3.2正交多项式授课

夫君子之行，静以修身，俭以养德；非澹泊无以明志，非宁静无以致远。夫学须静也，才须学也；非学无以广才，非志无以成学。怠慢则不能励精，险躁则不能冶性。年与时驰，意与岁去，遂成枯落，多不接世。悲守穷庐，将复何及！

同学们好，今天我们就把正交多项式这一核心知识点，从根源、定义、性质到定理，一步步讲透彻，让大家不仅知其然，更知其所以然。

一、开篇：我们为什么要研究正交多项式？

在函数逼近、数值计算中，我们最常用的多项式基是幂函数系 \(\{1,x,x^2,\dots,x^n,\dots\}\)，它线性无关，但有一个致命缺陷：用它做拟合、逼近时，得到的法方程组是希尔伯特矩阵，条件数极大，数值稳定性极差，哪怕是低次计算也会出现严重的误差放大。

而正交多项式，就是为了解决这个问题诞生的——我们要构造一组两两正交的多项式基，让系数求解无需解方程组，一步到位，从根源上解决数值不稳定的问题。同时它也是高斯数值积分、微分方程数值解的核心工具，是数值分析的基石内容。

二、基础核心：带权内积与正交的定义

要讲正交，先讲内积；要讲函数正交，先把向量正交的概念推广到函数空间。

1. 权函数的前置说明

教材中提到的权函数 \(\rho(x)\)，是定义在区间 \([a,b]\) 上的函数，必须满足3个基本条件：

\(\rho(x) \geq 0\)，对任意 \(x\in[a,b]\)；
积分 \(\int_a^b \rho(x)dx\) 存在且有限；
对 \([a,b]\) 的任意非空子区间，\(\int_c^d \rho(x)dx > 0\)（不能在一段区间上恒为0，否则内积定义会失效）。

简单来说，权函数就是给区间上不同位置的函数值赋予不同的“权重”，当 \(\rho(x)\equiv1\) 时，就是我们最熟悉的“不带权”的情况。

2. 带权内积的定义

对区间 \([a,b]\) 上的连续函数 \(f(x),g(x)\)，定义带权内积：

\[(f(x),g(x)) = \int_a^b \rho(x)f(x)g(x)dx \]

这个内积和线性代数中向量的内积本质完全一致：

向量内积是「对应分量相乘，再求和」；
函数内积是「对应点的函数值相乘，再积分（连续求和）」。

同时它满足内积的三大公理，这是所有后续推导的基础：

对称性：\((f,g)=(g,f)\)；
线性性：\((kf+lg,h)=k(f,h)+l(g,h)\)，\(k,l\) 为常数；
非负性：\((f,f)\geq0\)，当且仅当 \(f(x)\equiv0\) 时，\((f,f)=0\)。

3. 正交与正交函数族（定义3.5）

有了内积，正交的定义就非常自然了：

若 \((f(x),g(x))=0\)，则称 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 上带权 \(\rho(x)\) 正交。
若函数族 \(\{\varphi_0(x),\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x),\dots\}\) 满足：
\[(\varphi_j,\varphi_k) = \int_a^b \rho(x)\varphi_j(x)\varphi_k(x)dx = \begin{cases} 0, & j\neq k \\ A_k>0, & j=k \end{cases}\]
就称这个函数族是 \([a,b]\) 上带权 \(\rho(x)\) 的正交函数族；若 \(A_k\equiv1\)，则称为标准正交函数族。

这里要强调两个关键点：

正交是相对的：它依赖于区间 \([a,b]\) 和权函数 \(\rho(x)\)，换区间、换权函数，正交性就可能消失；
\(j=k\) 时的内积 \((\varphi_k,\varphi_k)\)，是函数自身的内积，也叫「范数的平方」，记作 \(\|\varphi_k\|^2\)，它一定是正数，因为 \(\varphi_k\) 不是零函数，权函数非负，积分必然为正。

4. 经典例子：三角函数族的正交性

教材中给出的三角函数族 \(1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\dots\)，是正交函数族最经典的例子，也是傅里叶级数的基础，我们把它讲透，帮大家建立直观认知。

它的正交条件：区间 \([-\pi,\pi]\)，权函数 \(\rho(x)\equiv1\)。

自身内积：\((1,1)=\int_{-\pi}^\pi 1\cdot1dx=2\pi\)；对 \(k=1,2,\dots\)，\((\sin kx,\sin kx)=(\cos kx,\cos kx)=\pi\)；
两两正交：
1. 常数1与所有三角函数正交：\((1,\cos kx)=(1,\sin kx)=0\)（对称区间上，奇函数积分、周期余弦函数的整周期积分均为0）；
2. 同频率的正余弦正交：\((\cos kx,\sin kx)=0\)（乘积为奇函数，对称区间积分为0）；
3. 不同频率的三角函数两两正交：\(k\neq j\) 时，\((\cos kx,\cos jx)=(\sin kx,\sin jx)=(\cos kx,\sin jx)=0\)（积化和差后，均为整周期的三角函数积分，结果为0）。

这个例子完美诠释了函数正交的本质：两个函数在区间上“没有重叠的分量”，投影为0，和向量正交的几何意义完全一致。

三、核心主体：正交多项式的定义与构造

1. 正交多项式的定义（定义3.6）

如果一个多项式序列 \(\{\varphi_n(x)\}_{n=0}^\infty\) 满足：

\(\varphi_n(x)\) 是首项系数不为0的n次多项式；
满足上述正交函数族的正交条件（式3.9）；

就称这个序列是 \([a,b]\) 上带权 \(\rho(x)\) 的正交多项式序列，\(\varphi_n(x)\) 称为n次正交多项式。

2. 正交多项式的构造：格拉姆-施密特正交化

我们有天然的线性无关多项式基 \(\{1,x,x^2,\dots,x^n,\dots\}\)，但它不正交，所以我们用格拉姆-施密特正交化方法，把它改造成正交的，这就是教材中给出的构造公式：

\[\begin{cases} \varphi_0(x) = 1 \\ \varphi_n(x) = x^n - \sum_{j=0}^{n-1} \frac{(x^n,\varphi_j(x))}{(\varphi_j(x),\varphi_j(x))}\varphi_j(x), \quad n=1,2,\dots \end{cases} \]

