2.2拉格朗日插值法

拉格朗日插值之线性插值与抛物线插值 详细讲解

各位同学，今天我们来系统讲解数值分析中最基础、最核心的插值方法——拉格朗日插值，重点拆解它的两个基础特例：线性插值（一次插值）与抛物线插值（二次插值）。我会从问题本质、推导过程、核心性质、几何意义全链条讲透，最后用表格做系统归纳。

一、插值问题的本质

首先我们要明确：插值到底要解决什么问题？
我们面对一个复杂的、甚至未知的函数\(y=f(x)\)，往往无法直接写出它的表达式，只能测得它在若干个离散点（我们称之为插值节点）上的函数值。插值的核心目标，就是构造一个形式简单的多项式\(L_n(x)\)，让这个多项式在所有插值节点上，和原函数的函数值完全相等，即满足插值条件：\(L_n(x_i)=f(x_i)=y_i\)。
我们用这个简单的多项式\(L_n(x)\)，近似代替原复杂函数\(f(x)\)，实现函数值的近似计算、曲线拟合等工程与科研需求。拉格朗日插值，就是构造这个插值多项式的经典、简洁的方法，我们先从最简单的\(n=1\)（一次）、\(n=2\)（二次）的情况入手。

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二、线性插值（一次拉格朗日插值，\(n=1\)）

1. 问题设定

给定区间\([x_k, x_{k+1}]\)，两个互异的插值节点\(x_k\)、\(x_{k+1}\)，对应的原函数值为\(y_k = f(x_k)\)，\(y_{k+1}=f(x_{k+1})\)。
我们需要构造一个次数不超过1的多项式\(L_1(x)\)，满足插值条件：

\[L_1(x_k)=y_k,\quad L_1(x_{k+1})=y_{k+1} \]

2. 几何意义

\(y=L_1(x)\)的几何本质，就是平面直角坐标系中，穿过两个点\((x_k,y_k)\)与\((x_{k+1},y_{k+1})\)的唯一一条直线。
线性插值的核心思想，就是在区间\([x_k, x_{k+1}]\)内，用这条直线近似代替原函数的曲线\(y=f(x)\)，也就是我们常说的以直代曲，这是数值近似最基础的思想。

3. 表达式推导

（1）基础形式：点斜式与两点式

这是我们中学就接触过的直线方程，是线性插值的基础形式：

• 点斜式：先求直线斜率\(k=\frac{y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-x_k}\)，从点\((x_k,y_k)\)出发，得到
  \[L_1(x) = y_k + \frac{y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-x_k}(x - x_k) \]

• 两点式：从直线的增量比例特性出发，直接得到
  \[\frac{y - y_k}{y_{k+1}-y_k} = \frac{x - x_k}{x_{k+1}-x_k} \]

这两个式子是等价的，都满足插值条件，但是它们不具备推广到高次插值的通用性，因此我们引入拉格朗日插值的核心——基函数构造法。

（2）拉格朗日基函数形式

我们对两点式做变形，解出\(y\)，整理后可以得到：

\[L_1(x) = y_k \cdot \frac{x_{k+1} - x}{x_{k+1} - x_k} + y_{k+1} \cdot \frac{x - x_k}{x_{k+1} - x_k} \]

我们把式子中的两个分式单独定义为线性插值的拉格朗日基函数：

\[l_k(x) = \frac{x - x_{k+1}}{x_k - x_{k+1}} = \frac{x_{k+1} - x}{x_{k+1} - x_k},\quad l_{k+1}(x) = \frac{x - x_k}{x_{k+1} - x_k} \]

此时，线性插值多项式可以写成基函数的线性组合形式：

\[L_1(x) = y_k l_k(x) + y_{k+1} l_{k+1}(x) \]

4. 基函数的核心性质

这是拉格朗日插值的灵魂，也是它能推广到高次的关键，线性插值基函数有两个核心特性：

1. 次数特性：\(l_k(x)\)和\(l_{k+1}(x)\)都是一次多项式，和插值多项式的最高次数一致。
2. 克罗内克δ特性（单位特性）：每个基函数，在自己对应的节点上取值为1，在其他所有插值节点上取值为0，即：
   \[l_k(x_k)=1,\ l_k(x_{k+1})=0;\quad l_{k+1}(x_k)=0,\ l_{k+1}(x_{k+1})=1 \]

我们可以用这个特性直接验证插值条件：

• 当\(x=x_k\)时，\(L_1(x_k)=y_k \cdot 1 + y_{k+1} \cdot 0 = y_k\)
• 当\(x=x_{k+1}\)时，\(L_1(x_{k+1})=y_k \cdot 0 + y_{k+1} \cdot 1 = y_{k+1}\)

完全满足插值要求，这就是基函数构造法的巧妙之处。

5. 核心特点与适用场景

• 唯一性：过两个互异点的一次多项式有且仅有一个，无论点斜式、两点式还是基函数形式，都是同一个多项式。
• 计算量极小，形式简单，编程实现极易。
• 适用场景：插值区间很小、原函数变化平缓的场景，比如工程数据的简易近似、图形学的线性缩放、CAD的直线拟合等，是工业界最常用的插值方法。

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三、抛物线插值（二次拉格朗日插值，\(n=2\)）

线性插值用直线近似曲线，当原函数弯曲程度大（曲率高）时，近似误差会很大。此时我们增加一个节点，用二次多项式（抛物线）来拟合，也就是抛物线插值，它是线性插值的直接推广，也是高次拉格朗日插值的基础。

1. 问题设定

给定三个互异的插值节点\(x_{k-1}, x_k, x_{k+1}\)，对应的原函数值为\(y_{k-1}=f(x_{k-1})\)，\(y_k=f(x_k)\)，\(y_{k+1}=f(x_{k+1})\)。
我们需要构造一个次数不超过2的多项式\(L_2(x)\)，满足插值条件：

\[L_2(x_{j})=y_j,\quad j=k-1,k,k+1 \]

2. 几何意义

\(y=L_2(x)\)的几何本质，是平面上穿过三个不共线的点\((x_{k-1},y_{k-1})\)、\((x_k,y_k)\)、\((x_{k+1},y_{k+1})\)的唯一一条抛物线。
它用抛物线近似代替原函数的曲线，相比直线，能更好地拟合函数的弯曲特性，大幅降低近似误差。

