2.4埃尔米特插值法

埃尔米特（Hermite）插值 完整讲解与推导证明

各位同学，今天我们系统讲解埃尔米特插值——这是普通插值的核心扩展，也是数值分析中兼顾函数值与导数匹配的关键工具。我会以多年的教学与研究经验，从背景引入、核心定义、公式推导到性质证明，完整拆解每一个知识点，确保大家不仅知其然，更知其所以然。

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一、埃尔米特插值的核心背景与定义

1. 为什么需要埃尔米特插值？

我们之前学习的拉格朗日插值、牛顿插值，仅要求插值节点上的函数值相等，即 \(p(x_i)=f(x_i)\)。但在大量工程与理论问题中，仅匹配函数值是远远不够的：

• 机械设计的轨迹插值：不仅要求轨迹点位置准确，还要求速度、加速度（一阶、二阶导数）连续平滑；
• 微分方程数值求解：需要保证节点处的导数值与方程要求一致；
• 高精度数值逼近：需要同时匹配函数值与导数，提升逼近精度，避免高次插值的龙格现象。

这类同时要求节点处函数值、导数值（甚至高阶导数值）相等的插值多项式，就称为埃尔米特插值多项式，也叫带导数的插值多项式。

2. 插值多项式的存在唯一性原则

埃尔米特插值的核心规律：只要给出 \(m+1\) 个独立的插值条件（包含函数值、导数值），就可以唯一确定一个次数不超过 \(m\) 次的埃尔米特插值多项式。

• 本质：\(m\) 次多项式有 \(m+1\) 个待定系数，\(m+1\) 个独立条件可以唯一解出所有系数；
• 特例：泰勒插值是单点埃尔米特插值，1个点给出 \(n+1\) 个条件（0到n阶导数相等），确定唯一的n次多项式。

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二、核心基础：重节点均差与泰勒插值

要把牛顿插值的均差方法扩展到带导数的插值，首先要解决一个核心问题：当插值节点重合时，均差如何定义？ 这就是重节点均差的核心内容。

1. 重节点均差的理论前提

定理2.3 设 \(f \in C^n[a,b]\)（即 \(f\) 在 \([a,b]\) 上具有n阶连续导数），\(x_0,x_1,\dots,x_n\) 是 \([a,b]\) 上的相异节点，则 \(k\) 阶均差 \(f[x_0,x_1,\dots,x_k]\) 是其节点变量的连续函数。

这个定理的核心意义：均差关于节点是连续的，因此当节点从互异逐渐趋近重合时，均差的极限存在，我们可以用这个极限定义重节点的均差。

2. 重节点均差的定义与推导

（1）一阶重节点均差

对于互异节点 \(x_0,x\)，一阶均差定义为：

\[f[x_0,x] = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

当 \(x \to x_0\) 时，根据导数的定义，这个极限就是 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的一阶导数：

\[\lim_{x \to x_0} f[x_0,x] = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) \]

因此我们定义一阶重节点均差：

\[\boldsymbol{f[x_0,x_0] = \lim_{x \to x_0} f[x_0,x] = f'(x_0)} \]

（2）二阶重节点均差

先定义含两个重节点的二阶均差：对于互异的 \(x_0,x_1\)，二阶均差为

\[f[x_0,x_0,x_1] = \frac{f[x_0,x_1] - f[x_0,x_0]}{x_1 - x_0} \]

当 \(x_1 \to x_0\) 时，我们用洛必达法则求极限：

\[\begin{aligned} \lim_{x_1 \to x_0} f[x_0,x_0,x_1] &= \lim_{x_1 \to x_0} \frac{\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} - f'(x_0)}{x_1 - x_0} \\ &= \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0) - f'(x_0)(x_1-x_0)}{(x_1-x_0)^2} \\ &\stackrel{\text{洛必达}}{=} \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f'(x_1) - f'(x_0)}{2(x_1-x_0)} \\ &= \frac{1}{2!}f''(x_0) \end{aligned} \]