这个公式的逻辑非常清晰，和向量的施密特正交化完全一致：

我们要构造n次正交多项式 \(\varphi_n(x)\)，先取首项 \(x^n\)；
减去 \(x^n\) 在所有已经构造好的低次正交多项式 \(\varphi_0,\dots,\varphi_{n-1}\) 上的投影；
最终得到的 \(\varphi_n(x)\)，就和所有次数低于n的正交多项式都正交，且首项系数为1。

举个直观的例子，构造前3个正交多项式：

0次：\(\varphi_0(x)=1\)；
1次：\(\varphi_1(x)=x - \frac{(x,\varphi_0)}{(\varphi_0,\varphi_0)}\varphi_0(x)\)，也就是x减去x在常数1上的投影，得到的一次多项式和1正交；
2次：\(\varphi_2(x)=x^2 - \frac{(x^2,\varphi_0)}{(\varphi_0,\varphi_0)}\varphi_0 - \frac{(x^2,\varphi_1)}{(\varphi_1,\varphi_1)}\varphi_1\)，得到的二次多项式和 \(\varphi_0、\varphi_1\) 都正交。

四、关键性质：正交多项式的线性无关性与核心特性

1. 正交多项式的线性无关性

教材中给出了证明：正交多项式组 \(\varphi_0(x),\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上线性无关。

这个证明是正交性的经典应用，我们拆解每一步的逻辑：

线性无关的定义：若 \(c_0\varphi_0 + c_1\varphi_1 + \dots + c_n\varphi_n = 0\)，当且仅当所有系数 \(c_0=c_1=\dots=c_n=0\)。
对等式两边同时乘以 \(\rho(x)\varphi_j(x)\)，在 \([a,b]\) 上积分，利用内积的线性性，得到：
\[\sum_{i=0}^n c_i (\varphi_j,\varphi_i) = 0 \]
利用正交性：当 \(i\neq j\) 时，\((\varphi_j,\varphi_i)=0\)，求和式中只剩下 \(i=j\) 的项：
\[c_j (\varphi_j,\varphi_j) = 0 \]
因为 \((\varphi_j,\varphi_j)>0\)，所以只能 \(c_j=0\)。j是0到n的任意值，因此所有系数都为0，线性无关得证。

这个证明的核心，就是利用正交性把所有无关的项全部消去，直接解出系数，这也是正交基最核心的优势。

2. 正交多项式的两大核心性质

基于线性无关性，我们直接得到两个决定正交多项式价值的核心性质：

性质1：基的完备性

任何次数不超过n的多项式 \(p(x)\in\mathcal{P}_n\)（\(\mathcal{P}_n\) 是次数≤n的多项式空间），都可以唯一表示为 \(\varphi_0,\varphi_1,\dots,\varphi_n\) 的线性组合：

\[p(x) = \sum_{j=0}^n c_j \varphi_j(x) \]

更重要的是，系数 \(c_j\) 可以直接通过内积一步求出，无需解方程组：

\[c_j = \frac{(p,\varphi_j)}{(\varphi_j,\varphi_j)} \]

这就是正交基的核心优势——彻底避免了幂函数基带来的病态方程组问题，数值稳定性极强。

性质2：正交性的推广

n次正交多项式 \(\varphi_n(x)\)，与任何次数小于n的多项式 \(p(x)\in\mathcal{P}_{n-1}\) 都正交，即：

\[(\varphi_n,p) = \int_a^b \rho(x)\varphi_n(x)p(x)dx = 0 \]

这个性质是正交多项式的灵魂，证明非常简单：
\(p(x)\) 次数小于n，根据性质1，它可以表示为 \(\varphi_0\) 到 \(\varphi_{n-1}\) 的线性组合，而 \(\varphi_n\) 和这些低次多项式都正交，因此内积为0。

它的本质是：\(\varphi_n(x)\) 完全“垂直”于整个低次多项式空间，没有任何分量落在低次空间里，这正是我们正交化的目标。

五、两大核心定理：递推关系与零点性质

定理3.7：正交多项式的三项递推关系

施密特正交化构造高次正交多项式时，计算量会越来越大，而三项递推关系，让我们只用前两项就能算出下一项，是实际计算中最常用的工具。

定理内容：设 \(\{\varphi_n(x)\}\) 是 \([a,b]\) 上带权 \(\rho(x)\) 的正交多项式，对 \(n\geq0\)，有递推关系：

\[\varphi_{n+1}(x) = (x-\alpha_n)\varphi_n(x) - \beta_n \varphi_{n-1}(x) \]

其中初始条件：\(\varphi_0(x)=1\)，\(\varphi_{-1}(x)=0\)；
系数：

\[\alpha_n = \frac{(x\varphi_n,\varphi_n)}{(\varphi_n,\varphi_n)}, \quad \beta_n = \frac{(\varphi_n,\varphi_n)}{(\varphi_{n-1},\varphi_{n-1})}, \quad n\geq1 \]

定理的核心逻辑拆解：

\(x\varphi_n(x)\) 是n+1次多项式，根据性质1，它可以表示为 \(\varphi_0\) 到 \(\varphi_{n+1}\) 的线性组合；
利用正交性，次数≤n-2的项的系数全部为0，因此线性组合只剩下 \(\varphi_{n+1}、\varphi_n、\varphi_{n-1}\) 三项；
对比首项系数，我们构造的 \(\varphi_n\) 首项系数为1，因此 \(\varphi_{n+1}\) 的系数为1，整理后就得到了递推公式；
再通过内积求出 \(\alpha_n\) 和 \(\beta_n\)，就得到了完整的递推关系。

