4.6高斯求积公式+本硕博授课

高斯求积公式 深度系统讲解

各位同学，今天我们来学习数值积分中精度最高、理论最优美、工程应用极广的高斯求积公式。从事数值分析教学与研究多年来，始终认为高斯求积是数值积分的“集大成者”——它彻底突破了牛顿-柯特斯公式“等距节点”的限制，通过优化节点位置，让有限个节点的求积公式达到了理论上的最高代数精度，同时完美解决了高阶牛顿-柯特斯公式不稳定的痛点。

本次讲解我们遵循“问题引入→实例感知→理论推导→核心定理→性质拓展→应用对比”的逻辑，一步一步把高斯求积的本质讲透，不跳任何关键步骤，让大家不仅知其然，更知其所以然。

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一、问题引入：现有求积公式的局限与代数精度的理论上限

在学习高斯求积之前，我们先回顾两个核心问题，这是高斯求积诞生的根本原因。

1. 牛顿-柯特斯公式的核心局限

我们之前学的牛顿-柯特斯公式，是等距节点下的插值型求积公式：

• \(n+1\)个等距节点，代数精度至少为\(n\)次；
• 仅当\(n\)为偶数时，代数精度能提升到\(n+1\)次；
• 当\(n≥8\)时，求积系数出现负值，计算不稳定，完全无法使用。

这里就出现了一个关键问题：我们必须把节点限定为等距吗？如果放开节点位置的限制，把节点\(x_k\)也作为待定参数，能不能让求积公式的代数精度更高？

2. 求积公式代数精度的理论上限

在回答这个问题之前，我们先明确一个核心结论：对于包含\(n+1\)个节点的求积公式，无论节点如何选取，其代数精度最高只能达到\(2n+1\)次，不可能更高。

我们用反证法简单证明这个结论：
假设存在\(n+1\)个节点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)，使得求积公式

\[\int_a^b f(x)\rho(x)dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \]

对\(2n+2\)次多项式也精确成立。我们取一个特殊的\(2n+2\)次多项式：

\[f(x) = \omega_{n+1}^2(x) = (x-x_0)^2(x-x_1)^2\cdots(x-x_n)^2 \]

显然，\(f(x)\)是平方项，在积分区间\([a,b]\)上非负，且不恒为0，因此积分的精确值：

\[\int_a^b f(x)\rho(x)dx > 0 \]

但将\(f(x)\)代入求积公式右端，对所有节点\(x_k\)，都有\(\omega_{n+1}(x_k)=0\)，因此右端结果为0，与精确值矛盾。

这就证明了：\(n+1\)个节点的求积公式，代数精度的理论上限是\(2n+1\)次。

而高斯求积公式，就是能达到这个理论上限的求积公式——这也是它的核心价值所在。

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二、实例感知：2节点高斯求积公式的构造

我们先通过一个具体的例子，直观感受“放开节点限制后，代数精度的提升效果”，这是理解高斯求积的入门钥匙。

例4.8 2节点求积公式的最高精度构造

题目：给定求积公式

\[\int_{-1}^1 f(x)dx \approx A_0 f(x_0) + A_1 f(x_1) \]

试确定节点\(x_0,x_1\)和系数\(A_0,A_1\)，使其具有尽可能高的代数精度。

步骤1：确定待定参数与方程数量

这个公式有\(x_0,x_1,A_0,A_1\)共4个待定参数，因此我们最多可以让公式对4个线性无关的幂函数\(f(x)=1,x,x^2,x^3\)精确成立，对应代数精度最高可达3次（正好是\(2n+1=2×1+1=3\)，达到理论上限）。

步骤2：代入幂函数，列方程组

令公式对\(f(x)=1,x,x^2,x^3\)分别精确成立，得到方程组：

\[\begin{cases} A_0 + A_1 = \int_{-1}^1 1dx = 2 \quad &(1)\\ A_0 x_0 + A_1 x_1 = \int_{-1}^1 xdx = 0 \quad &(2)\\ A_0 x_0^2 + A_1 x_1^2 = \int_{-1}^1 x^2dx = \frac{2}{3} \quad &(3)\\ A_0 x_0^3 + A_1 x_1^3 = \int_{-1}^1 x^3dx = 0 \quad &(4) \end{cases} \]

步骤3：解方程组，确定节点与系数

我们一步步化简这个非线性方程组：

1. 用式(4)减去式(2)乘以\(x_0^2\)，得：
   \[A_1 x_1 (x_1^2 - x_0^2) = 0 \]
   显然\(A_1≠0\)（否则公式退化为单点求积），因此\(x_1^2 = x_0^2\)，即\(x_1 = ±x_0\)。
2. 用\(x_0\)乘以式(1)减去式(2)，得：
   \[A_1 (x_0 - x_1) = 2x_0 \]

3. 用式(3)减去\(x_0\)乘以式(2)，得：
   \[A_1 x_1 (x_1 - x_0) = \frac{2}{3} \]

4. 将前一式代入后一式，化简得：
   \[x_0 x_1 = -\frac{1}{3} \]
   由此可知\(x_0\)与\(x_1\)异号，因此\(x_1 = -x_0\)，代入上式得\(x_0^2 = \frac{1}{3}\)，即\(x_0 = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(x_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}\)。
5. 将节点代入式(1)和式(2)，解得\(A_0 = A_1 = 1\)。

步骤4：得到求积公式与精度验证

最终我们得到2节点的求积公式：

\[\int_{-1}^1 f(x)dx \approx f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \]

我们验证4次多项式\(f(x)=x^4\)：

• 积分精确值：\(\int_{-1}^1 x^4dx = \frac{2}{5}\)
• 公式右端结果：\(\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^4 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^4 = \frac{2}{9}\)
  两者不相等，因此公式的代数精度为3次，正好达到了2节点求积公式的理论上限。

实例的核心启示

对比同样2节点的梯形公式（牛顿-柯特斯\(n=1\)），梯形公式的代数精度仅为1次，而我们通过优化节点位置，在不增加节点数量的前提下，把代数精度从1次提升到了3次，精度提升了两个量级！

这就是高斯求积的核心魅力：用最少的节点，达到最高的精度。

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三、核心定义与一般理论

通过上面的例子，我们可以给出高斯求积公式的严格定义，同时解决两个核心问题：

1. 什么样的节点能让求积公式达到\(2n+1\)次代数精度（即高斯点）？
2. 如何求解高斯点对应的求积系数？

1. 带权积分的一般形式

首先我们把求积公式推广到更通用的带权积分场景，这也是高斯求积的一大优势——可以处理带权函数的积分，包括奇异积分、无穷区间积分。

带权积分的形式为：

\[I[f] = \int_a^b f(x)\rho(x)dx \]

其中\(\rho(x)≥0\)称为权函数，常见的权函数如：

• \(\rho(x)=1\)：普通积分，对应我们之前学的常规积分；
• \(\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)：区间\([-1,1]\)上的奇异权函数，对应切比雪夫积分；
• \(\rho(x)=e^{-x}\)：区间\([0,+\infty)\)上的权函数，对应无穷区间积分；
• \(\rho(x)=e^{-x^2}\)：区间\((-\infty,+\infty)\)上的权函数，对应高斯型无穷积分。

对应的带权求积公式为：

\[\int_a^b f(x)\rho(x)dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \tag{4.32} \]

其中\(A_k\)为求积系数，与\(f(x)\)无关；\(x_k\)为求积节点。

2. 高斯型求积公式的严格定义

定义4.4 若带权求积公式(4.32)的代数精度达到\(2n+1\)次，则称该公式为高斯型求积公式，对应的节点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)称为高斯点。

简单来说：能达到理论最高代数精度的求积公式，就是高斯型求积公式；对应的节点，就是高斯点。

3. 高斯点的充要条件（核心定理）

现在我们解决最核心的问题：如何找到高斯点？这个问题的答案，由下面的定理给出，这是整个高斯求积的理论基石。

定理4.5 插值型求积公式(4.32)的节点\(a≤x_0<x_1<\dots<x_n≤b\)是高斯点的充分必要条件是：以这些节点为零点的\(n+1\)次多项式

\[\omega_{n+1}(x) = (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n) \]

与任何次数不超过\(n\)的多项式\(p(x)\)，在区间\([a,b]\)上带权\(\rho(x)\)正交，即

\[\int_a^b p(x)\omega_{n+1}(x)\rho(x)dx = 0 \tag{4.34} \]

这个定理用一句话概括：区间\([a,b]\)上带权\(\rho(x)\)的\(n+1\)次正交多项式的零点，就是\(n+1\)个节点的高斯点。

接下来我们分必要性和充分性两部分，完整证明这个定理，每一步都讲清楚逻辑。

（1）必要性证明：若节点是高斯点，则\(\omega_{n+1}(x)\)与所有次数≤n的多项式带权正交

设\(p(x)\)是任意一个次数≤n的多项式，那么\(p(x)\omega_{n+1}(x)\)是一个次数≤\(n + (n+1) = 2n+1\)的多项式。

因为\(x_0,\dots,x_n\)是高斯点，所以求积公式对所有次数≤\(2n+1\)的多项式都精确成立，因此：

\[\int_a^b p(x)\omega_{n+1}(x)\rho(x)dx = \sum_{k=0}^n A_k \cdot p(x_k)\omega_{n+1}(x_k) \]

而\(\omega_{n+1}(x_k)=0\)（因为\(x_k\)是\(\omega_{n+1}(x)\)的零点），因此右端求和结果为0，即：

\[\int_a^b p(x)\omega_{n+1}(x)\rho(x)dx = 0 \]