3. 基函数构造与表达式推导

我们沿用线性插值的基函数思想，先构造满足单位特性的二次基函数，再通过线性组合得到插值多项式。

（1）二次基函数的构造

我们需要构造3个二次基函数\(l_{k-1}(x)\)、\(l_k(x)\)、\(l_{k+1}(x)\)，每个基函数满足：在自身对应的节点上取值为1，在另外两个节点上取值为0，即：

\[\begin{cases} l_{k-1}(x_{k-1})=1,\ l_{k-1}(x_k)=0,\ l_{k-1}(x_{k+1})=0 \\ l_{k}(x_{k})=1,\ l_{k}(x_{k-1})=0,\ l_{k}(x_{k+1})=0 \\ l_{k+1}(x_{k+1})=1,\ l_{k+1}(x_{k-1})=0,\ l_{k+1}(x_{k})=0 \end{cases} \]

我们以\(l_{k-1}(x)\)为例推导：
\(l_{k-1}(x)\)是二次多项式，且在\(x=x_k\)、\(x=x_{k+1}\)处取值为0，说明\(x_k\)、\(x_{k+1}\)是它的两个零点，根据多项式因式分解，它一定可以写成：

\[l_{k-1}(x) = A \cdot (x - x_k)(x - x_{k+1}) \]

其中\(A\)是待定常数，我们用\(l_{k-1}(x_{k-1})=1\)求解：

\[1 = A \cdot (x_{k-1} - x_k)(x_{k-1} - x_{k+1}) \implies A = \frac{1}{(x_{k-1} - x_k)(x_{k-1} - x_{k+1})} \]

将\(A\)代回，得到\(l_{k-1}(x)\)的完整表达式：

\[l_{k-1}(x) = \frac{(x - x_k)(x - x_{k+1})}{(x_{k-1} - x_k)(x_{k-1} - x_{k+1})} \]

用完全相同的逻辑，可推导出另外两个基函数：

\[l_k(x) = \frac{(x - x_{k-1})(x - x_{k+1})}{(x_k - x_{k-1})(x_k - x_{k+1})} \]

\[l_{k+1}(x) = \frac{(x - x_{k-1})(x - x_k)}{(x_{k+1} - x_{k-1})(x_{k+1} - x_k)} \]

（2）二次插值多项式的最终形式

和线性插值一致，二次插值多项式是基函数以节点函数值为系数的线性组合：

\[L_2(x) = y_{k-1} l_{k-1}(x) + y_k l_k(x) + y_{k+1} l_{k+1}(x) \]

将基函数代入，得到完整展开式：

\[\begin{aligned} L_2(x) =& y_{k-1} \cdot \frac{(x - x_k)(x - x_{k+1})}{(x_{k-1} - x_k)(x_{k-1} - x_{k+1})} \\ +& y_k \cdot \frac{(x - x_{k-1})(x - x_{k+1})}{(x_k - x_{k-1})(x_k - x_{k+1})} \\ +& y_{k+1} \cdot \frac{(x - x_{k-1})(x - x_k)}{(x_{k+1} - x_{k-1})(x_{k+1} - x_k)} \end{aligned} \]

我们可以用基函数的单位特性验证插值条件，代入任意节点\(x_j\)，只有对应基函数取值为1，其余均为0，因此\(L_2(x_j)=y_j\)，完全满足插值要求。

4. 核心特点与适用场景

• 唯一性：三个不共线的互异节点，确定唯一的二次多项式，拉格朗日形式是该多项式的对称表达。
• 拟合精度远高于线性插值，能很好地适配有弯曲的函数曲线。
• 适用场景：函数曲率较大、对近似精度有一定要求的场景，比如数值积分的梯形/辛普森公式、函数值的高精度近似、实验数据的曲线拟合等，是数值分析的核心基础工具。

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四、知识点系统归纳总结

下面用表格形式，对线性插值与抛物线插值的核心内容做全面、清晰的对比总结：

对比维度	线性插值（一次拉格朗日插值）	抛物线插值（二次拉格朗日插值）
插值节点数	2个互异节点\(x_k, x_{k+1}\)	3个互异节点\(x_{k-1}, x_k, x_{k+1}\)
插值多项式最高次数	1次（一次多项式/直线）	2次（二次多项式/抛物线）
核心插值条件	\(L_1(x_k)=y_k,\ L_1(x_{k+1})=y_{k+1}\)	\(L_2(x_j)=y_j,\ j=k-1,k,k+1\)
基函数定义	2个一次基函数： \(l_k(x)=\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}\) \(l_{k+1}(x)=\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}\)	3个二次基函数： \(l_{k-1}(x)=\frac{(x-x_k)(x-x_{k+1})}{(x_{k-1}-x_k)(x_{k-1}-x_{k+1})}\) \(l_k(x)=\frac{(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})}{(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})}\) \(l_{k+1}(x)=\frac{(x-x_{k-1})(x-x_k)}{(x_{k+1}-x_{k-1})(x_{k+1}-x_k)}\)
基函数核心性质	1. 均为1次多项式； 2. 对应节点取值为1，其余节点取值为0（克罗内克δ特性）	1. 均为2次多项式； 2. 对应节点取值为1，其余节点取值为0（克罗内克δ特性）
插值多项式表达式	基函数线性组合： \(L_1(x)=y_k l_k(x) + y_{k+1} l_{k+1}(x)\)	基函数线性组合： \(L_2(x)=y_{k-1} l_{k-1}(x) + y_k l_k(x) + y_{k+1} l_{k+1}(x)\)
几何意义	穿过两个插值节点的唯一一条直线，以直代曲近似原函数	穿过三个插值节点的唯一一条抛物线，以二次曲线近似原函数
唯一性	两个互异节点确定唯一的一次多项式	三个互异节点确定唯一的二次多项式
核心优势	形式极简、计算量极小、编程实现极易	拟合精度高，可适配有弯曲的函数，误差远小于线性插值
核心适用场景	插值区间小、函数变化平缓的简易近似，如工程数据快速计算、图形线性缩放	对精度有要求的函数近似、数值积分/微分、实验数据曲线拟合等科研与工程场景

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五、核心思想升华

无论是线性插值还是抛物线插值，本质都是拉格朗日插值的特例，它们的核心思想是完全统一的：

1. 基函数构造法：不直接求解多项式的系数，而是先构造满足“单位特性”的基函数，再通过节点函数值线性组合得到插值多项式，形式对称、逻辑清晰，极易推广到n次拉格朗日插值。
2. 插值的唯一性：对于n+1个互异的节点，次数不超过n的插值多项式是唯一的，拉格朗日形式只是这个唯一多项式的一种表达，无论用什么方法构造，最终的多项式都是同一个。
3. 数值近似的核心：用形式简单、易于计算的多项式，近似代替复杂的、甚至未知的函数，只利用离散的节点信息，实现函数的近似计算，这是整个数值分析的基石。