因此定义二阶重节点均差：

\[\boldsymbol{f[x_0,x_0,x_0] = \lim_{x_1,x_2 \to x_0} f[x_0,x_1,x_2] = \frac{1}{2!}f''(x_0)} \]

（3）n阶重节点均差的通用定义

结合之前学过的均差与导数的关系：对于互异节点 \(x_0,x_1,\dots,x_n\)，有

\[f[x_0,x_1,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!},\quad \xi \in (\min(x_i),\max(x_i)) \]

当所有节点 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 都趋近于 \(x_0\) 时，\(\xi \to x_0\)，因此极限为 \(\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\)。

由此得到n阶重节点均差的通用定义：

\[\boldsymbol{f[\underbrace{x_0,x_0,\dots,x_0}_{n+1个x_0}] = \lim_{x_i \to x_0} f[x_0,x_1,\dots,x_n] = \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)} \tag{2.27} \]

3. 泰勒插值：单点埃尔米特插值

有了重节点均差的定义，我们可以直接从牛顿插值多项式推导出泰勒插值多项式，完美衔接之前的知识。

（1）泰勒插值多项式的推导

牛顿均差插值多项式的通用形式为：

\[p_n(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \dots + f[x_0,x_1,\dots,x_n](x-x_0)\dots(x-x_{n-1}) \]

现在令所有节点 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 都趋近于 \(x_0\)，代入重节点均差的定义：

• 第k项的均差 \(f[x_0,x_1,\dots,x_k] \to f[\underbrace{x_0,\dots,x_0}_{k+1个}] = \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\)
• 第k项的基函数 \((x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_{k-1}) \to (x-x_0)^k\)

代入后直接得到泰勒插值多项式：

\[\boldsymbol{p_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n} \tag{2.28} \]

（2）泰勒插值的插值条件与余项

泰勒插值是单点埃尔米特插值，它在 \(x_0\) 处满足0到n阶导数全部相等：

\[p_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0),\quad k=0,1,\dots,n \tag{2.29} \]

共 \(n+1\) 个插值条件，唯一确定n次多项式。

对应的余项就是泰勒公式的拉格朗日余项：

\[\boldsymbol{R_n(x) = f(x)-p_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},\quad \xi \in (a,b)} \]

这个余项与牛顿插值余项令 \(x_i \to x_0\) 的结果完全一致，再次验证了泰勒插值是牛顿插值的极限形式。

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三、典型埃尔米特插值的构造与余项证明

教材中给出了最常用的埃尔米特插值场景：3个节点匹配函数值，中间节点匹配一阶导数，我们完整推导其构造过程与余项公式。

1. 问题设定

求次数不超过3的多项式 \(p(x)\)，满足以下4个插值条件：

1. 函数值条件：\(p(x_0)=f(x_0),\ p(x_1)=f(x_1),\ p(x_2)=f(x_2)\)
2. 导数条件：\(p'(x_1)=f'(x_1)\)

共4个独立条件，因此可以唯一确定3次多项式。

2. 插值多项式的构造与推导

我们沿用牛顿插值的“基础插值+修正项”的构造思路，核心原则是：修正项不能破坏已满足的函数值条件。

步骤1：构造基础二次插值多项式

首先构造过3个节点的二次牛顿插值多项式，它天然满足3个函数值条件：

\[p_2(x) = f(x_0) + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) \]

步骤2：添加修正项

我们要构造的3次多项式 \(p(x)\) 可以表示为：

\[p(x) = p_2(x) + A \cdot (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) \]

其中 \(A\) 是待定常数。

修正项的合理性：当 \(x=x_0,x_1,x_2\) 时，修正项的值为0，因此 \(p(x)\) 依然满足 \(p(x_i)=f(x_i)\)，不会破坏已有的函数值条件，仅需要通过导数条件确定 \(A\)。

