多项式
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\begin{document}
\tableofcontents
\newpage
\section*{第一章 多项式理论}
\section{§1.1 一元多项式的代数运算}
为了书写简便起见,我们先引进求和符号 \(\sum\) 和求积符号 \(\prod\) .
给定正整数 \(n\) 以及 \(n\) 个数 \({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\) . 由于数的加法适合交换律和结合律, 所以 \(n\) 个数 \({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\) 的连加可以记作
\[
{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{j}. \tag{1.1.1}
\]
这个和式中的足码 \(j\) 取遍 \(1,2,\cdots ,n\) . 即 \(j\) 只是表示求和是从 1 加到 \(n\) ,所以也可以用其他足码来代替. 例如,易 \(j\) 为 \(k\) ,或易 \(j\) 为 \({i}_{j}\) ,其中 \({i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}\) 是 \(1,2,\cdots ,n\) 的排列, 即
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{j} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{{i}_{j}} \tag{1.1.2}
\]
等. 由此可见,不管和式的足码用什么符号,重要的是它实际上表示了 \(n\) 个数 \({a}_{1},{a}_{2}\) , \(\cdots ,{a}_{n}\) 的和.
用归纳法思想,我们也可以引进多重和号
\[
\mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1} = 1}}^{{n}_{1}}\mathop{\sum }\limits_{{{i}_{2} = 1}}^{{n}_{2}}\cdots \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{m} = 1}}^{{n}_{m}}{a}_{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{m}}. \tag{1.1.3}
\]
为了说明问题,先从二重和号入手. 给定正整数 \(m\) 和 \(n\) ,将 \({mn}\) 个数 \({a}_{jk},1 \leq j \leq m\) , \(1 \leq k \leq n\) 排成如下矩形表:
$\mathbf{\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m, n-1} & a_{m n}\end{array}} (1.1.4)$
其中横排为行,第 \(i\) 行为 \({a}_{i1},{a}_{i2},\cdots ,{a}_{i,n - 1},{a}_{in}\) ; 竖排为列,第 \(j\) 列为 \({a}_{1j},{a}_{2j},\cdots\) , \({a}_{m - 1,j},{a}_{mj}\) . 所以有 \(m\) 个行, \(n\) 个列. 第 \(i\) 行,第 \(j\) 列的交叉元素为 \({a}_{ij}\) ,前指标表示行,后指标表示列. 将这些数全部加起来,总和记作 \(S\) . 由于加法有交换律和结合律, 所以可以不计先后和次序地相加. 下面利用不同的求和方法具体地将总和 \(S\) 表达出来. 例如,先按行将 \(n\) 个数加起来,它们分别为 \(\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{ik},1 \leq i \leq m\) . 再将这 \(m\) 个数加起来, 所以有
\[
S = \left( {{a}_{11} + {a}_{12} + \cdots + {a}_{1n}}\right) + \cdots + \left( {{a}_{m1} + {a}_{m2} + \cdots + {a}_{mn}}\right)= \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{1k} + \cdots + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{mk} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{jk}}\right) .
\]
\hspace*{3em}
也可以先按列将 \(m\) 个数加起来,它们分别为 \(\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{ik},1 \leq k \leq n\) . 再将这 \(n\) 个数加起来, 所以有
\[
S = \left( {{a}_{11} + {a}_{21} + \cdots + {a}_{m1}}\right) + \cdots + \left( {{a}_{1n} + {a}_{2n} + \cdots + {a}_{mn}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{a}_{j1} + \cdots + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{a}_{jn} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{a}_{jk}}\right) .
\]
最后,也可以按对角线将数加起来,它们分别为 \({a}_{11},{a}_{12} + {a}_{21},{a}_{13} + {a}_{22} + {a}_{31},{a}_{14} +\) \({a}_{23} + {a}_{32} + {a}_{41},\cdots\) . 由相加的规律可以看出,上面每个数 \({a}_{ij}\) 的足码的和 \(i + j\) 分别为定值 \(1 + 1 = 2,1 + 2 = 2 + 1 = 3,1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1 = 4,1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1\) . 所以总和 \(S\) 为
\[
S = {a}_{11} + \left( {{a}_{12} + {a}_{21}}\right) + \left( {{a}_{13} + {a}_{22} + {a}_{31}}\right) + \left( {{a}_{14} + {a}_{23} + {a}_{32} + {a}_{41}}\right) + \cdots
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i + j = 2}}{a}_{ij} + \mathop{\sum }\limits_{{i + j = 3}}{a}_{ij} + \mathop{\sum }\limits_{{i + j = 4}}{a}_{ij} + \mathop{\sum }\limits_{{i + j = 5}}{a}_{ij} + \cdots ,
\]
其中足码 \(i,j\) 有如下限制:
\[
1 \leq i \leq m,\;1 \leq j \leq n. \tag{1.1.5}
\]
所以, 利用同一对角线上两实数的双足码的和相等可知, 总和
\[
S = \mathop{\sum }\limits_{{k = 2}}^{{m + n}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}{a}_{ij}}\right) .
\]
到现在为止,我们给出了总和 \(S\) 的三种表达式,这时括号被省略掉了. 即
\[
S = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{ij} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{m}{a}_{ij} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 2}}^{{m + n}}\mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}{a}_{ij}, \tag{1.1.6}
\]
其中第三个和式中指标适合式 (1.1.5). 当然,我们还可以按照其他的求和规则,将 \(S\) 写成各种形式的二重和式. 不过上面三种求和法是最常用的.
由上一等式还给出了和号交换的规则, 即有
\[
S = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{jk} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{a}_{jk}. \tag{1.1.7}
\]
特别,当 \(m = n\) 时可知: 这一个二重和号可以写成一个统一的形式,即写成
\[
S = \mathop{\sum }\limits_{{j,k = 1}}^{n}{a}_{jk} \tag{1.1.8}
\]
和上面一样, 我们可以用归纳法引进多重和号. 要注意的是, 应该从求和规则出发来了解二重和号. 例如 \(\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{jk}\) 就是先将里面和号 \(\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{jk}\) 看作一个确定的实数,按照外面的和号 \(\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}\) 排成单项,再将每一项 \(\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{jk}\) 排成单项,这样就将全部 \({a}_{jk}\) 排成了单项. 利用这一原则,不难定义 \(p\) 重和号了. 例如,给定 \({n}_{1}{n}_{2}\cdots {n}_{p}\) 个实数 \({a}_{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{p}},1 \leq {i}_{j} \leq {n}_{j},1 \leq j \leq p\) . 记这 \({n}_{1}{n}_{2}\cdots {n}_{p}\) 个实数的总和为 \(S\) ,则 \(S\) 可以记成 \(p\) 重和式
\[
S = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1} = 1}}^{{n}_{1}}\mathop{\sum }\limits_{{{i}_{2} = 1}}^{{n}_{2}}\cdots \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{p} = 1}}^{{n}_{p}}{a}_{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{p}}. \tag{1.1.9}
\]
它按照关系
\[
\mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1} = 1}}^{{n}_{1}}\mathop{\sum }\limits_{{{i}_{2} = 1}}^{{n}_{2}}\cdots \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{p} = 1}}^{{n}_{p}}{a}_{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{p}} = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{2} = 1}}^{{n}_{2}}\cdots \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{p} = 1}}^{{n}_{p}}{a}_{1{i}_{2}\cdots {i}_{p}} + \cdots + \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{2} = 1}}^{{n}_{2}}\cdots \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{p} = 1}}^{{n}_{p}}{a}_{{n}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{p}} \tag{1.1.10}
\]
来定义. 由于二重和号可以交换次序,所以 \(p\) 重和号也可以交换次序. 即对 \(1,2,\cdots\) , \(p\) 的任一排列 \({k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{p}\) ,则
\[
\mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1} = 1}}^{{n}_{1}}\mathop{\sum }\limits_{{{i}_{2} = 1}}^{{n}_{2}}\cdots \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{p} = 1}}^{{n}_{p}}{a}_{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{p}} = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{{k}_{1}} = 1}}^{{n}_{{k}_{1}}}\mathop{\sum }\limits_{{{i}_{{k}_{2}} = 1}}^{{n}_{{k}_{2}}}\cdots \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{{k}_{p}} = 1}}^{{n}_{{k}_{p}}}{a}_{{i}_{{k}_{1}}{i}_{{k}_{2}}\cdots {i}_{{k}_{p}}}. \tag{1.1.11}
\]
特别,当 \({n}_{1} = {n}_{2} = \cdots = {n}_{p} = n\) 时,由和号的交换性可知, \(p\) 重和号可以写成一个统一的形式, 即写成
\[
\mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1},{i}_{2},\cdots ,{i}_{p} = 1}}^{n}{a}_{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{p}} \tag{1.1.12}
\]
给定正整数 \(n\) 以及 \(n\) 个数 \({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\) . 由于数的乘法也适合交换律和结合律,所以 \(n\) 个数的连乘 \({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\) 也可以简单地记作
\[
{a}_{1}{a}_{2}\cdots {a}_{n} = \mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{j} \tag{1.1.13}
\]
这里足码的意义对求和符号 \(\sum\) 和求积符号 \(\prod\) 是一样的.
和上面一样, 可以引进二重乘积, 我们有
\[
\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{jk} = \mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{m}{a}_{jk} = \mathop{\prod }\limits_{{i = 2}}^{{m + n}}\mathop{\prod }\limits_{{j + k = i}}{a}_{jk} \tag{1.1.14}
\]
当 \(m = n\) 时,我们有
\[
\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{n}\mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{jk} = \mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}\mathop{\prod }\limits_{{j = 1}}^{n}{a}_{jk} = \mathop{\prod }\limits_{{j,k = 1}}^{n}{a}_{jk} \tag{1.1.15}
\]
同样可以用归纳法来定义多重乘积
\[
\mathop{\prod }\limits_{{{i}_{1} = 1}}^{{n}_{1}}\mathop{\prod }\limits_{{{i}_{2} = 1}}^{{n}_{2}}\cdots \mathop{\prod }\limits_{{{i}_{p} = 1}}^{{n}_{p}}{a}_{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{p}} = \mathop{\prod }\limits_{{{i}_{1} = 1}}^{{n}_{1}}\left( {\mathop{\prod }\limits_{{{i}_{2} = 1}}^{{n}_{2}}\cdots \mathop{\prod }\limits_{{{i}_{p} = 1}}^{{n}_{p}}{a}_{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{p}}}\right) . \tag{1.1.16}
\]
符号 \(\prod\) 和符号 \(\sum\) 的性质完全相同,在此就不再仔细讨论了.
现在开始讨论一元多项式. 本书只在复数域 \(\mathbb{C}\) ,或实数域 \(\mathbb{R}\) ,或有理数域 \(\mathbb{Q}\) ,或整数环 \(\mathbb{Z}\) 的范围内进行讨论,这里 \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\) . 为方便起见,我们记 \(\mathbb{F}\) 为 \(\mathbb{C}\) ,或 \(\mathbb{R}\) , 或 \(\mathbb{Q}\) 之一,称 \(\mathbb{F}\) 为域,而 \(\mathbb{Z}\) 不改变符号. 即
\section*{\(\mathbb{F} = \mathbb{C}\text{ ,或 }\mathbb{F} = \mathbb{R}\text{ ,或 }\mathbb{F} = \mathbb{Q}\text{ . }\)}
定义 1.1.1 给定域 \(\mathbb{F}\) 或整数环 \(\mathbb{Z}\) . 给定正整数 \(n\) 及 \(n + 1\) 个数 \({a}_{0},{a}_{1},\cdots\) , \({a}_{n} \in \mathbb{F}\) 或 \(\mathbb{Z}\) . 记 \(x\) 为未知数,或称为自变量,或称为不定元,则代数式
\[
f = f\left( x\right) = {a}_{m}{x}^{m} + {a}_{m - 1}{x}^{m - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{m}{a}_{j}{x}^{j} \tag{1.1.17}
\]
称为一元多项式,或称为多项式. \({a}_{m},{a}_{m - 1},\cdots ,{a}_{0}\) 称为多项式的系数. 多项式 \(f\left( x\right)\) 称为零多项式,如果 \({a}_{m} = {a}_{m - 1} = \cdots = {a}_{0} = 0\) ; 称为非零多项式,如果 \({a}_{m},{a}_{m - 1}\) , \(\cdots ,{a}_{0}\) 不全为零. 域 \(\mathbb{F}\) 上多项式全体构成集合 \(\mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,称为域 \(\mathbb{F}\) 上多项式环; 整数环 \(\mathbb{Z}\) 上多项式全体构成集合 \(\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,称为 整数环 \(\mathbb{Z}\) 上多项式环.
任给非零多项式 \(f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{m}{a}_{j}{x}^{j}\) . 由 \({a}_{m},{a}_{m - 1},\cdots ,{a}_{0}\) 不全为零,对系数从左向右看,总有第一个不等于零的数 \({a}_{n}\) ,而 \({a}_{m} = \cdots = {a}_{n + 1} = 0\) . 我们约定 \(0 \cdot {x}^{i} = 0\) , \(i = 0,1,\cdots\) . 所以 \(f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{n}{a}_{j}{x}^{j},{a}_{n} \neq 0\) . 我们称 \({a}_{n}\) 为非零多项式 \(f\left( x\right)\) 的首项系数, \({a}_{0}\) 为 常数项, \({a}_{j}\) 为 \({x}^{j}\) 的系数, \(0 \leq j \leq n\) . 非负整数 \(n\) 称为非零多项式 \(f\left( x\right)\) 的多项式的次数,记作 \(\deg \left( {f\left( x\right) }\right)\) . 它是一个有限数. 我们约定零多项式的首项系数 \({a}_{0}\) 为零,次数为 \(- \infty\) . 零次多项式 \(f\left( x\right) = {a}_{0}\) 的首项系数 \({a}_{0}\) 不为零. 即零次多项式为非零常数.
定义 1.1.2 当域 \(\mathbb{F} = \mathbb{C}\) 时,即 \(f\left( x\right)\) 为复数域上的多项式时, \(f\left( x\right)\) 称为复多项式; 当域 \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\) 时,即 \(f\left( x\right)\) 为实数域上的多项式时, \(f\left( x\right)\) 称为实多项式; 当域 \(\mathbb{F} = \mathbb{Q}\) 时,即 \(f\left( x\right)\) 为有理数域上的多项式时, \(f\left( x\right)\) 称为有理系数多项式；又整数环 \(\mathbb{Z}\) 上的多项式称为整系数多项式.
域 \(\mathbb{F}\) 或整数环 \(\mathbb{Z}\) 上两个多项式
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0},\;{a}_{n} \neq 0, \tag{1.1.18}
\]
\[
g\left( x\right) = {b}_{m}{x}^{m} + {b}_{m - 1}{x}^{m - 1} + \cdots + {b}_{1}x + {b}_{0},\;{b}_{m} \neq 0
\]
称为相等,记作 \(f\left( x\right) = g\left( x\right)\) ,如果 \(m = n\) ,而且所有同类项系数相等,即
\[
{a}_{j} = {b}_{j},\;0 \leq j \leq n. \tag{1.1.19}
\]
下面在域 \(\mathbb{F}\) 或整数环 \(\mathbb{Z}\) 上多项式之间引进代数运算:
I 加法和减法.
给定域 \(\mathbb{F}\) 或整数环 \(\mathbb{Z}\) 上多项式
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{n}{a}_{j}{x}^{j},\;g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{n}{b}_{j}{x}^{j},
\]
这里不要求 \({a}_{n} \neq 0\) 和 \({b}_{n} \neq 0\) ,则 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 的和定义为
\[
f\left( x\right) + g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{n}{a}_{j}{x}^{j} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{n}{b}_{j}{x}^{j} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{n}\left( {{a}_{j} + {b}_{j}}\right) {x}^{j}. \tag{1.1.20}
\]
由定义可知加法有下面重要性质 (1) 加法结合律:
\[
\left( {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right) + h\left( x\right) = f\left( x\right) + \left( {g\left( x\right) + h\left( x\right) }\right) ;
\]
(2) 加法交换律:
\[
f\left( x\right) + g\left( x\right) = g\left( x\right) + f\left( x\right) ;
\]
( 3 )零多项式 0 有性质:对任一多项式 \(f\left( x\right)\) ,
\[
f\left( x\right) + 0 = 0 + f\left( x\right) = f\left( x\right) ;
\]
( 4 )给定多项式 \(f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{0}\) ,定义多项式 \(f\left( x\right)\) 的负多项式为
\[
- f\left( x\right) = \left( {-{a}_{n}}\right) {x}^{n} + \left( {-{a}_{n - 1}}\right) {x}^{n - 1} + \cdots + \left( {-{a}_{0}}\right) ,
\]
于是有
\[
f\left( x\right) + \left( {-f\left( x\right) }\right) = \left( {-f\left( x\right) }\right) + f\left( x\right) = 0.
\]
因此可以引进多项式的减法: 多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 的差定义为
\[
f\left( x\right) - g\left( x\right) = f\left( x\right) + \left( {-g\left( x\right) }\right) . \tag{1.1.21}
\]
II 乘法
给定域 \(\mathbb{F}\) 或整数环 \(\mathbb{Z}\) 上多项式
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{a}_{i}{x}^{i},\;g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{m}{b}_{j}{x}^{j},\;{a}_{n}{b}_{m} \neq 0,
\]
则多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 的乘积定义为
\[
f\left( x\right) g\left( x\right) = \left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{n}{a}_{j}{x}^{j}}\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{m}{b}_{k}{x}^{k}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{m}{a}_{j}{b}_{k}{x}^{j + k} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{m + n}}{c}_{i}{x}^{i}, \tag{1.1.22}
\]
其中
\[
{c}_{i} = \mathop{\sum }\limits_{{j + k = i}}{a}_{j}{b}_{k},\;0 \leq j \leq n,\;0 \leq k \leq m,\;0 \leq i \leq n + m. \tag{1.1.23}
\]
由乘法的定义可知, 多项式的乘法有下面重要性质:
(1) 乘法结合律:
\[
\left( {f\left( x\right) g\left( x\right) }\right) h\left( x\right) = f\left( x\right) \left( {g\left( x\right) h\left( x\right) }\right) ;
\]
(2) 乘法交换律:
\[
f\left( x\right) g\left( x\right) = g\left( x\right) f\left( x\right) ;
\]
( 3 )零多项式 0 和零次多项式 1 有 \(f\left( x\right) \cdot 0 = 0 \cdot f\left( x\right) = 0,f\left( x\right) \cdot 1 = 1 \cdot f\left( x\right) = f\left( x\right)\) ；
(4)设 \(f\left( x\right) \neq 0\) ,则有乘法消去律: \(f\left( x\right) g\left( x\right) = f\left( x\right) h\left( x\right)\) 当且仅当 \(g\left( x\right) = h\left( x\right)\) ；
(5) 多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 有 \(f\left( x\right) g\left( x\right) = 0\) 当且仅当 \(f\left( x\right) = 0\) ,或 \(g\left( x\right) = 0\) ;
(6) 加乘分配律:
\[
f\left( x\right) \left( {g\left( x\right) + h\left( x\right) }\right) = f\left( x\right) g\left( x\right) + f\left( x\right) h\left( x\right) .
\]
另外有下面次数关系.
引理 1.1.3 域 \(\mathbb{F}\) 或整数环 \(\mathbb{Z}\) 上多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 有下面次数关系:
\[
\deg \left( {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right) \leq \max \left( {\deg \left( {f\left( x\right) }\right) ,\deg \left( {g\left( x\right) }\right) }\right) , \tag{1.1.24}
\]
\[
\cdot \deg \left( {f\left( x\right) g\left( x\right) }\right) = \deg \left( {f\left( x\right) }\right) + \deg \left( {g\left( x\right) }\right) . \tag{1.1.25}
\]
这包括了多项式 \(f\left( x\right)\) 或 \(g\left( x\right)\) 为零多项式的情形,这时 \(\deg \left( 0\right) = - \infty\) .
证 由多项式的加法定义, (1.1.23) 立即成立.
由多项式的乘法定义可知: 设 \(\deg \left( {f\left( x\right) }\right) = n,\deg \left( {g\left( x\right) }\right) = m\) ,则
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + \cdots + {a}_{0},\;g\left( x\right) = {b}_{m}{x}^{m} + \cdots + {b}_{0},
\]
其中 \({a}_{n}{b}_{m} \neq 0\) . 而乘积
\[
f\left( x\right) g\left( x\right) = \left( {{a}_{n}{x}^{n} + \cdots + {a}_{0}}\right) \left( {{b}_{m}{x}^{m} + \cdots + {b}_{0}}\right) = {a}_{n}{b}_{m}{x}^{n + m} + \cdots + {a}_{0}{b}_{0}.
\]
所以乘积 \(f\left( x\right) g\left( x\right)\) 的首项为 \({a}_{n}{b}_{m} \neq 0\) ,常数项为 \({a}_{0}{b}_{0}\) . 因此 \(f\left( x\right) g\left( x\right)\) 的次数为 \(n + m\) . 所以有 \(\deg \left( {f\left( x\right) g\left( x\right) }\right) = n + m = \deg \left( {f\left( x\right) }\right) + \deg \left( {g\left( x\right) }\right)\) . 这包括了多项式 \(f\left( x\right)\) 或 \(g\left( x\right)\) 为零多项式的情形,这时 \(\deg \left( 0\right) = - \infty\) .
由上面性质可知, 多项式的加、减、乘和整数的加、减、乘有完全相同的性质, 而且它们都不能随便作除法. 因此研究可除性, 是多项式理论的重要组成部分.
\section*{习 题 1.1}
1.1.1 试证: 域 \(\mathbb{F}\) 和环 \(\mathbb{Z}\) 上多项式的乘法结合律和乘法消去律成立.
\newpage
\section{§1.2 一元多项式的可除性理论}
在这一节讨论域 \(\mathbb{F}\left( {\mathbb{F}\text{ 为 }\mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q}\text{ 之一 }}\right)\) 上多项式全体构成的域 \(\mathbb{F}\) 上多项式环 \(\mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) . 关于整数环上多项式环 \(\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,将在 \(§{1.4}\) 中讨论.
定理 1.2.1(除法公式) 设 \(g\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上的非零多项式. 对任一多项式 \(f\left( x\right)\) , 则唯一存在域 \(\mathbb{F}\) 上两多项式 \(q\left( x\right)\) 和 \(r\left( x\right)\) ,使得
\[
f\left( x\right) = q\left( x\right) g\left( x\right) + r\left( x\right) , \tag{1.2.1}
\]
其中 \(r\left( x\right) = 0\) ,或者 \(r\left( x\right) \neq 0\) ,且
\[
\deg \left( {r\left( x\right) }\right) < \deg \left( {g\left( x\right) }\right) . \tag{1.2.2}
\]
\(q\left( x\right)\) 称为商式, \(r\left( x\right)\) 称为余式. 式 (1.2.1) 又可记作
\[
f\left( x\right) \equiv r\left( x\right) \;\left( {{\;\operatorname{mod}\;g}\left( x\right) }\right) . \tag{1.2.3}
\]
证 先证存在性. 设 \(f\left( x\right) = 0\) ,则取 \(q\left( x\right) = r\left( x\right) = 0\) 就行了. 设 \(f\left( x\right) \neq 0\) , \(\deg \left( {g\left( x\right) }\right) > \deg \left( {f\left( x\right) }\right)\) ,则取 \(q\left( x\right) = 0,r\left( x\right) = f\left( x\right)\) 就行了. 设 \(f\left( x\right) \neq 0,\deg \left( {g\left( x\right) }\right) \leq\) \(\deg \left( {f\left( x\right) }\right)\) . 记 \(f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{0},g\left( x\right) = {b}_{m}{x}^{m} + {b}_{m - 1}{x}^{m - 1} + \cdots + {b}_{0}\) , 其中 \({a}_{n}{b}_{m} \neq 0\) ,又 \(n \geq m\) . 则多项式
\[
{f}_{1}\left( x\right) = f\left( x\right) - {a}_{n}{b}_{m}^{-1}{x}^{n - m}g\left( x\right)
\]
的次数小于或等于 \(n - 1\) . 由归纳法假设,便证明了存在多项式 \({q}_{1}\left( x\right) ,r\left( x\right)\) ,使得
\[
{f}_{1}\left( x\right) = {q}_{1}\left( x\right) g\left( x\right) + r\left( x\right) ,
\]
其中 \(r\left( x\right) = 0\) ,或 \(r\left( x\right) \neq 0,\deg \left( {r\left( x\right) }\right) < \deg \left( {g\left( x\right) }\right)\) . 因此,
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{b}_{m}^{-1}{x}^{n - m}g\left( x\right) + {f}_{1}\left( x\right) = \left( {{a}_{n}{b}_{m}^{-1}{x}^{n - m} + {q}_{1}\left( x\right) }\right) g\left( x\right) + r\left( x\right) .
