18.2原子的波尔模型

同学们好，我是有着多年高中物理教学经验的正高级教师，今天咱们就把《光谱与氢原子光谱》这个原子物理的核心入门知识点，从现象到本质、从概念到规律，完整、透彻地讲解清楚。这部分内容是衔接宏观光学与微观原子结构的关键，既是理解原子能级理论的实验基础，也是高考的高频考点，大家跟着我的思路，先吃透本质，再梳理规律，不要死记硬背。

---

一、先搞懂核心：原子发光的本质是什么？

课本开篇就提出了问题：为什么焰色反应中，每一种金属元素只能发出特定颜色的光？为什么霓虹灯充入不同气体，就能发出五颜六色的光？咱们先从实验现象，挖到微观本质。

1. 从实验现象入手

课本中的放电管实验告诉我们：给充有氢、氖、氩等不同低压稀薄气体的放电管加高电压，不同气体放电时发出的光颜色完全不同——氖气发红光、氩气发蓝光，这就是霓虹灯的核心原理。

2. 原子发光的微观本质

所有原子发光现象的核心，是原子内部的能量状态发生了变化，这里给大家讲透底层逻辑：
原子内部存在一系列不连续的能量等级，我们称之为能级，就像楼梯的台阶，有固定的高度，没有中间的过渡状态。

• 正常状态下，原子处于能量最低的基态（相当于站在一楼）；
• 当原子获得能量（高压、加热等），会跃迁到能量更高的激发态（相当于上了二楼、三楼）；
• 激发态是不稳定的，原子会自发从高能级跳回低能级，这个过程叫跃迁，跃迁时原子多余的能量会以光子的形式释放出来。

光子的能量严格等于两个能级的能量差，满足公式：

\[\Delta E=E_{\text{高能级}}-E_{\text{低能级}}=h\nu=\frac{hc}{\lambda} \]

其中\(h\)为普朗克常量，\(\nu\)为光子频率，\(\lambda\)为光子波长，\(c\)为真空中的光速。

关键结论：不同原子的原子核电荷数、核外电子排布不同，能级结构（台阶高度）完全不同，因此跃迁时释放的光子波长/频率也完全不同，对应光的颜色就不同。所以每种原子都有独一无二的发光特征，这就是焰色反应、气体放电发光的根本原因。

---

二、光谱的定义与获取原理

我们肉眼只能分辨光的颜色，无法区分不同波长的光，物理学家通过分光镜解决了这个问题。

1. 分光镜的核心结构：平行光管、三棱镜、望远镜筒、标度管。
2. 分光原理：三棱镜对不同波长的光折射率不同——波长越长，偏折程度越小。一束复色光通过三棱镜后，会按波长从小到大依次偏折，把不同波长的光完全“展开”。
3. 光谱的定义：用光栅或棱镜把复色光按波长（频率）展开，得到的有序排列的光带，就叫做光谱。

简单来说，光谱就是把光按波长“排好队”，让我们能清晰分辨一束光中包含哪些波长的光、每种光的强度如何，是我们研究原子结构的“眼睛”。

---

三、光谱的两大核心分类（重点考点）

光谱分为发射光谱和吸收光谱两大类，其中发射光谱又分为连续光谱和明线光谱，咱们逐个拆解，讲清定义、产生条件、核心特点和应用。

1. 发射光谱

物体自身发光直接产生的光谱，叫做发射光谱，分为两类：

（1）连续光谱

• 定义：连续分布、包含从红光到紫光所有波长的光，无任何间断的光谱。
• 产生条件：炽热的固体、炽热的液体、高压气体。
• 核心特点：光谱无间断，无特征谱线，无法反映原子的特性。
• 典型实例：白炽灯钨丝发光、炼钢炉炽热钢水发光、太阳内部高压气体发光。
• 本质补充：固体、液体、高压气体中原子密集，相互作用极强，原本分立的能级会融合为连续的能量带，因此原子跃迁释放的光子波长是连续的，形成连续谱。

（2）明线光谱

• 定义：只含有一系列分立、不连续亮线的光谱，这些亮线叫做谱线，每一条谱线对应一个特定波长的光。
• 产生条件：稀薄气体、金属蒸气（游离状态的孤立原子，原子间相互影响极小）。
• 核心特点：谱线是原子的特征谱线——每种元素的明线光谱，谱线的数量、位置（波长）都是独一无二的，如同人的指纹。
• 典型实例：氢原子光谱、钠原子的双黄线光谱、霓虹灯的发光光谱。
• 本质补充：孤立原子的能级是严格分立的，跃迁时只能释放能量等于能级差的光子，因此只有特定波长的光，形成分立的亮线。

2. 吸收光谱

• 定义：高温物体发出的白光（连续光谱，包含所有波长的光）通过低温物质时，特定波长的光被物质中的原子吸收，在连续谱的背景上出现一系列暗线，这种光谱叫做吸收光谱。
• 核心规律：某种原子吸收光谱的暗线，与它的发射光谱的明线是一一对应的——原子能发射什么波长的光，就能吸收什么波长的光。
• 核心特点：暗线同样是原子的特征谱线，能反映原子的独有特性。
• 典型实例：太阳光谱（最经典的吸收光谱）。太阳内部发出连续白光，穿过太阳外层的低温大气时，大气中的氢、氦等元素原子吸收了对应波长的光，在连续谱上留下暗线。物理学家正是通过分析这些暗线，确定了太阳大气的元素组成，氦元素也是最先在太阳光谱中发现，之后才在地球上找到的。
• 本质补充：原子从低能级跃迁到高能级，需要吸收能量恰好等于能级差的光子，因此只能吸收特定波长的光，在连续谱上留下与发射明线对应的暗线。

考点关键提醒

只有明线光谱和吸收光谱能用于光谱分析（鉴别物质成分、研究原子结构），连续光谱没有特征谱线，无法用于光谱分析，这是考试中最容易出错的点，一定要记牢。

---

四、氢原子的明线光谱（原子物理的核心实验基础）

氢原子是结构最简单的原子，它的光谱规律是玻尔能级理论的核心实验依据，是本节的重中之重。

1. 氢原子光谱的实验发现

实验装置：真空管中充入稀薄氢气，加2~3kV的高电压，氢气放电发光，将光通入分光镜，得到氢原子的明线光谱。
实验结果：可见光区可观测到4条清晰的谱线，分别是：

• \(H_\alpha\)：红色，波长656.2nm
• \(H_\beta\)：绿色，波长486.1nm
• \(H_\gamma\)：蓝色，波长434.0nm
• \(H_\delta\)：紫色，波长410.2nm

