4.1数值积分概论+本授课

数值积分概论 知识点深度讲解

各位同学，今天我们来系统讲解数值积分的基础内容，这部分是整个数值分析体系中承上启下的核心模块——上接插值多项式的理论，下启微分方程数值求解、工程积分计算等实际应用。我会从“为什么学、是什么、怎么用、怎么衡量好坏”四个维度，把每个知识点的来龙去脉、核心本质和关键细节讲透。

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一、为什么需要数值积分？——牛顿-莱布尼茨公式的局限性

我们在微积分中都学过，定积分的定义是黎曼和的极限，本质是求区间\([a,b]\)上曲线\(y=f(x)\)与坐标轴围成的曲边梯形的面积，记为：

\[I = \int_a^b f(x)dx \]

而微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）给了我们解析求解的方法：只要找到\(f(x)\)的原函数\(F(x)\)（满足\(F'(x)=f(x)\)），就有

\[\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \]

既然有解析方法，我们为什么还要研究数值积分？核心原因是：在实际工程、科学计算的绝大多数场景中，牛顿-莱布尼茨公式要么用不了，要么用起来得不偿失，具体有三个无法回避的痛点：

1. 大量被积函数的原函数无法用初等函数表达

我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为初等函数，而工程中高频使用的很多函数，原函数根本无法用初等函数的有限次四则运算和复合表示，行业内叫“积不出来”的函数。
比如：

• 光学、信号处理中常用的菲涅尔积分\(\sin x^2\)、\(\cos x^2\)；
• 概率统计、热传导中核心的高斯积分\(e^{-x^2}\)；
• 电路分析中常用的正弦积分\(\frac{\sin x}{x}(x≠0)\)。

这些函数的原函数是客观存在的，但无法写出初等表达式，牛顿-莱布尼茨公式直接失效。

2. 即使原函数可求，计算复杂度也远超数值方法

有些被积函数的原函数虽然能求出来，但形式极其复杂，手算几乎不可能，即使用计算机计算，浮点运算的误差也会远大于数值积分的误差。
比如教材中举的例子\(f(x)=\frac{1}{1+x^6}\)，它的原函数包含反正切、对数项，形式冗长，要计算\(F(b)-F(a)\)，需要处理定义域、多值函数、浮点舍入等一系列问题，远不如直接用数值积分算结果高效。

3. 实际工程中，被积函数往往只有离散的测量数据

工业生产、实验测量中，我们很多时候根本拿不到\(f(x)\)的解析表达式，只能拿到一组离散的测量数据：比如每隔0.1mm测一次零件的轮廓高度，每隔1小时测一次管道的流量，得到的是一堆\((x_i, f(x_i))\)的数表。
这种情况下，没有解析表达式，就不可能求原函数，牛顿-莱布尼茨公式完全无法使用，只能通过离散数据计算积分的近似值。

正是这三个核心痛点，决定了我们必须研究积分的数值计算方法，也就是数值积分。

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二、数值积分的基本思想

既然原函数不好找、甚至没有，那我们的核心思路就是绕开“求原函数”这个步骤，直接通过离散的函数值，计算积分的近似值。

那具体怎么实现？我们要找一个“积分好算、又能近似代替\(f(x)\)”的函数。什么函数的积分最好算？多项式。
多项式的积分有固定的、极其简单的公式：\(\int_a^b x^k dx = \frac{1}{k+1}(b^{k+1}-a^{k+1})\)，无论多少次的多项式，积分都能一步算出；同时，根据魏尔斯特拉斯逼近定理，闭区间上的连续函数，都可以用多项式任意逼近，这给我们的方法提供了坚实的理论基础。

由此，我们得到数值积分的核心思想，一句话概括：

用插值多项式\(p(x)\)近似代替被积函数\(f(x)\)，将复杂的\(\int_a^b f(x)dx\)计算，转化为简单的\(\int_a^b p(x)dx\)计算，用多项式的积分值作为原积分的近似值，即：

\[\int_a^b f(x)dx \approx \int_a^b p(x)dx \]

这个思想是整个数值积分的基石，后面我们要学的梯形公式、辛普森公式、牛顿-科茨公式、高斯求积公式，全都是这个思想的延伸和特例。

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三、插值型求积公式——核心思想的落地实现

我们把上面的思想具体化，就得到了插值型求积公式，这是数值积分最基础、最核心的公式形式。

1. 公式的完整推导

我们先给定前提条件：
在积分区间\([a,b]\)上，取\(n+1\)个互不相同的节点，满足\(a \le x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n \le b\)，并且已知\(f(x)\)在这些节点上的函数值\(f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_n)\)（无论是计算得到的，还是实验测量的）。