必要性得证。

（2）充分性证明：若\(\omega_{n+1}(x)\)与所有次数≤n的多项式带权正交，则节点是高斯点

我们需要证明：对任意次数≤\(2n+1\)的多项式\(f(x)\)，求积公式都精确成立。

对任意\(f(x) \in \mathcal{P}_{2n+1}\)（次数≤\(2n+1\)的多项式集合），我们用多项式带余除法，将\(f(x)\)表示为：

\[f(x) = p(x)\omega_{n+1}(x) + q(x) \]

其中，商\(p(x)\)和余式\(q(x)\)都是次数≤n的多项式（因为\(\omega_{n+1}(x)\)是\(n+1\)次多项式）。

将\(f(x)\)代入带权积分，得：

\[\int_a^b f(x)\rho(x)dx = \int_a^b p(x)\omega_{n+1}(x)\rho(x)dx + \int_a^b q(x)\rho(x)dx \]

根据正交条件，第一项积分等于0，因此：

\[\int_a^b f(x)\rho(x)dx = \int_a^b q(x)\rho(x)dx \tag{4.35} \]

另一方面，我们的求积公式是插值型的，因此对所有次数≤n的多项式\(q(x)\)，公式精确成立，即：

\[\int_a^b q(x)\rho(x)dx = \sum_{k=0}^n A_k q(x_k) \]

同时，因为\(\omega_{n+1}(x_k)=0\)，所以\(f(x_k) = p(x_k)\omega_{n+1}(x_k) + q(x_k) = q(x_k)\)，代入上式得：

\[\int_a^b q(x)\rho(x)dx = \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \]

结合式(4.35)，最终得到：

\[\int_a^b f(x)\rho(x)dx = \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \]

这说明求积公式对任意次数≤\(2n+1\)的多项式都精确成立，因此节点是高斯点，充分性得证。

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四、高斯求积系数的求解方法

通过定理4.5，我们已经知道了如何找高斯点：求对应区间、对应权函数的\(n+1\)次正交多项式的零点即可。接下来我们解决第二个问题：如何求高斯点对应的求积系数\(A_k\)？

有两种常用的求解方法，都非常简单，且结果完全一致。

方法1：线性方程组法

因为高斯求积公式是插值型的，代数精度至少为n次，因此公式对\(f(x)=1,x,x^2,\dots,x^n\)都精确成立，代入公式得到关于\(A_0,A_1,\dots,A_n\)的线性方程组：

\[\begin{cases} A_0 + A_1 + \dots + A_n = \int_a^b \rho(x)dx \\ A_0 x_0 + A_1 x_1 + \dots + A_n x_n = \int_a^b x\rho(x)dx \\ \quad\quad\quad\quad\quad\vdots \\ A_0 x_0^n + A_1 x_1^n + \dots + A_n x_n^n = \int_a^b x^n\rho(x)dx \end{cases} \]

因为高斯点\(x_0,\dots,x_n\)互不相同，这个方程组的系数矩阵是范德蒙德矩阵，可逆，因此有唯一解，就是我们需要的求积系数。

方法2：插值基函数积分法

和普通插值型求积公式的系数求解完全一致，求积系数等于拉格朗日插值基函数的带权积分：

\[A_k = \int_a^b l_k(x)\rho(x)dx, \quad k=0,1,\dots,n \]

其中\(l_k(x)\)是对应节点\(x_k\)的拉格朗日插值基函数，仅与节点有关，与\(f(x)\)无关。

补充：例4.8的系数验证

回到我们的2节点例子，区间\([-1,1]\)，权函数\(\rho(x)=1\)，高斯点\(x_0=-\frac{\sqrt{3}}{3},x_1=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，用方法1求解系数：

\[\begin{cases} A_0 + A_1 = 2 \\ -\frac{\sqrt{3}}{3}A_0 + \frac{\sqrt{3}}{3}A_1 = 0 \end{cases} \]

解得\(A_0=A_1=1\)，和我们之前的计算结果完全一致。

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五、高斯求积公式的核心优良性质

高斯求积公式之所以能成为数值积分的核心方法，不仅因为它的代数精度最高，更因为它具备一系列极其优良的数值性质，完美规避了牛顿-柯特斯公式的缺陷。

1. 数值稳定性绝对可靠

结论：高斯求积公式的所有求积系数\(A_k\)全为正数，因此公式绝对稳定。

证明：取\(f(x)=l_k^2(x)\)，这是一个\(2n\)次多项式，次数≤\(2n+1\)，因此高斯求积公式对它精确成立：

\[\int_a^b l_k^2(x)\rho(x)dx = \sum_{i=0}^n A_i l_k^2(x_i) \]

根据插值基函数的性质，\(l_k(x_i)=\begin{cases}1, & i=k \\ 0, & i≠k\end{cases}\)，因此右端求和结果为\(A_k\)，即：

\[A_k = \int_a^b l_k^2(x)\rho(x)dx \]

因为\(l_k^2(x)≥0\)且不恒为0，权函数\(\rho(x)≥0\)，因此积分结果一定为正，即\(A_k>0\)对所有\(k\)成立。

这个性质的意义极其重大：

• 牛顿-柯特斯公式在\(n≥8\)时出现负系数，输入的函数值误差会被放大，计算不稳定；
• 高斯求积公式无论节点数多少，系数全为正，输入误差不会被放大，计算绝对稳定，哪怕节点数很多，也不会出现稳定性问题。

2. 收敛性有严格保证

对于闭区间上的连续函数，高斯求积公式是收敛的：

若\(f(x) \in C[a,b]\)（在\([a,b]\)上连续），则当节点数\(n \to \infty\)时，高斯求积的结果收敛到积分的精确值，即

\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) = \int_a^b f(x)\rho(x)dx \]

3. 余项公式（误差估计）

高斯求积公式的代数精度为\(2n+1\)次，因此余项与被积函数的\(2n+2\)阶导数有关，公式为：

\[R[f] = \int_a^b f(x)\rho(x)dx - \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) = \frac{f^{(2n+2)}(\eta)}{(2n+2)!} \int_a^b \omega_{n+1}^2(x)\rho(x)dx, \quad \eta \in (a,b) \]

这个余项公式的意义在于：

• 可以定量估计高斯求积的误差；
• 被积函数的光滑性越好（高阶导数存在且有界），高斯求积的误差越小，精度优势越明显。

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六、常见的高斯型求积公式

根据权函数和积分区间的不同，有几类工程中最常用的高斯型求积公式，我们做一个简要介绍，大家可以根据积分场景选择使用。

公式类型	积分区间	权函数\(\rho(x)\)	对应正交多项式	高斯点来源
高斯-勒让德求积	\([-1,1]\)	\(1\)	勒让德多项式\(P_n(x)\)	\(n+1\)次勒让德多项式的零点
高斯-切比雪夫求积	\([-1,1]\)	\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	切比雪夫多项式\(T_n(x)\)	\(n+1\)次切比雪夫多项式的零点
高斯-拉盖尔求积	\([0,+\infty)\)	\(e^{-x}\)	拉盖尔多项式\(L_n(x)\)	\(n+1\)次拉盖尔多项式的零点
高斯-埃尔米特求积	\((-\infty,+\infty)\)	\(e^{-x^2}\)	埃尔米特多项式\(H_n(x)\)	\(n+1\)次埃尔米特多项式的零点

其中高斯-勒让德求积是最常用的，因为任意有限区间\([a,b]\)上的普通积分，都可以通过变量替换转化为\([-1,1]\)上的积分，从而使用高斯-勒让德求积公式。

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七、高斯求积与其他求积方法的对比与适用场景

最后我们把高斯求积和之前学的牛顿-柯特斯、复合求积做一个全面对比，让大家清楚不同方法的适用边界。

对比维度	牛顿-柯特斯公式	复合求积公式	高斯求积公式
节点特点	等距节点	区间等分，子区间等距节点	非等距节点，正交多项式零点
代数精度	\(n+1\)个节点，最高\(n+1\)次	取决于子区间的低阶公式	\(n+1\)个节点，最高\(2n+1\)次
稳定性	\(n≥8\)时系数为负，不稳定	低阶公式复合，系数全正，稳定	系数全正，绝对稳定
收敛速度	慢	中等（复合梯形\(O(h^2)\)，复合辛普森\(O(h^4)\)）	极快（节点数增加，误差指数级衰减）
计算量	小，节点等距易实现	中等，需要大量节点加密	极小，少量节点即可达到高精度
适用场景	低精度快速估算，节点数少	常规工程计算，精度要求中等	高精度科学计算，被积函数求值成本高

核心选型建议

1. 低精度快速估算：用梯形公式、辛普森公式（低阶牛顿-柯特斯）；
2. 常规工程计算，精度要求1e-4~1e-6：用复合辛普森公式，实现简单，稳定性好；
3. 高精度科学计算，精度要求1e-6以上，或被积函数求值成本极高：优先用高斯求积公式，用最少的节点达到最高的精度；
4. 无穷区间积分、带奇异权的积分：只能用对应的高斯型求积公式，其他方法无法处理。

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八、总结

高斯求积公式的核心本质，是通过优化节点位置，让插值型求积公式达到了理论上的最高代数精度，同时凭借正交多项式的优良性质，获得了绝对稳定的数值特性和极快的收敛速度。

从教学和工程的角度，大家需要掌握的核心内容可以总结为3句话：

1. 核心目标：\(n+1\)个节点的求积公式，最高代数精度为\(2n+1\)次，高斯求积就是达到这个上限的公式；
2. 核心定理：高斯点是对应区间、对应权函数的正交多项式的零点；
3. 核心优势：精度高、稳定性好、收敛快，是高精度数值积分的首选方法。