步骤3：求导确定待定系数A

对 \(p(x)\) 求一阶导数：

\[\begin{aligned} p'(x) &= p_2'(x) + A \cdot \frac{d}{dx}\left[(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\right] \\ &= f[x_0,x_1] + f[x_0,x_1,x_2]\left[(x-x_1)+(x-x_0)\right] \\ &\quad + A \cdot \left[(x-x_1)(x-x_2) + (x-x_0)(x-x_2) + (x-x_0)(x-x_1)\right] \end{aligned} \]

将 \(x=x_1\) 代入导数表达式：

• 修正项的导数中，所有包含 \((x-x_1)\) 的项全部为0，仅剩 \(A \cdot (x_1-x_0)(x_1-x_2)\)
• 基础多项式的导数代入 \(x=x_1\) 后为：\(f[x_0,x_1] + f[x_0,x_1,x_2](x_1-x_0)\)

因此得到：

\[p'(x_1) = f[x_0,x_1] + (x_1-x_0)f[x_0,x_1,x_2] + A(x_1-x_0)(x_1-x_2) = f'(x_1) \]

移项解出 \(A\)：

\[\boldsymbol{A = \frac{f'(x_1) - f[x_0,x_1] - (x_1-x_0)f[x_0,x_1,x_2]}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}} \]

将 \(A\) 代入 \(p(x)\) 的表达式，就得到了满足所有条件的3次埃尔米特插值多项式。

3. 余项公式的严格证明

（1）余项的形式设定

余项定义为 \(R(x) = f(x) - p(x)\)，它满足以下零点条件：

1. \(R(x_0)=R(x_1)=R(x_2)=0\)（函数值条件）
2. \(R'(x_1)=0\)（导数条件）

因此，\(x_1\) 是 \(R(x)\) 的二重零点，\(x_0,x_2\) 是单零点，因此 \(R(x)\) 可以表示为：

\[R(x) = k(x) \cdot (x-x_0)(x-x_1)^2(x-x_2) \]

其中 \(k(x)\) 是与 \(x\) 相关的待定函数。

（2）构造辅助函数应用罗尔定理

构造辅助函数：

\[\varphi(t) = f(t) - p(t) - k(x) \cdot (t-x_0)(t-x_1)^2(t-x_2) \]

分析 \(\varphi(t)\) 的零点：

• 当 \(t=x_0,x_1,x_2\) 时，\(\varphi(t)=0\)；
• 当 \(t=x\) 时，\(\varphi(x)=R(x)-R(x)=0\)；
• \(x_1\) 是二重零点，因此 \(\varphi'(x_1)=0\)。

综上，\(\varphi(t)\) 在区间内共有5个零点（计重数）：\(x_0,x_1\)（二重）\(,x_2,x\)。

反复应用罗尔定理：

• \(\varphi(t)\) 有5个零点 \(\implies \varphi'(t)\) 有4个零点；
• \(\varphi'(t)\) 有4个零点 \(\implies \varphi''(t)\) 有3个零点；
• \(\varphi''(t)\) 有3个零点 \(\implies \varphi'''(t)\) 有2个零点；
• \(\varphi'''(t)\) 有2个零点 \(\implies \varphi^{(4)}(t)\) 至少有1个零点 \(\xi\)，即 \(\varphi^{(4)}(\xi)=0\)。

（3）求4阶导数解出k(x)

对 \(\varphi(t)\) 求4阶导数：

• \(p(t)\) 是3次多项式，4阶导数为0；
• \((t-x_0)(t-x_1)^2(t-x_2)\) 是4次多项式，首项为 \(t^4\)，4阶导数为 \(4!\)；
• \(k(x)\) 与 \(t\) 无关，求导时视为常数。

因此：

\[\varphi^{(4)}(t) = f^{(4)}(t) - k(x) \cdot 4! \]

代入零点 \(\xi\)，得：

\[f^{(4)}(\xi) - 4! \cdot k(x) = 0 \implies k(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} \]