\]
取 \(q\left( x\right) = {a}_{n}{b}_{m}^{-1}{x}^{n - m} + {q}_{1}\left( x\right)\) 便证明了分解的存在性.
下面证唯一性. 今若 \(f\left( x\right)\) 有两种分解
\[
f\left( x\right) = q\left( x\right) g\left( x\right) + r\left( x\right) = {q}_{0}\left( x\right) g\left( x\right) + {r}_{0}\left( x\right) ,
\]
其中 \(r\left( x\right) = 0\) 或者 \(\deg \left( {r\left( x\right) }\right) < \deg \left( {g\left( x\right) }\right)\) ,又 \({r}_{0}\left( x\right) = 0\) 或者 \(\deg \left( {{r}_{0}\left( x\right) }\right) < \deg \left( {g\left( x\right) }\right)\) . 所以
\[
r\left( x\right) - {r}_{0}\left( x\right) = \left( {{q}_{0}\left( x\right) - q\left( x\right) }\right) g\left( x\right) .
\]
设 \({q}_{0}\left( x\right) = q\left( x\right)\) ,则 \({r}_{0}\left( x\right) = r\left( x\right)\) ; 设 \({q}_{0}\left( x\right) \neq q\left( x\right)\) ,则 \({q}_{0}\left( x\right) - q\left( x\right) \neq 0\) ,因此有 \({r}_{0}\left( x\right) \neq r\left( x\right)\) ,且
\[
\deg \left( {g\left( x\right) }\right) > \deg \left( {r\left( x\right) - {r}_{0}\left( x\right) }\right) = \deg \left( {{q}_{0}\left( x\right) - q\left( x\right) }\right) + \deg \left( {g\left( x\right) }\right) \geq \deg \left( {g\left( x\right) }\right) .
\]
所以导出矛盾. 因此证明了 \({r}_{0}\left( x\right) = r\left( x\right) ,{q}_{0}\left( x\right) = q\left( x\right)\) .
定义 1.2.2 设 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上两多项式,其中 \(g\left( x\right) \neq 0\) . 如果存在域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(q\left( x\right)\) ,使得
\[
f\left( x\right) = q\left( x\right) g\left( x\right) , \tag{1.2.4}
\]
则 \(g\left( x\right)\) 称为 \(f\left( x\right)\) 的因式, \(f\left( x\right)\) 称为 \(g\left( x\right)\) 的倍式. 又称 \(g\left( x\right)\) 除得尽 \(f\left( x\right)\) ,记作 \(g\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) . 否则称 \(g\left( x\right)\) 除不尽 \(f\left( x\right)\) ,记作 \(g\left( x\right) \nmid f\left( x\right)\) .
由定义可知,任取域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(g\left( x\right) \neq 0\) ,则 \(g\left( x\right) \mid 0\) .
引理 1.2.3 设 \(f\left( x\right) ,{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,g\left( x\right) ,h\left( x\right) ,{h}_{1}\left( x\right) ,{h}_{2}\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上的多项式, 则除得尽关系有下面性质:
( 1 )设 \(g\left( x\right) h\left( x\right) \neq 0\) ,且 \(h\left( x\right) \left| {g\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right| f\left( x\right)\) ,则有 \(h\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) ；
( 2 )设 \(g\left( x\right) \neq 0\) ,且 \(g\left( x\right) \mid {f}_{1}\left( x\right)\) , \(g\left( x\right) \mid {f}_{2}\left( x\right)\) ,则对任意多项式 \({h}_{1}\left( x\right)\) , \({h}_{2}\left( x\right)\) 有 \(g\left( x\right) \mid \left( {{h}_{1}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) + {h}_{2}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) }\right) ;\)
(3) 设 \(f\left( x\right) g\left( x\right) \neq 0\) ,且 \(f\left( x\right) \mid g\left( x\right) ,g\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) ,则存在非零常数 \(c \in \mathbb{F}\) ,使得 \(g\left( x\right) = {cf}\left( x\right)\) . 这时称非零多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 相伴;
(4) 设 \(f\left( x\right) \neq 0,\lambda ,\mu\) 为域 \(\mathbb{F}\) 中非零常数,则 \(f\left( x\right)\) 有因式 \(\lambda\) 和 \({\mu f}\left( x\right)\) .
证 由除得尽的定义可证 (1), (2), (4) 成立. 下面来证 (3) 成立.
因为 \(f\left( x\right) g\left( x\right) \neq 0\) ,且 \(g\left( x\right) \mid f\left( x\right) ,f\left( x\right) \mid g\left( x\right)\) ,所以存在多项式 \(q\left( x\right)\) 及 \({q}_{1}\left( x\right)\) ,使得 \(f\left( x\right) = q\left( x\right) g\left( x\right) ,g\left( x\right) = {q}_{1}\left( x\right) f\left( x\right)\) . 消去 \(g\left( x\right)\) ,有 \(f\left( x\right) = q\left( x\right) {q}_{1}\left( x\right) f\left( x\right)\) . 由消去律有 \(q\left( x\right) {q}_{1}\left( x\right) = 1\) . 由次数公式有 \(\deg \left( {q\left( x\right) }\right) + \deg \left( {{q}_{1}\left( x\right) }\right) = 0\) . 由于次数为非负整数, 所以 \(\deg \left( {q\left( x\right) }\right) = \deg \left( {{q}_{1}\left( x\right) }\right) = 0\) ,即 \({q}_{1}\left( x\right)\) 和 \(q\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 中非零常数. 记 \({q}_{1}\left( x\right) = c\) , 有 \(g\left( x\right) = {cf}\left( x\right)\) .
为了给出域 \(\mathbb{F}\) 上多项式的可除性理论,最重要的是引进和计算两个不全为零的多项式的最高公因式.
定义 1.2.4 (1) 给定域 \(\mathbb{F}\) 上的多项式 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) ,如果域 \(\mathbb{F}\) 上的非零多项式 \(g\left( x\right)\) 是 \({f}_{1}\left( x\right)\) 及 \({f}_{2}\left( x\right)\) 的因式,则 \(g\left( x\right)\) 称为 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) 的公因式.
(2) 域 \(\mathbb{F}\) 上的多项式 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) 的公因式 \(d\left( x\right)\) 称为最高公因式,如果 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) 的任一公因式都是 \(d\left( x\right)\) 的因式. 首项系数为 1 的最高公因式记作 \(\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) }\right)\) ,或 \(g\) . c.d. \(\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) }\right)\) .
由最高公因式的定义可知,设 \({f}_{1}\left( x\right)\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的非零多项式,且首项系数为 1, 则 \(\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,0}\right) = {f}_{1}\left( x\right) ;\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,c}\right) = 1,\forall c \in {\mathbb{F}}^{ * } = \mathbb{F} - \{ 0\}\) .
引理 1.2.5 给定域 \(\mathbb{F}\) 上不全为零的多项式 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) . 如果 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) 的最高公因式存在,则必唯一,且有 \(\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) }\right) = \left( {{f}_{2}\left( x\right) ,{f}_{1}\left( x\right) }\right)\) .
证 由最高公因式的定义以及引理 1.2.3 的 (4) 立即可知.
定理 1.2.6 给定域 \(\mathbb{F}\) 上不全为零的多项式 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) ,则唯一存在 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) 的最高公因式 \(\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) }\right)\) .
证 由引理 1.2.5 ,下面只需证明存在性. 为此,引进辗转相除法如下:为方便起见,无妨设 \({f}_{2}\left( x\right) \neq 0\) . 于是有
\[
{f}_{1}\left( x\right) = {q}_{1}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) + {r}_{1}\left( x\right) ,
\]
\[
{f}_{2}\left( x\right) = {q}_{2}\left( x\right) {r}_{1}\left( x\right) + {r}_{2}\left( x\right) ,
\]
\[
{r}_{1}\left( x\right) = {q}_{3}\left( x\right) {r}_{2}\left( x\right) + {r}_{3}\left( x\right) ,
\]
\(\vdots\)
\[
{r}_{t}\left( x\right) = {q}_{t + 2}\left( x\right) {r}_{t + 1}\left( x\right) + {r}_{t + 2}\left( x\right) ,
\]
其中 \({r}_{1}\left( x\right) ,{r}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{r}_{t}\left( x\right) ,\cdots\) 为非零多项式,又
\[
\deg \left( {{f}_{2}\left( x\right) }\right) > \deg \left( {{r}_{1}\left( x\right) }\right) > \deg \left( {{r}_{2}\left( x\right) }\right) > \cdots > \deg \left( {{r}_{t}\left( x\right) }\right) > \cdots .
\]
但是 \(\deg \left( {{f}_{2}\left( x\right) }\right)\) 为有限数,所以存在正整数 \(s\) ,使得下面辗转相除算式成立:
\[
{f}_{1}\left( x\right) = {q}_{1}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) + {r}_{1}\left( x\right) ,
\]
\[
{f}_{2}\left( x\right) = {q}_{2}\left( x\right) {r}_{1}\left( x\right) + {r}_{2}\left( x\right) ,
\]
\[
{r}_{1}\left( x\right) = {q}_{3}\left( x\right) {r}_{2}\left( x\right) + {r}_{3}\left( x\right) , \tag{1.2.5}
\]
\[
{r}_{s - 2}\left( x\right) = {q}_{s}\left( x\right) {r}_{s - 1}\left( x\right) + {r}_{s}\left( x\right) ,
\]
\[
{r}_{s - 1}\left( x\right) = {q}_{s + 1}\left( x\right) {r}_{s}\left( x\right) ,
\]
其中 \({r}_{1}\left( x\right) ,{r}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{r}_{s}\left( x\right)\) 为非零多项式,又
\[
\deg \left( {{f}_{2}\left( x\right) }\right) > \deg \left( {{r}_{1}\left( x\right) }\right) > \deg \left( {{r}_{2}\left( x\right) }\right) > \cdots > \deg \left( {{r}_{s}\left( x\right) }\right) \geq 0. \tag{1.2.6}
\]
记 \({r}_{s}\left( x\right)\) 的首项系数为 \(a \neq 0\) ,则有 \(\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) }\right) = {a}^{-1}{r}_{s}\left( x\right)\) . 事实上,从上面辗转相除的算式可以看出,对 \({f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right)\) 的任一公因式 \(h\left( x\right)\) ,由上往下看,便证明了 \(h\left( x\right) \mid {r}_{s}\left( x\right)\) . 再由下往上看,可知 \({r}_{s}\left( x\right) \mid {r}_{s - 1}\left( x\right) ,\cdots ,{r}_{s}\left( x\right) \mid {r}_{1}\left( x\right) ,{r}_{s}\left( x\right) \mid {f}_{2}\left( x\right)\) , \({r}_{s}\left( x\right) \mid {f}_{1}\left( x\right)\) ,即 \({r}_{s}\left( x\right)\) 为 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) 的公因式. 由最高公因式的定义可知定理成立.
辗转相除法还可以导出下面重要性质.
定理 1.2.7 给定域 \(\mathbb{F}\) 上两个不全为零的多项式 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) ,则存在域 \(\mathbb{F}\) 上的多项式 \(u\left( x\right)\) 及 \(v\left( x\right)\) ,使得
\[
u\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) + v\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) = \left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) }\right) . \tag{1.2.7}
\]
证 由定理 1.2.6 可知 \(\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) }\right) = {a}^{-1}{r}_{s}\left( x\right)\) . 在辗转相除公式中,从上往下依次消去 \({r}_{1}\left( x\right) ,{r}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{r}_{s - 1}\left( x\right)\) ,便证明了定理.
定义 1.2.8 (1) 给定域 \(\mathbb{F}\) 上 \(m\) 个不全为零的多项式 \({f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right)\) ,域 \(\mathbb{F}\) 上的非零多项式 \(d\left( x\right)\) 称为多项式 \({f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right)\) 的公因式,如果 \(d\left( x\right) \mid {f}_{1}\left( x\right) ,\cdots\) , \(d\left( x\right) \mid {f}_{m}\left( x\right)\) ;
(2)域 \(\mathbb{F}\) 上的非零多项式 \(d\left( x\right)\) 称为多项式 \({f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right)\) 的最高公因式,如果 \(d\left( x\right)\) 是多项式 \({f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right)\) 的公因式,而且任一多项式 \({f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right)\) 的公因式 \({d}_{0}\left( x\right)\) ,有 \({d}_{0}\left( x\right) \mid d\left( x\right)\) . 多项式 \({f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right)\) 首项系数为 1 的最高公因式记作 \(\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right) }\right)\) ,或记作 \(g.c.d.\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right) }\right)\) .
定理 1.2.9 给定域 \(\mathbb{F}\) 上 \(m\) 个不全为零的多项式 \({f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right)\) ,则它们的首项系数为 1 的最高公因式唯一存在, 且有
\[
\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right) }\right) = \left( {\cdots \left( {\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) }\right) ,{f}_{3}\left( x\right) }\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right) }\right) . \tag{1.2.8}
\]
证 用归纳法及最高公因式的定义立即可得.
由定理 1.2.7 和 1.2.9 及归纳法立即有
定理 1.2.10 给定域 \(\mathbb{F}\) 上 \(m\) 个不全为零的多项式 \({f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right)\) ,则存在多项式 \({u}_{1}\left( x\right) ,{u}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{u}_{m}\left( x\right)\) ,使得
\[
{u}_{1}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) + {u}_{2}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) + \cdots + {u}_{m}\left( x\right) {f}_{m}\left( x\right) = \left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right) }\right) . \tag{1.2.9}
\]
\section*{习 题 1.2}
1.2.1 试求下列各组复多项式的最高公因式:
(1) \(\;{x}^{3} + \left( {2 + i}\right) {x}^{2} + \left( {3 + {2i}}\right) x + 6,\;{x}^{5} + i{x}^{4} + {10}{x}^{3} + {28x} + {21i}\) ;
(2) \({x}^{6} + 2{x}^{4} - 4{x}^{3} - 3{x}^{2} + {8x} - 5,\;{x}^{5} + {x}^{2} - x + 1\) .
1.2.2 试利用辗转相除法,求有理系数多项式 \(u\left( x\right)\) 和 \(v\left( x\right)\) ,使得 \(u\left( x\right) f\left( x\right) + v\left( x\right) g\left( x\right) =\) \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right)\) ,其中
(1) \(f\left( x\right) = 3{x}^{3} - 2{x}^{2} + x + 2,\;g\left( x\right) = {x}^{2} - x + 1\) ;
(2) \(\;f\left( x\right) = {x}^{4} + 2{x}^{3} - {x}^{2} - {4x} - 2,\;g\left( x\right) = {x}^{4} + {x}^{3} - {x}^{2} - {2x} - 2\) .
1.2.3 试求域 \(\mathbb{F}\) 上一个次数最低的多项式,使得它被 \({x}^{4} - 2{x}^{3} - 2{x}^{2} + {10x} - 7\) 除后,余式为 \({x}^{2} + x + 1\) ; 被 \({x}^{4} - 2{x}^{3} - 3{x}^{2} + {13x} - {10}\) 除后余式为 \(2{x}^{2} - 3\) .
1.2.4 试求域 \(\mathbb{F}\) 上七次项式 \(f\left( x\right)\) ,使得 \({\left( x - 1\right) }^{4} \mid \left( {f\left( x\right) + 1}\right) ,{\left( x + 1\right) }^{4} \mid \left( {f\left( x\right) - 1}\right)\) .
1.2.5 试求域 \(\mathbb{F}\) 上适合条件 \(\left( {{x}^{2} + 1}\right) \mid f\left( x\right) ,\left( {{x}^{3} + {x}^{2} + 1}\right) \mid \left( {f\left( x\right) + 1}\right)\) 的次数最低的多项式 \(f\left( x\right)\) .
1.2.6 求正整数 \(n\) ,使得
( 1 )域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(1 + x + {x}^{2} + \cdots + {x}^{n - 1}\) 除得尽多项式 \(1 + {x}^{2} + \cdots + {x}^{{2n} - 2}\) ；
( 2 )域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(1 + x + {x}^{2} + \cdots + {x}^{n - 1}\) 除得尽多项式 \(1 + x + {x}^{2} + \cdots + {x}^{{2n} - 1}\) .
1.2.7 给定域 \(\mathbb{F}\) 上两个不全为零的多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) ,记
\[
F\left( x\right) = \left( {{x}^{2} + 1}\right) f\left( x\right) + \left( {{x}^{2} + x + 1}\right) g\left( x\right) ,\;G\left( x\right) = {xf}\left( x\right) + \left( {x + 1}\right) g\left( x\right) ,
\]
试证: \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) = 1\) 当且仅当 \(\left( {F\left( x\right) ,G\left( x\right) }\right) = 1\) .
1.2.8 试求实多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) ,使得 \(\deg \left( {f\left( x\right) }\right) \neq \deg \left( {g\left( x\right) }\right)\) ,而且 \(f{\left( x\right) }^{2} - g{\left( x\right) }^{2} =\) \({x}^{4} + {x}^{3} + {x}^{2} + x + 1\)
1.2.9 试求域 \(\mathbb{F}\) 上的多项式 \(u\left( x\right)\) 及 \(v\left( x\right)\) ,使得 \({x}^{m}u\left( x\right) + {\left( 1 - x\right) }^{n}v\left( x\right) = 1\) .
1.2.10 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right) ,h\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上的非零多项式. 试证: 由 \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) h\left( x\right) }\right) = 1\) 可推出 \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) = 1,\left( {f\left( x\right) ,h\left( x\right) }\right) = 1\) .
1.2.11 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right) ,h\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上的非零多项式, \(a\) 为 \(h\left( x\right)\) 的首项系数. 试证: \(\left( {h\left( x\right) f\left( x\right) ,h\left( x\right) g\left( x\right) }\right) = {a}^{-1}h\left( x\right) \left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) .\)
1.2.12 设 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上的非零多项式,又 \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) = 1\) . 试证: \(\forall h\left( x\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) , 有 \(\left( {f\left( x\right) h\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) = \left( {h\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right)\) .
1.2.13 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的非零多项式,试证: \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right)\) 也是域 \(\mathbb{F}\) 上的.
1.2.14 设 \({f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上的非零多项式,试证: \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) 的最高公因式为 1 的条件等价于 \(\forall {r}_{1}\left( x\right) ,{r}_{2}\left( x\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,则存在 \({q}_{1}\left( x\right) ,{q}_{2}\left( x\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,使得 \({q}_{1}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) + {r}_{1}\left( x\right) =\) \({q}_{2}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) + {r}_{2}\left( x\right) .\)
1.2.15 设域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \({p}_{i}\left( x\right) ,0 \leq i \leq n\) 有 \(\left( {x - 1}\right) \mid {p}_{n}\left( x\right) ,\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{n - 1}}{x}^{i}{p}_{i}\left( {x}^{in}\right) = {p}_{n}\left( {x}^{n}\right)\) . 试求 \({p}_{i}\left( x\right) ,0 \leq i \leq n\) .
1.2.16 设域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(f\left( x\right)\) 被 \(x - 1,x - 2,x - 3\) 除后,余式分别为 4,8,16. 试求 \(f\left( x\right)\) 被 \(\left( {x - 1}\right) \left( {x - 2}\right) \left( {x - 3}\right)\) 除后的余式.
1.2.17 试分别求多项式 \({x}^{m} - 1\) 和 \({x}^{n} - 1\) 在有理数域,实数域,复数域上多项式环中的最高公因式, 它们间的关系如何?
1.2.18 给定正整数 \(n\) ,试证: 存在正整数 \(m\) ,使得域 \(\mathbb{F}\) 上多项式
\[
\left( {1 + x}\right) \left( {1 + {x}^{2}}\right) \cdots \left( {1 + {x}^{{2}^{n}}}\right) = 1 + x + {x}^{2} + \cdots + {x}^{m}.
\]
1.2.19 给定域 \(\mathbb{F}\) 上两个不全为零的多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) . 作多项式集合
\[
\mathfrak{S} = \{ u\left( x\right) f\left( x\right) + v\left( x\right) g\left( x\right) \mid u\left( x\right) ,v\left( x\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack \} ,
\]
其中 \(\mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的多项式环. 试证: 这个集合 \(\mathfrak{S}\) 中存在次数最低,首项系数为 1 的非零多项式,它就是 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 的最高公因式 \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right)\) . 所以它也是最高公因式的等价定义.
1.2.20 给定域 \(\mathbb{F}\) 上三个不全为零的多项式 \(a\left( x\right) ,b\left( x\right) ,c\left( x\right)\) . 试证: 存在域 \(\mathbb{F}\) 上六个多项式 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right) ,h\left( x\right) ,u\left( x\right) ,v\left( x\right) ,w\left( x\right)\) ,使得三阶行列式
\[
\det \left( \begin{array}{lll} a\left( x\right) & b\left( x\right) & c\left( x\right) \\ f\left( x\right) & g\left( x\right) & h\left( x\right) \\ u\left( x\right) & v\left( x\right) & w\left( x\right) \end{array}\right) = \left( {a\left( x\right) ,b\left( x\right) ,c\left( x\right) }\right) .
\]
(提示: 辗转相除法.)
\newpage
\section*{§1.3 一元多项式的因式分解}
在这一节,我们引进域 \(\mathbb{F}\) 上不可约多项式,证明域 \(\mathbb{F}\) 上多项式必可分解为域 \(\mathbb{F}\) 上不可约多项式的乘积. 为此, 先引进互素的定义.
定义 1.3.1 域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 称为互素的,如果它们的最大公因式 \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) = 1\) . 否则称为不互素的.
定理 1.3.2 域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 互素当且仅当存在域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(u\left( x\right)\) 和 \(v\left( x\right)\) ,使得 \(u\left( x\right) f\left( x\right) + v\left( x\right) g\left( x\right) = 1\) .
证 由定理 1.2.7 及互素的定义可知,当 \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) = 1\) 时,必存在多项式 \(u\left( x\right)\) 和 \(v\left( x\right)\) ,使得 \(u\left( x\right) f\left( x\right) + v\left( x\right) g\left( x\right) = 1\) . 反之,如果存在多项式 \(u\left( x\right)\) 和 \(v\left( x\right)\) ,使得 \(u\left( x\right) f\left( x\right) + v\left( x\right) g\left( x\right) = 1\) . 记 \(d\left( x\right) = \left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right)\) ,则有 \(d\left( x\right) \mid \left( {u\left( x\right) f\left( x\right) + v\left( x\right) g\left( x\right) }\right)\) , 即 \(d\left( x\right) \mid 1\) ,这证明了 \(d\left( x\right) = 1\) ,即 \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) = 1\) . 所以 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 互素.