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n次拉格朗日插值多项式 系统讲解

各位同学，上一讲我们拆解了线性（一次）、抛物线（二次）拉格朗日插值的核心逻辑，今天我们把这套思想完整推广到一般n次拉格朗日插值多项式，从问题本质、定义推导、形式简化、核心性质全链条讲透，让大家彻底掌握拉格朗日插值的通用理论框架。

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一、一般插值问题的提出

我们先把插值问题从特例推广到通用场景：
给定n+1个互异的插值节点 \(x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n\)，对应的原函数值为 \(y_j = f(x_j)\)（\(j=0,1,\dots,n\)）。
我们的核心目标是：构造一个次数不超过n的多项式\(L_n(x)\)，使其满足插值条件：

\[L_n(x_j) = y_j,\quad j=0,1,2,\dots,n \]

这里要明确核心对应关系：n+1个互异节点，对应次数不超过n的插值多项式。我们之前学的2个节点对应1次插值、3个节点对应2次插值，都是这个通用规律的特殊情形。

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二、核心工具：n次拉格朗日插值基函数

拉格朗日插值的灵魂，就是通过基函数构造法避开复杂的系数求解，直接构造出满足插值条件的多项式。一次、二次插值的基函数，都是下面通用定义的特例。

1. 插值基函数的定义

定义2.1 若n次多项式\(l_j(x)\)（\(j=0,1,\dots,n\)）在n+1个节点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)上满足克罗内克δ特性：

\[l_j(x_k) = \begin{cases} 1, & k=j \\ 0, & k\neq j \end{cases} \quad j,k=0,1,\dots,n\]

则称这n+1个n次多项式\(l_0(x),l_1(x),\dots,l_n(x)\)为该组节点上的n次插值基函数。

我们对这个定义做3点核心解读：

1. 单点非零特性：每个基函数\(l_j(x)\)，仅在自身对应的节点\(x_j\)上取值为1，在其余所有n个插值节点上取值全为0；
2. 次数一致性：每个基函数都是n次多项式，和目标插值多项式的最高次数完全一致；
3. 数量对应性：n+1个节点，对应n+1个基函数，一一对应。

2. n次插值基函数的构造推导

我们从基函数的零点特性出发，推导它的通用表达式：

• 基函数\(l_k(x)\)在\(x_0,x_1,\dots,x_{k-1},x_{k+1},\dots,x_n\)这n个节点上取值为0，说明这n个点都是\(l_k(x)\)的零点；
• \(l_k(x)\)是n次多项式，根据多项式因式分解定理，n次多项式有n个零点，因此可分解为n个一次因式的乘积，再乘一个待定常数A：
  \[l_k(x) = A \cdot (x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\dots(x-x_n) \]
  注意：乘积中唯独缺少\((x-x_k)\)项，因为\(x_k\)不是\(l_k(x)\)的零点，而是其取1的点。

接下来利用\(l_k(x_k)=1\)求解待定常数A：
将\(x=x_k\)代入上式，得：

\[1 = A \cdot (x_k-x_0)(x_k-x_1)\dots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\dots(x_k-x_n) \]

因此解出：

\[A = \frac{1}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)\dots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\dots(x_k-x_n)} \]

将A代回，最终得到n次拉格朗日插值基函数的通用表达式：

\[l_k(x) = \frac{(x-x_0)\dots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\dots(x-x_n)}{(x_k-x_0)\dots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\dots(x_k-x_n)},\quad k=0,1,\dots,n \]

这个表达式的记忆规律非常清晰：

• 分子：关于x的n次多项式，是所有\((x-x_i)\)的连乘，唯独去掉\(i=k\)的项；
• 分母：常数项，是所有\((x_k-x_i)\)的连乘，同样唯独去掉\(i=k\)的项；
• 代入\(x=x_k\)，分子分母完全相等，故\(l_k(x_k)=1\)；代入任意\(x=x_j(j≠k)\)，分子必含\((x_j-x_j)=0\)项，故\(l_k(x_j)=0\)，完美满足基函数的定义。

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三、n次拉格朗日插值多项式的构造

有了通用基函数，我们沿用低次插值的核心逻辑：插值多项式 = 节点函数值为系数的基函数线性组合，得到n次拉格朗日插值多项式的通用形式：

\[L_n(x) = \sum_{k=0}^n y_k l_k(x) \]

1. 插值条件验证

我们可以直接验证这个多项式满足插值要求：
代入任意插值节点\(x=x_j\)，求和式中只有\(k=j\)的项满足\(l_j(x_j)=1\)，其余所有\(k≠j\)的项均满足\(l_k(x_j)=0\)，因此：

\[L_n(x_j) = \sum_{k=0}^n y_k l_k(x_j) = y_j \cdot 1 = y_j \]

完全符合我们的插值条件。

这里再次强调：我们之前学的一次插值\(L_1(x)=y_0 l_0(x)+y_1 l_1(x)\)、二次插值\(L_2(x)=y_0 l_0(x)+y_1 l_1(x)+y_2 l_2(x)\)，都是这个通用式在n=1、n=2时的特殊情形，整个拉格朗日插值的逻辑是完全自洽、一脉相承的。

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四、拉格朗日插值多项式的紧凑形式（ω记号简化）

基函数的连乘形式书写繁琐，我们引入一个辅助记号，将表达式简化，同时为后续的误差分析、理论推导奠定基础。

1. 节点多项式的定义

我们定义n+1次节点多项式：

\[\omega_{n+1}(x) = (x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n) = \prod_{i=0}^n (x-x_i) \]

这个多项式的核心特点是：所有插值节点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)都是它的零点。

2. 节点多项式的导数

对\(\omega_{n+1}(x)\)用乘积求导法则求导：

\[\omega_{n+1}'(x) = \sum_{m=0}^n \left[ \prod_{i=0,i≠m}^n (x-x_i) \right] \]

将\(x=x_k\)代入导数式：求和式中只有\(m=k\)的项不含\((x_k-x_k)=0\)，其余所有项均为0，因此：

\[\omega_{n+1}'(x_k) = \prod_{i=0,i≠k}^n (x_k - x_i) \]

