4.3复合求积公式+本授课

复合求积公式 深度讲解

复合求积公式是工程中实际落地使用的核心数值积分方法，完美解决了牛顿-柯特斯公式的两大痛点：高阶公式不稳定、低阶公式大区间误差大。核心思想是化整为零、分而治之：将大积分区间等分为若干小子区间，在每个子区间上用稳定的低阶求积公式（梯形、辛普森），最后将结果累加，既保证计算稳定性，又通过缩小子区间步长大幅降低误差。

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一、复合求积法的核心背景

1. 高阶牛顿-柯特斯公式的缺陷：当等分数\(n≥8\)时，柯特斯系数出现负值，输入误差会被放大，计算不稳定，无法通过提高阶数提升精度；
2. 低阶牛顿-柯特斯公式的缺陷：在整个区间\([a,b]\)上直接使用时，余项与区间长度的高次幂成正比，区间越大，误差越大，精度无法满足工程需求；
3. 解决思路：将\([a,b]\)等分为\(n\)个小子区间，每个子区间长度\(h\)大幅缩小，误差随\(h\)的高次幂快速衰减；同时子区间上使用低阶公式，求积系数全为正，保证计算稳定。

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二、复合梯形公式

1. 公式推导与标准形式

区间划分

将积分区间\([a,b]\)做\(n\)等分，分点为：

\[x_k = a + kh, \quad h = \frac{b-a}{n}, \quad k=0,1,2,\dots,n \]

得到\(n\)个连续的子区间：\([x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots,[x_{n-1},x_n]\)。

子区间应用梯形公式

在每个子区间\([x_k, x_{k+1}]\)上使用梯形公式：

\[\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)dx \approx \frac{h}{2}\left[ f(x_k) + f(x_{k+1}) \right] \]

累加求和与公式化简

将所有子区间的结果累加，得到总积分的近似值：

\[I = \int_a^b f(x)dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)dx \approx \sum_{k=0}^{n-1} \frac{h}{2}\left[ f(x_k) + f(x_{k+1}) \right] \]

展开求和式后，中间节点的函数值\(f(x_1),f(x_2),\dots,f(x_{n-1})\)会出现2次，仅首尾端点\(f(a)=f(x_0)\)、\(f(b)=f(x_n)\)出现1次，因此化简得到复合梯形公式的标准形式：

\[T_n = \frac{h}{2}\left[ f(a) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b) \right] \tag{4.13} \]

2. 余项与误差阶

余项推导

单个子区间\([x_k,x_{k+1}]\)上梯形公式的余项为：

\[\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)dx - \frac{h}{2}\left[ f(x_k)+f(x_{k+1}) \right] = -\frac{h^3}{12}f''(\eta_k), \quad \eta_k \in (x_k,x_{k+1}) \]

总余项为所有子区间余项的和：

\[R_n[f] = I - T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \left( -\frac{h^3}{12}f''(\eta_k) \right) \]

若\(f(x) \in C^2[a,b]\)（二阶连续可导），由连续函数的介值定理，存在\(\eta \in (a,b)\)，使得：

\[\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f''(\eta_k) = f''(\eta) \]

代入\(n = \frac{b-a}{h}\)，化简得到复合梯形公式的余项：

\[R_n[f] = -\frac{b-a}{12} h^2 f''(\eta), \quad \eta \in (a,b) \tag{4.14} \]

核心误差特性

• 误差阶为\(O(h^2)\)：步长\(h\)减半（等分数\(n\)翻倍），误差衰减为原来的\(\frac{1}{4}\)；
• 误差与被积函数的二阶导数最大值成正比，函数越平缓，误差越小。

3. 收敛性与稳定性

• 收敛性：只要\(f(x) \in C[a,b]\)（连续），当\(n \to \infty\)（\(h \to 0\)）时，\(T_n \to \int_a^b f(x)dx\)，公式收敛；
• 稳定性：所有求积系数均为正数，输入的函数值误差不会被放大，计算绝对稳定。

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三、复合辛普森（Simpson）求积公式

辛普森公式需要3个节点（区间两端+中点）才能实现，因此复合辛普森公式的划分与复合梯形略有区别，精度也远高于复合梯形公式。

1. 公式推导与标准形式

区间划分

将积分区间\([a,b]\)做\(n\)等分，分点为：

\[x_k = a + kh, \quad h = \frac{b-a}{n}, \quad k=0,1,2,\dots,n \]

每个子区间\([x_k, x_{k+1}]\)的中点记为\(x_{k+1/2} = x_k + \frac{h}{2}\)，即每个子区间都有3个节点：左端点\(x_k\)、中点\(x_{k+1/2}\)、右端点\(x_{k+1}\)。