引理 1.3.3 域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 及多项式 \(h\left( x\right)\) 若有 \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) =\) \(1,f\left( x\right) \mid g\left( x\right) h\left( x\right)\) ,则有 \(f\left( x\right) \mid h\left( x\right)\) .
证 由定理 1.3.2,存在多项式 \(u\left( x\right)\) 和 \(v\left( x\right)\) ,使得 \(u\left( x\right) f\left( x\right) + v\left( x\right) g\left( x\right) = 1\) . 于是 \(h\left( x\right) = \left( {u\left( x\right) h\left( x\right) }\right) f\left( x\right) + v\left( x\right) \left( {g\left( x\right) h\left( x\right) }\right)\) . 由条件 \(f\left( x\right) \mid g\left( x\right) h\left( x\right)\) ,便证明了 \(f\left( x\right) \mid h\left( x\right)\) . 所以引理成立.
为了 \(§{4.4}\) 的需要,现在给出
定理 1.3.4 域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 不互素的充分且必要条件为存在非零多项式 \(u\left( x\right)\) 和 \(v\left( x\right)\) ,使得
\[
u\left( x\right) f\left( x\right) = v\left( x\right) g\left( x\right) , \tag{1.3.1}
\]
其中
\[
\deg \left( {u\left( x\right) }\right) < \deg \left( {g\left( x\right) }\right) ,\;\deg \left( {v\left( x\right) }\right) < \deg \left( {f\left( x\right) }\right) . \tag{1.3.2}
\]
证 记 \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) = d\left( x\right)\) . 设多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 不互素,于是 \(\deg \left( {d\left( x\right) }\right) > 0\) . 记 \(f\left( x\right) = d\left( x\right) v\left( x\right) ,g\left( x\right) = d\left( x\right) u\left( x\right)\) ,则有 \(\deg \left( {v\left( x\right) }\right) < \deg \left( {f\left( x\right) }\right) ,\deg \left( {u\left( x\right) }\right) <\) \(\deg \left( {g\left( x\right) }\right)\) . 今 \(u\left( x\right) f\left( x\right) = d\left( x\right) u\left( x\right) v\left( x\right) = v\left( x\right) g\left( x\right)\) ,所以式 (1.3.1) 和 (1.3.2) 成立.
反之,若存在非零多项式 \(u\left( x\right)\) 和 \(v\left( x\right)\) ,使得
\[
u\left( x\right) f\left( x\right) = v\left( x\right) g\left( x\right) ,\;\deg \left( {u\left( x\right) }\right) < \deg \left( {g\left( x\right) }\right) ,\;\deg \left( {v\left( x\right) }\right) < \deg \left( {f\left( x\right) }\right) .
\]
下面证 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 两多项式不互素. 我们用反证法. 若 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 互素,即 \(\left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) = 1\) . 由 \(f\left( x\right) \mid v\left( x\right) g\left( x\right)\) 及引理 1.3.3,所以证明了 \(f\left( x\right) \mid v\left( x\right)\) ,这和 \(\deg \left( {v\left( x\right) }\right) < \deg \left( {f\left( x\right) }\right)\) 矛盾.
由引理 1.2.3, \(f\left| {g,g}\right| f\) 当且仅当 \(f\) 和 \(g\) 相伴,所以我们引进如下定义.
定义 1.3.5 域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式 \(p\left( x\right)\) 称为 不可约多项式,如果除了因式 \(\lambda\) 和 \({\mu p}\left( x\right)\) 外,无其他域 \(\mathbb{F}\) 上因式,其中 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 为域 \(\mathbb{F}\) 中的非零数. 又,不是不可约的多项式称为可约多项式.
注意 显然域 \(\mathbb{F}\) 上零次多项式和一次多项式都是不可约的. 又域 \(\mathbb{F}\) 上可约的多项式是两个域 \(\mathbb{F}\) 上低次多项式的乘积. 为什么?
对域 \(\mathbb{F}\) 上相伴的两非零多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) ,利用引理 1.2.3 的 (4),我们可以约定其中有一个非零多项式的首项系数为 1. 特别,我们可以取不可约多项式 \(p\left( x\right)\) 的首项系数为 1 .
引理 1.3.6 设 \(p\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上的不可约多项式,则对域 \(\mathbb{F}\) 上任一多项式 \(f\left( x\right)\) , 有 \(p\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) ,或者有 \(\left( {p\left( x\right) ,f\left( x\right) }\right) = 1\) . 特别,任意两个首项系数为 1 的不可约多项式 \(p\left( x\right)\) 和 \(q\left( x\right)\) ,必有 \(p\left( x\right) = q\left( x\right)\) ,或 \(\left( {p\left( x\right) ,q\left( x\right) }\right) = 1\) .
证 记 \(\left( {p\left( x\right) ,f\left( x\right) }\right) = d\left( x\right)\) . 设 \(\left( {p\left( x\right) ,f\left( x\right) }\right) = 1\) ,则不必证了. 设 \(\deg \left( {d\left( x\right) }\right) > 0\) , 则 \(d\left( x\right) \mid p\left( x\right)\) . 但是 \(p\left( x\right)\) 是不可约多项式,所以 \(d\left( x\right) = {\mu p}\left( x\right)\) ,其中 \({\mu }^{-1}\) 为 \(p\left( x\right)\) 的首项系数. 因此由 \(d\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) 便证明了 \(p\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) .
引理 1.3.7 设 \(p\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上的不可约多项式,则对域 \(\mathbb{F}\) 上任两多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) ,只要 \(p\left( x\right) \mid f\left( x\right) g\left( x\right)\) ,便有 \(p\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) ,或者 \(p\left( x\right) \mid g\left( x\right)\) .
证 若 \(p\left( x\right) \mid g\left( x\right)\) ,则不必证了. 若 \(p\left( x\right) \nmid g\left( x\right)\) ,则 \(\left( {p\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) = 1\) . 由引理 1.3.6, 今 \(p\left( x\right) \mid f\left( x\right) g\left( x\right)\) ,所以 \(p\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) .
由归纳法立即有
引理 1.3.8 设 \(p\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上不可约多项式, \({f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式. 设 \(p\left( x\right) \mid {f}_{1}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) \cdots {f}_{m}\left( x\right)\) ,则 \(p\left( x\right)\) 必除得尽 \({f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right)\) 中某个多项式.
定理 1.3.9 (唯一析因定理) 设 \(f\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上次数大于零的多项式,则 \(f\left( x\right)\) 有下列因式分解:
\[
f\left( x\right) = {a}_{0}{p}_{1}\left( x\right) {p}_{2}\left( x\right) \cdots {p}_{r}\left( x\right) , \tag{1.3.3}
\]
其中 \({a}_{0}\) 是 \(f\left( x\right)\) 的首项系数, \({p}_{1}\left( x\right) ,{p}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{p}_{r}\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上次数大于零,且首项系数为 1 的不可约多项式. 若另有因式分解
\[
f\left( x\right) = {a}_{0}{q}_{1}\left( x\right) {q}_{2}\left( x\right) \cdots {q}_{t}\left( x\right) , \tag{1.3.4}
\]
其中 \({q}_{1}\left( x\right) ,{q}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{q}_{t}\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上次数大于零,且首项系数为 1 的不可约多项式, 则 \(t = r\) ,且存在 \(1,2,\cdots ,r\) 的排列 \({i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{r}\) ,使得
\[
{q}_{j}\left( x\right) = {p}_{{i}_{j}}\left( x\right) ,\;1 \leq j \leq r. \tag{1.3.5}
\]
又, \(f\left( x\right)\) 的次数大于零的因式必为
\[
\lambda {p}_{{j}_{1}}\left( x\right) {p}_{{j}_{2}}\left( x\right) \cdots {p}_{{j}_{s}}\left( x\right) , \tag{1.3.6}
\]
其中 \(\lambda\) 为域 \(\mathbb{F}\) 中非零数, \({j}_{1},{j}_{2},\cdots ,{j}_{s}\) 为 \(1,2,\cdots ,r\) 中 \(s\) 个不同的数.
证 先证因式分解的存在性. 设 \(f\left( x\right)\) 不可约,则定理成立. 设 \(f\left( x\right)\) 可约,由定义可知 \(f\left( x\right) = {f}_{1}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right)\) ,其中 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) 的次数都小于 \(f\left( x\right)\) 的次数. 对次数作归纳法,因此可对 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({f}_{2}\left( x\right)\) 用归纳法假设,所以证明了因式分解的存在性.
再证唯一性. 由式 (1.3.3) 和 (1.3.4), 我们有
\[
{p}_{1}\left( x\right) {p}_{2}\left( x\right) \cdots {p}_{r}\left( x\right) = {q}_{1}\left( x\right) {q}_{2}\left( x\right) \cdots {q}_{t}\left( x\right) .
\]
为讨论简便起见,我们无妨设 \(r \leq t\) . 今由 \({q}_{1}\left( x\right) \mid {p}_{1}\left( x\right) {p}_{2}\left( x\right) \cdots {p}_{r}\left( x\right)\) 及引理 1.3.8,所以存在 \({p}_{{i}_{1}}\left( x\right)\) 使得 \({q}_{1}\left( x\right) \mid {p}_{{i}_{1}}\left( x\right)\) . 但是 \({q}_{1}\left( x\right)\) 和 \({p}_{{i}_{1}}\left( x\right)\) 都是次数大于零,且首项系数为 1 的不可约多项式,这证明了 \({q}_{1}\left( x\right) = {p}_{{i}_{1}}\left( x\right)\) . 代回原式,由消去律便得到
\[
{p}_{2}\left( x\right) \cdots {p}_{r}\left( x\right) = {q}_{1}\left( x\right) {q}_{2}\left( x\right) \cdots {q}_{{i}_{1} - 1}\left( x\right) {q}_{{i}_{1} + 1}\left( x\right) \cdots {q}_{t}\left( x\right) .
\]
这样依次讨论下去,便证明了存在 \(1,2,\cdots ,t\) 的排列 \({i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{t}\) ,使得 \({p}_{j}\left( x\right) = {q}_{{i}_{j}}\left( x\right)\) , \(1 \leq j \leq r\) ,又
\[
1 = {q}_{{i}_{r + 1}}\left( x\right) \cdots {q}_{{i}_{t}}\left( x\right) .
\]
由于 \(\deg \left( {{q}_{i}\left( x\right) }\right) > 0,1 \leq i \leq t\) ,这证明了 \(r = t\) ,于是证明了分解的唯一性.
最后,设 \(g\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上次数大于零,且首项系数为 1 的多项式,且有 \(g\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) . 将 \(g\left( x\right)\) 分解因式为
\[
g\left( x\right) = {r}_{1}\left( x\right) {r}_{2}\left( x\right) \cdots {r}_{s}\left( x\right) ,
\]
其中 \({r}_{1}\left( x\right) ,{r}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{r}_{s}\left( x\right)\) 为次数大于零,且首项系数为 1 的不可约多项式. 由 \({r}_{1}\left( x\right) \mid g\left( x\right) ,g\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) ,所以 \({r}_{1}\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) ,即 \({r}_{1}\left( x\right) \mid {a}_{0}{p}_{1}\left( x\right) {p}_{2}\left( x\right) \cdots {p}_{r}\left( x\right)\) . 和唯一性证明相同,有 \({r}_{1}\left( x\right) = {p}_{{j}_{1}}\left( x\right)\) . 再依次讨论下去,最后便证明了
\[
g\left( x\right) = {p}_{{j}_{1}}\left( x\right) {p}_{{j}_{2}}\left( x\right) \cdots {p}_{{j}_{s}}\left( x\right) ,
\]
其中 \({j}_{1},{j}_{2},\cdots ,{j}_{s}\) 为 \(1,2,\cdots ,r\) 中 \(s\) 个不同数.
下面讨论重因式和公倍式.
定义 1.3.10 域 \(\mathbb{F}\) 上 \(n\) 次多项式
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0} \tag{1.3.7}
\]
的导数定义为域 \(\mathbb{F}\) 上多项式
\[
{f}^{\prime }\left( x\right) = \frac{\mathrm{d}f\left( x\right) }{\mathrm{d}x} = n{a}_{n}{x}^{n - 1} + \left( {n - 1}\right) {a}_{n - 1}{x}^{n - 2} + \cdots + {a}_{1}. \tag{1.3.8}
\]
设 \(k\) 为正整数,则用归纳法,我们可以引进 \(k\) 次导数 \({f}^{\left( k\right) }\left( x\right)\) . 它定义为:
\[
{f}^{\left( k\right) }\left( x\right) = {\left( {f}^{\left( k - 1\right) }\right) }^{\prime }\left( x\right) ,\;k = 1,2,\cdots ,\;{f}^{\left( 0\right) }\left( x\right) = f\left( x\right) . \tag{1.3.9}
\]
显然 \({f}^{\left( k\right) }\left( x\right) = 0,n < k\) . 由定义出发,可以证明
引理 1.3.11 设 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上多项式,则导数有性质
(1)设 \(f\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上多项式,则 \({f}^{\prime }\left( x\right) = 0\) 当且仅当 \(f\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 中常数；
(2) \({\left( f\left( x\right) + g\left( x\right) \right) }^{\prime } = {f}^{\prime }\left( x\right) + {g}^{\prime }\left( x\right)\) ;
(3) \({\left( f\left( x\right) g\left( x\right) \right) }^{\prime } = {f}^{\prime }\left( x\right) g\left( x\right) + f\left( x\right) {g}^{\prime }\left( x\right)\) .
因此有
\[
{\left( {f}_{1}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) \cdots {f}_{m}\left( x\right) \right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{m}{f}_{1}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) \cdots {f}_{j - 1}\left( x\right) {f}_{j}^{\prime }\left( x\right) {f}_{j + 1}\left( x\right) \cdots {f}_{m}\left( x\right) . \tag{1.3.10}
\]
所以当 \(m \geq 1\) 时,
\[
{\left( f{\left( x\right) }^{m}\right) }^{\prime } = {mf}{\left( x\right) }^{m - 1}{f}^{\prime }\left( x\right) . \tag{1.3.11}
\]
证 由导数的定义,所以 (1) 和 (2) 成立. 下面证 (3) 成立. 事实上,记 \(f\left( x\right) =\) \(\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{a}_{i}{x}^{i},g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{m}{b}_{j}{x}^{j}\) ,则 \(f\left( x\right) g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n + m}}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}{a}_{i}{b}_{j}}\right) {x}^{k}\) ,因此
\[
{\left( f\left( x\right) g\left( x\right) \right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n + m}}\mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}\left( {i + j}\right) {a}_{i}{b}_{j}{x}^{i + j - 1}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n + m}}\mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}i{a}_{i}{b}_{j}{x}^{i + j - 1} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n + m}}\mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}j{a}_{i}{b}_{j}{x}^{i + j - 1}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}i{a}_{i}{x}^{i - 1}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{m}{b}_{j}{x}^{j} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{a}_{i}{x}^{i}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{m}j{b}_{j}{x}^{j - 1}
\]
\[
= {f}^{\prime }\left( x\right) g\left( x\right) + f\left( x\right) {g}^{\prime }\left( x\right) .
\]
用归纳法,立即可证式 (1.3.10) 成立. 令 \({f}_{1}\left( x\right) = \cdots = {f}_{m}\left( x\right) = f\left( x\right)\) ,则式 (1.3.11) 成立.
定义 1.3.12 设 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上次数大于零的多项式, \(m\) 为正整数. 如果 \(g{\left( x\right) }^{m} \mid f\left( x\right) ,g{\left( x\right) }^{m + 1} \nmid f\left( x\right)\) ,则称 \(g\left( x\right)\) 为 \(f\left( x\right)\) 的 \(m\) 重因式,简称为 \(f\left( x\right)\) 有 \(m\) 重因式 \(g\left( x\right)\) . 一重因式也称为单重因式.
利用导数概念, 可以讨论多项式的重因式.
定理 1.3.13 域 \(\mathbb{F}\) 上次数大于零的多项式 \(f\left( x\right)\) 没有重因式的充分且必要条件为
\[
\left( {f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) }\right) = 1. \tag{1.3.12}
\]
证 由唯一析因定理可知
\[
f\left( x\right) = {a}_{0}{p}_{1}{\left( x\right) }^{{e}_{1}}{p}_{2}{\left( x\right) }^{{e}_{2}}\cdots {p}_{s}{\left( x\right) }^{{e}_{s}}, \tag{1.3.13}
\]
其中 \({a}_{0}\) 是 \(f\left( x\right)\) 的首项系数, \({p}_{1}\left( x\right) ,{p}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{p}_{s}\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上次数大于零,且首项系数为 1 的 \(s\) 个不同的不可约多项式, \({e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{s}\) 为正整数. 由式 (1.3.10),有
\[
{f}^{\prime }\left( x\right) = {a}_{0}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{s}{e}_{j}{p}_{j}^{\prime }\left( x\right) {p}_{1}{\left( x\right) }^{{e}_{1}}\cdots {p}_{j - 1}{\left( x\right) }^{{e}_{j - 1}}{p}_{j}{\left( x\right) }^{{e}_{j} - 1}{p}_{j + 1}{\left( x\right) }^{{e}_{j + 1}}\cdots {p}_{s}{\left( x\right) }^{{e}_{s}}
\]
\[
= {a}_{0}{p}_{1}^{{e}_{1} - 1}\left( x\right) \cdots {p}_{s}{\left( x\right) }^{{e}_{s} - 1}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{s}{e}_{j}{p}_{1}\left( x\right) \cdots {p}_{j - 1}\left( x\right) {p}_{j}^{\prime }\left( x\right) {p}_{j + 1}\left( x\right) \cdots {p}_{s}\left( x\right) .
\]
(1.3.14)
今由 \(\deg \left( {{p}_{j}^{\prime }\left( x\right) }\right) = \deg \left( {{p}_{j}\left( x\right) }\right) - 1,1 \leq j \leq s\) ,不难证明
\[
\left( {f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) }\right) = {p}_{1}{\left( x\right) }^{{e}_{1} - 1}\cdots {p}_{s}{\left( x\right) }^{{e}_{s} - 1}. \tag{1.3.15}
\]
由 \(f\left( x\right)\) 的分解式可知, \(f\left( x\right)\) 有重因式当且仅当存在 \(j\) ,使得 \({e}_{j} > 1\) . 所以 \(f\left( x\right)\) 无重因式当且仅当 \({e}_{1} = {e}_{2} = \cdots = {e}_{s} = 1\) ,即 \(\left( {f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) }\right) = 1\) .
定理 1.3.14 设 \(f\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上次数大于零的多项式,则
\[
g\left( x\right) = {\left( f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) \right) }^{-1}f\left( x\right) \tag{1.3.16}
\]
仍为域 \(\mathbb{F}\) 上的次数大于零的多项式,而且无重因式. 但是 \(g\left( x\right)\) 和 \(f\left( x\right)\) 有完全一样的不同不可约因式组.
证 由式 (1.3.15) 及 (1.3.16) 可知, \(g\left( x\right)\) 无重因式,而且 \(g\left( x\right)\) 和 \(f\left( x\right)\) 有完全一样的不同不可约因式组. 由于 \(f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,而最高公因式是由辗转相除法的算式算出来的. 所以 \(\left( {f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) }\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) . 这证明了 \(g\left( x\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) .
设 \(f\left( x\right)\) 为实多项式,则导数还有性质
(a) 若实数 \({x}_{0}\) 有 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) > 0\left( { < 0}\right)\) ,则曲线 \(y = f\left( x\right)\) 在 \(x = {x}_{0}\) 达到极小 (大) 值;
(b) 若在开区间(a, b)中有 \({f}^{\prime }\left( x\right) > 0\left( { < 0}\right)\) ,则 \(f\left( x\right)\) 在区间(a, b)中严格单调递增 (递减);
(c) 若在开区间(c, d)中有两实根 \(c < a < b < d\) ,即 \(f\left( a\right) = f\left( b\right) = 0\) ,则 \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 在闭区间 \(\left\lbrack {a,b}\right\rbrack\) 中必有实根.
这些性质的证明会在分析课中学到.
和最高公因式相类似的是最低公倍式的概念.
定义 1.3.15 (1) 域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \({m}_{0}\left( x\right)\) 称为域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 的公倍式,如果 \(f\left( x\right) \mid {m}_{0}\left( x\right) ,g\left( x\right) \mid {m}_{0}\left( x\right)\) ;
( 2 )域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 的公倍式 \(m\left( x\right)\) 称为 最低公倍式,如果对 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 的任一公倍式 \({m}_{0}\left( x\right)\) ,都有 \(m\left( x\right) \mid {m}_{0}\left( x\right)\) . 首项系数为 1 的最低公倍式记作 \(\left\lbrack {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right\rbrack\) ,或记作 \(l.c.m.\left\lbrack {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right\rbrack\) .
定理 1.3.16 给定域 \(\mathbb{F}\) 上首项系数为 1 的非零多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) ,则唯一存在最低公倍式 \(\left\lbrack {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right\rbrack\) ,它有
\[
f\left( x\right) g\left( x\right) = \left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right) \left\lbrack {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right\rbrack . \tag{1.3.17}
\]
证 记 \(d\left( x\right) = \left( {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right)\) ,于是
\[
f\left( x\right) = d\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) ,\;g\left( x\right) = d\left( x\right) {g}_{1}\left( x\right) ,
\]
其中 \({f}_{1}\left( x\right)\) 和 \({g}_{1}\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上首项系数为 1 的非零多项式,它们有 \(\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{g}_{1}\left( x\right) }\right) = 1\) . 于是记
\[
m\left( x\right) = \frac{f\left( x\right) g\left( x\right) }{\left( f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right) } = d\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) {g}_{1}\left( x\right) = f\left( x\right) {g}_{1}\left( x\right) = {f}_{1}\left( x\right) g\left( x\right) ,
\]
则有 \(f\left( x\right) \mid m\left( x\right) ,g\left( x\right) \mid m\left( x\right)\) ,所以 \(m\left( x\right)\) 为 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 的公倍式,且首项系数为 1 . 另一方面,设 \({m}_{0}\left( x\right)\) 为 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 的公倍式,则 \({m}_{0}\left( x\right) = f\left( x\right) {h}_{1}\left( x\right) = g\left( x\right) {h}_{2}\left( x\right)\) , 于是
\[
{m}_{0}\left( x\right) = d\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) {h}_{1}\left( x\right) = d\left( x\right) {g}_{1}\left( x\right) {h}_{2}\left( x\right) .
\]
这证明了 \({f}_{1}\left( x\right) {h}_{1}\left( x\right) = {g}_{1}\left( x\right) {h}_{2}\left( x\right)\) . 由 \(\left( {{f}_{1}\left( x\right) ,{g}_{1}\left( x\right) }\right) = 1\) 和引理 1.3.3,这就推出了 \({f}_{1}\left( x\right) \mid {h}_{2}\left( x\right) ,{g}_{1}\left( x\right) \mid {h}_{1}\left( x\right)\) . 所以 \(d\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) {g}_{1}\left( x\right) \mid {m}_{0}\left( x\right)\) . 由 \(m\left( x\right) = d\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) {g}_{1}\left( x\right)\) 可知 \(m\left( x\right) \mid {m}_{0}\left( x\right)\) . 由定义可知 \(m\left( x\right)\) 为 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 的最低公倍式,且首项系数为 1. 即 \(m\left( x\right) = \left\lbrack {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right\rbrack\) .
