1.3.1网格，网格函数及其范数+硕博授课

一般椭圆型问题差分逼近的基础概念详解

各位同学，上一讲我们以单位正方形域上的Poisson方程为例，讲解了差分方法的基本思想与五点格式。这一讲我们将从特殊推广到一般，建立任意n维规则区域、任意网格、一般椭圆型方程差分逼近的通用基础框架，这些概念是后续处理复杂工程问题、分析数值方法性质的核心基石。

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一、求解区域的基本设定

我们首先明确数值求解的问题背景：
设 \(\Omega\) 是n维欧氏空间 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界开集，且边界 \(\partial\Omega\) 是Lipschitz连续的；其中 \(\partial\Omega_D\) 是边界上给定Dirichlet（第一类）边界条件的部分。

关键概念解读

1. Lipschitz连续边界
   通俗来说，Lipschitz连续边界要求区域的边界足够“规则”：边界上任意一点的局部都可以用一个Lipschitz连续函数（满足斜率有界）来表示，不会出现无限尖锐的尖点、裂缝、分形等病态结构。
   • 核心意义：这是椭圆型偏微分方程边值问题解存在唯一（适定性）的基本条件，同时也保证了我们能在区域上构造合理的网格，开展数值离散。
2. 边界的分类
   一般的椭圆型边值问题，边界不会全是Dirichlet边界，还可能包含Neumann（第二类）、Robin（第三类）边界。我们仅将给定第一类边界条件的部分记为 \(\partial\Omega_D\)，其余边界部分需要单独处理，这也是和上一讲全Dirichlet边界的核心区别。

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二、网格的分类与核心定义

网格是连续区域离散化的载体，我们将连续的无穷维问题转化为离散的有限维问题，第一步就是构造网格。

1. 常见网格类型

我们讨论的网格，本质是参数坐标空间的矩形网格在物理区域上的映射，常见类型包括：

网格类型	构造方式	适用场景
直角坐标矩形网格	n维空间中，每个坐标分量 \(x_i\) 取步长 \(h_i=\Delta x_i\)，网格线为 \(x_i=j_i h_i\)，二维/三维中习惯记为 \(h_x,h_y,h_z\)	矩形、长方体等规则区域，是最基础、最常用的网格
曲线坐标网格	极坐标、柱坐标、球坐标等曲线坐标系中，参数空间的矩形网格映射到物理空间，例如极坐标下 \(h_r=\Delta r, h_\theta=\Delta\theta\)	圆形、环形、球形等曲边规则区域，贴合边界形状
非结构化网格	二维三角形/四边形网格、三维四面体/六面体网格，可贴合任意复杂边界	工程中复杂几何区域（如发动机、建筑结构）

本课程为简化理论分析，仅讨论参数坐标空间矩形网格生成的结构化网格，核心聚焦于直角坐标矩形网格。

2. 网格的核心参数与分类

我们定义网格的最大步长 \(h = \max\{h_1,h_2,\dots,h_n\}\)，它是衡量网格疏密的核心指标，也是数值分析中步长趋于0的收敛性分析的核心参数。

根据步长的分布特征，网格可分为三类：

1. 非均匀网格
   网格步长可以随空间位置变化，在解变化剧烈的区域（如边界层、应力集中区）加密网格，在解变化平缓的区域粗化网格，在保证精度的前提下大幅降低计算量，是工程自适应计算的核心工具。

2. 拟一致网格
   对一个网格序列，若存在与步长h无关的常数 \(C>0\)，使得网格的最大步长与最小步长满足：

   \[h_{\text{max}} \leq C h_{\text{min}} \]

   则称该网格序列为拟一致网格。

   • 核心意义：拟一致网格保证了网格不会出现“局部过密、局部过疏”的极端情况，网格的疏密比例有统一上界，是差分格式稳定性、收敛性分析成立的基本条件，避免因网格比例失调导致数值方法失效。

3. 一致（均匀）网格
   拟一致网格的特例，沿每个坐标方向的步长都是均匀分布的常数，即 \(h_1=h_2=\dots=h_n=h\)，上一讲的五点格式就建立在均匀正方形网格上。它形式最简单、理论分析最方便，是差分方法入门的基础。

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三、网格节点集的分类与相邻节点

网格构造完成后，我们需要对网格节点进行分类，对应边值问题的控制方程与边界条件。

1. 节点指标集的定义

我们用多重指标标记网格节点，这是n维空间中节点的标准化记号：

• 节点的多重指标：\(\boldsymbol{j}=(j_1,j_2,\dots,j_n)\)，每个分量 \(j_i\) 为整数，对应第i个坐标方向的节点序号；
• 节点的空间坐标：\(\boldsymbol{x_j} = (j_1 h_1, j_2 h_2, \dots, j_n h_n)\)。

