2.3均差与牛顿插值法
均差与牛顿插值多项式 完整讲解与推导证明
各位同学，今天我们用多年数值分析研究与教学的经验，把均差（差商）与牛顿插值多项式这个核心知识点，从背景引入、公式推导、性质证明到工程应用，讲透讲全，不留任何模糊点。
一、引入背景：为什么要发明牛顿插值？
我们已经学过拉格朗日插值多项式，它的公式结构紧凑，在理论分析中价值极高，但它有一个致命的工程缺陷：当插值节点增减时，所有的插值基函数都要重新计算，之前的计算结果完全无法复用。
比如你先算完3个节点的二次插值，现在要新增1个节点算三次插值，拉格朗日插值需要把4个基函数全部重算一遍，计算量完全重复。
而牛顿插值的核心设计思想，就是逐次生成、递推构造：新增节点时，只需要在原有插值多项式的基础上，新增一个修正项即可，之前的计算结果100%复用，极大降低了计算量，也更适合编程实现。
二、插值多项式的逐次生成：牛顿插值的形式推导
我们从低次到高次，一步步推导牛顿插值的通用形式，理解它的递推逻辑。
1. 零次插值（常数插值）
零次多项式是常数，满足插值条件 \(p_0(x_0)=f(x_0)\)，直接得到：
我们把它称为零阶插值，是所有高次插值的基础。
2. 一次插值（线性插值）
现在新增节点 \(x_1\)，要构造一次多项式 \(p_1(x)\)，满足 \(p_1(x_0)=f(x_0),\ p_1(x_1)=f(x_1)\)。
我们不直接构造拉格朗日基函数，而是在零次插值的基础上做修正，构造形式为：
这个形式的优势很明显：当 \(x=x_0\) 时，第二项为0，自动满足 \(p_1(x_0)=f(x_0)\)，我们只需要确定系数 \(a_1\)，让 \(p_1(x_1)=f(x_1)\) 即可。
将 \(x=x_1\) 代入上式：
解出系数：
这个系数就是函数 \(f(x)\) 在 \(x_0,x_1\) 上的一阶均差（差商），记为 \(f[x_0,x_1]\)。
3. 二次插值（抛物线插值）
再新增节点 \(x_2\)，构造二次多项式 \(p_2(x)\)，满足 \(p_2(x_0)=f(x_0),\ p_2(x_1)=f(x_1),\ p_2(x_2)=f(x_2)\)。
同样沿用递推修正的思路，在一次插值的基础上构造：
验证前两个节点：\(x=x_0\) 和 \(x=x_1\) 时，第二项均为0，自动继承了一次插值的结果，满足前两个插值条件。我们只需要确定 \(a_2\)，让 \(p_2(x_2)=f(x_2)\)。
将 \(x=x_2\) 代入，解出：
把 \(p_1(x_2)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x_2-x_0)\) 代入分子，整理后得到：
这个系数就是二阶均差，记为 \(f[x_0,x_1,x_2]\)，本质是“一阶均差的均差”。
4. 推广到n次牛顿插值多项式
按照上面的递推逻辑，对于 \(n+1\) 个互异节点 \(x_0,x_1,\dots,x_n\)，我们要构造满足插值条件 \(p_n(x_i)=f(x_i)\ (i=0,1,\dots,n)\) 的n次多项式，直接给出递推构造的通用形式：
这就是牛顿插值多项式的标准形式。
通过数学归纳法可以证明，系数 \(a_k\) 就是函数 \(f(x)\) 在节点 \(x_0,x_1,\dots,x_k\) 上的k阶均差，即：
其中零阶均差定义为 \(f[x_0] = f(x_0)\)，对应系数 \(a_0\)。
三、均差（差商）的严格定义与核心性质证明
要完全掌握牛顿插值，必须先吃透均差这个核心工具，我们给出严格的递归定义，并对核心性质做完整证明。
1. 均差的递归定义
- 零阶均差：函数 \(f(x)\) 在节点 \(x_i\) 处的零阶均差，就是函数值本身：\[f[x_i] = f(x_i) \]
- 一阶均差：函数 \(f(x)\) 在两个节点 \(x_i,x_j\) 上的一阶均差，定义为函数值的差与自变量差的比值：\[f[x_i,x_j] = \frac{f[x_j] - f[x_i]}{x_j - x_i} \]本质是函数在区间 \([x_i,x_j]\) 上的平均变化率。
- k阶均差：函数 \(f(x)\) 在 \(k+1\) 个节点 \(x_0,x_1,\dots,x_k\) 上的k阶均差，递归定义为：\[f[x_0,x_1,\dots,x_k] = \frac{f[x_0,x_1,\dots,x_{k-2},x_k] - f[x_0,x_1,\dots,x_{k-1}]}{x_k - x_{k-1}} \]核心逻辑：k阶均差 = 两个k-1阶均差的差 / 对应节点的差。
2. 均差的核心性质与严格证明
性质1：k阶均差可表示为节点函数值的线性组合
证明（数学归纳法）：
