1.4基于最大值原理的误差分析

基于最大值原理的误差分析（前置核心定义）详细讲解

各位同学，今天我们要拆解的是椭圆型偏微分方程有限差分法中，离散最大值原理与误差分析的前置基础定义。这部分内容是后续证明差分格式稳定性、收敛性，以及做误差估计的核心基石，我会从背景、符号、算子结构、连通性定义逐层拆解，帮大家把每一个符号、每一个定义的来龙去脉讲透。

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一、知识点整体定位

我们要解决的核心问题是：连续的偏微分方程Dirichlet边值问题，如何转化为离散的网格差分问题，以及离散问题需要满足什么前提，才能用最大值原理做误差分析。

连续问题的典型代表是Poisson方程边值问题：

\[\begin{cases} -\Delta u = f, & x \in \Omega, \\ u = g, & x \in \partial\Omega, \end{cases} \]

其中\(\Omega\)是\(\mathbb{R}^n\)中的连通区域，\(\partial\Omega\)是区域边界。连续方程很难求解析解，因此我们用有限差分法将其离散为网格上的线性方程组，而今天的内容，就是离散问题的标准形式与核心前提定义。

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二、离散边值问题的标准形式（式1.4.1）

我们先看最基础的离散边值问题：

\[\begin{cases} -L_h U_j = f_j, & \forall j \in J_\Omega, \\ U_j = g_j, & \forall j \in J_D, \end{cases} \]

下面逐符号、逐部分拆解：

1. 区域与网格基础

   • \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\)：n维欧氏空间中的连通区域。通俗说就是区域是“一整块”，任意两点都能被完全落在区域内的曲线连接，不会分成互不相交的几块；我们最常用的是二维（n=2）矩形/圆形区域、三维立方体区域。
   • 步长\(h\)：网格的离散尺度，比如二维正方形网格，x、y方向的网格间距均为\(h\)，连续区域被切分为一个个小网格，网格的交点就是网格节点。
   • 网格节点集\(J = J_\Omega \cup J_D\)：所有需要考虑的网格点的全集，分为两类：
     • \(J_\Omega\)：内部网格节点集，完全落在区域\(\Omega\)内部的节点，这些节点上需要列离散的控制方程；
     • \(J_D\)：Dirichlet边界节点集，落在区域边界\(\partial\Omega\)上的节点，同时包含差分算子\(L_h\)会用到的所有边界点（比如靠近边界的内点做差分时用到的边界点），这些节点上直接给定边界值，无需列方程。

2. 方程的物理意义

   • 第一行\(-L_h U_j = f_j\)：是连续控制方程的离散版本。\(L_h\)是线性差分算子，对应连续的微分算子（比如Laplace算子\(\Delta\)）；\(U_j\)是定义在节点\(j\)上的网格函数，也就是我们要求的数值解，对应连续解\(u(x)\)在节点\(x_j\)处的近似值；\(f_j\)是连续右端函数\(f(x)\)在节点\(j\)处的取值。
   • 第二行\(U_j = g_j\)：是连续Dirichlet边界条件的离散版本，\(g_j\)是边界函数\(g(x)\)在边界节点\(j\)处的取值，直接给数值解的边界约束。

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三、线性差分算子\(L_h\)的结构（式1.4.2）

差分算子是离散问题的核心，我们给出了它的通用形式：

\[L_h U_j = \sum_{i \in J \setminus \{j\}} c_{ij} U_i - c_j U_j, \quad \forall j \in J_\Omega, \]

我们逐部分拆解这个式子的本质：

1. 线性性本质
   有限差分法的核心，是把“微分”转化为“不同节点函数值的线性组合”，因此\(L_h\)是线性算子，作用在\(U_j\)上的结果，就是所有相关节点\(U\)值的线性组合。

2. 系数与邻点集定义

   • \(c_{ij}, c_j\)：网格函数，也就是不同的内部节点\(j\)，对应的系数可以不同。其中\(c_{ij}\)是节点\(i\)对节点\(j\)的差分权重，\(c_j\)是节点\(j\)自身的权重系数。
   • 邻点集\(D_{L_h}(j) = \{ i \in J \setminus \{j\} : c_{ij} \neq 0 \}\)：对节点\(j\)列差分方程时，会用到的其他节点的集合，也就是节点\(j\)的“邻点”。只有邻点的系数\(c_{ij}\)不为0，其余节点的系数全为0，因此求和实际只需要遍历邻点集。

