3.5有理逼近+研究生授课

有理逼近 知识点详细讲解

各位同学，今天我们把有理逼近这个数值分析里的核心知识点，从背景、定义、核心方法、案例推导、优势应用，一步一步讲透，每一步都给大家讲清楚“是什么、为什么、怎么用”。

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一、有理逼近的引入：为什么我们不用多项式，非要用有理函数？

在学习有理逼近之前，我们已经系统学过多项式逼近：比如泰勒展开、切比雪夫最佳一致逼近、最小二乘逼近，都是用多项式

\[p_n(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k \]

去逼近闭区间上的连续函数\(f(x)\in C[a,b]\)。

多项式有天然的优势：计算只需要加减乘，求导、积分都极其方便，是数值计算里最基础的工具。但它有两个无法克服的天生短板：

1. 无法模拟函数的奇点与渐近行为
   多项式是“整函数”，在整个实数域上连续、可导，没有任何奇点。但如果我们要逼近的函数，在某点附近无界（有极点），或者当\(x\to\infty\)时趋于一个定值（有水平渐近线），多项式完全做不到。
   举个最简单的例子：函数\(\frac{ax+b}{x-c}\)，在\(x=c\)处有极点（附近无界），当\(x\to\infty\)时趋于定值\(a\)。但多项式\(p_n(x)\)，当\(x\to\infty\)时，要么趋于\(\pm\infty\)（次数≥1），要么是固定常数（次数=0），根本无法模拟这种“趋于定值”的渐近行为。
2. 收敛速度慢，高精度需求下计算量爆炸
   对于很多非光滑、区间端点变化剧烈的函数，多项式逼近要达到高精度，需要把次数提得非常高，计算量会指数级上升，甚至出现龙格现象（次数越高，区间端点震荡越严重）。

正是为了解决多项式的这些短板，我们引入了有理逼近——用两个多项式的商（有理函数）来逼近目标函数。

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二、有理逼近的严格定义与核心准则

1. 有理逼近的定义

所谓有理逼近，就是用形如

\[R_{nm}(x)=\frac{p_n(x)}{q_m(x)}=\frac{\sum_{k=0}^n a_k x^k}{\sum_{k=0}^m b_k x^k} \tag{1} \]

的有理函数，去逼近给定的函数\(f(x)\)。

这里有3个必须明确的核心细节：

• 分子\(p_n(x)\)是n次多项式，分母\(q_m(x)\)是m次多项式，我们称\(R_{nm}(x)\)为(n,m)型有理函数；
• 要求\(p_n(x)\)和\(q_m(x)\)互质（没有公因子），避免出现可约的情况（比如分子分母都有\((x-1)\)，约掉后次数会降低，保证形式是最简的）；
• 分母\(q_m(x)\)在逼近区间\([a,b]\)上不能有零点，否则\(R_{nm}(x)\)会在区间内出现奇点，无法逼近连续函数\(f(x)\)。

2. 有理逼近的最优准则

和多项式逼近对应，有理逼近也有两类核心的最优准则，对应不同的应用场景：

• 最佳一致有理逼近：要求无穷范数（一致范数）最小，即
  \[\|f(x)-R_{nm}(x)\|_\infty=\max_{x\in[a,b]}|f(x)-R_{nm}(x)| \to \min \]
  对应多项式里的切比雪夫最佳一致逼近，保证整个区间上的最大误差最小。
• 最佳平方有理逼近：要求2-范数（平方范数）最小，即
  \[\|f(x)-R_{nm}(x)\|_2=\sqrt{\int_a^b |f(x)-R_{nm}(x)|^2 dx} \to \min \]
  对应多项式里的最小二乘逼近，保证整个区间上的整体误差最小。

这两类最佳有理逼近的理论比较复杂，我们这一节的核心，是讲工程上最实用、最容易实现的有理逼近方法：基于泰勒展开+连分式的有理逼近，这也是教材里的核心内容。

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三、核心工具：连分式——有理逼近的“灵魂”

很多同学会问：有理逼近和连分式到底是什么关系？这里给大家讲透：

• 有限连分式，本质上就是一个有理函数；无穷连分式，可以用来表示超越函数（比如\(\ln(1+x)\)、\(e^x\)、三角函数）；
• 把连分式截断到第k层，得到的“渐近分式”，就是我们用来做逼近的有理函数\(R_{nm}(x)\)；
• 绝大多数超越函数的连分式展开，收敛速度远快于泰勒级数，这就是有理逼近精度远高于多项式逼近的核心原因。

1. 连分式的基本形式

一个无穷连分式的标准形式为：

\[b_0+\frac{a_1}{b_1+\frac{a_2}{b_2+\frac{a_3}{b_3+\cdots}}} \]

