1.4.2非中心F分布与非中心t分布

非中心F分布与非中心t分布 详细讲解

这两类分布是非中心χ²分布的直接衍生，是线性模型、方差分析、协方差分析中，备择假设下F检验、t检验的核心分布工具，解决了中心F/t分布仅能处理原假设的局限，是假设检验功效分析的核心基础。

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一、预备知识回顾

在正式讲解前，先明确3个核心基础分布的结论，避免推导断层：

1. 中心F分布：若随机变量\(X_1 \sim \chi^2(n_1)\)，\(X_2 \sim \chi^2(n_2)\)，且\(X_1,X_2\)相互独立，则
   \[F = \frac{X_1/n_1}{X_2/n_2} \sim F(n_1,n_2) \]
   其中\(n_1\)为分子自由度，\(n_2\)为分母自由度；当\(n_2>2\)时，期望\(\mathbb{E}(F) = \frac{n_2}{n_2-2}\)。
2. 中心t分布：若随机变量\(Y \sim N(0,1)\)，\(Z \sim \chi^2(n)\)，且\(Y,Z\)相互独立，则
   \[T = \frac{Y}{\sqrt{Z/n}} \sim t(n) \]
   其中\(n\)为自由度。
3. 非中心χ²分布核心等价性：若\(X \sim \chi^2(n,\delta)\)，则存在\(J \sim P(\delta/2)\)，使得条件分布\(X|J=j \sim \chi^2(n+2j)\)，这是推导非中心F分布所有性质的核心。

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二、非中心F分布

1. 核心定义

定义：设随机变量\(X_1 \sim \chi^2(n_1,\delta)\)（非中心χ²分布，分子自由度\(n_1\)，非中心参数\(\delta\)），\(X_2 \sim \chi^2(n_2)\)（中心χ²分布，分母自由度\(n_2\)），且\(X_1,X_2\)相互独立，则称随机变量

\[X = \frac{X_1/n_1}{X_2/n_2} \]

服从非中心F分布，记为\(X \sim F(n_1,n_2;\delta)\)。

定义拆解与核心说明

• 本质：非中心F分布是「非中心χ²分布除以自由度」与「中心χ²分布除以自由度」的比值，仅分子带有非中心参数\(\delta\)，分母为中心χ²分布。
• 退化性：当非中心参数\(\delta=0\)时，分子\(X_1\)退化为中心χ²分布\(\chi^2(n_1)\)，此时非中心F分布退化为中心F分布\(F(n_1,n_2)\)，即\(F(n_1,n_2;0)=F(n_1,n_2)\)。
• 参数含义：
  • \(n_1\)：分子自由度（与分子χ²分布的自由度一致）；
  • \(n_2\)：分母自由度（与分母χ²分布的自由度一致）；
  • \(\delta \geq 0\)：非中心参数，完全继承自分子的非中心χ²分布，刻画分布对中心F分布的偏离程度，\(\delta\)越大，分布越向右偏移。

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2. 核心性质与证明拆解

性质(1) 复合分布等价表示

若\(X \sim F(n_1,n_2;\delta)\)，则\(X\)可视为联合分布\((X,J)\)中\(X\)的边缘分布，其中：

\[J \sim P(\delta/2), \quad \frac{n_1}{n_1+2j} X \bigg| J=j \sim F(n_1+2j, n_2) \]

等价表述为：\(X|J=j \sim F(n_1+2j, n_2) \cdot \frac{n_1+2j}{n_1}\)。

证明逻辑拆解

这条性质的核心是继承非中心χ²分布的复合结构，推导过程完全基于非中心χ²的等价性：

1. 由非中心χ²分布的性质，分子\(X_1 \sim \chi^2(n_1,\delta)\)可表示为：存在\(J \sim P(\delta/2)\)，使得\(X_1|J=j \sim \chi^2(n_1+2j)\)。
2. 给定\(J=j\)时，\(X\)的条件分布为：
   \[X|J=j = \frac{X_1/n_1}{X_2/n_2} \bigg| J=j = \frac{X_1/(n_1+2j)}{X_2/n_2} \cdot \frac{n_1+2j}{n_1} \bigg| J=j \]

3. 此时\(X_1|J=j \sim \chi^2(n_1+2j)\)，\(X_2 \sim \chi^2(n_2)\)且二者独立，因此\(\frac{X_1/(n_1+2j)}{X_2/n_2} \sim F(n_1+2j, n_2)\)。
4. 代入后即得：\(X|J=j \sim F(n_1+2j, n_2) \cdot \frac{n_1+2j}{n_1}\)，整理后即为性质结论。