（4）最终余项公式

将 \(k(x)\) 代入余项表达式，得到：

\[\boldsymbol{R(x) = \frac{1}{4!}f^{(4)}(\xi) \cdot (x-x_0)(x-x_1)^2(x-x_2)} \tag{2.30} \]

其中 \(\xi\) 位于 \(x_0,x_1,x_2\) 和 \(x\) 所界定的区间内。

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四、核心知识点归纳总结表

分类	核心内容与公式	适用场景与特点
埃尔米特插值核心定义	同时要求插值节点处函数值、导数值（高阶导数值）相等的插值多项式，\(m+1\) 个独立条件确定次数不超过 \(m\) 的唯一多项式	轨迹平滑设计、微分方程求解、高精度数值逼近，兼顾函数值与导数匹配
重节点均差定义	n阶重节点均差：\(f[\underbrace{x_0,\dots,x_0}_{n+1个}] = \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)\)，是互异节点均差的极限，衔接牛顿插值与带导数插值	牛顿插值扩展到带导数插值的核心桥梁，泰勒插值的理论基础
泰勒插值（单点埃尔米特）	多项式形式：\(p_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\) 插值条件：\(p_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0),\ k=0,\dots,n\) 余项：\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)	单点附近的高精度逼近，是牛顿插值的极限形式，微积分的核心基础工具
三点带一阶导数埃尔米特插值	多项式形式：\(p(x)=p_2(x)+A(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\)，其中\(A=\frac{f'(x_1)-f[x_0,x_1]-(x_1-x_0)f[x_0,x_1,x_2]}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\) 余项：\(R(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-x_0)(x-x_1)^2(x-x_2)\)	3个节点的插值，中间点要求导数连续，工程中常用的低阶高精度插值，避免高次振荡
与普通插值的核心区别	普通插值仅匹配函数值，埃尔米特插值同时匹配函数值与导数；相同节点数下，埃尔米特插值的逼近精度更高，平滑性更好，无需增加节点数即可提升精度	普通插值仅保证节点处函数值连续，埃尔米特插值可保证导数连续，平滑性远优于普通插值
存在唯一性	独立插值条件的个数 = 多项式待定系数的个数时，埃尔米特插值多项式唯一存在	与普通插值的唯一性定理一致，均由线性方程组的唯一解保证

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埃尔米特插值例题解析与两点三次埃尔米特插值完整推导

一、例2.6 三次埃尔米特插值完整解析

1. 问题重述

已知函数 \(f(x)=x^{3/2}\)，插值节点 \(x_0=\frac{1}{4},\ x_1=1,\ x_2=\frac{9}{4}\)，求三次埃尔米特插值多项式 \(p(x)\)，满足：

1. 函数值条件：\(p(x_i)=f(x_i)\ (i=0,1,2)\)
2. 导数条件：\(p'(x_1)=f'(x_1)\)
   并写出余项表达式。

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2. 基础量计算

（1）节点函数值与导数值

根据 \(f(x)=x^{3/2}\)，计算得：

\[\begin{align*} f_0=f\left(\frac{1}{4}\right)&=\left(\frac{1}{4}\right)^{3/2}=\frac{1}{8}, \\ f_1=f(1)&=1^{3/2}=1, \\ f_2=f\left(\frac{9}{4}\right)&=\left(\frac{9}{4}\right)^{3/2}=\frac{27}{8}. \end{align*} \]

求导得 \(f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}\)，因此 \(x_1=1\) 处的导数值：

\[f'(1)=\frac{3}{2}. \]

（2）均差表计算

根据均差定义，计算各阶均差：

• 一阶均差：
  \[f[x_0,x_1]=\frac{f_1-f_0}{x_1-x_0}=\frac{1-\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{7}{6}, \quad f[x_1,x_2]=\frac{f_2-f_1}{x_2-x_1}=\frac{\frac{27}{8}-1}{\frac{9}{4}-1}=\frac{19}{10}. \]

