2.5分段低次插值

分段低次插值 知识点详解与推导证明

各位同学，今天我们来系统讲解数值分析中核心的分段低次插值内容。插值的核心目标是用简单的多项式函数逼近复杂的连续函数，我们最初会直觉认为“插值次数越高，逼近效果越好”，但高次插值存在致命的病态缺陷，这就是我们引入分段低次插值的核心动因。下面我们从根源到方法，逐层拆解推导。

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一、高次插值的病态性质：龙格现象

1. 龙格现象的定义

等距节点下的高次拉格朗日插值，当插值次数 \(n \to \infty\) 时，插值多项式 \(L_n(x)\) 并不会在整个区间上收敛到被插函数 \(f(x)\)，反而在区间两端出现剧烈的振荡，误差急剧增大，这种发散现象称为龙格现象，它直接证明了“次数越高逼近越好”的直觉是错误的。

2. 龙格的经典算例

我们选取性质极好的函数：

\[f(x)=\frac{1}{1+x^2}, \quad x \in [-5,5] \]

该函数在 \([-5,5]\) 上任意阶可导，满足插值的光滑性要求。

我们将区间 \([-5,5]\) 做等距划分，取 \(n+1\) 个节点：

\[x_k = -5 + 10 \cdot \frac{k}{n}, \quad k=0,1,\dots,n \]

基于这些节点构造拉格朗日插值多项式：

\[L_n(x) = \sum_{j=0}^n \frac{1}{1+x_j^2} \cdot \frac{\omega_{n+1}(x)}{(x-x_j)\omega_{n+1}'(x_j)} \]

其中 \(\omega_{n+1}(x)=\prod_{j=0}^n (x-x_j)\)，是节点的基函数核心项。

我们选取区间右端点附近的点 \(x_{n-1/2}=\frac{x_{n-1}+x_n}{2}=5-\frac{5}{n}\)（靠近区间边界 \(x=5\)），计算结果显示：

• 随着 \(n\) 增大，\(f(x_{n-1/2})\) 趋近于 \(\frac{1}{1+5^2}\approx0.038\)，是有界且收敛的；
• 但 \(L_n(x_{n-1/2})\) 的绝对值呈指数级增长，误差 \(|R(x)|=|f(x)-L_n(x)|\) 几乎成倍增大，\(n=20\) 时误差绝对值接近40，完全偏离原函数。

龙格给出了严格的理论结论：存在常数 \(c\approx3.63\)，当 \(|x|\leq c\) 时，\(\lim_{n \to \infty}L_n(x)=f(x)\)；当 \(|x|>c\) 时，\(\{L_n(x)\}\) 完全发散。

3. 龙格现象的本质（根源推导）

拉格朗日插值的余项公式为：

\[R_n(x) = f(x)-L_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot \omega_{n+1}(x), \quad \xi \in (a,b) \]

发散的核心来自两个部分的共同作用：

1. 高阶导数的无界增长：对于 \(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\)，其复平面奇点为 \(x=\pm i\)，离实轴距离仅为1，高阶导数的绝对值随 \(n\) 增大呈指数级增长，并非有界量；
2. 节点多项式的边界增长：等距节点下，区间两端的 \(|\omega_{n+1}(x)|\) 增长速度远快于 \((n+1)!\) 的衰减速度，最终导致余项绝对值随 \(n\) 增大急剧增大，出现振荡发散。

4. 核心结论

高次插值存在严重的病态性，次数越高数值稳定性越差，实际工程中几乎不使用超过7次的多项式插值，转而采用分段低次插值——核心思想是「分而治之」：将整个插值区间划分为若干小区间，在每个小区间上用低次多项式插值，再拼接为整个区间的插值函数，既避免高次振荡，又保证收敛性。

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二、分段线性插值

1. 定义与基本条件

设插值区间 \([a,b]\)，给定节点 \(a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\)，对应函数值 \(f_0,f_1,\dots,f_n\)。记小区间步长 \(h_k = x_{k+1}-x_k\)，\(k=0,1,\dots,n-1\)，最大步长 \(h = \max_{k} h_k\)。

若函数 \(I_h(x)\) 满足以下3个条件，则称为分段线性插值函数：

1. 连续性：\(I_h(x) \in C[a,b]\)（在整个区间上连续）；
2. 插值条件：\(I_h(x_i) = f_i\)，\(i=0,1,\dots,n\)（所有节点上取到原函数值）；
3. 分段线性：在每个小区间 \([x_k,x_{k+1}]\) 上，\(I_h(x)\) 是一次多项式（线性函数）。

