ch01数值分析与科学计算引论

好的，我来为你系统讲解这几页内容里的核心知识点，帮你建立对数值分析这门学科的完整认知。

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一、数学科学与数值分析

1. 核心定义

• 数值分析（又称计算数学）是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
• 它的核心任务是：将抽象的数学模型，转化为计算机可以执行的算法，并分析这些算法的性能。

2. 求解数学问题的三步流程

1. 建立数学模型：根据实际问题，抽象出数学方程或模型，并分析其性质（如解的存在性、唯一性）。这一步通常应用数学的任务。
2. 给出数值计算方法：设计具体的算法，将连续的数学问题离散化，使其能在有限步内得到近似解。这是数值分析的核心。
3. 编制程序并上机计算：将算法转化为代码，在计算机上运行并得到结果。

3. 学科特点

• 内容丰富：涵盖数值逼近、数值微分与积分、线性方程组求解、非线性方程求解、特征值问题等多个分支。
• 紧密结合：不只是纯数学的推导，而是与计算机科学紧密结合，研究数值问题的算法及其理论。
• 性质独特：兼具纯数学的高度抽象性与应用数学的广泛实践性，同时具有与实际试验高度相关的技术特性。

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二、计算数学与科学计算

1. 学科发展

• 随着计算机和科学技术的发展，求解数学问题的数值方法得到了广泛应用，新的计算科学分支不断涌现，如计算力学、计算物理、计算化学等。
• 这些分支共同构成了科学计算这一大学科，它是一门工具性、方法性、边缘性的学科。

2. 三大手段

现代科学的发展依赖于三种主要手段，它们相辅相成：

1. 理论分析：从公理和定理出发进行逻辑推导。
2. 科学实验：通过观察和实验获取数据。
3. 科学计算：利用数值方法在计算机上模拟复杂过程，得到近似解。

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三、计算方法与计算机

1. 历史演进

• 在电子计算机出现之前，计算工具（算盘、算表、手摇计算机）限制了计算规模，计算方法也多是数学家名字命名的公式（如牛顿法、高斯消元法）。
• 现代计算机的出现，使计算方法发展成一门独立的分支学科——计算数学。

2. 相互促进

• 计算机的进步：运算速度的提升，使得在同一时间内可以完成更多的计算，从而推动了更复杂、更精确的数值方法的应用。
• 计算方法的进步：高效的算法可以极大地减少计算量，对提高计算能力的贡献甚至超过了硬件的提升。例如，在1955-1975年间，计算机速度提高了数千倍，而椭圆型偏微分方程的计算方法效率提高了约一百万倍。

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四、数值问题与算法

1. 核心概念

• 数值问题：指输入数据（自变量与原始数据）与输出数据（结果）之间函数关系的确定而无歧义的描述，且输入输出都可用有限维向量表示。
  • 例如：线性方程组求解是“数值问题”；常微分方程初值问题 ( \frac{dy}{dx} = x^2, y(0)=0 ) 本身不是，但将其离散化后求离散点上的近似值，就变成了“数值问题”。
• 算法：是指在计算机上，对一个数值问题的解进行逐步求解的指令的有序序列。它由基本算术运算（+、-、×、/）、逻辑运算和输入输出操作组成。

2. 算法的分类

• 串行算法：只有一个进程在计算机上运行。
• 并行算法：有两个以上进程在并行计算机上协同运行。

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五、数值分析的四大研究要点

这是数值分析的核心方法论，所有算法设计都围绕这四点展开：

1. 可靠的理论分析
   • 算法必须基于严格的数学理论，包括收敛性（解是否趋近于真解）、稳定性（误差是否会被放大）、准确性（误差有多大）等。
2. 有效的计算复杂度
   • 包括时间复杂度（计算所需的时间）和空间复杂度（占用的内存）。
   • 例如：求解n阶线性方程组，克莱姆法则的时间复杂度是 (O(n!))，而高斯消元法是 (O(n^3))。当n=20时，克莱姆法则需要 (9.7 \times 10^{16}) 次运算，而高斯消元法仅需约3000次，差距巨大。
3. 可行的实现条件
   • 算法必须能在现有的计算机体系结构上实现。新的硬件（如并行机、GPU）会对算法提出新的要求，推动新方法的产生。
4. 数值实验的验证
   • 任何算法，除了满足前三点，还必须通过大量的数值实验来证明其在实际应用中的有效性和鲁棒性。

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六、学习数值分析的建议

• 掌握原理：重点理解各类方法的基本原理、思想和收敛性、稳定性分析。
• 重视实践：多做例题和习题，学习使用计算机解决实际问题。
• 打好基础：本课程与微积分、线性代数、常微分方程等数学知识紧密相关，需要扎实掌握这些先修内容。

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1.2 误差来源与分类

一、误差的四大来源

在数值计算中，误差主要来自以下四个方面：

1. 模型误差

   • 定义：用数学模型描述实际问题时，因抽象和简化而产生的误差。
   • 说明：数学模型是对现实世界的近似，忽略了许多次要因素。在数值分析中，通常假定数学模型是合理的，不讨论这类误差。

2. 观测误差

   • 定义：在建立数学模型时，对物理量（如温度、长度、电压）进行测量所产生的误差。
   • 说明：由观测手段的局限性导致，在数值分析中也不讨论这类误差。

3. 截断误差（方法误差）

   • 定义：用数值方法求数学模型的近似解时，其近似解与精确解之间的误差。
   • 典型例子：用泰勒多项式 (p_n(x)) 近似代替函数 (f(x)) 时产生的误差：
     [
     R_n(x) = f(x) - p_n(x) = \frac{f^{{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x}, \quad \xi \text{ 在 } 0 \text{ 与 } x \text{ 之间}
     ]
   • 说明：这是数值分析中主要讨论的误差类型，与算法的设计直接相关。

4. 舍入误差（输入误差）

   • 定义：由于计算机字长有限，原始数据在计算机中表示时产生的误差，以及计算过程中因四舍五入产生的新误差。
   • 典型例子：用 (3.14159) 近似代替 (\pi)，产生的误差 (R = \pi - 3.14159 = 0.0000026\cdots)。
   • 说明：此外，十进制数与二进制数的转换也会引入舍入误差。

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二、核心要点总结

• 研究重点：数值分析主要研究截断误差和舍入误差。
• 误差控制：为了获得满足精度要求的计算结果，需要对这两种误差进行分析和控制。
• 基础铺垫：在分析数值运算的舍入误差前，需要先对误差的基本概念（如误差限、有效数字）做简单介绍，这与高中物理学习测量知识时的概念是相通的。