• 二阶均差：
  \[f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{\frac{19}{10}-\frac{7}{6}}{\frac{9}{4}-\frac{1}{4}}=\frac{11}{30}. \]

最终均差表如下：

\(x_i\)	\(f(x_i)\)	一阶均差	二阶均差
\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{8}\)	-	-
\(1\)	\(1\)	\(\frac{7}{6}\)	-
\(\frac{9}{4}\)	\(\frac{27}{8}\)	\(\frac{19}{10}\)	\(\frac{11}{30}\)

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3. 插值多项式构造

三次埃尔米特插值多项式可在二次牛顿插值的基础上，添加不破坏函数值条件的三次修正项，形式为：

\[p(x) = f_0 + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + A(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) \]

其中 \(A\) 为待定常数，修正项在 \(x_0,x_1,x_2\) 处均为0，天然满足函数值条件，仅需通过导数条件求解。

（1）求导确定待定系数A

对 \(p(x)\) 求一阶导数：

\[\begin{align*} p'(x) &= \frac{7}{6} + \frac{11}{30}\left[(x-1)+(x-\frac{1}{4})\right] \\ &\quad + A\left[(x-1)(x-\frac{9}{4}) + (x-\frac{1}{4})(x-\frac{9}{4}) + (x-\frac{1}{4})(x-1)\right]. \end{align*} \]

代入 \(x=1\)，利用条件 \(p'(1)=\frac{3}{2}\)：

• 二阶均差项代入后为 \(\frac{11}{30} \times \frac{3}{4} = \frac{11}{40}\)；
• 三次项导数代入后为 \(A \times \frac{3}{4} \times (-\frac{5}{4}) = -\frac{15}{16}A\)。

因此得到方程：

\[\frac{7}{6} + \frac{11}{40} - \frac{15}{16}A = \frac{3}{2}. \]

通分求解：

\[\frac{173}{120} - \frac{15}{16}A = \frac{180}{120} \implies A = -\frac{14}{225}. \]

（2）最终插值多项式

将 \(A\) 代入，得到牛顿形式的三次埃尔米特多项式：

\[\boldsymbol{ p(x) = \frac{1}{8} + \frac{7}{6}\left(x-\frac{1}{4}\right) + \frac{11}{30}\left(x-\frac{1}{4}\right)(x-1) - \frac{14}{225}\left(x-\frac{1}{4}\right)(x-1)\left(x-\frac{9}{4}\right) } \]

展开为标准三次多项式形式：

\[\boldsymbol{p(x) = -\frac{14}{225}x^3 + \frac{263}{450}x^2 + \frac{233}{450}x - \frac{1}{25}} \]

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4. 余项表达式

根据带导数插值的余项公式，该三次插值的余项为：

\[R(x) = f(x)-p(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} \cdot \left(x-\frac{1}{4}\right)(x-1)^2\left(x-\frac{9}{4}\right), \quad \xi \in \left(\frac{1}{4},\frac{9}{4}\right). \]

计算 \(f(x)\) 的四阶导数：

\[f^{(4)}(x) = \frac{9}{16}x^{-5/2}, \]

代入得最终余项：

\[\boldsymbol{R(x) = \frac{9}{16 \times 24} \xi^{-5/2} \cdot \left(x-\frac{1}{4}\right)(x-1)^2\left(x-\frac{9}{4}\right) = \frac{3}{128}\xi^{-5/2} \left(x-\frac{1}{4}\right)(x-1)^2\left(x-\frac{9}{4}\right)} \]

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二、两点三次埃尔米特插值完整推导

两点三次埃尔米特插值是工程中最常用的带导数插值方法，可保证两个节点处的函数值、一阶导数值全部匹配，插值曲线平滑性远优于普通二次插值。

1. 问题设定

给定两个插值节点 \(x_k, x_{k+1}\)，求三次多项式 \(H_3(x)\)，满足以下4个插值条件：

\[\begin{cases} H_3(x_k) = y_k, \quad H_3(x_{k+1}) = y_{k+1}, \\ H_3'(x_k) = m_k, \quad H_3'(x_{k+1}) = m_{k+1}. \end{cases} \]

