1.2模型问题的差分逼近+硕博授课

二维Poisson方程Dirichlet问题的有限差分法详解

各位同学，今天我们讲解椭圆型偏微分方程数值解法的核心基础——单位正方形域上Poisson方程Dirichlet边值问题的五点差分格式。这一内容是偏微分方程数值解的入门基石，完整覆盖了「连续问题离散化→差分格式构造→数值方法三大核心性质（相容性、稳定性、收敛性）分析」的全流程，是后续所有复杂椭圆型方程数值方法的理论与方法原型。

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一、模型问题与计算网格剖分

1. 模型问题的数学与物理背景

我们研究的是平面单位正方形区域 \(\Omega=(0,1)\times(0,1)\) 上的Poisson方程Dirichlet边值问题：

\[\begin{cases} -\Delta u(x,y) = f(x,y), & \forall(x,y)\in\Omega, \\ u(x,y) = u_D(x,y), & \forall(x,y)\in\partial\Omega. \end{cases} \tag{1.2.1} \]

• 数学本质：这是我们上一讲定义的二阶线性一致椭圆型方程的最典型范例，Laplace算子 \(\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\) 是标准的二阶一致椭圆型微分算子。
• 物理意义：描述稳态平衡问题，例如：
  • 稳态热传导：\(u\) 为温度场，\(f\) 为内热源密度，边界温度固定为 \(u_D\)；
  • 静电场：\(u\) 为电势，\(f\) 为电荷密度，边界电势固定；
  • 理想流体定常有势流：\(u\) 为速度势，边界法向速度固定。

2. 计算网格的构造与节点分类

有限差分法的核心是将连续的区域离散为有限个网格节点，把连续函数转化为节点上的离散网格函数。

（1）网格参数定义

取x、y方向的空间步长相等（正方形网格）：\(\Delta x=\Delta y=h=\frac{1}{N}\)，其中\(N\)为正整数，代表每个方向的网格分段数。

• 网格线：\(x_i = i\Delta x = ih\)（\(i=0,1,\dots,N\)），\(y_j = j\Delta y = jh\)（\(j=0,1,\dots,N\)）；
• 网格节点：网格线的交点 \((x_i,y_j)\)，简称为节点 \((i,j)\)，覆盖整个闭区域 \(\overline{\Omega}\)。

（2）节点分类

我们将节点分为两类，对应边值问题的控制方程与边界条件：

节点类型	指标集定义	节点特征	函数取值特点
边界节点	\(J_D = \{(i,j) | (x_i,y_j)\in\partial\Omega\}\)	位于区域边界 \(\partial\Omega\) 上，即 \(i=0\) 或 \(i=N\) 或 \(j=0\) 或 \(j=N\)	取值由Dirichlet边界条件直接给定，为已知量
内部节点	\(J_\Omega = J \setminus J_D\)	位于区域内部，即 \(i,j=1,2,\dots,N-1\)	取值为待求的未知量，共 \((N-1)\times(N-1)\) 个

（3）函数记号约定

• 真解（微分方程的精确解）在节点 \((i,j)\) 处的取值：\(u_{i,j}=u(x_i,y_j)\)；
• 右端项在节点处的取值：\(f_{i,j}=f(x_i,y_j)\)；
• 差分方程的数值解（网格函数）在节点处的取值：\(U_{i,j}\)，是我们要求解的未知量。

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二、五点差分格式的构造

有限差分法的核心思想是用差商代替微商，将连续的微分算子转化为离散的差分算子，从而把偏微分方程转化为线性代数方程组。

1. 二阶偏导数的中心差商逼近

首先回顾一元函数二阶导数的差商逼近：对充分光滑的函数 \(g(x)\)，在点 \(x_0\) 处做泰勒展开，可得二阶中心差商：

\[g''(x_0) = \frac{g(x_0-h) - 2g(x_0) + g(x_0+h)}{h^2} + O(h^2) \]

• 核心优势：中心差商的截断误差为二阶精度 \(O(h^2)\)，远高于向前/向后差商的一阶精度 \(O(h)\)，且格式对称，完美适配Laplace算子的对称性。

2. 二维Laplace算子的差分逼近

二维Laplace算子 \(\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\)，我们对x、y方向的二阶偏导数分别用二阶中心差商代替：

• x方向二阶偏导：\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\bigg|_{(x_i,y_j)} \approx \frac{u_{i-1,j} - 2u_{i,j} + u_{i+1,j}}{h^2}\)
• y方向二阶偏导：\(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\bigg|_{(x_i,y_j)} \approx \frac{u_{i,j-1} - 2u_{i,j} + u_{i,j+1}}{h^2}\)

