4.2牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式 +本授课

牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式 深度讲解

各位同学，今天我们讲解数值积分中最经典、工程上最常用的一类求积公式——牛顿-柯特斯公式。它是我们之前学的等距节点下插值型求积公式的标准化形式，核心是把插值节点取为等距节点，将求积系数标准化为可提前计算的“柯特斯系数”，让求积公式可以像查表一样直接使用，彻底解决了“每次积分都要重新算求积系数”的麻烦。

我会从公式的本质、推导、常用特例、核心性质、误差分析和工程适用边界6个维度，把这个知识点讲透。

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一、牛顿-柯特斯公式的定义与柯特斯系数

1. 公式的核心前提

牛顿-柯特斯公式是插值型求积公式的特例，它的核心约束是：将积分区间\([a,b]\)做\(n\)等分，取等距节点构造求积公式。

• 区间等分的步长：\(h = \frac{b-a}{n}\)
• 等距节点：\(x_k = a + kh \quad (k=0,1,2,\dots,n)\)

2. 公式的完整推导

我们回顾插值型求积公式的通用形式：

\[\int_a^b f(x)dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k), \quad A_k = \int_a^b l_k(x)dx \]

其中\(l_k(x)\)是拉格朗日插值基函数，仅和节点有关，和被积函数无关。

由于节点是等距的，我们可以做变量标准化替换：令\(x = a + th\)，则\(dx = hdt\)，当\(x=a\)时\(t=0\)，\(x=b\)时\(t=n\)。
此时节点\(x_j = a + jh\)，因此\(x - x_j = h(t-j)\)，\(x_k - x_j = h(k-j)\)，代入基函数得：

\[l_k(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j≠k}}^n \frac{x-x_j}{x_k-x_j} = \prod_{\substack{j=0 \\ j≠k}}^n \frac{t-j}{k-j} \]

将基函数代入求积系数\(A_k\)的积分式：

\[A_k = \int_a^b l_k(x)dx = h \int_0^n \prod_{\substack{j=0 \\ j≠k}}^n \frac{t-j}{k-j} dt \]

为了让系数和区间长度\([a,b]\)无关，我们对\(A_k\)做标准化，定义柯特斯系数\(C_k^{(n)}\)：

\[C_k^{(n)} = \frac{A_k}{b-a} \]

由于\(b-a = nh\)，代入\(A_k\)的表达式，化简分母\(\prod_{\substack{j=0 \\ j≠k}}^n (k-j) = (-1)^{n-k} k! (n-k)!\)，最终得到柯特斯系数的通用计算公式：

\[C_k^{(n)} = \frac{(-1)^{n-k}}{n \cdot k! \cdot (n-k)!} \int_0^n \prod_{\substack{j=0 \\ j≠k}}^n (t-j) dt \tag{4.9} \]

将\(A_k = (b-a)C_k^{(n)}\)代入插值型求积公式，就得到牛顿-柯特斯公式的标准形式：

\[I_n = (b-a) \sum_{k=0}^n C_k^{(n)} f(x_k) \tag{4.8} \]

3. 柯特斯系数的核心性质

这个公式的革命性意义在于：柯特斯系数\(C_k^{(n)}\)仅和等分数\(n\)、节点序号\(k\)有关，和积分区间、被积函数完全无关。我们可以提前把不同\(n\)对应的柯特斯系数计算出来，做成系数表，使用时直接查表即可，无需重复积分计算。

柯特斯系数有两个关键性质，可用于快速校验系数的正确性：

1. 归一性：\(\sum_{k=0}^n C_k^{(n)} = 1\)。
   原因：对\(f(x)=1\)，求积公式精确成立，\(\int_a^b 1dx = b-a = (b-a)\sum_{k=0}^n C_k^{(n)}\)，因此系数和必为1。
2. 对称性：\(C_k^{(n)} = C_{n-k}^{(n)}\)。
   原因：等距节点对称，插值基函数对称，积分后系数也对称，比如\(n=2\)时\(C_0^{(2)}=C_2^{(2)}\)，\(n=4\)时\(C_0^{(4)}=C_4^{(4)}\)、\(C_1^{(4)}=C_3^{(4)}\)，极大降低了记忆和计算成本。