核心价值

和非中心χ²的复合性质一致，这条性质把复杂的非中心F分布，转化为我们熟悉的「Poisson分布+条件中心F分布」的结构，是后续期望、分布函数推导的核心，也是非中心F分布随机数生成的核心方法。

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性质(2) 数学期望

若\(X \sim F(n_1,n_2;\delta)\)，且分母自由度\(n_2>2\)，则

\[\mathbb{E}(X) = \frac{n_1+\delta}{n_1} \cdot \frac{n_2}{n_2-2} \]

证明逻辑拆解

基于全期望公式+性质(1)的复合结构，结合中心F分布的期望结论推导：

1. 全期望公式：\(\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}_J\left[ \mathbb{E}(X|J) \right]\)，先求给定\(J=j\)时\(X\)的条件期望。
2. 由性质(1)，\(X|J=j = \frac{n_1+2j}{n_1} \cdot F_j\)，其中\(F_j \sim F(n_1+2j, n_2)\)，因此条件期望为：
   \[\mathbb{E}(X|J=j) = \frac{n_1+2j}{n_1} \cdot \mathbb{E}(F_j) \]

3. 中心F分布\(F(n_1+2j, n_2)\)的期望为\(\frac{n_2}{n_2-2}\)（\(n_2>2\)），代入得：
   \[\mathbb{E}(X|J=j) = \frac{n_1+2j}{n_1} \cdot \frac{n_2}{n_2-2} \]

4. 对\(J\)求期望，\(J \sim P(\delta/2)\)，因此\(\mathbb{E}(J)=\delta/2\)，代入得：
   \[\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}_J\left( \frac{n_1+2J}{n_1} \cdot \frac{n_2}{n_2-2} \right) = \frac{n_2}{n_2-2} \cdot \frac{n_1 + 2\mathbb{E}(J)}{n_1} \]

5. 代入\(\mathbb{E}(J)=\delta/2\)，化简后即得：
   \[\mathbb{E}(X) = \frac{n_1+\delta}{n_1} \cdot \frac{n_2}{n_2-2} \]

核心说明

• 非中心F分布的期望，是中心F分布期望\(\frac{n_2}{n_2-2}\)的\(\frac{n_1+\delta}{n_1}\)倍；
• 非中心参数\(\delta\)越大，期望越大，分布整体向右偏移，和直观认知一致；
• 当\(\delta=0\)时，期望退化为中心F分布的期望\(\frac{n_2}{n_2-2}\)，再次验证退化性。

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性质(3) 分布函数与概率密度函数

非中心F分布\(F(n_1,n_2;\delta)\)的分布函数为：

\[F(x; n_1,n_2,\delta) = \sum_{j=0}^\infty e^{-\delta/2} \frac{(\delta/2)^j}{j!} F\left( \frac{n_1}{n_1+2j} x; n_1+2j, n_2 \right) \]

概率密度函数为：

\[f(x; n_1,n_2,\delta) = \sum_{j=0}^\infty e^{-\delta/2} \frac{(\delta/2)^j}{j!} f\left( \frac{n_1}{n_1+2j} x; n_1+2j, n_2 \right) \cdot \frac{n_1}{n_1+2j} \]

其中\(F(\cdot; n_1+2j, n_2)\)和\(f(\cdot; n_1+2j, n_2)\)分别为中心F分布\(F(n_1+2j, n_2)\)的分布函数和概率密度函数。

证明逻辑拆解

1. 分布函数证明：基于全概率公式+性质(1)的复合结构

   • 分布函数定义：\(F(x; n_1,n_2,\delta) = P(X \leq x)\)，由全概率公式，对离散随机变量\(J\)求和：
     \[P(X \leq x) = \sum_{j=0}^\infty P(J=j) P(X \leq x | J=j) \]

   • 其中\(P(J=j) = e^{-\delta/2} \frac{(\delta/2)^j}{j!}\)（Poisson分布的概率质量）；
   • 由性质(1)，\(P(X \leq x | J=j) = P\left( \frac{n_1}{n_1+2j} X \leq \frac{n_1}{n_1+2j} x \bigg| J=j \right)\)，而\(\frac{n_1}{n_1+2j} X | J=j \sim F(n_1+2j, n_2)\)，因此该概率即为中心F分布的分布函数\(F\left( \frac{n_1}{n_1+2j} x; n_1+2j, n_2 \right)\)；
   • 代入后即得分布函数的表达式。