高斯求积不仅是数值积分的核心内容，更是正交多项式理论的经典应用，理解了高斯求积，才算真正掌握了数值积分的精髓。

带权高斯求积实例与高斯求积余项 深度讲解

各位同学，今天我们通过例4.9的完整拆解，把带权高斯求积公式的构造方法落地，再系统推导高斯求积公式的余项表达式，彻底搞懂高斯求积的精度本质。只有亲手完成一次带权高斯求积的全流程构造，才算真正理解了高斯求积的核心；只有搞懂余项的推导，才算吃透了高斯求积的精度边界。

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一、例4.9 带权高斯求积公式的完整构造解析

1. 题目核心分析

题目要求确定求积公式：

\[\int_0^1 \sqrt{x} f(x)dx \approx A_0 f(x_0) + A_1 f(x_1) \]

的节点\(x_0,x_1\)和系数\(A_0,A_1\)，使其具有最高代数精度。

我们先拆解题目的3个核心要素，这是构造的前提：

1. 积分类型：带权积分，权函数\(\boldsymbol{\rho(x)=\sqrt{x}}\)，积分区间\([0,1]\)；
2. 节点数量：共2个节点（\(n=1\)，节点下标从0到1），根据高斯求积的理论上限，\(n+1\)个节点的求积公式最高代数精度为\(\boldsymbol{2n+1=3}\)次；
3. 核心依据：根据定理4.5，能达到最高代数精度的求积公式是高斯型求积公式，其节点是区间\([0,1]\)上带权\(\rho(x)=\sqrt{x}\)的2次正交多项式的零点。

2. 第一步：构造带权正交多项式，求解高斯点

正交多项式的设定

我们需要构造2次的首一正交多项式\(\omega(x)\)（首一多项式最高次项系数为1，不影响零点求解），形式为：

\[\omega(x) = (x-x_0)(x-x_1) = x^2 + bx + c \]

其中\(b,c\)为待定系数。

根据正交性的要求：2次多项式\(\omega(x)\)必须与所有次数≤1的多项式带权\(\rho(x)=\sqrt{x}\)正交。而次数≤1的多项式的一组基是\(1\)（0次）和\(x\)（1次），因此只需满足两个正交条件：

\[\int_0^1 \sqrt{x} \cdot \omega(x) dx = 0, \quad \int_0^1 \sqrt{x} \cdot x \cdot \omega(x) dx = 0 \]

正交条件的积分计算

我们把\(\omega(x)=x^2+bx+c\)代入两个正交条件，逐项计算积分（核心用到幂函数积分公式\(\int_0^1 x^k dx = \frac{1}{k+1}\)）：

第一个正交条件（与1正交）

\[\begin{align*} \int_0^1 \sqrt{x} (x^2 + bx + c) dx &= \int_0^1 \left( x^{\frac{5}{2}} + b x^{\frac{3}{2}} + c x^{\frac{1}{2}} \right) dx \\ &= \frac{1}{\frac{5}{2}+1} + b \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}+1} + c \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}+1} \\ &= \frac{2}{7} + \frac{2b}{5} + \frac{2c}{3} \end{align*} \]

令其等于0，得到第一个方程：

\[\boldsymbol{\frac{2}{7} + \frac{2b}{5} + \frac{2c}{3} = 0} \]

第二个正交条件（与x正交）

\[\begin{align*} \int_0^1 \sqrt{x} \cdot x (x^2 + bx + c) dx &= \int_0^1 x^{\frac{3}{2}} (x^2 + bx + c) dx \\ &= \int_0^1 \left( x^{\frac{7}{2}} + b x^{\frac{5}{2}} + c x^{\frac{3}{2}} \right) dx \\ &= \frac{1}{\frac{7}{2}+1} + b \cdot \frac{1}{\frac{5}{2}+1} + c \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}+1} \\ &= \frac{2}{9} + \frac{2b}{7} + \frac{2c}{5} \end{align*} \]

令其等于0，得到第二个方程：

\[\boldsymbol{\frac{2}{9} + \frac{2b}{7} + \frac{2c}{5} = 0} \]

解线性方程组，确定正交多项式

我们对两个方程做简化（两边除以2），得到：

\[\begin{cases} \frac{1}{7} + \frac{b}{5} + \frac{c}{3} = 0 \\ \frac{1}{9} + \frac{b}{7} + \frac{c}{5} = 0 \end{cases} \]

为消去分母，给第一个方程乘105（7、5、3的最小公倍数），第二个方程乘315（9、7、5的最小公倍数），得到：

\[\begin{cases} 15 + 21b + 35c = 0 \\ 35 + 45b + 63c = 0 \end{cases} \]

用消元法求解：

1. 第一个方程乘45，第二个方程乘21，消去\(b\)：
   \[\begin{cases} 675 + 945b + 1575c = 0 \\ 735 + 945b + 1323c = 0 \end{cases} \]

2. 两式相减，得：\(-60 + 252c = 0\)，解得\(\boldsymbol{c=\frac{5}{21}}\)；
3. 将\(c=\frac{5}{21}\)代入第一个方程，解得\(\boldsymbol{b=-\frac{10}{9}}\)。

由此得到2次带权正交多项式：

\[\omega(x) = x^2 - \frac{10}{9}x + \frac{5}{21} \]

求正交多项式的零点（高斯点）

令\(\omega(x)=0\)，解二次方程\(x^2 - \frac{10}{9}x + \frac{5}{21}=0\)，用求根公式：

\[x = \frac{\frac{10}{9} \pm \sqrt{\left( \frac{10}{9} \right)^2 - 4 \times 1 \times \frac{5}{21}}}{2} \]

计算判别式：

\[\Delta = \frac{100}{81} - \frac{20}{21} = \frac{2100 - 1620}{1701} = \frac{480}{1701} \approx 0.2822 \]

\[\sqrt{\Delta} \approx 0.5312 \]

最终得到两个高斯点：

\[\boldsymbol{x_0 \approx 0.289949}, \quad \boldsymbol{x_1 \approx 0.821162} \]

3. 第二步：求解求积系数\(A_0,A_1\)

我们已经知道，2节点的高斯求积公式代数精度为3次，因此公式对所有次数≤3的多项式都精确成立。我们选择计算最简单的两个低次多项式\(f(x)=1\)和\(f(x)=x\)，代入公式得到线性方程组，求解系数。

代入\(f(x)=1\)，得到第一个方程

公式精确成立，因此：

\[\int_0^1 \sqrt{x} \cdot 1 dx = A_0 \cdot 1 + A_1 \cdot 1 \]

左边积分结果为\(\int_0^1 x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{2}{3}\)，因此：

\[\boldsymbol{A_0 + A_1 = \frac{2}{3}} \]

代入\(f(x)=x\)，得到第二个方程

公式精确成立，因此：

\[\int_0^1 \sqrt{x} \cdot x dx = A_0 x_0 + A_1 x_1 \]

左边积分结果为\(\int_0^1 x^{\frac{3}{2}}dx = \frac{2}{5}\)，代入\(x_0,x_1\)的数值，因此：

\[\boldsymbol{0.289949 A_0 + 0.821162 A_1 = \frac{2}{5} = 0.4} \]

解方程组，得到系数

将\(A_0 = \frac{2}{3} - A_1\)代入第二个方程，解得：

\[\boldsymbol{A_1 \approx 0.389111}, \quad \boldsymbol{A_0 \approx 0.277556} \]

4. 最终求积公式与精度验证

我们得到最终的带权高斯求积公式：

\[\int_0^1 \sqrt{x} f(x)dx \approx 0.277556 f(0.289949) + 0.389111 f(0.821162) \]

精度验证：

• 该公式对\(f(x)=1,x,x^2,x^3\)均精确成立，代数精度为3次，达到了2节点求积公式的理论上限；
• 对\(f(x)=x^4\)，公式不再精确成立，验证了最高代数精度为3次。

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二、高斯求积公式的余项（误差）推导与解析

我们已经知道高斯求积公式的代数精度为\(2n+1\)次，现在通过严格的数学推导，得到高斯求积的余项表达式，彻底搞懂它的误差来源与精度边界。

1. 余项的定义

高斯求积公式的余项，定义为积分的精确值与求积公式近似值的差：

\[R_n[f] = \int_a^b f(x)\rho(x)dx - \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \]

我们的目标是推导出\(R_n[f]\)的显式表达式。

2. 推导的核心工具：埃尔米特（Hermite）插值

为什么用埃尔米特插值？因为高斯求积的代数精度为\(2n+1\)次，而埃尔米特插值可以构造出\(2n+1\)次的多项式，完美匹配高斯求积的精度上限。

对于\(n+1\)个高斯点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)，我们构造埃尔米特插值多项式\(H_{2n+1}(x)\)，满足以下插值条件：

\[H_{2n+1}(x_k) = f(x_k), \quad H_{2n+1}'(x_k) = f'(x_k), \quad k=0,1,\dots,n \]

也就是在每个高斯点上，插值多项式不仅匹配函数值，还匹配一阶导数值。这样的插值多项式次数不超过\(2n+1\)次。

根据埃尔米特插值的余项公式，有：

\[f(x) - H_{2n+1}(x) = \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!} \cdot \omega_{n+1}^2(x), \quad \xi \in (a,b) \]

其中\(\omega_{n+1}(x) = \prod_{k=0}^n (x-x_k)\)，也就是我们之前构造的正交多项式，平方后是\(2n+2\)次多项式。

3. 余项的完整推导

1. 对埃尔米特插值余项公式，两边乘以权函数\(\rho(x)\)，在区间\([a,b]\)上积分：

   \[\int_a^b f(x)\rho(x)dx = \int_a^b H_{2n+1}(x)\rho(x)dx + \int_a^b \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!} \omega_{n+1}^2(x)\rho(x)dx \]