2. 插值表达式推导

我们只需推导单个小区间 \([x_k,x_{k+1}]\) 上的表达式，整体函数为分段拼接结果。

在区间 \([x_k,x_{k+1}]\) 上，我们有两个插值点 \((x_k,f_k)\)、\((x_{k+1},f_{k+1})\)，对应一次拉格朗日插值，直接代入两点插值公式：

\[L_1(x) = \frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}} f_k + \frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} f_{k+1} \]

因此分段线性插值在 \([x_k,x_{k+1}]\) 上的表达式为：

\[\boldsymbol{I_h(x) = \frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}} f_k + \frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} f_{k+1}, \quad x \in [x_k,x_{k+1}], \ k=0,1,\dots,n-1} \]

也可表示为全局基函数形式：\(I_h(x)=\sum_{i=0}^n f_i \cdot l_i(x)\)，其中 \(l_i(x)\) 是分段线性“帽子函数”，满足 \(l_i(x_j)=\delta_{ij}\)（克罗内克函数），仅在 \([x_{i-1},x_{i+1}]\) 上非零，具有严格局部性。

3. 误差估计推导与证明

我们利用一次插值的余项公式，推导误差上界：

对于任意 \(x \in [x_k,x_{k+1}]\)，一次插值的余项为：

\[f(x)-I_h(x) = \frac{f''(\xi_k)}{2!} \cdot (x-x_k)(x-x_{k+1}), \quad \xi_k \in (x_k,x_{k+1}) \]

第一步：求 \(|(x-x_k)(x-x_{k+1})|\) 在区间上的最大值。
令 \(g(x)=(x-x_k)(x-x_{k+1})\)，这是开口向上的二次函数，对称轴为区间中点 \(x=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}\)，在端点处为0，中点处取得绝对值最大值：

\[g\left( \frac{x_k+x_{k+1}}{2} \right) = -\frac{h_k^2}{4} \]

因此 \(\max_{x \in [x_k,x_{k+1}]} |(x-x_k)(x-x_{k+1})| = \frac{h_k^2}{4}\)。

第二步：推导区间误差上界。
令 \(M_{2,k} = \max_{x \in [x_k,x_{k+1}]} |f''(x)|\)，则：

\[|f(x)-I_h(x)| \leq \frac{M_{2,k}}{2} \cdot \frac{h_k^2}{4} = \frac{M_{2,k} h_k^2}{8} \]

第三步：推导全局误差上界。
令 \(M_2 = \max_{x \in [a,b]} |f''(x)|\)，\(h = \max_k h_k\)，则对所有 \(x \in [a,b]\)，有：

\[\boldsymbol{\max_{a \leq x \leq b} |f(x)-I_h(x)| \leq \frac{M_2 h^2}{8}} \]

4. 收敛性证明

我们证明：当 \(h \to 0\)（节点无限加密）时，\(I_h(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛到 \(f(x)\)。

• 若 \(f \in C^2[a,b]\)：\(M_2\) 是与 \(h\) 无关的常数，由误差估计式 \(|f(x)-I_h(x)| \leq \frac{M_2 h^2}{8}\)，当 \(h \to 0\) 时，不等式右端趋近于0，满足一致收敛定义。
• 若仅 \(f \in C[a,b]\)（无二阶导数）：由闭区间上连续函数的一致连续性，对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，当 \(|x'-x''|<\delta\) 时，\(|f(x')-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{2}\)。当 \(h<\delta\) 时，对任意 \(x \in [x_k,x_{k+1}]\)，\(I_h(x)\) 是 \(f_k,f_{k+1}\) 的凸组合，因此：
  \[|f(x)-I_h(x)| \leq \lambda_k |f(x)-f_k| + (1-\lambda_k)|f(x)-f_{k+1}| < \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \]
  同样满足一致收敛。

这是分段插值对比高次插值的核心优势：无条件一致收敛，无龙格现象。

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三、分段三次埃尔米特插值

分段线性插值的核心缺陷是光滑性差：仅函数连续，节点处导数间断，存在尖点，无法满足工程中对曲线光滑性的需求。分段三次埃尔米特插值在保留分段插值优势的同时，实现了一阶导数连续。

1. 定义与基本条件

设插值区间 \([a,b]\)，节点 \(a=x_0<x_1<\dots<x_n=b\)，已知节点处的函数值 \(f_i=f(x_i)\) 和导数值 \(f'_i=m_i=f'(x_i)\)，\(i=0,1,\dots,n\)。记步长 \(h_k=x_{k+1}-x_k\)，最大步长 \(h=\max_k h_k\)。