定义 1.3.17 (1) 域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式 \({m}_{0}\left( x\right)\) 称为域 \(\mathbb{F}\) 上 \(s\) 个非零多项式 \({f}_{1}\left( x\right)\) , \({f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)\) 的公倍式,如果 \({f}_{i}\left( x\right) \mid {m}_{0}\left( x\right) ,1 \leq j \leq s\) ;
(2) 域 \(\mathbb{F}\) 上 \(s\) 个非零多项式 \({f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)\) 的公倍式 \(m\left( x\right)\) 称为最低公倍式,如果 \({f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)\) 的任一公倍式 \({m}_{0}\left( x\right)\) 必为 \(m\left( x\right)\) 的倍式. 首项系数为 1 的最低公倍式记作 \(\left\lbrack {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right) }\right\rbrack\) ,或记作 l.c.m. \(\left\lbrack {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots }\right.\) , \(\left. {{f}_{s}\left( x\right) }\right\rbrack\) .
计算域 \(\mathbb{F}\) 上 \(s\) 个非零多项式 \({f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)\) 的最低公倍式,可用下面的定理.
定理 1.3.18 对域 \(\mathbb{F}\) 上 \(s\) 个非零多项式 \({f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)\) ,则有
\[
\left\lbrack {{f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right) }\right\rbrack = \left\lbrack {\cdots \left\lbrack {\left\lbrack {{f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) }\right\rbrack ,{f}_{3}\left( x\right) }\right\rbrack ,\cdots ,{f}_{m}\left( x\right) }\right\rbrack . \tag{1.3.18}
\]
证 用归纳法及最低公倍式的定义立即可证.
\section*{习 题 1.3}
1.3.1 设域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 互素. 试证: 唯一存在多项式 \(u\left( x\right)\) 和 \(v\left( x\right)\) ,适合条件 \(\deg \left( {u\left( x\right) }\right) < \deg \left( {g\left( x\right) }\right)\) 或 \(\deg \left( {v\left( x\right) }\right) < \deg \left( {f\left( x\right) }\right)\) ,使得 \(u\left( x\right) f\left( x\right) + v\left( x\right) g\left( x\right) = 1\) .
1.3.2 设 \(p\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式,试证下面条件互相等价:
(1) \(p\left( x\right)\) 为不可约多项式；
(2) 由 \(p\left( x\right) \mid f\left( x\right) g\left( x\right)\) 推出 \(p\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) 或 \(p\left( x\right) \mid g\left( x\right) ,\forall f\left( x\right) ,g\left( x\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) ;
(3) 任取域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(f\left( x\right)\) ,则 \(p\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) 或 \(\left( {p\left( x\right) ,f\left( x\right) }\right) = 1\) .
1.3.3 设 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right)\) 和 \(h\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上非零多项式,试证:
\[
\left\lbrack {f\left( x\right) ,\left( {g\left( x\right) ,h\left( x\right) }\right) }\right\rbrack = \left( {\left\lbrack {f\left( x\right) ,g\left( x\right) }\right\rbrack ,\left\lbrack {f\left( x\right) ,h\left( x\right) }\right\rbrack }\right) .
\]
1.3.4 设 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上两非零多项式. 试证: 任取正整数 \(m\) ,则 \({\left( f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right) }^{m} =\) \(\left( {f{\left( x\right) }^{m},g{\left( x\right) }^{m}}\right)\) .
1.3.5 任意给定正整数 \(n > 1\) . 设 \({f}_{i}\left( x\right) = {a}_{i}x + {b}_{i},i = 1,2,3\) 为非零实多项式 (不要求 \(\left. {{a}_{i} \neq 0}\right)\) ,有 \({f}_{1}{\left( x\right) }^{n} + {f}_{2}{\left( x\right) }^{n} = {f}_{3}{\left( x\right) }^{n}\) . 试证: 存在实多项式 \(f\left( x\right) = {ax} + b\) ,使得 \({f}_{i}\left( x\right) = {c}_{i}f\left( x\right)\) , 其中 \({c}_{1},{c}_{2},{c}_{3} \in \mathbb{R}\) .
1.3.6 域 \(\mathbb{F}\) 上多项式环 \(\mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) 到域 \(\mathbb{F}\) 的映射 \(f\left( x\right) \rightarrow \mathfrak{D}\left( {f\left( x\right) }\right) ,\forall f\left( x\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,它适合条件: 给定常数 \(a \in \mathbb{F}\) ,
(1) \(\mathfrak{D}\left( {{\lambda f}\left( x\right) + {\mu g}\left( x\right) }\right) = \lambda \mathfrak{D}\left( {f\left( x\right) }\right) + \mu \mathfrak{D}\left( {g\left( x\right) }\right)\) ;
(2) \(\mathfrak{D}\left( {f\left( x\right) g\left( x\right) }\right) = f\left( a\right) \mathfrak{D}\left( {g\left( x\right) }\right) + g\left( a\right) \mathfrak{D}\left( {f\left( x\right) }\right)\) ,
其中 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack ,\lambda ,\mu \in \mathbb{F}\) . 试证: 存在常数 \(b \in \mathbb{F}\) ,使得 \(\mathfrak{D}\left( {f\left( x\right) }\right) = b{f}^{\prime }\left( a\right)\) .
\newpage
\section{§1.4 一元整系数多项式}
对复多项式环 \(\mathbb{C}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,实多项式环 \(\mathbb{R}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,有理系数多项式环 \(\mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,它们和整系数多项式环 \(\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) 有本质上的不同,差别在于不可约多项式的定义. 我们知道,对域 \(\mathbb{F}\) 上多项式环 \(\mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,求平凡公因子的方法是: 设 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 为非零多项式,而且有 \(f\left( x\right) \mid g\left( x\right) ,g\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) ,即 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 是相伴的,这意味着 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 关于相除是等价的. 这时存在 \(c \in \mathbb{F}\) ,使得 \(g\left( x\right) = {cf}\left( x\right)\) . 但是对整系数多项式环 \(\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,我们有
引理 1.4.1 设 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 为两个非零整系数多项式,而且适合条件 \(f\left( x\right)\) \(g\left( x\right) ,g\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) ,即 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 是相伴的,则 \(g\left( x\right) = f\left( x\right)\) 或 \(g\left( x\right) = - f\left( x\right)\) . 因此 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 是相伴的充分且必要条件为 \(g\left( x\right) = \pm f\left( x\right)\) .
证 今 \(f\left( x\right) \mid g\left( x\right) ,g\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) ,即 \(g\left( x\right) = f\left( x\right) {g}_{1}\left( x\right) ,f\left( x\right) = g\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right)\) ,其中 \(f\left( x\right) ,{f}_{1}\left( x\right) ,g\left( x\right) ,{g}_{1}\left( x\right) \in \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) . 所以 \(f\left( x\right) = g\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) = \left( {f\left( x\right) {g}_{1}\left( x\right) }\right) {f}_{1}\left( x\right)\) . 由乘法消去律,因此 \({g}_{1}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) = 1\) . 这证明了 \(\deg \left( {{f}_{1}\left( x\right) }\right) + \deg \left( {{g}_{1}\left( x\right) }\right) = 0\) . 所以有 \(\deg \left( {{f}_{1}\left( x\right) }\right) = \deg \left( {{g}_{1}\left( x\right) }\right) = 0\) . 因此存在整数 \(a\) 和 \(b\) ,使得 \({f}_{1}\left( x\right) = b,{g}_{1}\left( x\right) = a\) ,又 \({ab} = 1\) . 所以 \(a = b = \pm 1\) ,即 \(g\left( x\right) = \pm f\left( x\right)\) .
定义 1.4.2 非零整系数多项式 \(p\left( x\right)\) 称为不可约多项式,如果除了 \(\pm 1\) 和 \(\pm p\left( x\right)\) 以外,多项式 \(p\left( x\right)\) 无其他因式. 又,不是不可约的多项式称为可约多项式.
由定义可知, \(\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) 中零次多项式不可约当且仅当它是素数. 即合数是 \(\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) 中零次可约多项式.
仅管如此,我们仍可藉助于有理系数多项式环 \(\mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack\) 上的可除性理论,来给出整系数多项式环 \(\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) 上的可除性理论,这里 \(\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack \subset \mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack\) .
定义 1.4.3 非零整系数多项式
\[
g\left( x\right) = {c}_{n}{x}^{n} + {c}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {c}_{1}x + {c}_{0} \tag{1.4.1}
\]
称为本原多项式,如果 \(\left( {{c}_{0},{c}_{1},\cdots ,{c}_{n}}\right) = 1\) ,即 \({c}_{0},{c}_{1},\cdots ,{c}_{n}\) 互素.
用这个定义, 我们有: 不可约多项式必为本原多项式. 但是次数大于零的整系数可约多项式不一定是两个低次本原多项式的乘积, 所以整系数多项式的性质和域 \(\mathbb{F}\) 上多项式的性质有些不同. 下面先给出有理系数多项式和本原多项式间的关系. 我们有
引理 1.4.4 任一非零有理系数多项式为一个有理数和一个本原多项式的乘积.
证 设 \(f\left( x\right) \neq 0\) 为有理系数多项式,将所有系数的分母通分,便可写成
\[
f\left( x\right) = \frac{a}{b}g\left( x\right) , \tag{1.4.2}
\]
其中 \(g\left( x\right)\) 为非零整系数多项式,且为本原多项式. 又, \(a\) 和 \(b\) 为整数,且 \(b > 0\) , \(\left( {a,b}\right) = 1\) . 即 \(a/b\) 为既约分数.
由引理 1.4.4 可知, 有理系数多项式的因式分解和整系数多项式的因式分解密切相关. 关于整系数多项式分解为整系数多项式乘积的因式分解理论中, 重要的是
引理 1.4.5 (Gauss 引理) 任两本原多项式的乘积仍为本原多项式.
证 给定两个本原多项式 \(f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{a}_{i}{x}^{i},g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{m}{b}_{j}{x}^{j}\) . 为了书写方便起见, 当 \(q > n\) 时,记 \({a}_{q} = 0\) ; 当 \(u > m\) 时,记 \({b}_{u} = 0\) . 记
\[
f\left( x\right) g\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n + m}}{c}_{k}{x}^{k}, \tag{1.4.3}
\]
其中
\[
{c}_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}{a}_{i}{b}_{j},\;0 \leq i \leq n,\;0 \leq j \leq m,\;0 \leq k \leq n + m. \tag{1.4.4}
\]
下面要证明 \(\left( {{c}_{0},\cdots ,{c}_{n + m}}\right) = 1\) . 为此用反证法. 设存在素数 \(p\) ,使得 \(p \mid {c}_{k},0 \leq k \leq\) \(n + m\) . 令 \({c}_{0} = {a}_{0}{b}_{0}\) . 由 \(p \mid {c}_{0}\) ,所以 \(p \mid {a}_{0}\) 或 \({b}_{0}\) . 无妨设 \(p \mid {a}_{0}\) . 由 \(\left( {{a}_{0},\cdots ,{a}_{n}}\right) = 1\) , 所以存在指标 \(r \in \{ 0,1,\cdots ,n - 1\}\) ,使得 \(p \mid {a}_{0},\cdots ,p \mid {a}_{r},p \nmid {a}_{r + 1}\) . 但是
\[
{c}_{r + 1} = {a}_{r + 1}{b}_{0} + {a}_{r}{b}_{1} + \cdots + {a}_{1}{b}_{r} + {a}_{0}{b}_{r + 1}.
\]
今 \(p \mid {c}_{r + 1},p \mid {a}_{0},\cdots ,p \mid {a}_{r}\) ,所以 \(p \mid {a}_{r + 1}{b}_{0}\) . 但是 \(p \nmid {a}_{r + 1}\) ,因此 \(p \mid {b}_{0}\) . 由 \(\left( {{b}_{0},\cdots ,{b}_{m}}\right) = 1\) ,所以存在指标 \(s \in \{ 0,1,\cdots ,m - 1\}\) ,使得 \(p \mid {b}_{0},\cdots ,p \mid {b}_{s},p \nmid {b}_{s + 1}\) . 由今 \(p \mid {c}_{r + s + 2},p \mid {b}_{0},\cdots ,p \mid {b}_{s},p \mid {a}_{0},\cdots ,p \mid {a}_{r}\) ,所以 \(p \mid {a}_{r + 1}{b}_{s + 1}\) . 这和 \(p \nmid {b}_{s + 1}\) , \(p \nmid {a}_{r + 1}\) 矛盾.
\customfootnote{
\[
{c}_{r + s + 2} = {a}_{r + s + 2}{b}_{0} + {a}_{r + s + 1}{b}_{1} + \cdots + {a}_{r + 2}{b}_{s} + {a}_{r + 1}{b}_{s + 1} + {a}_{r}{b}_{s + 2} + \cdots + {a}_{0}{b}_{r + s + 2}.
\]
}
引理 1.4.6 任一整系数多项式必为一个整数和一个本原多项式的乘积. 所以次数大于零的整系数不可约多项式必为本原多项式, 次数等于零的整系数不可约多项式为 \(\pm 1\) ,或为素数 \(\pm p\) .
证明 由引理 1.4.5 可知引理成立.
定理 1.4.7 设整系数本原多项式的次数大于零. 则它不可约当且仅当它作为有理系数多项式仍不可约.
证 设本原多项式 \(f\left( x\right)\) 作为有理系数多项式,它不可约. 自然它作为整系数多项式也不可约. 反之,若本原多项式 \(f\left( x\right)\) 作为整系数多项式,它不可约,但作为有理系数多项式,它可约. 于是存在有理系数多项式 \(g\left( x\right)\) 和 \(h\left( x\right)\) ,使得 \(\deg \left( {g\left( x\right) }\right)\) , \(\deg \left( {h\left( x\right) }\right) < \deg \left( {f\left( x\right) }\right)\) ,又 \(f\left( x\right) = g\left( x\right) h\left( x\right)\) . 由引理 1.4.4,存在有理数 \(\lambda\) 和 \(\mu\) 以及本原多项式 \({g}_{1}\left( x\right)\) 和 \({h}_{1}\left( x\right)\) ,使得 \(g\left( x\right) = \lambda {g}_{1}\left( x\right) ,h\left( x\right) = \mu {h}_{1}\left( x\right)\) . 因此
\[
f\left( x\right) = g\left( x\right) h\left( x\right) = {\lambda \mu }{g}_{1}\left( x\right) {h}_{1}\left( x\right) .
\]
由引理 1.4.5, \({g}_{1}\left( x\right) {h}_{1}\left( x\right)\) 仍为本原多项式. 令 \(f\left( x\right)\) 为本原多项式,这证明了 \({\lambda \mu } = \pm 1\) . 所以作为整系数多项式, \(f\left( x\right) = \pm {g}_{1}\left( x\right) {h}_{1}\left( x\right)\) ,即 \(f\left( x\right)\) 可约. 这和假设矛盾,所以证明了定理.
定理 1.4.8(唯一析因定理)设 \(f\left( x\right)\) 为整数环 \(\mathbb{Z}\) 上次数大于零,且首项系数大于零的多项式,则 \(f\left( x\right)\) 有下列因式分解
\[
f\left( x\right) = {p}_{1}\left( x\right) {p}_{2}\left( x\right) \cdots {p}_{s}\left( x\right) , \tag{1.4.5}
\]
其中 \({p}_{1}\left( x\right) ,{p}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{p}_{s}\left( x\right)\) 为整系数多项式环 \(\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) 中首项系数大于零的不可约多项式. 若另有因式分解
\[
f\left( x\right) = {q}_{1}\left( x\right) {q}_{2}\left( x\right) \cdots {q}_{t}\left( x\right) , \tag{1.4.6}
\]
其中 \({q}_{1}\left( x\right) ,{q}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{q}_{t}\left( x\right)\) 为整系数多项式环 \(\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) 中首项系数大于零的不可约多项式,则 \(t = s\) ,且存在 \(1,2,\cdots ,s\) 的排列 \({i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{s}\) ,使得
\[
{q}_{j}\left( x\right) = {p}_{{i}_{j}}\left( x\right) ,\;1 \leq j \leq s. \tag{1.4.7}
\]
又 \(f\left( x\right)\) 的因式必为
\[
\pm {p}_{{j}_{1}}\left( x\right) {p}_{{j}_{2}}\left( x\right) \cdots {p}_{{j}_{t}}\left( x\right) , \tag{1.4.8}
\]
其中 \({j}_{1},{j}_{2},\cdots ,{j}_{t}\) 为此 \(1,2,\cdots ,s\) 中 \(t\) 个不同数,所以 \(1 \leq t \leq s\) .
证 今整系数多项式环 \(\mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack \subset \mathbb{Q}\left\lbrack x\right\rbrack\) . 由定理 1.3.9,存在次数大于零的有理系数不可约多项式 \({\widetilde{p}}_{1}\left( x\right) ,{\widetilde{p}}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{\widetilde{p}}_{r}\left( x\right)\) ,使得 \(f\left( x\right) = {\widetilde{p}}_{1}\left( x\right) {\widetilde{p}}_{2}\left( x\right) \cdots {\widetilde{p}}_{r}\left( x\right)\) . 由引理 1.4.4,
存在有理数 \({\lambda }_{j}\) 和次数大于零的整系数不可约多项式 \({p}_{j}\left( x\right)\) ,使得 \({\widetilde{p}}_{j}\left( x\right) = {\lambda }_{j}{p}_{j}\left( x\right)\) , \(1 \leq j \leq r\) . 代入有
\[
f\left( x\right) = {\lambda }_{1}\cdots {\lambda }_{r}{p}_{1}\left( x\right) {p}_{2}\left( x\right) \cdots {p}_{r}\left( x\right) .
\]
由引理 1.4.5, \({p}_{1}\left( x\right) {p}_{2}\left( x\right) \cdots {p}_{r}\left( x\right)\) 仍为本原多项式,由 \(f\left( x\right) \in \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,所以有理数 \(\lambda =\) \({\lambda }_{1}\cdots {\lambda }_{r} \in \mathbb{Z}\) ,而且 \(\lambda > 0\) . 由整数环 \(\mathbb{Z}\) 的唯一析因定理,所以
\[
\lambda = {p}_{r + 1}\left( x\right) \cdots {p}_{s}\left( x\right) ,
\]
其中 \({p}_{j}\left( x\right) \in \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack\) ,因此 \(\deg \left( {{p}_{j}\left( x\right) }\right) = 0\) ,所以 \({p}_{j}\left( x\right)\) 为素数, \(r + 1 \leq j \leq s\) .
\[
f\left( x\right) = {p}_{1}\left( x\right) {p}_{2}\left( x\right) \cdots {p}_{r}\left( x\right) {p}_{r + 1}\left( x\right) \cdots {p}_{s}\left( x\right) ,
\]
其中 \({p}_{k}\left( x\right)\) 为首项系数大于零的整系数不可约多项式, \(1 \leq k \leq r\) . 这证明了因式分解的存在性.
因式分解的唯一性及和因子的表达式的证明和定理 1.3.9 相同.
注意从唯一析因定理看出, 从乘法角度来看, 研究多项式的问题化为研究不可约多项式. 在整系数多项式的情形,判别一个多项式是否不可约就很重要了. 但是没有好的判别法. 下面给出
定理 1.4.9 (Esenstein 不可约判别法) 给定次数大于零的本原多项式
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0},
\]
如果存在素数 \(p\) ,使得
\[
p \nmid {a}_{n},\;p \mid {a}_{j},\;0 \leq j \leq n - 1,\;{p}^{2} \nmid {a}_{0},
\]
则 \(f\left( x\right)\) 为整系数不可约多项式.
证 用反证法. 若本原多项式 \(f\left( x\right)\) 为整系数可约多项式,则存在整系数多项式 \(g\left( x\right)\) 和 \(h\left( x\right)\) ,使得 \(\deg \left( {g\left( x\right) }\right) > 0,\deg \left( {h\left( x\right) }\right) > 0\) ,且 \(f\left( x\right) = g\left( x\right) h\left( x\right)\) . 记 \(g\left( x\right) =\) \(\mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{r}{b}_{i}{x}^{i},h\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{s}{c}_{j}{x}^{j}\) ,则 \(r + s = n\) ,又
\[
f\left( x\right) = g\left( x\right) h\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}{x}^{k},\;{a}_{n} = {b}_{r}{c}_{s} \neq 0,
\]
其中
\[
{a}_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}{b}_{i}{c}_{j},\;0 \leq i \leq r,\;0 \leq j \leq s,\;0 \leq k \leq n.
\]
由于素数 \(p\) 有 \(p \nmid {a}_{n},p \mid {a}_{k},0 \leq k \leq n - 1,{p}^{2} \nmid {a}_{0}\) ,所以 \(p \nmid {b}_{r}{c}_{s}\) 给出 \(p \nmid {b}_{r},p \nmid {c}_{s}\) ; \(p \mid {b}_{0}{c}_{0},{p}^{2} \nmid {b}_{0}{c}_{0}\) 给出 \(p \mid {b}_{0},p \nmid {c}_{0}\) 或 \(p \mid {c}_{0},p \nmid {b}_{0}\) ; 又有 \(p \mid \mathop{\sum }\limits_{{i + j = k}}{b}_{i}{c}_{j},1 \leq k \leq n - 1\) . 为方便起见,无妨设 \(p \mid {b}_{0}\) . 这时 \(p \nmid {b}_{r},p \nmid {c}_{0},p \nmid {c}_{s}\) . 因此存在正整数 \(u < r\) ,使得 \(p \mid {b}_{0},\cdots ,p \mid {b}_{u},p \nmid {b}_{u + 1}\) .
当 \(j > r\) 或 \(j < 0\) ,记 \({b}_{j} = 0\) ,则有
\[
{a}_{u + 1} = {c}_{0}{b}_{u + 1} + {c}_{1}{b}_{u} + {c}_{2}{b}_{u - 1} + \cdots + {c}_{s}{b}_{u + 1 - s}.
\]
因为 \(p \mid \left( {{c}_{1}{b}_{u} + {c}_{2}{b}_{u - 1} + \cdots + {c}_{s}{b}_{u + 1 - s}}\right)\) ,所以 \(p \mid {c}_{0}{b}_{u + 1}\) . 这和假设矛盾.
注意 在使用 Esenstein 不可约判别法时,可以在 \(f\left( 0\right) \neq 0\) 时考虑 \(g\left( x\right) =\) \({x}^{-n}f\left( x\right)\) ,其中 \(\deg \left( {f\left( x\right) }\right) = n\) ; 也可以考虑 \(g\left( x\right) = f\left( {x - m}\right)\) ,其中 \(m\) 是任意取定的整数.
\section*{习 题 1.4}
1.4.1 试证: 下列整系数多项式不可约:
\({x}^{4} - 8{x}^{3} + {12}{x}^{2} - {6x} + 2,\;{x}^{4} - {x}^{3} + {2x} + 1,\;{x}^{4} + 1,\;{x}^{6} + {x}^{3} + 1,\;{x}^{5} - {x}^{2} + 1.\)
1.4.2 设 \(f\left( x\right) = {x}^{3} + b{x}^{2} + {cx} + d\) 为整系数多项式,设 \(\left( {b + c}\right) d\) 为奇数. 试证: \(f\left( x\right)\) 在整系数范围内不可约.
1.4.3 试证: 本原多项式 \({x}^{10} \pm {x}^{5} + 1\) 可约.
1.4.4 试证: \(\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{p - 1}}{x}^{j} = 1 + x + {x}^{2} + \cdots + {x}^{p - 1}\) ,为整系数不可约多项式,其中 \(p\) 为素数.
1.4.5 给定 \(r\) 个不同素数 \({p}_{1} < {p}_{2} < \cdots < {p}_{r}\) ,试证: \(\sqrt[m]{{p}_{1}{p}_{2}\cdots {p}_{r}}\) 为无理数,其中 \(m \geq 2\) 为正整数.
1.4.6 设 \(n > 1\) ,试证: \(f\left( x\right) = {x}^{n} + 5{x}^{n - 1} + 3\) 在整系数范围内不可约.
