2.1插值法引言

各位同学，大家好。我从事数值分析领域的教学与科研工作已有多年，插值法作为数值分析的核心基石，是我们从离散数据走向连续函数近似的第一把钥匙。今天我们就围绕教材中2.1引言的内容，从根源到本质，把插值法的基础概念彻底讲透，让大家不仅知其然，更知其所以然。

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一、插值问题的提出：我们为什么需要插值法？

插值法的诞生完全源于生产实践与科学研究的真实需求，核心要解决“已知离散点的函数值，如何求非离散点的函数值”的核心矛盾，主要分为两大典型场景：

场景1：原函数仅能提供离散函数表，无完整解析表达式

在绝大多数工程、天文、实验科学的实际问题中，描述客观规律的函数\(y=f(x)\)，虽然在区间\([a,b]\)上真实存在、甚至连续，但我们无法通过理论推导得到它在整个区间上的完整解析式，只能通过实验、观测、设计，拿到区间内一系列离散点\(x_i\)对应的函数值\(y_i=f(x_i)\)（\(i=0,1,\dots,n\)），也就是一张“函数表”。

典型例子：

• 天文观测中，我们只能记录每日固定时刻的行星位置，无法得到任意时刻的天体运行坐标；
• 数控加工中，我们只能给出零件外形曲线的若干关键设计型值点，无法得到曲线上每一个点的坐标；
• 气象监测中，我们只能拿到固定站点的气象数据，无法得到区域内任意位置的气象数值。

此时，要研究函数的变化规律、计算非观测/非设计点的函数值，就必须通过插值法，用已知离散点还原区间内任意点的近似函数值。

场景2：原函数有解析表达式，但直接计算过于复杂

有一类函数（如\(\sin x\)、\(\ln x\)、\(\sqrt{x}\)等）有明确的解析表达式，但直接计算的复杂度极高：在无计算机的年代，手算任意点的函数值几乎不可能；即使在计算机时代，这类超越函数的计算开销也远大于四则运算。

因此数学家会提前计算一系列等距离散点的函数值，制作成通用函数表（如中学使用的三角函数表、对数表）。当需要计算表中没有的点的函数值时，就可以用插值法，通过相邻已知点快速算出目标点的近似值，兼顾精度与计算效率。

插值法的核心诉求

基于以上两个场景，我们的核心需求非常明确：构造一个既能反映原函数\(f(x)\)核心特性，又便于计算的简单函数\(p(x)\)，用\(p(x)\)近似代替原函数\(f(x)\)。

在所有“简单函数”中，代数多项式是最优选择之一：它仅需要加减乘除四则运算，计算难度极低；同时在整个实数域上任意阶连续可导、可积，分析性质极好，便于后续拓展数值微分、数值积分的能力。因此本章核心讨论以多项式为插值函数的多项式插值。

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二、插值法的核心数学定义与关键概念拆解

我们先给出插值法的严谨数学定义，再逐一对每个核心概念做拆解，确保无理解盲区。

1. 定义的前提条件

设函数\(y=f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上有定义，且满足：

• 在区间\([a,b]\)上，取定\(n+1\)个互不相同的点，按从小到大排序为：\(a \le x_0 < x_1 < \dots < x_n \le b\)；
• 已知这\(n+1\)个点对应的函数值：\(y_0,y_1,\dots,y_n\)，其中\(y_i = f(x_i)\)，\(i=0,1,\dots,n\)。

必须强调：插值节点必须互不相同，若两个节点的\(x\)值相同，会出现一个\(x\)对应两个\(y\)值的情况，无法构造单值的插值函数，这是插值的核心前提。

2. 核心定义与核心概念

• 插值条件：若存在一个简单函数\(p(x)\)，使得对所有\(i=0,1,\dots,n\)，都满足
  \[p(x_i) = y_i \]
  这个等式组称为插值条件，是插值法的核心——插值函数必须严格通过所有给定节点，在节点上与原函数的函数值完全一致，误差为0。
• 插值函数：满足上述插值条件的函数\(p(x)\)，称为原函数\(f(x)\)的插值函数。
• 插值节点：上述给定的\(n+1\)个点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)，简称节点。
• 插值区间：包含所有插值节点的闭区间\([a,b]\)，插值函数的核心作用，就是在这个区间内近似原函数\(f(x)\)。
• 插值法：求解满足插值条件的插值函数\(p(x)\)的方法，统称为插值法。