为了书写方便，我们用紧凑写法（高斯记法）：

\[b_0+\frac{a_1}{b_1+}\frac{a_2}{b_2+}\frac{a_3}{b_3+}\cdots \]

其中：

• \(a_k\)叫做部分分子，\(b_k\)叫做部分分母，它们可以是常数，也可以是关于x的函数；
• 截断到第k层得到的有限连分式，叫做连分式的第k个渐近分式，就是我们的有理逼近函数。

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四、完整案例：\(\ln(1+x)\)的连分式展开与有理逼近实现

我们用教材里的核心例子\(\ln(1+x)\)，完整走一遍“泰勒展开→连分式展开→截断得到有理逼近→精度对比”的全过程，每一步都给大家推导清楚。

步骤1：回顾\(\ln(1+x)\)的泰勒展开

\(\ln(1+x)\)在\(x=0\)处的麦克劳林展开（泰勒展开）为：

\[\ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots \tag{2} \]

收敛域为\(x\in(-1,1]\)，只有在这个区间内，级数才会收敛到\(\ln(1+x)\)。

如果我们取前2n项，得到部分和\(S_{2n}(x)=\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}\)，这就是2n次的泰勒多项式，用来逼近\(\ln(1+x)\)。但这个级数收敛速度极慢，比如计算\(x=1\)时的\(\ln2\)，需要算成千上万项才能得到高精度。

步骤2：\(\ln(1+x)\)的连分式展开

根据连分式展开理论，我们可以把\(\ln(1+x)\)的泰勒级数，转化为如下无穷连分式：

\[\ln(1+x)=\frac{x}{1+\frac{1\cdot x}{2+\frac{1\cdot x}{3+\frac{2^2\cdot x}{4+\frac{2^2\cdot x}{5+\frac{3^2\cdot x}{6+\frac{3^2\cdot x}{7+\cdots}}}}}}} \tag{3} \]

它的紧凑写法为：

\[\ln(1+x)=\frac{x}{1+}\frac{1\cdot x}{2+}\frac{1\cdot x}{3+}\frac{2^2\cdot x}{4+}\frac{2^2\cdot x}{5+}\cdots \]

大家可以清晰看到它的规律：

• 部分分母：依次是1,2,3,4,5,...，第k层的部分分母就是k；
• 部分分子：第1层是x，第2、3层是\(1^2\cdot x\)，第4、5层是\(2^2\cdot x\)，第6、7层是\(3^2\cdot x\)，成对出现\(k^2\cdot x\)。

步骤3：截断连分式，得到有理逼近函数

我们把无穷连分式截断到不同层数，化简后就能得到有理函数\(R_{nn}(x)\)，也就是我们的有理逼近函数。这里我们推导前2个，让大家完全掌握方法。

推导\(R_{11}(x)\)：截断到前2层

截断到第2层，连分式为：

\[R_{11}(x)=\frac{x}{1+\frac{1\cdot x}{2}} \]

从下往上化简：

1. 先算分母：\(1+\frac{x}{2}=\frac{2+x}{2}\)
2. 整体化简：\(R_{11}(x)=\frac{x}{\frac{2+x}{2}}=\frac{2x}{2+x}\)

这就是教材里的\(R_{11}(x)\)，分子是1次多项式，分母是1次多项式，是(1,1)型有理函数。

推导\(R_{22}(x)\)：截断到前4层

截断到第4层，连分式为：

\[R_{22}(x)=\frac{x}{1+\frac{1\cdot x}{2+\frac{1\cdot x}{3+\frac{2^2 x}{4}}}} \]

依然从最内层开始，从下往上化简：

1. 最内层：\(3+\frac{4x}{4}=3+x\)
2. 上一层：\(\frac{1\cdot x}{3+x}=\frac{x}{3+x}\)
3. 再上一层：\(2+\frac{x}{3+x}=\frac{2(3+x)+x}{3+x}=\frac{6+3x}{3+x}\)
4. 再上一层：\(\frac{1\cdot x}{\frac{6+3x}{3+x}}=\frac{x(3+x)}{6+3x}=\frac{3x+x^2}{6+3x}\)
5. 最外层分母：\(1+\frac{3x+x^2}{6+3x}=\frac{(6+3x)+3x+x^2}{6+3x}=\frac{6+6x+x^2}{6+3x}\)
6. 整体化简：\(R_{22}(x)=\frac{x}{\frac{6+6x+x^2}{6+3x}}=\frac{6x+3x^2}{6+6x+x^2}\)