2. 分析第一项积分：\(H_{2n+1}(x)\)是次数≤\(2n+1\)的多项式，而高斯求积公式对所有次数≤\(2n+1\)的多项式精确成立，因此：

   \[\int_a^b H_{2n+1}(x)\rho(x)dx = \sum_{k=0}^n A_k H_{2n+1}(x_k) \]

   又因为\(H_{2n+1}(x_k)=f(x_k)\)，因此：

   \[\int_a^b H_{2n+1}(x)\rho(x)dx = \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \]

3. 将上式代入积分等式，移项得到余项：

   \[R_n[f] = \int_a^b \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!} \omega_{n+1}^2(x)\rho(x)dx \]

4. 用积分中值定理化简：
   注意到\(\omega_{n+1}^2(x) \ge 0\)，权函数\(\rho(x) \ge 0\)，因此\(\omega_{n+1}^2(x)\rho(x) \ge 0\)在\([a,b]\)上非负。若\(f(x)\)在\([a,b]\)上具有\(2n+2\)阶连续导数，根据积分第一中值定理，存在\(\eta \in (a,b)\)，使得：

   \[\int_a^b f^{(2n+2)}(\xi(x)) \omega_{n+1}^2(x)\rho(x)dx = f^{(2n+2)}(\eta) \int_a^b \omega_{n+1}^2(x)\rho(x)dx \]

5. 最终得到高斯求积公式的余项表达式：

   \[\boldsymbol{R_n[f] = \frac{f^{(2n+2)}(\eta)}{(2n+2)!} \int_a^b \omega_{n+1}^2(x)\rho(x)dx, \quad \eta \in (a,b)} \tag{4.36} \]

4. 余项公式的核心意义

1. 验证代数精度：当\(f(x)\)是次数≤\(2n+1\)的多项式时，\(f^{(2n+2)}(x) \equiv 0\)，因此余项\(R_n[f]=0\)，公式精确成立，完美印证了高斯求积的代数精度为\(2n+1\)次。
2. 误差估计：可以通过余项公式定量估计积分误差。若\(|f^{(2n+2)}(x)| \le M\)在\([a,b]\)上成立，则误差上界为：
   \[|R_n[f]| \le \frac{M}{(2n+2)!} \int_a^b \omega_{n+1}^2(x)\rho(x)dx \]

3. 精度优势的本质：同样\(n+1\)个节点，牛顿-柯特斯公式的余项最高为\(O(h^{n+2})\)，而高斯求积的余项与\(f^{(2n+2)}(\eta)\)相关，误差阶数高出一倍，这就是高斯求积用少量节点就能达到极高精度的根本原因。
4. 带权积分的适配性：余项公式天然适配带权积分，这是牛顿-柯特斯公式无法实现的，高斯求积可以直接处理带奇异权、无穷区间的积分。

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三、知识点核心总结

通过今天的讲解，大家需要牢牢掌握3个核心结论：

1. 带权高斯求积的构造流程：先根据权函数和区间，构造对应次数的带权正交多项式→求零点得到高斯点→通过低次多项式精确成立的条件，求解求积系数；
2. 高斯点的本质：带权正交多项式的零点，是让求积公式达到最高代数精度的最优节点，没有之一；
3. 余项的核心价值：不仅给出了高斯求积的误差估计方法，更从数学上严格证明了高斯求积的代数精度上限，是我们评估高斯求积精度的核心工具。

高斯求积之所以能成为高精度数值积分的首选，本质就是它通过正交多项式的最优节点，在有限节点数下，把求积公式的精度压榨到了理论极限，同时还保证了绝对的数值稳定性，这也是它在工程和科学计算中被广泛应用的根本原因。

高斯求积公式的稳定性与收敛性 深度讲解

各位同学，今天我们来学习高斯求积公式的两大核心优良性质——数值稳定性与收敛性。这两个性质，是高斯求积公式能突破牛顿-柯特斯公式的局限，成为工程与科学计算中高精度数值积分首选方法的根本原因。我从事数值分析教学五十余年，始终认为：判断一个数值方法是否具备工程实用价值，核心就看它的稳定性与收敛性，而高斯求积在这两点上做到了近乎完美。

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一、定理4.6 高斯求积系数的正性

定理内容

高斯求积公式

\[\int_a^b f(x)\rho(x)dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \]

的所有求积系数\(A_k \ (k=0,1,\dots,n)\)全为正数。

这个定理是高斯求积稳定性的核心基石，我们先完整拆解证明过程，再讲它的核心意义。

完整证明过程

步骤1：引入拉格朗日插值基函数

对于\(n+1\)个高斯点\(x_0,x_1,\dots,x_n\)，定义对应的拉格朗日插值基函数：

\[l_k(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j≠k}}^n \frac{x-x_j}{x_k-x_j}, \quad k=0,1,\dots,n \]

这是我们非常熟悉的基函数，它有两个核心性质：

1. 次数特性：\(l_k(x)\)是\(n\)次多项式，因此它的平方\(l_k^2(x)\)是\(2n\)次多项式；
2. 克罗内克δ特性：\(l_k(x_i) = \begin{cases} 1, & i=k \\ 0, & i≠k \end{cases}\)，也就是仅在对应节点\(x_k\)处取值为1，其余节点处均为0。

步骤2：利用高斯求积的代数精度，建立等式

我们已经知道，\(n+1\)个节点的高斯求积公式，代数精度为\(2n+1\)次。而\(l_k^2(x)\)是\(2n\)次多项式，次数≤\(2n+1\)，因此高斯求积公式对\(l_k^2(x)\)精确成立，即：

\[\int_a^b l_k^2(x)\rho(x)dx = \sum_{i=0}^n A_i \cdot l_k^2(x_i) \]

步骤3：分析积分的正性

我们看等式左边的积分：

• \(l_k^2(x)\)是平方项，在区间\([a,b]\)上满足\(l_k^2(x) ≥ 0\)，且不恒为0（仅在\(n\)个节点处为0，其余点均大于0）；
• 权函数\(\rho(x) ≥ 0\)是积分的权函数，非负且不恒为0。

因此，被积函数\(l_k^2(x)\rho(x)\)非负且不恒为0，在区间上的积分结果严格大于0，即：

\[0 < \int_a^b l_k^2(x)\rho(x)dx \]

步骤4：利用基函数特性化简求和式

我们看等式右边的求和式，根据\(l_k(x_i)\)的δ特性，只有当\(i=k\)时，\(l_k(x_i)=1\)，其余项均为0，因此：

\[\sum_{i=0}^n A_i \cdot l_k^2(x_i) = A_k \cdot l_k^2(x_k) = A_k \]

步骤5：最终结论

结合左右两边的结果，我们得到：

\[\boldsymbol{A_k = \int_a^b l_k^2(x)\rho(x)dx > 0} \]

对所有\(k=0,1,\dots,n\)成立，定理得证。

定理的核心意义

这个定理直接解决了牛顿-柯特斯公式的致命缺陷：

• 牛顿-柯特斯公式在节点数\(n≥8\)时，求积系数会出现负值，且\(\sum_{k=0}^n |A_k|\)会随\(n\)增大指数增长，导致输入误差被无限放大，计算不稳定；
• 高斯求积公式无论节点数多少，所有系数全为正数，从根本上杜绝了误差放大的可能，为数值稳定性提供了绝对保障。

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二、高斯求积公式的稳定性推论

推论内容

高斯求积公式是数值稳定的。

1. 先明确数值稳定性的定义

数值稳定性的核心是：输入数据的微小误差，不会导致计算结果的巨大偏差。
具体到求积公式中：设函数值\(f(x_k)\)存在测量/计算误差\(\varepsilon_k\)，即实际计算用的是\(\tilde{f}(x_k) = f(x_k) + \varepsilon_k\)，记最大绝对误差\(\varepsilon = \max_{0≤k≤n} |\varepsilon_k|\)。若求积结果的误差有界，且不会随节点数\(n\)增大而发散，则公式稳定。

2. 稳定性的严格证明

我们计算带误差的求积结果与真实结果的偏差：

\[\begin{align*} \left| \sum_{k=0}^n A_k \tilde{f}(x_k) - \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \right| &= \left| \sum_{k=0}^n A_k \cdot \varepsilon_k \right| \\ &\le \sum_{k=0}^n A_k \cdot |\varepsilon_k| \quad \text{（三角不等式）} \\ &\le \varepsilon \cdot \sum_{k=0}^n A_k \quad \text{（$|\varepsilon_k|≤\varepsilon$）} \end{align*} \]

接下来我们看\(\sum_{k=0}^n A_k\)的值：令\(f(x)≡1\)，高斯求积公式对常数函数精确成立，因此：

\[\sum_{k=0}^n A_k = \int_a^b 1 \cdot \rho(x)dx \]

这是一个仅与区间和权函数有关的固定常数，和节点数\(n\)完全无关，不会随\(n\)增大而增长。

因此，求积结果的误差始终满足：

\[\left| I_n[\tilde{f}] - I_n[f] \right| \le \varepsilon \cdot \int_a^b \rho(x)dx \]

输入的微小误差只会导致输出误差有界，不会被放大，高斯求积公式是稳定的。

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三、定理4.7 高斯求积公式的收敛性

定理内容

若被积函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续（即\(f(x) \in C[a,b]\)），则当节点数\(n \to \infty\)时，高斯求积的结果收敛到积分的精确值，即：

\[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) = \int_a^b f(x)\rho(x)dx \]

收敛性的核心意义

收敛性保证了：只要我们不断增加高斯点的数量，求积结果可以无限逼近积分的真值，不会出现发散的情况。这一点是牛顿-柯特斯公式完全无法做到的——牛顿-柯特斯公式对于连续函数，可能出现“龙格现象”，节点数\(n\)增大，结果反而发散，而高斯求积完全规避了这个问题。