3. 插值函数的核心分类

根据插值函数\(p(x)\)的类型，插值法分为不同类别，教材核心提到两类，同时补充工程中最常用的样条插值：

1. 多项式插值
   若插值函数\(p(x)\)是次数不超过\(n\)的代数多项式，即：

   \[p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n \]

   其中\(a_0,a_1,\dots,a_n\)均为实数，这个\(p(x)\)称为插值多项式，对应的方法称为多项式插值，也是本章的核心研究内容。

   这里必须讲透一个细节：定义中是“次数不超过\(n\)”，而非“次数必须等于\(n\)”。这是数学定义的严谨性：\(n+1\)个互不相同的节点，最多能确定一个\(n\)次多项式；特殊情况下，插值多项式的次数可以低于\(n\)（比如3个节点恰好共线，此时插值多项式是1次，而非2次）。

2. 三角插值
   若插值函数\(p(x)\)是三角多项式，则称为三角插值，这类插值主要用于周期函数的近似，本章不做讨论。

3. 样条插值
   教材中提到的样条插值，是20世纪40年代后发展起来的分段多项式插值：它将插值区间分为若干小段，每一段用低次多项式插值，同时保证整个区间上的光滑性，完美解决了高次多项式插值的“龙格现象”，是目前工程中应用最广泛的插值方法。

4. 关键辨析：插值 vs 拟合

很多初学者会把插值和曲线拟合搞混，这里明确两者的核心区别，避免后续概念混淆：

• 插值法：插值函数严格通过所有给定节点，节点处误差为0，适用于节点数据精度极高、无误差，需要严格还原节点值的场景（如机械加工、数值计算）。
• 曲线拟合（如最小二乘拟合）：拟合函数不要求通过节点，仅要求整体误差（如残差平方和）最小，适用于节点数据存在观测误差、噪声，需要找到数据整体趋势的场景（如实验数据拟合、统计分析）。

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三、插值法的几何直观与本质

插值法的几何意义，用一句话就能讲清楚：
插值法，就是在平面上给定\(n+1\)个互不重合的点\((x_i,y_i)\)（\(i=0,1,\dots,n\)），构造一条光滑曲线\(y=p(x)\)，让这条曲线严格穿过所有给定的点，并用这条曲线近似代替原函数的真实曲线\(y=f(x)\)。

结合教材中的图2-1理解：

• 平面上横轴的\(x_0,x_1,\dots,x_n\)是插值节点，对应的纵坐标\(y_i\)就是给定的离散点；
• 曲线\(y=f(x)\)是原函数的真实曲线，是我们要近似的目标；
• 曲线\(y=p(x)\)是我们构造的插值曲线，它在所有节点上和原函数完全重合，在节点之间的区间上，用插值曲线近似原函数的真实曲线。

用两个最基础的例子就能瞬间理解：

1. 线性插值（\(n=1\)，2个节点）：2个节点对应的插值多项式是次数不超过1的多项式，也就是一条直线，即我们中学学的“两点确定一条直线”，这是最简单的插值。
2. 二次插值（\(n=2\)，3个节点）：3个节点对应的插值多项式是次数不超过2的多项式，也就是一条抛物线，三个不共线的点确定唯一一条抛物线，相比直线能更好地近似原函数的曲线变化，精度更高。