1.4.7 设 \(n > 2,{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\) 是 \(n\) 个不同整数. 求证: \(f\left( x\right)\) 是整系数不可约多项式,其中
\[
f\left( x\right) = \left( {x - {a}_{1}}\right) \left( {x - {a}_{2}}\right) \cdots \left( {x - {a}_{n}}\right) \pm 1.
\]
1.4.8 给定 \(n\) 个不同整数 \({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\) . 试证: \(f\left( x\right)\) 是 \({2n}\) 次整系数不可约多项式,其中
\[
f\left( x\right) = \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( x - {a}_{i}\right) }^{2} + 1.
\]
1.4.9 设 \(p\) 为素数,它的十进制表示为
\[
p = {a}_{n} \cdot {10}^{n} + {a}_{n - 1} \cdot {10}^{n - 1} + \cdots + {a}_{0}.
\]
试证: 整系数多项式 \(f\left( x\right)\) 在整系数范围内不可约,其中
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{0}.
\]
1.4.10 试证: 整系数多项式
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{0}
\]
在整系数范围内不可约,其中 \(\left| {a}_{0}\right| > \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left| {a}_{k}\right|\) ,又 \({a}_{0}\) 为素数; 或 \(\sqrt{\left| {a}_{0}\right| } > 1 + \sqrt{\left| {a}_{n}\right| }\) .
\newpage
\section{§1.5 一元多项式的根}
定义 1.5.1 给定域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(f\left( x\right)\) . 复数 \(\alpha\) 称为多项式 \(f\left( x\right)\) 的根,也称为多项式 \(f\left( x\right)\) 的零点,如果 \(f\left( \alpha \right) = 0\) . 当 \(\alpha\) 为复数时,称为多项式 \(f\left( x\right)\) 的复根; 当 \(\alpha\) 为实数时,称为多项式 \(f\left( x\right)\) 的实根; 当 \(\alpha\) 为有理数时,称为多项式 \(f\left( x\right)\) 的有理数根; 当 \(\alpha\) 为整数时,称为多项式 \(f\left( x\right)\) 的整数根.
显然,域 \(\mathbb{F}\) 中所有数都是零多项式的根,又零次多项式无根. 下面讨论域 \(\mathbb{F}\) 上次数大于零的多项式在域 \(\mathbb{F}\) 中的根,考虑根和因式分解之间的关系,介绍一些求根的方法 —— 试验法.
定理 1.5.2 给定域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(f\left( x\right)\) ,域 \(\mathbb{F}\) 中数 \(\alpha\) 为多项式 \(f\left( x\right)\) 的根当且仅当
\[
\left( {x - \alpha }\right) \mid f\left( x\right) \text{ . } \tag{1.5.1}
\]
证 由定理 1.2.1,用 \(x - \alpha\) 除 \(f\left( x\right)\) ,则有
\[
f\left( x\right) = \left( {x - \alpha }\right) q\left( x\right) + c,
\]
其中 \(c\) 为常数, \(q\left( x\right)\) 为商式. 取 \(x = \alpha\) ,则有 \(f\left( \alpha \right) = c\) . 所以证明了
\[
f\left( x\right) = \left( {x - \alpha }\right) q\left( x\right) + f\left( \alpha \right) . \tag{1.5.2}
\]
因此域 \(\mathbb{F}\) 中数 \(\alpha\) 为多项式 \(f\left( x\right)\) 的根,即 \(f\left( \alpha \right) = 0\) 当且仅当 \(\left( {x - \alpha }\right) \mid f\left( x\right)\) .
定理 1.5.3 域 \(\mathbb{F}\) 上 \(n\left( { \geq 1}\right)\) 次多项式 \(f\left( x\right)\) 在域 \(\mathbb{F}\) 中至多有 \(n\) 个不同的根.
证 设 \(f\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上 \(n\) 次多项式. 设 \({\alpha }_{1} \in \mathbb{F}\) 为 \(f\left( x\right)\) 的根. 于是 \(f\left( x\right) =\) \(\left( {x - {\alpha }_{1}}\right) {f}_{1}\left( x\right)\) ,其中 \({f}_{1}\left( x\right)\) 仍为域 \(\mathbb{F}\) 上 \(n - 1\) 次多项式. 显然 \({f}_{1}\left( x\right)\) 在域 \(\mathbb{F}\) 中的根仍为 \(f\left( x\right)\) 在域 \(\mathbb{F}\) 中的根. 用归纳法,已知一次多项式恰好有一个根. 设 \(n - 1\) 次多项式 \({f}_{1}\left( x\right)\) 在域 \(\mathbb{F}\) 中至多有 \(n - 1\) 个不同根. 由 \(f\left( x\right) = \left( {x - {\alpha }_{1}}\right) {f}_{1}\left( x\right)\) 可知 \(n\) 次多项式在域 \(\mathbb{F}\) 中至多有 \(n\) 个不同根.
定理 1.5.4 设
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0} \tag{1.5.3}
\]
为域 \(\mathbb{F}\) 上多项式,这里不要求 \({a}_{n} \neq 0\) . 设存在域 \(\mathbb{F}\) 中 \(n + 1\) 个不同的数 \({\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots\) , \({\beta }_{n + 1}\) ,使得 \(f\left( {\beta }_{j}\right) = 0,1 \leq j \leq n + 1\) ,则 \(f\left( x\right)\) 为零多项式,即 \({a}_{0} = {a}_{1} = \cdots = {a}_{n} = 0\) .
证 用反证法. 假设 \(f\left( x\right)\) 不是零多项式,则 \(\deg \left( {f\left( x\right) }\right) \leq n\) . 于是由假设, \(f\left( x\right)\) 有 \(n + 1\) 个不同根 \({\beta }_{j},1 \leq j \leq n + 1\) . 由定理 1.5.3 便导出矛盾.
定理 1.5.5 设域 \(\mathbb{F}\) 上两多项式 \(f\left( x\right)\) 和 \(g\left( x\right)\) 的次数都不超过 \(n\) ,则 \(f\left( x\right) = g\left( x\right)\) 当且仅当存在域 \(\mathbb{F}\) 中 \(n + 1\) 个不同的数 \({\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{n + 1}\) ,使得 \(f\left( {\beta }_{j}\right) = g\left( {\beta }_{j}\right)\) , \(1 \leq j \leq n + 1\) .
证 考虑多项式 \(G\left( x\right) = f\left( x\right) - g\left( x\right)\) ,由定理 1.5.4 便证明了定理.
定理 1.5.6 (Lagrange 插值公式) 给定域 \(\mathbb{F}\) 中 \(n + 1\) 个不同的数 \({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots\) , \({\alpha }_{n + 1}\) . 给定域 \(\mathbb{F}\) 中另外 \(n + 1\) 个数 \({\beta }_{1},{\beta }_{2},\cdots ,{\beta }_{n + 1}\) ,则唯一存在域 \(\mathbb{F}\) 中一个次数不超过 \(n\) 的多项式 \(f\left( x\right)\) ,它有 \(f\left( {\alpha }_{j}\right) = {\beta }_{j},1 \leq j \leq n + 1\) ,其中
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{n + 1}}{\beta }_{i}\frac{\left( {x - {\alpha }_{1}}\right) \cdots \left( {x - {\alpha }_{i - 1}}\right) \left( {x - {\alpha }_{i + 1}}\right) \cdots \left( {x - {\alpha }_{n + 1}}\right) }{\left( {{\alpha }_{i} - {\alpha }_{1}}\right) \cdots \left( {{\alpha }_{i} - {\alpha }_{i - 1}}\right) \left( {{\alpha }_{i} - {\alpha }_{i + 1}}\right) \cdots \left( {{\alpha }_{i} - {\alpha }_{n + 1}}\right) }. \tag{1.5.4}
\]
证 由式 (1.5.4) 给出的 \(f\left( x\right)\) ,作为域 \(\mathbb{F}\) 上的多项式,显然有 \(f\left( {\alpha }_{j}\right) = {\beta }_{j},1 \leq\) \(j \leq n + 1\) . 这证明了存在性. 由定理 1.5.5,便证明了唯一性.
下面讨论多项式的重根.
定义 1.5.7 给定域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(f\left( x\right)\) . 设复数 \(\alpha\) 为多项式 \(f\left( x\right)\) 的根. 设正整数 \(e\) 有 \({\left( x - \alpha \right) }^{e} \mid f\left( x\right)\) ,但是 \({\left( x - \alpha \right) }^{e + 1} \nmid f\left( x\right)\) ,则复数 \(\alpha\) 称为多项式 \(f\left( x\right)\) 的 \(e\) 重根. 当 \(\epsilon = 1\) 时,复数 \(\alpha\) 也称为多项式 \(f\left( x\right)\) 的单重根.
定理 1.5.8 设域 \(\mathbb{F}\) 上 \(n\) 次多项式 \(f\left( x\right)\) 有 \(s\) 个不同根 \({\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{s}\) ,它们的重数分别为 \({e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{s}\) ,而且 \({e}_{1} + {e}_{2} + \cdots + {e}_{s} = n\) ,则
\[
f\left( x\right) = a{\left( x - {\alpha }_{1}\right) }^{{e}_{1}}{\left( x - {\alpha }_{2}\right) }^{{e}_{2}}\cdots {\left( x - {\alpha }_{s}\right) }^{{e}_{s}}, \tag{1.5.5}
\]
其中 \(a\) 为 \(f\left( x\right)\) 的首项系数. 于是多项式
\[
g\left( x\right) = \frac{f\left( x\right) }{\left( f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) \right) } = a\left( {x - {\alpha }_{1}}\right) \left( {x - {\alpha }_{2}}\right) \cdots \left( {x - {\alpha }_{s}}\right) \in \mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack \tag{1.5.6}
\]
无重根,但是和多项式 \(f\left( x\right)\) 有相同的不同根. 因此, \(f\left( x\right)\) 无重根当且仅当
\[
\left( {f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) }\right) = 1. \tag{1.5.7}
\]
证 由定理 1.3.14 可知定理成立.
下面分别在不同的数的范围内讨论根的存在性及求根方法. 这里要注意 \(\mathbb{Z} \subset\) \(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.\)
(I) 复多项式情形
定理 1.5.9 (代数基本定理) \(n \geq 1\) 次复多项式必有复根.
证 * 设 \(f\left( x\right)\) 为 \(n \geq 1\) 次复多项式. 设 \(f\left( 0\right) = 0\) ,则 \(f\left( x\right)\) 有复根 \(x = 0\) . 设 \(f\left( 0\right) = a \neq 0\) ,则 \(f\left( x\right)\) 可表为
\[
f\left( x\right) = a + b{x}^{m} + {x}^{m + 1}g\left( x\right) ,
\]
其中 \(a,b\) 为非零复数. 当 \(m = n\) 时, \(g\left( x\right) = 0\) ; 当 \(m < n\) 时,
\[
g\left( x\right) = {g}_{n - m - 1}{x}^{n - m - 1} + \cdots + {g}_{1}x + {g}_{0},\;{g}_{n - m - 1} \neq 0
\]
为 \(n - m - 1\) 次复多项式.
今 \(\mathop{\lim }\limits_{{\left| x\right| \rightarrow + \infty }}\left| {f\left( x\right) }\right| = + \infty\) . 所以 \(\left| {f\left( x\right) }\right|\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 中一点 \({x}_{0}\) 达到最小模,即 \(\left| {f\left( {x}_{0}\right) }\right| \leq \left| {f\left( x\right) }\right| ,\forall x \in \mathbb{C}\) (这里用到连续函数的性质). 下面来证 \(f\left( {x}_{0}\right) = 0\) ,即 \(n \geq 1\) 次复多项式必有复根.
用反证法. 若 \(f\left( {x}_{0}\right) \neq 0\) . 作平移 \(x \rightarrow x - {x}_{0}\) ,所以无妨设 \({x}_{0} = 0\) . 这时, \(0 < a = \left| {f\left( 0\right) }\right| \leq \left| {f\left( x\right) }\right| ,\forall x \in \mathbb{C}\) . 取 \(0 < t < 1,{x}_{1} = \sqrt[m]{-a{b}^{-1}}\) ,则 \({x}_{1}^{m} = - a{b}^{-1}\) . 今 \(f\left( {tx}\right) = a + b{t}^{m}{x}^{m} + {t}^{m + 1}{x}^{m + 1}g\left( {tx}\right)\) . 因此,由 \(0 < t < 1\) ,有
\[
\left| {f\left( {t{x}_{1}}\right) }\right| = \left| {a + b{t}^{m}{x}_{1}^{m} + {t}^{m}{x}_{1}^{m}\left( {t{x}_{1}g\left( {t{x}_{1}}\right) }\right) }\right| = \left| {a - a{t}^{m} - a{t}^{m}\frac{t{x}_{1}g\left( {t{x}_{1}}\right) }{b}}\right|
\]
\[
\leq \left| a\right| \left( {1 - {t}^{m} + {t}^{m}\left| \frac{t{x}_{1}g\left( {t{x}_{1}}\right) }{b}\right| }\right) ,
\]
其中
\[
\left| \frac{t{x}_{1}g\left( {t{x}_{1}}\right) }{b}\right| = \frac{t\left| {x}_{1}\right| }{\left| b\right| }\left| {{g}_{n - m - 1}{\left( t{x}_{1}\right) }^{n - m - 1} + \cdots + {g}_{1}\left( {t{x}_{1}}\right) + {g}_{0}}\right|
\]
\[
\leq \frac{t\left| {x}_{1}\right| }{\left| b\right| }\left( {\left| {g}_{n - m - 1}\right| {\left( t\left| {x}_{1}\right| \right) }^{n - m - 1} + \cdots + \left| {g}_{1}\right| \left( {t\left| {x}_{1}\right| }\right) + \left| {g}_{0}\right| }\right) .
\]
令 \(M = \max \left( {\left| {g}_{n - m - 1}\right| {\left| {x}_{1}\right| }^{n - m - 1},\cdots ,\left| {g}_{1}\right| \left| {x}_{1}\right| ,\left| {g}_{0}\right| }\right)\) . 由于 \(0 < t < 1\) ,因此
\[
\left| \frac{t{x}_{1}g\left( {t{x}_{1}}\right) }{b}\right| \leq \left( {{t}^{n - m} + \cdots + {t}^{2} + \dot{t}}\right) \frac{M\left| {x}_{1}\right| }{\left| b\right| } \leq \frac{\left( {n - m}\right) M\left| {x}_{1}\right| }{\left| b\right| }t.
\]
所以存在 \(t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack\) ,使得 \(0 < t < < \min \left( {1,\frac{\left| b\right| }{\left( {n - m}\right) M\left| {x}_{1}\right| }}\right)\) . 因此,
\[
\left| {f\left( {t{x}_{1}}\right) }\right| < \left| a\right| \left( {1 - {t}^{m} + {t}^{m}}\right) = \left| a\right| .
\]
这和点 \({x}_{0}\) 的选取矛盾. 所以证明了如果 \(\left| {f\left( x\right) }\right|\) 在复数域 \(\mathbb{C}\) 中一点 \({x}_{0}\) 达到最小模, 则 \(f\left( {x}_{0}\right) = 0\) ,即代数基本定理成立.
这个定理的证明, 不能避开连续函数的中间值定理. 同学们也可以在数学系高年级复变函数课中学到代数基本定理的证明.
定理 1.5.10 设 \(n \geq 1\) ,则 \(n\) 次复多项式必可分解为 \(n\) 个一次因式的乘积. 于是 \(n\) 次复多项式恰有 \(n\) 个复根 (不计重数).
证 由定理 1.5.2 及归纳法, 立即可证.
定理 1.5.11 不可约复多项式是且只是零次复多项式及一次复多项式.
证 由不可约多项式的定义及定理 1.5.10 立即可证.
(II) 实多项式情形
记
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0} \tag{1.5.8}
\]
为复多项式,于是 \(f\left( x\right)\) 为实多项式当且仅当 \(\overline{{a}_{j}} = {a}_{j},0 \leq j \leq n\) ,即
\[
\overline{f\left( x\right) } = f\left( x\right) , \tag{1.5.9}
\]
其中 \(x\) 不参与取共轭.
定理 1.5.12 实多项式若有复根 \(\alpha\) ,则必有共轭复根 \(\bar{\alpha }\) . 若 \(\alpha\) 不是实数,则 \(f\left( x\right)\) 有实因式
\[
\left( {x - \alpha }\right) \left( {x - \bar{\alpha }}\right) = {x}^{2} - \left( {\alpha + \bar{\alpha }}\right) x + {\left| \alpha \right| }^{2}. \tag{1.5.10}
\]
证 由定理 1.5.2 和式 (1.5.9) 可证.
显然,当 \(\alpha\) 不是实数,即 \(\bar{\alpha } \neq \alpha\) 时, \({x}^{2} - \left( {\alpha + \bar{\alpha }}\right) x + {\left| \alpha \right| }^{2}\) 为实不可约多项式,这时它的判别式 \(\Delta = {\left( \alpha + \bar{\alpha }\right) }^{2} - 4{\left| \alpha \right| }^{2} = {\left( \alpha - \bar{\alpha }\right) }^{2} < 0\) . 结合定理 1.5.2 及定理 1.5.12 便证明了
定理 1.5.13 实不可约多项式是且只是零次、一次及二次实多项式. 在二次的情形, 还要求判别式小于零.
由于实多项式的复根和它的共轭复根成对出现, 所以也证明了
定理 1.5.14 当 \(n \geq 1\) 时, \(n\) 次实多项式恰有 \({2r}\) 个复根 \({\alpha }_{1},\cdots ,{\alpha }_{r},{\bar{\alpha }}_{1},\cdots ,{\bar{\alpha }}_{r}\) , 其中 \({\alpha }_{1},\cdots ,{\alpha }_{r}\) 的虚部都不等于零,且有 \(n - {2r}\) 个实根 \({c}_{{2r} + 1},\cdots ,{c}_{n}\) . 所以 \(f\left( x\right)\) 能分解为下面不可约因式的乘积:
\[
f\left( x\right) = a\left\lbrack {\left( {x - {\alpha }_{1}}\right) \left( {x - {\bar{\alpha }}_{1}}\right) }\right\rbrack \cdots \left\lbrack {\left( {x - {\alpha }_{r}}\right) \left( {x - {\bar{\alpha }}_{r}}\right) }\right\rbrack \left( {x - {c}_{{2r} + 1}}\right) \cdots \left( {x - {c}_{n}}\right) . \tag{1.5.11}
\]
关于求实多项式的实根的最好方法是 Sturm 定理, 这是下一节的内容.
(III) 有理系数多项式的情形
由引理 1.4.4, 有理系数多项式的有理数根为相应本原多项式的有理数根, 反之亦然. 所以问题化为如何来求本原多项式的有理数根. 这见下面的内容.
\section*{(IV) 整系数多项式的情形}
给定本原多项式
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0},\;\left( {{a}_{0},\cdots ,{a}_{n}}\right) = 1. \tag{1.5.12}
\]
下面介绍求 \(f\left( x\right)\) 的整数根及有理数根的试验法.
设 \({a}_{0} = 0\) ,则 \(f\left( 0\right) = 0\) ; 设 \({a}_{0} \neq 0\) ,设 \(m\) 是 \(f\left( x\right)\) 的整数根,即有
\[
f\left( m\right) = {a}_{n}{m}^{n} + {a}_{n - 1}{m}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}m + {a}_{0} = 0. \tag{1.5.13}
\]
于是 \(m \mid {a}_{0}\) . 因此可先求出 \({a}_{0}\) 的所有因子,将每个因子代入 \(f\left( x\right)\) 中计算它何时为零,从而可求出 \(f\left( x\right)\) 的所有整数根.
设 \(m/q\) 为既约分数,即有 \(m,q \in \mathbb{Z},q > 0,\left( {m,q}\right) = 1\) . 设 \(m/q\) 为本原多项式 \(f\left( x\right)\) 的有理数根,即有
\[
f\left( \frac{m}{q}\right) = {a}_{n}{\left( \frac{m}{q}\right) }^{n} + {a}_{n - 1}{\left( \frac{m}{q}\right) }^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}\left( \frac{m}{q}\right) + {a}_{0} = 0.
\]
公式两边乘以 \({q}^{n}\) ,则有
\[
{a}_{n}{m}^{n} + {a}_{n - 1}{m}^{n - 1}q + \cdots + {a}_{1}m{q}^{n - 1} + {a}_{0}{q}^{n} = 0. \tag{1.5.14}
\]
由 \(\left( {m,q}\right) = 1\) ,于是 \(q \mid {a}_{n},m \mid {a}_{0}\) . 因此可先求出 \({a}_{0}\) 和 \({a}_{n}\) 的所有因子,分别记作 \({a}_{0}^{\prime }\) 和 \({a}_{n}^{\prime }\) ,得到整数对 \(\left\{ {{a}_{0}^{\prime },{a}_{n}^{\prime }}\right\}\) . 我们先筛去 \(\left( {{a}_{0}^{\prime },{a}_{n}^{\prime }}\right) \neq 1\) 的整数对,余下的整数对可定义一个既约分数 \({x}_{0} = {a}_{0}^{\prime }/{a}_{n}^{\prime }\) ,再将每个有理数 \({x}_{0}\) 代入 \(f\left( x\right)\) 中,计算它何时为零,从而可求出 \(f\left( x\right)\) 的所有有理数根.
在 16 世纪, 给出了三次及四次多项式的公式解法后, 在一, 二, 三, 四次多项式的情形,已经知道根都可以从系数 \({a}_{n},{a}_{n - 1},\cdots ,{a}_{1},{a}_{0}\) 按照确定的规律,经过加,减, 乘,除和开任意次方这五种代数运算得到. 此后有二百年的时间,很多数学家都致力于寻求 \(n \geq 5\) 次多项式
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0},\;5 \leq n
\]
的根的表达形式,这里系数是作为文字,而不是一批给定的数字. 所以对 \(n\) 次多项式, 人们自然也希望寻找到一个这样的公式. 直到 1820 年, Abel (1802-1829) 才证明了在 \(n \geq 5\) 时,这是办不到的.
尽管对于文字系数的多项式, 不可能得到一个这样的公式, 然而, 对于具体数值系数的多项式, 是不是可能找到一个这样的公式呢? 换句话说, 它们的根是不是可以由系数经过加, 减, 乘, 除和开任意次方这五种代数运算求得呢? 这个问题在 1830 年由 Galois (1811-1832) 彻底地解决了. 他给出了一种方法来判断: 哪些数值系数的多项式不可以,哪些可以. 例如,多项式 \({x}^{5} - {4x} - 2\) 的根就不能由系数经过加,减, 乘,除和开任意次方等运算得到. 由于这个问题的解决,也就回答了为什么在初等几何中不能用圆规和直尺将一角三等分等问题.
到现在为止,我们介绍了古典方程式论,即关于域 \(\mathbb{F}\) 上一元多项式环 \(\mathbb{F}\left\lbrack x\right\rbrack\) 的唯一析因理论和根的理论. 这两个理论关系很密切. 在唯一析因理论中, 基本概念是除不除得尽, 可不可约, 有没有因子分解, 分解为不可约因子乘积时, 在什么意义下唯一. 而唯一析因理论告诉我们, 分解在不计次序时唯一. 所以问题便化为决定所有不可约多项式; 在后一理论中, 首先要确定根与因子分解的关系, 然后给出方法来考查根的分布, 最好是进一步算出根, 同时定出根的重数.
上面提到的一系列问题, 是 19 世纪前期及更早些时候的代数学者们研究的重点, 这方面的成果是极其丰富的, 这里仅仅介绍了一小部分.