除可见光区的4条谱线外，氢原子光谱在紫外光区、红外光区还有大量谱线，仅靠肉眼无法观测。

2. 巴耳末公式——从实验数据中总结的规律

1885年，瑞士物理学家巴耳末通过对氢原子可见光区谱线的数据分析，总结出了完美匹配实验数据的公式，即巴耳末公式：

\[\frac{1}{\lambda}=R\left( \frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2} \right) \quad (n=3,4,5,6\cdots) \]

公式拆解：

• \(\frac{1}{\lambda}\)：波数，即单位长度内的波的个数，单位为\(\text{m}^{-1}\)；
• \(R\)：里德伯常量，实验精准测量值为\(R=1.097373157×10^7 \ \text{m}^{-1}\)，是物理学中最精确的常量之一；
• \(n\)：正整数，只能取3、4、5、6……，代入后计算的波长与实验值完全吻合：
  • \(n=3\)，对应\(H_\alpha\)谱线；\(n=4\)，对应\(H_\beta\)谱线；
  • \(n=5\)，对应\(H_\gamma\)谱线；\(n=6\)，对应\(H_\delta\)谱线。

我们把满足巴耳末公式的这一系列谱线，叫做巴耳末系，它是氢原子光谱在可见光区的谱线系。

3. 里德伯公式（广义巴耳末公式）——氢原子光谱的通用规律

后续物理学家发现，巴耳末系只是氢原子光谱的一个线系，氢原子的所有谱线都满足一个通用公式，即里德伯公式：

\[\frac{1}{\lambda}=R\left( \frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2} \right) \quad (m=1,2,3\cdots; \ n=m+1,m+2,m+3\cdots) \]

不同的\(m\)值，对应氢原子光谱的不同谱线系：

• \(m=1\)，\(n=2,3,4\cdots\)：莱曼系，位于紫外光区；
• \(m=2\)，\(n=3,4,5\cdots\)：巴耳末系，位于可见光区；
• \(m=3\)，\(n=4,5,6\cdots\)：帕邢系，位于红外光区；
• \(m=4\)，\(n=5,6,7\cdots\)：布拉开系，位于远红外光区。

公式的物理意义

这个简单的公式，完美概括了氢原子所有光谱线的规律，证明了氢原子光谱不是杂乱无章的，而是由原子内部的分立能级决定的。这个经验公式，为后来玻尔提出氢原子能级模型提供了核心的实验支撑，玻尔理论也正是因为能完美推导出里德伯公式，才得到了物理学界的认可。

---

五、知识点详细归纳总结表格

表1 光谱的分类与核心特征对比

光谱大类	细分类型	核心定义	产生条件	核心特点	能否用于光谱分析	典型实例
发射光谱 （物体自身发光直接产生）	连续光谱	连续分布，包含红光到紫光所有波长的光谱	炽热的固体、炽热的液体、高压气体	光谱无间断，无特征谱线	不能	白炽灯发光、炽热钢水发光、太阳内部发光
	明线光谱	只含有分立、不连续亮线（谱线）的光谱	稀薄气体、金属蒸气（游离态孤立原子）	谱线为原子的特征谱线，每种元素的谱线独一无二	能	氢原子光谱、钠灯双黄线光谱、霓虹灯发光光谱
吸收光谱 （光被物质吸收后产生）	-	连续白光通过低温物质后，在连续谱背景上出现特定暗线的光谱	高温连续光源+低温吸收物质（原子）	暗线与对应原子的明线光谱一一对应，同为特征谱线	能	太阳光谱、白光通过钠蒸气形成的光谱

表2 氢原子光谱的主要谱线系

谱线系名称	里德伯公式\(m\)取值	\(n\)取值范围	光谱所在光区	核心意义
莱曼系	1	\(n=2,3,4,5\cdots\)	紫外光区	验证氢原子紫外区光谱规律，支撑能级跃迁理论
巴耳末系	2	\(n=3,4,5,6\cdots\)	可见光区（4条）+紫外光区	首个被发现的氢原子谱线系，玻尔理论的核心实验依据
帕邢系	3	\(n=4,5,6,7\cdots\)	红外光区	完善氢原子红外区光谱规律，验证里德伯公式
布拉开系	4	\(n=5,6,7,8\cdots\)	远红外光区	进一步验证氢原子能级的分立性

表3 核心公式汇总

公式名称	公式表达式	符号含义	适用范围
光子能量与能级差关系	\(\Delta E=E_{\text{高}}-E_{\text{低}}=h\nu=\frac{hc}{\lambda}\)	\(\Delta E\)：能级差；\(h\)：普朗克常量；\(\nu\)：光子频率；\(c\)：光速；\(\lambda\)：光子波长	所有原子的跃迁发光/吸光过程
巴耳末公式	\(\frac{1}{\lambda}=R\left( \frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2} \right)\)	\(\frac{1}{\lambda}\)：波数；\(R\)：里德伯常量；\(n=3,4,5\cdots\)	氢原子巴耳末系谱线
里德伯公式 （广义巴耳末公式）	\(\frac{1}{\lambda}=R\left( \frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2} \right)\)	\(m=1,2,3\cdots\)；\(n=m+1,m+2\cdots\)；其余符号同上	氢原子所有谱线系

---

同学们好，我是有着五十余年高中物理教学经验的正高级教师，今天我们承接上节课《光谱与氢原子光谱》的内容，完整讲解卢瑟福核式结构模型的矛盾与玻尔原子模型这一原子物理的核心内容。这部分是经典物理向量子物理过渡的关键，既是高考高频考点，也是理解微观世界规律的基础，我会带大家从矛盾根源入手，吃透每个假设的物理本质，而非死记硬背。

---

一、卢瑟福核式结构模型与经典电磁理论的两大矛盾

我们先回顾卢瑟福的核式结构模型：原子中心有一个体积极小、集中了全部正电荷和几乎全部质量的原子核，带负电的电子在核外空间绕核做圆周运动，如同行星绕太阳运转，因此也叫“行星模型”。
这个模型完美解释了α粒子散射实验的全部现象，是人类对原子结构认识的重大突破，但它与经典电磁理论存在两个不可调和的致命矛盾，我们逐个拆解其逻辑链条：