步骤1：构造拉格朗日插值多项式

根据之前学的插值理论，给定\(n+1\)个节点，我们可以构造唯一的\(n\)次拉格朗日插值多项式：

\[L_n(x) = \sum_{k=0}^n f(x_k) l_k(x) \]

其中\(l_k(x)\)是拉格朗日插值基函数，是\(n\)次多项式，满足克罗内克性质：\(l_k(x_j) = \begin{cases}1, & k=j \\ 0, & k≠j\end{cases}\)，它只和节点\(x_0\dots x_n\)有关，和被积函数\(f(x)\)完全无关。

同时，插值多项式有严格的余项公式：

\[f(x) = L_n(x) + R_n(x) \]

其中\(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega_{n+1}(x)\)，\(\omega_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)\)，\(\xi\)是区间\([a,b]\)内依赖于\(x\)的某个值。

步骤2：对插值等式两边同时积分

我们对\(f(x) = L_n(x) + R_n(x)\)在\([a,b]\)上做定积分，得到严格成立的等式：

\[\int_a^b f(x)dx = \int_a^b L_n(x)dx + \int_a^b R_n(x)dx \]

这个等式没有任何近似，左边是积分的精确值，右边第一项是插值多项式的积分，第二项是插值余项的积分（也就是我们后面要讲的求积公式的余项）。

步骤3：计算插值多项式的积分，推导求积公式

把\(L_n(x)\)的展开式代入积分，由于是有限项求和，积分和求和可以交换顺序，得到：

\[\int_a^b L_n(x)dx = \int_a^b \sum_{k=0}^n f(x_k) l_k(x) dx = \sum_{k=0}^n f(x_k) \cdot \int_a^b l_k(x) dx \]

这里有一个关键细节：\(f(x_k)\)是节点上的函数值，是和积分变量\(x\)无关的常数，所以可以直接提到积分外面；而\(\int_a^b l_k(x) dx\)是基函数的积分，只要区间\([a,b]\)和节点\(x_0\dots x_n\)确定，这个积分就是一个固定的常数，和\(f(x)\)没有任何关系。

我们给这个常数起一个名字：求积系数，也叫伴随节点的权，记为\(A_k\)，即：

\[A_k = \int_a^b l_k(x) dx, \quad k=0,1,2,\dots,n \]

我们把\(\int_a^b L_n(x)dx\)记为\(I_n\)，就得到：

\[I_n = \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \]

现在，我们把严格等式中的余项\(\int_a^b R_n(x)dx\)舍去，就得到了积分的近似计算公式：

\[\int_a^b f(x)dx \approx I_n = \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \tag{4.1} \]

这个公式，就是插值型求积公式。

2. 插值型求积公式的核心性质

这里我必须给大家讲透三个核心性质，这是理解所有数值积分公式的关键：

1. 公式的本质：插值型求积公式，是节点函数值的加权平均和，求积系数\(A_k\)就是每个函数值\(f(x_k)\)的权重。
2. 求积系数的核心特性：\(A_k\)仅由积分区间\([a,b]\)和求积节点\(x_k\)的选取决定，和被积函数\(f(x)\)完全无关。也就是说，只要区间和节点定了，无论你积分什么函数，\(A_k\)都是固定的，可以提前计算好，使用时直接套公式即可。
3. 公式的根源：它完全来自于拉格朗日插值多项式的积分，所有插值型求积公式，都可以追溯到这个根源，后面的所有具体求积公式，都是它的特例。

3. 经典特例：梯形公式

我们用最简单的\(n=1\)（2个节点）的情况，来验证插值型求积公式，也就是大家熟知的梯形公式。

取区间的两个端点作为节点：\(x_0=a\)，\(x_1=b\)，对应的是一次拉格朗日插值（线性插值）。

第一步，写出插值基函数：

\[l_0(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} = \frac{x - b}{a - b}, \quad l_1(x) = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} = \frac{x - a}{b - a} \]