- 基例：\(k=1\) 时，一阶均差 \(f[x_0,x_1] = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \frac{f(x_0)}{x_0-x_1} + \frac{f(x_1)}{x_1-x_0}\)，与公式一致，成立。
- 归纳假设：假设 \(k=m-1\) 时公式成立，即 \(m-1\) 阶均差可表示为对应节点函数值的线性组合。
- 归纳递推：对于 \(k=m\) 阶均差，代入递归定义，将归纳假设的两个 \(m-1\) 阶均差展开，化简后可得到 \(m\) 阶均差的线性组合形式，与公式完全一致。
由数学归纳法，该性质对所有 \(k\geq0\) 成立。
性质2：均差的对称性
均差的值与节点的排列顺序无关，任意交换两个节点的位置，均差的值不变，即：
其中 \(i_0,i_1,\dots,i_k\) 是 \(0,1,\dots,k\) 的任意排列。
证明：
由性质1的线性组合表达式，均差是各节点函数值的线性组合，每个项的分母是该节点到其他所有节点的差的乘积。交换节点的顺序，仅改变求和的顺序，每个 \(f(x_j)\) 对应的分母完全不变，因此整个和的值不变。对称性得证。
由对称性，我们可以得到均差的另一个常用递归式：
这个式子用首尾节点的差做分母，计算和证明中非常常用。
性质3：均差与导数的关系（微分中值定理的推广）
若函数 \(f(x)\) 在包含节点 \(x_0,x_1,\dots,x_n\) 的区间 \([a,b]\) 上存在 \(n\) 阶连续导数，则在 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，使得：
证明（罗尔定理）：
- 构造辅助函数 \(\varphi(x) = f(x) - p_n(x)\)，其中 \(p_n(x)\) 是n次牛顿插值多项式，满足 \(p_n(x_i)=f(x_i)\)，因此 \(\varphi(x)\) 在 \([a,b]\) 上有 \(n+1\) 个互异零点 \(x_0,x_1,\dots,x_n\)。
- 由罗尔定理，\(\varphi'(x)\) 在相邻零点之间至少有1个零点，因此 \(\varphi'(x)\) 在 \((a,b)\) 内至少有 \(n\) 个互异零点。
- 重复应用罗尔定理，第 \(n\) 次应用后可得：\(\varphi^{(n)}(x)\) 在 \((a,b)\) 内至少有1个零点，记为 \(\xi\)，即 \(\varphi^{(n)}(\xi)=0\)。
- 计算n阶导数：\(p_n(x)\) 是n次多项式，其n阶导数为 \(n!\cdot a_n = n!\cdot f[x_0,x_1,\dots,x_n]\)，因此：\[\varphi^{(n)}(x) = f^{(n)}(x) - n!\cdot f[x_0,x_1,\dots,x_n] \]
- 代入 \(\xi\) 得：\(f^{(n)}(\xi) - n!\cdot f[x_0,x_1,\dots,x_n] = 0\)，整理后即得证。
性质4：多项式的均差性质
若 \(f(x)\) 是 \(m\) 次多项式，则：
- 当 \(k\leq m\) 时，\(f(x)\) 的k阶均差是 \(m-k\) 次多项式；
- 当 \(k>m\) 时，\(f(x)\) 的k阶均差恒为0。
证明：
\(m\) 次多项式的 \(m+1\) 阶导数恒为0，由性质3，\(m+1\) 阶均差 \(f[x_0,\dots,x_m] = \frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}=0\)，因此 \(k>m\) 时均差恒为0；\(k\leq m\) 时，k阶均差的最高次项次数为 \(m-k\)，因此是 \(m-k\) 次多项式。
四、牛顿插值多项式的完整形式与余项
1. 完整的牛顿插值多项式
结合均差的定义，我们得到n次牛顿插值多项式的最终形式：
插值条件验证：
由插值多项式的唯一性定理：满足 \(n+1\) 个互异节点插值条件的次数不超过n的多项式是唯一的。牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式满足完全相同的插值条件，因此二者是同一个多项式，即 \(N_n(x)\equiv L_n(x)\)，自然满足所有插值条件。
2. 牛顿插值的余项
牛顿插值有两种余项形式，分别适用于不同场景：
（1）导数型余项（与拉格朗日余项一致）
若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上存在 \(n+1\) 阶连续导数，则余项为：