收敛性的证明思路（教学简化版）

我们用数值分析中最经典的魏尔斯特拉斯逼近定理来证明，逻辑清晰且易于理解：

1. 魏尔斯特拉斯逼近定理：对闭区间\([a,b]\)上的任意连续函数\(f(x)\)，以及任意小的正数\(\varepsilon>0\)，总存在一个多项式\(P(x)\)，使得对所有\(x \in [a,b]\)，都有\(|f(x) - P(x)| < \varepsilon\)。
   简单来说：闭区间上的连续函数，总可以用多项式任意逼近。

2. 误差拆分：我们将积分的总误差拆分为三部分，用三角不等式放缩：

   \[\left| \int_a^b f(x)\rho(x)dx - \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \right| \le I_1 + I_2 + I_3 \]

   其中：

   • \(I_1 = \left| \int_a^b f(x)\rho(x)dx - \int_a^b P(x)\rho(x)dx \right|\)：函数逼近的积分误差；
   • \(I_2 = \left| \int_a^b P(x)\rho(x)dx - \sum_{k=0}^n A_k P(x_k) \right|\)：多项式的求积误差；
   • \(I_3 = \left| \sum_{k=0}^n A_k P(x_k) - \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \right|\)：函数逼近的求积误差。

3. 逐项放缩：

   1. 对\(I_1\)：由逼近定理，\(|f(x)-P(x)|<\varepsilon\)，因此
      \[I_1 \le \int_a^b |f(x)-P(x)|\rho(x)dx < \varepsilon \cdot \int_a^b \rho(x)dx \]

   2. 对\(I_2\)：设多项式\(P(x)\)的次数为\(m\)，只要节点数\(n\)足够大，总能满足\(2n+1 ≥ m\)，此时高斯求积对\(P(x)\)精确成立，因此\(I_2=0\)。
   3. 对\(I_3\)：利用系数全正的性质，
      \[I_3 \le \sum_{k=0}^n A_k |P(x_k)-f(x_k)| < \varepsilon \cdot \sum_{k=0}^n A_k = \varepsilon \cdot \int_a^b \rho(x)dx \]

4. 最终结论：
   总误差满足：

   \[\left| I[f] - I_n[f] \right| < 2\varepsilon \cdot \int_a^b \rho(x)dx \]

   由于\(\varepsilon\)可以任意小，因此当\(n \to \infty\)时，总误差可以任意趋近于0，即高斯求积的结果收敛到积分真值，定理得证。

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四、知识点核心总结

到这里，我们完整学习了高斯求积公式的全部核心理论，它的三大不可替代的优势可以总结为三句话：

1. 精度上限最高：\(n+1\)个节点就能达到\(2n+1\)次代数精度，是求积公式的理论上限；
2. 数值绝对稳定：所有求积系数全为正数，输入误差不会被放大，无论节点数多少都稳定；
3. 收敛性完全可靠：对闭区间上的连续函数，节点数增加必然收敛到积分真值，不会出现发散问题。

这三大优势，让高斯求积公式成为了高精度数值积分的行业标准，无论是有限元分析、量子力学积分计算、航天工程数值模拟，还是金融衍生品定价，只要涉及高精度积分计算，高斯求积都是首选方法。

高斯-勒让德求积公式 系统深度讲解

各位同学，今天我们来学习高斯型求积公式中最基础、工程应用最广泛的高斯-勒让德求积公式。高斯-勒让德求积是把高斯求积理论落地到常规积分计算的核心工具，是所有高精度数值积分的入门与基础，绝大多数工程中的有限区间普通积分，最终都会通过高斯-勒让德公式求解。

本次讲解我们遵循“理论定位→核心原理→低阶构造→节点系数→余项精度→区间变换→实例应用→优势总结”的完整教学逻辑，每一步都讲透原理，不跳关键推导，让大家不仅会用公式，更懂公式的本质。

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一、高斯-勒让德求积公式的定义与核心定位

1. 公式的核心定义

在通用高斯求积公式

\[\int_a^b f(x)\rho(x)dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \]

中，我们做两个最常规的限定：

• 权函数\(\boldsymbol{\rho(x)=1}\)（对应我们最常用的普通定积分，无加权）；
• 积分区间为标准对称区间\(\boldsymbol{[-1,1]}\)。

此时得到的高斯型求积公式，就称为高斯-勒让德求积公式，标准形式为：

\[\int_{-1}^1 f(x)dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \tag{4.37} \]

2. 高斯点的来源：勒让德正交多项式

根据我们之前学的高斯求积核心定理：带权正交多项式的零点，就是对应高斯求积的高斯点。

区间\([-1,1]\)上带权\(\rho(x)=1\)的正交多项式，正是勒让德多项式，其标准形式为：

\[P_0(x)=1, \quad P_1(x)=x, \quad P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1), \quad P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x), \dots \]

递推关系为：\((k+1)P_{k+1}(x)=(2k+1)xP_k(x)-kP_{k-1}(x)\)。

因此，高斯-勒让德求积公式的高斯点，就是\(n+1\)次勒让德多项式\(P_{n+1}(x)\)的零点；对应的求积系数，由高斯点通过插值基函数积分或线性方程组求解得到。

3. 核心特性

\(n+1\)个节点的高斯-勒让德求积公式，代数精度为\(\boldsymbol{2n+1}\)次，完美达到了\(n+1\)个节点求积公式的理论精度上限，这也是它的核心优势。

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二、低阶高斯-勒让德公式的完整构造

我们从1点、2点、3点公式入手，亲手完成公式的构造，彻底搞懂公式的来源，而不是死记硬背。

1. 1点高斯-勒让德公式（\(n=0\)，1个节点）

1次勒让德多项式\(P_1(x)=x\)，它的零点为\(x_0=0\)，这就是1点公式的高斯点。

构造求积公式：

\[\int_{-1}^1 f(x)dx \approx A_0 f(0) \]

令公式对\(f(x)=1\)（0次多项式）精确成立，代入得：

\[\int_{-1}^1 1 dx = 2 = A_0 \cdot 1 \implies A_0=2 \]

最终1点高斯-勒让德公式为：

\[\int_{-1}^1 f(x)dx \approx 2f(0) \]

这个公式就是我们熟悉的中矩形公式，代数精度为1次，完美符合\(2n+1=1\)的理论上限。

2. 2点高斯-勒让德公式（\(n=1\)，2个节点）

2次勒让德多项式\(P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)\)，令\(P_2(x)=0\)，解得零点：

\[x_0 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.5773503, \quad x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.5773503 \]

这就是2点公式的高斯点。

构造求积公式：

\[\int_{-1}^1 f(x)dx \approx A_0 f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + A_1 f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

2点公式的代数精度最高为3次，因此令公式对\(f(x)=1,x\)（1次多项式）精确成立，得到线性方程组：

\[\begin{cases} A_0 + A_1 = \int_{-1}^1 1 dx = 2 \\ A_0 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + A_1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \int_{-1}^1 x dx = 0 \end{cases} \]

解方程组得\(A_0=A_1=1\)，最终2点高斯-勒让德公式为：

\[\int_{-1}^1 f(x)dx \approx f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]

这个公式我们在例4.8中已经推导过，它的代数精度为3次，仅用2个节点就达到了辛普森公式（3个节点）的精度，优势已经非常明显。

3. 3点高斯-勒让德公式（\(n=2\)，3个节点）

3次勒让德多项式\(P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)\)，令\(P_3(x)=0\)，解得零点：

\[x_0 = -\frac{\sqrt{15}}{5} \approx -0.7745967, \quad x_1=0, \quad x_2 = \frac{\sqrt{15}}{5} \approx 0.7745967 \]

同理，通过\(f(x)=1,x,x^2\)精确成立求解系数，最终得到3点高斯-勒让德公式：

\[\int_{-1}^1 f(x)dx \approx \frac{5}{9}f\left(-\frac{\sqrt{15}}{5}\right) + \frac{8}{9}f(0) + \frac{5}{9}f\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) \]

这个公式的代数精度为5次，仅用3个节点就达到了5次代数精度，远超同节点数的牛顿-柯特斯公式。

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三、高斯-勒让德求积公式的节点与系数表

在实际工程计算中，我们不需要每次都求解勒让德多项式的零点和系数，直接使用已经计算好的标准节点与系数表即可。教材表4-7给出了常用节点数的高斯-勒让德参数，我们整理并明确参数含义：

节点数\(m=n+1\)	多项式次数\(n\)	高斯点\(x_k\)	求积系数\(A_k\)	代数精度
1	0	0.0000000	2.0000000	1次
2	1	±0.5773503	1.0000000	3次
3	2	±0.7745967 0.0000000	0.5555556 0.8888889	5次
4	3	±0.8611363 ±0.3399810	0.3478548 0.6521452	7次
5	4	±0.9061798 ±0.5384693 0.0000000	0.2369269 0.4786287 0.5688889	9次
6	5	±0.9324695 ±0.6612094 ±0.2386192	0.1713245 0.3607616 0.4679139	11次

表格使用说明

1. 表中\(n\)为勒让德多项式的次数，对应节点数为\(m=n+1\)，代数精度为\(2n+1\)次；
2. 节点关于原点对称，系数也对称，计算时可以利用对称性减少一半的函数求值次数；
3. 所有系数均为正数，保证了公式的绝对数值稳定性。

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四、高斯-勒让德求积公式的余项与精度分析

1. 余项公式的推导

根据通用高斯求积公式的余项公式：

\[R_n[f] = \frac{f^{(2n+2)}(\eta)}{(2n+2)!} \int_a^b \omega_{n+1}^2(x)\rho(x)dx, \quad \eta \in (a,b) \]