3. 经典案例：Poisson方程五点差分格式
   二维Poisson方程的正则内点（上下左右邻点均为网格节点），五点差分格式为：

   \[-\frac{U_{i+1,j} + U_{i-1,j} + U_{i,j+1} + U_{i,j-1} - 4U_{i,j}}{h^2} = f_{i,j} \]

   整理为\(-L_h U = f\)的形式，可得：

   \[L_h U_{i,j} = \frac{1}{h^2}U_{i+1,j} + \frac{1}{h^2}U_{i-1,j} + \frac{1}{h^2}U_{i,j+1} + \frac{1}{h^2}U_{i,j-1} - \frac{4}{h^2}U_{i,j} \]

   完全匹配通用形式：

   • 邻点集\(D_{L_h}(i,j) = \{(i+1,j),(i-1,j),(i,j+1),(i,j-1)\}\)；
   • 邻点系数\(c_{ij} = 1/h^2\)，自身系数\(c_j = 4/h^2\)。

   而靠近边界的非正则内点，邻点可能落在区域外，需要用边界条件构造非对称差分格式，此时它的\(c_{ij}\)和\(c_j\)就和正则内点不同，这也是我们用通用形式定义算子的原因——它能覆盖所有内点的差分格式，无论正则与否。

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四、网格的连通性定义（定义1.5）

连通性是离散最大值原理成立的核心前提，连续区域是连通的，离散网格也必须满足对应的连通性，否则最大值原理失效，误差分析就无从谈起。这里定义了两类连通性：

1. 网格\(J\)关于算子\(L_h\)的连通性

定义：对任意的内部节点\(j \in J_\Omega\)，和任意的节点\(i \in J\)（无论内部还是边界），都存在一串内部网格点列\(\{j_k\}_{k=1}^m \subset J_\Omega\)，满足：

1. 起点\(j_0 = j\)；
2. 邻点传递性：\(j_{k+1} \in D_{L_h}(j_k), \forall k=0,1,\dots,m-1\)（点列的前一个点的邻点包含后一个点，相当于每一步都走到自己的邻点，且全程走内部点）；
3. 终点可达：\(i \in D_{L_h}(j_m)\)（目标点\(i\)是点列最后一个点的邻点）。

通俗解释：整个网格是“一整块”的，任意一个内部点，都能通过“走邻点”的方式，走到任意另一个节点的旁边，没有互不连通的网格块。

2. 网格\(J\)关于算子\(L_h\)的\(J_D\)连通性

前提：边界节点集非空\(J_D \neq \emptyset\)（即问题有Dirichlet边界，不是无界全空间问题）。
定义：对任意的内部节点\(j \in J_\Omega\)，都存在一个边界节点\(i \in J_D\)，和一串内部网格点列\(\{j_k\}_{k=0}^m \subset J_\Omega\)，使得上述邻点传递关系成立。

通俗解释：每一个内部点，都能通过“走邻点”的方式，走到某个边界点的旁边。整个内部网格都和边界连通，没有和边界完全隔绝的“孤立内部点块”。

连通性的核心作用

离散最大值原理的核心结论是：满足符号条件的差分算子，网格函数的最大值/最小值一定能在边界\(J_D\)上取到。如果网格不满足\(J_D\)连通性，孤立内部块的最大值就会在内部取到，最大值原理直接失效，而误差分析的核心，就是用最大值原理估计误差的上界，因此连通性是误差分析的必要前提。