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四、插值法的发展历程与工程应用

插值法不是凭空诞生的数学游戏，它完全源于生产实践，又反过来推动了工程技术的发展。

1. 起源：中国古代的实践应用

插值法是一门非常古老的数学方法，早在一千多年前的中国隋唐时期，古人在制定历法、推算日月五星运行规律时，就已经发明并应用了二次插值法。隋朝天文学家刘焯（公元6世纪），在《皇极历》中首次将等距节点的二次插值法系统应用于天文计算，用来推算任意时刻的天体位置，这一成就比西方同类方法早了近千年，是中国古代数学对世界的重要贡献。

2. 理论完善：微积分诞生后的系统发展

插值法的系统理论，在17世纪微积分诞生后逐步完善。微积分的出现，让数学家可以用极限、导数的工具，分析插值函数的误差、收敛性等核心理论问题。其中最具代表性的成果，是牛顿提出的等距节点牛顿插值公式与均差插值公式，以及拉格朗日提出的拉格朗日插值公式，这两个公式是多项式插值的核心基础，直到今天依然是数值分析的必学内容。

3. 现代发展：计算机时代的广泛应用

近半个多世纪以来，随着计算机的普及，插值法在工程领域得到了爆发式的发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值，彻底解决了高次多项式插值的精度缺陷，成为了现代工业与计算机科学的核心基础工具。

目前插值法的核心应用场景包括但不限于：

• 机械制造与工业设计：数控加工、汽车/飞机/船舶的外形曲面设计，核心就是样条插值；
• 计算机图形学：2D/3D建模、曲线绘制、图像缩放/旋转/变形，本质都是插值算法的应用；
• 信号与图像处理：离散信号的重构、上采样，图像的超分辨率重建，都以插值为核心；
• 数值计算基础：数值微分、数值积分、常微分方程/偏微分方程的数值解法，绝大多数都以插值法为理论基础；
• 天文、气象、地理等领域：基于离散观测数据，推算区域内任意位置、任意时刻的物理量数值。

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五、核心知识点归纳总结（表格形式）

为了方便大家梳理、记忆，我把本节所有核心知识点，整理成如下汇总表格：

分类模块	术语名称	核心数学定义/内涵	关键备注与说明
插值问题基础前提	原函数\(f(x)\)	在闭区间\([a,b]\)上有定义，是插值法要近似的目标函数	可以是仅已知离散点的未知函数，也可以是有解析式但计算复杂的函数
	插值节点	区间\([a,b]\)上取定的\(n+1\)个互不相同的点，满足\(a \le x_0 < x_1 < \dots < x_n \le b\)	节点必须互不相同，是插值的前提，节点数量为\(n+1\)个
	插值区间	包含所有插值节点的闭区间\([a,b]\)	插值函数的核心适用区间，用于在该区间内近似原函数
插值核心定义	插值条件	对所有\(i=0,1,\dots,n\)，满足\(p(x_i) = y_i\)（其中\(y_i=f(x_i)\)）	插值法的核心约束，要求插值函数严格通过所有节点，节点处误差为0
	插值函数\(p(x)\)	满足插值条件的简单函数，用于近似原函数\(f(x)\)	要求计算简单、能反映原函数的核心特性，最常用的是代数多项式
	插值法	求解满足插值条件的插值函数\(p(x)\)的数值方法	是数值分析的核心基础方法，是数值微积分、微分方程数值解的前置基础
插值函数核心分类	多项式插值	插值函数为次数不超过\(n\)的代数多项式\(p(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\)	本章核心研究内容，计算简单、分析性质好，仅需四则运算即可求解
	三角插值	插值函数为三角多项式	主要用于周期函数的插值近似，本章不做讨论
	样条插值	分段光滑的多项式插值函数，每段为低次多项式，全区间满足光滑性要求	现代工程应用最广泛的插值方法，解决了高次多项式的龙格现象，是CAD/CAM、计算机图形学的核心基础
核心性质与意义	插值法的几何意义	构造严格通过平面上\(n+1\)个给定点\((x_i,y_i)\)的曲线\(y=p(x)\)，用该曲线近似原函数曲线\(y=f(x)\)	最直观的理解：两点确定一条直线（线性插值）、三点确定一条抛物线（二次插值）
	插值与拟合的核心区别	插值要求严格过所有节点，节点误差为0；拟合不要求过节点，仅要求整体误差最小	插值适用于高精度无误差的节点数据，拟合适用于含噪声、有误差的观测数据
发展与应用	核心发展历程	1. 隋唐时期中国已将二次插值用于历法与天文计算； 2. 17世纪微积分诞生后，牛顿、拉格朗日等人建立了多项式插值的系统理论； 3. 20世纪40年代后，样条插值发展成熟，随计算机普及广泛应用于工程领域	是一门源于实践、服务于实践的数学方法，生命力在于工程应用
	典型应用场景	数控机械加工、工业外形设计、计算机图形学、图像处理、信号重构、数值微积分、天文气象数据推算等	是现代工业与数值计算的核心基础工具