这个递推公式的价值极高：我们常用的勒让德多项式、切比雪夫多项式，都是用这个递推公式计算的，效率远高于施密特正交化。

定理3.8：正交多项式的零点性质

这个定理是高斯数值积分的理论基石，直接决定了高斯求积节点的存在性与性质。

定理内容：设 \(\{\varphi_n(x)\}\) 是 \([a,b]\) 上带权 \(\rho(x)\) 的正交多项式，则n次正交多项式 \(\varphi_n(x)\)（n≥1）在开区间 \((a,b)\) 内有n个互不相同的单零点。

简单来说：正交多项式的所有根都是实根、都在区间内部、没有重根。

证明思路拆解，分两步走，核心是反证法+正交性：

第一步：证明至少存在一个奇数重零点
假设 \(\varphi_n(x)\) 在 \((a,b)\) 内没有奇数重零点，也就是所有零点都是偶数重的，那么 \(\varphi_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上符号不变（偶数重零点不会改变函数符号）。
此时 \((\varphi_n,\varphi_0)=\int_a^b \rho(x)\varphi_n(x)dx\)，被积函数符号不变，积分结果一定不为0，这和正交性矛盾（\(\varphi_n\) 与次数低于n的 \(\varphi_0\) 正交，积分应为0）。
因此假设不成立，\(\varphi_n(x)\) 在 \((a,b)\) 内至少有一个奇数重零点。
第二步：证明恰好有n个单零点
设 \(\varphi_n(x)\) 在 \((a,b)\) 内的奇数重零点为 \(x_1<x_2<\dots<x_l\)，构造多项式 \(q(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_l)\)。
- \(\varphi_n(x)\) 和 \(q(x)\) 都在 \(x_i\) 处变号，因此乘积 \(\varphi_n(x)q(x)\) 在 \([a,b]\) 上符号不变，积分 \((\varphi_n,q)\neq0\)；
- 若 \(l<n\)，则 \(q(x)\) 是次数小于n的多项式，根据正交性，\((\varphi_n,q)=0\)，和上面的结论矛盾，因此 \(l\geq n\)；
- 而 \(\varphi_n(x)\) 是n次多项式，最多有n个零点，因此 \(l=n\)，也就是有n个奇数重零点，即n个互不相同的单零点，且全部在 \((a,b)\) 内。

六、总结与延伸

今天我们讲的所有内容，核心都围绕「正交性」展开：

从带权内积定义正交，把向量正交推广到函数空间；
用施密特正交化构造正交多项式，证明了它的线性无关性，是多项式空间的一组优质基；
两大核心性质，让正交多项式彻底解决了幂函数基的数值病态问题；
三项递推关系，解决了高次正交多项式的高效计算问题；
零点性质，为高斯数值积分提供了坚实的理论基础。

后续大家会学到的勒让德多项式、切比雪夫多项式、拉盖尔多项式等经典正交多项式，都是今天这套理论在不同区间、不同权函数下的具体应用，所有定义、性质、定理对它们都完全适用。

正交多项式的本质，就是在函数空间中找到一组“直角坐标系”，让函数逼近、数值计算的过程变得简单、稳定，这也是它能成为数值分析核心工具的根本原因。

同学们好，我们接着上一节正交多项式的内容，今天详细讲解勒让德多项式——它是正交多项式理论最经典、应用最广泛的实现形式，是数值积分、微分方程求解、物理场分析的核心工具。

一、勒让德多项式的定义与基本形式

勒让德多项式是区间\([-1,1]\)、权函数\(\rho(x)\equiv1\) 时，对幂函数系\(\{1,x,x^2,\dots,x^n,\dots\}\)做正交化得到的正交多项式，记为\(\mathrm{P}_n(x)\)（\(n=0,1,2,\dots\)）。

1. 罗德利克（Rodrigues）闭式表达式

这是勒让德多项式最核心的定义式，无需一步步做施密特正交化，可直接写出任意次的多项式：

\[\mathrm{P}_0(x)=1, \quad \mathrm{P}_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^2-1)^n, \quad n=1,2,\dots \]

我们拆解这个式子的本质：

\((x^2-1)^n=(x-1)^n(x+1)^n\)是\(2n\)次偶次多项式，求\(n\)阶导数后，最高次项为：
\[\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}x^{2n} = (2n)(2n-1)\cdots(n+1)x^n = \frac{(2n)!}{n!}x^n \]
因此\(\mathrm{P}_n(x)\)的首项（\(x^n\)项）系数为：
\[a_n = \frac{1}{2^n n!} \cdot \frac{(2n)!}{n!} = \frac{(2n)!}{2^n (n!)^2} \]

2. 首一化的勒让德多项式

如果我们需要首项系数为1的勒让德多项式（和上一节正交多项式的构造形式统一），只需将\(\mathrm{P}_n(x)\)除以首项系数，记为\(\widetilde{\mathrm{P}}_n(x)\)：

\[\widetilde{\mathrm{P}}_n(x) = \frac{n!}{(2n)!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^2-1)^n \]

二、勒让德多项式的核心性质与证明

勒让德多项式完全满足上一节正交多项式的所有通用性质，同时有专属的简洁特性，我们逐一拆解。

性质1：正交性（核心性质）

勒让德多项式在\([-1,1]\)上满足带权（权\(\rho(x)=1\)）正交性：

\[\int_{-1}^1 \mathrm{P}_n(x)\mathrm{P}_m(x)\mathrm{d}x = \begin{cases} 0, & m \neq n \\ \displaystyle \frac{2}{2n+1}, & m = n \end{cases} \]