其中 \(\omega_{n+1}(x) = (x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)\)，\(\xi\) 依赖于 \(x\) 的取值。
（2）均差型余项（牛顿插值特有，适用范围更广）
不需要 \(f(x)\) 有高阶导数，仅需 \(f(x)\) 在节点上有定义，余项即可表示为：
证明：
将 \(x\) 看作一个新增的节点，对 \(n+1\) 阶均差做递归展开，最终可得到：
移项后即得均差型余项。
这个余项的核心价值是：新增节点时，只需要计算新的高阶均差，就能直接在原有插值多项式上新增一项，完全复用之前的计算结果，完美解决了拉格朗日插值的节点增减问题。
五、均差表的构造与使用
实际计算中，我们通过均差表来高效计算各阶均差，表的结构与计算规则如下（以5个节点为例）：
| \(x_k\) | \(f(x_k)\)（零阶均差） | 一阶均差 | 二阶均差 | 三阶均差 | 四阶均差 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_0\) | \(f(x_0)\) | ||||
| \(x_1\) | \(f(x_1)\) | \(f[x_0,x_1]\) | |||
| \(x_2\) | \(f(x_2)\) | \(f[x_1,x_2]\) | \(f[x_0,x_1,x_2]\) | ||
| \(x_3\) | \(f(x_3)\) | \(f[x_2,x_3]\) | \(f[x_1,x_2,x_3]\) | \(f[x_0,x_1,x_2,x_3]\) | |
| \(x_4\) | \(f(x_4)\) | \(f[x_3,x_4]\) | \(f[x_2,x_3,x_4]\) | \(f[x_1,x_2,x_3,x_4]\) | \(f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]\) |
计算规则
- 零阶均差直接填入 \(f(x_k)\)；
- k阶均差 = \(\frac{\text{当前行的k-1阶均差} - \text{上一行的k-1阶均差}}{\text{当前行}x_k - \text{上k行的}x_{k-j}}\)；
- 牛顿插值多项式的系数，就是均差表中第一行的各阶均差（表中斜向的元素）。
六、核心知识点归纳总结表
| 分类 | 核心内容与公式 |
|---|---|
| 牛顿插值核心思想 | 递推构造、逐次修正，新增节点仅需新增一项，复用之前的计算结果，解决拉格朗日插值节点增减需全量重算的缺陷 |
| 牛顿插值多项式形式 | \(N_n(x) = \sum_{k=0}^n f[x_0,x_1,\dots,x_k] \cdot \prod_{j=0}^{k-1} (x-x_j)\)，其中 \(\prod_{j=0}^{-1} (x-x_j)=1\) |
| 均差递归定义 | 零阶：\(f[x_i]=f(x_i)\)；一阶：\(f[x_i,x_j]=\frac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i}\)；k阶：\(f[x_0,\dots,x_k]=\frac{f[x_0,\dots,x_{k-2},x_k]-f[x_0,\dots,x_{k-1}]}{x_k-x_{k-1}}\) |
| 均差核心性质 | 1. 可表示为节点函数值的线性组合；2. 对称性：与节点排列顺序无关；3. 与导数关系：\(f[x_0,\dots,x_n]=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\)；4. m次多项式的k>m阶均差恒为0 |
| 插值余项 | 1. 导数型：\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)\)（需n+1阶可导）；2. 均差型：\(R_n(x)=f[x_0,\dots,x_n,x]\cdot\omega_{n+1}(x)\)（仅需函数值有定义，适用范围更广） |
| 与拉格朗日插值的关系 | 满足相同插值条件的n次多项式唯一，因此 \(N_n(x)\equiv L_n(x)\)；拉格朗日插值适合理论分析，牛顿插值适合工程计算与编程实现，节点增减时计算量远小于拉格朗日插值 |
| 均差表作用 | 高效计算各阶均差，直接提取牛顿插值多项式的系数，是工程实现的核心工具 |
牛顿插值多项式 完整推导与深度讲解
承接上一讲均差（差商）的核心内容，我们基于教材内容，完整推导牛顿插值多项式的构造逻辑、插值条件、余项性质、工程实现优势，把每一步公式的来龙去脉讲透，不留任何推导空白。
一、牛顿插值多项式的核心构造：从均差定义到恒等展开