矛盾一：原子的稳定性矛盾

经典电磁理论的核心推论

任何做变速运动的带电粒子，必然向外辐射电磁波，同时自身能量持续损失。
核式结构模型中，电子绕核做匀速圆周运动，存在向心加速度，属于典型的变速运动；且电子带负电，因此按照经典理论，电子会持续向外辐射电磁波，不断损失能量。
电子的总能量为绕核动能与电势能之和，能量持续损失时，电子无法维持原有轨道半径，会像失去动力的人造卫星一样不断向原子核靠近，最终在\(10^{-9}\ \text{s}\)（1纳秒）内撞向原子核，原子瞬间塌缩。

与实验事实的冲突

按照这个推论，所有原子都无法稳定存在，我们的世界也不可能稳定形成。但事实是，原子是自然界最稳定的结构之一，地球上的物质原子已稳定存在数十亿年，这是经典理论与现实的第一个根本矛盾。

矛盾二：原子光谱的分立性矛盾

经典电磁理论的核心推论

带电粒子辐射的电磁波频率，等于其自身做周期性运动的频率。
电子在能量损失、向原子核靠近的过程中，轨道半径连续减小，根据圆周运动规律，轨道半径越小，电子绕核的频率会连续增大，因此电子辐射的电磁波频率也会连续变化，原子发光的光谱应该是包含所有波长的连续光谱。

与实验事实的冲突

我们上节课明确讲过，实验观测到的原子光谱是分立的明线光谱，只有特定、不连续的波长的光，完全不是连续光谱，这是经典理论与实验的第二个根本矛盾。

矛盾的本质结论

从宏观世界总结出的经典物理规律（牛顿力学、经典电磁学），完全不适用于原子尺度的微观世界，微观粒子有其专属的运动规律，必须建立一套全新的量子化理论，这就是玻尔原子模型诞生的背景。

---

二、玻尔的原子模型——量子化的原子结构理论

1913年，丹麦物理学家玻尔在卢瑟福核式结构的基础上，大胆将普朗克的量子化概念引入原子理论，直接否定了经典电磁理论在原子内部的适用性，提出了三个核心基本假设，完美解决了上述两大矛盾，建立了玻尔原子模型。

我们逐个讲解三个假设，讲清每个假设的物理意义、解决的核心问题：

假设1：定态假设——解决原子的稳定性矛盾

核心内容：原子只能处于一系列不连续的能量状态中，在这些状态中原子是完全稳定的；电子虽然绕核做加速运动，但并不向外辐射电磁波、不损失能量。这些稳定的能量状态，叫做定态。

深度解读：
这是玻尔最具革命性的假设，直接突破了经典电磁理论的约束。它明确规定：原子存在稳定的定态，定态中电子不会因加速运动辐射能量，自然不会向原子核塌缩，从根本上解决了原子稳定性的矛盾。
核心关键词是不连续：原子的定态能量是“一份一份”的，不存在连续的能量值，这就是量子化的核心思想。

假设2：跃迁假设——解决原子光谱的分立性矛盾

核心内容：原子从一个定态（能量为\(E_2\)）跃迁到另一个定态（能量为\(E_1\)）时，会辐射或吸收一个特定频率的光子，光子的能量严格等于两个定态的能量差，公式为：

\[h\nu = |E_2 - E_1| \]

其中\(h\)为普朗克常量，\(\nu\)为光子频率。

深度解读：

1. 跃迁的本质：原子从一个定态直接跳到另一个定态，不存在任何中间过渡状态。如同人上楼梯只能站在台阶上，不能站在两个台阶之间，原子也不能处于两个定态之间的能量状态。
2. 辐射与吸收的规律：
   • 从高能级跃迁到低能级：原子能量减少，多余能量以光子形式释放，这就是原子发光的本质，明线光谱就是原子从高能级向低能级跃迁时辐射的光子形成的；
   • 从低能级跃迁到高能级：原子需要补充能量，因此必须吸收一个能量恰好等于能级差的光子，多一点、少一点都无法被吸收，这就是吸收光谱的形成原因。
3. 光谱分立性的根源：
   原子的定态能量是不连续的，两个定态的能级差也是不连续的，因此辐射/吸收的光子频率\(\nu=\frac{|E_2-E_1|}{h}\)也是不连续的，只能取特定值，完美解释了原子光谱是分立明线光谱的实验事实。
   补充：我们上节课学习的氢原子巴耳末公式、里德伯公式，都可以通过跃迁假设完美推导，这是玻尔理论最核心的成功之处。

假设3：轨道量子化假设——定态的微观本质

核心内容：原子的不同定态（能量状态），对应电子绕核运动的不同轨道；原子的能量不连续，因此电子的可能轨道也是不连续的，电子只能在满足以下量子化条件的轨道上运行：

\[mvr = n \cdot \frac{h}{2\pi} \quad (n=1,2,3,\dots) \]

其中\(m\)为电子质量，\(v\)为电子线速度，\(r\)为轨道半径，\(n\)为正整数（叫做量子数），\(h\)为普朗克常量。这个假设也叫角动量量子化假设。

深度解读：

1. 电子的轨道不是任意的，是量子化的：只有满足上述公式的轨道才允许存在，比如\(n=1\)对应最小轨道，\(n=2\)对应下一级轨道，不存在\(n=1.5\)这类中间轨道。
2. 公式的物理意义：电子绕核运动的角动量\(mvr\)，只能是\(\frac{h}{2\pi}\)的整数倍，是量子化思想的核心体现。
3. 轨道与能量的关系：量子数\(n\)越大，电子轨道半径越大，对应的原子总能量越高。

---

三、玻尔模型的核心基础概念

基于三大假设，我们需要掌握这几个贯穿后续学习的核心概念：

1. 能级：定态对应的、不连续的特定能量值，叫做能级。可以把能级理解为楼梯的台阶，每个台阶的高度对应一个能级的能量，台阶不连续，能级也不连续。
2. 基态：正常状态下，原子处于能量最低的能级，电子在离核最近的轨道上运动，这个最稳定的定态叫做基态。量子数\(n=1\)对应氢原子的基态。
3. 激发态：所有能量高于基态的能级，都叫做激发态。\(n=2\)为第一激发态，\(n=3\)为第二激发态，以此类推。激发态是不稳定的，处于激发态的原子会自发向低能级跃迁，最终回到基态，同时辐射光子。
4. 原子的能量构成：原子的总能量 = 核外电子的动能 + 电子与原子核的电势能。量子数\(n\)越大，轨道半径越大，原子总能量越高——因为电子远离原子核时，需要克服库仑引力做功，电势能的增加量超过了动能的减少量，总能量升高。