和教材里的\(R_{22}(x)\)完全一致，这是(2,2)型有理函数。

同理，截断到前6层得到\(R_{33}(x)\)，截断到前8层得到\(R_{44}(x)\)，也就是教材里的公式：

\[\begin{cases} R_{11}(x)=\frac{2x}{2+x},\ \ R_{22}(x)=\frac{6x+3x^2}{6+6x+x^2},\\ R_{33}(x)=\frac{60x+60x^2+11x^3}{60+90x+36x^2+3x^3},\\ R_{44}(x)=\frac{420x+630x^2+260x^3+25x^4}{420+840x+540x^2+120x^3+6x^4}. \end{cases} \]

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五、精度对比：有理逼近vs多项式逼近，为什么有理逼近“碾压式”更好？

我们以计算\(\ln2\)（\(x=1\)，准确值\(\ln2≈0.69314718\cdots\)）为例，对比同量级的泰勒多项式和有理逼近的精度，结果一目了然。

| n | 泰勒多项式\(S_{2n}(1)\) | 泰勒误差\(\varepsilon_S=|\ln2-S_{2n}(1)|\) | 有理逼近\(R_{nn}(1)\) | 有理逼近误差\(\varepsilon_R=|\ln2-R_{nn}(1)|\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.50 | 0.19 | 0.667 | 0.026 |
| 2 | 0.58 | 0.11 | 0.69231 | 0.00084 |
| 3 | 0.617 | 0.076 | 0.693122 | 0.000025 |
| 4 | 0.634 | 0.058 | 0.69314642 | 0.00000076 |

这个对比的震撼之处在于：

1. 精度差距天差地别：同样n=4，泰勒多项式\(S_8(1)\)的误差是0.058，而有理逼近\(R_{44}(1)\)的误差是0.00000076，精度高出了近10万倍！
2. 计算量完全相当：泰勒多项式\(S_{2n}(1)\)是2n项的加减乘，有理逼近\(R_{nn}(1)\)是n次分子、n次分母的计算，计算量几乎一样，但精度提升了几个数量级。

这就是有理逼近的核心价值：完美适配函数的渐近特性，收敛速度远快于多项式逼近，用极小的计算量就能获得极高的精度。

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六、反向操作：有理函数化连分式——辗转相除法与计算量优化

刚才我们讲了“从连分式得到有理函数”，现在反过来：给一个有理函数\(R_{nm}(x)\)，怎么把它化成连分式？用的是多项式辗转相除法，和整数求最大公约数的辗转相除法逻辑完全一致。

1. 核心原理：多项式带余除法

对于假分式（分子次数≥分母次数），我们可以做多项式带余除法：

\[p_n(x)=q_m(x)\cdot Q(x)+r(x) \]

其中\(Q(x)\)是商式，次数为\(n-m\)；\(r(x)\)是余式，次数\(<m\)。
反复对“分母/余式”做带余除法，直到余式为0，就能把有理函数化成连分式。

2. 完整案例推导（教材例3.12）

给定有理函数：

\[R_{43}(x)=\frac{2x^4 + 45x^3 + 381x^2 + 1353x + 1511}{x^3 + 21x^2 + 157x + 409} \]

这是(4,3)型有理函数，分子4次，分母3次，我们用辗转相除法化连分式。

第一步：第一次带余除法

用分子除以分母，商式最高次项为\(2x^4/x^3=2x\)，计算得：

\[2x\cdot(x^3 + 21x^2 + 157x + 409)=2x^4 + 42x^3 + 314x^2 + 818x \]

分子减去这个结果，余式为\(3x^3 + 67x^2 + 535x + 1511\)；
余式次数和分母相同，商式加3，计算\(3\cdot\)分母\(=3x^3 + 63x^2 + 471x + 1227\)；
再次相减，最终余式为\(4x^2 + 64x + 284\)（次数2<3），得到：

\[R_{43}(x)=2x+3+\frac{4x^2 + 64x + 284}{x^3 + 21x^2 + 157x + 409} \]

第二步：取倒数，第二次带余除法

对后面的分式取倒数，用分母除以余式：

\[\frac{x^3 + 21x^2 + 157x + 409}{4x^2 + 64x + 284} \]

带余除法后，商式为\(\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\)，余式为\(6(x+9)\)，代入后化简得：

\[R_{43}(x)=2x+3+\frac{4}{x+5+\frac{6(x+9)}{x^2 + 16x + 71}} \]

第三步：再次取倒数，第三次带余除法

继续对后面的分式取倒数，做带余除法，最终化简得到：

\[R_{43}(x)=2x+3+\frac{4}{x+5+\frac{6}{x+7+\frac{8}{x+9}}} \]

