1.6.1次序统计量基本分布

次序统计量知识点深度讲解

各位同学，今天我们用一整段的时间，把次序统计量这个统计学核心知识点彻底讲透。我从事统计学教学与研究六十余年，这个知识点是参数统计与非参数统计的共同基础，既是概率论到数理统计的关键桥梁，也是后续极值理论、非参数检验、质量控制等方向的核心工具，我们从定义到推导、从直觉到应用，一步一步拆解，确保大家不仅会算公式，更懂背后的逻辑。

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一、次序统计量的核心定义与前提约定

1. 什么是次序统计量

我们拿到一组独立同分布（i.i.d.）的样本 \(X_1,X_2,\dots,X_n\)，这些样本是无序的——比如我们随机抽取5个学生的考试成绩，抽出来的顺序是随机的，没有大小约束。
而次序统计量，就是把这组样本从小到大严格排序后得到的统计量，定义为：

\[X_{(1)} \leqslant X_{(2)} \leqslant \dots \leqslant X_{(n)} \]

也常记为 \(Y_1 \leqslant Y_2 \leqslant \dots \leqslant Y_n\)，其中 \(Y_i = X_{(i)}\)。

这里有三个必须先刻在脑子里的关键概念：

• \(X_{(1)} = \min_{1\leqslant i\leqslant n}\{X_i\}\)：最小次序统计量，也就是样本最小值
• \(X_{(n)} = \max_{1\leqslant i\leqslant n}\{X_i\}\)：最大次序统计量，也就是样本最大值
• \(R = X_{(n)} - X_{(1)}\)：极差，衡量样本的波动范围，是工业质量控制、描述性统计里最常用的统计量之一

⚠️ 第一个核心误区提醒：原样本 \(X_1,\dots,X_n\) 是独立同分布的，但次序统计量 \(X_{(1)},\dots,X_{(n)}\) 一定不独立——因为排序后天然存在约束 \(X_{(1)} \leqslant X_{(2)} \leqslant \dots \leqslant X_{(n)}\)，前一个统计量的取值直接限制了后一个的取值范围，这是后续所有推导的基础。

2. 全章推导的核心前提约定

我们后续所有的分布推导，都基于两个严格前提，这两个前提不是可有可无的，是为了彻底简化问题、避免逻辑漏洞：

1. 样本 \(X_1,\dots,X_n\) 是独立同分布（i.i.d.）的随机变量；
2. 总体是绝对连续型分布，概率密度为 \(f(x)\)，分布函数为 \(F(x)\)。

为什么要限定绝对连续型？因为绝对连续型分布有一个关键性质：任意两个样本取值相等的概率为0，即 \(P(X_i = X_j)=0, i\neq j\)。
这意味着我们可以认为排序后的次序统计量是严格递增的，即 \(P(X_{(1)} < X_{(2)} < \dots < X_{(n)}) = 1\)，完全不用考虑“样本打结（多个样本取值相等）”的情况，所有“多个样本落在同一个无穷小微区间”的概率都是高阶无穷小，可以直接忽略，这是我们用“微元法”推导密度函数的核心基础。

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二、单个次序统计量的分布（核心公式1.6.1）

我们先解决最基础的问题：第 \(i\) 个次序统计量 \(X_{(i)}\) 的概率密度函数是什么？

1. 先讲公式的直觉，再做严谨推导

先把核心公式写出来：

\[f_{(i)}(y) = \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} f(y) [F(y)]^{i-1} [1-F(y)]^{n-i} \tag{1.6.1} \]

很多同学背这个公式很痛苦，其实只要理解了它的概率意义，一辈子都忘不掉。我们要找的是“第 \(i\) 个次序统计量取值为 \(y\)”的密度，它等价于一个三项分布的概率问题：

要让第 \(i\) 个次序统计量落在 \(y\) 附近，必须满足：

1. \(n\) 个样本里，恰好有 \(i-1\) 个样本 \(\leqslant y\)；
2. 恰好有 \(1\) 个样本落在 \(y\) 附近的微小区间 \((y,y+dy]\)；
3. 剩下的 \(n-i\) 个样本全部 \(> y\)。