---

四、知识点详细归纳总结表格

表1 卢瑟福模型与经典电磁理论的两大矛盾

矛盾分类	经典电磁理论的推论	实验事实	矛盾核心本质
原子稳定性矛盾	电子持续辐射能量、损失能量，10⁻⁹s内塌缩到原子核，原子完全不稳定	原子是自然界最稳定的结构，可稳定存在数十亿年	经典电磁理论“变速带电粒子必辐射能量”的规律，不适用于原子内部的微观电子
光谱分立性矛盾	电子绕核频率连续变化，辐射的电磁波频率连续，原子光谱应为连续光谱	原子光谱是分立的明线光谱，只有特定频率的光	经典物理“能量连续变化”的结论，不适用于原子的微观能量状态

表2 玻尔原子模型三大核心假设

假设名称	核心内容	核心公式	解决的核心问题	物理意义
定态假设	原子只能处于一系列不连续的稳定定态，定态中电子不辐射能量	无	原子稳定性矛盾	突破经典电磁理论约束，首次将能量量子化引入原子结构
跃迁假设	原子在定态间跃迁时，辐射/吸收的光子能量严格等于能级差	$h\nu=	E_2-E_1	$
轨道量子化假设	电子绕核轨道不连续，只能满足角动量量子化条件	\(mvr=n\cdot\frac{h}{2\pi}\ (n=1,2,3\dots)\)	为能量量子化提供微观依据	明确了轨道量子化与量子数的核心作用，完善了原子的量子化模型

表3 玻尔模型核心概念对比

概念名称	定义	量子数对应关系	稳定性
能级	原子定态对应的不连续能量值	\(n\)越大，能级能量越高	能量越低，状态越稳定
基态	原子能量最低的定态，电子在离核最近的轨道运动	\(n=1\)	最稳定
激发态	能量高于基态的所有定态	\(n=2,3,4\dots\)，\(n\)越大，激发态能级越高	不稳定，会自发向低能级跃迁

---

同学们好，我是有着五十余年高中物理教学经验的正高级教师，今天我们承接上节课的玻尔原子模型，完整讲解氢原子的能级公式推导与玻尔理论对氢原子光谱的解释。这部分是原子物理的核心考点，也是玻尔量子理论最具说服力的成功验证，我会带大家从公式推导的底层逻辑入手，吃透每一个物理量的意义，再梳理清考试的高频考点与易错点，拒绝死记硬背。

---

一、氢原子的轨道半径公式（玻尔轨道量子化的定量表达）

上节课我们学习了玻尔的轨道量子化假设，现在我们结合经典力学规律，推导出氢原子中电子的允许轨道半径，搞清楚“电子到底能在哪些轨道上运动”。

1. 推导的两个核心基础

我们的推导建立在两个核心前提上，这也是玻尔模型“半经典半量子”的核心特征：

• 量子化约束：玻尔的轨道角动量量子化假设，电子的轨道角动量只能取\(\frac{h}{2\pi}\)的整数倍，即
  \[mvr_n = n \cdot \frac{h}{2\pi} \quad (n=1,2,3\cdots) \]
  其中\(m\)为电子质量，\(v\)为电子线速度，\(r_n\)为第\(n\)条轨道的半径，\(n\)为量子数，\(h\)为普朗克常量。
• 经典力学约束：电子绕氢原子核做匀速圆周运动，原子核与电子间的库仑引力提供圆周运动的向心力，即
  \[k\frac{e^2}{r_n^2} = m\frac{v^2}{r_n} \]
  其中\(k\)为静电力常量，\(e\)为元电荷。

2. 公式推导过程

1. 从轨道量子化公式变形，解出电子的线速度：
   \[v = \frac{nh}{2\pi m r_n} \]

2. 将线速度\(v\)代入库仑力向心力公式，消去\(v\)：
   \[k\frac{e^2}{r_n^2} = m \cdot \frac{\left( \frac{nh}{2\pi m r_n} \right)^2}{r_n} \]

3. 整理化简，解出轨道半径\(r_n\)：
   \[r_n = n^2 \cdot \frac{h^2}{4\pi^2 e^2 m k} \quad (n=1,2,3\cdots) \]

3. 公式的物理意义与简化

• 玻尔半径（基态轨道半径）：当量子数\(n=1\)时，对应电子离核最近的轨道，也就是氢原子基态的轨道半径，我们称之为玻尔半径，用\(r_1\)表示：
  \[r_1 = \frac{h^2}{4\pi^2 e^2 m k} \approx 5.31 \times 10^{-11}\ \text{m} \]
  这是原子物理的核心常量，它精准定义了氢原子的尺度，也是原子大小的数量级基准。
• 简化公式（考试核心常用）：将\(r_1\)代入通式，轨道半径公式可简化为：
  \[\boldsymbol{r_n = n^2 r_1 \quad (n=1,2,3\cdots)} \]

• 核心结论：氢原子的电子轨道半径与量子数\(n\)的平方成正比，轨道是量子化、不连续的；\(n\)越大，轨道半径越大，电子离原子核越远；当\(n \to \infty\)时，\(r_n \to \infty\)，电子脱离原子核的束缚，发生电离。

---

二、氢原子的能级公式（定态能量的定量表达）

玻尔理论中，原子的定态对应特定的能量值（能级），我们通过电子的动能与电势能之和，推导出氢原子的能级公式，搞清楚“原子的能量到底是多少，为什么能级是负数”。

1. 原子能量的构成

氢原子的总能量，等于核外电子绕核运动的动能，加上电子与原子核之间的电势能，即：

\[E_n = E_k + E_p \]

2. 动能与电势能的计算

（1）电子的动能\(E_k\)

还是从库仑力提供向心力的公式出发：

\[k\frac{e^2}{r_n^2} = m\frac{v^2}{r_n} \]

变形可得\(mv^2 = \frac{ke^2}{r_n}\)，因此电子的动能：

\[E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{ke^2}{2r_n} \]

动能恒为正值，且大小与轨道半径成反比，轨道半径越大，电子动能越小。

（2）电子的电势能\(E_p\)

我们取无穷远处为零电势能点，氢原子核的点电荷电场中，距离核\(r_n\)处的电势为：

\[\varphi = k\frac{e}{r_n} \]

电子带负电（电荷量为\(-e\)），因此电势能为：

\[E_p = q\varphi = -e \cdot k\frac{e}{r_n} = -\frac{ke^2}{r_n} \]