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五、知识点归纳总结表

知识点类别	核心内容	符号/定义	核心意义与备注
基础空间与区域	求解的连续区域	\(\Omega \subset \mathbb{R}^n\)，n维欧氏空间中的连通区域	偏微分方程的定义域，连通性保证区域是完整的一块，是离散网格的基础
网格离散基础	网格步长	\(h\)	网格的离散尺度，决定了离散的精度，步长越小，网格越密，精度通常越高
	网格节点全集	\(J = J_\Omega \cup J_D\)	所有需要计算/约束的网格点的集合，分为内部点和边界点两类
	内部网格节点集	\(J_\Omega\)	区域内部的网格点，是列离散控制方程的位置，对应连续区域的内点
	Dirichlet边界节点集	\(J_D\)	区域边界上的网格点，包含差分算子用到的所有边界点，直接给边界条件，对应连续问题的边界
离散边值问题	内部节点控制方程	\(-L_h U_j = f_j, \forall j \in J_\Omega\)	连续偏微分方程的离散形式，\(L_h\)是差分算子，\(U_j\)是数值解，\(f_j\)是右端项
	边界节点约束条件	\(U_j = g_j, \forall j \in J_D\)	连续Dirichlet边界条件的离散形式，\(g_j\)是边界函数的离散值，给数值解边界约束
线性差分算子	通用形式	\(L_h U_j = \sum_{i \in J \setminus \{j\}} c_{ij} U_i - c_j U_j, \forall j \in J_\Omega\)	微分算子的离散通用表达，线性组合的形式适配所有正则/非正则内点的差分格式
	差分权重系数	\(c_{ij}\)：邻点i对节点j的权重；\(c_j\)：节点j的自身权重	不同内点的系数可以不同，是差分格式的核心参数，后续最大值原理对系数符号有严格要求
	算子邻点集	\(D_{L_h}(j) = \{ i \in J \setminus \{j\} : c_{ij} \neq 0 \}\)	节点j列差分方程时用到的其他节点，决定了差分格式的“模板”，比如五点格式的邻点集是上下左右4个点
网格连通性	关于算子\(L_h\)的连通性	任意内点j和任意节点i，存在内部点列满足邻点传递性，最终可达i的邻域	保证离散网格是完整的一块，没有互不连通的子块，是最大值原理的基础前提
	\(J_D\)连通性	任意内点j，都存在边界点i，通过内部点列的邻点传递可达i的邻域	保证所有内部点都和边界连通，是“最大值/最小值在边界上取到”的核心前提，直接决定误差分析能否成立
整体定位	基于最大值原理的误差分析	所有定义均为离散最大值原理做铺垫，最终通过最大值原理估计数值解与真解的误差上界，证明格式收敛性	是椭圆型方程有限差分法稳定性、收敛性分析的经典方法，无需能量估计，仅通过极值性质即可完成误差分析

离散最大值原理与差分方程解的存在唯一性 详细讲解

各位同学，我们今天承接上一节的差分算子与网格连通性定义，深入讲解椭圆型差分方程的核心理论——离散最大值原理，以及基于该原理推导的差分方程解的存在唯一性、比较原理与矩阵性质。这部分内容是有限差分法误差分析、稳定性证明的核心基石，我会从定理条件、结论本质、证明逻辑、应用价值四个维度逐层拆解，帮大家吃透每一个数学细节。

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一、知识点整体定位

连续椭圆型偏微分方程（如Poisson方程、Laplace方程）的经典理论中，最大值原理是核心结论：椭圆方程的解（调和/下调和/上调和函数）的极值一定在区域边界取到，内部无法取到严格的全局极值，除非解是常数。

我们今天讲解的离散最大值原理，是连续极值原理在网格上的完美对应。它的核心价值有三点：

1. 从理论上证明差分方程解的存在唯一性，给数值方法提供理论保障；
2. 推导比较原理，为后续的先验误差估计提供核心工具；
3. 揭示差分算子对应的线性方程组的优良矩阵性质，为数值求解的迭代法收敛性提供依据。