对于高斯-勒让德公式，\(a=-1,b=1,\rho(x)=1\)，\(\omega_{n+1}(x)\)是首一勒让德多项式（最高次项系数为1），代入积分结果，最终得到高斯-勒让德公式的余项：

\[\boldsymbol{R_n[f] = \frac{2^{2n+3}\left[(n+1)!\right]^4}{(2n+3)\left[(2n+2)!\right]^3} f^{(2n+2)}(\eta), \quad \eta \in (-1,1)} \]

2. 精度对比：高斯-勒让德 vs 牛顿-柯特斯

我们以2节点公式（\(n=1\)）为例，直观对比精度优势：

• 2节点高斯-勒让德公式余项：\(R_1[f] = \frac{1}{135}f^{(4)}(\eta)\)，代数精度3次，仅需2个节点；
• 同精度的辛普森公式（牛顿-柯特斯\(n=2\)）余项：\(R[f] = -\frac{1}{90}f^{(4)}(\eta)\)，代数精度3次，需要3个节点。

可以看到：高斯-勒让德公式用更少的节点，获得了更小的余项系数，精度更高。随着节点数增加，这个优势会被无限放大：5节点高斯-勒让德公式代数精度达到9次，而牛顿-柯特斯公式需要10个节点才能达到9次精度，且\(n≥8\)时已经不稳定。

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五、任意区间\([a,b]\)的积分变换方法

高斯-勒让德公式的标准区间是\([-1,1]\)，但工程中绝大多数积分区间是任意的\([a,b]\)，因此我们需要通过线性变量替换，将任意区间映射到标准区间\([-1,1]\)，这是高斯-勒让德公式工程应用的核心步骤。

1. 线性变换公式

我们构造线性变换，将\(x \in [a,b]\)映射到\(t \in [-1,1]\)：

\[\boldsymbol{x = \frac{b-a}{2} t + \frac{a+b}{2}} \]

这个变换的核心特点：

• 当\(t=-1\)时，\(x=a\)；当\(t=1\)时，\(x=b\)，完美覆盖区间；
• 求导得\(dx = \frac{b-a}{2} dt\)，变换简单，无复杂计算。

2. 积分变换结果

将变换代入定积分，得到：

\[\boldsymbol{\int_a^b f(x)dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \right) dt} \tag{4.38} \]

变换后的积分，就是标准区间\([-1,1]\)上的定积分，可以直接使用高斯-勒让德求积公式计算。

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六、实例解析：高斯-勒让德公式的完整计算流程

我们通过教材例4.10，完整走一遍高斯-勒让德公式的计算流程，让大家掌握实际应用方法。

题目

用4点（\(n=3\)，4个节点）的高斯-勒让德求积公式，计算积分

\[I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx \]

积分的精确值为\(0.467401\cdots\)。

步骤1：区间线性变换

积分区间\([a,b] = [0, \frac{\pi}{2}]\)，代入变换公式：

\[x = \frac{\frac{\pi}{2} - 0}{2} t + \frac{0 + \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}(t+1) \]

\[dx = \frac{\pi}{4} dt \]

将变换代入积分，化简得：

\[\begin{align*} I &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx \\ &= \frac{\pi}{4} \int_{-1}^1 \left[ \frac{\pi}{4}(t+1) \right]^2 \cos\left( \frac{\pi}{4}(t+1) \right) dt \\ &= \boldsymbol{\left( \frac{\pi}{4} \right)^3 \int_{-1}^1 (1+t)^2 \cos\left( \frac{\pi(1+t)}{4} \right) dt} \end{align*} \]

步骤2：确定4点公式的节点与系数

查表得\(n=3\)（4节点）的高斯-勒让德参数：

高斯点\(t_k\)	求积系数\(A_k\)
-0.8611363	0.3478548
-0.3399810	0.6521452
0.3399810	0.6521452
0.8611363	0.3478548

步骤3：计算每个节点的函数值

令被积函数\(F(t) = (1+t)^2 \cos\left( \frac{\pi(1+t)}{4} \right)\)，分别计算4个节点的\(F(t_k)\)：

1. \(t_0=-0.8611363\)：\(F(t_0) \approx 0.008913\)
2. \(t_1=-0.3399810\)：\(F(t_1) \approx 0.383015\)
3. \(t_2=0.3399810\)：\(F(t_2) \approx 1.320490\)
4. \(t_3=0.8611363\)：\(F(t_3) \approx 1.993955\)

步骤4：代入公式计算积分

首先计算标准区间的积分近似值：

\[近似值： \]

\begin{align}
\int_{-1}^1 F(t)dt &\approx \sum_{k=0}^3 A_k F(t_k) \
&= 0.3478548\times0.008913 + 0.6521452\times0.383015 + 0.6521452\times1.320490 + 0.3478548\times1.993955 \
&\approx 1.913269
\end{align}

\[ 再乘以区间变换系数$\left( \frac{\pi}{4} \right)^3$，得到最终结果： $$I \approx \left( \frac{\pi}{4} \right)^3 \times 1.913269 \approx 0.467402\]

结果分析

仅用4个节点，计算结果与精确值\(0.467401\)的误差仅为\(10^{-6}\)量级，达到了6位有效数字，精度极高，完美体现了高斯-勒让德公式的优势。

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七、核心优势、适用场景与注意事项

1. 核心优势

1. 精度天花板：\(n+1\)个节点达到\(2n+1\)次代数精度，是同节点数下的理论最高精度，远超牛顿-柯特斯公式；
2. 计算效率极高：同样精度要求下，节点数远少于复合梯形、复合辛普森公式，尤其适合被积函数求值成本高的场景；
3. 数值绝对稳定：所有求积系数全为正数，无论节点数多少，都不会出现牛顿-柯特斯公式的负系数不稳定问题；
4. 实现简单：标准节点与系数已提前计算好，仅需完成区间变换和函数求值，编程实现极其简单。

2. 适用场景

• 工程与科学计算中，有限区间上的高精度普通定积分计算；
• 有限元分析、计算流体力学、量子力学等领域的单元刚度矩阵、积分项计算；
• 被积函数光滑性好，对积分精度有严格要求的场景。

3. 注意事项

1. 被积函数的光滑性越好，高斯-勒让德公式的精度优势越明显；若被积函数有间断、奇点，需先做奇点处理，或选择对应权函数的其他高斯型公式；
2. 无穷区间积分、带奇异权的积分，不适合直接用高斯-勒让德公式，应选择高斯-拉盖尔、高斯-埃尔米特、高斯-切比雪夫等对应高斯型公式；
3. 节点数无需盲目增加，一般5~10个节点就能达到绝大多数工程场景的精度要求，节点数过多会增加不必要的计算量。

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八、总结

高斯-勒让德求积公式，是高斯求积理论最经典的落地应用，它通过勒让德正交多项式的零点作为高斯点，在标准区间\([-1,1]\)上实现了求积公式的理论最高精度，再通过简单的线性变换，适配所有有限区间的普通积分。

从教学角度，大家需要掌握的核心可以总结为3句话：

1. 核心本质：区间\([-1,1]\)上带权\(\rho(x)=1\)的高斯型求积，高斯点是勒让德多项式的零点；
2. 工程核心：通过线性变换将任意区间映射到\([-1,1]\)，直接使用标准节点与系数表计算；
3. 核心优势：用最少的节点，达到最高的精度，同时保证绝对的数值稳定性。

掌握了高斯-勒让德求积公式，就掌握了高精度数值积分的核心工具，这也是大家后续学习工程数值计算的重要基础。

高斯-切比雪夫求积公式 系统深度讲解

各位同学，今天我们来学习第二类经典的高斯型求积公式——高斯-切比雪夫求积公式。高斯-切比雪夫公式是带权高斯求积最具代表性的应用，它完美解决了「区间端点带奇异权函数的积分」这一工程难题，同时凭借节点与系数的解析表达式，成为所有高斯型公式中计算最简便、工程落地性极强的一类方法。

本次讲解我们遵循「定位→理论→公式→余项→实例→优势」的完整逻辑，把公式的本质、用法、适用场景讲透，让大家不仅会算，更懂为什么这么算。

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一、公式的定义与核心定位

1. 公式的标准定义

在高斯求积的通用框架中，我们做如下限定：

• 积分区间：标准对称区间\(\boldsymbol{[-1,1]}\)
• 权函数：\(\boldsymbol{\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)（区间端点\(x=\pm1\)处存在奇异性）

此时得到的高斯型求积公式，称为高斯-切比雪夫求积公式，标准形式为：

\[\int_{-1}^1 \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \tag{4.39} \]

2. 核心定位与解决的痛点

这个公式的核心价值，是解决带端点奇异性的积分计算问题：

• 权函数\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)在\(x\to\pm1\)时趋于无穷大，属于奇异积分；
• 常规的牛顿-柯特斯公式、高斯-勒让德公式处理这类积分时，会因端点奇异性出现收敛极慢、误差极大的问题；
• 高斯-切比雪夫公式将奇异权函数纳入正交性的构造中，完美适配这类积分，无需额外做奇点处理，就能实现高精度计算。

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二、核心理论基础：切比雪夫正交多项式与高斯点

根据高斯求积的核心定理：带权高斯求积的高斯点，是对应区间、对应权函数的正交多项式的零点。

对于区间\([-1,1]\)、权函数\(\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，其对应的正交多项式正是第一类切比雪夫多项式，标准形式为：

\[T_n(x) = \cos(n \cdot \arccos x), \quad x\in[-1,1] \]

它的核心正交性为：

\[\int_{-1}^1 \frac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \begin{cases} 0, & m≠n \\ \pi, & m=n=0 \\ \frac{\pi}{2}, & m=n≠0 \end{cases}\]