牛顿插值的本质，是利用均差的递归定义，对函数f(x)做恒等变形，逐次构造出满足插值条件的多项式，整个过程没有任何近似，完全是恒等推导。
1. 从一阶均差出发的基础恒等式
根据一阶均差的定义，我们把待求点\(x\)看作一个自由节点，固定插值节点\(x_0\)，则一阶均差为：
将式子做恒等变形，直接得到：
这个式子是所有推导的基础：它把\(f(x)\)拆成了两部分，第一部分是零次多项式\(p_0(x)=f(x_0)\)，第二部分是带均差的余项项。
2. 二阶均差的递推展开
我们再引入第二个插值节点\(x_1\)，对式(1)里的一阶均差\(f[x,x_0]\)，用二阶均差的定义做展开：
同样做恒等变形，得到：
把式(2)代入式(1)，就得到了\(f(x)\)的二阶展开式：
这里的\(p_1(x)\)就是满足\(p_1(x_0)=f(x_0),\ p_1(x_1)=f(x_1)\)的一次牛顿插值多项式，完全符合我们上一讲的递推构造逻辑。
3. 推广到n阶的完整展开
按照完全相同的逻辑，我们对每一次展开得到的最高阶均差，继续引入新的插值节点做递归展开：
- 对二阶均差\(f[x,x_0,x_1]\)，引入\(x_2\)，展开为\(f[x,x_0,x_1] = f[x_0,x_1,x_2] + f[x,x_0,x_1,x_2](x-x_2)\)
- 对三阶均差\(f[x,x_0,x_1,x_2]\)，引入\(x_3\)，做同样的展开
- ...
- 直到引入第\(n\)个节点\(x_n\)，对\(n\)阶均差展开为：\[f[x,x_0,\dots,x_{n-1}] = f[x_0,x_1,\dots,x_n] + f[x,x_0,\dots,x_n](x - x_n) \]
把所有展开式从后往前依次代入，最终得到\(f(x)\)的完整恒等展开式：
二、牛顿插值多项式的正式定义与插值条件验证
1. 正式定义
我们把展开式中的多项式部分，定义为n次牛顿插值多项式：
对应的系数为：
其中零阶均差\(f[x_0]=f(x_0)\)，对应系数\(a_0\)。
2. 插值条件的严格验证
我们需要证明：\(p_n(x)\)满足插值条件\(p_n(x_i) = f(x_i),\ i=0,1,\dots,n\)，用数学归纳法+直接代入验证：
- 当\(x=x_0\)时，除了第一项\(f(x_0)\)，后面所有项都包含因子\((x-x_0)\)，代入\(x=x_0\)后全部为0，因此\(p_n(x_0)=f(x_0)\)，成立。
- 当\(x=x_1\)时，从第三项开始，所有项都包含因子\((x-x_0)(x-x_1)\)，代入\(x=x_1\)后全部为0，剩余前两项：\[p_n(x_1) = f(x_0) + f[x_0,x_1](x_1-x_0) = f(x_0) + (f(x_1)-f(x_0)) = f(x_1) \]成立。
- 以此类推，当\(x=x_k\)时，第\(k+2\)项及以后的所有项，都包含因子\((x-x_k)\)，代入后全部为0；前\(k+1\)项的和，恰好是\(k\)次牛顿插值多项式\(p_k(x_k)\)，根据归纳假设，\(p_k(x_k)=f(x_k)\)，因此\(p_n(x_k)=f(x_k)\)。
- 当\(x=x_n\)时，所有项代入后，恰好等于\(f(x_n)\)，插值条件全部满足。
同时，\(p_n(x)\)的最高次项为\(f[x_0,\dots,x_n] \cdot (x-x_0)\dots(x-x_{n-1})\)，次数不超过\(n\)，符合插值多项式的次数要求。
3. 牛顿插值基函数
牛顿插值多项式是基于一组特殊的多项式基构造的，这组基称为牛顿插值基函数：
和拉格朗日插值的基函数相比，牛顿基具有完美的递推性：第\(k+1\)个基函数 = 第\(k\)个基函数 \(\times (x-x_k)\)，这也是牛顿插值可以逐次构造、复用计算结果的核心原因。
三、牛顿插值余项的深度解析
1. 余项的两种形式
牛顿插值有两种余项形式，分别适用于不同场景，二者完全等价：
（1）均差型余项（牛顿插值特有）
其中\(\omega_{n+1}(x) = (x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)\)，是插值节点的基多项式。
（2）导数型余项（与拉格朗日余项完全等价）
若\(f(x)\)在包含所有节点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)和待求点\(x\)的区间\([a,b]\)上存在\(n+1\)阶连续导数，则余项可表示为：
2. 两种余项的等价性证明
根据上一讲我们证明的均差与导数的关系：\(n+1\)阶均差满足
将这个式子直接代入均差型余项，就得到了导数型余项。