证明逻辑拆解：
这个证明的核心是分部积分法，利用\((x^2-1)^n\)的导数特性消去边界项。

前置结论：令\(\varphi(x)=(x^2-1)^n\)，则它的\(0,1,\dots,n-1\)阶导数在\(x=\pm1\)处均为0。
原因：\(\varphi(x)\)在\(x=\pm1\)处是\(n\)重零点，求\(k<n\)阶导数后，每一项都至少含\((x-1)\)或\((x+1)\)的一次因子，代入\(\pm1\)必为0。
分部积分核心公式推导
对任意\(n\)阶连续可微函数\(Q(x)\)，有：

\[\int_{-1}^1 \mathrm{P}_n(x)Q(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{2^n n!}\int_{-1}^1 Q(x)\varphi^{(n)}(x)\mathrm{d}x \]
做\(n\)次分部积分，每次分部积分的边界项因\(\varphi^{(k)}(\pm1)=0\)（\(k<n\)）全部消失，最终得到：

\[\int_{-1}^1 \mathrm{P}_n(x)Q(x)\mathrm{d}x = \frac{(-1)^n}{2^n n!}\int_{-1}^1 Q^{(n)}(x)\varphi(x)\mathrm{d}x \]
分情况证明正交性
- 情况1：\(m \neq n\)
  不妨设\(m<n\)，取\(Q(x)=\mathrm{P}_m(x)\)，它是\(m\)次多项式，\(n\)阶导数\(Q^{(n)}(x)\equiv0\)，因此积分直接为0，正交性得证。
  这也符合上一节的通用结论：\(n\)次正交多项式与所有次数低于\(n\)的多项式正交。
- 情况2：\(m = n\)
  取\(Q(x)=\mathrm{P}_n(x)\)，它的\(n\)阶导数为常数：\(Q^{(n)}(x)=\frac{(2n)!}{2^n n!}\)，代入分部积分公式得：
  
  \[\int_{-1}^1 \mathrm{P}_n^2(x)\mathrm{d}x = \frac{(-1)^n}{2^n n!} \cdot \frac{(2n)!}{2^n n!} \int_{-1}^1 (x^2-1)^n \mathrm{d}x \]
  令\(I_n=\int_{-1}^1 (x^2-1)^n \mathrm{d}x\)，通过分部积分推导递推关系：
  
  \[I_n = -\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}, \quad I_0=\int_{-1}^1 1\mathrm{d}x=2 \]
  递推得\(I_n=(-1)^n \cdot \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \cdot 2\)，代回原式后\((-1)^n\)抵消，化简最终得到：
  
  \[\int_{-1}^1 \mathrm{P}_n^2(x)\mathrm{d}x = \frac{2}{2n+1} \]

性质2：奇偶性

\[\mathrm{P}_n(-x) = (-1)^n \mathrm{P}_n(x) \]

本质解读：
\(\varphi(x)=(x^2-1)^n\)是偶函数，偶函数求导有明确规律：

求偶数阶导数，仍为偶函数；求奇数阶导数，变为奇函数。
因此：
当\(n\)为偶数时，\(\mathrm{P}_n(x)\)是偶函数，图像关于\(y\)轴对称；
当\(n\)为奇数时，\(\mathrm{P}_n(x)\)是奇函数，图像关于原点对称。

实用价值：可大幅简化积分计算，例如\(x\mathrm{P}_n^2(x)\)是奇函数，在对称区间\([-1,1]\)上的积分必为0，这也是后续递推关系证明的关键。

性质3：三项递推关系

\[(n+1)\mathrm{P}_{n+1}(x) = (2n+1)x\mathrm{P}_n(x) - n\mathrm{P}_{n-1}(x), \quad n=1,2,\dots \]

初始条件：\(\mathrm{P}_0(x)=1\)，\(\mathrm{P}_1(x)=x\)。

这是实际计算中最常用的公式，无需计算高阶导数，仅用前两项即可快速递推出任意次的勒让德多项式。

证明逻辑拆解：

基展开：\(x\mathrm{P}_n(x)\)是\(n+1\)次多项式，而勒让德多项式是\([-1,1]\)上多项式空间的正交基，因此可展开为：
\[x\mathrm{P}_n(x) = \sum_{k=0}^{n+1} a_k \mathrm{P}_k(x) \]
正交性定系数：两边乘\(\mathrm{P}_k(x)\)并积分，得\(a_k = \frac{\int_{-1}^1 x\mathrm{P}_n\mathrm{P}_k \mathrm{d}x}{\int_{-1}^1 \mathrm{P}_k^2 \mathrm{d}x}\)。
- 当\(k \leq n-2\)时，\(x\mathrm{P}_k(x)\)次数\(\leq n-1\)，与\(\mathrm{P}_n(x)\)正交，积分=0，故\(a_k=0\)；
- 当\(k=n\)时，\(x\mathrm{P}_n^2(x)\)是奇函数，对称区间积分=0，故\(a_n=0\)；
  因此展开式仅剩下\(k=n-1\)和\(k=n+1\)两项：\(x\mathrm{P}_n(x) = a_{n-1}\mathrm{P}_{n-1}(x) + a_{n+1}\mathrm{P}_{n+1}(x)\)。
计算非零系数：
利用正交性的积分结果，可算出\(a_{n-1}=\frac{n}{2n+1}\)，\(a_{n+1}=\frac{n+1}{2n+1}\)，代入后两边乘\(2n+1\)，整理即得三项递推公式。

递推示例（前6阶勒让德多项式）：

\(\mathrm{P}_0(x)=1\)
\(\mathrm{P}_1(x)=x\)
\(\mathrm{P}_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)\)
\(\mathrm{P}_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)\)
\(\mathrm{P}_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)\)
\(\mathrm{P}_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)\)

性质4：零点性质

\(n\)次勒让德多项式\(\mathrm{P}_n(x)\)（\(n\geq1\)）在开区间\((-1,1)\)内有\(n\)个互不相同的单实零点。

解读与应用：
这是上一节正交多项式零点定理的直接推论，也是高斯-勒让德数值积分的理论核心：

例如\(\mathrm{P}_2(x)\)的零点为\(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\approx\pm0.577\)，\(\mathrm{P}_3(x)\)的零点为\(0,\pm\sqrt{\frac{3}{5}}\approx\pm0.775\)，全部落在\((-1,1)\)内，且均为单根；
高斯-勒让德求积公式正是以\(\mathrm{P}_n(x)\)的零点作为求积节点，实现\(n\)个节点达到\(2n-1\)次代数精度，是工程中精度最高的数值积分方法之一。