这三个条件同时满足，才能让第 \(i\) 个次序统计量正好落在 \((y,y+dy]\) 里，没有其他可能（其他情况都是高阶无穷小，后面会证明）。

那这个事件的概率怎么算？

• 组合数：把 \(n\) 个样本分成3组，第一组 \(i-1\) 个，第二组 \(1\) 个，第三组 \(n-i\) 个，分法总数是多项式组合数 \(\frac{n!}{(i-1)! \cdot 1! \cdot (n-i)!}\)，也就是公式里的系数 \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)；
• 第一组的概率：一个样本 \(\leqslant y\) 的概率是 \(F(y)\)，\(i-1\) 个就是 \([F(y)]^{i-1}\)；
• 第二组的概率：一个样本落在 \((y,y+dy]\) 的概率是 \(F(y+dy)-F(y) = f(y)dy + o(dy)\)，当 \(dy\to0\) 时，近似为 \(f(y)dy\)；
• 第三组的概率：一个样本 \(>y\) 的概率是 \(1-F(y)\)，\(n-i\) 个就是 \([1-F(y)]^{n-i}\)。

把这些乘起来，就是这个事件的概率，再除以 \(dy\) 取极限，就得到了密度函数，这就是公式1.6.1的本质。

2. 严谨的数学证明

我们从概率密度的定义出发，对于连续型随机变量 \(Y_i=X_{(i)}\)，有：

\[P\{y < Y_i \leqslant y+dy\} = F_{(i)}(y+dy) - F_{(i)}(y) = f_{(i)}(y)dy + o(dy) \]

其中 \(o(dy)\) 是 \(dy\) 的高阶无穷小，即 \(\lim_{dy\to0} \frac{o(dy)}{dy}=0\)。

接下来我们从次序统计量的定义出发，计算 \(P\{y < Y_i \leqslant y+dy\}\)：
这个事件可以拆分为两部分：

• \(P_1\)：\(n\) 个样本中，有 \(i-1\) 个 \(\leqslant y\)，1个落在 \((y,y+dy]\)，剩下 \(n-i\) 个 \(> y+dy\)；
• \(P_2\)：其他所有情况（比如有2个样本落在 \((y,y+dy]\)、\(i-2\) 个样本 \(\leqslant y\) 且2个落在 \((y,y+dy]\) 等）。

我们先证明 \(P_2=o(dy)\)：对于连续型分布，2个及以上样本落在长度为 \(dy\) 的区间里的概率，与 \((dy)^2\) 成正比，也就是 \(O((dy)^2)\)，显然是 \(dy\) 的高阶无穷小，因此 \(P_2=o(dy)\)，可以忽略。

接下来计算 \(P_1\)，这是一个标准的多项分布概率：

\[P_1 = \frac{n!}{(i-1)! \cdot 1! \cdot (n-i)!} \cdot [F(y)]^{i-1} \cdot [f(y)dy] \cdot [1-F(y)]^{n-i} \]

因此我们有：

\[P\{y < Y_i \leqslant y+dy\} = P_1 + o(dy) = f_{(i)}(y)dy + o(dy) \]

两边同时除以 \(dy\)，令 \(dy\to0\)，高阶无穷小项趋于0，最终得到：

\[f_{(i)}(y) = \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} f(y) [F(y)]^{i-1} [1-F(y)]^{n-i} \]

推导完成，和我们的直觉完全一致。

3. 分布函数的Beta分布表示

教材里提到，\(X_{(i)}\) 的分布函数可以表示为正则化不完全Beta函数：

\[F_{(i)}(y) = I_{F(y)}(i, n-i+1) \]

这里给大家讲清楚这个结论的来源，不用死记硬背：
首先回忆Beta分布的定义：参数为 \(a,b\) 的Beta分布 \(Be(a,b)\)，概率密度为：

\[f(x) = \frac{1}{B(a,b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}, \quad 0<x<1 \]

其中 \(B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\)，当 \(a,b\) 为正整数时，\(B(a,b)=\frac{(a-1)!(b-1)!}{(a+b-1)!}\)。

我们对 \(f_{(i)}(y)\) 做变量替换，令 \(u=F(t)\)，则 \(du=f(t)dt\)，分布函数为：

\[F_{(i)}(y) = \int_{-\infty}^y f_{(i)}(t)dt = \int_{0}^{F(y)} \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} u^{i-1}(1-u)^{n-i} du \]

注意到 \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(i)\Gamma(n-i+1)} = \frac{1}{B(i, n-i+1)}\)，因此：

\[F_{(i)}(y) = \int_{0}^{F(y)} \frac{1}{B(i, n-i+1)} u^{i-1}(1-u)^{(n-i+1)-1} du \]