这个结果，恰好就是基函数的分母。

3. 紧凑形式推导

基函数的分子，恰好是\(\omega_{n+1}(x)\)去掉\((x-x_k)\)项，即\(\frac{\omega_{n+1}(x)}{x-x_k}\)。

因此，基函数可简化为：

\[l_k(x) = \frac{\omega_{n+1}(x)}{(x-x_k) \omega_{n+1}'(x_k)} \]

对应的，n次拉格朗日插值多项式的紧凑形式为：

\[L_n(x) = \sum_{k=0}^n y_k \cdot \frac{\omega_{n+1}(x)}{(x-x_k) \omega_{n+1}'(x_k)} \]

这个紧凑形式的核心价值：

1. 表达式简洁工整，避免了长串连乘的书写；
2. 是后续推导拉格朗日插值余项（误差）公式的核心基础；
3. 编程实现时，可通过循环快速计算，代码结构更清晰。

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五、核心性质与关键注意事项

1. 插值多项式的唯一性

核心定理：对于n+1个互异的插值节点，满足插值条件的次数不超过n的多项式，有且仅有一个。

这意味着：无论你用拉格朗日基函数法、待定系数法，还是后续要学的牛顿插值法构造，只要节点和插值条件相同，最终得到的多项式本质上是同一个，只是表达形式不同。
比如三个共线的点，用二次拉格朗日插值构造的\(L_2(x)\)，展开后二次项系数会抵消，最终退化为一次多项式，正是唯一性的体现。

2. 次数的准确理解

我们常说的“n次插值多项式”，准确表述是次数不超过n的多项式。

• 通常情况下，\(L_n(x)\)是n次多项式；
• 特殊情形下，次数会低于n：比如n+1个节点共线，\(L_n(x)\)会退化为1次多项式；所有节点函数值相等，\(L_n(x)\)会退化为0次常数多项式。
  这是很多同学容易混淆的易错点，务必注意。

3. 拉格朗日插值的优缺点

核心优点	核心缺点
结构对称、形式工整，逻辑清晰，极易理解和记忆	节点数量变化时，所有基函数需全部重新计算，无继承性
基函数构造有固定规律，编程实现极其方便	高次插值（n>7）易出现龙格现象，区间两端会剧烈振荡，与原函数偏差极大
理论意义重大，是数值分析插值理论的核心基础

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六、知识点系统归纳总结

我们用表格把低次特例与通用n次插值的核心内容做完整归纳，形成完整的知识体系：

对比维度	线性插值（n=1）	抛物线插值（n=2）	通用n次拉格朗日插值
插值节点数	2个互异节点\(x_0,x_1\)	3个互异节点\(x_0,x_1,x_2\)	n+1个互异节点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)
多项式最高次数	1次	2次	不超过n次
插值条件	\(L_1(x_0)=y_0,\ L_1(x_1)=y_1\)	\(L_2(x_j)=y_j,\ j=0,1,2\)	\(L_n(x_j)=y_j,\ j=0,1,\dots,n\)
基函数数量与次数	2个一次基函数	3个二次基函数	n+1个n次基函数
基函数核心特性	对应节点取1，其余节点取0	对应节点取1，其余节点取0	对应节点取1，其余节点取0（克罗内克δ特性）
基函数通用形式	\(l_k(x)=\frac{\prod_{i≠k}(x-x_i)}{\prod_{i≠k}(x_k-x_i)},\ k=0,1\)	\(l_k(x)=\frac{\prod_{i≠k}(x-x_i)}{\prod_{i≠k}(x_k-x_i)},\ k=0,1,2\)	\(l_k(x)=\frac{\prod_{i=0,i≠k}^n(x-x_i)}{\prod_{i=0,i≠k}^n(x_k-x_i)},\ k=0,1,\dots,n\)
插值多项式表达式	\(L_1(x)=\sum_{k=0}^1 y_k l_k(x)\)	\(L_2(x)=\sum_{k=0}^2 y_k l_k(x)\)	\(L_n(x)=\sum_{k=0}^n y_k l_k(x)\)
ω记号紧凑形式	\(L_1(x)=\sum_{k=0}^1 y_k \frac{\omega_2(x)}{(x-x_k)\omega_2'(x_k)}\)	\(L_2(x)=\sum_{k=0}^2 y_k \frac{\omega_3(x)}{(x-x_k)\omega_3'(x_k)}\)	\(L_n(x)=\sum_{k=0}^n y_k \frac{\omega_{n+1}(x)}{(x-x_k)\omega_{n+1}'(x_k)}\)
几何意义	过两点的唯一一条直线	过三点的唯一一条抛物线	过n+1个点的n次代数曲线

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拉格朗日插值余项与误差估计 系统讲解与推导证明

各位同学，前面我们已经完整掌握了拉格朗日插值多项式的构造方法，解决了「如何用多项式近似原函数」的问题。今天我们要解决数值计算的核心问题：这个近似的误差有多大？如何估计和控制这个误差？ 这就是插值余项与误差估计的核心内容，也是插值理论从「构造」走向「实用」的关键。

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一、插值余项的核心定义

我们用拉格朗日插值多项式\(L_n(x)\)近似原函数\(f(x)\)，二者的差值就是插值余项（也叫截断误差），定义为：

\[R_n(x) = f(x) - L_n(x) \]

余项的核心特性：在所有插值节点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)上，\(L_n(x_k)=f(x_k)\)，因此\(R_n(x_k)=0\)，即所有插值节点都是余项的零点。

我们先从最简单的线性插值（\(n=1\)）入手，推导余项的具体形式，再推广到一般\(n\)次插值的通用结论。

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二、线性插值余项的详细推导（\(n=1\)）

1. 前提设定

给定区间\([x_k,x_{k+1}]\)，两个插值节点\(x_k,x_{k+1}\)，对应的函数值\(y_k=f(x_k),y_{k+1}=f(x_{k+1})\)，线性插值多项式为：

\[L_1(x) = f(x_k)\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k} + f(x_{k+1})\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \]

我们的目标是推导\(R_1(x)=f(x)-L_1(x)\)的显式表达式。

2. 逐步骤推导

步骤1：恒等变形，统一分母

首先对\(f(x)\)做恒等变形：由于\(\frac{x_{k+1}-x + x - x_k}{x_{k+1}-x_k} = \frac{x_{k+1}-x_k}{x_{k+1}-x_k}=1\)，因此\(f(x)\)可以写成：

\[f(x) = f(x) \cdot \frac{x_{k+1}-x + x - x_k}{x_{k+1}-x_k} \]