\section*{习 题 1.5}
1.5.1 试证: 下列域 \(\mathbb{F}\) 上多项式都以 1 为三重根:
(1) \({x}^{2n} - n{x}^{n + 1} + n{x}^{n + 1} - 1\) ;
(2) \(\left( {n - {2m}}\right) {x}^{n} - n{x}^{n - m} + n{x}^{m} - \left( {n - {2m}}\right) ,n > m\) ;
(3) \({x}^{{2n} + 1} - \left( {{2n} + 1}\right) {x}^{n + 1} + \left( {{2n} + 1}\right) {x}^{n} - 1\) .
1.5.2 试求正整数 \(n\) ,使得域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \({\left( x + 1\right) }^{n} - {x}^{n} - 1\) 无重根.
1.5.3 试证: 域 \(\mathbb{F}\) 上多项式
\[
f\left( x\right) = 1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}{x}^{2} + \cdots + \frac{1}{n!}{x}^{n}
\]
无重根.
1.5.4 设 \({x}_{0}\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(g\left( x\right) = f\left( x\right) {g}^{\prime }\left( x\right) - {f}^{\prime }\left( x\right) g\left( x\right)\) 的 \(k\) 重根,记 \(h\left( x\right) =\) \(f\left( {x}_{0}\right) g\left( x\right) - f\left( x\right) g\left( {x}_{0}\right)\) 为非零多项式. 试证: \({x}_{0}\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(h\left( x\right)\) 的 \(k + 1\) 重根. 反之亦然.
1.5.5 设 \(f\left( x\right)\) 为实多项式,由数学分析可知当 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime \prime }\left( x\right) < 0\) 时 \(f\left( x\right)\) 在 \(x = {x}_{0}\) 达极大值; 当 \({f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime \prime }\left( x\right) > 0\) 时 \(f\left( x\right)\) 在 \(x = {x}_{0}\) 达极小值. 用这个结果证明: 设 \(f\left( x\right)\) 为 \(n\) 次实多项式,且对一切实数 \(x\) ,有 \(f\left( x\right) > 0\) ,则对一切实数 \(x\) 有
\[
f\left( x\right) + {f}^{\prime }\left( x\right) + \cdots + {f}^{\left( n\right) }\left( x\right) \geq 0,
\]
其中 \({f}^{\left( n\right) }\left( x\right) = \frac{\mathrm{d}{f}^{\left( n - 1\right) }\left( x\right) }{\mathrm{d}x},n = 2,3,\cdots ,{f}^{\left( 1\right) }\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right)\) .
1.5.6 试证: 域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \({f}^{\prime }\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) 当且仅当 \(f\left( x\right) = {a}_{n}{\left( x - a\right) }^{n}\) ,其中 \({a}_{n}\) 为 \(f\left( x\right)\) 的首项系数, \({a}_{n},a \in \mathbb{F}\) .
1.5.7 设 \(f\left( x\right)\) 和 \(p\left( x\right)\) 为域 \(\mathbb{F}\) 上两个非零多项式,且有公根 \(\alpha\) . 试证: 当 \(p\left( x\right)\) 为不可约多项式时有 \(p\left( x\right) \mid f\left( x\right)\) .
1.5.8 设实多项式 \(f\left( x\right) = {x}^{4} + a{x}^{3} + {bx} + c\) 的根都是实数,试证: \({ab} \leq 0\) .
1.5.9 给定实数 \(a,b,c\) ,其中 \(c \neq 0\) . 试证: 实多项式 \(f\left( x\right) = {x}^{5} + a{x}^{4} + b{x}^{3} + c\) 至少有两个复根.
1.5.10 设 \(a,b\) 为实数, \(2{a}^{2} < {5b}\) . 试证: 实多项式 \(f\left( x\right) = {x}^{5} + a{x}^{4} + b{x}^{3} + c{x}^{2} + {dx} + e\) 必有虚部不等于零的复根.
1.5.11 设 \(f\left( x\right)\) 为整系数多项式,且 \(f\left( 0\right)\) 和 \(f\left( 1\right)\) 都是奇数. 试证: \(f\left( x\right)\) 无有理数根.
1.5.12 设
\[
f\left( x\right) = {x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}x + {a}_{0} \in \mathbb{Z}\left\lbrack x\right\rbrack ,
\]
其中 \({a}_{n - 1},\cdots ,{a}_{0}\) 都是奇数, \(n\) 是偶数. 试证 \(f\left( x\right)\) 无整数根.
1.5.13 设 \({x}^{2} + {px} + q\) 和 \({x}^{2} + {rx} + s\) 都是整系数多项式,且它们有一个公根 \(\alpha\) 不是整数. 试证 \(p = r,q = s\) .
1.5.14 试证: 当 \(n > 1\) 时,整系数多项式
\[
f\left( x\right) = n{x}^{n - 1} + \left( {n - 1}\right) {x}^{n - 2} + \cdots + 3{x}^{2} + {2x} + 1 - {n}^{2}
\]
在整系数范围内可约, 即至少有一个有理数根.
1.5.15 设 \(n \geq 1\) ,求形如
\[
{x}^{n} \pm {x}^{n - 1} \pm \cdots \pm x \pm 1
\]
的实多项式, 使得它无复根, 只有实根.
1.5.16 设实多项式 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right) ,h\left( x\right) ,k\left( x\right)\) 有
\[
\left( {{x}^{2} + 1}\right) h\left( x\right) + \left( {x - 1}\right) f\left( x\right) + \left( {x - 2}\right) g\left( x\right) = 0,
\]
\[
\left( {{x}^{2} + 1}\right) k\left( x\right) + \left( {x + 1}\right) f\left( x\right) + \left( {x + 2}\right) g\left( x\right) = 0.
\]
求证: \(\left( {{x}^{2} + 1}\right) \left| {f\left( x\right) ,\left( {{x}^{2} + 1}\right) }\right| g\left( x\right)\) .
1.5.17 设三次方程 \({x}^{3} - {x}^{2} - x - 1 = 0\) 的根是复数 \(a,b,c\) . 试证:
(1) \(a,b,c\) 为三个不同复数；
(2) 对任意正整数 \(n\) ,
\[
\frac{{a}^{n} - {b}^{n}}{a - b} + \frac{{b}^{n} - {c}^{n}}{b - c} + \frac{{c}^{n} - {a}^{n}}{c - a} \in \mathbb{Z}.
\]
1.5.18 设实多项式 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right) ,h\left( x\right) ,k\left( x\right)\) 有
\[
f\left( {x}^{5}\right) + {xg}\left( {x}^{5}\right) + {x}^{2}h\left( {x}^{5}\right) = \left( {{x}^{4} + {x}^{3} + {x}^{2} + x + 1}\right) k\left( x\right) ,
\]
试证: 多项式 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right) ,h\left( x\right)\) 以 \(x - 1\) 为公因式.
1.5.19 (1) 求方程 \(\sqrt{{x}^{2} - a} + 2\sqrt{{x}^{2} - 1} = x\) 的所有实根,其中 \(a\) 为实常数;
(2) 求解方程 \(\sqrt{x + \sqrt{{2x} - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{{2x} - 1}} = a > 0\) .
1.5.20 (Newton 公式) 记 \(f\left( x\right)\) 为复多项式,
\(f\left( x\right) = \left( {x - {a}_{1}}\right) \left( {x - {a}_{2}}\right) \cdots \left( {x - {a}_{n}}\right) = {x}^{n} - {\sigma }_{1}{x}^{n - 1} + \cdots + {\left( -1\right) }^{j}{\sigma }_{j}{x}^{n - j} + \cdots + {\left( -1\right) }^{n}{\sigma }_{n},\)
\[
{s}_{k} = {a}_{1}^{k} + {a}_{2}^{k} + \cdots + {a}_{n}^{k},\;k = 0,1,2,\cdots .
\]
试证:
\[
{g}_{k}\left( x\right) = {x}^{k + 1}{f}^{\prime }\left( x\right) - \left( {{s}_{0}{x}^{k} + {s}_{1}{x}^{k - 1} + \cdots + {s}_{k}}\right) f\left( x\right) ,\;k = 0,1,2,\cdots
\]
其中 \(\deg \left( {{g}_{k}\left( x\right) }\right) < \deg \left( {f\left( x\right) }\right)\) . 试用上式推出 Newton 公式
\[
{s}_{k} - {\sigma }_{1}{s}_{k - 1} + {\sigma }_{2}{s}_{k - 2} + \cdots + {\left( -1\right) }^{k - 1}{\sigma }_{k - 1}{s}_{1} + {\left( -1\right) }^{k}{\sigma }_{k}k = 0,\;1 \leq k < n;
\]
\[
{s}_{k} - {\sigma }_{1}{s}_{k - 1} + {\sigma }_{2}{s}_{k - 2} + \cdots + {\left( -1\right) }^{n}{\sigma }_{n}{s}_{k - n} = 0,\;k \geq n.
\]
1.5.21 给定正整数 \(n\) ,试求适合条件
\[
f\left( {f\left( x\right) }\right) = f{\left( x\right) }^{n} + {a}_{n - 1}f{\left( x\right) }^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}f\left( x\right) + {a}_{0}
\]
的所有 \(n\) 次复多项式. (提示: 用代数基本定理.)
1.5.22 设实多项式 \(f\left( x\right)\) 的所有根都是纯虚数. 试证: 它的微分 \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 的所有根,除了一个例外, 也都是纯虚数.
1.5.23 设 \(p\left( x\right)\) 是 \(n - 1\) 次多项式,系数全为正实数. 记 \({a}_{n}\) 为正实数. 试证: \(n\) 次多项式 \(f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} - p\left( x\right)\) 有唯一的单重正实根.
1.5.24 设实多项式序列 \({\left\{ {p}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 1}^{\infty }\) 有初值 \({p}_{1}\left( x\right) = {x}^{2} - 2\) ,又有
\[
{p}_{k}\left( x\right) = {p}_{1}\left( {{p}_{k - 1}\left( x\right) }\right) = {p}_{k - 1}{\left( x\right) }^{2} - 2,\;k = 2,3,\cdots .
\]
试证: 对一切正整数 \(n\) ,多项式 \({p}_{n}\left( x\right) - x\) 的根都是实数,且都是单重根.
1.5.25 设 \(f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{n}{a}_{j}{x}^{j}\) 是非零实多项式,它的根也都是实根. 试证: 多项式 \(g\left( x\right) =\) \(\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{n}\left( \begin{array}{l} n \\ j \end{array}\right) {a}_{j}{x}^{j}\) 的根也都是实根.
1.5.26 设 \(f\left( x\right)\) 为实多项式. 则 \(f\left( x\right)\) 关于一切实数 \({x}_{0}\) ,总有 \(f\left( {x}_{0}\right) \geq 0\) 当且仅当存在实多项式 \(g\left( x\right) ,h\left( x\right)\) ,使得 \(f\left( x\right) = g{\left( x\right) }^{2} + h{\left( x\right) }^{2}\) .
1.5.27 设 \(f\left( x\right)\) 为实多项式. 试证: 如果 \(f\left( x\right)\) 的根都是实根,则 \(f{\left( x\right) }^{2}\) 不能表成两个非零实多项式 \(g\left( x\right) ,h\left( x\right)\) 的平方和 \(f{\left( x\right) }^{2} = g{\left( x\right) }^{2} + h{\left( x\right) }^{2}\) ,其中 \(f\left( x\right)\) 除不尽 \(g\left( x\right)\) . 反之如何?
1.5.28 任给实多项式
\[
f\left( x\right) = {x}^{2n} + {a}_{1}{x}^{{2n} - 1} + \cdots + {a}_{{2n} - 1}x + 1,
\]
其中系数 \({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{{2n} - 1}\) 用下法决定: 甲、乙两人依次轮流给定一个系数,最后所得的多项式若无实根, 则甲胜, 若有实根, 则乙胜. 设由甲先取, 问谁胜. (答案为乙有必胜策略.)
1.5.29 设 \(\alpha \in \mathbb{C},\left| \alpha \right| = 1\) 为适合条件
\[
0 < {a}_{n} \leq {a}_{n - 1} \leq \cdots \leq {a}_{1} \leq {a}_{0}
\]
的实多项式
\[
f\left( x\right) = {a}_{n}{x}^{n} + {a}_{n - 1}{x}^{n - 1} + {a}_{1}x + {a}_{0}
\]
的根. 试证: \({\alpha }^{n + 1} = 1\) .
1.5.30 试求.
\[
\sin \frac{\pi }{2n} \cdot \sin \frac{2\pi }{2n}\cdots \sin \frac{\left( {n - 1}\right) \pi }{2n}.
\]
1.5.31 设
\[
f\left( x\right) = {x}^{n} + {a}_{1}{x}^{n - 1} + \cdots + {a}_{n - 1}x + {a}_{n}
\]
为整系数多项式,若有三个不同整数 \(a,b,c\) ,使得
\[
\left| {f\left( a\right) }\right| = \left| {f\left( b\right) }\right| = \left| {f\left( c\right) }\right| = 1.
\]
试证: \(f\left( x\right)\) 没有整数根.
1.5.32 设 \(f\left( x\right)\) 为整系数多项式,且有 \(q \geq 5\) 个互不相同的整数 \({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{q}\) ,使得 \(f\left( {a}_{i}\right) = p,1 \leq i \leq q\) ,其中 \(p\) 为素数. 试证: \(f\left( x\right)\) 无整数根.
1.5.33 设 \(f\left( x\right)\) 为有理系数不可约多项式,且 \(\deg \left( {f\left( x\right) }\right) = {2n} + 1,n \geq 1\) . 试证: \(f\left( x\right)\) 的任两不同的根的和, 差, 积, 商都不是有理数.
1.5.34 设存在奇数 \({2m} + 1\) 和偶数 \({2n}\) 有 \(f\left( {{2m} + 1}\right) ,f\left( {2n}\right)\) 都是奇数,其中 \(f\left( x\right)\) 为整数多项式. 试证: \(f\left( x\right)\) 无整数根.
1.5.35 设 \(\alpha\) 是非零复数. \(\alpha\) 是非零有理系数多项式的根当且仅当存在有理系数多项式 \(f\left( x\right)\) ,使得 \(f\left( \alpha \right) = {\alpha }^{-1}\) .
1.5.36 设 \(p\left( x\right)\) 为整系数多项式,且 \(\deg \left( {p\left( x\right) }\right) > 1\) . 记适合条件 \(p{\left( m\right) }^{2} = 1\) 的不同整数 \(m\) 的总个数为 \(n\left( {p\left( x\right) }\right)\) ,试证
\[
n\left( {p\left( x\right) }\right) - \deg \left( {p\left( x\right) }\right) \leq 2.
\]
1.5.37 一些一次实多项式构成的集合 \(S\) ,若适合条件
(1) 若 \(f\left( x\right) ,g\left( x\right) \in S\) ,则 \(f\left( x\right) \left( {g\left( x\right) }\right) \in S\) ;
( 2 )若 \(f\left( x\right) \in S\) ,则 \({f}^{-1}\left( x\right) \in S\) ,其中 \(f\left( x\right) = {ax} + b\) , \({f}^{-1}\left( x\right) = {a}^{-1}\left( {x - b}\right)\) ；
(3) \(\forall f\left( x\right) \in S\) ,则存在 \({x}_{f} \in \mathbb{R}\) ,使得 \(f\left( {x}_{f}\right) = {x}_{f}\) . 试证: 存在实数 \(\xi\) ,使 \({x}_{f} = \xi ,\forall f\left( x\right) \in S\) .
1.5.38 设 \(f\left( x\right)\) 为次数小于 \(n\) 的复多项式, \(N\) 为正整数, \(N = {m}_{1}{m}_{2}\cdots {m}_{n}\) ,其中 \({m}_{1},{m}_{2}\) , \(\cdots ,{m}_{n}\) 为大于 1 的两两互素的正整数. 记
\[
\omega = \cos \frac{2\pi }{N} + \sqrt{-1}\sin \frac{2\pi }{N}.
\]
试证: 存在 \(0,1,\cdots ,N - 1\) 的排列 \({i}_{0}{i}_{1}\cdots {i}_{N - 1}\) ,使得 \(\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{N - 1}}f\left( {i}_{k}\right) {\omega }^{k} = 0\) .
1.5.39 试用题 1.5.39 来证明是否存在一个凸 \(n\) 边形,它等角,且 \(n\) 条边的长度恰好为 \({1}^{2}\) , \({2}^{2},\cdots ,{n}^{2}\) 的排列.
\newpage
\section{§1.6 一元实多项式的 Sturm 定理 \({}^{ * }\)}
在实际问题中, 会出现许多求实多项式的实根问题. 当然具体去求一个已知的实多项式的实根是较困难的事. 已经发现许多方法求近似根, 这些方法属于计算数学的一个分支. 下面给出一种经典的办法来求实根的近似值, 这就是著名的 Sturm 定理. Sturm 利用了实多项式的一个特性: 设实多项式 \(f\left( x\right)\) 有 \(f\left( a\right) f\left( b\right) < 0\) ,其中 \(a < b\) 为实数,则在区间(a, b)中存在实根 \(\alpha\) . 他将这一事实和辗转相除公式结合起来, 给出了下面结果.
定义 1.6.1 给定次数大于零的实多项式 \(f\left( x\right)\) . 对多项式 \({f}_{0}\left( x\right) = f\left( x\right)\) 及 \({f}_{1}\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right)\) 作辗转相除,有
\[
{f}_{0}\left( x\right) = {q}_{1}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) - {f}_{2}\left( x\right) ,
\]
\[
{f}_{1}\left( x\right) = {q}_{2}\left( x\right) {f}_{2}\left( x\right) - {f}_{3}\left( x\right) ,
\]
\[
{f}_{2}\left( x\right) = {q}_{3}\left( x\right) {f}_{3}\left( x\right) - {f}_{4}\left( x\right) ,
\]
(1.6.1)
\[
{f}_{s - 2}\left( x\right) = {q}_{s - 1}\left( x\right) {f}_{s - 1}\left( x\right) - {f}_{s}\left( x\right) ,
\]
\[
{f}_{s - 1}\left( x\right) = {q}_{s}\left( x\right) {f}_{s}\left( x\right) ,
\]
其中
\[
\deg \left( {{f}_{1}\left( x\right) }\right) > \deg \left( {{f}_{2}\left( x\right) }\right) > \cdots > \deg \left( {{f}_{s}\left( x\right) }\right) \geq 0. \tag{1.6.2}
\]
则多项式序列
\[
{f}_{0}\left( x\right) ,{f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)
\]
称为 Sturm 序列.
定义 1.6.2 给定 \(s + 1\) 个实数 \({c}_{0},{c}_{1},\cdots ,{c}_{s}\) . 从左向右观察,如果 \({c}_{i} = 0\) ,则除去 \({c}_{i}\) ; 如果 \({c}_{i} \neq 0,{c}_{i + 1} = 0,\cdots ,{c}_{j - 1} = 0,{c}_{j} \neq 0\) . 这时考察 \({c}_{i}\) 和 \({c}_{j}\) 的正负号. 如果符号相同(即同时为正数或同时为负数),则称为无变号；如果符号相反(即其中有一个为正数,另一个为负数),则称为有一个变号. 从 \({c}_{0}\) 观察到 \({c}_{s}\) ,变号数的总和称为该序列的变号总数.
定义 1.6.3 给定次数大于零的实多项式 \(f\left( x\right)\) . 记它的 Sturm 序列为 \({f}_{0}\left( x\right)\) , \({f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)\) . 对任一实数 \(c\) ,记序列 \({f}_{0}\left( c\right) ,{f}_{1}\left( c\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( c\right)\) 的总变号数为 \(w\left( c\right)\) (它是非负整数). 于是得到实轴上的函数 \(w\left( x\right)\) ,它有 \(w : \mathbb{R} \rightarrow {\mathbb{Z}}_{ + }\) ,称为 Sturm 序列 \({f}_{0}\left( x\right) ,{f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)\) 的变号函数.
引理 1.6.4 设次数大于零的多项式 \(f\left( x\right)\) 为无重根的实多项式,即实多项式 \(f\left( x\right)\) 有 \(\left( {f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) }\right) = 1\) . 则 \(f\left( x\right)\) 的 Sturm 序列有性质:
(1) \({f}_{s}\left( x\right) = {f}_{s}\left( 0\right) \neq 0\) ;
( 2 )相邻的两多项式 \({f}_{j}\left( x\right)\) 和 \({f}_{j + 1}\left( x\right)\) 无公共实根；
(3) 如果实数 \(c\) 有 \({f}_{j}\left( c\right) = 0\) ,则
\[
{f}_{j - 1}\left( c\right) = - {f}_{j + 1}\left( c\right) ,\;1 \leq j \leq s - 1;
\]
(4) 如果实数 \(c\) 有 \({f}_{0}\left( c\right) = 0\) ,则存在 \(\varepsilon > 0\) ,使得
\[
{f}_{0}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) < 0,\;c - \varepsilon < x < c;\;{f}_{0}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) > 0,\;c < x < c + \varepsilon .
\]
证 (1) 由 \(\left( {f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) }\right) = 1\) 可知 \({f}_{s}\left( x\right)\) 为非零常数,所以 (1) 成立. (2) 用反证法. 若存在 \(j \in \{ 0,1,\cdots ,s - 1\}\) 以及实数 \(c\) ,使得 \({f}_{j}\left( c\right) = {f}_{j + 1}\left( c\right) = 0\) . 由 Sturm 序列的定义 1.6.1 可知 \({f}_{j + 2}\left( c\right) = 0,\cdots ,{f}_{s}\left( c\right) = 0\) . 这和 (1) 矛盾,所以 (2) 成立. (3) 设 \(j \in \{ 1,2,\cdots ,s - 1\}\) ,于是 \({f}_{j - 1}\left( x\right) = {q}_{j}\left( x\right) {f}_{j}\left( x\right) - {f}_{j + 1}\left( x\right)\) . 取 \(x = c\) ,由 \({f}_{j}\left( c\right) = 0\) ,则有 \({f}_{j - 1}\left( c\right) = - {f}_{j + 1}\left( c\right)\) . 这证明了(3) 成立. (4) 最后,如果实数 \(c\) 为 \({f}_{0}\left( x\right)\) 的根,即有 \({f}_{0}\left( c\right) = 0\) . 由 \(\left( {f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) }\right) = 1\) 可知 \({f}_{1}\left( c\right) \neq 0\) . 但是 \({f}_{1}\left( x\right)\) 为连续函数,所以存在 \(\varepsilon > 0\) ,使得当 \(c - \varepsilon < x < c + \varepsilon\) 时,有 \({f}_{1}\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right) \neq 0\) ,即 \(f\left( x\right)\) 在 \(c - \varepsilon < x < c + \varepsilon\) 时为严格单调递增函数或为严格单调递减函数. 这分为两种情形: \(\left( {4}^{\prime }\right)\) 设 \({f}^{\prime }\left( x\right) > 0,\left| {x - c}\right| < \varepsilon\) ,即 \(f\left( x\right)\) 为严格单调递增函数. 由 \(f\left( c\right) = 0\) , 有 \(f\left( x\right) > 0,c < x < c + \varepsilon\) ; 又 \(f\left( x\right) < 0,c - \varepsilon < x\) . 所以由 \({f}_{0}\left( x\right) = f\left( x\right)\) ,有 \({f}_{0}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) > 0,c < x < c + \varepsilon\) ; 又 \({f}_{0}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) < 0,c - \varepsilon < x < c.\;\left( {4}^{\prime \prime }\right)\) 设 \({f}^{\prime }\left( x\right) < 0\) , \(\left| {x - c}\right| < \varepsilon\) ,即 \(f\left( x\right)\) 为严格单调递减函数. 由 \(f\left( c\right) = 0\) ,有 \(f\left( x\right) < 0,c < x < c + \varepsilon\) ; 又 \(f\left( x\right) > 0,c - \varepsilon < x < c\) . 所以由 \({f}_{0}\left( x\right) = f\left( x\right)\) ,有 \({f}_{0}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) > 0,c < x < c + \varepsilon\) ; 又 \({f}_{0}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) < 0,c - \varepsilon < x < c.\)
上面两种情形推出了同样的结论: \({f}_{0}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) > 0,c < x < c + \varepsilon\) ,又 \({f}_{0}\left( x\right) {f}_{1}\left( x\right) <\) \(0,c - \varepsilon < x < c\) . 这证明了 (4) 成立.