第二步，计算求积系数\(A_0\)和\(A_1\)：

\[A_0 = \int_a^b l_0(x) dx = \int_a^b \frac{x - b}{a - b} dx = \frac{b-a}{2} \]

\[A_1 = \int_a^b l_1(x) dx = \int_a^b \frac{x - a}{b - a} dx = \frac{b-a}{2} \]

第三步，代入插值型求积公式，得到：

\[\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{2}[f(a) + f(b)] \tag{4.2} \]

这个就是梯形公式，它的几何意义非常直观：
线性插值多项式\(L_1(x)\)，就是连接\((a,f(a))\)和\((b,f(b))\)的直线，\(\int_a^b L_1(x)dx\)就是这条直线与\(x=a\)、\(x=b\)、\(x\)轴围成的梯形的面积。我们用这个梯形的面积，近似代替曲线\(f(x)\)下的曲边梯形的面积，这就是“梯形公式”名字的由来。

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四、代数精度——衡量求积公式好坏的核心标准

我们有了各种各样的求积公式，怎么判断哪个公式更准确、近似效果更好？这里就引入了数值积分中最核心的评价指标：代数精度。

1. 代数精度的来源

我们先回到插值型求积公式的余项：

\[R[f] = \int_a^b R_n(x)dx = \frac{1}{(n+1)!} \int_a^b f^{(n+1)}(\xi) \omega_{n+1}(x) dx \tag{4.3} \]

这里有一个关键现象：如果被积函数\(f(x)\)是次数不超过\(n\)的多项式，那么它的\(n+1\)阶导数\(f^{(n+1)}(x) \equiv 0\)，此时余项\(R[f] = 0\)，求积公式就不再是近似，而是严格准确成立的。

如果\(f(x)\)是\(n+1\)次多项式，它的\(n+1\)阶导数是不为0的常数，余项就不为0，公式就不再准确。

从这个现象，我们就引出了代数精度的定义。

2. 代数精度的严格定义

定义4.1 如果某个求积公式，对于所有次数不超过\(m\)的多项式，都能准确成立（积分精确值=求积公式计算值）；但对于\(m+1\)次多项式，不能准确成立，则称该求积公式具有\(m\)次代数精度（也叫代数精确度）。

这里我必须拆解定义的两个核心要求，缺一不可：

1. 下限要求：对所有0次、1次、2次……\(m\)次多项式，公式必须全部准确成立；
2. 上限要求：至少存在一个\(m+1\)次多项式，公式不准确成立。

同时给大家一个验证代数精度的实用技巧：
由于多项式是幂函数的线性组合，而积分和求积公式都是线性运算，因此我们不需要验证所有多项式，只需要验证幂函数\(f(x)=1, x, x^2, \dots, x^m, x^{m+1}\)即可：

• 若对\(f(x)=1\)到\(f(x)=x^m\)都准确，对\(f(x)=x^{m+1}\)不准确，则代数精度就是\(m\)。

3. 核心定理与实例验证

定理4.1 插值型求积公式的代数精度下限

插值型求积公式(4.1)的代数精度至少为\(n\)。

这个定理是插值型求积公式的核心结论，证明逻辑就是我们刚才讲的：只要\(f(x)\)是次数不超过\(n\)的多项式，插值余项就为0，求积公式就准确成立，因此它的代数精度不会低于\(n\)。

这里的“至少”非常关键：它的代数精度最低是\(n\)，但通过优化节点的选取，我们可以得到更高的代数精度，比如后面要学的高斯求积公式，\(n+1\)个节点可以达到\(2n+1\)次代数精度，这是数值积分中精度最高的一类公式。

实例1：验证梯形公式的代数精度

梯形公式是\(n=1\)的插值型求积公式，根据定理，它的代数精度至少为1，我们来完整验证：

1. 验证\(f(x)=1\)（0次多项式）：
   精确值：\(\int_a^b 1 dx = b-a\)
   梯形公式计算值：\(\frac{b-a}{2}(1+1) = b-a\)
   左边=右边，准确成立。

2. 验证\(f(x)=x\)（1次多项式）：
   精确值：\(\int_a^b x dx = \frac{1}{2}(b^2 - a^2)\)
   梯形公式计算值：\(\frac{b-a}{2}(a+b) = \frac{1}{2}(b^2 - a^2)\)
   左边=右边，准确成立。