紧凑写法为：

\[R_{43}(x)=2x+3+\frac{4}{x+5+}\frac{6}{x+7+}\frac{8}{x+9} \]

3. 化连分式的核心优势：大幅减少计算量

在计算机数值计算中，乘除法的耗时远大于加减法，减少乘除法次数，就能直接提升计算效率。我们对比两种计算方式的乘除法次数：

• 直接用原有理函数+秦九韶算法：分子4次需要4次乘法，分母3次需要3次乘法，最后1次除法，总共有8次乘除法；
• 用连分式计算：仅需要1次乘法、3次除法，总共有4次乘除法，次数直接减少一半！

对于一般的(n,m)型有理函数，这个规律通用：

• 直接计算：需要\(n+m\)次乘除法；
• 连分式计算：仅需要\(\max\{n,m\}\)次乘除法。

这就是工程上几乎所有有理函数计算，都会先化成连分式的核心原因。

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七、总结与拓展

核心知识点总结

1. 有理逼近的本质：用两个多项式的商逼近目标函数，解决了多项式无法模拟奇点、渐近行为的短板，收敛速度远快于多项式逼近；
2. 核心工具：连分式。有限连分式对应有理函数，无穷连分式可表示超越函数，截断后即可得到高精度有理逼近；
3. 两大核心操作：
   • 正向：泰勒展开→连分式展开→截断化简，得到有理逼近函数；
   • 反向：有理函数→多项式辗转相除法→连分式，优化计算效率；
4. 核心优势：同计算量下精度碾压多项式逼近，化连分式后计算效率大幅提升，完美适配计算机数值计算。

工程应用拓展

有理逼近在实际工程中应用极其广泛：

• 科学计算器里的三角函数、指数对数函数，核心就是用帕德逼近（最经典的有理逼近方法）实现的；
• 自动控制领域，高阶系统的模型降阶，用低阶有理函数逼近高阶系统的传递函数；
• 信号处理领域，IIR滤波器的设计（对应有理函数），比FIR滤波器（对应多项式）效率高得多。

帕德逼近 知识点系统详解

各位同学，我们继续沿着有理逼近的脉络，深入讲解数值分析中最经典、工程应用最广泛的有理逼近方法——帕德（Padé）逼近。我会用50多年教学积累的经验，从核心思想、定义本质、公式推导、求解步骤、例题实操、优势对比、误差分析全流程，一步一步给大家讲透，确保大家不仅会算，更懂背后的原理。

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一、帕德逼近的核心定位：泰勒展开的“有理升级版”

上一节我们已经明确：多项式逼近（尤其是泰勒展开）有天然短板——收敛速度慢、无法模拟函数的奇点与渐近行为、远离展开点后误差急剧增大。

而帕德逼近，就是为了解决这些问题而生的。它的核心思想非常朴素：

既然泰勒多项式是用多项式匹配f(x)在x=0处的前N阶导数，那我们能不能用一个有理函数（两个多项式的商），来匹配f(x)在x=0处的前N阶导数？
同样的匹配阶数下，有理函数的逼近效果，会远好于多项式。

这就是帕德逼近的本质：在x=0处，用最简有理函数R_{nm}(x)，匹配f(x)的泰勒展开到最高可能的阶数，实现高精度的有理逼近。

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二、前置基础：泰勒展开与泰勒系数

帕德逼近完全建立在函数的泰勒展开之上，我们先明确核心符号（对应教材式3.49）。

设\(f(x)\)在\(x=0\)处具有\(N+1\)阶连续导数，它的泰勒展开式为：

\[f(x)=\sum_{k=0}^N \frac{1}{k!}f^{(k)}(0)x^k + \frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!}x^{N+1} \]

我们把泰勒展开的系数记为\(c_k\)，即：

\[c_k = \frac{1}{k!}f^{(k)}(0), \quad k=0,1,2,\dots,N \]

那么泰勒展开的部分和可以简写为：

\[p(x)=\sum_{k=0}^N c_k x^k \]

这个\(c_k\)是帕德逼近所有推导的基础，后续所有方程组都由泰勒系数构建。

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三、帕德逼近的严格定义与细节解读

定义3.8 帕德逼近

设\(f(x)\in C^{N+1}(-a,a)\)，\(N=n+m\)，如果有理函数

\[R_{nm}(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n}{1+b_1x+\dots+b_mx^m}=\frac{p_n(x)}{q_m(x)} \tag{3.50} \]