2. 密度函数证明：对分布函数求导

   • 密度函数是分布函数的导数，即\(f(x) = F'(x)\)；
   • 对分布函数的无穷级数逐项求导（级数绝对收敛，可逐项求导），利用复合函数求导法则，对\(F\left( \frac{n_1}{n_1+2j} x; \cdot \right)\)求导后，会乘以导数项\(\frac{n_1}{n_1+2j}\)，最终得到密度函数的表达式。

核心价值

这个性质给出了非中心F分布的显式表达式，本质是无穷多个中心F分布的Poisson加权和，和非中心Γ/χ²分布的定义完全一脉相承。实际计算中，我们可以通过截断无穷级数，用中心F分布的分布函数/密度函数，近似计算非中心F分布的对应值，无需单独推导复杂的积分公式。

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三、非中心t分布

1. 核心定义

定义：设随机变量\(Y \sim N(\mu,1)\)（正态分布，均值\(\mu\)，方差1），\(Z \sim \chi^2(n)\)（中心χ²分布，自由度\(n\)），且\(Y,Z\)相互独立，则称随机变量

\[T = \frac{Y}{\sqrt{Z/n}} \]

服从非中心t分布，记为\(T \sim t(n,\delta)\)，其中非中心参数\(\delta = \mu^2\)（部分教材定义\(\delta=\mu\)，本质等价，仅参数缩放差异）。

定义拆解与核心说明

• 本质：非中心t分布是「非零均值的标准正态变量」与「中心χ²变量除以自由度的平方根」的比值，非中心性完全来自分子正态分布的非零均值。
• 退化性：当非中心参数\(\delta=0\)时，分子\(Y \sim N(0,1)\)，此时非中心t分布退化为中心t分布\(t(n)\)，即\(t(n,0)=t(n)\)。
• 参数含义：
  • \(n\)：自由度，继承自分母χ²分布的自由度；
  • \(\delta \geq 0\)：非中心参数，由分子正态分布的均值平方决定，刻画分布对中心t分布的偏离程度，\(\delta\)越大，分布的偏移越明显。
• 等价定义：若\(X \sim N(0,1)\)，\(Z \sim \chi^2(n)\)独立，\(a\)为常数，则\(T = \frac{X+a}{\sqrt{Z/n}} \sim t(n, \delta=a^2)\)，这个定义在假设检验中更常用（比如单样本t检验中，备择假设下均值非零，检验统计量就服从这个形式的非中心t分布）。

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2. 核心性质

性质1：与非中心F分布的关系

若\(T \sim t(n,\delta)\)，则\(T^2 \sim F(1, n; \delta)\)，即非中心t分布变量的平方，服从分子自由度为1的非中心F分布，非中心参数完全一致。

证明逻辑

1. 由定义，\(T = \frac{Y}{\sqrt{Z/n}}\)，其中\(Y \sim N(\mu,1)\)，\(Z \sim \chi^2(n)\)独立，因此\(T^2 = \frac{Y^2}{Z/n}\)。
2. 由非中心χ²分布的性质，\(Y^2 \sim \chi^2(1, \delta=\mu^2)\)，且\(Y^2\)与\(Z\)独立。
3. 由非中心F分布的定义，\(\frac{Y^2/1}{Z/n} \sim F(1, n; \delta)\)，因此\(T^2 \sim F(1, n; \delta)\)，结论得证。

核心价值

这条性质搭建了非中心t分布和非中心F分布的桥梁，我们可以直接用非中心F分布的结论，推导非中心t分布的分布函数、数字特征，无需单独重复推导，大幅简化计算。

性质2：数字特征（补充）

基于中心t分布和复合结构，可推导非中心t分布的期望和方差（\(n>1\)时期望存在，\(n>2\)时方差存在）：

• 期望：\(\mathbb{E}(T) = \mu \cdot \sqrt{\frac{n}{2}} \cdot \frac{\Gamma((n-1)/2)}{\Gamma(n/2)}\)（对应\(\delta=\mu^2\)）
• 方差：\(\text{Var}(T) = \frac{n(1+\mu^2)}{n-2} - \left( \mu \cdot \sqrt{\frac{n}{2}} \cdot \frac{\Gamma((n-1)/2)}{\Gamma(n/2)} \right)^2\)