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下面用表格方式，把误差的核心概念和分类讲清楚：

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一、误差来源与分类

误差类型	定义与产生原因	典型例子	数值分析中的处理方式
模型误差	数学模型是对实际问题的抽象与简化，与真实物理过程之间的差异	忽略空气阻力的自由落体运动方程	通常假定模型合理，不做深入讨论
观测误差	对物理量（温度、长度、电压等）进行测量时，由观测手段局限性产生的误差	用温度计测量水温时的读数偏差	假定测量数据已知，不讨论其来源
截断误差（方法误差）	用数值方法（如泰勒展开、有限差分）求数学模型的近似解时，近似解与精确解之间的误差	用 (n) 次泰勒多项式 (p_n(x)) 近似 (f(x)) 产生的余项 (R_n(x))	数值分析的核心研究对象，重点分析其收敛性与误差界
舍入误差（输入误差）	因计算机字长有限，数据表示和计算过程中四舍五入产生的误差	用 (3.14159) 近似 (\pi)；十进制转二进制产生的误差	分析其传播与积累，是保证数值稳定性的关键

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二、误差的基本概念

概念	定义	数学表达式	特点与说明
绝对误差	近似值 (x^*) 与真值 (x) 之差	(e = x^* - x)	有正负之分，反映了近似值偏离真值的程度
绝对误差限	绝对误差绝对值的上界	(	e
相对误差	绝对误差与真值的比值（工程上也常用与近似值的比值）	(e_r = \frac{x^* - x}{x} \approx \frac{x^* - x}{x^*})	无量纲，能更合理地反映误差的严重性
相对误差限	相对误差绝对值的上界	(	e_r
有效数字	若近似值 (x^) 的绝对误差限是其某一位的半个单位，且从左边第一个非零数字到该位共有 (n) 位，则称 (x^) 有 (n) 位有效数字	例：(x^* = 3.14) 对 (\pi) 有 3 位有效数字	是一种常用的精度表示方法，位数越多精度越高

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三、截断误差与舍入误差的对比

对比维度	截断误差	舍入误差
产生根源	数学方法本身的近似性（用有限过程代替无限过程）	计算机硬件的有限字长和数据表示
控制方式	增加计算量（如提高泰勒展开阶数、减小步长）	提高计算机精度（如使用双精度浮点数），改进算法
理论分析	可通过数学推导给出严格的误差界	难以精确预测，需用概率统计方法分析
对结果的影响	决定了数值解的收敛速度和极限精度	决定了数值解的稳定性，可能导致计算失败

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1.2.2 误差限与有效数字 知识点系统讲解

这部分是数值分析误差理论的核心，建立了近似值精度的量化评价体系，下面用表格形式完整拆解所有知识点，兼顾定义、公式、规则、示例与核心结论。

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一、误差核心基础概念

概念名称	核心定义	数学表达式	关键说明	典型示例
绝对误差（简称误差）	近似值与准确值的差值，反映近似值偏离真值的方向和幅度	( e^* = x^* - x ) 注：( x ) 为准确值，( x^* ) 为近似值	1. 可正可负 2. 实际中真值( x )通常未知，无法算出绝对误差的准确值，只能估计其范围	用3.14近似( \pi )，绝对误差 ( e^*=3.14 - \pi \approx -0.00159265 )
绝对误差限	绝对误差绝对值的上界，是工程中最常用的精度范围表示	(	x^* - x	\le \varepsilon^* ) 等价于：( x^* - \varepsilon^* \le x \le x^* + \varepsilon^* )，也可记为 ( x = x^* \pm \varepsilon^* )
相对误差	绝对误差与数值本身的比值，消除数值量级对精度评价的影响	理论定义：( e_r^* = \frac{e^}{x} = \frac{x^ - x}{x} ) 工程实用定义：( e_r^* = \frac{e*}{x} = \frac{x^ - x}{x^*} )	1. 无量纲，常用百分数表示 2. 当( e_r^* )很小时，两种定义的差异为平方项级，可忽略不计	近似值( x^=10 )，误差限( \varepsilon^=1 )，相对误差限为( \frac{1}{10}=10% )
相对误差限	相对误差绝对值的上界，是评价近似程度好坏的核心指标	(	e_r^*	\le \varepsilon_r^* )，且 ( \varepsilon_r^* = \frac{\varepsilon^*}{

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二、有效数字核心知识点

项目	核心内容	关键规则	示例
核心定义	若近似数按四舍五入原则得到，其误差不超过末位数字的半个单位，从该位到其左边第一位非零数字的所有数字，称为该近似数的有效数字，数字个数为有效位数	1. 四舍五入到哪一位，就精确到哪一位 2. 有效位数与小数点位置、单位换算无关 3. 末尾的0不能随意省略，会直接改变有效位数	( \pi=3.14159265\cdots ) 四舍五入到3位：3.14，有3位有效数字，误差限( \le \frac{1}{2} \times 10^{-2} ) 四舍五入到5位：3.1416，有5位有效数字，误差限( \le \frac{1}{2} \times 10^{-4} )
科学计数法标准形式	有效数字的规范浮点表示： ( x^* = \pm 10^m \times (a_1 + a_2 \times 10^{-1} + \dots + a_n \times 10^{-(n-1)}) )	1. ( a_1 \neq 0 )，( a_i \in {0,1,\dots,9} ) 2. ( m )为整数，代表数值的数量级 3. ( n )为有效数字的位数 4. 绝对误差限满足：(	x - x^*
判定易错点	有效数字的边界判定规则	1. 左边第一个非零数字前的0，仅起定位作用，不是有效数字 2. 数字中间和末尾的0，都是有效数字 3. 有效位数越多，近似精度越高	1. 0.037856：左数第一个非零数字是3，共5位有效数字 2. 8.0000：有5位有效数字，而8只有1位有效数字 3. 2.7183：有5位有效数字

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三、有效数字与误差限的定量关系（定理1.1）

关系方向	核心结论	数学表达式	核心解读
正命题：有效位数→相对误差限	若近似值( x^* )有n位有效数字，则其相对误差限有确定的上界	( \varepsilon_r^* \le \frac{1}{2a_1} \times 10^{-(n-1)} ) 注：( a_1 )是( x^* )的第一位有效数字	1. 有效位数( n )越多，相对误差限越小，精度越高 2. 第一位有效数字( a_1 )越大，相对误差限越小，精度越高
逆命题：相对误差限→有效位数	若近似值( x^* )的相对误差限满足不等式，则( x^* )至少具有n位有效数字	( \varepsilon_r^* \le \frac{1}{2(a_1+1)} \times 10^{-(n-1)} \implies x^* )至少有n位有效数字	给出了通过相对误差限反推有效位数的判定方法，是工程中精度设计的核心依据