满足以下2个条件：

1. 分子\(p_n(x)\)与分母\(q_m(x)\)无公因式（最简有理分式）；
2. 在\(x=0\)处，\(R_{nm}(x)\)的0阶到\(N\)阶导数，与\(f(x)\)完全相等，即
   \[R_{nm}^{(k)}(0)=f^{(k)}(0), \quad k=0,1,\dots,N \tag{3.51} \]

则称\(R_{nm}(x)\)为\(f(x)\)在\(x=0\)处的\((n,m)\)阶帕德逼近，记作\(R(n,m)\)。

定义的3个核心细节（必须吃透）

1. 分母的归一化处理
   为什么分母的常数项固定为1？
   有理函数有一个特性：分子分母同乘一个非零常数，函数值不变。因此我们可以做归一化，令分母的常数项\(b_0=1\)，这样就减少了1个未知量。
   最终未知量总数：分子\(a_0\sim a_n\)共\(n+1\)个，分母\(b_1\sim b_m\)共\(m\)个，总计\(n+m+1\)个，刚好匹配条件(3.51)的\(n+m+1\)个方程，方程组有唯一解（绝大多数情况）。

2. 匹配条件的本质
   \(R_{nm}^{(k)}(0)=f^{(k)}(0)\)，等价于：\(R_{nm}(x)\)在\(x=0\)处的泰勒展开，前\(n+m+1\)项与\(f(x)\)的泰勒展开完全一致。
   换句话说，\(f(x)-R_{nm}(x)\)在\(x=0\)处是\(x^{n+m+1}\)阶的无穷小，即

   \[f(x)-R_{nm}(x)=O(x^{n+m+1}) \]

   这是帕德逼近误差分析的核心依据。

3. 阶数的意义
   \(R(n,m)\)中，\(n\)是分子多项式的次数，\(m\)是分母多项式的次数。我们最常用的是\(n=m\)的对角型帕德逼近（比如教材里的\(R(2,2)\)、\(R(3,3)\)），它的逼近效果通常是最优的。

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四、核心推导：帕德逼近的方程组构建

很多同学在这里会卡住，我们一步一步推导，不跳任何步骤，讲清楚每一个公式的来源。

步骤1：等价条件转化

根据匹配条件，\(f(x)-R_{nm}(x)=O(x^{n+m+1})\)，代入\(R_{nm}(x)=p_n(x)/q_m(x)\)，两边乘\(q_m(x)\)得：

\[f(x)q_m(x)-p_n(x)=O(x^{n+m+1}) \]

我们令\(h(x)=p(x)q_m(x)-p_n(x)\)（\(p(x)\)是\(f(x)\)的泰勒部分和），因为\(f(x)=p(x)+O(x^{n+m+1})\)，所以上述条件等价于：

\[h^{(k)}(0)=0, \quad k=0,1,\dots,n+m \]

也就是\(h(x)\)在\(x=0\)处的前\(n+m\)阶导数全为0。

步骤2：莱布尼茨求导公式代入

对\(h(x)=p(x)q_m(x)-p_n(x)\)求\(k\)阶导数，在\(x=0\)处取值：

\[h^{(k)}(0)=\left.\left(p(x)q_m(x)-p_n(x)\right)^{(k)}\right|_{x=0}=0 \]

这里我们用莱布尼茨乘积求导公式：\((uv)^{(k)}=\sum_{j=0}^k C_k^j u^{(j)}v^{(k-j)}\)，其中\(C_k^j=\frac{k!}{j!(k-j)!}\)是组合数。

我们分别计算各项在\(x=0\)处的导数：

1. 泰勒部分和\(p(x)\)的\(j\)阶导数：\(p^{(j)}(0)=j!c_j\)（由\(c_j\)的定义直接可得）；
2. 分母\(q_m(x)\)的\(k-j\)阶导数：\(q_m^{(k-j)}(0)=(k-j)!b_{k-j}\)，其中规定\(b_0=1\)，当\(j>m\)时\(b_j=0\)；
3. 分子\(p_n(x)\)的\(k\)阶导数：\(p_n^{(k)}(0)=k!a_k\)，当\(k>n\)时，\(p_n(x)\)是\(n\)次多项式，\(k\)阶导数为0，即\(a_k=0\)。

把这三项代入求导结果：

\[\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \cdot j!c_j \cdot (k-j)!b_{k-j} - k!a_k = 0 \]

化简后得到：

\[k!\sum_{j=0}^k c_j b_{k-j} - k!a_k = 0 \]

两边同时除以\(k!\)，得到核心等式：

\[\sum_{j=0}^k c_j b_{k-j} - a_k = 0, \quad k=0,1,\dots,n+m \]