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四、核心统计意义与应用场景

1. 核心价值：中心F/t分布仅能处理「原假设成立时，检验统计量的分布」，而非中心F/t分布解决了「备择假设成立时，检验统计量的分布问题」，是假设检验功效分析的核心工具。
2. 典型应用场景：
   • 方差分析：备择假设下，组间平方和与组内平方和的比值服从非中心F分布，用于计算F检验的功效，确定实验所需的样本量；
   • 线性回归：回归系数的t检验、整体显著性的F检验，备择假设下检验统计量服从非中心t/F分布，用于评估回归模型的检验效能；
   • 两样本t检验、单样本t检验：备择假设下，t统计量服从非中心t分布，用于计算t检验的功效，设计实验的样本量。
3. 原假设vs备择假设的分布差异：
   • 原假设\(H_0\)成立时：正态变量均值为0，检验统计量服从中心F/t分布，用于计算临界值、p值；
   • 备择假设\(H_1\)成立时：正态变量均值非0，检验统计量服从非中心F/t分布，用于计算检验功效（备择假设成立时拒绝原假设的概率）。

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五、核心内容归纳表

表1 非中心F分布与非中心t分布 核心定义对照表

对比维度	非中心F分布	非中心t分布	关键备注
标准记号	\(X \sim F(n_1, n_2; \delta)\)	\(T \sim t(n, \delta)\)	均为非中心χ²分布的衍生分布
核心定义	设\(X_1 \sim \chi^2(n_1,\delta)\)，\(X_2 \sim \chi^2(n_2)\)独立，则 \(X = \frac{X_1/n_1}{X_2/n_2}\)	设\(Y \sim N(\mu,1)\)，\(Z \sim \chi^2(n)\)独立，则 \(T = \frac{Y}{\sqrt{Z/n}}\)，非中心参数\(\delta=\mu^2\)	非中心性均来自分子的非中心分布/非零均值正态分布
核心参数	1. 分子自由度\(n_1>0\) 2. 分母自由度\(n_2>0\) 3. 非中心参数\(\delta \geq 0\)	1. 自由度\(n>0\) 2. 非中心参数\(\delta \geq 0\)	\(\delta=0\)时，均退化为对应的中心分布
与中心分布的退化关系	\(F(n_1,n_2;0) = F(n_1,n_2)\)（标准中心F分布）	\(t(n,0) = t(n)\)（标准中心t分布）	中心分布是非中心分布的特殊情况
两类分布的关联	-	若\(T \sim t(n,\delta)\)，则\(T^2 \sim F(1,n;\delta)\)	非中心t分布的平方是分子自由度为1的非中心F分布

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表2 非中心F分布核心性质归纳表

性质分类	核心结论	核心说明
复合分布等价表示	存在\(J \sim P(\delta/2)\)，使得$\frac{n_1}{n_1+2j}X	J=j \sim F(n_1+2j, n_2)$
数学期望（\(n_2>2\)）	\(\mathbb{E}(X) = \frac{n_1+\delta}{n_1} \cdot \frac{n_2}{n_2-2}\)	是中心F分布期望的\(\frac{n_1+\delta}{n_1}\)倍，\(\delta\)越大，期望越大
分布函数	\(F(x; n_1,n_2,\delta) = \sum_{j=0}^\infty e^{-\delta/2} \frac{(\delta/2)^j}{j!} F\left( \frac{n_1}{n_1+2j} x; n_1+2j, n_2 \right)\)	无穷多个中心F分布的Poisson加权和，可通过截断级数近似计算
概率密度函数	\(f(x; n_1,n_2,\delta) = \sum_{j=0}^\infty e^{-\delta/2} \frac{(\delta/2)^j}{j!} f\left( \frac{n_1}{n_1+2j} x; n_1+2j, n_2 \right) \cdot \frac{n_1}{n_1+2j}\)	由分布函数求导得到，同样为中心F分布的Poisson加权和
可加性拓展	若\(X_1 \sim F(n_1,n_2;\delta_1)\)，\(X_2 \sim F(n_1,n_2;\delta_2)\)独立，无简单可加性；但分子非中心χ²可加，因此\(\frac{(X_{1a}+X_{1b})/n_1}{X_2/n_2} \sim F(n_1,n_2;\delta_1+\delta_2)\)	可加性继承自分子非中心χ²分布的可加性

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表3 核心统计应用对照表

分布类型	核心应用场景	原假设分布	备择假设分布
非中心F分布	方差分析F检验、线性模型整体显著性F检验、多组均值比较检验的功效分析与样本量计算	中心F分布\(F(n_1,n_2)\)	非中心F分布\(F(n_1,n_2;\delta)\)
非中心t分布	单样本t检验、两样本t检验、回归系数显著性t检验的功效分析与样本量计算	中心t分布\(t(n)\)	非中心t分布\(t(n,\delta)\)