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四、例题完整解析

例1.1 5位有效数字近似数求解

原数	5位有效数字近似数	解析说明
187.9325	187.93	四舍五入到第5位有效数字，末位3后是2，直接舍去，保留5位有效数字
0.03785551	0.037856	左数第一个非零数字是3，第5位有效数字是5，后一位是5，进1，得到0.037856
8.000033	8.0000	四舍五入后末尾的4个0均为有效数字，共5位；若简写为8，仅1位有效数字，精度完全不同
2.7182818	2.7183	第5位有效数字是2，后一位是8，进1，得到2.7183

例1.2 单位换算与有效数字

• 核心结论：有效数字的位数与单位换算、小数点位置无关，仅由四舍五入的精度决定。
• 重力常数( g=9.80\ \text{m/s}^2 )（3位有效数字），换算为( 0.00980\ \text{km/s}^2 )后，仍为3位有效数字；二者绝对误差限因单位不同而不同，但相对误差限完全一致。

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五、核心易错点总结

1. 绝对误差、绝对误差限是有量纲的，相对误差、相对误差限是无量纲的，二者不能直接比较。
2. 近似数末尾的0不能随意省略：8.0000和8的有效位数天差地别，代表的精度完全不同。
3. 有效位数仅由四舍五入的精度决定，与小数点后有多少位、单位换算无关。
4. 有效位数越多，绝对误差限和相对误差限越小，近似值的精度越高。

题目答案

要使\(\sqrt{20}\)的近似值相对误差限小于0.1%，至少需要取4位有效数字。

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完整解题步骤解析

本题是有效数字与相对误差限关系定理的典型应用，解题逻辑分为5步，同时给出同类题通用解题模板。

步骤1：明确核心依据（定理1.1）

若近似值\(x^*\)有\(n\)位有效数字，其第一位有效数字为\(a_1\)（\(a_1\)是1-9的整数），则其相对误差限满足：

\[\varepsilon_r^* \le \frac{1}{2a_1} \times 10^{-(n-1)} \]

本题的核心是通过给定的相对误差限，反求满足要求的最小有效位数\(n\)。

步骤2：确定第一位有效数字\(a_1\)

先确定\(\sqrt{20}\)的数值范围：

\[\sqrt{16}=4 < \sqrt{20} < \sqrt{25}=5 \]

因此\(\sqrt{20}\)的第一位有效数字\(a_1=4\)。

步骤3：转化精度要求

题目要求相对误差限小于0.1%，将其转化为标准幂次形式：

\[\varepsilon_r^* < 0.1\% = 10^{-3} \]

步骤4：列不等式求解最小\(n\)

将\(a_1=4\)、精度要求代入定理公式，列不等式：

\[\frac{1}{2\times4} \times 10^{-(n-1)} < 10^{-3} \]

1. 化简系数：\(\frac{1}{8}=0.125\)，不等式变为：
   \[0.125 \times 10^{-(n-1)} < 10^{-3} \]

2. 整理幂次项：
   \[10^{-(n-1)} < \frac{10^{-3}}{0.125} = 8\times10^{-3} \]

3. 两边取常用对数（对数单调递增，不等号方向不变）：
   \[-(n-1) < \lg(8\times10^{-3}) = \lg8 - 3 \approx 0.9031 - 3 = -2.0969 \]

4. 解不等式：
   \[-n +1 < -2.0969 \implies n > 3.0969 \]

5. 有效位数\(n\)必须为正整数，因此取最小整数值\(n=4\)。

步骤5：结果验证

• 当\(n=4\)时，代入定理公式得相对误差限上限：
  \[\varepsilon_r^* \le \frac{1}{2\times4} \times 10^{-(4-1)} = 0.125\times10^{-3} = 1.25\times10^{-4} < 10^{-3}=0.1\% \]
  完全满足精度要求。
• 实际数值验证：\(\sqrt{20}\approx4.472135955\)，取4位有效数字的近似值为\(4.472\)，绝对误差为\(4.472135955-4.472=1.3595\times10^{-4}\)，相对误差约为\(3.04\times10^{-5}\)，远小于0.1%。

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同类题通用解题模板

1. 确定待求数的数值范围，找到第一位有效数字\(a_1\)；
2. 将题目要求的相对误差限转化为10的幂次形式；
3. 代入定理列不等式，求解\(n\)的最小正整数值；
4. 代入公式验证结果是否满足精度要求。

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易错点提醒

1. \(a_1\)必须是准确值的第一位有效数字，不能用近似值的数字代替；
2. 解对数不等式时，两边乘负数需反向不等号，避免符号错误；
3. \(n\)必须向上取整，本题\(n>3.0969\)，只能取4，取3位有效数字时相对误差限上限为\(0.125\%\)，不满足小于0.1%的要求。

1.2.3 数值运算的误差估计 知识点系统讲解

这部分是数值误差理论的核心应用，解决误差在数值运算中的传递与量化估计问题：当输入的近似值存在误差时，如何计算运算结果的误差范围，是工程精度设计、数值算法稳定性分析的核心依据。

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一、四则运算的误差限公式

前提说明

设两个近似数\(x_1^*\)、\(x_2^*\)的绝对误差限分别为\(\varepsilon(x_1^*)\)、\(\varepsilon(x_2^*)\)，二者进行四则运算后，结果的误差限满足以下不等式，核心规律用表格整理如下：

运算类型	绝对误差限公式	核心解读	关键注意事项
加减法 \(x_1^* \pm x_2^*\)	\(\varepsilon(x_1^* \pm x_2^*) \le \varepsilon(x_1^*) + \varepsilon(x_2^*)\)	加减运算的绝对误差限，等于所有操作数的绝对误差限之和	减法不会抵消误差，反而和加法一样会累加误差，是后续数值稳定性分析的核心要点
乘法 \(x_1^* \cdot x_2^*\)	$\varepsilon(x_1^* \cdot x_2^*) \le	x_1^*	\cdot \varepsilon(x_2^*) +
除法 \(x_1^* / x_2^*\)	$\varepsilon\left(\frac{x_1*}{x_2*}\right) \le \frac{	x_1^*	\cdot \varepsilon(x_2^*) +