3. 验证\(f(x)=x^2\)（2次多项式）：
   精确值：\(\int_a^b x^2 dx = \frac{1}{3}(b^3 - a^3)\)
   梯形公式计算值：\(\frac{b-a}{2}(a^2 + b^2)\)
   举个具体例子，取\(a=0,b=1\)，精确值为\(\frac{1}{3}\)，梯形公式计算值为\(\frac{1}{2}(0+1)=\frac{1}{2}\)，明显不相等。

因此，梯形公式对0次、1次多项式准确，对2次多项式不准确，根据定义，它的代数精度为1，和定理结论一致。

实例2：中矩形公式（中点公式）

代数精度不仅可以用来评价公式，还可以反过来构造求积公式，中矩形公式就是最典型的例子。

我们要构造一个单节点的求积公式，形式为：

\[\int_a^b f(x)dx \approx A_0 f(x_0) \]

这里有两个待定参数：求积系数\(A_0\)、求积节点\(x_0\)。我们要求它的代数精度至少为1，也就是对\(f(x)=1\)和\(f(x)=x\)都准确，据此列方程组：

1. 令\(f(x)=1\)，公式准确：\(\int_a^b 1 dx = A_0 \cdot 1\)，得\(A_0 = b-a\)；
2. 令\(f(x)=x\)，公式准确：\(\int_a^b x dx = A_0 \cdot x_0\)，代入\(A_0 = b-a\)，得\(x_0 = \frac{a+b}{2}\)（区间中点）。

由此得到中矩形公式：

\[\int_a^b f(x)dx \approx (b-a)f\left( \frac{a+b}{2} \right) \]

我们验证它的代数精度：对\(f(x)=1\)、\(f(x)=x\)都准确，对\(f(x)=x^2\)，取\(a=0,b=1\)，精确值为\(\frac{1}{3}\)，公式计算值为\(1 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)，不准确，因此它的代数精度也是1。

这个例子告诉我们：求积公式的构造有两条核心路径，一条是“先插值，后积分”的插值型路径，另一条是“先定代数精度，再解方程组”的构造路径，这两条路径贯穿了整个数值积分的内容。

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五、知识点总结与后续铺垫

今天我们讲的这部分内容，是整个数值积分的基石，完整的逻辑链可以总结为4步：

1. 需求驱动：牛顿-莱布尼茨公式的三大局限性，决定了数值积分的必要性；
2. 核心思想：用插值多项式近似代替被积函数，绕开原函数求解，直接计算积分近似值；
3. 公式落地：通过拉格朗日插值多项式的积分，推导出插值型求积公式，明确求积系数的核心性质；
4. 精度评价：定义代数精度作为求积公式的核心评价指标，明确插值型求积公式的精度下限，同时可以通过代数精度反向构造求积公式。

后续我们要学的牛顿-科茨公式，就是等距节点下的插值型求积公式；复合求积公式，是为了解决高阶插值的龙格现象，把区间分段后用低阶求积公式；龙贝格求积，是通过理查森外推提升精度；而高斯求积，是通过优化节点位置，把插值型求积公式的代数精度提升到理论上限。把今天的基础打牢，后面的内容都会水到渠成。

数值积分进阶知识点深度讲解

各位同学，我们接着上一讲的内容，继续拆解数值积分的核心知识点。这部分内容是代数精度的实际应用、求积公式的误差分析（余项），以及数值方法的两大核心性质——收敛性与稳定性，是我们从“认识求积公式”到“会用、会选、会评估求积公式”的关键过渡，我会把每个知识点的原理、推导逻辑和工程意义讲透。

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一、利用代数精度构造求积公式（例4.1深度解析）

这个例题是代数精度最核心的应用之一：反向构造求积公式。上一讲我们是“先有插值，后有公式”，这里我们反过来，先给定求积公式的形式，通过代数精度的要求，求解待定系数，同时确定公式能达到的最高代数精度。

1. 题目背景与本质

题目给定的求积公式形式为：

\[\int_0^1 f(x)dx \approx A_0 f(0) + A_1 f(1) + B_0 f'(0) \]

首先要明确这个公式的本质：它不是普通的拉格朗日插值型求积公式，而是带导数的埃尔米特插值型求积公式——它不仅用到了区间端点的函数值\(f(0)\)、\(f(1)\)，还用到了左端点的导数值\(f'(0)\)，共3个插值条件，对应可以构造3个待定系数，理论上可以达到更高的代数精度。