同时，根据插值多项式的唯一性定理：满足\(n+1\)个互异节点插值条件的次数不超过\(n\)的多项式是唯一的。因此牛顿插值多项式\(p_n(x)\)和拉格朗日插值多项式\(L_n(x)\)是完全相同的多项式，余项自然完全等价。
3. 均差型余项的核心优势
教材中特别强调：均差型余项更具一般性，适用范围远大于导数型余项，核心体现在：
- 无需\(f(x)\)有高阶导数，甚至不需要\(f(x)\)有解析表达式：只要\(f(x)\)在离散节点上有函数值，就能计算均差，得到余项的估计；
- 完美适配离散数据场景：工程中很多时候我们只有一组离散的测量数据，没有函数的解析表达式，无法求导，此时导数型余项完全失效，而均差型余项依然可以使用；
- 适配节点动态增减的场景：新增节点时，只需要计算新的高阶均差，就能直接更新余项的估计，完全复用之前的计算结果。
四、牛顿插值的递推实现与工程优势
1. 递推计算格式
教材中给出了牛顿插值的递推实现公式，这是工程编程的核心：
其中\(\omega_k(x) = (x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_k)\)，系数\(a_{k+1}=f[x_0,x_1,\dots,x_{k+1}]\)，直接从均差表的主对角线提取。
2. 对比拉格朗日插值的核心优势
| 特性 | 牛顿插值 | 拉格朗日插值 |
|---|---|---|
| 节点增减的计算量 | 新增节点仅需计算新的高阶均差，复用全部已有计算，增量计算量\(O(n)\) | 新增节点需要重新计算所有基函数，全量重算，计算量\(O(n^2)\) |
| 编程实现复杂度 | 先算均差表，再递推生成多项式，逻辑清晰，循环结构简单 | 需要嵌套循环计算基函数，逻辑复杂，复用性差 |
| 余项适用范围 | 均差型余项适配离散数据、无导数的场景，适用范围广 | 导数型余项要求函数有高阶导数，仅适配有解析表达式的函数 |
| 理论分析价值 | 适合递推分析、数值计算实现 | 公式结构紧凑，适合纯理论分析 |
五、核心知识点归纳总结
| 分类 | 核心内容与结论 |
|---|---|
| 核心构造逻辑 | 基于均差的递归定义，对\(f(x)\)做恒等展开，逐次构造插值多项式，每一步都是恒等变形，无近似 |
| 多项式标准形式 | \(p_n(x) = \sum_{k=0}^n f[x_0,x_1,\dots,x_k] \cdot \prod_{j=0}^{k-1} (x-x_j)\)，系数为均差表主对角线的各阶均差 |
| 插值条件 | 满足\(p_n(x_i)=f(x_i)\ (i=0,1,\dots,n)\)，是次数不超过\(n\)的多项式，与拉格朗日插值多项式完全等价（插值多项式唯一性） |
| 余项形式 | 1. 均差型：\(R_n(x)=f[x,x_0,\dots,x_n]\cdot\omega_{n+1}(x)\)，通用型强；2. 导数型：\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot\omega_{n+1}(x)\)，仅适用于高阶可导的函数 |
| 核心优势 | 节点增减时可复用已有计算，增量计算量极小，编程实现简单，适配离散数据、动态节点等工程场景，是工程中最常用的插值方法之一 |
| 基函数特性 | 基于牛顿基\(\{1, x-x_0, (x-x_0)(x-x_1), \dots\}\)构造，具有完美的递推性，是逐次构造的核心基础 |
最终答案
- 4次牛顿插值多项式为：
- \(f(0.596)\)的近似值为：\(\boldsymbol{f(0.596)\approx p_4(0.596)=0.63192}\)
- 截断误差上界：\(|R_4(x)|\leq 3.97\times 10^{-9}\)，误差极小可忽略。
详细分步解析
一、均差表的计算与验证
首先明确插值节点与对应函数值，根据均差的递归定义，完整计算并验证均差表：
| \(x_k\) | \(f(x_k)\) | 一阶均差\(f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}\) | 二阶均差\(f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}\) | 三阶均差 | 四阶均差 | 五阶均差 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.40 | 0.41075 | - | - | - | - | - |
| 0.55 | 0.57815 | \(\frac{0.57815-0.41075}{0.55-0.40}=1.11600\) | - | - | - | - |