这里的负号是核心考点：无穷远电势能为0，电子从无穷远靠近原子核时，库仑引力做正功，电势能减少，因此电势能恒为负值；轨道半径越大，电势能越大（绝对值越小）。

3. 能级公式的推导与简化

将动能与电势能相加，得到氢原子的总能量：

\[E_n = E_k + E_p = \frac{ke^2}{2r_n} - \frac{ke^2}{r_n} = -\frac{ke^2}{2r_n} \]

将我们之前推导出的轨道半径\(r_n = n^2 r_1\)代入上式，可得：

\[E_n = -\frac{ke^2}{2n^2 r_1} = \frac{1}{n^2} \cdot \left( -\frac{ke^2}{2r_1} \right) \]

• 基态能级\(E_1\)：当\(n=1\)时，对应氢原子基态的能量，代入常量计算可得：
  \[E_1 = -\frac{ke^2}{2r_1} \approx -2.17 \times 10^{-18}\ \text{J} = -13.6\ \text{eV} \]
  这是原子物理必须牢记的核心常量，是氢原子的最低能量。
• 简化公式（考试核心常用）：将\(E_1\)代入通式，能级公式可简化为：
  \[\boldsymbol{E_n = \frac{E_1}{n^2} \quad (n=1,2,3\cdots)} \]

4. 能级公式的核心解读（高频考点+易错点）

1. 能级的量子化：氢原子的能量与量子数\(n\)的平方成反比，只能取一系列不连续的分立值，完美体现了玻尔的定态量子化假设。
2. 负号的物理意义：能级为负值，说明电子处于原子核的束缚状态；\(n\)越大，能级能量越高（负数的绝对值越小，能量越高），\(n=1\)能量最低（基态，最稳定），\(n=2,3,4\cdots\)为激发态，\(n \to \infty\)时，\(E_n \to 0\)，电子完全脱离原子核束缚，发生电离。
3. 能级间距的规律：\(n\)越小，相邻能级的间距越大；\(n\)越大，相邻能级的间距越小，能级越来越密集，最终趋近于0。
4. 电离能的计算：基态氢原子的电离能为\(13.6\ \text{eV}\)，即外界至少给电子\(13.6\ \text{eV}\)的能量，才能让它脱离原子核的束缚；处于\(n\)能级的氢原子，电离能为\(\left| E_n \right| = \frac{13.6}{n^2}\ \text{eV}\)。

---

三、玻尔理论对氢原子光谱的完美解释

上节课我们学习了氢原子光谱的巴耳末经验公式，却不知道公式背后的物理本质；而玻尔的能级跃迁理论，从第一性原理出发，完美推导出了氢原子光谱的所有规律，这也是玻尔理论最伟大的成功。

1. 光谱的本质：能级跃迁的光子辐射

氢原子光谱的每一条谱线，本质都是氢原子中的电子从高能级向低能级跃迁时，辐射出的光子形成的。
根据玻尔的跃迁假设，辐射光子的能量严格等于两个能级的能量差：

\[h\nu = E_{\text{高能级}} - E_{\text{低能级}} \]

其中\(\nu\)为光子频率，\(h\)为普朗克常量。

2. 巴耳末公式的理论推导

巴耳末系是氢原子光谱在可见光区的谱线，我们用玻尔理论直接推导这个经验公式，验证理论的正确性：

1. 巴耳末系的本质：电子从\(n=3,4,5\cdots\)的高能级，跃迁到\(m=2\)的低能级时辐射的光子。
2. 代入能级公式，光子能量满足：
   \[h\nu = E_n - E_2 = \frac{E_1}{n^2} - \frac{E_1}{2^2} \]

3. 结合光子频率与波长的关系\(\nu = \frac{c}{\lambda}\)（\(c\)为光速），代入上式并整理：
   \[\frac{hc}{\lambda} = E_1 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2^2} \right) \]
   \[\frac{1}{\lambda} = -\frac{E_1}{hc} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right) \]

4. 对比巴耳末的经验公式\(\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)\)，可以直接得到里德伯常量的理论表达式：
   \[R = -\frac{E_1}{hc} \]
   代入\(E_1\)、\(h\)、\(c\)的数值计算，得到\(R \approx 1.097373 \times 10^7\ \text{m}^{-1}\)，与实验测量值完全吻合！

这一推导证明，玻尔的量子化理论，完美解释了氢原子光谱的实验规律，从理论上揭示了光谱的微观本质。

3. 氢原子所有谱线系的统一解释

玻尔理论不仅解释了已发现的巴耳末系，还预言了氢原子在紫外、红外区的其他谱线系，后续全部被实验证实，所有谱线系都满足统一的跃迁规律：

\[\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right) \quad (n=m+1,m+2,m+3\cdots) \]

其中\(m\)为跃迁的低能级量子数，\(n\)为跃迁的高能级量子数，不同的\(m\)对应不同的谱线系，具体如下：

谱线系名称	低能级\(m\)	高能级\(n\)	光谱所在光区	跃迁本质
赖曼系	1	\(n=2,3,4\cdots\)	紫外光区	电子从高能级跃迁到基态\(n=1\)
巴耳末系	2	\(n=3,4,5\cdots\)	可见光区（4条）+紫外光区	电子从高能级跃迁到\(n=2\)能级
帕邢系	3	\(n=4,5,6\cdots\)	红外光区	电子从高能级跃迁到\(n=3\)能级
布拉开系	4	\(n=5,6,7\cdots\)	远红外光区	电子从高能级跃迁到\(n=4\)能级

---

四、核心知识点归纳总结表格

表1 氢原子轨道半径与能级核心公式

物理量	通式	简化公式	基态值（\(n=1\)）	核心规律
轨道半径	\(r_n = n^2 \cdot \frac{h^2}{4\pi^2 e^2 m k}\)	\(r_n = n^2 r_1\)	\(r_1 \approx 5.31 \times 10^{-11}\ \text{m}\)（玻尔半径）	与量子数\(n\)的平方成正比，\(n\)越大，轨道半径越大
能级能量	\(E_n = -\frac{ke^2}{2n^2 r_1}\)	\(E_n = \frac{E_1}{n^2}\)	\(E_1 \approx -13.6\ \text{eV}\)（基态能量）	与量子数\(n\)的平方成反比，\(n\)越大，能级能量越高