将其代入余项定义，展开后与\(L_1(x)\)合并：

\[\begin{aligned} R_1(x) &= f(x) - f(x_k)\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k} - f(x_{k+1})\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \\ &= f(x)\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k} + f(x)\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} - f(x_k)\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k} - f(x_{k+1})\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \end{aligned} \]

步骤2：合并同类项，构造中值定理形式

将含\(\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k}\)和\(\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}\)的项分别合并：

\[R_1(x) = \left[f(x)-f(x_k)\right]\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k} - \left[f(x)-f(x_{k+1})\right]\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \]

步骤3：第一次应用拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理：若函数\(F(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，则存在\(\eta\in(a,b)\)，使得\(F(b)-F(a)=F'(\eta)(b-a)\)。

对\(f(x)-f(x_k)\)，存在\(\eta_1\in(x_k,x)\)，使得：

\[f(x)-f(x_k) = f'(\eta_1)(x-x_k) \]

对\(f(x)-f(x_{k+1})\)，存在\(\eta_2\in(x,x_{k+1})\)，使得：

\[f(x)-f(x_{k+1}) = f'(\eta_2)(x-x_{k+1}) \]

将其代入余项表达式：

\[R_1(x) = f'(\eta_1)(x-x_k)\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k} - f'(\eta_2)(x-x_{k+1})\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} \]

步骤4：整理公因子，再次应用中值定理

提取公共因子\(\frac{(x-x_k)(x-x_{k+1})}{x_{k+1}-x_k}\)，注意\((x-x_{k+1})=-(x_{k+1}-x)\)，因此符号整理后：

\[R_1(x) = \left[f'(\eta_2)-f'(\eta_1)\right] \cdot \frac{(x-x_k)(x-x_{k+1})}{x_{k+1}-x_k} \]

对\(f'(x)\)再次应用拉格朗日中值定理：\(f'(x)\)在\([\eta_1,\eta_2]\)上可导，因此存在\(\xi\in(\eta_1,\eta_2)\subset(x_k,x_{k+1})\)，使得：

\[f'(\eta_2)-f'(\eta_1) = f''(\xi)(\eta_2-\eta_1) \]

代入后得到：

\[R_1(x) = f''(\xi) \cdot \frac{\eta_2-\eta_1}{x_{k+1}-x_k} \cdot (x-x_k)(x-x_{k+1}) \]

步骤5：特例验证，得到最终形式

我们用\(f(x)=x^2\)验证系数：此时\(f'(x)=2x\)，\(f''(x)=2\)，代入中值定理得：

\[\eta_1 = \frac{x+x_k}{2},\quad \eta_2 = \frac{x+x_{k+1}}{2} \]

因此\(\eta_2-\eta_1 = \frac{x_{k+1}-x_k}{2}\)，代入后：

\[f''(\xi) \cdot \frac{\eta_2-\eta_1}{x_{k+1}-x_k} = 2 \cdot \frac{\frac{x_{k+1}-x_k}{2}}{x_{k+1}-x_k} = 1 = \frac{f''(\xi)}{2} \]

由此得到线性插值余项的最终形式：

\[R_1(x) = \frac{f''(\xi)}{2!}(x-x_k)(x-x_{k+1}),\quad \xi\in(x_k,x_{k+1}) \]

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三、一般n次插值余项定理与完整证明

线性插值的余项形式可以直接推广到一般n次插值，我们先给出定理，再做严谨的完整证明。

1. 余项定理（定理2.2）

定理条件

1. 函数\(f(x)\)的\(n\)阶导数\(f^{(n)}(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续；
2. \(f(x)\)的\(n+1\)阶导数\(f^{(n+1)}(x)\)在开区间\((a,b)\)内存在；
3. 插值节点满足\(a \le x_0 < x_1 < \dots < x_n \le b\)，\(L_n(x)\)是满足插值条件\(L_n(x_k)=f(x_k)\)的n次拉格朗日插值多项式。

定理结论

对任意\(x\in[a,b]\)，插值余项为：

\[R_n(x) = f(x)-L_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x) \]

其中：

• \(\xi\in(a,b)\)，且\(\xi\)依赖于\(x\)；
• \(\omega_{n+1}(x) = (x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)\)，即节点多项式。

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2. 完整严谨的证明过程

步骤1：分析余项的零点特性，构造待定形式

由插值条件，余项在所有节点上取值为0：

\[R_n(x_k) = f(x_k)-L_n(x_k) = 0,\quad k=0,1,\dots,n \]

即\(R_n(x)\)在\([a,b]\)上有\(n+1\)个零点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)，因此余项可表示为：

\[R_n(x) = K(x) \cdot (x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n) = K(x)\cdot\omega_{n+1}(x) \]

其中\(K(x)\)是与\(x\)相关的待定函数，我们的核心目标是求出\(K(x)\)的表达式。

步骤2：构造辅助函数\(\varphi(t)\)

将\(x\)固定为\([a,b]\)上任意一个不等于节点的点（若\(x\)是节点，\(R_n(x)=0\)，定理显然成立），构造关于\(t\)的辅助函数：

\[\varphi(t) = f(t) - L_n(t) - K(x)\cdot(t-x_0)(t-x_1)\dots(t-x_n) \]

步骤3：分析辅助函数的零点

我们可以找到\(\varphi(t)\)的\(n+2\)个互异零点：

1. 当\(t=x_k\)（\(k=0,1,\dots,n\)）时：\(L_n(x_k)=f(x_k)\)，且\((x_k-x_0)\dots(x_k-x_n)=0\)，因此\(\varphi(x_k)=f(x_k)-f(x_k)-0=0\)，共\(n+1\)个零点；
2. 当\(t=x\)时：\(\varphi(x)=f(x)-L_n(x)-K(x)\cdot\omega_{n+1}(x)=R_n(x)-R_n(x)=0\)，这是第\(n+2\)个零点。

因此，\(\varphi(t)\)在\([a,b]\)上共有\(n+2\)个互异零点。

步骤4：反复应用罗尔（Rolle）定理

罗尔定理：若函数\(F(t)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(F(a)=F(b)\)，则至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(F'(\xi)=0\)。