在此基础上，我们定义三类核心节点集：

节点集类型	数学定义	节点特征与意义
全节点集 \(J\)	\(J = \{\boldsymbol{j}: \boldsymbol{x_j} \in \overline{\Omega}\}\)	覆盖闭区域 \(\overline{\Omega}\) 的所有网格节点，是所有离散量的定义空间
Dirichlet边界节点集 \(J_D\)	\(J_D = \{\boldsymbol{j}\in J: \boldsymbol{x_j} \in \partial\Omega_D\}\)	位于Dirichlet边界上的节点，函数值由边界条件直接给定，为已知量
内部节点集 \(J_\Omega\)	\(J_\Omega = J \setminus J_D\)	全节点集去掉Dirichlet边界节点，包含两部分：完全在区域内部的节点、非Dirichlet边界上的节点，是待求未知量的核心集合

2. 相邻节点的定义

我们称两个节点 \(\boldsymbol{j}, \boldsymbol{j}'\in J\) 为相邻节点，当且仅当它们满足：

\[\sum_{k=1}^n |j_k - j'_k| = 1 \]

• 直观含义：两个节点仅有一个坐标方向的序号差1，其余坐标序号完全相同，对应空间中左右、上下、前后的直接相邻节点。
• 核心意义：差分格式的本质是用相邻节点的函数值构造差商，逼近微分算子，相邻节点的定义是构造差分模板的基础。

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四、差分算子的正则内点与非正则内点

上一讲的单位正方形区域中，所有内部节点都可以直接用标准五点格式，但一般曲边区域中，很多内部节点的差分模板会超出区域边界，因此我们需要区分正则内点与非正则内点。

1. 核心概念定义

1. 差分模板 \(D_{L_h}(\boldsymbol{j})\)
   在节点 \(\boldsymbol{j}\) 处构造差分算子 \(L_h U_{\boldsymbol{j}}\) 时，所用到的所有网格节点的集合，称为该节点的差分模板。例如二维五点格式的差分模板，就是节点自身及其4个相邻节点，共5个节点。

2. 正则内点
   对内部节点 \(\boldsymbol{j}\in J_\Omega\)，若其差分模板完全包含在闭区域 \(\overline{\Omega}\) 内，即 \(D_{L_h}(\boldsymbol{j}) \subset \overline{\Omega}\)，则称该节点为差分算子 \(L_h\) 的正则内点。

   • 特点：可以直接使用标准的中心差分格式，无需额外处理边界，格式精度与理论分析都和均匀网格一致。
   • 所有正则内点构成的集合称为正则内点集，记为 \(\mathring{J}_\Omega\)。

3. 非正则内点
   内部节点中不属于正则内点的节点，即 \(\tilde{J}_\Omega = J_\Omega \setminus \mathring{J}_\Omega\)，称为非正则内点。

   • 特点：差分模板中有节点落在区域 \(\Omega\) 之外，标准中心差分格式无法直接使用，需要结合边界条件构造特殊的差分格式（如单边差商、边界插值、虚拟节点法等），是一般区域差分方法的核心难点。

直观示例

以二维圆形区域的直角坐标网格为例：

• 区域中心的节点，4个相邻节点都在圆内，差分模板完全在区域中，是正则内点，直接用五点格式；
• 靠近圆周的内部节点，某个相邻节点落在圆外，差分模板不全在区域内，是非正则内点，需要结合圆周上的边界条件构造特殊格式。

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五、控制体与网格函数的范数

数值方法的核心是分析格式的相容性、稳定性、收敛性，而这些分析都依赖于网格函数的范数。我们通过控制体的概念，将离散的网格函数与连续的函数空间建立联系，从而用成熟的泛函分析工具开展数值分析。

1. 控制体的定义

对每个节点 \(\boldsymbol{j}\in J\)，我们定义其对应的控制体（也叫元体）为：

\[\omega_{\boldsymbol{j}} = \left\{ \boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_n)\in\Omega: \left(j_i-\frac{1}{2}\right)h_i \leq x_i < \left(j_i+\frac{1}{2}\right)h_i,\ 1\leq i\leq n \right\}, \quad \forall \boldsymbol{j}\in J \]