定理 1.6.5 (Sturm 定理) 设 \(f\left( x\right)\) 为无重根的非零实多项式,即
\[
\left( {f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) }\right) = 1.
\]
设实数 \(a\) 和 \(b\) 都不是 \(f\left( x\right)\) 的实根,且 \(a < b\) . 则实多项式 \(f\left( x\right)\) 在区间(a, b)中恰有 \(w\left( b\right) - w\left( a\right)\) 个实根.
证 由于 Sturm 序列 \({f}_{0}\left( x\right) ,{f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)\) 由多项式构成,所以当 \(x\) 从 \(a\) 增大到 \(b\) 时,如果不经过所有多项式 \({f}_{0}\left( x\right) ,{f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)\) 的根时,变号函数 \(w\left( x\right)\) 的值不改变. 所以为了证明定理,只要证明当 \(x\) 从 \(a\) 增大到 \(b\) 时,如果不经过 \({f}_{0}\left( x\right)\) 的根时,变号函数的值也不改变; 而经过 \({f}_{0}\left( x\right)\) 的一个根时,变号函数的值减少 1 ,则 Sturm 定理成立. 下面我们证明这两个事实.
(1) 注意到 \(f\left( x\right)\) 和 \({f}^{\prime }\left( x\right)\) 没有公根. 设实数 \(c\) 不是 \({f}_{0}\left( x\right)\) 的根,而是某些 \({f}_{j}\left( x\right)\) , \(j > 0\) 的根. 由引理 1.6.4 的性质 (1), \(j \in \{ 1,2,\cdots ,s - 1\}\) . 由引理 1.6.4 的性质 (3), \({f}_{j - 1}\left( c\right) = - {f}_{j + 1}\left( c\right)\) . 由引理 1.6.4 的性质 (2), \({f}_{j - 1}\left( c\right) {f}_{j + 1}\left( c\right) \neq 0\) . 所以当 \({f}_{j - 1}\left( c\right) > 0\) 时有下表
\begin{center}
\adjustbox{max width=\textwidth}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{X} & \({f}_{j - 1}\left( x\right)\) & \({f}_{j}\left( x\right)\) & \({f}_{j + 1}\left( x\right)\) \\
\cline{1-4}
\(c - \varepsilon < x < c\) & + & + & - \\
\cline{1-4}
\(x = c\) & + & 0 & - \\
\cline{1-4}
\(c < x < c + \varepsilon\) & + & 干 & - \\
\cline{1-4}
\hline
\end{tabular}
}
\end{center}
因此 Sturm 序列的如上部分 \({f}_{j - 1}\left( x\right) ,{f}_{j}\left( x\right) ,{f}_{j + 1}\left( x\right)\) 当从 \(c - \varepsilon\) 到 \(c + \varepsilon\) 变化时,变
号数始终为 1,即变号数没有改变. 当 \({f}_{j - 1}\left( c\right) < 0\) 时有下表
\begin{center}
\adjustbox{max width=\textwidth}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\phantom{X} & \({f}_{j - 1}\left( x\right)\) & \({f}_{j}\left( x\right)\) & \({f}_{j + 1}\left( x\right)\) \\
\cline{1-4}
\(c - \varepsilon < x < c\) & - & + & + \\
\cline{1-4}
\(x = c\) & - & 0 & + \\
\cline{1-4}
\(c < x < c + \varepsilon\) & - & 干 & + \\
\cline{1-4}
\hline
\end{tabular}
}
\end{center}
因此 Sturm 序列的如上部分 \({f}_{j - 1}\left( x\right) ,{f}_{j}\left( x\right) ,{f}_{j + 1}\left( x\right)\) 当从 \(c - \varepsilon\) 到 \(c + \varepsilon\) 变化时,变号数也始终为 1,即变号数也没有改变. 所以证明了当区间(a, b)中没有 \({f}_{0}\left( x\right)\) 的根, 则在 \(x\) 从 \(a\) 增大到 \(b\) ,不经过 \({f}_{0}\left( x\right)\) 的根时,变号函数 \(w\left( x\right)\) 的值不改变.
(2) 余下讨论当 \(c \in \left( {a,b}\right)\) ,而且 \(c\) 为 \({f}_{0}\left( x\right)\) 的根,则在 \(x\) 从 \(a\) 增大到 \(b\) 时,变号函数 \(w\left( x\right)\) 的值的改变如何?
由引理 1.6.4 的性质 (2), \({f}_{1}\left( c\right) \neq 0\) . 所以存在 \(\varepsilon > 0\) ,使当 \(c - \varepsilon < x < c + \varepsilon\) 时 \({f}_{1}\left( x\right) \neq 0\) . 于是由引理 1.6.4 的性质 (4),有下表
\begin{center}
\adjustbox{max width=\textwidth}{
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\phantom{X} & \({f}_{0}\left( x\right) = f\left( x\right)\) & \({f}_{1}\left( x\right) = {f}^{\prime }\left( x\right)\) \\
\cline{1-3}
\(c - \varepsilon < x < c\) & + & 干 \\
\cline{1-3}
\(x = c\) & 0 & 干 \\
\cline{1-3}
\(c < x < c + \varepsilon\) & 干 & 干 \\
\cline{1-3}
\hline
\end{tabular}
}
\end{center}
因此当 \(x\) 从 \(a\) 增大到 \(b\) 的过程中,在 \(c - \varepsilon < x < c\) 时有一个变号数,在 \(c \leq x < c + \varepsilon\) 时没有变号数. 总之,证明了当通过 \(f\left( x\right)\) 的根时,变号函数 \(w\left( x\right)\) 的值减少一个 1 . 这时 \({f}_{1}\left( x\right) \neq 0\) ,于是对 Sturm 序列 \({f}_{0}\left( x\right) ,{f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)\) ,存在适当的 \(\varepsilon > 0\) ,和 (1) 同样讨论可知变号数仍不改变.
上面的讨论,证明了 Sturm 序列 \(f\left( x\right) = {f}_{0}\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right) = {f}_{1}\left( x\right) ,\cdots ,{f}_{s}\left( x\right)\) 的变号函数 \(w\left( x\right)\) 只在经过 \(f\left( x\right)\) 的根时减少了值 1. 因此如果 \(a\) 和 \(b\) 不是 \(f\left( x\right)\) 的根,则在区间(a, b)中有且只有 \(w\left( b\right) - w\left( a\right)\) 个不同实根. 这证明了定理.
注意 在使用 Sturm 定理时,先考虑实多项式 \(g\left( x\right)\) 及 \({g}^{\prime }\left( x\right)\) ,求出 \(\left( {g\left( x\right) ,{g}^{\prime }\left( x\right) }\right)\) . 再求实多项式 \(f\left( x\right) = g\left( x\right) {\left( g\left( x\right) ,{g}^{\prime }\left( x\right) \right) }^{-1}\) . 又在求出实多项式 \(f\left( x\right)\) 的实根 \(c\) 后,计算 \({f}^{\prime }\left( c\right) ,{f}^{\prime \prime }\left( c\right) ,\cdots\) ,从而可以算出实多项式 \(g\left( x\right)\) 的实根 \(c\) 的重数.
\section*{习 题 1.6}
1.6.1 试讨论下列实多项式的实根的分布:
\(\begin{matrix} \textbf{(1)} & {{x}^{3} - \frac{7}{4}{x}^{2} + \frac{3}{4}x - \frac{3}{32};} & \textbf{(2)} & {{x}^{n} + {px} + q;} & \textbf{(3)} & {n{x}^{n} - {x}^{n - 1} - {x}^{n - 2} - \cdots - x - {1.}} \end{matrix}\)
\newpage
\section{§1.7 多元多项式和对称多项式*}
给定域 \(\mathbb{F}\left( {\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\text{ 之一 }}\right)\) 及域 \(\mathbb{F}\) 上 \(n\) 个独立未知数 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) . 它们也称为 \(n\) 个不定元. 给定 \(n\) 个非负整数 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{n}\) ,及数 \({a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}} \in \mathbb{F}\) ,则
\[
{a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{k}_{1}}{x}_{2}^{{k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{k}_{n}}
\]
称为单项式. \({a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}\) 称为这个单项式的系数. 而 \({k}_{1} + {k}_{2} + \cdots + {k}_{n}\) 称为这个单项式的次数. 单项式
\[
{a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{k}_{1}}{x}_{2}^{{k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{k}_{n}}
\]
和
\[
{b}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{k}_{1}}{x}_{2}^{{k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{k}_{n}}
\]
称为同类型的项, 或称为同类项.
定义 1.7.1 有限个单项式的和 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 称为 \(n\) 元多项式,这时同类项已经合并了. \(n\) 元多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的次数为这有限个非零单项式的次数中的最大值,记作 \(\deg \left( {f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) }\right)\) .
我们约定零多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = {a}_{0,0,\cdots ,0} = 0\) 的首项系数为零. 对零多项式,定义次数为 \(- \infty\) .
零次多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = {a}_{0,0,\cdots ,0}\) 的首项系数 \({a}_{0,0,\cdots ,0}\) 不为零.
一般, \(n\) 元多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 可以写为
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{{k}_{1} = 0}}^{{m}_{1}}\mathop{\sum }\limits_{{{k}_{2} = 0}}^{{m}_{2}}\cdots \mathop{\sum }\limits_{{{k}_{n} = 0}}^{{m}_{n}}{a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{k}_{1}}{x}_{2}^{{k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{k}_{n}}. \tag{1.7.1}
\]
给定一个 \(n\) 元多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) ,可以有很多种不同的办法,将它书写成单项式的和. 例如,多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}}\right)\) 由三个项 \({x}_{1}^{2}{x}_{2}{x}_{3}^{3}{x}_{4}^{3},{x}_{1}^{3}{x}_{3}^{4},{x}_{1}{x}_{3}^{4}{x}_{4}^{2}\) 构成, 它可以写为下面三种表达式:
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}}\right) = {x}_{1}^{2}{x}_{2}{x}_{3}^{3}{x}_{4}^{3} + {x}_{1}^{3}{x}_{3}^{4} + {x}_{1}{x}_{3}^{4}{x}_{4}^{2}
\]
\[
= {x}_{1}^{3}{x}_{3}^{4} + {x}_{1}{x}_{3}^{4}{x}_{4}^{2} + {x}_{1}^{2}{x}_{2}{x}_{3}^{3}{x}_{4}^{3}
\]
\[
= {x}_{1}{x}_{3}^{4}{x}_{4}^{2} + {x}_{1}^{2}{x}_{2}{x}_{3}^{3}{x}_{4}^{3} + {x}_{1}^{3}{x}_{3}^{4}
\]
等. 这对讨论它的性质非常不方便. 为了使各项的次序确定起见, 我们用一种按照字典中字的排列方式,把多元多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的各项排成单项式,即引进 “字典排列法”. 为此, 要约定两个不同类型的项
\[
{x}_{1}^{{j}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n}},\;{x}_{1}^{{k}_{1}}{x}_{2}^{{k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{k}_{n}} \tag{1.7.2}
\]
哪个在前,哪个在后. 如果 \({j}_{1} = {k}_{1},\cdots ,{j}_{r} = {k}_{r},{j}_{r + 1} > {k}_{r + 1}\) ,那末就说 \({x}_{1}^{{j}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n}}\) 在 \({x}_{1}^{{k}_{1}}{x}_{2}^{{k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{k}_{n}}\) 之前,这时丝毫不考虑 \({j}_{r + 2},\cdots ,{j}_{n}\) 和 \({k}_{r + 2},\cdots ,{k}_{n}\) 之间的关系. 例如,对三个项 \({x}_{1}^{2}{x}_{2}{x}_{3}^{3}{x}_{4}^{3},{x}_{1}^{3}{x}_{3}^{4},{x}_{1}{x}_{3}^{4}{x}_{4}^{2}\) 按照字典排序法来排列,那末次序为 \({x}_{1}^{3}{x}_{3}^{4},{x}_{1}^{2}{x}_{2}{x}_{3}^{3}{x}_{4}^{3},{x}_{1}{x}_{3}^{4}{x}_{4}^{2}\) . 按照上面约定的次序,可以将它写成 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}}\right) =\) \({x}_{1}^{3}{x}_{3}^{4} + {x}_{1}^{2}{x}_{2}{x}_{3}^{3}{x}_{4}^{3} + {x}_{1}{x}_{3}^{4}{x}_{4}^{2}.\)
将 \(n\) 元多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 按上面的字典排序法排起来. 这时有一个特点, 即次数最高的项不一定排在第一个位置, 也不一定排在最后一个位置. 例如, 在多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}}\right) = {x}_{1}^{3}{x}_{3}^{4} + 2{x}_{1}^{2}{x}_{2}{x}_{3}^{3}{x}_{4}^{3} + 7{x}_{1}{x}_{3}^{4}{x}_{4}^{2}\) 中,次数最高的项为 \(2{x}_{1}^{2}{x}_{2}{x}_{3}^{3}{x}_{4}^{3}\) .
字典排列法不但确定了一种单项式的排列规则,而且在对 \(n\) 个不定元 \({x}_{1},{x}_{2}\) , \(\cdots ,{x}_{n}\) 的多项式作了字典排列法后,再任取 \(j = 1,2,\cdots ,n\) ,对 \(n - j\) 个不定元 \({x}_{j + 1}\) , \({x}_{j + 2},\cdots ,{x}_{n}\) ,取这 \(n - j\) 个不定元 \({x}_{j + 1} = \cdots = {x}_{n} = 1\) ,那末得到 \({x}_{1},\cdots ,{x}_{j}\) 的多项式, 按照原来次序仍然是字典排列法排列的.
当然, 单项式的和的排法不是唯一的. 有时为了讨论方便, 也可以采用下面一种排法. 为此引进
定义 1.7.2 如果一个 \(n\) 元多项式的各项次数相同,则称为齐次多项式. 如果各项次数都是 \(k\) ,则称为 \(k\) 次齐次多项式.
显然设 \(g\left( x\right) = g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 为 \(k\) 次齐次多项式,于是对一切参数 \(t\) ,则 \(g\left( {tx}\right) = {t}^{k}g\left( x\right)\) . 反之可证: 适合上式的多元多项式必为 \(k\) 次齐次多项式.
给定一个 \(m\) 次 \(n\) 元多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) ,将它的同为 \(k\) 次的单项式加在一起,记作 \({f}_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,k = 0,1,\cdots ,m\) . 于是 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 分解为 \(m + 1\) 个齐次多项式的和:
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = {f}_{m}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) + {f}_{m - 1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) + \cdots + {f}_{0}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,
\]
(1.7.3)
其中 \({f}_{m}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \neq 0\) . 再对每个齐次多项式 \({f}_{j}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 按照字典排列法排起来,这样就把多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的所有项按照一个确定的规律排成一个单项式的和, 而且每个单项式的次数也是按降幂排的.
显然, 零次齐次多项式为一个非零常数. 又零本身称为零多项式. 和一个未知数的情形相同,我们可以很自然地引进两个 \(n\) 元多项式的加法、减法和乘法这三种代数运算, 所有这些运算的性质也和一元情形完全相同.
现在利用上面两种不同的排法, 给出多元多项式一些简单的运算性质.
引理 1.7.3 域 \(\mathbb{F}\) 上 \(n\) 元多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 和 \(g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 在按照字典排列法排成不同类单项式的和后, 它们的首项分别设为
\[
{a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n}},\;{b}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{k}_{1}}{x}_{2}^{{k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{k}_{n}}, \tag{1.7.4}
\]
那末乘积 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 在字典排列法排列后,首项为
\[
{a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{b}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1} + {k}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2} + {k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n} + {k}_{n}}. \tag{1.7.5}
\]
换句话说, 按照字典排列法, 两个多项式乘积的首项等于两多项式的首项的乘积.
证 将多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 和 \(g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 按照字典排列法排好. 由于多项式
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)
\]
的任一项必由 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的项 \({a}_{{r}_{1}{r}_{2}\cdots {r}_{n}}{x}_{1}^{{r}_{1}}{x}_{2}^{{r}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{r}_{n}}\) 和 \(g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的项 \({b}_{{s}_{1}{s}_{2}\cdots {s}_{n}}{x}_{1}^{{s}_{1}}{x}_{2}^{{s}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{s}_{n}}\) 作乘积,则乘积是
\[
{a}_{{r}_{1}{r}_{2}\cdots {r}_{n}}{b}_{{s}_{1}{s}_{2}\cdots {s}_{n}}{x}_{1}^{{r}_{1} + {s}_{1}}{x}_{2}^{{r}_{2} + {s}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{r}_{n} + {s}_{n}}.
\]
然后在这些乘积中取出同类型的项, 并相加而构成. 我们要证
\[
{a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{b}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1} + {k}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2} + {k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n} + {k}_{n}}
\]
是首项. 事实上,显然 \({j}_{1} = {r}_{1},\cdots ,{j}_{u} = {r}_{u},{j}_{u + 1} > {r}_{u + 1}\) ,又 \({k}_{1} = {s}_{1},\cdots ,{k}_{v} = {s}_{v}\) , \({k}_{v + 1} > {s}_{v + 1}\) . 所以在 \(u \geq v\) 时,有 \({j}_{1} + {k}_{1} = {r}_{1} + {s}_{1},\cdots ,{j}_{v} + {k}_{v} = {r}_{v} + {s}_{v}\) , \({j}_{v + 1} + {k}_{v + 1} > {r}_{v + 1} + {s}_{v + 1}\) ; 在 \(u < v\) 时有 \({j}_{1} + {k}_{1} = {r}_{1} + {s}_{1},\cdots ,{j}_{u} + {k}_{u} = {r}_{u} + {s}_{u}\) , \({j}_{u + 1} + {k}_{u + 1} > {r}_{u + 1} + {s}_{u + 1}\) . 因此不管在哪种情形, \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的任一项,必然排在 \({a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{b}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1} + {k}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2} + {k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n} + {k}_{n}}\) 之后. 而且没有其他的同类项. 这就证明了引理.
引理 1.7.4 设 \(n\) 元多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 和 \(g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的次数分别为 \({m}_{1}\) 和 \({m}_{2}\) ,则乘积 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的次数为 \({m}_{1} + {m}_{2}\) .
证 将 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 和 \(g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 都分解为不同次数的齐次多项式的和, 即令
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = {f}_{{m}_{1}}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) + \cdots + {f}_{0}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,
\]
\[
g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = {g}_{{m}_{2}}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) + \cdots + {g}_{0}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,
\]
其中 \({f}_{{m}_{1}}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) {g}_{{m}_{2}}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \neq 0\) . 今
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \left( {\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{m}_{1}}{f}_{j}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) }\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{m}_{2}}{g}_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{{{m}_{1} + {m}_{2}}}\mathop{\sum }\limits_{{j + k = i}}{f}_{j}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) {g}_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) .
\]
自然, \({f}_{j}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) {g}_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 是 \(j + k\) 次齐次多项式. 事实上,令
\[
{f}_{j}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{{j}_{1} + \cdots + {j}_{n} = j}}{a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n}},
\]
\[
{g}_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{{k}_{1} + \cdots + {k}_{n} = k}}{b}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{k}_{1}}{x}_{2}^{{k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{k}_{n}},
\]
于是
\[
{f}_{j}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) {g}_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{{j}_{1} + \cdots + {j}_{n} = j}}\mathop{\sum }\limits_{{{k}_{1} + \cdots + {k}_{n} = k}}{a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{b}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1} + {k}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2} + {k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n} + {k}_{n}}.
\]
所以多项式 \({f}_{j}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) {g}_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的每一项的次数都是
\[
{j}_{1} + {k}_{1} + {j}_{2} + {k}_{2} + \cdots + {j}_{n} + {k}_{n} = j + k.
\]
故断言成立. 正因为如此,所以齐次多项式 \({f}_{{m}_{1}}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) {g}_{{m}_{2}}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的次数为 \({m}_{1} + {m}_{2}\) ,而且它比任一其他项 \({f}_{j}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) {g}_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的次数都要大,所以 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) g\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的次数为 \({m}_{1} + {m}_{2}\) .
现在来讨论一种极为有用的 \(n\) 元多项式. 先从一元多项式的根与系数关系的 Vieta 定理着手. 即引进不定元 \(x\) 及不定元 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) ,构作 \(x\) 的 \(n\) 次多项式
\[
\left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right) \cdots \left( {x - {x}_{n}}\right)
\]
\[
= {x}^{n} + {\left( -1\right) }^{1}{\sigma }_{1}{x}^{n - 1} + {\left( -1\right) }^{2}{\sigma }_{2}{x}^{n - 2}\cdots + {\left( -1\right) }^{n - 1}{\sigma }_{n - 1}x + {\left( -1\right) }^{n}{\sigma }_{n}, \tag{1.7.6}
\]
因此有 Vieta 定理:
\[
{\sigma }_{1} = {x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}
\]
\[
{\sigma }_{2} = {x}_{1}{x}_{2} + \cdots + {x}_{1}{x}_{n} + {x}_{2}{x}_{3} + \cdots + {x}_{2}{x}_{n} + \cdots + {x}_{n - 1}{x}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq {j}_{1} < {j}_{2} \leq n}}{x}_{{j}_{1}}{x}_{{j}_{2}},
\]
\[
{\sigma }_{n - 1} = \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq {j}_{1} < \cdots < {j}_{n - 1} \leq n}}{x}_{{j}_{1}}{x}_{{j}_{2}}\cdots {x}_{{j}_{n - 1}},
\]
\[
{\sigma }_{n} = {x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n}.
\]
(1.7.7)
于是引进了 \(n\) 个特殊的 \(n\) 元多项式 \({\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}\) ,它们称为 \(n\) 元初等对称多项式. 由上面的表达式可以看出来,将多项式的不定元 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 作任意方式的排列,那末得到的多项式还是原来的多项式. 实际上,这就相当于将乘积 \(\left( {x - {x}_{1}}\right) (x -\) \(\left. {x}_{2}\right) \cdots \left( {x - {x}_{n}}\right)\) 的次序重新排列一下. 将这个性质提炼出来,便引进了
定义 1.7.5 \(n\) 个不定元 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 称为对称多项式,如果
\[
f\left( {{x}_{{i}_{1}},{x}_{{i}_{2}},\cdots ,{x}_{{i}_{n}}}\right) = f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) , \tag{1.7.8}
\]
其中 \({i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}\) 遍历 \(1,2,\cdots ,n\) 的所有排列. 换句话说,对称多项式不因不定元的排法不同而不同.
例如,初等对称多项式都是对称多项式；又如齐次多项式
\[
{S}_{k} = {x}_{1}^{k} + {x}_{2}^{k} + \cdots + {x}_{n}^{k},\;k = 1,2,\cdots \tag{1.7.9}
\]
也都是对称多项式, 它们称为 Newton 对称幂和, 或等幂和. 又如
\[
{x}_{1}^{2}{x}_{2} + {x}_{1}{x}_{2}^{2} + {x}_{1}^{2}{x}_{3} + {x}_{1}{x}_{3}^{2} + {x}_{2}^{2}{x}_{3} + {x}_{2}{x}_{3}^{2} + {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + 4
\]
是三个不定元 \({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\) 的对称多项式.