步骤3：拆分方程组，得到分子、分母的求解公式

我们把\(k\)分为两段，分别对应分母系数和分子系数的求解：

第一段：\(k=0,1,\dots,n\)（求分子系数\(a_k\)）

此时\(k\leq n\)，\(a_k\)存在，将核心等式移项，得到：

\[a_k = \sum_{j=0}^{k-1} c_j b_{k-j} + c_k, \quad k=0,1,\dots,n \tag{3.52} \]

注意：当\(k=0\)时，求和上限为\(-1\)，求和项为0，因此\(a_0=c_0\)，可以直接得到。

第二段：\(k=n+1,\dots,n+m\)（求分母系数\(b_k\)）

此时\(k>n\)，\(p_n(x)\)的\(k\)阶导数为0，即\(a_k=0\)，代入核心等式移项得：

\[-\sum_{j=0}^{k-1} c_j b_{k-j} = c_k, \quad k=n+1,\dots,n+m \tag{3.53} \]

这是一个\(m\)元线性方程组，有\(m\)个未知量\(b_1,b_2,\dots,b_m\)，可以直接求解。

步骤4：方程组的矩阵形式（便于编程求解）

为了更直观地求解，我们把(3.53)式展开为线性方程组的标准形式（对应教材式3.54）：

\[\begin{cases} -c_{n-m+1}b_m - \dots -c_{n-1}b_2 -c_nb_1 = c_{n+1}, \\ -c_{n-m+2}b_m - \dots -c_nb_2 -c_{n+1}b_1 = c_{n+2}, \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\vdots \\ -c_nb_m - \dots -c_{n+m-2}b_2 -c_{n+m-1}b_1 = c_{n+m}. \end{cases} \]

其中规定：当\(j<0\)时，\(c_j=0\)。

写成矩阵乘法形式：

\[\boldsymbol{H}\bar{\boldsymbol{b}}=\bar{\boldsymbol{c}} \]

其中：

• 系数矩阵\(\boldsymbol{H}\)是\(m\times m\)的矩阵，由泰勒系数\(c_k\)构成；
• 未知向量\(\bar{\boldsymbol{b}}=(b_m,b_{m-1},\dots,b_1)^T\)；
• 右端向量\(\bar{\boldsymbol{c}}=(c_{n+1},c_{n+2},\dots,c_{n+m})^T\)。

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五、帕德逼近的求解定理与通用流程

定理3.15 充要条件

设\(f(x)\in C^{N+1}(-a,a)\)，\(N=n+m\)，则形如(3.50)的有理函数\(R_{nm}(x)\)是\(f(x)\)的\((n,m)\)阶帕德逼近的充分必要条件是：
多项式\(p_n(x)\)、\(q_m(x)\)的系数满足方程组(3.52)和(3.54)。

这个定理给了我们明确的求解依据，所有帕德逼近的计算，都遵循以下固定四步流程：

1. 求泰勒系数：计算\(f(x)\)在\(x=0\)处的泰勒展开，得到前\(n+m+1\)个泰勒系数\(c_0\sim c_{n+m}\)；
2. 解分母系数：构建\(m\)元线性方程组(3.54)，求解得到\(b_1\sim b_m\)；
3. 算分子系数：把\(b_1\sim b_m\)代入(3.52)式，直接计算得到\(a_0\sim a_n\)；
4. 写出逼近式：代入\(R_{nm}(x)\)的标准形式，可通分整理为整系数形式。

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六、例题实操：\(\ln(1+x)\)的帕德逼近计算

我们以教材例3.13为例，完整走一遍求解流程，让大家彻底掌握计算方法。

例题：求\(f(x)=\ln(1+x)\)的帕德逼近\(R(2,2)\)和\(R(3,3)\)

步骤1：求\(\ln(1+x)\)的泰勒系数

\(\ln(1+x)\)在\(x=0\)处的泰勒展开为：

\[\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{6}x^6+\dots \]

直接写出泰勒系数：

\[c_0=0,\ c_1=1,\ c_2=-\frac{1}{2},\ c_3=\frac{1}{3},\ c_4=-\frac{1}{4},\ c_5=\frac{1}{5},\ c_6=-\frac{1}{6},\dots \]

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第一部分：求解\(R(2,2)\)（\(n=2,m=2\)，\(N=4\)）

步骤2：解分母系数\(b_1,b_2\)

\(n=2,m=2\)，\(k\)从\(3\)到\(4\)（\(n+1=3\)，\(n+m=4\)），代入(3.53)式：

• 当\(k=3\)时：\(-\sum_{j=0}^2 c_j b_{3-j}=c_3\)
  展开：\(-(c_0b_3 + c_1b_2 + c_2b_1)=c_3\)，\(b_3=0\)，\(c_0=0\)，代入系数得：
  \[-1\cdot b_2 - \left(-\frac{1}{2}\right)b_1 = \frac{1}{3} \implies -b_2 + \frac{1}{2}b_1 = \frac{1}{3} \]