补充：相对误差限的简洁规律

• 乘法/除法的相对误差限满足：\(\varepsilon_r(x_1^* \cdot x_2^*) \le \varepsilon_r(x_1^*) + \varepsilon_r(x_2^*)\)，\(\varepsilon_r\left(\frac{x_1^*}{x_2^*}\right) \le \varepsilon_r(x_1^*) + \varepsilon_r(x_2^*)\)
• 即：乘除运算的相对误差限，等于各操作数的相对误差限之和，计算更便捷。

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二、函数运算的误差估计

核心原理：泰勒展开一阶近似。由于误差是小量，泰勒展开的二阶及以上高阶项可以忽略，从而得到误差传递的简化公式，分为一元函数和多元函数两种场景。

1. 一元函数的误差估计

• 前提：\(f(x)\)为一元可微函数，真值为\(x\)，近似值为\(x^*\)，用\(f(x^*)\)近似代替\(f(x)\)。
• 泰勒一阶展开：
  \[f(x) - f(x^*) = f'(x^*)(x - x^*) + \frac{f''(\xi)}{2}(x - x^*)^2 \quad (\xi介于x和x^*之间) \]

• 近似简化：当\(f''(x^*)\)与\(f'(x^*)\)的比值不大、误差\(\varepsilon(x^*)\)为小量时，二阶高阶项可忽略，得到绝对误差限公式：
  \[\varepsilon(f(x^*)) \approx |f'(x^*)| \cdot \varepsilon(x^*) \]

• 核心解读：函数值的误差限，等于自变量的误差限乘以函数在该点导数的绝对值。导数绝对值越大，自变量的误差被放大的程度越严重。

2. 多元函数的误差估计（工程最常用）

• 前提：多元函数\(A = f(x_1,x_2,\dots,x_n)\)，自变量的近似值为\(x_1^*,x_2^*,\dots,x_n^*\)，结果的近似值为\(A^* = f(x_1^*,x_2^*,\dots,x_n^*)\)。
• 多元泰勒一阶展开：忽略高阶小项后，得到通用误差传递公式：
  1. 绝对误差限（核心公式1.3）：
     \[\varepsilon(A^*) \approx \sum_{k=1}^n \left| \left( \frac{\partial f}{\partial x_k} \right)^* \right| \cdot \varepsilon(x_k^*) \]

  2. 相对误差限：
     \[\varepsilon_r(A^*) = \frac{\varepsilon(A^*)}{|A^*|} \approx \sum_{k=1}^n \left| \left( \frac{\partial f}{\partial x_k} \right)^* \right| \cdot \frac{\varepsilon(x_k^*)}{|A^*|} \]

• 核心解读：
  • 公式中\(\left( \frac{\partial f}{\partial x_k} \right)^*\)称为误差传递系数，代表第k个自变量的误差对最终结果的放大倍数；
  • 最终结果的总误差限，是所有自变量的误差贡献之和，四则运算的误差公式均可由该通用公式推导得出。

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三、例题1.4 完整解析与验证

题目答案

• 面积的绝对误差限：\(\varepsilon(s^*) \approx 27\ \text{m}^2\)
• 面积的相对误差限：\(\varepsilon_r(s^*) \approx 0.31\%\)

分步解题过程

1. 确定函数与偏导数（误差传递系数）
   面积是关于长\(l\)、宽\(d\)的二元函数：\(s(l,d) = l \cdot d\)
   求偏导得：\(\frac{\partial s}{\partial l} = d\)，\(\frac{\partial s}{\partial d} = l\)
   代入近似值\(l^*=110\ \text{m}\)、\(d^*=80\ \text{m}\)，得：

   \[\left( \frac{\partial s}{\partial l} \right)^* = 80\ \text{m}, \quad \left( \frac{\partial s}{\partial d} \right)^* = 110\ \text{m} \]

2. 明确已知条件
   自变量的误差限：\(\varepsilon(l^*)=0.2\ \text{m}\)，\(\varepsilon(d^*)=0.1\ \text{m}\)
   近似面积值：\(s^* = l^* \cdot d^* = 110 \times 80 = 8800\ \text{m}^2\)

3. 计算绝对误差限
   代入多元函数误差公式：

   \[\varepsilon(s^*) \approx \left| \left( \frac{\partial s}{\partial l} \right)^* \right| \cdot \varepsilon(l^*) + \left| \left( \frac{\partial s}{\partial d} \right)^* \right| \cdot \varepsilon(d^*) \]
   \[= 80 \times 0.2 + 110 \times 0.1 = 16 + 11 = 27\ \text{m}^2 \]

4. 计算相对误差限

   \[\varepsilon_r(s^*) = \frac{\varepsilon(s^*)}{|s^*|} = \frac{27}{8800} \approx 0.003068 \approx 0.31\% \]

结果验证

用乘除法相对误差限规律验证：

• 长的相对误差限：\(\varepsilon_r(l^*) = \frac{0.2}{110} \approx 0.1818\%\)
• 宽的相对误差限：\(\varepsilon_r(d^*) = \frac{0.1}{80} = 0.125\%\)
• 总相对误差限：\(\varepsilon_r(s^*) \approx 0.1818\% + 0.125\% \approx 0.3068\% \approx 0.31\%\)，与计算结果完全一致。

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四、数值计算的误差控制基本原则（核心考点）

基于误差传递规律，为了避免误差放大、保证计算结果可靠，数值计算需遵循4条核心原则：

1. 避免两个相近的数相减：会导致有效数字严重损失，相对误差急剧放大（如\(1.0000001 - 1.0000000 = 0.0000001\)，原本7位有效数字，相减后仅剩1位）。
2. 避免用绝对值极小的数做分母：分母接近0时，除法的误差限会被平方级放大，导致结果完全不可靠。
3. 避免大数与小数直接加减：会导致小数被“吃掉”，有效数字损失（如单精度浮点数中\(10^9 + 0.1\)，0.1会被直接忽略，结果仍为\(10^9\)）。
4. 简化计算步骤，减少运算次数：每一次运算都会引入舍入误差，运算次数越多，误差积累越严重，优先选择运算量少的高效算法。

1.3 误差定性分析与避免误差危害 知识点系统讲解

这部分是数值分析的核心准则，解决实际工程计算中如何控制误差、保证结果可靠的核心问题，重点讲解两大核心概念：算法的数值稳定性、问题的病态性，同时明确误差分析的常用方法与避免误差危害的核心原则。