我们对\(\varphi(t)\)逐阶应用罗尔定理：

• 第1次应用：\(\varphi(t)\)有\(n+2\)个零点，因此\(\varphi'(t)\)在\((a,b)\)内至少有\(n+1\)个零点；
• 第2次应用：\(\varphi'(t)\)有\(n+1\)个零点，因此\(\varphi''(t)\)在\((a,b)\)内至少有\(n\)个零点；
• ...
• 第\(n+1\)次应用：经过\(n+1\)次罗尔定理后，\(\varphi^{(n+1)}(t)\)在\((a,b)\)内至少有1个零点，记为\(\xi\)，即：
  \[\varphi^{(n+1)}(\xi) = 0,\quad \xi\in(a,b) \]

步骤5：求辅助函数的\(n+1\)阶导数，解出\(K(x)\)

对\(\varphi(t)\)求\(n+1\)阶导数，分项计算：

1. \(f(t)\)的\(n+1\)阶导数为\(f^{(n+1)}(t)\)；
2. \(L_n(t)\)是次数不超过\(n\)的多项式，因此它的\(n+1\)阶导数恒为0，即\(L_n^{(n+1)}(t)=0\)；
3. \((t-x_0)\dots(t-x_n)\)是首项为\(t^{n+1}\)的\(n+1\)次多项式，其\(n+1\)阶导数为\((n+1)!\)，其余低次项的\(n+1\)阶导数均为0。

因此，\(\varphi(t)\)的\(n+1\)阶导数为：

\[\varphi^{(n+1)}(t) = f^{(n+1)}(t) - 0 - K(x)\cdot(n+1)! \]

代入\(\varphi^{(n+1)}(\xi)=0\)，得：

\[f^{(n+1)}(\xi) - K(x)\cdot(n+1)! = 0 \]

解出待定函数：

\[K(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \]

步骤6：代回余项表达式，定理得证

将\(K(x)\)代入\(R_n(x)=K(x)\cdot\omega_{n+1}(x)\)，最终得到：

\[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x) \]

定理证明完毕。

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四、插值误差估计（截断误差限）

余项公式中，\(\xi\)的具体位置通常无法确定，因此我们无法直接计算余项的精确值，但可以通过估计导数的上界，得到误差的最大值（误差限），用于控制插值精度。

1. 通用误差限公式

定义\(M_{n+1}\)为\(f^{(n+1)}(x)\)在\([a,b]\)上的绝对值的最大值：

\[M_{n+1} = \max_{a\le x\le b} \left|f^{(n+1)}(x)\right| \]

对余项取绝对值，结合\(|f^{(n+1)}(\xi)|\le M_{n+1}\)，得到通用误差限公式：

\[\left|R_n(x)\right| \le \frac{M_{n+1}}{(n+1)!} \left|\omega_{n+1}(x)\right| \]

2. 常用特例的误差限

（1）线性插值（\(n=1\)）

余项：\(R_1(x)=\frac{f''(\xi)}{2!}(x-x_k)(x-x_{k+1})\)
设区间长度\(h=x_{k+1}-x_k\)，可证明\(|(x-x_k)(x-x_{k+1})|\)在区间中点取得最大值\(\frac{h^2}{4}\)，因此误差限为：

\[\left|R_1(x)\right| \le \frac{M_2}{8}h^2 \]

其中\(M_2=\max_{x\in[x_k,x_{k+1}]}|f''(x)|\)。

（2）抛物线插值（\(n=2\)）

余项：\(R_2(x)=\frac{f'''(\xi)}{3!}(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\)
误差限：

\[\left|R_2(x)\right| \le \frac{M_3}{6} \left|(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\right| \]

其中\(M_3=\max_{x\in[x_0,x_2]}|f'''(x)|\)。

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五、余项定理的重要推论与基函数性质

从余项公式出发，我们可以推导出插值基函数的核心性质，这些性质是插值理论的重要补充。

1. 多项式插值的精确性

推论：若被插值函数\(f(x)\)是次数不超过\(n\)的多项式，则其\(n\)次拉格朗日插值多项式\(L_n(x)\)与\(f(x)\)完全相等，即\(L_n(x)=f(x)\)，余项\(R_n(x)=0\)。

证明：若\(f(x)\)是次数\(\le n\)的多项式，则其\(n+1\)阶导数\(f^{(n+1)}(x)\equiv0\)，代入余项公式得\(R_n(x)=0\)，因此\(f(x)=L_n(x)\)。

2. 插值基函数的幂和性质

推论：对\(k=0,1,\dots,n\)，有

\[\sum_{i=0}^n x_i^k l_i(x) = x^k \]

其中\(l_i(x)\)是\(n\)次拉格朗日插值基函数。

证明：取\(f(x)=x^k\)（\(k\le n\)），由上述推论，\(L_n(x)=\sum_{i=0}^n x_i^k l_i(x) = f(x)=x^k\)，得证。

3. 基函数的单位分解性质

推论：所有插值基函数的和恒为1，即

\[\sum_{i=0}^n l_i(x) = 1 \]

证明：在幂和性质中取\(k=0\)，此时\(f(x)=x^0=1\)，代入得\(\sum_{i=0}^n 1\cdot l_i(x) = 1\)，得证。

这个性质是插值基函数最核心的性质之一，它说明插值多项式是节点函数值的加权和，且权重之和恒为1，保证了插值的一致性。

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六、核心知识点系统归纳总结

分类	核心内容	公式与结论
余项定义	插值多项式与原函数的差值，即截断误差	\(R_n(x)=f(x)-L_n(x)\)，满足\(R_n(x_k)=0\)（所有节点为零点）
线性插值余项（\(n=1\)）	2个节点的一次插值误差	\(R_1(x)=\frac{f''(\xi)}{2!}(x-x_k)(x-x_{k+1})\)，\(\xi\in(x_k,x_{k+1})\)；误差限$\left
抛物线插值余项（\(n=2\)）	3个节点的二次插值误差	\(R_2(x)=\frac{f'''(\xi)}{3!}(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\)，\(\xi\in(x_0,x_2)\)；误差限$\left
n次插值余项定理	通用余项公式，核心定理	\(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)\)，\(\xi\in(a,b)\)且依赖于\(x\)；\(\omega_{n+1}(x)=\prod_{i=0}^n(x-x_i)\)
通用误差限	误差的上界估计，用于精度控制	$\left
基函数核心性质1	单位分解性质	\(\sum_{i=0}^n l_i(x) = 1\)
基函数核心性质2	幂和性质	\(\sum_{i=0}^n x_i^k l_i(x) = x^k\)，\(k=0,1,\dots,n\)
多项式插值精确性	低次多项式插值无误差	若\(f(x)\)是次数\(\le n\)的多项式，则\(L_n(x)=f(x)\)，\(R_n(x)=0\)