将两者相加，得到Laplace算子的差分逼近：

\[\Delta u_{i,j} \approx \frac{u_{i-1,j} + u_{i+1,j} + u_{i,j-1} + u_{i,j+1} - 4u_{i,j}}{h^2} \]

3. 五点差分格式的最终形式

原控制方程为 \(-\Delta u = f\)，将上述差分逼近代入，把真解 \(u_{i,j}\) 替换为数值解 \(U_{i,j}\)，得到Poisson方程的五点差分格式：

\[-L_h U_{i,j} \triangleq \frac{4U_{i,j} - U_{i-1,j} - U_{i+1,j} - U_{i,j-1} - U_{i,j+1}}{h^2} = f_{i,j}, \quad \forall(i,j)\in J_\Omega \tag{1.2.2} \]

• 「五点」的含义：每个内部节点的方程，仅用到节点 \((i,j)\) 自身及其上下左右四个相邻节点，共5个网格节点，因此称为五点差分格式（也叫五点星型格式）。
• 边界条件的离散：Dirichlet边界条件直接离散为：
  \[U_{i,j} = u_D(x_i,y_j), \quad \forall(i,j)\in J_D \tag{1.2.3} \]

4. 离散线性方程组的性质

将边界节点的已知值代入内部节点的差分方程，即可得到 \((N-1)\times(N-1)\) 阶的线性代数方程组，该方程组具有以下核心性质：

1. 稀疏性：系数矩阵每行最多有5个非零元素，是高度稀疏的矩阵，大幅降低计算与存储开销；
2. 对称正定性：系数矩阵为对称正定矩阵，保证方程组的解存在且唯一；
3. 可解性：可通过共轭梯度法、多重网格法等高效迭代算法快速求解，是工程中最常用的Poisson方程求解格式。

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三、差分格式的误差分析与相容性

数值方法的核心要求是「离散模型能正确逼近连续模型」，我们通过截断误差与相容性来刻画这一性质。

1. 核心误差概念定义

我们首先明确两个核心误差的区别，这是误差分析的基础：

误差类型	定义与数学表达	物理意义
局部截断误差 \(T_{i,j}\)	\(T_{i,j} = [(L_h - L)u]_{i,j} = L_h u_{i,j} - (L u)_{i,j} = L_h u_{i,j} + f_{i,j}\)	差分算子与微分算子在单个节点上的逼近误差，反映离散格式对微分方程的局部逼近程度
全局离散误差 \(e_{i,j}\)	\(e_{i,j} = U_{i,j} - u_{i,j}\)	数值解与真解在节点上的差值，反映整个区域上数值解的整体逼近精度

2. 截断误差的阶数推导

我们通过泰勒展开推导五点格式的截断误差阶数。对充分光滑的真解 \(u\)，将 \(u_{i\pm1,j}\)、\(u_{i,j\pm1}\) 在节点 \((x_i,y_j)\) 处做四阶泰勒展开：

\[u_{i+1,j} = u_{i,j} + h \frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{i,j} + \frac{h^2}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\bigg|_{i,j} + \frac{h^3}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\bigg|_{i,j} + \frac{h^4}{24} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\bigg|_{i,j} + O(h^5) \]

\[u_{i-1,j} = u_{i,j} - h \frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{i,j} + \frac{h^2}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\bigg|_{i,j} - \frac{h^3}{6} \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}\bigg|_{i,j} + \frac{h^4}{24} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\bigg|_{i,j} + O(h^5) \]

两式相加消去奇次项，整理得：

\[\frac{u_{i-1,j} - 2u_{i,j} + u_{i+1,j}}{h^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\bigg|_{i,j} + \frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial x^4}\bigg|_{i,j} + O(h^4) \]

同理，y方向的差商展开为：

\[\frac{u_{i,j-1} - 2u_{i,j} + u_{i,j+1}}{h^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\bigg|_{i,j} + \frac{h^2}{12} \frac{\partial^4 u}{\partial y^4}\bigg|_{i,j} + O(h^4) \]

将两式相加，代入差分算子 \(L_h\) 的定义，结合原方程 \(L u = -\Delta u = -f\)，最终得到截断误差的表达式：

\[T_{i,j} = \frac{1}{12}h^2\left( \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} + \frac{\partial^4 u}{\partial y^4} \right)\bigg|_{i,j} + \frac{1}{360}h^4\left( \frac{\partial^6 u}{\partial x^6} + \frac{\partial^6 u}{\partial y^6} \right)\bigg|_{i,j} + O(h^6) \tag{1.2.7} \]