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最后要给大家强调：插值法的所有后续内容，无论是拉格朗日插值、牛顿插值，还是样条插值，都是围绕“如何构造满足插值条件的插值函数”“如何分析插值函数的误差与收敛性”这两个核心问题展开的。只有把今天引言里的基础概念、核心需求、本质意义搞透了，后面的公式推导、算法实现，才能真正学明白，而不是死记硬背。

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各位同学，我们继续承接上一节的内容，深入讲解多项式插值的核心理论基石——插值多项式的存在唯一性定理。我从事数值分析教学多年，见过太多学生只背公式、不理解这个定理的本质，导致后续学插值方法时始终一知半解。今天我们就把这一节的内容从根源到应用，彻底讲透。

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一、问题的重述与转化：从插值条件到线性方程组

上一节我们已经明确了多项式插值的核心目标：

给定区间\([a,b]\)上\(n+1\)个互不相同的插值节点 \(a \le x_0 < x_1 < \dots < x_n \le b\)，以及对应节点的函数值 \(y_i = f(x_i)\ (i=0,1,\dots,n)\)，求一个次数不超过\(n\)的代数多项式

\[p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n \]

使其满足插值条件：

\[p(x_i) = y_i,\quad i=0,1,\dots,n \]

我们要解决的第一个问题：这样的多项式是否存在？如果存在，是不是唯一的？

要回答这个问题，我们首先把插值条件转化为我们熟悉的线性代数问题。

1. 插值条件转化为线性方程组

插值多项式\(p(x)\)有\(n+1\)个未知系数：\(a_0,a_1,\dots,a_n\)，而我们恰好有\(n+1\)个插值条件，把每个节点\(x_i\)代入多项式，就能得到一个关于系数的线性方程：

• 当\(x=x_0\)时：\(a_0 + a_1x_0 + a_2x_0^2 + \dots + a_nx_0^n = y_0\)
• 当\(x=x_1\)时：\(a_0 + a_1x_1 + a_2x_1^2 + \dots + a_nx_1^n = y_1\)
• \(\dots\)
• 当\(x=x_n\)时：\(a_0 + a_1x_n + a_2x_n^2 + \dots + a_nx_n^n = y_n\)

由此，我们得到了一个\(n+1\)元线性方程组，也就是教材中的式(2.3)。

2. 方程组的系数矩阵：范德蒙德矩阵

把上述线性方程组写成矩阵形式\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{a} = \boldsymbol{y}\)，其中：

• 未知量向量\(\boldsymbol{a} = \begin{pmatrix}a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}\)，右端项\(\boldsymbol{y} = \begin{pmatrix}y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}\)
• 系数矩阵\(\boldsymbol{A}\)就是教材中给出的范德蒙德（Vandermonde）矩阵：
  \[\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^n \end{pmatrix}\]

这里要讲透范德蒙德矩阵的核心结构特征：

• 第1列全为1，对应\(x\)的0次幂；
• 第2列是所有节点的1次幂，第3列是2次幂，以此类推，第\(n+1\)列是所有节点的\(n\)次幂；
• 矩阵的行数和列数均为\(n+1\)，是一个方阵。