这正好就是正则化不完全Beta函数 \(I_{F(y)}(i, n-i+1)\) 的定义，这个结论的价值在于：Beta分布的数值有成熟的表格和计算工具，我们可以直接用它来计算次序统计量的分布概率，不用再做复杂积分。

4. 两个核心推论

推论1：最小值与最大值的密度函数

这是公式1.6.1的直接特例，也是最常用的两个结论：

• 当 \(i=1\) 时，就是最小次序统计量 \(X_{(1)}\)，代入公式得：

  \[f_{(1)}(y) = n f(y) [1-F(y)]^{n-1} \tag{1.6.2} \]

  直觉：最小值落在 \(y\) 附近，等价于1个样本在 \(y\) 处，剩下 \(n-1\) 个样本都大于 \(y\)，组合数 \(C_n^1=n\)，和公式完全一致。

• 当 \(i=n\) 时，就是最大次序统计量 \(X_{(n)}\)，代入公式得：

  \[f_{(n)}(y) = n f(y) [F(y)]^{n-1} \tag{1.6.3} \]

  直觉：最大值落在 \(y\) 附近，等价于1个样本在 \(y\) 处，剩下 \(n-1\) 个样本都小于等于 \(y\)，组合数 \(C_n^1=n\)，完全符合逻辑。

这里给大家一个验证方法：最大值的分布函数可以直接用独立性推导：

\[F_{(n)}(y) = P(X_{(n)} \leqslant y) = P(\text{所有}X_i \leqslant y) = [F(y)]^n \]

对 \(y\) 求导，正好得到 \(f_{(n)}(y)=n[F(y)]^{n-1}f(y)\)，和我们的结论一致，验证了推导的正确性。

推论2：均匀分布的次序统计量服从Beta分布

如果总体服从 \((0,1)\) 上的均匀分布 \(R(0,1)\)，则第 \(i\) 个次序统计量 \(X_{(i)} \sim Be(i, n-i+1)\)，即：

\[X_{(i)} \sim BE(i, n-i+1) \tag{1.6.4} \]

这个结论是非参数统计的核心基石，推导非常直接：
均匀分布 \(R(0,1)\) 在 \(0<y<1\) 时，\(f(y)=1\)，\(F(y)=y\)，代入公式1.6.1得：

\[f_{(i)}(y) = \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} y^{i-1} (1-y)^{n-i}, \quad 0<y<1 \]

这正好是Beta分布 \(Be(i, n-i+1)\) 的概率密度，推导完成。

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三、两个次序统计量的联合分布

接下来我们进阶一步，研究两个次序统计量 \((X_{(i)}, X_{(j)})\)（\(i<j\)）的联合概率密度，这是推导极差、中位数、四分位距等统计量分布的基础。

1. 核心公式与直觉

联合密度公式为：

\[\begin{aligned} f(y,z) =& \frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!} f(y)f(z) [F(y)]^{i-1} \\ & \cdot [F(z)-F(y)]^{j-i-1} [1-F(z)]^{n-j} I\{y < z\} \end{aligned} \tag{1.6.5} \]

其中 \(I\{y<z\}\) 是指示函数，当 \(y<z\) 时取1，否则取0（因为 \(i<j\)，所以必然有 \(X_{(i)} < X_{(j)}\)）。

还是先讲直觉，这个公式本质是一个五项分布的概率问题：

要让 \(X_{(i)}\) 落在 \((y,y+dy]\)、\(X_{(j)}\) 落在 \((z,z+dz]\)（\(y<z\)），必须满足：

1. \(n\) 个样本里，恰好有 \(i-1\) 个 \(\leqslant y\)；
2. 恰好有1个落在 \((y,y+dy]\)；
3. 恰好有 \(j-i-1\) 个落在 \((y, z]\)；
4. 恰好有1个落在 \((z,z+dz]\)；
5. 剩下的 \(n-j\) 个全部 \(> z\)。

同样，其他情况（比如多个样本落在微小区间）都是高阶无穷小，可以忽略。

组合数就是把 \(n\) 个样本分成5组的多项式组合数：\(\frac{n!}{(i-1)! \cdot 1! \cdot (j-i-1)! \cdot 1! \cdot (n-j)!}\)，也就是公式里的系数，和我们的直觉完全对应。

2. 严谨证明

从联合密度的定义出发，对于二维连续型随机变量，有：

\[P\{y<X_{(i)}\leqslant y+dy, z<X_{(j)}\leqslant z+dz\} = f(y,z) dydz + o(\rho) \]