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一、误差分析的常用方法

1.2节的误差限公式仅适用于简单运算场景，而实际科学计算往往需要千万次迭代运算，逐次做保守的误差限估计既不现实，也会严重高估实际误差。工程与学术中常用的误差分析方法如下：

方法名称	核心思想	特点与适用场景
概率分析法	将数据和运算中的舍入误差视为符合某类分布的随机变量，通过概率统计方法确定计算结果的误差分布	估计结果更接近实际误差，适合大规模运算的整体误差评估
向后误差分析法（Wilkinson）	将计算过程中每一步的舍入误差，等价转化为初始输入数据的微小扰动，无需逐次跟踪误差	20世纪60年代后主流方法，尤其适合线性方程组、矩阵特征值等线性代数问题
区间分析法（Moore）	将所有参与运算的数用区间表示，运算结果也用区间输出，保证真值始终落在区间范围内	能严格界定真值范围，但计算复杂度高，工程应用受限

核心结论：目前舍入误差的精准定量估计尚无通用有效方法，工程中为保证计算结果可靠，主要开展误差定性分析，核心关注「算法是否稳定」「问题本身是否病态」两个核心问题。

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二、算法的数值稳定性

1. 核心定义（定义1.1）

一个算法如果输入数据存在误差，且在计算过程中，舍入误差/初始误差不增长甚至逐步衰减，则称该算法是数值稳定的；反之，若误差在计算中被持续放大，最终导致结果完全失真，则称算法是数值不稳定的。

关键认知：数值稳定性是计算方法本身的属性，与初始误差大小无关，只由误差的传播规律决定。

2. 典型案例（例1.5）深度解析

问题背景

计算积分 \(I_n = e^{-1}\int_0^1 x^n e^x dx \quad (n=0,1,2,\dots)\)
通过分部积分可推导出递推关系：

\[\begin{cases} I_0 = 1 - e^{-1} \\ I_n = 1 - nI_{n-1}, \quad n=1,2,\dots \end{cases} \]

同时可通过积分估值得到\(I_n\)的固有性质：\(\frac{e^{-1}}{n+1} < I_n < \frac{1}{n+1}\)，即所有\(I_n\)恒为正数，且随\(n\)增大单调递减趋近于0。

算法A：正向递推（不稳定算法）

• 计算逻辑：先计算初始值\(I_0 \approx 0.6321\)，再通过\(I_n = 1 - nI_{n-1}\)依次计算\(I_1,I_2,\dots,I_n\)
• 误差传播规律：设初始误差\(E_0 = I_0 - \tilde{I}_0\)，第\(n\)步的误差\(E_n = I_n - \tilde{I}_n\)，代入递推式可得：
  \[E_n = -nE_{n-1} = (-1)^n \cdot n! \cdot E_0 \]

• 结果分析：初始误差\(E_0\)会被\(n!\)阶放大，例如\(n=8\)时，\(8!=40320\)，哪怕初始误差仅\(|E_0|=0.5\times10^{-4}\)，最终误差\(|E_8|>0.5\)，计算结果出现负数，与\(I_n>0\)的固有性质完全矛盾，结果完全不可靠。

算法B：反向递推（稳定算法）

• 计算逻辑：将递推公式反向变形为\(I_{n-1} = \frac{1-I_n}{n}\)，先对较大的\(n\)（如\(n=9\)）给出粗略近似值\(I_9 \approx 0.0684\)，再反向计算\(I_8,I_7,\dots,I_0\)
• 误差传播规律：设第\(n\)步的初始误差\(E_n = I_n - I_n^*\)，反向递推的误差满足：
  \[E_{n-1} = -\frac{1}{n}E_n \implies E_0 = (-1)^n \cdot \frac{E_n}{n!} \]

• 结果分析：初始误差会被\(n!\)阶缩小，哪怕\(I_9\)的初始误差较大，反向递推到\(I_0\)时误差也会被极大衰减，计算结果完全符合\(I_n\)的固有性质，结果可靠。

两个算法的核心对比

对比维度	算法A（正向递推）	算法B（反向递推）
误差传播规律	每步误差被放大\(n\)倍，阶乘级增长	每步误差被缩小\(1/n\)倍，阶乘级衰减
数值稳定性	不稳定，计算步数越多结果越失真	稳定，计算步数越多误差反而越小
结果可靠性	\(n\ge8\)时结果完全失效	所有步数的结果均符合数学性质

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三、病态问题与条件数

1. 核心定义（定义1.2）

对一个数值问题本身，若输入数据的微小扰动（相对误差），会引起输出结果（问题的解）的相对误差急剧放大，则称该数值问题为病态问题；衡量误差放大倍数的指标称为条件数，定义为：

\[\text{条件数} = \frac{\text{输出结果的相对误差}}{\text{输入数据的相对误差}} \]

关键认知：病态性是数值问题本身的固有属性，与计算方法无关；哪怕使用稳定的算法，病态问题的输入误差也会被大幅放大，导致结果不可靠。

2. 条件数的计算

（1）一元函数求值问题的条件数

对函数求值问题\(y=f(x)\)，输入\(x\)的微小扰动\(\Delta x\)，其条件数公式为：

\[C_p = \left| \frac{x \cdot f'(x)}{f(x)} \right| \]

该公式的物理意义：自变量的相对误差，会被放大\(C_p\)倍，成为函数值的相对误差。

（2）病态问题的判定标准

一般情况下，条件数\(C_p \ge 10\)，即可认为该问题是病态问题；\(C_p\)越大，问题的病态程度越严重。

3. 典型案例解析

案例1：幂函数求值

对\(f(x)=x^n\)，其条件数\(C_p = n\)。

• 当\(n=10\)时，\(C_p=10\)，若输入\(x\)的相对误差为\(2\%\)，则函数值的相对误差可达\(22\%\)，属于病态问题。

案例2：近奇异线性方程组（例1.6）

求解线性方程组

\[\begin{cases} x + \alpha y = 1 \\ \alpha x + y = 0 \end{cases} \]

当\(\alpha \neq 1\)时，解为\(x = \frac{1}{1-\alpha^2}\)，\(y = -\frac{\alpha}{1-\alpha^2}\)。

• 条件数计算：将\(x\)视为\(\alpha\)的函数，代入条件数公式得\(C_p = \left| \frac{2\alpha^2}{1-\alpha^2} \right|\)
• 病态分析：当\(\alpha=0.99\)时，\(C_p \approx 100\)，输入\(\alpha\)的微小误差\(0.001\)，会导致解\(x\)的误差约\(5.56\)，相对误差超过\(10\%\)，属于严重病态问题。