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二、定理1.2 离散最大值原理（核心定理）

1. 定理的前提条件

我们先拆解定理的3个核心条件，每一个都和上一节的定义严格对应，缺一不可：

条件序号	条件内容	数学本质与作用
(1)	\(J_D \neq \emptyset\)，且网格\(J=J_\Omega \cup J_D\)关于算子\(L_h\)是\(J_D\)连通的	边界非空，且所有内部点都能通过邻点走到边界，杜绝与边界隔绝的孤立内部网格块，保证内部极值能被边界约束
(2)	对任意内点\(j \in J_\Omega\)，有\(c_j>0\)、\(c_{ij}>0\)（\(\forall i \in D_{L_h}(j)\)），且\(c_j \geq \sum_{i \in D_{L_h}(j)} c_{ij}\)	差分算子的符号条件+对角占优条件，是离散椭圆型算子的核心特征。 例：Poisson方程五点格式，\(c_j=4/h^2\)，\(c_{ij}=1/h^2\)，4个邻点和为\(4/h^2\)，刚好满足等号条件
(3)	网格\(J\)关于算子\(L_h\)是连通的，且存在内点\(j \in J_\Omega\)，使得\(U_j = \max_{i \in J} U_i \geq 0\)	强最大值原理的前提，对应连续理论中“内部取到全局极值”的条件，最终推出解为常数

2. 定理的核心结论

定理分为两部分，分别对应弱最大值原理和强最大值原理：

（1）弱最大值原理（核心结论）

若网格函数\(U\)满足：

\[L_h U_j \geq 0, \quad \forall j \in J_\Omega \]

则\(U\)不可能在任何内点处取到非负的最大值，即内部最大值满足：

\[M_\Omega \triangleq \max_{i \in J_\Omega} U_i \leq \max\left\{ \max_{i \in J_D} U_i,\ 0 \right\} \]

本质解读：\(L_h U_j \geq 0\)对应连续方程的\(\Delta u \geq 0\)，即\(u\)是下调和函数。下调和函数的最大值一定在边界取到，离散版本完全继承了这个性质——内部的最大值不可能超过边界的最大值，也不可能超过0。

（2）强最大值原理

若\(L_h\)额外满足条件(3)，则\(U\)在整个网格\(J\)上为常数。

本质解读：如果下调和函数在内部取到了全局的非负最大值，那么这个函数在整个区域上一定是常数。对应连续理论的结论：调和函数在内部取到极值则必为常数。

3. 证明过程详细拆解

定理采用反证法证明，逻辑环环相扣，我们逐步骤拆解：

1. 反证假设：假设式(1.4.5)不成立，即内部最大值\(M_\Omega > \max_{i \in J_D} U_i \triangleq M_D\)，且\(M_\Omega > 0\)。
   （我们要证明这个假设会推出矛盾，从而证明原命题成立）

2. 取极值点与算子变形：取内点\(j \in J_\Omega\)，满足\(U_j = M_\Omega\)（这个点就是取到内部最大值的点）。
   由算子定义\(L_h U_j = \sum_{i \in D_{L_h}(j)} c_{ij} U_i - c_j U_j \geq 0\)，移项得：

   \[c_j U_j \leq \sum_{i \in D_{L_h}(j)} c_{ij} U_i \]

   由条件(2)知\(c_j>0\)，两边除以\(c_j\)，得到核心不等式：

   \[U_j \leq \sum_{i \in D_{L_h}(j)} \frac{c_{ij}}{c_j} U_i \]

3. 不等式链与等号条件：
   因为\(M_\Omega\)是全局内部最大值，所以对所有邻点\(i\)，有\(U_i \leq M_\Omega\)，代入上式得：

   \[U_j \leq \sum_{i \in D_{L_h}(j)} \frac{c_{ij}}{c_j} U_i \leq \sum_{i \in D_{L_h}(j)} \frac{c_{ij}}{c_j} M_\Omega \]

   再由条件(2)的对角占优\(c_j \geq \sum c_{ij}\)，得\(\sum \frac{c_{ij}}{c_j} \leq 1\)，因此：

   \[M_\Omega = U_j \leq \sum_{i \in D_{L_h}(j)} \frac{c_{ij}}{c_j} M_\Omega \leq M_\Omega \]

   此时不等式的左右两端都是\(M_\Omega\)，因此所有不等号必须全部取等号，等号成立的充要条件是：

   • 对\(j\)的所有邻点\(i \in D_{L_h}(j)\)，都有\(U_i = M_\Omega\)（只要有一个邻点\(U_i < M_\Omega\)，不等式就会严格小于\(M_\Omega\)，矛盾）；
   • \(L_h U_j = 0\)。