三、勒让德多项式的核心应用场景

数值计算：高斯-勒让德数值积分、常微分方程的谱方法求解；
数学物理方程：球坐标系下拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程的分离变量求解，是静电场、引力场、量子力学角动量问题的核心工具；
函数逼近：基于勒让德多项式的正交展开，相比幂级数展开，收敛性更稳定，可有效避免龙格现象，适合区间上的全局函数逼近。

同学们好，我们继续正交多项式的核心内容，今天讲解切比雪夫（Chebyshev）多项式——它是数值逼近领域最具实用价值的正交多项式，完美解决了函数最佳一致逼近、高次插值龙格现象两大核心难题，是工程计算、信号处理、滤波器设计的核心工具。

一、切比雪夫多项式的定义与本质

切比雪夫多项式是区间\([-1,1]\)、权函数\(\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 时，对幂函数系\(\{1,x,x^2,\dots,x^n,\dots\}\)正交化得到的正交多项式，其核心定义式为：

\[\mathrm{T}_n(x) = \cos(n \arccos x), \quad |x| \leq 1 \]

1. 三角代换：定义的灵魂

这个看似是三角函数的表达式，本质是n次代数多项式，核心在于三角变量代换：
令\(x = \cos\theta\)（\(\theta \in [0,\pi]\)，与\(x\in[-1,1]\)一一对应），则定义式可简化为：

\[\mathrm{T}_n(x) = \cos n\theta \]

借助三角恒等式展开\(\cos n\theta\)，即可得到仅含\(x=\cos\theta\)的多项式形式。例如：

\(n=0\)：\(\mathrm{T}_0(x)=\cos0=1\)
\(n=1\)：\(\mathrm{T}_1(x)=\cos\theta=x\)
\(n=2\)：\(\mathrm{T}_2(x)=\cos2\theta=2\cos^2\theta-1=2x^2-1\)
\(n=3\)：\(\mathrm{T}_3(x)=\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta=4x^3-3x\)

这一代换是切比雪夫多项式所有性质的根源——它把多项式的代数问题，转化为了我们熟悉的三角函数问题，大幅简化了推导与计算。

2. 首项系数与首一化形式

从递推和展开式可直接得到：

当\(n\geq1\)时，\(\mathrm{T}_n(x)\)的首项（\(x^n\)项）系数为\(2^{n-1}\)；
若需要首项系数为1的切比雪夫多项式（与通用正交多项式形式统一），只需对\(\mathrm{T}_n(x)\)做归一化，记为\(\widetilde{\mathrm{T}}_n(x)\)：
\[\widetilde{\mathrm{T}}_0(x)=1, \quad \widetilde{\mathrm{T}}_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}}\mathrm{T}_n(x), \quad n\geq1 \]

二、切比雪夫多项式的核心性质

切比雪夫多项式的所有性质，都可通过\(\mathrm{T}_n(x)=\cos n\theta\)的三角特性直接推导，逻辑清晰且易于记忆。

性质1：三项递推关系

\[\begin{cases} \mathrm{T}_0(x)=1,\ \mathrm{T}_1(x)=x \\ \mathrm{T}_{n+1}(x) = 2x\mathrm{T}_n(x) - \mathrm{T}_{n-1}(x), \quad n=1,2,\dots \end{cases} \]

证明与解读：
直接利用余弦的和角恒等式：

\[\cos(n+1)\theta = 2\cos\theta \cos n\theta - \cos(n-1)\theta \]

将\(x=\cos\theta\)、\(\mathrm{T}_n(x)=\cos n\theta\)代入，即可得到递推公式。

通过递推可快速得到低次切比雪夫多项式：

次数n	切比雪夫多项式\(\mathrm{T}_n(x)\)
0	\(1\)
1	\(x\)
2	\(2x^2-1\)
3	\(4x^3-3x\)
4	\(8x^4-8x^2+1\)
5	\(16x^5-20x^3+5x\)

性质2：带权正交性

切比雪夫多项式在\([-1,1]\)上带权\(\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)正交，满足：

\[\int_{-1}^1 \frac{\mathrm{T}_n(x)\mathrm{T}_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx = \begin{cases} 0, & n \neq m \\ \frac{\pi}{2}, & n=m \neq 0 \\ \pi, & n=m=0 \end{cases} \]

证明与解读：
做变量代换\(x=\cos\theta\)，则\(dx=-\sin\theta d\theta\)，\(\sqrt{1-x^2}=\sin\theta\)，积分上下限从\(x\in[-1,1]\)变为\(\theta\in[\pi,0]\)，积分转化为：

\[\int_{-1}^1 \frac{\mathrm{T}_n(x)\mathrm{T}_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int_{0}^{\pi} \cos n\theta \cos m\theta d\theta \]

这是三角函数的经典正交积分：

当\(n\neq m\)时，积化和差后为整周期余弦积分，结果为0；
当\(n=m\neq0\)时，积分结果为\(\frac{\pi}{2}\)；
当\(n=m=0\)时，\(\mathrm{T}_0(x)=1\)，积分结果为\(\int_0^\pi 1d\theta=\pi\)。

权函数\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)的作用，恰好抵消了变量代换后的\(\sin\theta\)，让积分直接转化为三角函数的正交积分，这是切比雪夫多项式最巧妙的设计。

性质3：奇偶性

偶数次切比雪夫多项式\(\mathrm{T}_{2k}(x)\)仅含\(x\)的偶次幂，是偶函数；
奇数次切比雪夫多项式\(\mathrm{T}_{2k+1}(x)\)仅含\(x\)的奇次幂，是奇函数。

