理意义 0（函数值） \(O(h^4)\) 四阶收敛，与分段三次埃尔米特插值精度一致 1（一阶导数） \(O(h^3)\) 三阶收敛，保证斜率的收敛性 2（二阶导数） \(O(h^2)\) 二阶收敛，保证曲率的收敛性 -
收敛性结论
当 \(h\to0\)（节点无限加密）时，\(S(x)\)、\(S'(x)\)、\(S''(x)\) 在 \([a,b]\) 上分别一致收敛到 \(f(x)\)、\(f'(x)\)、\(f''(x)\)，这是三次样条插值区别于其他插值方法的核心优势。 -
适用条件
仅要求被插函数四阶连续可导，边界条件为工程中最常用的两类，因此该定理具有极强的工程实用性。
四、核心知识点归纳总结表
表1 三次样条插值核心特性总结
| 项目 | 核心内容 |
|---|---|
| 定义 | 满足 \(S(x)\in C^2[a,b]\)，且在每个小区间 \([x_j,x_{j+1}]\) 上为三次多项式的函数；满足插值条件 \(S(x_i)=y_i\) 时称为三次样条插值函数 |
| 参数自由度 | \(n\) 个小区间共 \(4n\) 个待定参数，插值条件+内点连续性条件共 \(4n-2\) 个方程，需补充2个边界条件 |
| 常用边界条件 | 1. 固支边界：\(S'(x_0)=f'_0,\ S'(x_n)=f'_n\)（端点斜率已知） 2. 二阶导数已知边界：\(S''(x_0)=f''_0,\ S''(x_n)=f''_n\) 3. 自然边界：\(S''(x_0)=S''(x_n)=0\)（端点弯矩为0，退化为直线） |
| 构造方法 | 三弯矩法：以节点二阶导数 \(M_i=S''(x_i)\) 为未知量，建立三对角线性方程组，用追赶法求解后代入样条表达式 |
| 核心优势 | 1. 光滑性最优：二阶导数连续，曲率连续，满足工程高精度光滑需求 2. 无龙格现象：全局一致收敛，无高次插值的振荡发散问题 3. 稳定性强：局部支撑，单个节点扰动仅影响相邻区间 4. 精度高：函数值误差为四阶收敛 |
| 核心局限 | 需求解线性方程组，计算量略高于分段低次插值；仅二阶光滑，无法满足更高阶光滑需求 |
| 适用场景 | 航空航天、造船、汽车车身设计、计算机图形学、CAD/CAM、数据平滑等对曲线光滑度要求高的工程场景 |
表2 各类插值方法收敛性与光滑性对比
| 插值方法 | 光滑性 | 函数值收敛阶 | 导数收敛性 | 有无龙格现象 |
|---|---|---|---|---|
| 高次拉格朗日插值 | \(C^\infty\) | 理论 \(O(h^{n+1})\)，实际发散 | 不收敛 | 有 |
| 分段线性插值 | \(C^0\) | \(O(h^2)\) | 不收敛 | 无 |
| 分段三次埃尔米特插值 | \(C^1\) | \(O(h^4)\) | 一阶导数 \(O(h^3)\) 收敛 | 无 |
| 三次样条插值 | \(C^2\) | \(O(h^4)\) | 一阶导数 \(O(h^3)\)、二阶导数 \(O(h^2)\) 收敛 | 无 |
posted on 2026-02-21 13:02 Indian_Mysore 阅读(1) 评论(0) 收藏 举报
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