子区间应用辛普森公式

在每个子区间\([x_k, x_{k+1}]\)上使用辛普森公式：

\[\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)dx \approx \frac{h}{6}\left[ f(x_k) + 4f(x_{k+1/2}) + f(x_{k+1}) \right] \]

累加求和与公式化简

将所有子区间的结果累加，得到总积分的近似值：

\[I = \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{k=0}^{n-1} \frac{h}{6}\left[ f(x_k) + 4f(x_{k+1/2}) + f(x_{k+1}) \right] \]

展开求和式后，首尾端点\(f(a),f(b)\)各出现1次，原等分点\(x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\)各出现2次，所有子区间中点\(x_{1/2},x_{3/2},\dots,x_{n-1/2}\)各出现4次，化简得到复合辛普森公式的标准形式：

\[S_n = \frac{h}{6}\left[ f(a) + 4\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{k+1/2}) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b) \right] \tag{4.15} \]

2. 余项与误差阶

余项推导

单个子区间\([x_k,x_{k+1}]\)上辛普森公式的余项为：

\[\int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)dx - \frac{h}{6}\left[ f(x_k)+4f(x_{k+1/2})+f(x_{k+1}) \right] = -\frac{h}{180}\left( \frac{h}{2} \right)^4 f^{(4)}(\eta_k), \quad \eta_k \in (x_k,x_{k+1}) \]

总余项为所有子区间余项的和：

\[R_n[f] = I - S_n = \sum_{k=0}^{n-1} \left( -\frac{h^5}{2880} f^{(4)}(\eta_k) \right) \]

若\(f(x) \in C^4[a,b]\)（四阶连续可导），由介值定理，存在\(\eta \in (a,b)\)，使得：

\[\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f^{(4)}(\eta_k) = f^{(4)}(\eta) \]

代入\(n = \frac{b-a}{h}\)，化简得到复合辛普森公式的余项：

\[R_n[f] = -\frac{b-a}{180} \left( \frac{h}{2} \right)^4 f^{(4)}(\eta) = -\frac{(b-a)h^4}{2880} f^{(4)}(\eta), \quad \eta \in (a,b) \tag{4.16} \]

核心误差特性

• 误差阶为\(O(h^4)\)：步长\(h\)减半（等分数\(n\)翻倍），误差衰减为原来的\(\frac{1}{16}\)，衰减速度远快于复合梯形公式；
• 误差与被积函数的四阶导数最大值成正比，对光滑性好的函数，精度优势极其明显。

3. 收敛性与稳定性

• 收敛性：只要\(f(x) \in C[a,b]\)，当\(n \to \infty\)时，\(S_n \to \int_a^b f(x)dx\)，公式收敛，且收敛速度远快于复合梯形公式；
• 稳定性：所有求积系数均为正数，计算绝对稳定。

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四、经典例题深度解析

例4.3 正弦积分的数值计算

题目：计算\(I = \int_0^1 \frac{\sin x}{x} dx\)，将$[0,1]$8等分，分别用复合梯形公式、复合辛普森公式计算，并估计误差。

步骤1：基础参数与函数值

• 区间$[0,1]\(8等分，步长\)h=\frac{1}{8}\(，分点\)x_k = \frac{k}{8}, k=0,1,\dots,8$；
• 补充定义\(f(0)=\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)，各节点函数值如下：

\(x\)	0	1/8	1/4	3/8	1/2	5/8	3/4	7/8	1
\(f(x)\)	1	0.9973979	0.9896158	0.9767267	0.9588511	0.9361556	0.9088517	0.8771926	0.8414710

步骤2：复合梯形公式计算（\(n=8\)）

代入复合梯形公式：

\[\begin{align*} T_8 &= \frac{h}{2}\left[ f(0) + 2\sum_{k=1}^7 f(x_k) + f(1) \right] \\ &= \frac{1}{16}\left[ 1 + 2\times(0.9973979+0.9896158+0.9767267+0.9588511+0.9361556+0.9088517+0.8771926) + 0.8414710 \right] \\ &= \frac{1}{16} \times 15.1310538 \approx 0.9456909 \end{align*} \]

步骤3：复合辛普森公式计算（\(n=4\)）

将$[0,1]\(4等分，步长\)h=\frac{1}{4}$，子区间中点正好是8等分的中间节点，复用上述9个点的函数值，代入公式：

\[\begin{align*} S_4 &= \frac{h}{6}\left[ f(0) + 4\sum_{k=0}^3 f(x_{k+1/2}) + 2\sum_{k=1}^3 f(x_k) + f(1) \right] \\ &= \frac{1}{24}\left[ 1 + 4\times(0.9973979+0.9767267+0.9361556+0.8771926) + 2\times(0.9896158+0.9588511+0.9088517) + 0.8414710 \right] \\ &= \frac{1}{24} \times 22.7059994 \approx 0.9460833 \end{align*} \]