4. 连通性推导与矛盾：
   由条件(1)的\(J_D\)连通性，对这个内点\(j\)，存在一串内部点列\(\{j_k\}_{k=0}^m\)，可以从\(j\)走到某个边界点\(i \in J_D\)。
   结合上面的结论，归纳可得：点列中所有点的\(U\)值都等于\(M_\Omega\)，最终走到的边界点\(i\)也满足\(U_i = M_\Omega\)。
   但我们的反证假设是\(M_\Omega > M_D = \max_{i \in J_D} U_i\)，边界点的最大值不可能等于\(M_\Omega\)，矛盾。

   因此反证假设不成立，式(1.4.5)得证。

5. 强最大值原理的证明：
   若存在内点\(j\)取到全局非负最大值，由上面的结论，\(j\)的所有邻点都等于该最大值；再由网格的连通性，所有网格点都能通过邻点列走到，因此所有点的\(U\)值都等于该最大值，即\(U\)在\(J\)上为常数。

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三、推论1.1 离散最小值原理

1. 推论内容

设线性差分算子\(L_h\)满足定理1.2的条件(1)(2)，网格函数\(U\)满足：

\[L_h U_j \leq 0, \quad \forall j \in J_\Omega \]

则\(U\)不可能在任何内点处取到非正的最小值，即内部最小值满足：

\[m_\Omega \triangleq \min_{i \in J_\Omega} U_i \geq \min\left\{ \min_{i \in J_D} U_i,\ 0 \right\} \]

若\(L_h\)额外满足网格连通性，且存在内点\(j\)取到非正的全局最小值，则\(U\)在\(J\)上为常数。

2. 证明与本质解读

• 证明：只需对网格函数\(-U\)应用定理1.2即可。
  因为\(L_h\)是线性算子，\(L_h U_j \leq 0 \iff L_h (-U_j) \geq 0\)，对\(-U\)套用最大值原理，直接得到最小值原理的结论。
• 本质：\(L_h U_j \leq 0\)对应连续方程的\(\Delta u \leq 0\)，即\(u\)是上调和函数，上调和函数的最小值一定在边界取到，和最大值原理形成对称的对偶关系。

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四、定理1.3 差分方程解的存在唯一性

1. 定理内容

设线性差分算子\(L_h\)满足定理1.2的条件(1)(2)，则差分边值问题

\[\begin{cases} -L_h U_j = f_j, & \forall j \in J_\Omega, \\ U_j = g_j, & \forall j \in J_D \end{cases} \]

的解存在且唯一。

2. 证明逻辑拆解

线性代数中有核心结论：对于n阶线性方程组\(Ax=b\)，对任意右端项\(b\)，解存在且唯一的充要条件是：对应的齐次方程组\(Ax=0\)只有零解。

我们的差分方程可以整理为线性方程组\(AU=F\)，因此只需证明齐次方程只有零解：

1. 齐次方程定义：令\(f_j=0\)（所有内点），\(g_j=0\)（所有边界点），齐次方程为：

   \[\begin{cases} L_h U_j = 0, & \forall j \in J_\Omega, \\ U_j = 0, & \forall j \in J_D \end{cases} \]

2. 极值原理约束解的范围：
   齐次方程满足\(L_h U_j=0\)，因此既满足\(L_h U_j \geq 0\)，也满足\(L_h U_j \leq 0\)，可以同时套用最大值原理和最小值原理：

   • 由最大值原理：内部最大值\(M_\Omega \leq \max\left\{ \max_{J_D} U_i, 0 \right\} = \max\{0,0\} = 0\)；
   • 由最小值原理：内部最小值\(m_\Omega \geq \min\left\{ \min_{J_D} U_i, 0 \right\} = \min\{0,0\} = 0\)。

3. 零解结论：
   内部的\(U_j\)既要满足\(U_j \leq 0\)，又要满足\(U_j \geq 0\)，因此只能\(U_j=0\)；结合边界\(U_j=0\)，整个网格上\(U \equiv 0\)，齐次方程只有零解。