解读：
由\(\cos(n\theta)\)的奇偶性直接可得：\(n\)为偶数时，\(\cos(n\theta)=\cos(-n\theta)\)，对应偶函数；\(n\)为奇数时，\(\cos(n\theta)=-\cos(-n\theta)\)，对应奇函数。这一性质可大幅简化积分、展开的计算量。

性质4：零点性质

\(n\)次切比雪夫多项式\(\mathrm{T}_n(x)\)在开区间\((-1,1)\)内有\(n\)个互不相同的单实零点，零点的显式表达式为：

\[x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n}\pi \right), \quad k=1,2,\dots,n \]

推导与解读：
令\(\mathrm{T}_n(x)=\cos n\theta=0\)，则\(n\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi\)（\(k=0,1,\dots,n-1\)），解得\(\theta_k = \frac{2k+1}{2n}\pi\)，对应\(x_k=\cos\theta_k\)，整理后即得上述零点公式。

零点的核心特点：

所有零点均落在\((-1,1)\)内部，无重根；
零点是单位上半圆周等距分布点的横坐标，越靠近区间\([-1,1]\)的端点，零点分布越密集；
这一分布特性，正是切比雪夫插值解决龙格现象的核心原因。

性质5：极值点与等幅振荡特性

\(\mathrm{T}_n(x)\)在闭区间\([-1,1]\)上有\(n+1\)个极值点，表达式为：

\[x_k = \cos\left( \frac{k\pi}{n} \right), \quad k=0,1,\dots,n \]

在这些极值点上，\(\mathrm{T}_n(x)\)交替取到最大值\(+1\)和最小值\(-1\)，即\(|\mathrm{T}_n(x)| \leq 1\)，等号仅在极值点处取得。

解读：
这是切比雪夫多项式最核心的特性——它在\([-1,1]\)上的绝对值最大值为1，且在整个区间上等幅交替振荡，没有局部的极值放大，完美契合了最佳一致逼近的“等幅振荡定理”。

三、核心定理：最小最大性质（最佳一致逼近的理论基础）

定理3.9 首一切比雪夫多项式的最小最大性质

在所有首项系数为1的\(n\)次多项式集合\(\widetilde{\mathcal{P}}_n\)中，首一化切比雪夫多项式\(\widetilde{\mathrm{T}}_n(x)\)在\([-1,1]\)上的最大绝对值最小，即：

\[\max_{-1\leq x\leq1} |\widetilde{\mathrm{T}}_n(x)| \leq \max_{-1\leq x\leq1} |p(x)|, \quad \forall p(x)\in\widetilde{\mathcal{P}}_n \]

且\(\widetilde{\mathrm{T}}_n(x)\)的最大绝对值为：

\[\max_{-1\leq x\leq1} |\widetilde{\mathrm{T}}_n(x)| = \frac{1}{2^{n-1}} \]

定理的核心意义

这个定理解决了数值逼近的核心问题：如何让一个n次多项式在区间上的最大误差尽可能小。

所有首一n次多项式中，没有任何一个能比\(\widetilde{\mathrm{T}}_n(x)\)在\([-1,1]\)上的最大绝对值更小；
它的误差是均匀分布的，不会出现局部误差过大的情况，是函数最佳一致逼近的最优解。

应用示例：最佳一致逼近多项式求解（例3.4）

求\(f(x)=2x^3+x^2+2x-1\)在\([-1,1]\)上的最佳二次逼近多项式\(p_2^*(x)\)。

求解逻辑：
最佳逼近的核心是让误差\(f(x)-p_2^*(x)\)的最大绝对值最小。

\(f(x)\)是三次多项式，\(p_2^*(x)\)是二次多项式，因此误差\(e(x)=f(x)-p_2^*(x)\)是首项系数为2的三次多项式；
根据定理3.9，首一三次多项式中最大绝对值最小的是\(\widetilde{\mathrm{T}}_3(x)\)，因此要让\(e(x)=2\cdot\widetilde{\mathrm{T}}_3(x)\)，此时误差的最大值最小；
已知\(\mathrm{T}_3(x)=4x^3-3x\)，因此\(\widetilde{\mathrm{T}}_3(x)=\frac{1}{4}\mathrm{T}_3(x)=x^3-\frac{3}{4}x\)，代入得：
\[e(x)=2\widetilde{\mathrm{T}}_3(x)=\frac{1}{2}\mathrm{T}_3(x)=2x^3-\frac{3}{2}x \]
最终解得最佳二次逼近多项式：
\[p_2^*(x)=f(x)-e(x)=(2x^3+x^2+2x-1)-(2x^3-\frac{3}{2}x)=x^2+\frac{7}{2}x-1 \]
此时误差的最大值为\(\frac{1}{2}\)，是所有二次逼近多项式中最小的。

四、切比雪夫零点插值：解决龙格现象的核心方案

拉格朗日插值的核心痛点是：等距节点高次插值会出现龙格现象——区间端点附近误差剧烈振荡，插值多项式不收敛于原函数。而切比雪夫零点插值，从根源上解决了这一问题。

1. 插值误差的最小化原理

n次拉格朗日插值的余项公式为：

\[R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot \omega_{n+1}(x), \quad \omega_{n+1}(x)=\prod_{k=0}^n (x-x_k) \]

其中\(\omega_{n+1}(x)\)是首一的\(n+1\)次多项式，插值误差的上界为：

\[\max_{-1\leq x\leq1} |R_n(x)| \leq \frac{M_{n+1}}{(n+1)!} \cdot \max_{-1\leq x\leq1} |\omega_{n+1}(x)| \]

\(M_{n+1}\)是\(f^{(n+1)}(x)\)在\([-1,1]\)上的最大绝对值，由被插函数决定。

要让误差上界最小，只需让\(\max|\omega_{n+1}(x)|\)最小。根据定理3.9，\(\omega_{n+1}(x)\)应取首一化切比雪夫多项式\(\widetilde{\mathrm{T}}_{n+1}(x)\)，即插值节点取\(\mathrm{T}_{n+1}(x)\)的零点：

\[x_k = \cos\left( \frac{2k+1}{2(n+1)}\pi \right), \quad k=0,1,\dots,n \]