步骤4：误差估计

通过导数的积分表示，可得\(f(x)=\frac{\sin x}{x}\)的\(k\)阶导数满足：\(\max\limits_{0\le x\le1}|f^{(k)}(x)| \le \frac{1}{k+1}\)。

• 复合梯形公式误差：
  \[|R_8[f]| \le \frac{h^2}{12} \max|f''(x)| \le \frac{1}{12}\times\left( \frac{1}{8} \right)^2 \times \frac{1}{3} \approx 0.434\times10^{-3} \]

• 复合辛普森公式误差：
  \[|R_4[f]| \le \frac{h^4}{2880} \max|f^{(4)}(x)| \le \frac{1}{2880}\times\left( \frac{1}{4} \right)^4 \times \frac{1}{5} \approx 0.271\times10^{-6} \]

结果对比

两个方法使用的函数值数量完全相同（9个），但复合梯形结果仅3位有效数字，复合辛普森结果达到6位有效数字，精度差距超过3个数量级。

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例4.4 精度要求下的等分数计算

题目：计算\(I=\int_0^1 e^x dx\)，要求误差不超过\(\frac{1}{2}\times10^{-5}\)，分别求复合梯形公式、复合辛普森公式所需的区间等分数。

基础参数

\(f(x)=e^x\)，在\([0,1]\)上，\(f''(x)=f^{(4)}(x)=e^x\)，最大值为\(e\)（\(x=1\)时），\(b-a=1\)。

1. 复合梯形公式的等分数

由余项公式，误差需满足：

\[|R[f]| \le \frac{(b-a)h^2}{12} \max|f''(x)| = \frac{e}{12n^2} \le \frac{1}{2}\times10^{-5} \]

解不等式：

\[n^2 \ge \frac{e \times 10^5}{6} \approx 45304.67 \implies n \ge \sqrt{45304.67} \approx 212.85 \]

因此取\(n=213\)，即区间需分为213等份，需要214个函数值。

2. 复合辛普森公式的等分数

由余项公式，误差需满足：

\[|R[f]| \le \frac{(b-a)h^4}{2880} \max|f^{(4)}(x)| = \frac{e}{2880n^4} \le \frac{1}{2}\times10^{-5} \]

解不等式：

\[n^4 \ge \frac{e \times 10^4}{144} \approx 188.77 \implies n \ge \sqrt[4]{188.77} \approx 3.707 \]

因此取\(n=4\)，即区间需分为4等份，仅需要9个函数值。

结果对比

达到相同精度，复合辛普森的计算量仅为复合梯形的\(\frac{1}{24}\)，充分体现了复合辛普森公式的工程优势。

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五、复合梯形公式与复合辛普森公式核心对比表

对比维度	复合梯形公式	复合辛普森公式
子区间所需节点数	2个（区间两端）	3个（区间两端+中点）
标准公式	\(T_n = \frac{h}{2}\left[ f(a) + 2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k) + f(b) \right]\)	\(S_n = \frac{h}{6}\left[ f(a) + 4\sum_{k=0}^{n-1}f(x_{k+1/2}) + 2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k) + f(b) \right]\)
误差阶	\(O(h^2)\)	\(O(h^4)\)
余项表达式	\(R_n[f] = -\frac{b-a}{12}h^2 f''(\eta), \eta\in(a,b)\)	\(R_n[f] = -\frac{(b-a)h^4}{2880}f^{(4)}(\eta), \eta\in(a,b)\)
步长减半的误差衰减	衰减为原来的\(\frac{1}{4}\)	衰减为原来的\(\frac{1}{16}\)
光滑性要求	二阶连续可导即可	四阶连续可导，精度优势更明显
收敛速度	较慢	极快
工程定位	快速粗算、精度要求低的场景	工程通用首选，平衡精度与计算量
稳定性	绝对稳定（系数全正）	绝对稳定（系数全正）

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六、核心结论

1. 复合求积公式是数值积分工程落地的核心方法，完美解决了高阶牛顿-柯特斯公式不稳定、低阶公式精度不足的问题；
2. 复合辛普森公式是工程首选：在相同计算量下，精度远高于复合梯形公式，且计算稳定、实现简单，是绝大多数数值积分场景的最优选择；
3. 误差控制逻辑：复合求积的误差随步长\(h\)的高次幂衰减，通过加密节点（缩小\(h\)）可以快速提升精度，且不会出现稳定性问题；
4. 选型原则：快速粗算用复合梯形，高精度计算用复合辛普森，严禁使用\(n≥8\)的高阶牛顿-柯特斯公式。