4个独立条件可唯一确定一个次数不超过3的多项式。

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2. 基函数法构造插值多项式

采用基函数法，将 \(H_3(x)\) 表示为4个三次基函数的线性组合：

\[H_3(x) = \alpha_k(x)y_k + \alpha_{k+1}(x)y_{k+1} + \beta_k(x)m_k + \beta_{k+1}(x)m_{k+1}, \]

其中 \(\alpha_k(x),\alpha_{k+1}(x),\beta_k(x),\beta_{k+1}(x)\) 为三次埃尔米特插值基函数，分别满足以下正交条件：

基函数	\(x=x_k\) 处函数值	\(x=x_k\) 处导数值	\(x=x_{k+1}\) 处函数值	\(x=x_{k+1}\) 处导数值
\(\alpha_k(x)\)	1	0	0	0
\(\alpha_{k+1}(x)\)	0	0	1	0
\(\beta_k(x)\)	0	1	0	0
\(\beta_{k+1}(x)\)	0	0	0	1

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3. 基函数的推导

（1）推导 \(\alpha_k(x)\)

由条件，\(x=x_{k+1}\) 是 \(\alpha_k(x)\) 的二重零点（函数值、导数值均为0），因此可设：

\[\alpha_k(x) = (ax+b) \cdot \left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right)^2, \]

其中分母 \((x_k-x_{k+1})^2\) 用于归一化，简化计算。

代入条件 \(\alpha_k(x_k)=1\)，得：

\[a x_k + b = 1. \]

对 \(\alpha_k(x)\) 求导，代入 \(\alpha_k'(x_k)=0\)，得：

\[a + \frac{2}{x_k - x_{k+1}} = 0 \implies a = -\frac{2}{x_k - x_{k+1}} = \frac{2}{x_{k+1}-x_k}. \]

代入求解 \(b\)：

\[b = 1 - a x_k = 1 + \frac{2x_k}{x_k - x_{k+1}}. \]

将 \(a,b\) 代入，化简得：

\[\boldsymbol{\alpha_k(x) = \left( 1 + 2\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \right) \cdot \left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right)^2} \]

（2）推导 \(\alpha_{k+1}(x)\)

将 \(\alpha_k(x)\) 中的 \(k\) 与 \(k+1\) 互换，直接得到：

\[\boldsymbol{\alpha_{k+1}(x) = \left( 1 + 2\frac{x-x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right) \cdot \left( \frac{x-x_k}{x_{k+1} - x_k} \right)^2} \]

（3）推导 \(\beta_k(x)\)

由条件，\(x=x_{k+1}\) 是二重零点，\(x=x_k\) 是单零点，因此可设：

\[\beta_k(x) = a(x-x_k) \cdot \left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right)^2. \]

求导后代入 \(\beta_k'(x_k)=1\)，得 \(a=1\)，因此：

\[\boldsymbol{\beta_k(x) = (x-x_k) \cdot \left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right)^2} \]

（4）推导 \(\beta_{k+1}(x)\)

同理，互换 \(k\) 与 \(k+1\) 得：

\[\boldsymbol{\beta_{k+1}(x) = (x-x_{k+1}) \cdot \left( \frac{x-x_k}{x_{k+1} - x_k} \right)^2} \]

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4. 两点三次埃尔米特插值最终公式

将4个基函数代入线性组合式，得到最终的插值多项式：

\[\boldsymbol{ \begin{aligned} H_3(x) &= \left( 1 + 2\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \right) \left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right)^2 y_k \\ &\quad + \left( 1 + 2\frac{x-x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right) \left( \frac{x-x_k}{x_{k+1} - x_k} \right)^2 y_{k+1} \\ &\quad + (x-x_k) \left( \frac{x-x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} \right)^2 m_k \\ &\quad + (x-x_{k+1}) \left( \frac{x-x_k}{x_{k+1} - x_k} \right)^2 m_{k+1} \end{aligned} } \]