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二、工程常用的低阶牛顿-柯特斯公式

工程上几乎不会使用高阶牛顿-柯特斯公式，核心只用\(n=1,2,4\)这三个低阶公式，我们逐个拆解。

1. n=1：梯形公式

将区间$[a,b]\(1等分，2个节点\)x_0=a\(，\)x_1=b$，计算柯特斯系数：

\[C_0^{(1)} = C_1^{(1)} = \frac{1}{2} \]

代入牛顿-柯特斯公式，得到：

\[I_1 = (b-a)\left( \frac{1}{2}f(a) + \frac{1}{2}f(b) \right) = \frac{b-a}{2}\left[ f(a) + f(b) \right] \]

这就是我们之前学的梯形公式，它是1阶牛顿-柯特斯公式，几何意义是用梯形面积近似曲边梯形面积。

2. n=2：辛普森（Simpson）公式（抛物线公式）

将区间$[a,b]\(2等分，3个节点：\)x_0=a\(，\)x_1=\frac{a+b}{2}\(（区间中点），\)x_2=b\(，步长\)h=\frac{b-a}{2}$。

计算柯特斯系数：

\[C_0^{(2)} = \frac{1}{6}, \quad C_1^{(2)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad C_2^{(2)} = \frac{1}{6} \]

代入公式得到辛普森公式：

\[S = \frac{b-a}{6}\left[ f(a) + 4f\left( \frac{a+b}{2} \right) + f(b) \right] \tag{4.10} \]

它的几何意义是：用通过\((a,f(a))\)、\((\frac{a+b}{2},f(\frac{a+b}{2}))\)、\((b,f(b))\)三点的抛物线，近似代替被积函数\(f(x)\)，用抛物线下方的面积近似曲边梯形面积，因此也叫抛物线公式。

3. n=4：柯特斯公式

将区间$[a,b]\(4等分，5个节点\)x_k = a + k \cdot \frac{b-a}{4} \ (k=0,1,2,3,4)$，柯特斯系数为：

\[C_0^{(4)} = \frac{7}{90}, \quad C_1^{(4)} = \frac{32}{90}, \quad C_2^{(4)} = \frac{12}{90}, \quad C_3^{(4)} = \frac{32}{90}, \quad C_4^{(4)} = \frac{7}{90} \]

代入公式得到柯特斯公式：

\[C = \frac{b-a}{90}\left[ 7f(x_0) + 32f(x_1) + 12f(x_2) + 32f(x_3) + 7f(x_4) \right] \tag{4.11} \]

这个公式用5个节点，精度更高，是工程上高精度积分计算的常用公式。

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三、牛顿-柯特斯公式的稳定性与适用边界

我们之前学过，求积公式的稳定性核心看求积系数：所有求积系数\(A_k>0\)，则公式稳定；若出现负系数，公式会放大输入误差，导致计算不稳定。

从柯特斯系数表可以看到一个关键现象：

• 当\(n \le 7\)时，所有柯特斯系数\(C_k^{(n)}\)均为正数，对应的求积系数\(A_k=(b-a)C_k^{(n)}>0\)，公式稳定；
• 当\(n \ge 8\)时，柯特斯系数出现负值（比如\(n=8\)时，\(C_2^{(8)}=-\frac{928}{28350}\)），此时\(\sum_{k=0}^n |C_k^{(n)}| > \sum_{k=0}^n C_k^{(n)} =1\)。

不稳定的本质

若节点函数值存在误差\(\delta_k\)，即实际计算用的是\(\tilde{f}_k = f(x_k) + \delta_k\)，则结果的误差为：

\[|I_n[f] - I_n[\tilde{f}]| = \left| \sum_{k=0}^n A_k (f(x_k)-\tilde{f}_k) \right| \le \delta \cdot (b-a) \sum_{k=0}^n |C_k^{(n)}| \]

当系数出现负值时，\(\sum |C_k^{(n)}|>1\)，输入的小误差会被放大，\(n\)越大，放大倍数越高，计算结果完全不可信。

核心结论：\(n \ge 8\)的牛顿-柯特斯公式完全不具备工程实用价值，我们仅使用\(n=1,2,4\)这三个低阶稳定的公式。

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四、偶阶牛顿-柯特斯公式的代数精度

1. 核心定理

作为插值型求积公式，\(n\)阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为\(n\)，但这里有一个极具工程价值的特殊性质：