4. 病态问题与不稳定算法的核心区别

对比维度	病态问题	数值不稳定算法
本质属性	数值问题本身的固有性质，与算法无关	计算方法的属性，与问题本身无关
误差来源	输入数据的微小扰动被问题本身放大	计算过程中舍入误差被算法持续放大
解决思路	采用特殊的数值处理方法（如高精度计算、正则化方法）	更换为数值稳定的算法

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四、避免误差危害的8条核心准则

结合1.2节与本节内容，总结数值计算中控制误差、保证结果可靠的核心准则，是数值算法设计的黄金法则：

1. 优先选用数值稳定的算法，避免误差随计算步数持续放大；
2. 避免两个相近的数相减，会严重损失有效数字，放大相对误差；
3. 避免用绝对值极小的数做分母，会将分子的误差平方级放大；
4. 避免大数与小数直接加减，会导致小数被大数“吃掉”，损失有效数字；
5. 简化计算步骤，减少运算次数，每一次运算都会引入舍入误差，运算次数越少，误差积累越少；
6. 计算前先判断问题是否病态，对病态问题采用高精度计算、正则化等特殊处理方法；
7. 合理设计递推方向，优先选择误差衰减的递推逻辑，避免误差放大的递推方式；
8. 对计算结果做合理性校验，结合问题的数学性质（如符号、单调性、界）验证结果是否可靠。

1.3.3 避免误差危害 知识点系统讲解

这一节是数值计算的实操核心准则，通过4个典型案例，拆解了数值计算中最常见的4类误差陷阱，以及对应的规避方法，是设计可靠数值算法、保证计算结果精度的核心指南。

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一、核心总述

数值计算中，除了优先选择数值稳定的算法，还必须从根源上避免4类核心误差危害：

1. 两个相近数相减导致有效数字严重损失；
2. 极小值做除数/极大值做乘数导致误差急剧放大；
3. 大数“吃掉”小数导致有效数字丢失；
4. 运算次数过多导致截断误差、舍入误差严重累积。

下面结合例题，逐一拆解每类误差的原理、危害与规避方法。

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二、准则1：避免两个相近的数相减，防止有效数字损失

核心原理

两个数值相近的数做减法时，它们的前几位有效数字会相互抵消，导致结果的有效数字位数急剧减少，相对误差被大幅放大，是数值计算中最常见的误差来源。

典型例题解析

例1.7 一元二次方程小正根求解

题目：求 \(x^2-16x+1=0\) 的小正根。

1. 根的推导：由求根公式得两个根为 \(x_1=8+\sqrt{63}\)，\(x_2=8-\sqrt{63}\)，其中小正根为 \(x_2=8-\sqrt{63}\)。
2. 错误解法：取 \(\sqrt{63}\approx7.94\)（3位有效数字），直接计算 \(x_2\approx8-7.94=0.06\)，结果仅保留1位有效数字，有效数字损失2位，精度完全丢失。
3. 正确解法：利用平方差公式做代数变形，避免相近数相减：
   \[x_2=8-\sqrt{63} = \frac{(8-\sqrt{63})(8+\sqrt{63})}{8+\sqrt{63}} = \frac{1}{8+\sqrt{63}} \]
   代入 \(\sqrt{63}\approx7.94\)，得 \(x_2\approx\frac{1}{15.94}\approx0.0627\)，完整保留了3位有效数字，精度完全符合要求。

例1.8 三角函数表达式计算

题目：用四位数学用表计算 \(A=10^7(1-\cos2^\circ)\)。

1. 错误解法：直接查表得 \(\cos2^\circ\approx0.9994\)，计算 \(1-0.9994=0.0006\)，再乘 \(10^7\) 得 \(A=6\times10^3\)，结果仅1位有效数字。
2. 正确解法：利用三角恒等式 \(1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}\) 变形，避免相近数相减：
   \[A=10^7(1-\cos2^\circ)=2\times10^7\times\sin^21^\circ \]
   查表得 \(\sin1^\circ\approx0.0175\)，代入计算得 \(A\approx6.13\times10^3\)，保留了3位有效数字，精度大幅提升。

通用规避方法

当需要计算两个相近数的差值 \(f(x)-f(x^*)\) 时，优先选择以下方案：

1. 代数/三角恒等式变形：将减法转化为加法、乘法、除法，如 \(\lg x_1 - \lg x_2 = \lg\frac{x_1}{x_2}\)、\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\)；
2. 泰勒展开近似：用泰勒展开的有限项代替差值计算；
3. 高精度运算：无法变形时，采用双精度/多倍字长运算，代价是增加计算成本。

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三、准则2：避免用绝对值极小的数做除数，防止误差平方级放大

核心原理

由除法的误差传递公式：

\[\varepsilon\left(\frac{x_1^*}{x_2^*}\right) \le \frac{|x_1^*|\varepsilon(x_2^*) + |x_2^*|\varepsilon(x_1^*)}{|x_2^*|^2} \]

当分母 \(|x_2^*|\) 趋近于0时，结果的误差限会被平方级放大，哪怕输入的微小误差，也会导致结果完全失真。同理，用绝对值极大的数做乘数，也会直接放大输入误差。

通用规避方法

1. 对算式做代数变形，将极小分母移到分子，避免直接除法；
2. 对算式做量级缩放，将分母调整到合理的数量级；
3. 增加分母的有效数字位数，降低分母本身的相对误差。

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四、准则3：合理调整运算次序，避免大数“吃掉”小数

核心原理

计算机的浮点数运算需要先对阶：将两个数的指数调整为相同，再对尾数进行运算。当两个数的量级相差过大时，小数的尾数会被截断，导致小数被大数完全“吃掉”，有效数字完全丢失，结果严重失真。

典型例题解析（例1.9）

题目：在五位十进制计算机上，计算 \(A=52492 + \sum_{i=1}^{1000}\delta_i\)，其中 \(0.1\le\delta_i\le0.9\)。