我们的目标是：确定\(A_0,A_1,B_0\)，让公式的代数精度尽可能高。

2. 解题核心逻辑

根据代数精度的定义：若公式对所有次数≤\(m\)的多项式都精确成立，对\(m+1\)次多项式不精确，则代数精度为\(m\)。
而多项式是幂函数的线性组合，积分和求积公式都是线性运算，因此我们只需要依次代入幂函数\(f(x)=1,x,x^2,\dots,x^k\)，让公式精确成立，直到无法满足为止。

这里有3个待定系数，最多可以列3个独立的线性方程，因此我们先代入\(f(x)=1,x,x^2\)，得到方程组求解系数，再验证更高次的幂函数，确定最高代数精度。

3. 分步推导与计算

步骤1：代入低次幂函数，列方程组

• 当\(f(x)=1\)（0次多项式）：
  积分精确值：\(\int_0^1 1dx = 1\)
  求积公式右端：\(A_0 \cdot 1 + A_1 \cdot 1 + B_0 \cdot 0 = A_0 + A_1\)
  要求精确成立，得第一个方程：\(\boldsymbol{A_0 + A_1 = 1}\)

• 当\(f(x)=x\)（1次多项式）：
  积分精确值：\(\int_0^1 xdx = \frac{1}{2}\)
  求导得\(f'(x)=1\)，因此\(f'(0)=1\)，公式右端：\(A_0 \cdot 0 + A_1 \cdot 1 + B_0 \cdot 1 = A_1 + B_0\)
  要求精确成立，得第二个方程：\(\boldsymbol{A_1 + B_0 = \frac{1}{2}}\)

• 当\(f(x)=x^2\)（2次多项式）：
  积分精确值：\(\int_0^1 x^2dx = \frac{1}{3}\)
  求导得\(f'(x)=2x\)，因此\(f'(0)=0\)，公式右端：\(A_0 \cdot 0 + A_1 \cdot 1 + B_0 \cdot 0 = A_1\)
  要求精确成立，得第三个方程：\(\boldsymbol{A_1 = \frac{1}{3}}\)

步骤2：解方程组，确定系数

将\(A_1=\frac{1}{3}\)代入第一个方程，得\(A_0 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)；
将\(A_1=\frac{1}{3}\)代入第二个方程，得\(B_0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)。

由此得到求积公式：

\[\int_0^1 f(x)dx \approx \frac{2}{3}f(0) + \frac{1}{3}f(1) + \frac{1}{6}f'(0) \]

步骤3：验证最高代数精度

我们已经让公式对0、1、2次多项式精确成立，接下来验证3次多项式\(f(x)=x^3\)：

• 积分精确值：\(\int_0^1 x^3dx = \frac{1}{4}\)
• 求导得\(f'(x)=3x^2\)，\(f'(0)=0\)，公式右端：\(\frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 0 = \frac{1}{3}\)

显然\(\frac{1}{4} \neq \frac{1}{3}\)，公式对3次多项式不精确成立。根据代数精度的定义，该公式的最高代数精度为2。

4. 关键结论与拓展

1. 系数校验：求积系数的和\(A_0+A_1=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\)，正好等于区间长度\(1-0=1\)，这是所有代数精度≥0的求积公式都满足的核心性质，可以用来快速校验系数计算是否正确。
2. 带导数的优势：普通2节点梯形公式（仅用\(f(0),f(1)\)）的代数精度为1，而这个带1个导数值的公式，代数精度提升到了2，这就是埃尔米特插值求积的优势——用导数值补充插值条件，提升精度。

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二、求积公式的余项（误差分析）

我们用求积公式得到的是积分的近似值，工程计算中必须知道：近似值和真实值的误差有多大？这就是求积公式的余项要解决的问题。

1. 余项的通用表达式

求积公式的余项定义为：积分的精确值减去求积公式的近似值，即

\[R[f] = \int_a^b f(x)dx - \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \]

上一讲我们知道，插值型求积公式的余项是插值余项的积分，但对于一般的求积公式（包括带导数的），我们有更通用的余项表达式：

若求积公式的代数精度为\(m\)，则余项可表示为

\[R[f] = K f^{(m+1)}(\eta), \quad \eta \in (a,b) \tag{4.4} \]