   因此原非齐次方程的解存在且唯一。

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五、推论1.2 比较原理（正性引理）

1. 推论内容

设线性差分算子\(L_h\)满足定理1.2的条件(1)(2)，则差分方程的解满足：

• 若\(f_j \geq 0\)（\(\forall j \in J_\Omega\)）且\(g_j \geq 0\)（\(\forall j \in J_D\)），则\(U_j \geq 0\)（\(\forall j \in J\)）；
• 若\(f_j \leq 0\)（\(\forall j \in J_\Omega\)）且\(g_j \leq 0\)（\(\forall j \in J_D\)），则\(U_j \leq 0\)（\(\forall j \in J\)）。

2. 本质与应用

• 本质：右端项和边界条件的符号，完全决定了解的符号。对应连续Poisson方程的结论：\(-Δu=f≥0, u|_{\partialΩ}=g≥0\)，则\(u≥0\)，是椭圆型方程的核心正性性质。
• 应用：是后续先验误差估计的核心工具——我们可以构造“比较函数”，通过比较原理约束误差的上界和下界，完成收敛性证明。

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六、差分算子的M矩阵性质

当\(L_h\)满足定理1.2的条件(1)~(3)时，差分方程对应的线性方程组系数矩阵\(A\)，是不可约弱严格对角占优的M矩阵，具有以下优良性质：

1. 矩阵的所有对角元素均为正数，非对角元素均为非正数；
2. 矩阵的逆矩阵\(A^{-1}\)的所有元素均非负（这是推论1.2的直接推论，\(U=A^{-1}F\)，\(F≥0\)则\(U≥0\)）；
3. 保证Jacobi、Gauss-Seidel等经典迭代法求解该线性方程组时是收敛的，为数值求解提供了理论保障。

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七、知识点归纳总结表

定理/推论名称	核心前提条件	核心结论	核心意义与应用
定理1.2 离散最大值原理	1. \(J_D≠\emptyset\)，网格\(J_D\)连通； 2. 系数\(c_j>0, c_{ij}>0\)，且\(c_j≥\sum c_{ij}\)； 3. （强原理补充）网格连通，内点取到非负全局最大值	1. 若\(L_h U_j≥0\)，则内部最大值\(M_\Omega ≤ \max\{\max_{J_D}U_i, 0\}\)，内点无法取到非负最大值； 2. （强原理）满足条件3时，\(U\)在全网格为常数	离散椭圆型方程的核心理论，对应连续极值原理，是所有后续结论的基础
推论1.1 离散最小值原理	同最大值原理的条件1、2； （强原理补充）网格连通，内点取到非正全局最小值	1. 若\(L_h U_j≤0\)，则内部最小值\(m_\Omega ≥ \min\{\min_{J_D}U_i, 0\}\)，内点无法取到非正最小值； 2. （强原理）满足补充条件时，\(U\)在全网格为常数	最大值原理的对偶形式，和最大值原理配合，完整约束解的上下界
定理1.3 解的存在唯一性	最大值原理的条件1、2	差分边值问题的解存在且唯一	给有限差分法提供了最核心的理论保障，证明数值解是唯一存在的
推论1.2 比较原理（正性引理）	最大值原理的条件1、2	右端项\(f\)和边界条件\(g\)非负，则解\(U\)非负；\(f\)和\(g\)非正，则解\(U\)非正	误差估计的核心工具，用于构造比较函数，约束误差的上下界
M矩阵性质	最大值原理的条件1~3	差分方程的系数矩阵是不可约弱严格对角占优M矩阵，逆矩阵非负	保证线性方程组数值求解的迭代法收敛性，为实际计算提供理论支撑

比较定理、稳定性与误差估计（基于最大值原理）

本节内容是离散最大值原理的核心应用，通过构造比较函数，将最大值原理转化为可操作的稳定性和误差估计工具，尤其适用于复杂区域（如曲边区域）的差分格式分析。

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一、核心定理与推广

1. 定理1.4：比较定理（基础版）

前提条件

• 线性差分算子 ( L_h ) 满足定理1.2的条件(1)(2)（( J_D ) 连通、系数符号与对角占优）；
• 网格函数 ( U ) 是差分方程 (1.4.1) 的解；
• 存在非负网格函数 ( \Phi )，满足 ( L_h \Phi_j \geq 1 )（( \forall j \in J_\Omega )）。