定理4.3 当等分数\(n\)为偶数时，牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为\(n+1\)次。

这个定理的意义是：偶阶牛顿-柯特斯公式，能用更少的节点，获得更高的代数精度，性价比远超奇阶公式。

2. 实例验证：辛普森公式的代数精度

辛普森公式是\(n=2\)（偶数）的牛顿-柯特斯公式，按插值型公式的下限，代数精度至少为2次，我们验证更高次的多项式：

• 对\(f(x)=x^3\)（3次多项式），辛普森公式计算值：
  \[S = \frac{b-a}{6}\left[ a^3 + 4\left( \frac{a+b}{2} \right)^3 + b^3 \right] = \frac{b^4 - a^4}{4} \]
  积分精确值\(\int_a^b x^3 dx = \frac{b^4 - a^4}{4}\)，两者完全相等，公式对3次多项式精确成立。
• 对\(f(x)=x^4\)（4次多项式），公式不再精确成立。

因此，辛普森公式的实际代数精度为3次，正好是\(n+1=3\)，完美符合定理结论。

3. 定理的证明核心

要证明\(n\)为偶数时，公式对\(f(x)=x^{n+1}\)精确成立，只需证明此时求积余项\(R[f]=0\)。

插值型求积公式的余项为：

\[R[f] = \int_a^b \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega_{n+1}(x) dx \]

对\(f(x)=x^{n+1}\)，\(f^{(n+1)}(x)=(n+1)!\)，因此余项简化为：

\[R[f] = \int_a^b \omega_{n+1}(x) dx = \int_a^b \prod_{j=0}^n (x-x_j) dx \]

做变量替换\(x=a+th\)，\(x_j=a+jh\)，代入得：

\[R[f] = h^{n+2} \int_0^n \prod_{j=0}^n (t-j) dt \]

当\(n\)为偶数时，令\(t = u + \frac{n}{2}\)，积分区间变为对称区间\([-\frac{n}{2}, \frac{n}{2}]\)，此时被积函数\(\prod_{j=0}^n (u + \frac{n}{2} - j)\)是奇函数，在对称区间上的积分等于0，因此\(R[f]=0\)，公式对\(f(x)=x^{n+1}\)精确成立，代数精度提升至\(n+1\)次。

这也是为什么工程上优先用\(n=2,4\)的偶阶公式，而不用\(n=3,5\)的奇阶公式：\(n=2\)的辛普森公式（3个节点）和\(n=3\)的牛顿-柯特斯公式（4个节点）代数精度相同，但前者计算量更小，稳定性更好。

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五、常用公式的余项（误差分析）

余项是工程上估计积分误差的核心依据，我们根据代数精度，直接给出三个常用公式的余项表达式。

1. 梯形公式的余项

梯形公式代数精度\(m=1\)，余项形式为\(R[f]=K f''(\eta)\)，最终推导得：

\[R[f] = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\eta), \quad \eta \in (a,b) \]

核心结论：误差与区间长度的3次方成正比，区间缩小一半，误差衰减为原来的1/8。

2. 辛普森公式的余项

辛普森公式代数精度\(m=3\)，余项形式为\(R[f]=K f^{(4)}(\eta)\)，最终推导得：

\[R[f] = -\frac{b-a}{180} \left( \frac{b-a}{2} \right)^4 f^{(4)}(\eta) = -\frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(\eta), \quad \eta \in (a,b) \tag{4.12} \]

核心结论：误差与区间长度的5次方成正比，区间缩小一半，误差衰减为原来的1/32，精度远高于梯形公式。

3. 柯特斯公式的余项

柯特斯公式代数精度\(m=5\)，余项形式为\(R[f]=K f^{(6)}(\eta)\)，最终推导得：

\[R[f] = -\frac{2(b-a)}{945} \left( \frac{b-a}{4} \right)^6 f^{(6)}(\eta), \quad \eta \in (a,b) \]