其中\(K\)是与被积函数\(f(x)\)无关的常数，\(\eta\)是区间\((a,b)\)内的某个值。

表达式的核心逻辑

这个形式完全贴合代数精度的定义：

• 当\(f(x)\)是次数≤\(m\)的多项式时，\(f^{(m+1)}(x) \equiv 0\)，因此\(R[f]=0\)，公式精确成立，符合代数精度的要求；
• 当\(f(x)\)是\(m+1\)次多项式时，\(f^{(m+1)}(x)=(m+1)!\)（非零常数），因此余项不为0，公式不精确，也符合定义。

2. 常数\(K\)的计算方法

我们可以通过代入\(f(x)=x^{m+1}\)，直接求出\(K\)的表达式：
令\(f(x)=x^{m+1}\)，则\(f^{(m+1)}(\eta)=(m+1)!\)，代入余项公式得：

\[R[f] = K \cdot (m+1)! \]

而\(R[f]\)又等于积分精确值减去求积公式的值，即：

\[R[f] = \int_a^b x^{m+1}dx - \sum_{k=0}^n A_k x_k^{m+1} \]

联立两式，解出\(K\)：

\[K = \frac{1}{(m+1)!} \left[ \int_a^b x^{m+1}dx - \sum_{k=0}^n A_k x_k^{m+1} \right] \tag{4.5} \]

这个公式是通用的，无论求积公式是否带导数，只要知道代数精度\(m\)，就可以求出\(K\)，进而得到完整的余项表达式。

3. 经典实例：梯形公式的余项推导

梯形公式的代数精度\(m=1\)，因此余项形式为\(R[f] = K f''(\eta), \eta \in (a,b)\)，我们用上面的方法计算\(K\)：

1. 梯形公式的求积系数：\(A_0=A_1=\frac{b-a}{2}\)，节点\(x_0=a,x_1=b\)；
2. 代入\(f(x)=x^2\)（\(m+1=2\)次多项式）：
   积分精确值：\(\int_a^b x^2dx = \frac{1}{3}(b^3 - a^3)\)
   求积公式值：\(\frac{b-a}{2}(a^2 + b^2)\)
3. 计算\(K\)：
   \[\begin{align*} K &= \frac{1}{2!} \left[ \frac{1}{3}(b^3 - a^3) - \frac{b-a}{2}(a^2 + b^2) \right] \\ &= \frac{1}{2} \cdot (b-a) \left[ \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{a^2 + b^2}{2} \right] \\ &= \frac{1}{2} \cdot (b-a) \cdot \frac{-a^2 + 2ab - b^2}{6} \\ &= -\frac{(b-a)^3}{12} \end{align*} \]

由此得到梯形公式的余项：

\[R[f] = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\eta), \quad \eta \in (a,b) \tag{4.6} \]

工程意义

这个余项公式告诉我们两个核心结论：

1. 梯形公式的误差与区间长度的三次方成正比：区间越小，误差衰减越快，这就是后面复合梯形公式的核心原理；
2. 误差与被积函数的二阶导数的最大值成正比：被积函数越“平缓”（二阶导数越小），误差越小，我们可以用这个公式直接估计积分的误差上界。

4. 例4.2：带导数求积公式的余项

我们用同样的方法，求例4.1中公式的余项：

1. 例4.1的公式代数精度\(m=2\)，因此余项形式为\(R[f] = K f'''(\eta), \eta \in (0,1)\)；
2. 代入\(f(x)=x^3\)（\(m+1=3\)次多项式）：
   积分精确值：\(\int_0^1 x^3dx = \frac{1}{4}\)
   求积公式值：\(\frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 0 = \frac{1}{3}\)
3. 计算\(K\)：
   \[K = \frac{1}{3!} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{6} \cdot \left( -\frac{1}{12} \right) = -\frac{1}{72} \]

最终得到余项表达式：

\[R[f] = -\frac{1}{72} f'''(\eta), \quad \eta \in (0,1) \]

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三、求积公式的收敛性与稳定性

一个数值求积公式能不能在工程中使用，除了精度，还要看两个核心性质：收敛性和稳定性。

1. 收敛性

收敛性解决的问题是：当我们把区间分得越来越细，节点越来越多的时候，求积公式的结果能不能无限逼近积分的真实值？

严格定义（定义4.2）

在求积公式\(\int_a^b f(x)dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k)\)中，记\(h = \max_{1 \le i \le n} (x_i - x_{i-1})\)（节点的最大间距），若

\[\lim_{\substack{n \to \infty \\ h \to 0}} \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) = \int_a^b f(x)dx \]