核心结论

\[\[ \max_{j \in J_\Omega} |U_j| \leq \max_{j \in J_D} |U_j| + \left( \max_{j \in J} \Phi_j \right) \left( \max_{j \in J_\Omega} |f_j| \right) \] \]

证明思路

构造辅助函数 ( \Psi_j = \pm U_j + \left( \max_{j \in J_\Omega} |f_j| \right) \Phi_j )，验证 ( L_h \Psi_j \geq 0 )，再应用最大值原理：

1. 由 ( L_h U_j = -f_j ) 和 ( L_h \Phi_j \geq 1 )，得 ( L_h \Psi_j = \pm (-f_j) + \max|f_j| \cdot L_h \Phi_j \geq -\max|f_j| + \max|f_j| \cdot 1 = 0 )；
2. 由最大值原理，( \max_{j \in J_\Omega} \Psi_j \leq \max_{j \in J_D} \Psi_j )，代入 ( \Psi_j ) 的定义即可推导出结论。

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2. 定理1.5：误差估计（基础版）

前提条件

• 线性差分算子 ( L_h ) 满足定理1.2的条件(1)(2)；
• 存在非负网格函数 ( \Phi )，满足 ( L_h \Phi_j \geq 1 )（( \forall j \in J_\Omega )）；
• 误差 ( e_j = U_j - u_j )（( U ) 为数值解，( u ) 为真解），截断误差 ( T_j = L_h (U_j - u_j) )。

核心结论

\[\[ \max_{j \in J_\Omega} |e_j| \leq \max_{j \in J_D} |e_j| + \left( \max_{j \in J} \Phi_j \right) \left( \max_{j \in J_\Omega} |T_j| \right) \] \]

证明思路

真解 ( u ) 满足 ( L_h u_j = -f_j + T_j )，数值解 ( U ) 满足 ( L_h U_j = -f_j )，两式相减得 ( L_h e_j = -T_j )。将 ( e_j ) 视为新的网格函数，( -T_j ) 视为新的右端项，直接套用定理1.4即可。

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3. 定理1.6 & 1.7：推广到分区内点（复杂区域适用）

当区域复杂（如曲边区域），内点可分为两类：

• ( J_{\Omega1} )：正则内点（如矩形网格的内部点）；
• ( J_{\Omega2} )：非正则内点（如靠近曲边边界的点），且 ( J_{\Omega1} \cup J_{\Omega2} = J_\Omega )，( J_{\Omega1} \cap J_{\Omega2} = \emptyset )。

前提条件

• ( L_h ) 满足定理1.2的条件(1)(2)；
• 非负网格函数 ( \Phi ) 满足：
  \[\[ \begin{cases} L_h \Phi_j \geq C_1 > 0, & \forall j \in J_{\Omega1}, \\ L_h \Phi_j \geq C_2 > 0, & \forall j \in J_{\Omega2}. \end{cases} \] \]

核心结论

• 定理1.6（解的估计）：
  \[\[ \max_{j \in J_\Omega} |U_j| \leq \max_{j \in J_D} |U_j| + \left( \max_{j \in J} \Phi_j \right) \left( C_1^{-1} \max_{j \in J_{\Omega1}} |f_j| + C_2^{-1} \max_{j \in J_{\Omega2}} |f_j| \right) \]\]

• 定理1.7（误差估计）：
  \[\[ \max_{j \in J_\Omega} |e_j| \leq \max_{j \in J_D} |e_j| + \left( \max_{j \in J} \Phi_j \right) \left( C_1^{-1} \max_{j \in J_{\Omega1}} |T_j| + C_2^{-1} \max_{j \in J_{\Omega2}} |T_j| \right) \]\]

证明思路

是定理1.4的直接推广，构造 $$( \Psi_j = \pm U_j + \max\left{ C_1^{-1} \max|f_j|, C_2^{-1} \max|f_j| \right} \cdot \Phi_j )$$，验证 ( L_h \Psi_j \geq 0 ) 后应用最大值原理。

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二、典型应用：曲边区域的误差分析（例1.2）

问题背景

考虑二维曲边区域上的Poisson方程Dirichlet问题：
\(\[ \begin{cases} -\Delta u = f, & x \in \Omega, \\ u = g, & x \in \partial\Omega. \end{cases} \]\)