| 0.65 | 0.69675 | \(\frac{0.69675-0.57815}{0.65-0.55}=1.18600\) | \(\frac{1.18600-1.11600}{0.65-0.40}=0.28000\) | - | - | - |
| 0.80 | 0.88811 | \(\frac{0.88811-0.69675}{0.80-0.65}=1.27573\) | \(\frac{1.27573-1.18600}{0.80-0.55}=0.35893\) | \(\frac{0.35893-0.28000}{0.80-0.40}=0.19733\) | - | - |
| 0.90 | 1.02652 | \(\frac{1.02652-0.88811}{0.90-0.80}=1.38410\) | \(\frac{1.38410-1.27573}{0.90-0.65}=0.43347\) | \(\frac{0.43347-0.35893}{0.90-0.55}=0.21295\) | \(\frac{0.21295-0.19733}{0.90-0.40}=0.03124\) | - |
| 1.05 | 1.25382 | \(\frac{1.25382-1.02652}{1.05-0.90}=1.51533\) | \(\frac{1.51533-1.38410}{1.05-0.80}=0.52493\) | \(\frac{0.52493-0.43347}{1.05-0.65}=0.22867\) | \(\frac{0.22867-0.21295}{1.05-0.55}=0.03143\) | \(\frac{0.03143-0.03124}{1.05-0.40}=0.00029\) |
关键判断：四阶均差0.03124与0.03143几乎相等，五阶均差仅0.00029，说明函数的变化用4次多项式即可精准拟合，因此取4次插值多项式。
二、4次牛顿插值多项式的构造
牛顿插值多项式的核心公式为：
其中系数为均差表主对角线的各阶均差，取前5个节点（\(x_0\)到\(x_4\)）的各阶均差，代入得4次插值多项式：
三、\(f(0.596)\)的数值计算
将\(x=0.596\)代入\(p_4(x)\)，逐项计算：
- 第一项：\(0.41075\)
- 第二项：\(1.116\times(0.596-0.4)=1.116\times0.196=0.218736\)，累计和：\(0.41075+0.218736=0.629486\)
- 第三项：\(0.28\times0.196\times(0.596-0.55)=0.28\times0.196\times0.046=0.00252448\)，累计和：\(0.629486+0.00252448=0.63201048\)
- 第四项：\(0.19733\times0.196\times0.046\times(0.596-0.65)=0.19733\times(-0.000486864)\approx-0.00009607\)，累计和：\(0.63201048-0.00009607=0.63191441\)
- 第五项：\(0.03124\times0.196\times0.046\times(-0.054)\times(0.596-0.8)\approx0.03124\times0.00009932\approx0.00000310\)，累计和：\(0.63191441+0.00000310\approx0.63192\)
最终得：\(\boldsymbol{f(0.596)\approx 0.63192}\)
四、截断误差分析
牛顿插值的均差型余项公式为：
其中\(\omega_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)\)。
对于4次插值，余项为：
用已知的五阶均差\(f[x_0,x_1,\dots,x_5]=0.00029\)近似\(f[x,x_0,\dots,x_4]\)，计算得：
因此截断误差：
教材给出的上界\(3.97\times10^{-9}\)为更保守的精度估计，二者均说明误差极小，完全可以忽略不计。
核心要点总结
- 牛顿插值的核心优势是节点增减时仅需增量计算，无需全量重算，本例中四阶均差已近似常数，无需更高次插值；
- 插值多项式的系数直接取自均差表的主对角线，构造逻辑清晰，适合编程实现；
- 均差型余项无需函数的高阶导数，仅需离散节点的函数值即可估计误差，适用范围远广于拉格朗日插值的导数型余项。
差分形式的牛顿插值公式（牛顿前插公式）完整讲解与推导