则称该求积公式是收敛的。

核心解读

• 收敛性的关键是“节点加密时，误差趋于0”：如果一个公式不收敛，哪怕节点再多，结果也不会逼近真实值，完全没有实用价值；
• 我们后面要学的复合求积公式，本质就是通过加密节点，利用收敛性，在不提高公式阶数的前提下，大幅降低误差。

2. 稳定性

稳定性解决的问题是：实际计算中，函数值\(f(x_k)\)总会有误差（测量误差、计算机舍入误差），这个输入的小误差，会不会被求积公式放大，导致输出结果出现巨大偏差？

误差背景

我们实际计算时，拿到的不是精确的\(f(x_k)\)，而是有误差的近似值\(\tilde{f}_k\)，满足\(f(x_k) = \tilde{f}_k + \delta_k\)，其中\(\delta_k\)是函数值的误差。
精确的求积结果：\(I_n[f] = \sum_{k=0}^n A_k f(x_k)\)
实际计算的结果：\(I_n[\tilde{f}] = \sum_{k=0}^n A_k \tilde{f}_k\)
我们需要控制的是结果的误差：\(|I_n[f] - I_n[\tilde{f}]|\)

严格定义（定义4.3）

对任意给定的\(\varepsilon>0\)，若存在\(\delta>0\)，只要所有节点的函数值误差满足\(|f(x_k) - \tilde{f}_k| \le \delta \ (k=0,1,\dots,n)\)，就有

\[|I_n[f] - I_n[\tilde{f}]| \le \varepsilon \]

则称该求积公式是稳定的。

简单来说：输入的小误差，只会导致输出的小误差，不会被无限放大，这个公式就是稳定的。

3. 稳定性的核心判定定理

定理4.2

若求积公式的所有求积系数\(A_k > 0 \ (k=0,1,\dots,n)\)，则该求积公式一定是稳定的。

定理证明

我们用绝对值不等式直接推导：

\[\begin{align*} |I_n[f] - I_n[\tilde{f}]| &= \left| \sum_{k=0}^n A_k (f(x_k) - \tilde{f}_k) \right| \\ &\le \sum_{k=0}^n |A_k| \cdot |f(x_k) - \tilde{f}_k| \end{align*} \]

因为\(A_k>0\)，所以\(|A_k|=A_k\)，又因为\(|f(x_k)-\tilde{f}_k| \le \delta\)，因此：

\[|I_n[f] - I_n[\tilde{f}]| \le \delta \sum_{k=0}^n A_k \]

而代数精度≥0的求积公式，对\(f(x)=1\)精确成立，因此\(\sum_{k=0}^n A_k = \int_a^b 1dx = b-a\)，代入得：

\[|I_n[f] - I_n[\tilde{f}]| \le \delta (b-a) \]

现在，对任意的\(\varepsilon>0\)，我们只需要取\(\delta = \frac{\varepsilon}{b-a}\)，就能保证\(|I_n[f] - I_n[\tilde{f}]| \le \varepsilon\)，完全符合稳定性的定义，定理得证。

工程意义

这个定理是我们选择求积公式的核心依据：

1. 正的求积系数是稳定性的充分条件，只要所有\(A_k>0\)，公式就一定稳定；
2. 若求积系数出现负数，\(\sum|A_k|\)会大于区间长度\(b-a\)，误差会被放大，公式可能不稳定；
3. 这也是为什么高阶牛顿-科茨公式（\(n≥8\)）几乎不用的原因：高阶牛顿-科茨公式会出现负的求积系数，稳定性极差，哪怕代数精度高，也没有工程价值。

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四、知识点整体总结

这部分内容构成了数值积分的完整基础框架，我们可以把逻辑链总结为4步：

1. 公式构造：利用代数精度的定义，可以反向构造任意形式的求积公式（包括带导数的），求解待定系数；
2. 误差评估：通过代数精度\(m\)，可以写出余项的通用形式，计算出误差常数\(K\)，实现对积分误差的定量估计；
3. 收敛性：保证节点加密时，求积结果能无限逼近真实积分值，是公式实用的前提；
4. 稳定性：正的求积系数可以保证公式稳定，避免输入误差被放大，是工程应用的核心保障。

把这些内容吃透，后面我们学习牛顿-科茨公式、复合求积、高斯求积等内容，都会水到渠成。