其中 \(\rho=\sqrt{dy^2+dz^2}\)，\(o(\rho)\) 是 \(\rho\) 的高阶无穷小。

和单个次序统计量的推导逻辑一致，这个事件的主项是“每个微小区间恰好有1个样本”的情况，其他情况都是 \(o(\rho)\)，可以忽略。

主项 \(P_1\) 的多项式概率为：

\[P_1 = \frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!} \cdot [F(y)]^{i-1} \cdot [f(y)dy] \cdot [F(z)-F(y)]^{j-i-1} \cdot [f(z)dz] \cdot [1-F(z)]^{n-j} \]

两边除以 \(dydz\)，令 \(\rho\to0\)，高阶无穷小项趋于0，最终得到公式1.6.5，推导完成。

3. 两个核心推论

推论1：最小值与最大值的联合密度

这是公式1.6.5的特例，取 \(i=1, j=n\)，代入得：

\[f(y,z) = n(n-1) f(y)f(z) [F(z)-F(y)]^{n-2} I\{y < z\} \tag{1.6.6} \]

直觉非常好理解：最小值在 \(y\)、最大值在 \(z\)，等价于1个样本在 \(y\)、1个样本在 \(z\)，剩下 \(n-2\) 个样本全部落在 \((y,z)\) 之间，组合数 \(C_n^1 \cdot C_{n-1}^1 = n(n-1)\)，和公式完全一致。

推论2：极差的分布

极差 \(R=X_{(n)}-X_{(1)}\)，也就是最大值减最小值，是衡量样本波动的核心统计量，它的概率密度为：

\[h(r) = n(n-1) \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f(t+r) [F(t+r)-F(t)]^{n-2} dt, \quad r>0 \tag{1.6.7} \]

这个公式的推导，用的是二维随机变量函数的雅可比变换法，步骤非常清晰：

1. 做变量替换：令 \(R = Z-Y\)，\(T=Y\)，其中 \(Y=X_{(1)}, Z=X_{(n)}\)，反解得到 \(Y=T\)，\(Z=T+R\)；
2. 计算雅可比行列式：
   \[J = \frac{\partial(Y,Z)}{\partial(T,R)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial Y}{\partial T} & \frac{\partial Y}{\partial R} \\ \frac{\partial Z}{\partial T} & \frac{\partial Z}{\partial R} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \]
   雅可比行列式的绝对值 \(|J|=1\)；
3. 代入联合密度公式，得到 \((T,R)\) 的联合密度：
   \[f_{T,R}(t,r) = f_{Y,Z}(t, t+r) \cdot |J| = n(n-1) f(t)f(t+r) [F(t+r)-F(t)]^{n-2}, \quad r>0 \]

4. 对 \(t\) 积分求 \(R\) 的边缘密度，就得到了公式1.6.7，推导完成。

举个常用的例子：如果总体是 \(R(0,1)\) 均匀分布，代入公式可得极差 \(R \sim Be(n-1, 2)\)，大家可以自己推导验证，这个结论在非参数统计里经常用到。

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四、多个次序统计量的联合分布

最后我们推广到更一般的情况：前 \(r\) 个次序统计量的联合分布，以及所有次序统计量的联合分布。

1. 前 \(r\) 个次序统计量的联合密度

前 \(r\) 个次序统计量 \(X_{(1)},\dots,X_{(r)}\) 的联合密度为：

\[f(y_1,\dots,y_r) = \frac{n!}{(n-r)!} f(y_1)\cdots f(y_r) [1-F(y_r)]^{n-r} I\{y_1 < \dots < y_r\} \tag{1.6.8} \]

还是先讲直觉：要让前 \(r\) 个次序统计量分别落在 \(r\) 个微小区间里，等价于 \(r\) 个样本分别落在这 \(r\) 个区间（每个区间1个），剩下的 \(n-r\) 个样本全部大于 \(y_r\)。
组合数是从 \(n\) 个样本里有序选 \(r\) 个的排列数 \(P_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}\)，和公式里的系数完全对应，推导逻辑和前面完全一致，这里不再重复展开。

2. 所有次序统计量的联合密度

当 \(r=n\) 时，就得到了所有次序统计量的联合密度：

\[f(y_1,\dots,y_n) = n! f(y_1)\cdots f(y_n) I\{y_1 < y_2 < \dots < y_n\} \tag{1.6.9} \]