表2 氢原子光谱线系汇总

谱线系	跃迁低能级	跃迁高能级	光区	核心意义
赖曼系	\(n=1\)	\(n\geq2\)	紫外区	玻尔理论预言的谱线系，验证了能级跃迁规律
巴耳末系	\(n=2\)	\(n\geq3\)	可见光区	首个被发现的氢光谱线系，玻尔理论的核心验证对象
帕邢系	\(n=3\)	\(n\geq4\)	红外区	已发现的红外谱线，被玻尔理论完美解释
布拉开系	\(n=4\)	\(n\geq5\)	远红外区	玻尔理论预言的谱线系，后续被实验证实

表3 高频考点与易错点对比

考点场景	核心结论	易错提醒
一群氢原子跃迁谱线数	处于\(n\)能级的一群氢原子，最多辐射\(\boldsymbol{C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}}\)种频率的光子	区分“一群氢原子”和“一个氢原子”，一个氢原子最多辐射\(n-1\)种光子
光子吸收的条件	只有光子能量恰好等于能级差时，才能被原子吸收，发生跃迁	若光子能量大于等于电离能，无论能量多少，都能被吸收，使电子电离，多余能量转化为电子动能
跃迁时能量变化	从低能级跃迁到高能级：吸收光子，原子总能量增加，电子动能减小，电势能增加； 从高能级跃迁到低能级：辐射光子，原子总能量减少，电子动能增加，电势能减小	总能量变化由光子的吸收/辐射决定，动能变化与轨道半径成反比，电势能变化与轨道半径成正比

---

同学们好，我是有着五十余年高中物理教学经验的正高级教师，今天我们完成原子结构理论的最终篇章——原子结构的量子力学模型。这部分内容是人类对微观世界认知的终极突破，彻底推翻了经典物理对原子轨道的固有认知，也是整个原子物理模块的收尾与升华。我会带着大家从玻尔理论的局限出发，一步步理清量子力学原子模型的建立逻辑，讲透每一个核心概念的物理本质，彻底搞懂“电子云到底是什么”，拒绝死记硬背。

---

一、玻尔理论的成功与根本局限

我们之前用玻尔模型完美解释了氢原子光谱，但它存在无法回避的致命缺陷，这也是量子力学诞生的直接原因。

1. 玻尔理论的成功之处：首次将量子化观念引入原子结构，提出了定态、跃迁、轨道量子化的核心假设，成功解释了氢原子和类氢离子的光谱规律，打破了经典物理在微观世界的垄断。
2. 玻尔理论的根本局限：它是一个“半经典半量子”的过渡理论，没有彻底摆脱经典物理的束缚，存在本质缺陷：
   • 强行假设电子有确定的圆形轨道，沿用经典牛顿力学的向心力公式计算轨道和能级，本质还是经典的“粒子轨道”模型；
   • 仅能解释氢原子、类氢离子这类单电子原子的光谱，对于核外有2个及以上电子的复杂原子，理论计算与实验结果偏差极大，完全无法解释；
   • 无法解释光谱的精细结构、塞曼效应等更复杂的原子光谱现象。

这个局限明确告诉我们：经典物理的规律完全不适用于电子这类微观粒子，必须建立一套全新的、完全基于量子观念的微观理论——量子力学。

---

二、德布罗意物质波——为量子化条件找到物理本质

1924年，德布罗意提出了物质波理论：一切微观粒子都具有波粒二象性，既具有粒子性，也具有波动性，电子作为微观粒子，自然满足波粒二象性。

1. 物质波核心公式：德布罗意波长公式

   \[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} \]

   其中\(p=mv\)是电子的动量，\(h\)是普朗克常量，动量越大的粒子，波长越短。

2. 对玻尔轨道量子化条件的完美解释
   我们把德布罗意公式代入玻尔的轨道量子化条件\(mvr = n\frac{h}{2\pi}\)，做简单变形：
   从\(mvr = n\frac{h}{2\pi}\)移项可得\(2\pi r \cdot mv = nh\)，再将\(mv = \frac{h}{\lambda}\)代入，最终得到：

   \[\boldsymbol{2\pi r = n\lambda \quad (n=1,2,3\cdots)} \]

   这个公式的物理意义极其重大：玻尔模型中电子的稳定轨道，其周长必须等于电子物质波波长的整数倍。
   大家可以直观理解：电子的物质波沿着轨道传播，只有当轨道周长是波长的整数倍时，波才能形成稳定的驻波，不会因干涉相消而消失；如果不是整数倍，波会不断干涉抵消，轨道就无法稳定存在。
   这就给玻尔“强行假设”的轨道量子化条件，找到了最根本的物理本质——它不是人为规定的，而是电子物质波的驻波条件决定的。

---

三、量子力学的建立——薛定谔方程与波函数

德布罗意的物质波理论为量子力学的建立奠定了基础，1925-1926年，量子力学的两大等价体系几乎同时诞生。

1. 薛定谔的波动力学
   1926年，奥地利物理学家薛定谔在德布罗意物质波的启发下，建立了描述微观粒子运动的核心方程——薛定谔方程。它在量子力学中的地位，相当于牛顿第二定律在经典力学中的地位，是描述微观粒子运动的基本方程。
   • 薛定谔方程的解叫做波函数，用符号\(\Psi\)表示，它是一个随时间和空间位置变化的复数函数；
   • 求解薛定谔方程，就可以自动得到电子的量子化能级，不需要像玻尔理论那样强行假设量子化条件，计算结果与氢原子、多电子原子的光谱实验数据完全吻合，完美解决了玻尔理论的所有局限。
2. 海森堡的矩阵力学
   1925年，德国物理学家海森堡、玻恩等人，用线性代数的矩阵体系，建立了量子力学的另一种形式——矩阵力学，同样可以完美解释原子光谱的所有规律。
3. 两大体系的等价性
   最初薛定谔和海森堡都对对方的理论有质疑，但后续薛定谔和诺依曼严格证明了：波动力学和矩阵力学在数学上完全等价，只是表达形式不同，本质都是量子力学的核心理论。