1. 错误解法：按原式顺序直接计算
   先将大数写为规格化浮点数：\(52492=0.52492\times10^5\)，单个小数 \(\delta_i=0.9=0.000009\times10^5\)。
   五位十进制计算机仅能保留5位尾数，\(0.000009\times10^5\) 的尾数在第5位之后，被机器视为0，因此每个 \(\delta_i\) 相加后都被大数“吃掉”，最终结果 \(A\approx52492\)，完全错误。
2. 正确解法：调整运算次序，先合并小数，再与大数相加
   先计算1000个小数的和：\(0.1\times10^3 \le \sum_{i=1}^{1000}\delta_i \le 0.9\times10^3\)，即和的范围为 \(100\sim900\)，对应规格化形式 \(0.001\times10^5 \sim 0.009\times10^5\)。
   再与大数52492相加，得到结果范围 \(52592 \le A \le 53392\)，完整保留了小数的贡献，避免了大数吃小数的问题。

通用规避方法

1. 多个数相加时，优先将量级相近的数相加，再将和合并，遵循“先小数、后大数”的原则；
2. 避免量级相差超过计算机有效位数的两个数直接加减；
3. 对大规模求和式，先对小数项做合并缩放，再与大数运算。

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五、准则4：简化计算步骤，减少运算次数，降低误差累积

核心原理

每一次算术运算都会引入舍入误差，运算次数越多，误差累积越严重；同时，收敛速度慢的算法，需要更多项才能达到精度要求，截断误差和舍入误差都会被放大，同时还会增加计算成本。

典型例题解析（例1.10）

题目：计算 \(\ln2\) 的近似值，要求精确到 \(10^{-5}\)。

1. 错误解法：直接使用 \(\ln(1+x)\) 的泰勒展开式，令 \(x=1\)
   \[\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \]
   该级数收敛速度极慢，要达到 \(10^{-5}\) 的精度，需要计算前10万项，不仅计算量极大，10万次运算的舍入误差累积也会严重影响结果可靠性。
2. 正确解法：利用对数恒等式变形，选择收敛更快的公式
   由对数性质推导得：
   \[\ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+x) - \ln(1-x) = 2\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots\right) \]
   令 \(\frac{1+x}{1-x}=2\)，解得 \(x=\frac{1}{3}\)，代入公式后，仅需计算前10项，截断误差就小于 \(10^{-10}\)，计算量从10万项降至10项，舍入误差累积几乎可以忽略，精度还大幅提升。

通用规避方法

1. 优先选择收敛速度快的计算公式，减少迭代/求和项数；
2. 简化运算逻辑，避免重复计算，缓存重复使用的中间结果；
3. 在满足精度要求的前提下，选择运算量最小的算法，减少不必要的高精度运算。

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六、避免误差危害的黄金准则汇总表

误差陷阱	核心危害	核心规避方法
两个相近数相减	有效数字严重损失，相对误差急剧放大	代数/三角恒等式变形，转化为非减法运算；泰勒展开近似
极小值做除数/极大值做乘数	误差被平方级/线性放大，结果失真	算式变形调整分母/乘数位置；量级缩放；增加有效位数
大数与小数直接加减	小数被大数“吃掉”，有效数字完全丢失	调整运算次序，先加小数、后加大数，先合并同量级数据
运算次数过多	舍入误差、截断误差严重累积	选择收敛更快的算法，简化计算步骤，减少运算次数
数值不稳定算法	误差随计算步数指数级增长	更换为数值稳定的算法，优先选择误差衰减的计算逻辑

1.4 数值计算中算法设计的底层思维——迭代 知识点系统讲解

这一节是数值算法设计的核心入门，核心回答两个关键问题：如何设计高效可靠的数值算法？ 以及迭代法为什么是数值计算的底层通用方法？
核心设计准则是：减少运算次数，既能降低计算复杂度，又能减少舍入误差累积，通过两个经典算法（秦九韶算法、平方根迭代法）完整展示迭代思想的工程应用。

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一、算法设计的核心原则：减少运算次数

核心逻辑

数值计算中，算法的优劣直接决定三个核心指标：

1. 计算结果的精度：运算次数越少，舍入误差的累积效应越小；
2. 时间复杂度：运算次数越少，计算耗时越短，能处理的问题规模越大；
3. 空间复杂度：存储需求越少，内存占用越低。

最经典的验证场景就是n次多项式求值——这是工程计算、图形学、数据分析中最基础、最常用的计算场景。

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二、秦九韶算法（多项式求值的最优算法）

1. 问题背景

给定n次多项式：

\[p(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n, \quad a_0 \neq 0 \]

求给定点\(x^*\)处的函数值\(p(x^*)\)。

直接计算的缺陷

如果直接逐项计算\(a_i(x^*)^{n-i}\)再相加：

• 乘法次数：\(\sum_{i=0}^n (n-i) = \frac{n(n+1)}{2}\)，时间复杂度为\(O(n^2)\)；
• 加法次数：\(n\)次；
• 核心问题：n越大，计算量爆炸式增长，同时多次幂运算会带来严重的舍入误差累积。

2. 秦九韶算法的核心：多项式嵌套重构与迭代递推

将多项式从高次到低次做嵌套变形，转化为可重复执行的迭代递推形式：

\[p(x) = (\dots((a_0x + a_1)x + a_2)x + \dots + a_{n-1})x + a_n \]

由此得到统一的迭代公式：

\[\begin{cases} b_0 = a_0 \\ b_i = b_{i-1} \cdot x^* + a_i, \quad i=1,2,\dots,n \end{cases} \]

最终结果：\(b_n = p(x^*)\)，即多项式在\(x^*\)处的取值。

3. 算法核心优势

对比维度	直接逐项计算	秦九韶算法
乘法次数	\(O(n^2)\)，n次多项式需\(\frac{n(n+1)}{2}\)次	\(O(n)\)，n次多项式仅需n次
加法次数	n次	n次
存储需求	需存储每一项的幂次结果，至少2n+1个单元	仅需存储当前迭代值，仅n+2个单元
误差控制	多次幂运算，舍入误差累积严重	仅单次乘法+加法迭代，误差累积极小

4. 历史背景

该算法由我国南宋数学家秦九韶于1247年在《数书九章》中提出，国外称为霍纳（Horner）算法，1819年才被正式提出，比秦九韶算法晚了500多年，是中国古代数学的重要成就。

5. 拓展应用：多项式导数的同步计算

秦九韶算法可同步计算多项式在\(x^*\)处的导数值\(p'(x^*)\)，无需重新求导计算，效率极高。

原理推导

由多项式带余除法，可将\(p(x)\)分解为：

\[p(x) = (x - x^*)q(x) + b_n \]

其中\(q(x) = b_0x^{n-1} + b_1x^{n-2} + \dots + b_{n-2}x + b_{n-1}\)，是n-1次多项式。
对\(x\)求导得：

\[p'(x) = q(x) + (x - x^*)q'(x) \]