3. 相容性定义与验证

（1）相容性的数学定义

差分格式与微分方程相容，是指对充分光滑的真解，局部截断误差的无穷范数随步长h趋于0而趋于0，即：

\[\lim_{h\to0} \|T_h\|_\infty = \lim_{h\to0} \max_{(i,j)\in J_\Omega} |T_{i,j}| = 0 \tag{1.2.6} \]

• 物理意义：当网格足够密（h→0）时，离散的差分方程能无限逼近原连续的微分方程，离散模型没有本质的模型误差。

（2）五点格式的相容性验证

从截断误差的表达式可知，\(\|T_h\|_\infty = O(h^2)\)，显然满足 \(\lim_{h\to0}\|T_h\|_\infty=0\)，因此：

• 五点差分格式与Poisson方程是相容的；
• 截断误差为二阶精度，因此格式是二阶相容的。

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四、差分格式的稳定性分析

相容性仅保证了格式的局部逼近能力，而稳定性保证了格式的全局可解性，是数值方法的核心性质。

1. 稳定性的数学定义

我们称差分格式在 \(L^\infty\) 范数意义下是稳定的，若存在与步长h无关的常数C，使得对任意右端项 \(f_{i,j}\) 和边界条件 \(u_D\)，差分方程的解满足：

\[\max_{(i,j)\in J} |U_{i,j}| \leq C\left( \max_{(i,j)\in J_\Omega} |f_{i,j}| + \max_{(i,j)\in J_D} |u_D(x_i,y_j)| \right) \tag{1.2.8} \]

• 核心本质：右端项和边界条件的微小扰动，不会导致数值解的无限放大；差分方程是「良态」的，不会因网格加密（h减小）而变得病态。

2. 证明稳定性的核心工具：离散最大值原理

稳定性的证明基于椭圆型方程连续最大值原理的离散版本——离散最大值原理：

对任意定义在网格节点集J上的网格函数 \(\Psi\)，若 \(L_h \Psi \geq 0\)，则 \(\Psi\) 不可能在内部节点集 \(J_\Omega\) 上取到非负的最大值，除非 \(\Psi\) 是常数；反之，若 \(L_h \Psi \leq 0\)，则 \(\Psi\) 不可能在内部节点集上取到非正的最小值，除非 \(\Psi\) 是常数。

证明思路：若 \(\Psi\) 在内部节点 \((i,j)\) 取到非负最大值 \(M\geq0\)，则其四个相邻节点的函数值均不超过M，因此：

\[L_h \Psi_{i,j} = \frac{\Psi_{i-1,j} + \Psi_{i+1,j} + \Psi_{i,j-1} + \Psi_{i,j+1} - 4\Psi_{i,j}}{h^2} \leq \frac{M+M+M+M -4M}{h^2} = 0 \]

结合 \(L_h \Psi \geq0\) 的条件，只能有 \(L_h \Psi_{i,j}=0\)，即所有相邻节点的函数值均等于M，递推可得整个区域的 \(\Psi\) 均为常数M，因此最大值只能在边界上取到。

3. 基于比较函数的稳定性证明

我们通过构造比较函数，结合离散最大值原理完成稳定性证明：

1. 记 \(F = \max_{(i,j)\in J_\Omega} |f_{i,j}|\)，构造辅助函数 \(\Phi(x,y) = (x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{1}{2})^2\)，该函数在 \(\overline{\Omega}\) 上的最大值为 \(\frac{1}{2}\)（在四个角点取到），且 \(L_h \Phi = 4 + O(h^2) \geq 2\)（h足够小时）。
2. 构造第一个比较函数：\(\Psi_{i,j} = U_{i,j} + \frac{1}{4}F \Phi_{i,j}\)，计算得：
   \[L_h \Psi = L_h U + \frac{1}{4}F L_h \Phi = -f_{i,j} + \frac{1}{4}F L_h \Phi \geq -|f_{i,j}| + \frac{F}{2} \geq 0 \]
   根据最大值原理，\(\Psi\) 的最大值在边界上取到，因此：
   \[\Psi_{i,j} \leq \max_{J_D} \Psi_{i,j} \leq \max_{J_D} |u_D| + \frac{1}{4}F \cdot \frac{1}{2} = \max_{J_D} |u_D| + \frac{F}{8} \]
   即 \(U_{i,j} \leq \max_{J_D} |u_D| + \frac{1}{8}\max_{J_\Omega} |f_{i,j}|\)。
3. 构造第二个比较函数：\(\Psi_{i,j} = -U_{i,j} + \frac{1}{4}F \Phi_{i,j}\)，同理可得：
   \[-U_{i,j} \leq \max_{J_D} |u_D| + \frac{F}{8} \implies U_{i,j} \geq -\max_{J_D} |u_D| - \frac{F}{8} \]