此时\(\max|\omega_{n+1}(x)|=\frac{1}{2^n}\)，代入余项公式得到最小误差上界：

\[\max_{-1\leq x\leq1} |R_n(x)| \leq \frac{1}{2^n (n+1)!} \|f^{(n+1)}(x)\|_\infty \]

这就是定理3.10的核心结论。

2. 一般区间的节点变换

切比雪夫多项式定义在\([-1,1]\)上，对于任意区间\([a,b]\)，只需做线性变量代换：

\[x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}, \quad t\in[-1,1] \]

即可将\([-1,1]\)上的切比雪夫零点\(t_k\)，映射为\([a,b]\)上的插值节点：

\[x_k = \frac{b-a}{2}\cos\left( \frac{2k+1}{2(n+1)}\pi \right) + \frac{a+b}{2}, \quad k=0,1,\dots,n \]

3. 切比雪夫插值解决龙格现象

龙格现象的根源：等距节点的\(\omega_{n+1}(x)\)在区间端点附近绝对值急剧增大，导致误差被剧烈放大。

切比雪夫插值的优势：

节点在区间端点附近更密集，有效抑制了端点处的误差放大；
\(\omega_{n+1}(x)\)的最大绝对值被控制在理论最小值，整个区间的误差均匀分布；
对于满足连续性条件的函数，切比雪夫零点插值多项式在整个区间上一致收敛于原函数，彻底避免了龙格现象。

示例（例3.6）：对龙格函数\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\)在\([-5,5]\)上做10次插值，用\(\mathrm{T}_{11}(x)\)的零点作为插值节点，得到的插值多项式\(\widetilde{L}_{10}(x)\)在整个区间上完美贴合原函数，无任何振荡；而等距节点的插值多项式\(L_{10}(x)\)在端点处出现了剧烈的振荡，误差超过原函数值的2倍。

五、总结

切比雪夫多项式的核心价值，在于它通过三角代换，将多项式的正交性、逼近特性与三角函数的等幅振荡特性完美结合，解决了数值计算中的两大核心问题：

最佳一致逼近：给出了区间上多项式逼近的最小最大误差解，是函数逼近的最优工具；
稳定插值：通过优化节点分布，彻底解决了高次插值的龙格现象，实现了全区间的均匀收敛。

它不仅是数值分析的核心内容，更是工程领域的实用工具，广泛应用于数字滤波器设计、控制系统、图像处理、数值积分与微分方程求解等场景。

一、开篇总述

正交多项式的核心差异，来自于定义区间和权函数\(\rho(x)\)的不同——不同的区间、权重分布，对应适配不同定义域、不同权重需求的工程与物理问题。

前序我们讲解了最基础的勒让德多项式（区间\([-1,1]\)，权\(\rho(x)\equiv1\)）、第一类切比雪夫多项式（区间\([-1,1]\)，权\(\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)），本节我们详细讲解另外三种高频使用的正交多项式，拆解它们的定义、核心性质、推导逻辑与典型应用场景。

二、第二类切比雪夫多项式\(\mathrm{U}_n(x)\)

第二类切比雪夫多项式是第一类切比雪夫多项式的“对偶形式”，二者共享区间\([-1,1]\)，权函数互补，是逼近论、滤波器设计的核心工具。

1. 定义与本质

定义条件：区间\([-1,1]\)，带权\(\rho(x)=\sqrt{1-x^2}\)，对幂函数系正交化得到的正交多项式。
核心表达式：

\[\mathrm{U}_n(x) = \frac{\sin\left[(n+1)\arccos x\right]}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x|\leq1 \]

三角代换简化：令\(x=\cos\theta\)（\(\theta\in[0,\pi]\)），则\(\sqrt{1-x^2}=\sin\theta\)，表达式可简化为：

\[\mathrm{U}_n(x) = \frac{\sin\left[(n+1)\theta\right]}{\sin\theta} \]

这个形式直观体现了它的多项式本质：利用正弦倍角公式展开\(\sin(n+1)\theta\)，除以\(\sin\theta\)后，最终得到仅含\(\cos\theta=x\)的n次代数多项式。

2. 核心性质

（1）带权正交性

\[\int_{-1}^1 \mathrm{U}_n(x)\mathrm{U}_m(x)\sqrt{1-x^2}dx = \begin{cases} 0, & m\neq n \\ \frac{\pi}{2}, & m=n \end{cases} \]

证明逻辑：代入\(x=\cos\theta\)，积分转化为三角函数的经典正交积分：

\[\int_{-1}^1 \mathrm{U}_n(x)\mathrm{U}_m(x)\sqrt{1-x^2}dx = \int_{0}^{\pi} \sin(n+1)\theta \cdot \sin(m+1)\theta d\theta \]

当\(m\neq n\)时，积化和差后为整周期正弦积分，结果为0；当\(m=n\)时，积分结果为\(\frac{\pi}{2}\)，正交性得证。

（2）三项递推关系

\[\begin{cases} \mathrm{U}_0(x)=1,\ \mathrm{U}_1(x)=2x \\ \mathrm{U}_{n+1}(x) = 2x\mathrm{U}_n(x) - \mathrm{U}_{n-1}(x), \quad n=1,2,\dots \end{cases} \]

证明逻辑：利用正弦和角恒等式\(\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta \sin(n+1)\theta - \sin n\theta\)，两边除以\(\sin\theta\)，再代回\(x=\cos\theta\)、\(\mathrm{U}_n(x)=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}\)，即可得到递推公式。

3. 典型应用

高斯-切比雪夫数值积分（第二类），用于计算\([-1,1]\)上带\(\sqrt{1-x^2}\)权的积分；
数字滤波器设计、信号处理中的带权函数逼近；
量子力学角动量问题、流体力学中的边值问题求解。