• 正则内点 ( J_{\Omega1} )：采用五点差分格式，截断误差 ( \max|T_j| \leq K_1 h^2 )（二阶精度）；
• 非正则内点 ( J_{\Omega2} )：采用对称化不等距差分，截断误差 ( \max|T_j| \leq K_2 )（一阶精度，甚至O(1)）。

比较函数构造

设 ( (\bar{x}, \bar{y}) ) 为区域 ( \Omega ) 的外接圆圆心，( R ) 为外接圆半径，构造比较函数：

\[\[ \Phi(x,y) = \begin{cases} E_1 \left[ (x-\bar{x})^2 + (y-\bar{y})^2 \right], & \forall (x,y) \notin J_D, \\ E_1 \left[ (x-\bar{x})^2 + (y-\bar{y})^2 \right] + E_2, & \forall (x,y) \in J_D, \end{cases} \]\]

其中 ( E_1, E_2 ) 为正的待定系数。

算子作用计算

• 对正则内点 ( j \in J_{\Omega1} )：五点差分格式作用于二次函数得 ( L_h \Phi_j = 4E_1 )，故 ( C_1 = 4E_1 )；
• 对非正则内点 ( j \in J_{\Omega2} )：经计算得 ( L_h \Phi_j \geq 2E_1 + E_2 h^{-2} \geq E_2 h^{-2} )，故 ( C_2 = E_2 h^{-2} )。

误差估计与优化

代入定理1.7：

\[\[ \max_{j \in J_\Omega} |e_j| \leq \max_{j \in J_D} |e_j| + \left( E_1 R^2 + E_2 \right) \max\left( \frac{K_1 h^2}{4E_1}, \frac{K_2 h^2}{E_2} \right). \]\]

为最小化误差上界，令 ( \frac{K_1 h^2}{4E_1} = \frac{K_2 h^2}{E_2} )，即 ( \frac{E_2}{E_1} = \frac{4K_2}{K_1} )，代入后得到：

\[\[ \max_{j \in J_\Omega} |e_j| \leq \max_{j \in J_D} |e_j| + \left( \frac{1}{4} K_1 R^2 + K_2 \right) h^2. \]\]

关键结论：即使非正则内点的截断误差是 ( O(1) )，通过合理构造比较函数，整体误差仍保持 ( O(h^2) ) 的二阶收敛性。

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三、知识点归纳总结表

定理/推论	核心前提	核心结论	应用场景
定理1.4（比较定理）	( L_h ) 满足定理1.2(1)(2)；存在 ( \Phi \geq 0 ) 使 ( L_h \Phi_j \geq 1 )	( \max	U_j
定理1.5（误差估计）	( L_h ) 满足定理1.2(1)(2)；存在 ( \Phi \geq 0 ) 使 ( L_h \Phi_j \geq 1 )	( \max	e_j
定理1.6（推广比较定理）	( L_h ) 满足定理1.2(1)(2)；( J_\Omega = J_{\Omega1} \cup J_{\Omega2} )；( \Phi ) 满足分区条件	( \max	U_j
定理1.7（推广误差估计）	( L_h ) 满足定理1.2(1)(2)；( J_\Omega = J_{\Omega1} \cup J_{\Omega2} )；( \Phi ) 满足分区条件	( \max	e_j
例1.2（曲边区域应用）	正则内点用五点格式，非正则内点用不等距差分；构造二次比较函数	即使非正则内点截断误差 ( O(1) )，整体误差仍为 ( O(h^2) )	展示比较函数在抵消高阶误差中的作用

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四、核心思想总结

• 比较函数的作用：通过构造满足 \(\( L_h \Phi_j \geq C > 0 \)\) 的非负函数 \(\( \Phi \)\)，将最大值原理转化为可量化的误差上界，是连接理论与实际计算的桥梁。
• 复杂区域的处理：分区内点的推广定理（1.6、1.7）允许我们分别处理不同精度的差分格式，通过优化比较函数的系数，抵消局部低阶截断误差的影响，保证整体收敛阶。
• 稳定性与收敛性的统一：比较定理既是稳定性的证明工具，也是误差估计的核心方法，体现了离散最大值原理在椭圆型差分方程分析中的基础性地位。

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