---

四、波函数的物理意义——玻恩的统计诠释

薛定谔建立了波动方程、得到了波函数，但他本人并未解释清楚波函数的物理本质。1927年，德国物理学家玻恩给出了波函数的统计诠释，这是量子力学最核心的基本假设之一：

某一时刻，空间某一位置，波函数模的平方\(|\Psi|^2\)，正比于该位置单位体积内，波函数描述的粒子出现的概率。

我们拆解这个核心结论，纠正高频认知误区：

1. 波函数\(\Psi\)本身没有直接的可测量物理意义，但它的模的平方\(|\Psi|^2\)有明确物理意义——代表粒子的概率密度，也就是单位体积内粒子出现的概率；
2. 这个诠释完美统一了电子的波粒二象性：电子的波动性，本质是概率波，不是经典的机械波或电磁波，它描述的是电子在空间出现的概率分布；
3. 通俗理解：对于氢原子的电子，我们无法确定它某一时刻的精确位置，只能通过波函数计算出它在核外某一点出现的概率。

---

五、不确定性原理——经典轨道概念的彻底否定

1927年，海森堡提出了量子力学的另一个核心原理——不确定性原理（也叫测不准原理），数学表达式为：

\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi} \]

其中\(\Delta x\)是粒子位置的不确定量，\(\Delta p\)是粒子动量的不确定量，\(h\)是普朗克常量。

这个原理是同学们最容易理解偏差的知识点，我必须讲透它的本质：

1. 它不是测量技术、测量仪器的精度限制导致的，而是微观粒子的固有属性，是波粒二象性的必然结果；
2. 它的核心结论：微观粒子的位置和动量，不可能同时被精确确定。位置测量得越精确（\(\Delta x\)越小），动量的不确定量就越大（\(\Delta p\)越大）；反之亦然。
3. 对玻尔轨道模型的根本否定：玻尔理论中电子有确定的圆形轨道，意味着可以同时精确确定电子的位置（轨道半径确定）和动量（速度确定），这完全违背了不确定性原理。
   因此，微观粒子的运动，根本无法用经典的“轨道”概念来描述，我们无法预测电子某一时刻的精确位置，只能知道它在核外各处出现的概率。

---

六、量子力学的原子模型——电子云模型

基于波函数的统计诠释和不确定性原理，物理学家彻底抛弃了经典的轨道模型，提出了符合量子力学的原子模型——电子云模型。

1. 电子云模型的核心定义
   核外电子没有确定的运动轨道，我们只能通过薛定谔方程的解（波函数），知道电子在原子内各处出现的概率。我们用小黑点的疏密程度，来表示电子在核外单位体积内出现的概率大小，这种描述电子概率分布的图像，就叫做电子云图。

   • 小黑点越密集的地方，代表电子出现的概率密度越大；
   • 小黑点越稀疏的地方，代表电子出现的概率密度越小。

   这里必须纠正一个高频易错点：电子云里的小黑点，不是电子本身，不是点的数量等于电子数量，它只是电子出现概率的可视化表示。氢原子只有一个电子，但它的电子云图里有无数个点，每个点代表这个位置电子可能出现的概率。

2. 氢原子基态的电子云规律
   氢原子处于基态时，电子的概率分布有明确的规律：

   • 理论计算表明，电子出现概率最大的区域，是以原子核为中心、半径\(r_1=5.31\times10^{-11}\ \text{m}\)的球壳，这个数值正好等于玻尔理论中氢原子基态的轨道半径；
   • 这说明：玻尔理论中的“电子轨道”，只是电子出现概率最大的位置，并不是电子真实的运动轨道；
   • 补充说明：在离原子核极近的地方，虽然电子的概率密度大，但球壳体积极小，电子出现的总概率并不大；在离原子核极远的地方，球壳体积大，但概率密度极小，总概率也不大，仅在玻尔半径的球壳处，总概率最大。

---

七、量子力学的意义与价值

随着量子力学的建立，我们发现：玻尔理论的基本假设，其实是量子力学理论推导出来的必然结果，它只是量子力学在单电子原子下的近似特例。

量子力学彻底摆脱了经典物理的束缚，成功解释了玻尔理论无法解释的所有原子现象，包括多电子原子光谱、光谱精细结构、化学键的形成等等。如今，量子力学的应用早已远超原子结构的范畴，成为了半导体、激光、核物理、量子化学、量子计算等几乎所有现代微观科技领域的基础理论，是人类认识微观世界的最核心工具。

---

核心知识点归纳总结表格

表1 玻尔原子模型与量子力学电子云模型核心对比

对比维度	玻尔原子模型	量子力学电子云模型
核心框架	半经典半量子，保留经典牛顿力学与轨道概念	完全量子化，彻底抛弃经典轨道概念
电子运动描述	电子在确定的圆形轨道上绕核做圆周运动	电子无确定轨道，只能描述其在核外出现的概率分布
量子化来源	人为强行假设轨道、能量的量子化条件	量子化是薛定谔方程求解的自然结果，由微观粒子本质决定
波粒二象性	未考虑电子的波动性	完全基于电子的波粒二象性，以概率波为核心
适用范围	仅能解释单电子原子（氢、类氢离子）的光谱	可完美解释所有原子的光谱、化学键等几乎所有微观原子现象
核心局限	无法解释多电子原子、光谱精细结构等现象	无本质局限，是描述微观世界的基础理论

表2 量子力学原子模型核心理论与贡献汇总

理论/原理	提出者	核心结论	物理意义
物质波理论	德布罗意	所有微观粒子都具有波粒二象性，\(\lambda=\frac{h}{p}\)	为量子化条件找到物理本质，奠定量子力学基础
薛定谔方程	薛定谔	描述微观粒子运动的基本波动方程，解为波函数\(\Psi\)	量子力学的核心方程，可求解原子的量子化能级
波函数统计诠释	玻恩	$	\Psi
不确定性原理	海森堡	\(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}\)，位置与动量无法同时精确确定	彻底否定经典轨道概念，揭示微观粒子的固有属性
电子云模型	玻恩、薛定谔等	用概率密度分布描述核外电子的运动	量子力学的原子结构模型，符合所有微观实验规律

---

正确答案：\(\boldsymbol{C}\)

---

完整严谨的解题解析

一、核心基础规律（必须牢记）

氢原子能级跃迁的核心规则：

1. 吸收光子：原子从低能级→高能级，光子能量等于能级差，满足 \(\boldsymbol{E_{\text{末}} - E_{\text{初}} = h\nu}\)（能量增加，ΔE为正）
2. 释放光子：原子从高能级→低能级，光子能量等于能级差，满足 \(\boldsymbol{E_{\text{初}} - E_{\text{末}} = h\nu}\)（能量减少，ΔE为正）
3. 光子波长与频率的关系：真空中光速\(c\)恒定，满足 \(\boldsymbol{c=\lambda\nu}\)，因此波长越长，频率越低，光子能量越小。