结合两个不等式，最终得到稳定性估计：

\[\max_{(i,j)\in J} |U_{i,j}| \leq \max_{J_D} |u_D| + \frac{1}{8}\max_{J_\Omega} |f_{i,j}| \]

完全满足稳定性的定义，其中常数C=1，与h无关，因此五点差分格式是稳定的。

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五、差分格式的收敛性分析

收敛性是数值方法的最终目标，刻画了数值解是否能随网格加密收敛到真解。

1. 收敛性的数学定义

称差分格式是收敛的，若当步长h→0时，全局离散误差的无穷范数趋于0，即：

\[\lim_{h\to0} \|e\|_\infty = \lim_{h\to0} \max_{(i,j)\in J} |U_{i,j} - u_{i,j}| = 0 \]

若 \(\|e\|_\infty = O(h^k)\)，则称格式是k阶收敛的。

2. 误差方程的推导

我们首先推导全局误差满足的方程：

• 数值解满足：\(-L_h U_{i,j} = f_{i,j}\)
• 真解满足：\(-L_h u_{i,j} = f_{i,j} - T_{i,j}\)（由截断误差的定义直接得到）

两式相减，消去右端项f，得到误差方程：

\[-L_h e_{i,j} = T_{i,j}, \quad \forall(i,j)\in J_\Omega \]

边界上，\(e_{i,j} = U_{i,j} - u_{i,j} = u_D - u_D = 0\)，即误差满足齐次Dirichlet边界条件。

3. 收敛性证明与收敛阶

误差方程是一个右端项为截断误差 \(T_{i,j}\)、边界条件为0的差分方程，我们直接应用之前证明的稳定性估计：

\[\|e\|_\infty \leq C \cdot \|T_h\|_\infty \]

结合五点格式的截断误差 \(\|T_h\|_\infty = O(h^2)\)，最终得到：

\[\|e\|_\infty = O(h^2) \]

因此，五点差分格式是在L∞范数下二阶收敛的，当h→0时，数值解收敛到真解。

4. 核心定理：Lax等价定理

这里我们引出偏微分方程数值解法的核心基石——Lax等价定理：

对于适定的线性偏微分方程的线性差分格式，收敛性等价于相容性+稳定性。

这一定理告诉我们：对于线性问题，我们无需直接证明收敛性，只需验证格式的相容性与稳定性，即可保证格式的收敛性，且收敛阶与相容阶一致。我们的五点格式是二阶相容、稳定的，因此必然是二阶收敛的，完美符合Lax等价定理。

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六、核心知识点归纳总结

核心模块	关键概念	数学定义/核心公式	核心性质与结论
模型与网格剖分	Poisson方程Dirichlet问题	\(\begin{cases}-\Delta u=f, & (x,y)\in\Omega \\ u=u_D, & (x,y)\in\partial\Omega\end{cases}\)	二阶线性一致椭圆型方程，描述稳态平衡问题，解存在唯一
	网格节点分类	边界节点\(J_D\)、内部节点\(J_\Omega\)	未知量为内部节点的\(U_{i,j}\)，共\((N-1)^2\)个
差分格式构造	二阶中心差商	\(u''(x)\approx\frac{u(x-h)-2u(x)+u(x+h)}{h^2}\)	截断误差\(O(h^2)\)，二阶精度，对称适配Laplace算子
	五点差分格式	\(\frac{4U_{i,j}-U_{i-1,j}-U_{i+1,j}-U_{i,j-1}-U_{i,j+1}}{h^2}=f_{i,j}\)	五点星型结构，稀疏对称正定，解存在唯一
误差与相容性	局部截断误差\(T_{i,j}\)	\(T_{i,j}=L_h u_{i,j} - L u_{i,j}\)	五点格式\(T_{i,j}=O(h^2)\)，二阶截断误差
	相容性	\(\lim_{h\to0}|T_h|_\infty=0\)	五点格式满足相容性，二阶相容
稳定性分析	稳定性定义	\(|U|_\infty \leq C(|f|_\infty + |u_D|_\infty)\)，C与h无关	保证数值解不会被右端项/边界扰动无限放大
	离散最大值原理	\(L_h\Psi\geq0\)时，\(\Psi\)的非负最大值在边界取到	椭圆型方程离散格式的核心性质，是稳定性证明的关键工具
收敛性分析	全局离散误差\(e_{i,j}\)	\(e_{i,j}=U_{i,j}-u_{i,j}\)	反映数值解的整体逼近精度
	收敛性	\(\lim_{h\to0}|e|_\infty=0\)	五点格式二阶收敛，\(|e|_\infty=O(h^2)\)
	Lax等价定理	线性适定问题：收敛性 ⇔ 相容性 + 稳定性	线性偏微分方程数值方法的核心准则