• 直观含义：控制体是以节点 \(\boldsymbol{j}\) 为中心的n维长方体，每个坐标方向的长度为对应步长 \(h_i\)，是围绕节点的一个小控制区域。
• 控制体的测度（体积）：记为 \(V_{\boldsymbol{j}}\)，对矩形网格，\(V_{\boldsymbol{j}} = h_1 h_2 \dots h_n\)；均匀网格中所有控制体的体积相等，\(V_{\boldsymbol{j}}=h^n\)。

控制体的核心意义

1. 有限体积法的核心基础：有限体积法的本质就是在每个控制体上积分物理守恒律（质量守恒、动量守恒、能量守恒），直接得到离散方程，天生满足物理守恒性，是计算流体力学、传热学等工程领域的主流方法。
2. 连接离散与连续的桥梁：通过控制体，我们可以将仅在节点上定义的离散网格函数，延拓为整个区域 \(\Omega\) 上的分片常数函数：
   \[U(\boldsymbol{x}) = U_{\boldsymbol{j}}, \quad \forall \boldsymbol{x}\in\omega_{\boldsymbol{j}} \]
   即每个控制体内的函数值等于中心节点的网格函数值，这样离散的网格函数就变成了连续空间中的可测函数，自然可以使用Lebesgue可积空间（\(\mathbb{L}^p\)空间）的范数定义。

2. 网格函数的范数定义

基于分片常数延拓，我们直接将连续空间的范数转化为网格函数的离散范数，最常用的是以下两类：

（1）\(\mathbb{L}^\infty\) 范数（最大范数）

\[\|U\|_\infty = \max_{\boldsymbol{j}\in J} |U_{\boldsymbol{j}}| \]

• 含义：所有网格节点上函数值绝对值的最大值，是最直观的范数。
• 应用：上一讲中五点格式的稳定性、收敛性分析，就是在 \(\mathbb{L}^\infty\) 范数下开展的，适合刻画解的最大误差。

（2）\(\mathbb{L}^2\) 范数（离散2范数）

\[\|U\|_2 = \left( \sum_{\boldsymbol{j}\in J} V_{\boldsymbol{j}} |U_{\boldsymbol{j}}|^2 \right)^{1/2} \]

• 含义：对应连续 \(\mathbb{L}^2\) 空间的范数，是每个节点值的平方乘以控制体体积求和后开根号，均匀网格下可简化为 \(\|U\|_2 = h^{n/2} \left( \sum_{\boldsymbol{j}\in J} |U_{\boldsymbol{j}}|^2 \right)^{1/2}\)。
• 应用：是椭圆型方程能量估计、误差分析的核心范数，对应物理中的能量守恒，也是迭代法收敛性分析的常用工具。

补充说明：上述范数定义可以自然推广到非均匀网格、非结构化网格，只需将控制体体积替换为对应元体的体积即可，具有极强的通用性。

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六、核心知识点归纳总结

核心概念	数学定义/核心公式	核心意义与应用场景
Lipschitz连续边界	边界局部可表示为斜率有界的Lipschitz函数	保证椭圆型方程边值问题适定性，是网格剖分与数值分析的前提
矩形网格	各坐标方向取固定步长 \(h_i\)，网格线为 \(x_i=j_i h_i\)	规则区域的基础网格，差分方法入门的标准载体
拟一致网格	\(h_{\text{max}} \leq C h_{\text{min}}\)，C与h无关	保证网格疏密比例有界，是数值方法稳定性、收敛性成立的基本条件
均匀网格	各方向步长均为常数h，拟一致网格的特例	形式最简单，理论分析最方便，上一讲五点格式的基础
正则内点	差分模板 \(D_{L_h}(\boldsymbol{j}) \subset \overline{\Omega}\) 的内部节点	可直接使用标准中心差分格式，无需额外处理边界
非正则内点	差分模板超出区域的内部节点	需结合边界条件构造特殊差分格式，是一般曲边区域差分方法的核心难点
控制体	以节点为中心的n维长方体 \(\omega_{\boldsymbol{j}}\)，体积 \(V_{\boldsymbol{j}}\)	有限体积法的核心，连接离散网格函数与连续函数空间的桥梁
网格函数 \(\mathbb{L}^\infty\) 范数	\(|U|_\infty = \max_{\boldsymbol{j}\in J} |U_{\boldsymbol{j}}|\)	刻画解的最大误差，直观易懂，适合最大值原理下的稳定性分析
网格函数 \(\mathbb{L}^2\) 范数	\(|U|_2 = \left( \sum V_{\boldsymbol{j}} |U_{\boldsymbol{j}}|^2 \right)^{1/2}\)	对应连续空间的能量范数，是椭圆型方程能量估计、误差分析的核心工具