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二、核心证明：范德蒙德行列式与解的存在唯一性

线性代数中有一个核心结论：\(n\)阶方阵对应的线性方程组，解存在且唯一的充要条件是：系数矩阵的行列式不为0（矩阵满秩）。

因此，我们只需要计算范德蒙德矩阵的行列式，判断其是否为0即可。

1. 范德蒙德行列式的计算

\(n+1\)阶范德蒙德矩阵的行列式，有固定的计算公式：

\[\det\boldsymbol{A} = \prod_{\substack{i,j=0 \\ i>j}}^n (x_i - x_j) \]

这个公式的含义是：行列式的值，等于所有满足\(i>j\)的\((x_i - x_j)\)项的乘积。举个最简单的例子，3个节点（\(n=2\)）的范德蒙德行列式：

\[\det\begin{pmatrix}1 & x_0 & x_0^2 \\ 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2\end{pmatrix} = (x_1-x_0)(x_2-x_0)(x_2-x_1) \]

2. 行列式非零的核心条件

我们的插值前提是：所有插值节点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)互不相同。
这就意味着，对任意\(i \neq j\)，都有\(x_i - x_j \neq 0\)，因此上述乘积中的每一项都不为0，最终的行列式结果必然满足：

\[\det\boldsymbol{A} \neq 0 \]

3. 存在唯一性定理的推导

根据线性代数的基本结论：

• 系数矩阵行列式不为0 → 线性方程组有唯一解 → 未知系数\(a_0,a_1,\dots,a_n\)存在且唯一 → 插值多项式\(p(x)\)存在且唯一。

由此，我们得到了多项式插值的核心定理：

定理2.1（插值多项式存在唯一性定理） 满足插值条件\(p(x_i)=y_i\ (i=0,1,\dots,n)\)的次数不超过\(n\)的插值多项式\(p(x)\)，是存在且唯一的。

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三、定理的补充证明与深度理解

为了让大家彻底吃透这个定理，我再给大家补充一个不依赖线性代数、仅用多项式基本性质的证明方法，这个方法更能体现插值多项式的本质。

补充证明（多项式根的性质法）

假设存在两个次数不超过\(n\)的多项式\(p_1(x)\)和\(p_2(x)\)，都满足插值条件：

\[p_1(x_i) = y_i,\quad p_2(x_i) = y_i,\quad i=0,1,\dots,n \]

我们构造一个新的多项式：

\[q(x) = p_1(x) - p_2(x) \]

根据多项式的运算性质，两个次数不超过\(n\)的多项式相减，结果依然是次数不超过\(n\)的多项式。

同时，对所有插值节点，有：

\[q(x_i) = p_1(x_i) - p_2(x_i) = y_i - y_i = 0,\quad i=0,1,\dots,n \]

这意味着：\(q(x)\)有\(n+1\)个互不相同的根\(x_0,x_1,\dots,x_n\)。

而根据代数基本定理：次数不超过\(n\)的非零多项式，最多有\(n\)个互不相同的根。

现在\(q(x)\)有\(n+1\)个互不相同的根，唯一的可能性就是：\(q(x)\)是零多项式，即\(q(x) \equiv 0\)。

因此\(p_1(x) \equiv p_2(x)\)，插值多项式唯一。

定理的核心意义（重中之重）

这个定理是整个多项式插值的理论基石，它的价值体现在两个方面：

1. 打消了“解是否存在”的顾虑：只要节点互异，满足条件的插值多项式一定存在，不用再怀疑；
2. 统一了所有插值构造方法：无论你用什么方法（拉格朗日插值、牛顿插值、后续的逐次线性插值）构造插值多项式，只要满足两个条件：① 次数不超过\(n\)；② 满足所有插值条件，那它一定就是那个唯一的插值多项式，只是表现形式不同而已，无需再额外证明它的正确性。