若函数 \(I_h(x)\) 满足以下3个条件，则称为分段三次埃尔米特插值函数：

1. 光滑性：\(I_h(x) \in C^1[a,b]\)（在整个区间上一阶导数连续）；
2. 插值条件：\(I_h(x_i)=f_i\)，\(I_h'(x_i)=f'_i\)，\(i=0,1,\dots,n\)（节点处函数值、一阶导数值均与原函数相等）；
3. 分段三次：在每个小区间 \([x_k,x_{k+1}]\) 上，\(I_h(x)\) 是三次多项式。

2. 插值表达式推导

在单个小区间 \([x_k,x_{k+1}]\) 上，有4个插值条件，可唯一确定一个三次多项式。我们采用埃尔米特基函数法构造，需要4个三次基函数，满足：

基函数	\(x=x_k\) 函数值	\(x=x_k\) 导数值	\(x=x_{k+1}\) 函数值	\(x=x_{k+1}\) 导数值
\(\alpha_k(x)\)	1	0	0	0
\(\alpha_{k+1}(x)\)	0	0	1	0
\(\beta_k(x)\)	0	1	0	0
\(\beta_{k+1}(x)\)	0	0	0	1

基函数推导

1. 构造 \(\alpha_k(x)\)：因 \(\alpha_k(x_{k+1})=\alpha_k'(x_{k+1})=0\)，故 \((x-x_{k+1})^2\) 是其因子，设：

   \[\alpha_k(x) = (ax+b) \cdot \left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}} \right)^2 \]

   代入 \(\alpha_k(x_k)=1\)、\(\alpha_k'(x_k)=0\)，解得 \(a=\frac{2}{h_k}\)，\(b=1-\frac{2x_k}{h_k}\)，因此：

   \[\alpha_k(x) = \left( 1+2\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \right) \cdot \left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}} \right)^2 \]

2. 对称构造 \(\alpha_{k+1}(x)\)：

   \[\alpha_{k+1}(x) = \left( 1+2\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}} \right) \cdot \left( \frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \right)^2 \]

3. 构造 \(\beta_k(x)\)：因 \(\beta_k(x_{k+1})=\beta_k'(x_{k+1})=0\)，设：

   \[\beta_k(x) = (cx+d) \cdot \left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}} \right)^2 \]

   代入 \(\beta_k(x_k)=0\)、\(\beta_k'(x_k)=1\)，解得 \(c=1\)，\(d=-x_k\)，因此：

   \[\beta_k(x) = (x-x_k) \cdot \left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}} \right)^2 \]

4. 对称构造 \(\beta_{k+1}(x)\)：

   \[\beta_{k+1}(x) = (x-x_{k+1}) \cdot \left( \frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \right)^2 \]

最终插值表达式

将4个基函数组合，得到 \([x_k,x_{k+1}]\) 上的分段三次埃尔米特插值公式：

\[\begin{aligned} \boldsymbol{I_h(x)} =& \boldsymbol{\left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}} \right)^2 \left( 1+2\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \right) f_k + \left( \frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \right)^2 \left( 1+2\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}} \right) f_{k+1}} \\ &+ \boldsymbol{\left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}} \right)^2 (x-x_k) f'_k + \left( \frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \right)^2 (x-x_{k+1}) f'_{k+1}} \end{aligned} \]

其中 \(x \in [x_k,x_{k+1}]\)，\(k=0,1,\dots,n-1\)。

3. 误差估计推导与证明

利用三次埃尔米特插值的余项公式，对任意 \(x \in [x_k,x_{k+1}]\)，余项为：

\[f(x)-I_h(x) = \frac{f^{(4)}(\xi_k)}{4!} \cdot (x-x_k)^2(x-x_{k+1})^2, \quad \xi_k \in (x_k,x_{k+1}) \]

第一步：求 \(|(x-x_k)^2(x-x_{k+1})^2|\) 的最大值。
令 \(g(x)=(x-x_k)^2(x-x_{k+1})^2 = \left[(x-x_k)(x-x_{k+1})\right]^2\)，由分段线性插值的结论，\(|(x-x_k)(x-x_{k+1})|\) 的最大值为 \(\frac{h_k^2}{4}\)，因此：

\[\max_{x \in [x_k,x_{k+1}]} |g(x)| = \left( \frac{h_k^2}{4} \right)^2 = \frac{h_k^4}{16} \]