• 当\(k=4\)时：\(-\sum_{j=0}^3 c_j b_{4-j}=c_4\)
  展开：\(-(c_0b_4 + c_1b_3 + c_2b_2 + c_3b_1)=c_4\)，\(b_4=b_3=0\)，代入系数得：
  \[-\left(-\frac{1}{2}\right)b_2 - \frac{1}{3}b_1 = -\frac{1}{4} \implies \frac{1}{2}b_2 - \frac{1}{3}b_1 = -\frac{1}{4} \]

得到二元一次方程组：

\[\begin{cases} \frac{1}{2}b_1 - b_2 = \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3}b_1 + \frac{1}{2}b_2 = -\frac{1}{4} \end{cases} \]

用消元法求解：
给第一个方程乘\(\frac{1}{2}\)，得\(\frac{1}{4}b_1 - \frac{1}{2}b_2 = \frac{1}{6}\)，与第二个方程相加：

\[\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)b_1 = \frac{1}{6}-\frac{1}{4} \implies -\frac{1}{12}b_1 = -\frac{1}{12} \implies b_1=1 \]

代入第一个方程，得\(\frac{1}{2}\times1 - b_2 = \frac{1}{3} \implies b_2=\frac{1}{6}\)。

步骤3：算分子系数\(a_0,a_1,a_2\)

代入(3.52)式：

• \(k=0\)：\(a_0 = c_0 = 0\)
• \(k=1\)：\(a_1 = c_0b_1 + c_1 = 0\times1 + 1 = 1\)
• \(k=2\)：\(a_2 = c_0b_2 + c_1b_1 + c_2 = 0 + 1\times1 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\)

步骤4：写出\(R_{22}(x)\)

\[R_{22}(x)=\frac{0 + 1\cdot x + \frac{1}{2}x^2}{1 + 1\cdot x + \frac{1}{6}x^2} \]

分子分母同乘6，通分整理为整系数形式：

\[R_{22}(x)=\frac{6x + 3x^2}{6 + 6x + x^2} \]

和上一节连分式展开得到的结果完全一致。

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第二部分：求解\(R(3,3)\)（\(n=3,m=3\)，\(N=6\)）

步骤2：解分母系数\(b_1,b_2,b_3\)

\(n=3,m=3\)，\(k\)从\(4\)到\(6\)，代入(3.53)式，展开得到三元一次方程组：

\[\begin{cases} -b_3 + \frac{1}{2}b_2 - \frac{1}{3}b_1 = -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}b_3 - \frac{1}{3}b_2 + \frac{1}{4}b_1 = \frac{1}{5} \\ -\frac{1}{3}b_3 + \frac{1}{4}b_2 - \frac{1}{5}b_1 = -\frac{1}{6} \end{cases} \]

求解这个方程组，得到：

\[b_1=\frac{3}{2},\ b_2=\frac{3}{5},\ b_3=\frac{1}{20} \]

步骤3：算分子系数\(a_0,a_1,a_2,a_3\)

代入(3.52)式：

• \(a_0=c_0=0\)
• \(a_1=c_0b_1 + c_1=1\)
• \(a_2=c_0b_2 + c_1b_1 + c_2=1\times\frac{3}{2} - \frac{1}{2}=1\)
• \(a_3=c_0b_3 + c_1b_2 + c_2b_1 + c_3=1\times\frac{3}{5} + \left(-\frac{1}{2}\right)\times\frac{3}{2} + \frac{1}{3}=\frac{11}{60}\)

步骤4：写出\(R_{33}(x)\)

\[R_{33}(x)=\frac{0 + 1\cdot x + 1\cdot x^2 + \frac{11}{60}x^3}{1 + \frac{3}{2}x + \frac{3}{5}x^2 + \frac{1}{20}x^3} \]

分子分母同乘60，通分整理得：

\[R_{33}(x)=\frac{60x + 60x^2 + 11x^3}{60 + 90x + 36x^2 + 3x^3} \]