这个结论是整个次序统计量理论的“终极结论”，直觉非常深刻：
原样本 \(X_1,\dots,X_n\) 的联合密度是 \(f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)\)（独立同分布），而对于任意一组严格递增的 \(y_1<\dots<y_n\)，有 \(n!\) 种原样本的排列方式，排序后都能得到这组次序统计量，因此次序统计量的联合密度就是原联合密度乘以 \(n!\)，完美符合公式。

最经典的特例：\((0,1)\) 均匀分布的所有次序统计量，联合密度为 \(f(y_1,\dots,y_n)=n!\)，\(0<y_1<\dots<y_n<1\)，这就是 \(n\) 维单纯形上的均匀分布，是非参数秩检验的核心基础。

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五、总结与应用价值

最后，我们把整个知识点的核心逻辑串起来，给大家梳理清楚它的应用价值：

1. 核心逻辑：所有次序统计量的分布推导，本质都是微元法+多项分布——把次序统计量落在微小区间的概率，转化为原样本在不同区间的计数概率，忽略高阶无穷小后得到密度函数，所有公式都可以用这个逻辑推导，不用死记硬背。
2. 核心记忆点：
   • 单个次序统计量：3个区间，多项式组合数 \(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\)
   • 两个次序统计量：5个区间，多项式组合数 \(\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}\)
   • 全次序统计量：\(n!\) 种排列，系数为 \(n!\)
3. 应用价值：
   • 参数统计：极值理论（洪水、地震、金融风险预测）、寿命数据分析，都基于最大/最小次序统计量的分布；
   • 非参数统计：符号检验、秩和检验、游程检验等经典方法，全部基于均匀分布次序统计量的Beta分布性质；
   • 应用统计：质量控制的极差控制图、描述性统计的中位数/四分位数/百分位数，都是次序统计量的直接应用。

这个知识点是统计学的“基本功”，只有把它的逻辑彻底吃透，后续的数理统计内容才能学扎实，不会出现“知其然不知其所以然”的问题。

次序统计量知识点全归纳表格汇总

以下表格严格对应教材公式与推导逻辑，从基础定义、核心分布、高频推论到应用映射，完整覆盖全知识点，可直接用于学习、备课与公式速查。

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表1 基础定义与核心前提约定

分类	核心内容	关键说明与备注
次序统计量定义	对独立同分布（i.i.d.）样本 \(X_1,X_2,\dots,X_n\) 从小到大排序，记为 \(X_{(1)} \leqslant X_{(2)} \leqslant \dots \leqslant X_{(n)}\)，其中 \(X_{(i)}\) 称为第 \(i\) 个次序统计量	原样本独立同分布，但次序统计量不独立，存在天然的大小约束关系
核心衍生统计量	1. 最小次序统计量：\(X_{(1)} = \min_{1\leqslant i\leqslant n} \{X_i\}\) 2. 最大次序统计量：\(X_{(n)} = \max_{1\leqslant i\leqslant n} \{X_i\}\) 3. 极差：\(R = X_{(n)} - X_{(1)}\)	极差是衡量样本离散程度的最简统计量，广泛用于工业质量控制、描述性统计
全量推导核心前提	1. 样本 \(X_1,\dots,X_n\) 为i.i.d.样本 2. 总体为绝对连续型分布，概率密度为 \(f(x)\)，分布函数为 \(F(x)\)	绝对连续型保证 \(P(X_i=X_j)=0\ (i≠j)\)，即 \(P(X_{(1)}<X_{(2)}<\dots<X_{(n)})=1\)，可忽略样本打结与高阶无穷小项