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5. 余项公式与证明

（1）余项公式

设 \(f(x)\) 在 \([x_k,x_{k+1}]\) 上3阶导数连续，在 \((x_k,x_{k+1})\) 内4阶导数存在，则插值余项为：

\[\boldsymbol{R_3(x) = f(x)-H_3(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} \cdot (x-x_k)^2(x-x_{k+1})^2, \quad \xi \in (x_k,x_{k+1})} \]

（2）严格证明

1. 零点分析：余项 \(R_3(x)\) 满足 \(R_3(x_k)=R_3(x_{k+1})=0\)，\(R_3'(x_k)=R_3'(x_{k+1})=0\)，因此 \(x_k,x_{k+1}\) 均为 \(R_3(x)\) 的二重零点，可设：

   \[R_3(x) = k(x) \cdot (x-x_k)^2(x-x_{k+1})^2, \]

   其中 \(k(x)\) 为与 \(x\) 相关的待定函数。

2. 构造辅助函数：

   \[\varphi(t) = f(t) - H_3(t) - k(x) \cdot (t-x_k)^2(t-x_{k+1})^2. \]

   分析零点：\(\varphi(x_k)=\varphi(x_{k+1})=\varphi(x)=0\)，且 \(\varphi'(x_k)=\varphi'(x_{k+1})=0\)，共5个零点（计重数）。

3. 应用罗尔定理：
   反复应用罗尔定理，\(\varphi^{(4)}(t)\) 在 \((x_k,x_{k+1})\) 内至少存在1个零点 \(\xi\)，即 \(\varphi^{(4)}(\xi)=0\)。

4. 求导求解k(x)：
   \(H_3(t)\) 是三次多项式，4阶导数为0；\((t-x_k)^2(t-x_{k+1})^2\) 是四次多项式，4阶导数为 \(4!\)，因此：

   \[\varphi^{(4)}(\xi) = f^{(4)}(\xi) - 4! \cdot k(x) = 0 \implies k(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}. \]

5. 代入得余项公式：
   将 \(k(x)\) 代入 \(R_3(x)\) 的表达式，余项公式得证。

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三、核心知识点归纳总结表

插值类型	插值条件	多项式次数	核心构造方法	余项公式	适用场景
三点带单节点导数的三次埃尔米特插值（例2.6）	3个节点函数值匹配 + 1个节点一阶导数匹配，共4个条件	3次	牛顿插值+修正项，用导数条件确定待定系数	\(R(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-x_0)(x-x_1)^2(x-x_2)\)	中间节点要求导数连续、两端仅需函数值匹配的场景
两点三次埃尔米特插值	2个节点的函数值、一阶导数值全部匹配，共4个条件	3次	基函数法，构造满足正交条件的三次基函数	\(R(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-x_k)^2(x-x_{k+1})^2\)	工程中最常用，保证区间两端点位置、斜率全部匹配，曲线平滑性好
泰勒插值（单点埃尔米特插值）	1个点的0~n阶导数全部匹配，共n+1个条件	n次	重节点均差的极限形式	\(R(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\)	单点附近的高精度局部逼近

补充说明

1. 埃尔米特插值的核心优势是同时匹配函数值与导数值，插值曲线的平滑性、逼近精度远优于同次数的普通插值；
2. 两点三次埃尔米特插值可分段使用，形成分段三次埃尔米特插值，既能保证整体一阶导数连续，又能避免高次插值的龙格现象，是工程曲线插值的首选方法；
3. 埃尔米特插值的余项中，节点处均为二重零点，因此在节点附近的误差衰减速度远快于普通插值。