---

二、分步拆解解题过程

步骤1：根据跃迁过程，写出能级差公式

1. 氢原子从能级\(a\)跃迁到能级\(b\)，吸收频率为\(\nu_1\)的光子：
   说明\(b\)是高能级，\(a\)是低能级，因此：

   \[E_b - E_a = h\nu_1 \quad ① \]

   变形可得：\(\boldsymbol{E_b = E_a + h\nu_1}\)

2. 氢原子从能级\(b\)跃迁到能级\(c\)，释放频率为\(\nu_2\)的光子：
   说明\(b\)是高能级，\(c\)是低能级，因此：

   \[E_b - E_c = h\nu_2 \quad ② \]

   变形可得：\(\boldsymbol{E_c = E_b - h\nu_2}\)

步骤2：联立公式，判断\(c\)和\(a\)的能级高低

将①式的\(E_b\)代入②式的变形公式，得到\(E_c\)和\(E_a\)的关系：

\[E_c = (E_a + h\nu_1) - h\nu_2 \]

整理得：

\[E_c = E_a + h(\nu_1 - \nu_2) \]

已知\(\lambda_1>\lambda_2\)，根据\(c=\lambda\nu\)，可得\(\boldsymbol{\nu_1 < \nu_2}\)，因此\(\nu_1 - \nu_2 < 0\)，代入上式可得：

\[E_c = E_a + \text{负数} \implies \boldsymbol{E_c < E_a} \]

结论：能级\(c\)的能量低于能级\(a\)，氢原子从\(c\)跃迁到\(a\)，是从低能级向高能级跃迁，需要吸收光子，直接排除A、B两个“释放光子”的选项。

步骤3：计算吸收光子的频率

从\(c\)跃迁到\(a\)，需要吸收的光子能量等于两个能级的能量差：

\[h\nu = E_a - E_c \]

将\(E_c = E_a + h(\nu_1 - \nu_2)\)代入上式：

\[h\nu = E_a - \left[ E_a + h(\nu_1 - \nu_2) \right] = h(\nu_2 - \nu_1) \]

约去普朗克常量\(h\)，得到光子频率：

\[\boldsymbol{\nu = \nu_2 - \nu_1} \]

---

三、最终结论

氢原子从能级\(c\)跃迁到能级\(a\)时，将吸收频率为\(\nu_2 - \nu_1\)的光子，正确答案为\(\boldsymbol{C}\)。

---

四、易错点警示

1. 能级高低的判断错误：\(E_b\)是三个能级中最高的，\(E_a\)和\(E_c\)都低于\(E_b\)，减去的光子能量越少，能级越高，因此\(E_a>E_c\)，这个关系是解题的核心。
2. 跃迁方向与光子吸收/释放的对应关系：低能级→高能级必须吸收光子，高能级→低能级必须释放光子，绝对不能记反。
3. 波长与频率的反比关系：波长越长，频率越低，光子能量越小，这个关系是判断能级差大小的关键，不能搞反。

---

正确答案：\(\boldsymbol{B}\)

---

完整解题解析

一、先梳理核心已知条件与基础计算

1. 氢原子能级（题目给出）：
   \(E_1=-13.6\ \text{eV}\)，\(E_2=-3.4\ \text{eV}\)，\(E_3=-1.51\ \text{eV}\)，\(E_4=-0.85\ \text{eV}\)

2. 金属钠的逸出功：\(W_0=2.29\ \text{eV}\)

3. 大量氢原子处于\(n=3\)激发态，可发生的跃迁共\(\mathrm{C}_3^2=3\)种，先计算每种跃迁释放的光子能量（光子能量等于能级差）：

   跃迁过程	光子能量\(\Delta E=E_{\text{高}}-E_{\text{低}}\)
   \(3\to1\)	\(\Delta E_1=-1.51 - (-13.6)=12.09\ \text{eV}\)
   \(3\to2\)	\(\Delta E_2=-1.51 - (-3.4)=1.89\ \text{eV}\)
   \(2\to1\)	\(\Delta E_3=-3.4 - (-13.6)=10.2\ \text{eV}\)

4. 核心规律回顾：

   • 光电效应条件：光子能量\(h\nu >\)逸出功\(W_0\)，才能产生光电效应；
   • 光电效应方程：光电子最大初动能\(E_{\text{kmax}}=h\nu - W_0\)；
   • 光子动量与能量的关系：\(E=pc\)（\(c\)为光速），光子能量越大，动量越大；
   • 能级跃迁条件：只有光子能量严格等于能级差时，才能被氢原子吸收，发生跃迁（电离除外）。

---

二、逐个选项分析

选项A：逸出光电子的最大初动能为\(10.80\ \text{eV}\)

光电子的最大初动能由能量最大的光子决定，最大光子能量为\(12.09\ \text{eV}\)。
根据光电效应方程：

\[E_{\text{kmax}}=12.09\ \text{eV} - 2.29\ \text{eV}=9.8\ \text{eV} \neq 10.80\ \text{eV} \]

A错误。

选项B：氢原子从\(n=3\)能级跃迁到\(n=1\)能级时放出的光子动量最大

光子的能量与动量满足\(E=pc\)，即\(p=\frac{E}{c}\)，光子能量越大，动量越大。
三种跃迁中，\(3\to1\)释放的光子能量\(12.09\ \text{eV}\)最大，因此对应的光子动量最大。
B正确。

选项C：放出光子中有三种频率的光子能使金属钠产生光电效应

光电效应的条件是光子能量大于逸出功\(2.29\ \text{eV}\)：

• \(12.09\ \text{eV}>2.29\ \text{eV}\)，满足条件；
• \(1.89\ \text{eV}<2.29\ \text{eV}\)，不满足条件；
• \(10.2\ \text{eV}>2.29\ \text{eV}\)，满足条件。

因此只有2种频率的光子能产生光电效应，并非3种。
C错误。

选项D：用能量为\(0.85\ \text{eV}\)的光子照射该氢原子时，氢原子能够吸收该光子能量，从而跃迁到\(n=4\)激发态

氢原子从\(n=3\)跃迁到\(n=4\)，需要吸收的光子能量严格等于两个能级的能级差：

\[\Delta E=E_4-E_3=-0.85 - (-1.51)=0.66\ \text{eV} \]

入射光子能量为\(0.85\ \text{eV}\)，不等于能级差，不满足跃迁条件，氢原子无法吸收该光子，不能发生跃迁。
D错误。