核心结论：误差与区间长度的7次方成正比，精度进一步提升，适合高精度积分计算。

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六、知识点整体总结

牛顿-柯特斯公式的核心逻辑和工程要点，可总结为4句话：

1. 本质：等距节点下的插值型求积公式，通过标准化的柯特斯系数，实现了求积公式的“查表即用”，大幅降低了计算成本；
2. 实用公式：仅\(n=1\)（梯形）、\(n=2\)（辛普森）、\(n=4\)（柯特斯）三个低阶公式有工程价值，\(n≥8\)的高阶公式因不稳定完全不可用；
3. 精度优势：偶阶公式的代数精度可提升至\(n+1\)次，性价比远超奇阶公式，是工程应用的首选；
4. 误差规律：余项与区间长度的高阶次方成正比，区间越小，误差衰减越快，这也是后续复合求积公式的核心理论依据。

牛顿-柯特斯核心公式对比表

对比维度	梯形公式（n=1）	辛普森（Simpson）公式（n=2，抛物线公式）	柯特斯公式（n=4）
区间等分数\(n\)	1	2	4
求积节点总数	2（区间两端点）	3（两端点+区间中点）	5（4等分的全部节点）
等分步长\(h\)	\(h = b-a\)	\(h = \frac{b-a}{2}\)	\(h = \frac{b-a}{4}\)
柯特斯系数\(C_k^{(n)}\)	\(C_0^{(1)}=\frac{1}{2},\ C_1^{(1)}=\frac{1}{2}\)	\(C_0^{(2)}=\frac{1}{6},\ C_1^{(2)}=\frac{4}{6},\ C_2^{(2)}=\frac{1}{6}\)	\(C_0^{(4)}=\frac{7}{90},\ C_1^{(4)}=\frac{32}{90},\ C_2^{(4)}=\frac{12}{90},\ C_3^{(4)}=\frac{32}{90},\ C_4^{(4)}=\frac{7}{90}\)
标准求积公式	\(\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{2}\left[ f(a) + f(b) \right]\)	\(\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{6}\left[ f(a) + 4f\left( \frac{a+b}{2} \right) + f(b) \right]\)	\(\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{90}\left[ 7f(x_0) + 32f(x_1) + 12f(x_2) + 32f(x_3) + 7f(x_4) \right]\)
代数精度	1次	3次	5次
余项表达式	\(R[f] = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\eta),\ \eta \in (a,b)\)	\(R[f] = -\frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(\eta),\ \eta \in (a,b)\)	\(R[f] = -\frac{8(b-a)^7}{945 \times 4096} f^{(6)}(\eta) = -\frac{(b-a)^7}{1935360} f^{(6)}(\eta),\ \eta \in (a,b)\)
误差与区间长度的关系	误差与\((b-a)^3\)成正比 区间减半，误差衰减为原来的\(\frac{1}{8}\)	误差与\((b-a)^5\)成正比 区间减半，误差衰减为原来的\(\frac{1}{32}\)	误差与\((b-a)^7\)成正比 区间减半，误差衰减为原来的\(\frac{1}{128}\)
核心特点	1. 计算最简单，仅需2个端点函数值 2. 精度最低，稳定性好 3. 几何意义直观，易理解	1. 精度与计算量平衡，工程最通用 2. 仅需3个节点，获得3次代数精度，性价比极高 3. 用抛物线近似曲线，拟合效果远优于直线	1. 低阶公式中精度最高 2. 系数对称，计算稳定性好 3. 对被积函数的光滑性要求更高（需6阶连续可导）
适用场景	1. 积分快速估算、精度要求低的场景 2. 被积函数光滑性差、仅能获取端点值的场景 3. 复合求积的基础单元	1. 工程计算通用场景，是数值积分的首选基础公式 2. 被积函数2阶以上连续可导的绝大多数积分问题 3. 微分方程数值求解、有限元计算等核心场景	1. 高精度积分计算需求 2. 被积函数光滑性好（4阶以上连续可导）的场景 3. 对计算误差要求严格的科学计算场景

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补充选型总结

1. 优先选择顺序：常规工程计算优先用辛普森公式，平衡精度与计算成本；快速粗算用梯形公式；高精度科学计算用柯特斯公式。
2. 高阶禁忌：\(n≥8\)的牛顿-柯特斯公式因出现负系数、计算不稳定，无工程实用价值，严禁使用。
3. 光滑性匹配：被积函数光滑性越差，越适合用低阶公式；光滑性越好，高阶公式的精度优势越明显。