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拉格朗日插值典型例题 系统讲解与深度解析

各位同学，今天我们通过3道典型例题，把拉格朗日插值的基函数性质、工程计算、误差估计、理论证明四大核心应用讲透，每道题都会拆解核心考点、逐步骤推导、补充易错点与知识点延伸，帮大家把理论落地到解题与应用中。

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例2.1 插值基函数性质的证明题

核心考点

拉格朗日插值基函数的幂和性质（多项式插值的精确性），是插值理论的核心基础性质。

题目回顾

证明 \(\sum_{i=0}^5 (x_i - x)^2 l_i(x) = 0\)，其中 \(l_i(x)\) 是关于节点 \(x_0,x_1,\dots,x_5\) 的5次拉格朗日插值基函数。

详细推导与证明

步骤1：平方展开，拆分求和式

首先对被求和的平方项做代数展开，利用完全平方公式：

\[(x_i - x)^2 = x_i^2 - 2x x_i + x^2 \]

将其代入求和式，根据求和的线性性质，可拆分为三个独立求和式的加减：

\[\sum_{i=0}^5 (x_i - x)^2 l_i(x) = \sum_{i=0}^5 \left(x_i^2 - 2x x_i + x^2\right) l_i(x) = \sum_{i=0}^5 x_i^2 l_i(x) - 2x \sum_{i=0}^5 x_i l_i(x) + x^2 \sum_{i=0}^5 l_i(x) \]

步骤2：应用插值基函数的幂和性质

我们之前推导过插值基函数的核心性质：对于次数不超过n的多项式\(f(x)\)，其n次拉格朗日插值多项式与原函数完全相等，即\(L_n(x)=f(x)\)，余项为0。

本题中是5次插值基函数（\(n=5\)），因此对\(k=0,1,2\)（均≤5），有：

1. 当\(k=0\)时，\(f(x)=x^0=1\)，得单位分解性质：\(\sum_{i=0}^5 l_i(x) = 1\)
2. 当\(k=1\)时，\(f(x)=x^1=x\)，得一次幂和性质：\(\sum_{i=0}^5 x_i l_i(x) = x\)
3. 当\(k=2\)时，\(f(x)=x^2\)，得二次幂和性质：\(\sum_{i=0}^5 x_i^2 l_i(x) = x^2\)

步骤3：代入化简，完成证明

将上述三个性质代入拆分后的求和式：

\[\sum_{i=0}^5 (x_i - x)^2 l_i(x) = x^2 - 2x \cdot x + x^2 \cdot 1 = x^2 - 2x^2 + x^2 = 0 \]

原式得证。

关键知识点延伸

这个结论可以推广到一般n次插值：对任意\(k\le n\)，都有\(\sum_{i=0}^n (x_i - x)^k l_i(x) = 0\)，本质是次数不超过n的多项式，其n次插值无误差，是插值多项式唯一性的直接体现。

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例2.2 拉格朗日插值的工程计算与误差估计

核心考点

线性插值、抛物线插值的实际计算方法，插值余项的截断误差限估计，是查表法计算函数值的核心工程应用。

题目回顾

已知 \(\sin0.32=0.314567\)，\(\sin0.34=0.333487\)，\(\sin0.36=0.352274\)，分别用线性插值和抛物线插值计算\(\sin0.3367\)的值，并估计截断误差。

一、线性插值计算与误差估计

步骤1：确定插值节点与参数

待求点\(x=0.3367\)，位于区间\([0.32,0.34]\)内，因此选择最靠近待求点的两个节点：

• 节点1：\(x_0=0.32\)，对应函数值\(y_0=\sin0.32=0.314567\)
• 节点2：\(x_1=0.34\)，对应函数值\(y_1=\sin0.34=0.333487\)
• 区间步长\(h=x_1-x_0=0.02\)，待求点与左节点的距离\(x-x_0=0.3367-0.32=0.0167\)

步骤2：线性插值计算

线性插值的点斜式公式为：

\[L_1(x) = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \]

代入数值计算：

1. 计算斜率：\(\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{0.333487 - 0.314567}{0.02} = \frac{0.01892}{0.02} = 0.946\)
2. 代入待求点：\(L_1(0.3367) = 0.314567 + 0.946 \times 0.0167 = 0.314567 + 0.0157982 = 0.330365\)

因此线性插值结果为：\(\sin0.3367 \approx 0.330365\)

步骤3：线性插值的截断误差估计

线性插值的余项公式为：

\[|R_1(x)| \le \frac{M_2}{2!} \left|(x-x_0)(x-x_1)\right| \]

其中\(M_2\)是\(f''(x)\)在区间\([x_0,x_1]\)上的绝对值最大值。

1. 求导确定\(M_2\)：\(f(x)=\sin x\)，则\(f''(x)=-\sin x\)，\(|f''(x)|=|\sin x|\)。
   \(\sin x\)在\([0.32,0.34]\)上单调递增，因此最大值在\(x_1=0.34\)处，即\(M_2 = \max |f''(x)| = \sin0.34 \approx 0.3335\)。
2. 计算节点乘积项：\(|(x-x_0)(x-x_1)| = |0.0167 \times (0.3367-0.34)| = |0.0167 \times (-0.0033)| = 0.0167 \times 0.0033\)
3. 代入误差公式：
   \[|R_1(0.3367)| \le \frac{0.3335}{2} \times 0.0167 \times 0.0033 \approx 0.92 \times 10^{-5} \]

二、抛物线插值（二次插值）计算与误差估计

步骤1：确定插值节点与参数

抛物线插值使用3个节点，覆盖待求点的完整区间：

• \(x_0=0.32,y_0=0.314567\)；\(x_1=0.34,y_1=0.333487\)；\(x_2=0.36,y_2=0.352274\)
• 待求点\(x=0.3367\)

步骤2：抛物线插值计算

二次拉格朗日插值公式为：

\[L_2(x) = y_0 \cdot \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1 \cdot \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2 \cdot \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \]

逐分项计算：

1. 第一项（\(y_0\)项）：
   分子：\((0.3367-0.34)(0.3367-0.36) = (-0.0033) \times (-0.0233) = 0.7689 \times 10^{-4}\)
   分母：\((0.32-0.34)(0.32-0.36) = (-0.02) \times (-0.04) = 0.0008\)
   第一项值：\(0.314567 \times \frac{0.7689 \times 10^{-4}}{0.0008} \approx 0.314567 \times 0.0961125 \approx 0.030235\)