和连分式展开的结果完全一致。

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七、帕德逼近的核心优势与误差分析

1. 帕德逼近vs泰勒多项式：碾压式的逼近效果

我们结合教材的图像和计算结果，总结帕德逼近的核心优势：

1. 同阶数下精度天差地别
   同样匹配到\(x^4\)项，4阶泰勒多项式在\(x=1\)处计算\(\ln2\)的误差是0.11，而\(R(2,2)\)的误差仅为0.00084，精度提升了100多倍；\(R(4,4)\)的精度更是比8阶泰勒多项式高出近10万倍。
2. 收敛域更广，远离展开点仍保持高精度
   从教材的图像可以清晰看到：泰勒展开式在\(x>1\)后就完全偏离原函数，甚至出现震荡；而帕德逼近在\(x\in(-1,3)\)的区间内，几乎和\(\ln(1+x)\)完全重合，收敛范围远大于泰勒多项式。
3. 完美适配函数的渐近行为
   有理函数有分母，可以模拟函数的极点、水平渐近线等特性，而多项式完全做不到。比如\(\ln(1+x)\)在\(x\to-1\)时趋于\(-\infty\)，帕德逼近可以很好地模拟这个特性，而多项式无法实现。

2. 误差分析

帕德逼近的误差公式为：

\[f(x)-R_{nm}(x)=\frac{x^{n+m+1}\sum_{l=0}^\infty r_l x^l}{q_m(x)} \]

其中\(r_l=\sum_{k=0}^m b_k c_{n+m+l+1-k}\)。

当\(|x|<1\)时，高阶小项可以忽略，得到误差近似表达式：

\[f(x)-R_{nm}(x)\approx r_0 x^{n+m+1}, \quad r_0=\sum_{k=0}^m b_k c_{n+m+1-k} \]

这里要给大家讲透一个关键点：
帕德逼近和\(n+m\)阶泰勒多项式的误差阶数都是\(O(x^{n+m+1})\)，但帕德逼近的误差系数\(r_0\)远小于泰勒多项式的误差系数，同时分母\(q_m(x)\)可以抵消掉泰勒展开的发散项，因此在远离原点的区域，帕德逼近的误差增长速度远慢于泰勒多项式，这就是它精度更高的核心原因。

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八、总结与工程应用

核心知识点总结

1. 帕德逼近是基于泰勒展开的有理逼近方法，核心是用有理函数匹配\(f(x)\)在\(x=0\)处的前\(n+m\)阶导数，实现高精度逼近；
2. 求解的核心逻辑是先解分母系数，再算分子系数：先通过\(m\)元线性方程组求\(b_1\sim b_m\)，再代入公式直接计算\(a_0\sim a_n\)；
3. 对角型帕德逼近（\(n=m\)）的逼近效果最优，和连分式展开的结果完全一致；
4. 相比泰勒多项式，帕德逼近收敛速度更快、收敛域更广、能模拟函数的渐近行为，是工程上最常用的有理逼近方法。

工程应用场景

帕德逼近在实际工程中应用极其广泛，核心场景包括：

• 科学计算器、数学软件中的超越函数（指数、对数、三角函数）求值，核心就是预计算的帕德逼近式；
• 自动控制领域：高阶系统的模型降阶，用低阶有理函数逼近高阶系统的传递函数，简化控制器设计；
• 信号处理领域：IIR数字滤波器的设计，相比FIR滤波器，用帕德逼近设计的IIR滤波器计算效率更高、阶数更低；
• 数值计算领域：微分方程、积分方程的数值求解，用帕德逼近加速级数收敛，提升计算效率。

下面我用表格，给总结 有理逼近 和 帕德逼近 的区别，一步到位、不绕弯。

有理逼近 vs 帕德逼近 对比表

对比项目	有理逼近	帕德逼近
本质定义	用两个多项式之比逼近函数的一大类方法统称	有理逼近里最经典、最常用、最规范的一种
包含关系	大类，包含帕德逼近、连分式逼近、最佳一致有理逼近等	子类，属于有理逼近的一种
构造原则	不固定，可按最小二乘、一致最优、连分式等多种准则	固定：让有理函数在展开点匹配函数前 n+m 阶导数
求解方式	方法不同，求解步骤不同	固定流程：求泰勒系数 → 解分母方程组 → 算分子
与泰勒关系	不一定和泰勒有关	严格基于泰勒展开，是泰勒的“有理升级版”
唯一性	一般不唯一	只要系数矩阵非奇异，一定唯一
误差阶数	由方法决定	误差一定是 (O(x^{n+m+1}))，阶数明确
形式要求	分子分母次数任意，无统一格式	统一格式：分母常数项=1，(\displaystyle R_{nm}(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)})
工程地位	理论概念	实际最常用：计算器、函数库、控制、信号处理

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超简短口诀（方便背诵）

• 有理逼近是大类，帕德逼近是其中最标准的一种
• 有理逼近方法多，帕德逼近只靠泰勒导数匹配
• 有理逼近不唯一，帕德逼近唯一且好算
• 泰勒不够精度，帕德是有理版泰勒