在工程与科学计算中，绝大多数插值节点为等距分布（相邻节点间距固定为步长\(h\)），此时任意节点的牛顿插值公式可大幅简化，衍生出差分形式的牛顿插值公式。它计算量更小、手算更便捷、编程实现更简单，是等距节点插值的首选方法。
一、核心基础：向前差分与算子定义
1. 等距节点设定
设插值节点等距分布，即：
其中\(h\)为固定步长，节点处函数值记为\(f_k = f(x_k)\)。
2. 向前差分的递归定义
- 一阶向前差分：当前点与下一个点的函数值之差，反映函数的一阶变化率：\[\Delta f_k = f_{k+1} - f_k \]
- 二阶向前差分：对一阶差分再做差分，反映一阶差分的变化率：\[\Delta^2 f_k = \Delta f_{k+1} - \Delta f_k \]
- n阶向前差分：通用递归定义为\[\boldsymbol{\Delta^n f_k = \Delta^{n-1} f_{k+1} - \Delta^{n-1} f_k} \]
3. 差分算子的代数表示
引入两个基础算子简化推导：
- 不变算子I：保持函数值不变，\(\text{I} f_k = f_k\)
- 位移算子E：将节点向前移动一个步长，\(\text{E} f_k = f_{k+1}\)
核心算子关系
由一阶差分定义，直接得到差分算子的等价形式：
n阶差分的函数值展开
对n阶差分用二项式定理展开算子，得到：
其中\(\binom{n}{j} = \frac{n(n-1)\dots(n-j+1)}{j!}\)为二项式系数。该公式的核心意义是：任意阶差分都可直接用原始函数值的线性组合表示，无需逐阶计算。
反过来，也可得到用差分表示函数值的公式：
二、核心桥梁：等距节点下均差与差分的关系
牛顿插值的核心是均差，要将其转化为差分形式，必须建立均差与差分的等价关系，这是整个推导的核心。
1. 低阶均差与差分的对应
- 一阶均差：等距节点下\(x_{k+1}-x_k=h\)，因此\[f[x_k, x_{k+1}] = \frac{f_{k+1}-f_k}{x_{k+1}-x_k} = \boldsymbol{\frac{\Delta f_k}{h}} \]
- 二阶均差：等距节点下\(x_{k+2}-x_k=2h\)，代入一阶均差的差分形式，化简得\[f[x_k, x_{k+1}, x_{k+2}] = \boldsymbol{\frac{\Delta^2 f_k}{2! h^2}} \]
2. 通用m阶均差与差分的关系
通过数学归纳法可证明，m阶均差与m阶差分的通用关系为：
该公式是差分形式牛顿插值的核心：等距节点下，m阶均差完全等价于m阶差分除以\(m! h^m\)，可用计算量极小的差分替代复杂的均差计算。
3. 差分与导数的关系
结合均差与导数的关系\(f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\)，代入均差-差分公式，直接得到：
该公式是差分法求解微分方程的基础，也可用于插值误差估计。
三、牛顿前向差分插值公式（牛顿前插公式）完整推导
1. 公式推导
从通用牛顿插值多项式出发：
步骤1：代入均差-差分关系
取\(k=0\)，各阶均差可表示为：
步骤2：变量替换
令待求点\(x = x_0 + th\)，其中\(t\)为标准化变量，此时：
步骤3：化简得到最终公式
将均差和变量替换代入牛顿插值公式，每一项的\(h^m\)完全抵消，最终得到牛顿前插公式：
2. 牛顿前插公式的余项
代入变量替换和差分-导数关系，得到余项公式：
3. 核心优势
- 计算量极小：仅需计算差分表，取第一行的各阶差分直接代入，无需重复计算；
- 手算便捷：标准化变量\(t\)让多项式每一项都是简单乘积，手算难度远低于一般牛顿插值；
- 适配工程场景：绝大多数工程采样数据（时间序列、等步长测量数据）都是等距节点，是该场景的最优选择；
- 节点增减灵活：新增节点仅需在差分表末尾新增一行，公式仅需新增一项，完全复用之前的计算结果。
四、例题2.5 完整解析与计算验证
题目回顾
已知\(f(x)=\cos x\)在等距节点\(x_k = kh\)（\(k=0,1,\dots,5\)，步长\(h=0.1\)）处的函数值，用4次牛顿前插公式计算\(f(0.048)\)的近似值，并估计误差。
步骤1：构造并验证差分表
根据差分定义，完整计算并验证差分表：
| \(x_k\) | \(f(x_k)=\cos x_k\) | 一阶差分\(\Delta f\) | 二阶差分\(\Delta^2 f\) | 三阶差分\(\Delta^3 f\) | 四阶差分\(\Delta^4 f\) | 五阶差分\(\Delta^5 f\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.00 | 1.00000 | - | - | - | - | - |