2. 第二项（\(y_1\)项）：
   分子：\((0.3367-0.32)(0.3367-0.36) = 0.0167 \times (-0.0233) = -3.8911 \times 10^{-4}\)
   分母：\((0.34-0.32)(0.34-0.36) = 0.02 \times (-0.02) = -0.0004\)
   第二项值：\(0.333487 \times \frac{-3.8911 \times 10^{-4}}{-0.0004} \approx 0.333487 \times 0.972775 \approx 0.324400\)

3. 第三项（\(y_2\)项）：
   分子：\((0.3367-0.32)(0.3367-0.34) = 0.0167 \times (-0.0033) = -0.5511 \times 10^{-4}\)
   分母：\((0.36-0.32)(0.36-0.34) = 0.04 \times 0.02 = 0.0008\)
   第三项值：\(0.352274 \times \frac{-0.5511 \times 10^{-4}}{0.0008} \approx 0.352274 \times (-0.0688875) \approx -0.024261\)

将三项相加，得到最终结果：

\[L_2(0.3367) = 0.030235 + 0.324400 - 0.024261 = 0.330374 \]

因此抛物线插值结果为：\(\sin0.3367 \approx 0.330374\)，该结果与6位有效数字的正弦函数表完全一致，精度远高于线性插值。

步骤3：抛物线插值的截断误差估计

抛物线插值的余项公式为：

\[|R_2(x)| \le \frac{M_3}{3!} \left|(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\right| \]

其中\(M_3\)是\(f'''(x)\)在区间\([x_0,x_2]\)上的绝对值最大值。

1. 求导确定\(M_3\)：\(f(x)=\sin x\)，则\(f'''(x)=-\cos x\)，\(|f'''(x)|=|\cos x|\)。
   \(\cos x\)在\([0.32,0.36]\)上单调递减，因此最大值在\(x_0=0.32\)处，即\(M_3 = \max |f'''(x)| = \cos0.32 \approx 0.9493\)。
2. 计算节点乘积项：\(|(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)| = 0.0167 \times 0.0033 \times 0.0233\)
3. 代入误差公式：
   \[|R_2(0.3367)| \le \frac{0.9493}{6} \times 0.0167 \times 0.0033 \times 0.0233 \approx 2.0316 \times 10^{-7} \]

关键知识点提示

1. 节点选择原则：插值时优先选择最靠近待求点的节点，可显著降低误差；
2. 精度对比：抛物线插值的误差限比线性插值小2个数量级，核心原因是余项的导数阶数更高，且阶乘增长更快，这是高次插值提升精度的核心逻辑；
3. 工程意义：二次插值是工程查表法的首选，兼顾计算量与精度，在测绘、机械、信号处理等领域广泛应用。

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例2.3 线性插值最大误差限的理论证明

核心考点

线性插值余项定理的应用，闭区间上连续函数的最值求解，是插值误差理论的核心证明题。

题目回顾

设 \(f \in C^2[a,b]\)（即\(f(x)\)的二阶导数在\([a,b]\)上连续），试证：

\[\max_{a\le x\le b}\left| f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \right] \right| \le \frac{1}{8}(b-a)^2 M_2 \]

其中 \(M_2 = \max_{a\le x\le b}|f''(x)|\)。

详细推导与证明

步骤1：识别插值多项式，转化为余项问题

观察不等式中的式子：\(L_1(x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)，正是过节点\(x_0=a,x_1=b\)的线性拉格朗日插值多项式。

因此不等式的左边，就是线性插值余项的绝对值在区间\([a,b]\)上的最大值，即：

\[\max_{a\le x\le b}|f(x)-L_1(x)| = \max_{a\le x\le b}|R_1(x)| \]

步骤2：写出线性插值的余项公式

根据插值余项定理，线性插值的余项为：

\[R_1(x) = \frac{f''(\xi)}{2!}(x-a)(x-b),\quad \xi\in(a,b) \]

对余项取绝对值，结合\(|f''(\xi)|\le M_2\)，可得：

\[|R_1(x)| \le \frac{M_2}{2} \left|(x-a)(x-b)\right| \]

步骤3：求二次函数在区间上的最大值

现在需要求函数\(g(x)=(x-a)(x-b)\)在区间\([a,b]\)上的绝对值的最大值。

对\(g(x)\)做展开分析：

\[g(x) = (x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab \]

这是一个开口向上的二次函数，零点为\(x=a\)和\(x=b\)，其顶点（最小值点）在区间的中点\(x=\frac{a+b}{2}\)处。

将中点代入\(g(x)\)，得到最小值：

\[g\left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{a+b}{2}-a\right)\left(\frac{a+b}{2}-b\right) = \frac{b-a}{2} \cdot \frac{a-b}{2} = -\frac{(b-a)^2}{4} \]

因此\(|g(x)|\)在区间\([a,b]\)上的最大值为：

\[\max_{a\le x\le b}|(x-a)(x-b)| = \frac{(b-a)^2}{4} \]

步骤4：代入化简，完成证明

将最大值代入余项的不等式：

\[\max_{a\le x\le b}|R_1(x)| \le \frac{M_2}{2} \cdot \frac{(b-a)^2}{4} = \frac{1}{8}(b-a)^2 M_2 \]

原式得证。

关键知识点延伸

1. 这个结论是线性插值的全局最大误差限，在工程中可直接用于预估线性插值的最坏情况误差；
2. 误差与区间长度的平方\((b-a)^2\)成正比，因此缩小插值区间（步长h）可显著降低误差，这也是分段线性插值的核心原理；
3. \(C^2[a,b]\)的条件保证了\(f''(x)\)在闭区间上有界，满足余项定理的前提，是证明的必要条件。

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三道例题核心内容归纳总结

例题序号	核心考点	用到的核心知识点	关键结论
例2.1	基函数性质证明	多项式插值的精确性、基函数的幂和性质	对n次插值基函数，\(\sum_{i=0}^n (x_i-x)^k l_i(x)=0\)（\(k\le n\)）
例2.2	插值工程计算与误差估计	线性/抛物线插值公式、插值余项与误差限	二次插值精度远高于线性插值，工程中优先选择靠近待求点的节点
例2.3	插值误差理论证明	线性插值余项定理、闭区间二次函数最值求解	线性插值的全局最大误差限为\(\frac{1}{8}(b-a)^2 M_2\)，与区间长度平方成正比