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表2 核心概率密度函数（PDF）汇总

统计量类型	概率密度函数公式	教材公式编号	核心适用条件	概率本质含义
单个第 \(i\) 个次序统计量 \(X_{(i)}\)	\(f_{(i)}(y) = \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} f(y) [F(y)]^{i-1} [1-F(y)]^{n-i}\)	(1.6.1)	\(1\leqslant i\leqslant n\)，满足表1的核心前提	等价于三项分布：\(i-1\) 个样本 \(\leqslant y\)，1个样本落在 \(y\) 附近微小区间，\(n-i\) 个样本 \(>y\)
两个次序统计量 \((X_{(i)},X_{(j)})\ (i<j)\)	\(\begin{aligned}f(y,z) =& \frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!} f(y)f(z) [F(y)]^{i-1} \\ &\cdot [F(z)-F(y)]^{j-i-1} [1-F(z)]^{n-j} I\{y<z\}\end{aligned}\)	(1.6.5)	\(1\leqslant i<j\leqslant n\)，满足表1的核心前提	等价于五项分布：\(i-1\) 个 \(\leqslant y\)，1个在 \(y\) 附近，\(j-i-1\) 个在 \((y,z)\) 区间，1个在 \(z\) 附近，\(n-j\) 个 \(>z\)
前 \(r\) 个次序统计量 \(X_{(1)},\dots,X_{(r)}\)	\(f(y_1,\dots,y_r) = \frac{n!}{(n-r)!} f(y_1)\cdots f(y_r) [1-F(y_r)]^{n-r} I\{y_1<\dots<y_r\}\)	(1.6.8)	\(1\leqslant r\leqslant n\)，满足表1的核心前提	等价于：\(r\) 个样本分别落在 \(r\) 个微小区间，剩余 \(n-r\) 个样本全部 \(>y_r\)
全次序统计量 \(X_{(1)},\dots,X_{(n)}\)	\(f(y_1,\dots,y_n) = n! f(y_1)\cdots f(y_n) I\{y_1<y_2<\dots<y_n\}\)	(1.6.9)	满足表1的核心前提	原样本的 \(n!\) 种排列排序后对应同一组次序统计量，联合密度为原样本联合密度乘以排列数 \(n!\)

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表3 高频推论与应用公式汇总

推论名称	公式内容	教材公式编号	核心适用场景	备注说明
最小次序统计量的PDF	\(f_{(1)}(y) = n f(y) [1-F(y)]^{n-1}\)	(1.6.2)	样本最小值分布、寿命数据分析、极值下限预测	单个次序统计量公式取 \(i=1\) 的特例，组合数为 \(C_n^1=n\)
最大次序统计量的PDF	\(f_{(n)}(y) = n f(y) [F(y)]^{n-1}\)	(1.6.3)	样本最大值分布、极值理论、金融/自然灾害风险预测	单个次序统计量公式取 \(i=n\) 的特例，可通过分布函数 \(F_{(n)}(y)=[F(y)]^n\) 求导验证
最小/最大次序统计量的联合PDF	\(f(y,z) = n(n-1) f(y)f(z) [F(z)-F(y)]^{n-2} I\{y<z\}\)	(1.6.6)	极值联合分布、极差/极值比分布推导	两个次序统计量公式取 \(i=1,j=n\) 的特例，组合数为 \(n(n-1)\)
极差 \(R=X_{(n)}-X_{(1)}\) 的PDF	\(h(r) = n(n-1) \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f(t+r) [F(t+r)-F(t)]^{n-2} dt, \quad r>0\)	(1.6.7)	样本极差分布、质量控制图、离散程度统计推断	通过雅可比变换 \(R=Z-Y,T=Y\) 对极值联合密度积分得到，雅可比行列式 \(|J|=1\)
(0,1)均匀分布的次序统计量分布	若 \(X_1\sim R(0,1)\)，则 \(X_{(i)} \sim Be(i, n-i+1)\)（Beta分布）	(1.6.4)	非参数秩检验、百分位数推断、无分布统计推断	均匀分布下 \(f(y)=1,F(y)=y\)，代入单个次序统计量公式恰好匹配Beta分布的PDF

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表4 分布函数与概率分布映射关系

统计量	分布函数表达式	对应分布关系	核心应用价值
第 \(i\) 个次序统计量 \(X_{(i)}\)	\(F_{(i)}(y) = I_{F(y)}(i, n-i+1)\)	正则化不完全Beta函数	可直接通过Beta分布表/数值工具计算累积概率，无需复杂积分
(0,1)均匀分布第 \(i\) 个次序统计量 \(X_{(i)}\)	\(F_{(i)}(y) = I_y(i, n-i+1)\)	严格服从 \(Be(i, n-i+1)\) 分布	非参数统计的核心理论基础，无需总体分布信息即可完成统计推断
最大次序统计量 \(X_{(n)}\)	\(F_{(n)}(y) = [F(y)]^n\)	i.i.d.随机变量最大值通用分布	百年一遇灾害、极端风险事件的概率计算
最小次序统计量 \(X_{(1)}\)	\(F_{(1)}(y) = 1 - [1-F(y)]^n\)	i.i.d.随机变量最小值通用分布	产品可靠性分析、寿命数据统计的核心公式