第二步：推导区间与全局误差上界。
令 \(M_{4,k} = \max_{x \in [x_k,x_{k+1}]} |f^{(4)}(x)|\)，则区间误差：

\[|f(x)-I_h(x)| \leq \frac{M_{4,k}}{24} \cdot \frac{h_k^4}{16} = \frac{M_{4,k} h_k^4}{384} \]

令 \(M_4 = \max_{x \in [a,b]} |f^{(4)}(x)|\)，\(h = \max_k h_k\)，得到全局误差上界：

\[\boldsymbol{\max_{a \leq x \leq b} |f(x)-I_h(x)| \leq \frac{M_4 h^4}{384}} \]

4. 收敛性证明

当 \(f \in C^4[a,b]\) 时，\(M_4\) 是与 \(h\) 无关的常数，误差上界为 \(O(h^4)\)，当 \(h \to 0\) 时，误差上界趋近于0，因此 \(I_h(x)\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛到 \(f(x)\)，且收敛速度远快于分段线性插值的 \(O(h^2)\)。

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四、核心知识点归纳总结表

对比维度	高次拉格朗日插值（龙格现象）	分段线性插值	分段三次埃尔米特插值
核心定义	整个区间上用n次多项式拟合n+1个等距节点，全局单一多项式	将区间划分为n个小区间，每个小区间用一次多项式拟合，分段拼接	将区间划分为n个小区间，每个小区间用三次多项式拟合，节点处函数值与导数值连续，分段拼接
插值条件	节点处函数值相等：\(L_n(x_i)=f_i\)	1. 节点处函数值相等：\(I_h(x_i)=f_i\)；2. 每个小区间为一次多项式	1. 节点处函数值相等：\(I_h(x_i)=f_i\)；2. 节点处一阶导数值相等：\(I_h'(x_i)=f'_i\)；3. 每个小区间为三次多项式
光滑性	无穷阶可导，全局光滑性极高	仅函数连续（\(C[a,b]\)），节点处导数间断	一阶导数连续（\(C^1[a,b]\)），节点处二阶导数间断
支撑特性	全局支撑，单个节点数据变化影响整个区间	局部支撑，单个节点数据变化仅影响相邻2个小区间	局部支撑，单个节点数据变化仅影响相邻2个小区间
误差阶（光滑性足够时）	余项为 \(O(h^{n+1})\)，但高阶导数无界时误差发散	全局误差上界 \(\frac{M_2 h^2}{8}\)，误差阶 \(O(h^2)\)	全局误差上界 \(\frac{M_4 h^4}{384}\)，误差阶 \(O(h^4)\)
收敛性	等距节点下不保证收敛，n→∞时区间两端发散	只要 \(f \in C[a,b]\)，h→0时在区间上一致收敛	只要 \(f \in C^1[a,b]\)，h→0时在区间上一致收敛，收敛速度更快
数值稳定性	极差，次数越高病态性越强，对节点扰动极度敏感	极好，局部性强，节点扰动仅影响相邻区间，无振荡	极好，局部性强，节点扰动仅影响相邻区间，无振荡
核心优点	光滑性无穷阶，表达式单一	1. 形式简单，计算量极小；2. 无条件一致收敛，无龙格现象；3. 仅需函数值，无需额外信息	1. 光滑性好，一阶导数连续；2. 收敛速度极快，精度高；3. 无龙格现象，稳定性强
核心缺点	1. 等距节点下存在龙格现象，高次振荡发散；2. 全局支撑，稳定性极差；3. 高次计算量极大，误差累积严重	1. 光滑性差，节点处有尖点；2. 收敛速度慢，精度有限	1. 需要节点处的导数值，实际应用中需额外计算；2. 仅一阶光滑，无法满足更高光滑性需求
适用场景	仅适用于区间短、节点数极少（n≤7）的低次插值，几乎不用于高次插值	对光滑性要求低、计算速度要求高的场景，如粗粒度数值逼近、快速工程计算、简单数据可视化	对光滑性有一阶连续要求、精度要求高的场景，如计算机图形学、动画插值、工程曲线设计、中等精度数值模拟

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最终核心结论

分段低次插值的本质，是用「分而治之」的思想，牺牲全局的高光滑性，换来了无条件一致收敛性、极强的数值稳定性、可控的计算量，彻底解决了高次插值的龙格现象问题，是工程实际中最主流的插值方法。分段线性插值和分段三次埃尔米特插值，分别对应了“简单快速”和“高精度+光滑性”两类核心需求，是数值插值的基础核心方法。