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四、关键辨析：为什么我们不直接解方程组求插值多项式？

教材中明确提到：直接求解方程组(2.3)在理论上可行，但却是最繁杂的方法，实际中完全不用。这里我给大家讲透两个核心原因：

1. 计算量极大，效率极低

用高斯消元法求解\(n+1\)阶线性方程组，计算量是\(O(n^3)\)级别。当节点数\(n\)较大时（比如\(n=100\)），计算量会爆炸式增长，完全不具备实用性。

2. 数值稳定性极差，计算结果不可靠

范德蒙德矩阵是典型的病态矩阵：当\(n\)较大时，矩阵的列向量会高度线性相关，条件数急剧增大。这就导致：哪怕输入的函数值\(y_i\)只有极其微小的误差（比如观测误差、舍入误差），解出来的系数\(a_i\)也会出现巨大的偏差，最终得到的插值多项式完全失真，在数值计算中完全不可用。

正是因为这两个致命缺陷，我们后续才会学习拉格朗日插值、牛顿插值等更简洁、数值稳定性更好的构造方法，而不是直接求解范德蒙德方程组。

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五、初学者必避的3个认知误区

1. 误区1：插值多项式的次数必须等于\(n\)
   定理中明确是“次数不超过\(n\)”，而非“必须等于\(n\)”。举个例子：3个节点恰好共线，此时插值多项式是1次多项式，而非2次，这依然符合定理要求，唯一性依然成立。

2. 误区2：不限定次数，插值多项式也唯一
   唯一性的核心前提是“次数不超过\(n\)”。如果不限定次数，插值多项式有无穷多个：你可以在唯一的\(n\)次插值多项式基础上，加上任意一个在所有节点上为0的多项式（比如\((x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)\)乘以任意多项式），得到的多项式依然满足插值条件，但次数超过了\(n\)。

3. 误区3：节点重复也能插值
   节点互异是行列式非零、解存在的核心前提。如果两个节点\(x_i=x_j\)但\(y_i≠y_j\)，插值条件本身矛盾，无解；如果\(x_i=x_j\)且\(y_i=y_j\)，相当于重复节点，对构造插值多项式没有任何意义。

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六、本节核心知识点归纳总结（表格形式）

分类模块	核心内容	关键定义/结论	核心备注与意义
问题转化	插值条件→线性方程组	把\(n+1\)个插值条件转化为\(n+1\)元线性方程组，未知量为多项式系数\(a_0,a_1,\dots,a_n\)	建立了多项式插值与线性代数的桥梁，是存在唯一性证明的基础
核心矩阵	范德蒙德矩阵	\(n+1\)阶方阵，第\(k\)列（\(k=1\)到\(n+1\)）为所有节点的\(k-1\)次幂，结构为\(\begin{pmatrix}1 & x_0 & \dots & x_0^n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_n & \dots & x_n^n\end{pmatrix}\)	是多项式插值对应的系数矩阵，其行列式性质决定了方程组解的存在性
行列式性质	范德蒙德行列式	\(\det\boldsymbol{A} = \prod_{\substack{i,j=0 \\ i>j}}^n (x_i - x_j)\)，节点互异时\(\det\boldsymbol{A} \neq 0\)	节点互异是行列式非零的充要条件，是解唯一的核心前提
核心定理	插值多项式存在唯一性定理	给定\(n+1\)个互异节点，满足插值条件的次数不超过\(n\)的插值多项式，存在且唯一	整个多项式插值的理论基石，统一了所有插值构造方法，是后续所有内容的前提
补充证明	多项式根的性质证明	两个满足条件的多项式之差有\(n+1\)个互异根，故必为零多项式，因此唯一	不依赖线性代数，更直观体现多项式的本质特性
工程实践	直接解方程组的缺陷	① 计算量\(O(n^3)\)，效率极低；② 范德蒙德矩阵是病态矩阵，数值稳定性极差	解释了为什么我们需要学习拉格朗日、牛顿等插值方法，而非直接解方程组