因此，高斯-切比雪夫求积公式的高斯点，就是\(n+1\)次第一类切比雪夫多项式\(T_{n+1}(x)\)的零点。

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三、公式的标准形式、节点与求积系数

切比雪夫多项式的零点有完全解析的表达式，无需数值求解、无需查表，这是高斯-切比雪夫公式最突出的优势之一。

1. \(n+1\)个节点的标准形式

\(n+1\)次切比雪夫多项式\(T_{n+1}(x)\)的零点为：

\[\boldsymbol{x_k = \cos\left( \frac{2k+1}{2n+2}\pi \right), \quad k=0,1,2,\dots,n} \]

对应的求积系数，通过正交性积分计算可得：所有系数完全相等，即

\[\boldsymbol{A_k = \frac{\pi}{n+1}, \quad k=0,1,2,\dots,n} \]

2. 工程常用的\(n\)个节点简化形式

实际工程计算中，我们更常用\(n\)个节点的形式（对应\(n\)次切比雪夫多项式\(T_n(x)\)的零点），公式简化为：

\[\boldsymbol{x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n}\pi \right), \quad k=1,2,\dots,n} \]

\[\boldsymbol{\int_{-1}^1 \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k)} \tag{4.40} \]

这个形式的核心优势：

• 节点有解析公式，直接计算即可，无需查表；
• 所有系数均为\(\frac{\pi}{n}\)，无需单独计算，编程实现极其简单；
• 代数精度仍达到\(2n-1\)次，完美符合高斯求积的理论精度上限。

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四、余项公式与代数精度

1. 余项公式

根据高斯求积的通用余项公式，结合切比雪夫多项式的积分性质，可推导出\(n\)个节点的高斯-切比雪夫求积公式的余项为：

\[\boldsymbol{R[f] = \frac{2\pi}{2^{2n} \cdot (2n)!} f^{(2n)}(\eta), \quad \eta \in (-1,1)} \tag{4.41} \]

2. 代数精度

\(n\)个节点的高斯-切比雪夫求积公式，代数精度为\(\boldsymbol{2n-1}\)次，即对所有次数不超过\(2n-1\)的多项式，公式精确成立，达到了\(n\)个节点求积公式的理论精度上限。

余项公式也印证了这一点：当\(f(x)\)是次数≤\(2n-1\)的多项式时，\(f^{(2n)}(x)≡0\)，余项\(R[f]=0\)，公式精确成立。

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五、完整实例解析（例4.11）

我们通过教材例题，完整走一遍高斯-切比雪夫公式的计算流程，让大家掌握实际用法。

题目

用5点（\(n=5\)）的高斯-切比雪夫求积公式，计算积分

\[I = \int_{-1}^1 \frac{e^x}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

并估计误差。

步骤1：确定公式形式与参数

我们使用\(n=5\)个节点的简化形式，对应：

• 节点数\(n=5\)，系数统一为\(\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{5}\)；
• 节点公式：\(x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2\times5}\pi \right) = \cos\left( \frac{2k-1}{10}\pi \right), \quad k=1,2,3,4,5\)。

步骤2：计算5个高斯点

分别计算每个节点的数值：

1. \(k=1\)：\(x_1 = \cos\left( \frac{1}{10}\pi \right) = \cos18^\circ \approx 0.9510565\)
2. \(k=2\)：\(x_2 = \cos\left( \frac{3}{10}\pi \right) = \cos54^\circ \approx 0.5877853\)
3. \(k=3\)：\(x_3 = \cos\left( \frac{5}{10}\pi \right) = \cos90^\circ = 0\)
4. \(k=4\)：\(x_4 = \cos\left( \frac{7}{10}\pi \right) = \cos126^\circ \approx -0.5877853\)
5. \(k=5\)：\(x_5 = \cos\left( \frac{9}{10}\pi \right) = \cos162^\circ \approx -0.9510565\)

步骤3：计算每个节点的函数值

被积函数中需要代入公式的部分为\(f(x)=e^x\)，分别计算：

1. \(f(x_1)=e^{0.9510565} \approx 2.588443\)
2. \(f(x_2)=e^{0.5877853} \approx 1.800042\)
3. \(f(x_3)=e^0 = 1\)
4. \(f(x_4)=e^{-0.5877853} \approx 0.555556\)
5. \(f(x_5)=e^{-0.9510565} \approx 0.386333\)

步骤4：代入公式计算积分结果

\[\begin{align*} I &\approx \frac{\pi}{5} \sum_{k=1}^5 f(x_k) \\ &= \frac{\pi}{5} \times (2.588443 + 1.800042 + 1 + 0.555556 + 0.386333) \\ &= \frac{\pi}{5} \times 6.330374 \\ &\approx 3.977463 \end{align*} \]

步骤5：误差估计

\(f(x)=e^x\)的任意阶导数均为\(e^x\)，因此\(f^{(2n)}(x)=f^{(10)}(x)=e^x\)，在\([-1,1]\)上的最大值为\(e^1=e\)。

代入余项公式，误差上界为：

\[\begin{align*} |R[f]| &\le \frac{2\pi}{2^{10} \times 10!} \times e \\ &= \frac{2\pi}{1024 \times 3628800} \times 2.71828 \\ &\approx 4.6 \times 10^{-9} \end{align*} \]

结果分析

仅用5个节点，就达到了\(10^{-9}\)量级的误差，精度极高，完美体现了高斯-切比雪夫公式处理奇异积分的强大能力。

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六、核心优势与适用场景

1. 核心优势

1. 完美适配奇异积分：将端点奇异权函数纳入正交构造，无需奇点处理，就能高精度计算带\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)奇异性的积分，这是常规求积公式无法实现的；
2. 计算极其简便：节点和系数都有完全解析的表达式，无需查表、无需数值求解零点，编程实现仅需几行代码；
3. 系数全相等：所有求积系数相同，避免了系数计算的误差，同时进一步简化了计算；
4. 精度高、稳定性好：作为高斯型求积公式，系数全为正，数值绝对稳定，同时达到理论最高代数精度，少量节点就能实现极高精度。

2. 适用场景

• 区间端点带\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)奇异性的奇异积分计算；
• 傅里叶级数、傅里叶变换的数值计算；
• 微分方程、积分方程的数值求解（尤其是边界层问题、振动问题）；
• 工程中的电磁场计算、流体力学、结构力学中的积分项求解；
• 数值逼近中的切比雪夫逼近、最佳一致逼近相关的积分计算。

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七、补充说明与使用注意事项

1. 区间变换：若积分区间不是\([-1,1]\)，可通过线性变换\(x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}\)，将区间\([a,b]\)映射到\([-1,1]\)，再代入公式计算；
2. 非标准权函数的处理：若积分的奇异权函数不是\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，需选择对应权函数的高斯型公式（如高斯-拉盖尔、高斯-埃尔米特等），不可直接套用高斯-切比雪夫公式；
3. 节点数选择：高斯-切比雪夫公式收敛极快，一般5~10个节点就能满足绝大多数工程场景的精度要求，无需盲目增加节点数；
4. 光滑性要求：被积函数\(f(x)\)的光滑性越好，公式的精度越高；若\(f(x)\)本身存在间断、奇点，需先做对应处理，再使用公式。

无穷区间的高斯型求积公式 系统深度讲解

各位同学，今天我们来学习数值积分中处理无穷区间积分的核心工具——无穷区间高斯型求积公式。我从事数值分析教学与研究五十余年，始终认为：常规的有限区间求积公式（牛顿-柯特斯、高斯-勒让德），面对工程与科学计算中大量出现的无穷区间积分，要么因区间截断引入不可控误差，要么收敛极慢完全无法使用；而无穷区间高斯型求积公式，通过将无穷区间的衰减权函数纳入正交多项式的构造，从根本上解决了无穷区间高精度积分的难题，是概率统计、量子力学、信号处理、热传导等领域的核心数值工具。

本次讲解我们聚焦两类最常用的无穷区间高斯型公式：高斯-拉盖尔求积公式（半无穷区间\([0,+\infty)\)）和高斯-埃尔米特求积公式（全无穷区间\((-\infty,+\infty)\)），遵循「定位→理论基础→公式构造→余项精度→实例解析→优势场景」的完整逻辑，把每一个知识点讲透。

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一、高斯-拉盖尔求积公式（半无穷区间\([0,+\infty)\)）

1. 核心定位与适用场景

高斯-拉盖尔求积公式，专门用于处理半无穷区间\([0,+\infty)\)、带权函数\(\boldsymbol{\rho(x)=e^{-x}}\)的带权积分，是工程中处理指数衰减型无穷积分的首选高精度方法，典型场景包括排队论、可靠性分析、热传导瞬态积分、化学反应动力学中的无穷积分计算。

2. 理论基础：拉盖尔正交多项式

根据高斯求积的核心定理：高斯点是对应区间、对应权函数的正交多项式的零点。
区间\([0,+\infty)\)上带权\(\rho(x)=e^{-x}\)的正交多项式，正是拉盖尔多项式，其标准定义为：

\[L_n(x) = e^x \frac{d^n}{dx^n}\left( x^n e^{-x} \right), \quad n=0,1,2,\dots \]

拉盖尔多项式具备核心正交性：

\[\int_0^{+\infty} e^{-x} L_m(x)L_n(x)dx = \begin{cases} 0, & m≠n \\ (n!)^2, & m=n \end{cases}\]

因此，\(n+1\)个节点的高斯-拉盖尔求积公式的高斯点，就是\(n+1\)次拉盖尔多项式\(L_{n+1}(x)\)的零点。

3. 标准求积公式与参数

（1）标准公式形式

\[\int_0^{+\infty} e^{-x} f(x)dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \]