三、拉盖尔多项式\(\mathrm{L}_n(x)\)

拉盖尔多项式是半无限区间\([0,+\infty)\)上的核心正交多项式，适配x≥0的无穷区间问题，是量子力学、统计力学的基础工具。

1. 定义与本质

定义条件：区间\([0,+\infty)\)，带权\(\rho(x)=e^{-x}\)（指数衰减权），对幂函数系正交化得到的正交多项式。
核心表达式（罗德利克型）：

\[\mathrm{L}_n(x) = e^x \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^n e^{-x}\right) \]

展开后为n次多项式，例如低次形式：\(\mathrm{L}_0(x)=1\)，\(\mathrm{L}_1(x)=1-x\)，\(\mathrm{L}_2(x)=x^2-4x+2\)。

2. 核心性质

（1）带权正交性

\[\int_{0}^{+\infty} e^{-x}\mathrm{L}_n(x)\mathrm{L}_m(x)dx = \begin{cases} 0, & m\neq n \\ (n!)^2, & m=n \end{cases} \]

说明：权函数\(e^{-x}\)在\(x\to+\infty\)时快速衰减，保证了无穷区间积分的收敛性；正交性可通过n次分部积分证明，和勒让德多项式正交性的证明逻辑一致。

（2）三项递推关系

\[\begin{cases} \mathrm{L}_0(x)=1,\ \mathrm{L}_1(x)=1-x \\ \mathrm{L}_{n+1}(x) = (1+2n -x)\mathrm{L}_n(x) - n^2 \mathrm{L}_{n-1}(x), \quad n=1,2,\dots \end{cases} \]

3. 典型应用

量子力学中氢原子径向薛定谔方程的求解，氢原子的径向波函数由拉盖尔多项式构造；
半无限区间的数值积分（高斯-拉盖尔积分），用于计算\([0,+\infty)\)上带\(e^{-x}\)权的无穷积分；
统计力学、热传导问题（半无限长杆的热传导方程求解）、指数信号的逼近与拟合。

四、埃尔米特多项式\(\mathrm{H}_n(x)\)

埃尔米特多项式是全实轴\((-\infty,+\infty)\)上的核心正交多项式，适配全区间的高斯型权重问题，是量子力学、概率统计的核心工具。

1. 定义与本质

定义条件：区间\((-\infty,+\infty)\)，带权\(\rho(x)=e^{-x^2}\)（高斯型权，正态分布的核），对幂函数系正交化得到的正交多项式。
核心表达式（罗德利克型）：

\[\mathrm{H}_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{-x^2}\right) \]

展开后为n次多项式，例如低次形式：\(\mathrm{H}_0(x)=1\)，\(\mathrm{H}_1(x)=2x\)，\(\mathrm{H}_2(x)=4x^2-2\)，\(\mathrm{H}_3(x)=8x^3-12x\)。

2. 核心性质

（1）带权正交性

\[\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\mathrm{H}_m(x)\mathrm{H}_n(x)dx = \begin{cases} 0, & m\neq n \\ 2^n n! \sqrt{\pi}, & m=n \end{cases} \]

说明：权函数\(e^{-x^2}\)在\(x\to\pm\infty\)时快速衰减，保证了全实轴积分的收敛性；正交性同样可通过n次分部积分证明。

（2）三项递推关系

\[\begin{cases} \mathrm{H}_0(x)=1,\ \mathrm{H}_1(x)=2x \\ \mathrm{H}_{n+1}(x) = 2x\mathrm{H}_n(x) - 2n \mathrm{H}_{n-1}(x), \quad n=1,2,\dots \end{cases} \]

3. 典型应用

量子力学中线性谐振子薛定谔方程的求解，谐振子的定态波函数由埃尔米特多项式乘以高斯函数构造；
概率统计中，正态分布的矩计算、随机过程的正交展开；
全实轴的数值积分（高斯-埃尔米特积分），用于计算\((-\infty,+\infty)\)上带\(e^{-x^2}\)权的无穷积分；
图像处理、信号处理中的高斯滤波、正交变换与特征提取。

五、常用正交多项式核心参数对比表

为了方便区分和选择，我们将5种常用正交多项式的核心参数整理如下：

正交多项式类型	定义区间	权函数\(\rho(x)\)	自身内积（\(m=n\)）	核心适配场景
勒让德多项式\(\mathrm{P}_n\)	\([-1,1]\)	\(1\)	\(\frac{2}{2n+1}\)	有限区间等权逼近、数值积分
第一类切比雪夫\(\mathrm{T}_n\)	\([-1,1]\)	\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\pi/2\)（\(n\neq0\)）、\(\pi\)（\(n=0\)）	最佳一致逼近、插值抗龙格现象
第二类切比雪夫\(\mathrm{U}_n\)	\([-1,1]\)	\(\sqrt{1-x^2}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	带权逼近、第二类数值积分
拉盖尔多项式\(\mathrm{L}_n\)	\([0,+\infty)\)	\(e^{-x}\)	\((n!)^2\)	半无限区间问题、氢原子径向方程
埃尔米特多项式\(\mathrm{H}_n\)	\((-\infty,+\infty)\)	\(e^{-x^2}\)	\(2^n n! \sqrt{\pi}\)	全实轴问题、谐振子、正态分布

六、核心总结

所有正交多项式都满足前序讲解的通用性质：线性无关、三项递推关系、n次多项式在区间内有n个互不相同的单零点、与所有次数低于n的多项式正交。

它们的核心差异，仅在于区间和权函数的不同——我们需要根据问题的定义域（有限区间、半无限区间、全实轴）、以及对不同区间位置的权重需求，选择对应的正交多项式，从而实现稳定、高效的函数逼近、方程求解与数值计算。

posted on 2026-02-19 07:52 Indian_Mysore 阅读(3) 评论(0) 收藏举报

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