代入\(x=x^*\)，可得\(p'(x^*) = q(x^*)\)。

而\(q(x^*)\)同样可以用秦九韶迭代计算，递推公式为：

\[\begin{cases} c_0 = b_0 \\ c_i = c_{i-1} \cdot x^* + b_i, \quad i=1,2,\dots,n-1 \end{cases} \]

最终结果：\(c_{n-1} = p'(x^*)\)。

6. 例题1.11 完整解析

题目：设\(p(x)=2x^4 - 3x^2 + 3x - 4\)，用秦九韶算法求\(p(-2)\)及\(p'(-2)\)。

1. 整理系数：缺项补0，按x降幂排列的系数为：
   \(a_0=2\)（\(x^4\)）、\(a_1=0\)（\(x^3\)，缺项）、\(a_2=-3\)（\(x^2\)）、\(a_3=3\)（\(x^1\)）、\(a_4=-4\)（常数项），求值点\(x^*=-2\)。
2. 计算\(p(-2)\)（\(b_i\)迭代）：
   • \(b_0 = 2\)
   • \(b_1 = 2\times(-2) + 0 = -4\)
   • \(b_2 = (-4)\times(-2) + (-3) = 5\)
   • \(b_3 = 5\times(-2) + 3 = -7\)
   • \(b_4 = (-7)\times(-2) + (-4) = 10\)
     因此\(p(-2)=b_4=10\)。
3. 计算\(p'(-2)\)（\(c_i\)迭代）：
   • \(c_0 = 2\)
   • \(c_1 = 2\times(-2) + (-4) = -8\)
   • \(c_2 = (-8)\times(-2) + 5 = 21\)
   • \(c_3 = 21\times(-2) + (-7) = -49\)
     因此\(p'(-2)=c_3=-49\)。

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三、迭代算法的核心思想

1. 迭代法的定义

迭代算法是数值计算的通用底层方法，核心是从一个初始值出发，通过重复执行固定的递推公式，逐步逼近问题的精确解。

• 核心逻辑：将复杂的数学求解问题，转化为计算机擅长的、可重复执行的简单运算；
• 核心优势：适配计算机运算速度快、适合循环操作的特点，是几乎所有数值问题的通用解法；
• 核心要求：迭代序列必须收敛，且收敛速度越快，计算效率越高。

2. 迭代法的分类

1. 固定步数迭代：迭代次数提前确定，可通过固定循环实现，如秦九韶算法、例1.5的反向递推算法；
2. 精度控制迭代：迭代次数不固定，通过预设的精度要求或终止条件控制迭代停止，如平方根迭代法、方程求根迭代法。

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四、经典案例：平方根的迭代算法

1. 问题转化

求正数\(a\)的平方根\(\sqrt{a}\)，等价于求解非线性方程：

\[x^2 - a = 0 \]

这是迭代法最经典的应用场景之一。

2. 迭代公式的构造

1. 设根的初始近似值为\(x_0>0\)，令精确根\(x^* = x_0 + \Delta x\)（\(\Delta x\)为校正增量）；
2. 代入方程得\((x_0 + \Delta x)^2 = a\)，展开为\(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 = a\)；
3. 由于\(\Delta x\)是小量，忽略高阶小项\((\Delta x)^2\)，得近似式\(x_0^2 + 2x_0\Delta x \approx a\)；
4. 解出增量\(\Delta x \approx \frac{1}{2}\left( \frac{a}{x_0} - x_0 \right)\)，得到新的近似值\(x_1 = \frac{1}{2}\left( x_0 + \frac{a}{x_0} \right)\)；
5. 重复递推，得到通用迭代公式：
   \[\begin{cases} x_0 = a \ (\text{或任意正数}) \\ x_{k+1} = \frac{1}{2}\left( x_k + \frac{a}{x_k} \right), \quad k=0,1,2,\dots \end{cases} \]
   该算法也叫巴比伦算法，是牛顿迭代法的特例，也是计算机、计算器中计算平方根的标准算法。

3. 算法特性

• 收敛性：对任意初始值\(x_0>0\)，迭代序列\(\{x_k\}\)均收敛到\(\sqrt{a}\)；
• 收敛速度：二阶收敛，每迭代一次，结果的有效数字位数约翻倍，收敛速度极快；
• 计算量：每次迭代仅需1次除法、1次加法、1次移位（除以2等价于二进制右移1位），计算量极小。

4. 例题1.12 完整解析

题目：取\(x_0=2\)，用迭代法求\(\sqrt{3}\)，要求精确到\(10^{-6}\)。

1. 确定迭代公式：\(a=3\)，迭代公式为\(x_{k+1} = \frac{1}{2}\left( x_k + \frac{3}{x_k} \right)\)，初始值\(x_0=2\)。
2. 迭代计算：
   • \(x_1 = \frac{1}{2}\left( 2 + \frac{3}{2} \right) = 1.75\)
   • \(x_2 = \frac{1}{2}\left( 1.75 + \frac{3}{1.75} \right) \approx 1.732143\)
   • \(x_3 = \frac{1}{2}\left( 1.732143 + \frac{3}{1.732143} \right) \approx 1.732051\)
   • \(x_4 = \frac{1}{2}\left( 1.732051 + \frac{3}{1.732051} \right) \approx 1.732051\)
3. 终止判断：\(x_3\)与\(x_4\)的差值小于\(10^{-6}\)，迭代停止。
   • 精确值\(\sqrt{3}=1.7320508\cdots\)，仅迭代3次误差就小于\(\frac{1}{2}\times10^{-6}\)，满足精度要求；
   • 精度验证：\(x_4^2 - 3 \approx -4.44\times10^{-16}\)，精度极高。

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五、核心总结

1. 算法设计第一准则：减少乘除法运算次数，既能降低计算复杂度，又能减少舍入误差累积，是数值算法设计的核心原则。
2. 秦九韶算法：多项式求值的最优算法，通过嵌套重构将\(O(n^2)\)复杂度降为\(O(n)\)，是迭代思想的经典应用，还可同步计算多项式导数。
3. 迭代法：数值计算的底层通用方法，将复杂求解转化为简单的重复递推，核心是保证迭代的收敛性与收敛速度，是方程求根、线性方程组求解、微分方程数值解等几乎所有数值问题的通用解法。
4. 数值分析的核心思维：纯数学中等价的公式，在数值计算中可能有天差地别的效率与精度；需要从计算机执行的视角重构公式，设计适合循环迭代的数值算法。