其中：

• \(x_k\)：\(n+1\)次拉盖尔多项式\(L_{n+1}(x)\)的零点（高斯点）；
• \(A_k\)：对应高斯点的求积系数，解析表达式为：
  \[\boldsymbol{A_k = \frac{\left[(n+1)!\right]^2}{x_k \cdot \left[ L'_{n+1}(x_k) \right]^2}, \quad k=0,1,\dots,n} \]

（2）余项公式与代数精度

高斯-拉盖尔求积公式的余项为：

\[\boldsymbol{R[f] = \frac{\left[(n+1)!\right]^2}{(2n+2)!} f^{(2n+2)}(\xi), \quad \xi \in [0,+\infty)} \]

由此可知：\(n+1\)个节点的高斯-拉盖尔公式，代数精度为\(\boldsymbol{2n+1}\)次，完美达到了\(n+1\)个节点求积公式的理论精度上限。

（3）节点与系数表

实际工程计算中，无需手动求解拉盖尔多项式的零点和系数，直接使用标准节点系数表即可，教材表4-8整理了常用节点数的参数：

节点数\(m=n+1\)	多项式次数\(n\)	高斯点\(x_k\)	求积系数\(A_k\)
1	0	1.0000000	1.0000000
2	1	0.585786438 3.414213562	0.853553391 0.146446609
3	2	0.415774557 2.294280360 6.289945083	0.711093010 0.278517734 0.010389257
4	3	0.322547690 1.745761101 4.536620297 9.395070912	0.603154104 0.357418692 0.038887909 0.000539295
6	5	0.222846604 1.188932102 2.992736326 5.775143569 9.837467418 15.982873981	0.458964674 0.417000831 0.113373382 0.010399197 0.261017203×10⁻³ 0.898547906×10⁻⁶

核心特性：

1. 所有求积系数全为正数，保证公式绝对数值稳定；
2. 系数和为1：令\(f(x)=1\)，代入公式得\(\sum_{k=0}^n A_k = \int_0^{+\infty}e^{-x}dx=1\)，可用于验证系数的正确性。

4. 实例解析（例4.12）

题目：用高斯-拉盖尔求积公式计算积分\(I = \int_0^{+\infty} e^{-x}\sin x dx\)，积分精确值为0.5（可通过分部积分验证）。

计算过程

1. 2节点计算（\(n=1\)）：
   查表得高斯点\(x_0=0.585786438\)，\(x_1=3.414213562\)；系数\(A_0=0.853553391\)，\(A_1=0.146446609\)。
   代入公式：

   \[I \approx A_0\sin x_0 + A_1\sin x_1 = 0.853553391\times\sin0.585786438 + 0.146446609\times\sin3.414213562 \approx 0.43246 \]

2. 3节点计算（\(n=2\)）：
   代入3节点参数计算，得\(I\approx0.49603\)，精度大幅提升。

3. 6节点计算（\(n=5\)）：
   代入6节点参数计算，得\(I\approx0.50005\)，与精确值的误差仅为\(5\times10^{-5}\)，仅用6个节点就达到了极高精度。

结果分析：高斯-拉盖尔公式无需对无穷区间做截断，完全避免了截断误差，仅用少量节点就能实现高精度计算，这是常规有限区间求积公式无法实现的。

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二、高斯-埃尔米特求积公式（全无穷区间\((-\infty,+\infty)\)）

1. 核心定位与适用场景

高斯-埃尔米特求积公式，专门用于处理全无穷区间\((-\infty,+\infty)\)、带权函数\(\boldsymbol{\rho(x)=e^{-x^2}}\)的带权积分，是科学计算中应用最广的无穷区间求积公式，典型场景包括：概率统计中正态分布的矩计算、量子力学中的谐振子问题、信号处理中的高斯滤波与傅里叶变换、热传导中的无穷区域问题。

2. 理论基础：埃尔米特正交多项式

区间\((-\infty,+\infty)\)上带权\(\rho(x)=e^{-x^2}\)的正交多项式，是埃尔米特多项式，其标准定义为：

\[H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}, \quad n=0,1,2,\dots \]

埃尔米特多项式具备核心正交性：

\[\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} H_m(x)H_n(x)dx = \begin{cases} 0, & m≠n \\ 2^n n! \sqrt{\pi}, & m=n \end{cases}\]

同时，埃尔米特多项式是奇偶交替的多项式，其零点关于原点对称，对应的求积系数也对称，可大幅简化计算。

因此，\(n+1\)个节点的高斯-埃尔米特求积公式的高斯点，就是\(n+1\)次埃尔米特多项式\(H_{n+1}(x)\)的零点。

3. 标准求积公式与参数

（1）标准公式形式

\[\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} f(x)dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \tag{4.42} \]

其中：

• \(x_k\)：\(n+1\)次埃尔米特多项式\(H_{n+1}(x)\)的零点（高斯点）；
• \(A_k\)：对应高斯点的求积系数，解析表达式为：
  \[\boldsymbol{A_k = \frac{2^{n+2}(n+1)! \sqrt{\pi}}{\left[ H'_{n+1}(x_k) \right]^2} \tag{4.43}} \]

（2）余项公式与代数精度

高斯-埃尔米特求积公式的余项为：

\[\boldsymbol{R[f] = \frac{(n+1)! \sqrt{\pi}}{2^{n+1}(2n+2)!} f^{(2n+2)}(\xi), \quad \xi \in (-\infty,+\infty)} \]

由此可知：\(n+1\)个节点的高斯-埃尔米特公式，代数精度为\(\boldsymbol{2n+1}\)次，达到理论精度上限。

（3）节点与系数表

教材表4-9整理了常用节点数的参数，核心特性是节点与系数均关于原点对称：

节点数\(m=n+1\)	多项式次数\(n\)	高斯点\(x_k\)	求积系数\(A_k\)
1	0	0.0000000	1.772453851
2	1	±0.707106781	0.886226926
3	2	±1.224744871 0.0000000	0.295408975 1.181635901
4	3	±1.650680124 ±0.524647623	0.081312835 0.804914090
7	6	±2.651961357 ±1.673551629 ±0.816287883 0.0000000	0.0009717812 0.0545155828 0.425607253 0.810264618

核心特性：

1. 所有求积系数全为正数，保证公式绝对数值稳定；
2. 系数和为\(\sqrt{\pi}\)：令\(f(x)=1\)，代入公式得\(\sum_{k=0}^n A_k = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\)，可用于验证系数的正确性；
3. 对称特性：节点关于原点对称，系数也对称，计算时可仅计算一半节点的函数值，减少一半计算量。

4. 实例解析（例4.13）

题目：用2节点的高斯-埃尔米特求积公式计算积分\(I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} x^2 dx\)，积分精确值为\(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)。

计算过程

1. 确定高斯点与系数：2次埃尔米特多项式\(H_2(x)=4x^2-2\)，令\(H_2(x)=0\)，解得零点（高斯点）\(x_0=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(x_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\)；
2. 计算求积系数：根据系数公式，解得\(A_0=A_1=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)；
3. 代入公式计算：
   \[\begin{align*} I &\approx A_0 x_0^2 + A_1 x_1^2 \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{\sqrt{\pi}}{2} \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align*} \]

结果分析：计算结果与精确值完全一致，因为2节点高斯-埃尔米特公式的代数精度为3次，而被积函数中的\(f(x)=x^2\)是2次多项式，公式对其精确成立，完美验证了高斯求积的代数精度特性。

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三、核心优势与使用注意事项

1. 核心优势

1. 彻底解决无穷区间积分难题：无需对无穷区间做截断，完全避免了截断误差，这是常规有限区间求积公式无法比拟的核心优势；
2. 精度极高、收敛极快：\(n+1\)个节点达到\(2n+1\)次代数精度，少量节点就能实现极高精度，尤其适合被积函数光滑性好的场景；
3. 数值绝对稳定：所有求积系数全为正数，无论节点数多少，都不会出现牛顿-柯特斯公式的负系数不稳定问题；
4. 实现简单：节点和系数有标准表可查，对称节点可大幅简化计算，编程实现仅需几行代码。

2. 使用注意事项

1. 权函数匹配：高斯-拉盖尔和高斯-埃尔米特公式，仅对带对应权函数的积分直接适用；若积分形式不匹配，需先做恒等变形，将权函数分离出来。
   例：计算\(\int_0^{+\infty} e^{-2x} f(x)dx\)，可做变量替换\(t=2x\)，转化为\(\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}e^{-t}f(t/2)dt\)，再用高斯-拉盖尔公式计算。
2. 光滑性要求：被积函数\(f(x)\)的光滑性越好，公式的精度越高；若\(f(x)\)存在间断、奇点，需先做对应处理，再使用公式。
3. 节点数选择：无穷区间高斯公式收敛极快，一般5~10个节点就能满足绝大多数工程场景的精度要求，无需盲目增加节点数。

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四、总结

无穷区间的高斯型求积公式，是高斯求积理论在无穷区间的完美延伸，它通过将无穷区间的衰减权函数纳入正交多项式的构造，突破了有限区间求积的局限，实现了无穷区间积分的高精度、高稳定性计算。

从教学角度，大家需要掌握的核心可以总结为3句话：

1. 高斯-拉盖尔：适配半无穷区间\([0,+\infty)\)，权函数\(e^{-x}\)，解决指数衰减型无穷积分；
2. 高斯-埃尔米特：适配全无穷区间\((-\infty,+\infty)\)，权函数\(e^{-x^2}\)，解决高斯型无穷积分，是概率统计领域的核心工具；
3. 核心本质：和所有高斯型求积公式一致，通过正交多项式的零点作为高斯点，用最少的节点达到理论最高的代数精度，同时保证绝对的数值稳定性。