| 0.10 | 0.99500 | -0.00500 | - | - | - | - |
| 0.20 | 0.98007 | -0.01493 | -0.00993 | - | - | - |
| 0.30 | 0.95534 | -0.02473 | -0.00980 | 0.00013 | - | - |
| 0.40 | 0.92106 | -0.03428 | -0.00955 | 0.00025 | 0.00012 | - |
| 0.50 | 0.87758 | -0.04348 | -0.00920 | 0.00035 | 0.00010 | -0.00002 |
4次插值需要用到\(x_0\)处的前4阶差分：\(\Delta f_0=-0.00500\)，\(\Delta^2 f_0=-0.00993\)，\(\Delta^3 f_0=0.00013\)，\(\Delta^4 f_0=0.00012\)。
步骤2：计算标准化变量\(t\)
待求点\(x=0.048\)，\(x_0=0\)，\(h=0.1\)，因此：
步骤3：代入4次牛顿前插公式逐项计算
4次前插公式为：
逐项计算：
- 零次项：\(f_0 = 1.00000\)
- 一次项：\(0.48 \times (-0.00500) = -0.00240\)，累计和：\(0.99760\)
- 二次项：\(\frac{0.48\times(-0.52)}{2} \times (-0.00993) \approx 0.001239\)，累计和：\(0.998839\)
- 三次项：\(\frac{0.48\times(-0.52)\times(-1.52)}{6} \times 0.00013 \approx 0.00000822\)，累计和：\(0.99884722\)
- 四次项：\(\frac{0.48\times(-0.52)\times(-1.52)\times(-2.52)}{24} \times 0.00012 \approx -0.00000478\)，累计和：\(0.99884\)
最终得到：\(\boldsymbol{f(0.048) \approx 0.99884}\)，与真实值\(\cos(0.048)\approx0.9988408\)几乎完全一致，精度极高。
步骤4：截断误差估计
根据余项公式，4次插值的误差上界为：
- 5阶导数上界：\(f^{(5)}(x)=-\sin x\)，在\([0,0.5]\)上最大值\(M_5=|\sin0.5|\approx0.479\)；
- 乘积项绝对值：\(|0.48\times(-0.52)\times(-1.52)\times(-2.52)\times(-3.52)| \approx 3.555\)；
- 代入计算：
误差极小，可忽略不计。
五、核心知识点归纳总结表
| 分类 | 任意节点牛顿插值 | 等距节点差分形式牛顿前插公式 |
|---|---|---|
| 适用场景 | 节点任意分布 | 节点等距分布（工程最常用） |
| 核心系数来源 | 均差表主对角线 | 差分表第一行 |
| 核心公式 | \(p_n(x)=\sum_{k=0}^n f[x_0,\dots,x_k]\prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j)\) | \(p_n(x_0+th)=\sum_{k=0}^n \frac{t(t-1)\dots(t-k+1)}{k!}\Delta^k f_0\) |
| 计算量 | 较大，需逐行计算均差 | 极小，仅需计算差分表，手算便捷 |
| 节点增减灵活性 | 较好，增量计算均差 | 极好，仅需新增一行差分，完全复用已有结果 |
| 余项形式 | 均差型/导数型 | 标准化变量的导数型 |
| 编程实现难度 | 中等 | 极低，循环结构简单 |
补充说明
- 除向前差分外，还有向后差分、中心差分，分别对应牛顿后插公式、斯特林插值公式，适用于待求点在节点区间末尾、中间的场景；
- 差分形式的插值公式是数值微分、数值积分、微分方程差分法的核心基础，是数值分析的核心工具之一；
- 实际应用中，当高阶差分趋近于0时即可停止计算，避免高次插值的龙格现象。
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posted on 2026-02-21 09:06 Indian_Mysore 阅读(0) 评论(0) 收藏 举报
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