对称多项式有一个简单的性质: 将对称多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 按照齐次多项式的方式分解为
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{m}{f}_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) , \tag{1.7.10}
\]
则每个 \(k\) 次齐次多项式 \({f}_{k}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 也都是对称多项式,反之亦然. 另外,显然,对称多项式的和、差、积仍为对称多项式. 再,由于排列是由标准排列 \({12}\cdots n\) 经过一系列对换(即相邻两个文字的互换)得到(见 \(§{2.1}\) ),所以为了证明多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 是对称多项式,只要证明在不定元 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的任一对换下多项式不改变就行了. 最后,将初等对称多项式 \({\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}\) 看作 \(n\) 个不定元. 构作域 \(\mathbb{F}\) 上 \(n\) 元多项式
\[
g\left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{{k}_{1} = 0}}^{{m}_{1}}\mathop{\sum }\limits_{{{k}_{2} = 0}}^{{m}_{2}}\cdots \mathop{\sum }\limits_{{{k}_{n} = 0}}^{{m}_{n}}{a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{\sigma }_{1}^{{k}_{1}}{\sigma }_{2}^{{k}_{2}}\cdots {\sigma }_{n}^{{k}_{n}}, \tag{1.7.11}
\]
再将 \({\sigma }_{j}\) 用不定元 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 代入,于是 \(g\left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right)\) 是不定元 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的多项式,记作 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) . 显然它仍为对称多项式,且 \(g\left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right)\) 的每一项 \({a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{\sigma }_{1}^{{k}_{1}}{\sigma }_{2}^{{k}_{2}}\cdots {\sigma }_{n}^{{k}_{n}}\) 作为 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的对称多项式,则是 \({k}_{1} +\) \(2{k}_{2} + \cdots + n{k}_{n}\) 次齐次多项式,且将它按照字典排列法排成单项后,其首项为
\[
{a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{k}_{1} + {k}_{2} + \cdots + {k}_{n}}{x}_{2}^{{k}_{2} + {k}_{3} + \cdots + {k}_{n}}\cdots {x}_{n}^{{k}_{n}}. \tag{1.7.12}
\]
关于对称多项式,有
定理 1.7.6 (对称多项式基本定理) 任一对称多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 一定能够表示成初等对称多项式 \({\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}\) 的多项式,且表示法唯一.
证 将对称多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 按照字典排列法排成单项式的和. 设首项为
\[
{a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n}}.
\]
下面先来证明 \({j}_{1} \geq {j}_{2} \geq \cdots \geq {j}_{n}\) . 设若不然,则存在指标 \({j}_{i} < {j}_{i + 1}\) . 因为 \(f\left( {x}_{1}\right.\) , \(\left. {{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 是对称多项式,所以
\[
f\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{i - 1},{x}_{i + 1},{x}_{i},{x}_{i + 2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = f\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,
\]
因此在 \(f\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 中包含项
\[
{a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1}}\cdots {x}_{i - 1}^{{j}_{i - 1}}{x}_{i}^{{j}_{i + 1}}{x}_{i + 1}^{{j}_{i}}{x}_{i + 2}^{{j}_{i + 2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n}}.
\]
然而,按照字典排列法,首项是 \({a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n}}\) ,所以 \({j}_{i} \geq {j}_{i + 1}\) ,这和 \({j}_{i} < {j}_{i + 1}\) 矛盾,所以证明了 \({j}_{1} \geq {j}_{2} \geq \cdots \geq {j}_{n}\) . 作对称多项式
\[
{\varphi }_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = {a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{\sigma }_{1}^{{j}_{1} - {j}_{2}}{\sigma }_{2}^{{j}_{2} - {j}_{3}}\cdots {\sigma }_{n - 1}^{{j}_{n - 1} - {j}_{n}}{\sigma }_{n}^{{j}_{n}},
\]
由引理 1.7.3 可知: 它的首项为
\[
{a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1} - {j}_{2}}{\left( {x}_{1}{x}_{2}\right) }^{{j}_{2} - {j}_{3}}\cdots {\left( {x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n - 1}\right) }^{{j}_{n - 1} - {j}_{n}}{\left( {x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n - 1}{x}_{n}\right) }^{{j}_{n}}
\]
\[
= {a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2}}\cdots {x}_{n - 1}^{{j}_{n - 1}}{x}_{n}^{{j}_{n}}.
\]
所以 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 和 \({\varphi }_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 有相同的首项. 因此对称多项式
\[
{f}_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) - {\varphi }_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)
\]
的项,在按照字典排列法排成单项式的和后,首项 \({a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}^{\prime }{x}_{1}^{{k}_{1}}{x}_{2}^{{k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{k}_{n}}\) 必然在
\[
{a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n}}
\]
之后,且 \({k}_{1} \geq {k}_{2} \geq \cdots \geq {k}_{n}\) . 因此
\[
{j}_{1} = {k}_{1},\;\cdots ,\;{j}_{r} = {k}_{r},\;{j}_{r + 1} > {k}_{r + 1} \geq {k}_{r + 2} \geq \cdots \geq {k}_{n}.
\]
再作对称多项式
\[
{\varphi }_{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = {a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}^{\prime }{\sigma }_{1}^{{k}_{1} - {k}_{2}}{\sigma }_{2}^{{k}_{2} - {k}_{3}}\cdots {\sigma }_{n - 1}^{{k}_{n - 1} - {k}_{n}}{\sigma }_{n}^{{k}_{n}},
\]
则对称多项式 \(f - {\varphi }_{1} - {\varphi }_{2}\) 的首项为 \({a}_{{t}_{1}{t}_{2}\cdots {t}_{n}}^{\prime \prime }{x}_{1}^{{t}_{1}}{x}_{2}^{{t}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{t}_{n}}\) ,它也适合 \({t}_{1} \geq {t}_{2} \geq \cdots \geq {t}_{n}\) , 又
\[
{k}_{1} = {t}_{1},\cdots ,{k}_{u} = {t}_{u},{k}_{u + 1} > {t}_{u + 1} \geq {t}_{u + 2} \geq \cdots \geq {t}_{n}.
\]
这样依次作下去,最后得到一串对称多项式 \({\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\cdots\) ,而对称多项式
\[
f,\;f - {\varphi }_{1},\;f - {\varphi }_{1} - {\varphi }_{2},\;\cdots
\]
的首项都不相同, 且这些项依次排好, 就是按照字典排列法排列的. 另一方面, 每个首项 \({a}_{{p}_{1}{p}_{2}\cdots {p}_{n}}^{\left( k\right) }{x}_{1}^{{p}_{1}}{x}_{2}^{{p}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{p}_{n}}\) 又适合 \({p}_{1} \geq \cdots \geq {p}_{n}\) 及 \({j}_{1} \geq {p}_{1}\) . 显然,适合条件 \({j}_{1} \geq {p}_{1} \geq \cdots \geq {p}_{n}\) 的非负整数组 \(\left( {{p}_{1},\cdots ,{p}_{n}}\right)\) 共有有限组. 所以经过有限步后,便得到有限个以初等对称多项式 \({\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}\) 为不定元的多项式 \({\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\cdots ,{\varphi }_{s}\) ,使得
\[
f = {\varphi }_{1} + \cdots + {\varphi }_{s}.
\]
这就证明了任一对称多项式是初等对称多项式的多项式.
下面来证明表示法的唯一性. 即证明: 如果两个初等对称多项式 \({\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}\) 的多项式 \({g}_{1}\left( {{\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right)\) 和 \({g}_{2}\left( {{\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right)\) 作为 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的多项式是相等的, 那末 \({g}_{1}\) 和 \({g}_{2}\) 作为不定元 \({\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}\) 的多项式也是相等的. 换句话说,只要证明: 如果多项式 \(g\left( {{\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right)\) 作为 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的多项式等于零,那末作为 \({\sigma }_{1}\) , \({\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}\) 的多项式也是等于零的. 我们用反证法来证明这点. 如果 \(g\left( {{\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right)\) 作为 \({\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}\) 的多项式不等于零,那末在 \(g\left( {{\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right)\) 中任取两个不同项 \({a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{\sigma }_{1}^{{j}_{1}}{\sigma }_{2}^{{j}_{2}}\cdots {\sigma }_{n}^{{j}_{n}}\) 和 \({a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{\sigma }_{1}^{{k}_{1}}{\sigma }_{2}^{{k}_{2}}\cdots {\sigma }_{n}^{{k}_{n}}\) ,它们作为 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的多项式, 首项各为
\[
{a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1}}{\left( {x}_{1}{x}_{2}\right) }^{{j}_{2}}\cdots {\left( {x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n}\right) }^{{j}_{n}},\;{a}_{{k}_{1}{k}_{2}\cdots {k}_{n}}{x}_{1}^{{k}_{1}}{\left( {x}_{1}{x}_{2}\right) }^{{k}_{2}}\cdots {\left( {x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n}\right) }^{{k}_{n}},
\]
显然这是不同类型的项,因此 \(g\left( {{\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right)\) 的每一项,作为 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的多项式, 首项两两不同. 将这些首项按照字典排列法排成单项式的和后, 自然有一个首项. 这个首项就是 \(g\left( {{\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right)\) 作为 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的多项式的首项. 因此 \(g\left( {{\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right)\) 作为 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的多项式,它不恒为零.
上面的定理实际上也证明了,元素 \({\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}\) 作为域 \(\mathbb{F}\) 上的不定元是独立未知数. 而且上面定理的证明也给出了一种将对称多项式表为初等对称多项式的具体算法. 下面先叙述方法, 再举一例.
在下面的计算,实际上用到了对称多项式的两个特点:首先,是将对称多项式分解为齐次多项式的和后, 每个齐次多项式仍为对称多项式. 因此在具体计算时, 只要对每个齐次对称多项式来计算就行了; 其次,是将对称多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 表示成初等对称多项式的多项式后,出现的每一项 \({a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{\sigma }_{1}^{{j}_{1}}{\sigma }_{2}^{{j}_{2}}\cdots {\sigma }_{n}^{{j}_{n}}\) ,作为 \({x}_{1},{x}_{2}\) , \(\cdots ,{x}_{n}\) 的多项式,首项为
\[
{a}_{{j}_{1}{j}_{2}\cdots {j}_{n}}{x}_{1}^{{j}_{1} + {j}_{2} + \cdots + {j}_{n}}{x}_{2}^{{j}_{2} + \cdots + {j}_{n}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n}}.
\]
这些项都在 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 的首项之后. 由于这两点,所以计算方案为:
( I )给定对称多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 后,把它分解为齐次多项式的和,然后对每个齐次部分计算. 所以下面只需要给出齐次对称多项式的计算方案;
(II) 设 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 是 \(m\) 次齐次对称多项式,它的首项为
\[
{a}_{{i}_{1}{i}_{2}\cdots {i}_{n}}{x}_{1}^{{i}_{1}}{x}_{2}^{{i}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{i}_{n}}
\]
则 \({i}_{1} \geq {i}_{2} \geq \cdots \geq {i}_{n}\) ,且 \({i}_{1} + {i}_{2} + \cdots + {i}_{n} = m\) . 写出所有排在首项以后的项 \({a}_{{p}_{1}{p}_{2}\cdots {p}_{n}}{x}_{1}^{{p}_{1}}{x}_{2}^{{p}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{p}_{n}}\) ,使得 \({p}_{1} \geq {p}_{2} \geq \cdots \geq {p}_{n}\) ,又 \({p}_{1} + {p}_{2} + \cdots + {p}_{n} = m\) ;
(III) 每给一项 \({a}_{{p}_{1}{p}_{2}\cdots {p}_{n}}{x}_{1}^{{p}_{1}}{x}_{2}^{{p}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{p}_{n}}\) ,构作一个多项式
\[
{A}_{{p}_{1}{p}_{2}\cdots {p}_{n}}{\sigma }_{1}^{{p}_{1} - {p}_{2}}{\sigma }_{2}^{{p}_{2} - {p}_{3}}\cdots {\sigma }_{n}^{{p}_{n}},
\]
其中 \({A}_{{p}_{1}{p}_{2}\cdots {p}_{n}}\) 为待定系数.
(IV) 于是, \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 可写成
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \sum {A}_{{p}_{1}{p}_{2}\cdots {p}_{n}}{\sigma }_{1}^{{p}_{1} - {p}_{2}}{\sigma }_{2}^{{p}_{2} - {p}_{3}}\cdots {\sigma }_{n}^{{p}_{n}}.
\]
再来求系数 \({A}_{{p}_{1}{p}_{2}\cdots {p}_{n}}\) . 求的方法是将 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 代以一些特殊的数值,例如
\[
{x}_{1} = {x}_{2} = \cdots = {x}_{r} = 1,\;{x}_{r + 1} = {x}_{r + 2} = \cdots = {x}_{n} = 0
\]
等,便得到系数 \({A}_{{p}_{1}{p}_{2}\cdots {p}_{n}}\) 所适合的线性方程组,求其解便得到所要的值.
例 1.7.1 将对称多项式
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq {j}_{1} < {j}_{2} < {j}_{3} \leq n}}\left( {{x}_{{j}_{1}}^{2}{x}_{{j}_{2}}^{2}{x}_{{j}_{3}} + {x}_{{j}_{1}}^{2}{x}_{{j}_{2}}{x}_{{j}_{3}}^{2} + {x}_{{j}_{1}}{x}_{{j}_{2}}^{2}{x}_{{j}_{3}}^{2}}\right)
\]
表示成初等对称多项式的多项式.
解 已知 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 是五次齐次多项式,它的首项为 \({x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}{x}_{3}\) . 于是在它以后的项有 \({x}_{1}^{2}{x}_{2}{x}_{3}{x}_{4},{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}{x}_{4}{x}_{5}\) ,即
\[
g\left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right) = {\sigma }_{1}^{2 - 2}{\sigma }_{2}^{2 - 1}{\sigma }_{3}^{1} + A{\sigma }_{1}^{2 - 1}{\sigma }_{2}^{1 - 1}{\sigma }_{3}^{1 - 1}{\sigma }_{4}^{1} + B{\sigma }_{1}^{1 - 1}{\sigma }_{2}^{1 - 1}{\sigma }_{3}^{1 - 1}{\sigma }_{4}^{1 - 1}{\sigma }_{5}^{1}
\]
\[
= {\sigma }_{2}{\sigma }_{3} + A{\sigma }_{1}{\sigma }_{4} + B{\sigma }_{5}.
\]
取 \({x}_{1} = {x}_{2} = {x}_{3} = {x}_{4} = 1,{x}_{5} = \cdots = {x}_{n} = 0\) ,于是 \({\sigma }_{1} = 4,{\sigma }_{2} = \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) = 6\) , \({\sigma }_{3} = \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) = 4,{\sigma }_{4} = 1\) . 又 \(f\left( {1,1,1,1,0,\cdots ,0}\right) = 3 \times 4 = {12}\) ,故有 \({12} = {24} + {4A}\) , 即 \(A = - 3\) . 再取 \({x}_{1} = {x}_{2} = {x}_{3} = {x}_{4} = {x}_{5} = 1,{x}_{6} = \cdots = {x}_{n} = 0\) . 干是 \({\sigma }_{1} = \left( \begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}\right) = 5,{\sigma }_{2} = \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) = {10},{\sigma }_{3} = \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) = {10},{\sigma }_{4} = \left( \begin{array}{l} 5 \\ 4 \end{array}\right) = 5,{\sigma }_{5} = 1\) . 又 \(f\left( {1,1,1,1,1,0,\cdots ,0}\right) = 3 \times \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) = {30}\) ,故有 \({30} = {100} - 3 \times {25} + B\) ,即 \(B = 5\) . 于是,
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = {\sigma }_{2}{\sigma }_{3} - 3{\sigma }_{1}{\sigma }_{4} + 5{\sigma }_{5}.
\]
例 1.7.2 等幂和 \({S}_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{x}_{j}^{k},k = 1,2,\cdots\) 和初等对称多项式 \({\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}\) 有如下的 Newton 公式:
\[
{S}_{k} - {S}_{k - 1}{\sigma }_{1} + {S}_{k - 2}{\sigma }_{2} - \cdots + {\left( -1\right) }^{k - 1}{S}_{1}{\sigma }_{k - 1} + {\left( -1\right) }^{k}k{\sigma }_{k} = 0,\;k \leq n,
\]
\[
{S}_{k} - {S}_{k - 1}{\sigma }_{1} + {S}_{k - 2}{\sigma }_{2} - \cdots + {\left( -1\right) }^{n}{S}_{k - n}{\sigma }_{n} = 0,\;k > n.
\]
利用这两个递推关系式, 可以将等幂和表示成初等对称多项式的多项式.
为了书写方便,今后记 \(S\left( {{x}_{1}^{{j}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n}}}\right)\) (其中 \({j}_{1} \geq {j}_{2} \geq \cdots \geq {j}_{n}\) ) 是由对 \({x}_{1}^{{j}_{1}}{x}_{2}^{{j}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{j}_{n}}\) 作所有可能的不定元排列所得的齐次对称多项式. 例如:
\[
S\left( {{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq {j}_{1} < {j}_{2} \leq n}}{x}_{{j}_{1}}^{2}{x}_{{j}_{2}}^{2}.
\]
今显然有
\[
{S}_{k - 1}{\sigma }_{1} = {S}_{k} + S\left( {{x}_{1}^{k - 1}{x}_{2}}\right) ,
\]
\[
{S}_{k - 2}{\sigma }_{2} = S\left( {{x}_{1}^{k - 1}{x}_{2}}\right) + S\left( {{x}_{1}^{k - 2}{x}_{2}{x}_{3}}\right) ,
\]
\[
{S}_{k - j}{\sigma }_{j} = S\left( {{x}_{1}^{k - j + 1}{x}_{2}\cdots {x}_{j}}\right) + S\left( {{x}_{1}^{k - j}{x}_{2}\cdots {x}_{j}{x}_{j + 1}}\right) ,
\]
及当 \(k \leq n\) 时,
\[
{S}_{1}{\sigma }_{k - 1} = S\left( {{x}_{1}^{2}{x}_{2}\cdots {x}_{k - 1}}\right) ,
\]
当 \(k > n\) 时,
\[
{S}_{k - n}{\sigma }_{n} = S\left( {{x}_{1}^{k - n + 1}{x}_{2}\cdots {x}_{n}}\right) .
\]
在上述关系中消去 \(S\left( {{x}_{1}^{k - j + 1}{x}_{2}\cdots {x}_{j}}\right) ,j = 2,3,\cdots ,n\) ,即上述各式中依次乘以 +1 及 -1, 然后相加, 便得到所要的公式.
\section*{习 题 1.7}
\section*{1.7.1 试对自变量 (不定元) 的个数 \(n\) 作归纳法,以证明域 \(\mathbb{F}\) 上对称多项式基本定理中的. 表示法唯一性.}
1.7.2 试用域 \(\mathbb{F}\) 上初等对称多项式表示出下列对称多项式:
(1) \(S\left( {{x}_{1}^{2}{x}_{2}}\right)\) ; (2) \(S\left( {{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}\right)\) ; (3) \(\mathop{\sum }\limits_{{1 \leq j < k \leq n}}{\left( {x}_{j} - {x}_{k}\right) }^{2}\) ;
(4) \(\left( {{x}_{1} + {x}_{2} - {x}_{3} - {x}_{4}}\right) \left( {{x}_{1} - {x}_{2} + {x}_{3} - {x}_{4}}\right) \left( {{x}_{1} - {x}_{2} - {x}_{3} + {x}_{4}}\right)\) ;
(5) \(\left( {-{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}}\right) \left( {{x}_{1} - {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{n}}\right) \cdots \left( {{x}_{1} + \cdots + {x}_{n - 1} - {x}_{n}}\right)\) ;
(6) \(\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{1}{{x}_{j}}\) ; (7) \(\mathop{\sum }\limits_{{j \neq k}}\frac{{x}_{j}}{{x}_{k}}\) ; (8) \(\mathop{\sum }\limits_{{j \neq k,p}}\mathop{\sum }\limits_{{k < p}}\frac{{x}_{k}{x}_{p}}{{x}_{j}}\) .
1.7.3 试求: \(\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{\partial {\sigma }_{k}}{\partial {x}_{j}},1 \leq k \leq n\) .
1.7.4 将域 \(\mathbb{F}\) 上对称多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 及 \(\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{\partial f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) }{\partial {x}_{j}}\) 同时表示为初等对称多项式的多项式, 并求它们间的关系.
1.7.5 任意给定正整数 \(m\) . 试证:
\[
{\left( {x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}\right) }^{m} = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1} + {i}_{2} + \cdots + {i}_{n} = m}}\frac{m!}{{i}_{1}!{i}_{2}!\cdots {i}_{n}}{x}_{1}^{{i}_{1}}{x}_{2}^{{i}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{i}_{n}}.
\]
1.7.6 试用方幂和 \({S}_{k} = {x}_{1}^{k} + \cdots + {x}_{n}^{k},k = 0,1,\cdots\) 表示出:
(1) \(\mathop{\sum }\limits_{{1 \leq j < k \leq n}}{\left( {x}_{j} + {x}_{k}\right) }^{2}\) ; (2) \(\mathop{\sum }\limits_{{1 \leq j < k \leq n}}{\left( {x}_{j} - {x}_{k}\right) }^{2}\) .
1.7.7 试解方程组
\[
{S}_{1} = {x}_{1} + \cdots + {x}_{n} = a,
\]
\[
{S}_{2} = {x}_{1}^{2} + \cdots + {x}_{n}^{2} = a
\]
\[
\vdots
\]
\[
{S}_{n} = {x}_{1}^{n} + \cdots + {x}_{n}^{n} = a
\]
并求 \({S}_{n + 1} = {x}_{1}^{n + 1} + \cdots + {x}_{n}^{n + 1}\) 的值,其中 \(a \in \mathbb{C}\) .
1.7.8 试计算复多项式
\[
{x}^{n} + \left( {a + b}\right) {x}^{n - 1} + \left( {{a}^{2} + {ab} + {b}^{2}}\right) {x}^{n - 2} + \cdots + \left( {{a}^{n} + {a}^{n - 1}b + \cdots + a{b}^{n - 1} + {b}^{n}}\right)
\]
的根的方幂和 \({S}_{1},{S}_{2},\cdots ,{S}_{n}\) .
1.7.9 设域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 在不定元的偶排列下不变. 试证:
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = {f}_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) + {f}_{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) V\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,
\]
其中 \({f}_{1}\) 及 \({f}_{2}\) 都是对称多项式,而 \(V\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 是不定元 \({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\) 的 Vandermonde 行列式.
1.7.10 设域 \(\mathbb{F}\) 上多项式 \(f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)\) 在不定元的轮回排列,即 \(n\) 个特殊的排列
\[
{12}\cdots n,\;{n12}\cdots \left( {n - 1}\right) ,\;\cdots ,\;{23}\cdots {n1}
\]
下不变. 试证:
\[
f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \sum {a}_{{m}_{0}{m}_{1}\cdots {m}_{n - 1}}{g}_{0}^{{m}_{0}}{g}_{1}^{{m}_{1}}\cdots {g}_{n - 1}^{{m}_{n - 1}},
\]
其中和号遍历所有非负整数 \({m}_{0},{m}_{1},\cdots ,{m}_{n - 1}\) ,使得 \({m}_{1} + 2{m}_{2} + \cdots + \left( {n - 1}\right) {m}_{n - 1}\) 能被 \(n\) 除得尽, \({m}_{0} + {m}_{1} + \cdots + {m}_{n - 1} = \deg \left( f\right)\) ,且 \({g}_{j} = {x}_{1}{\varepsilon }^{j} + {x}_{2}{\varepsilon }^{2j} + \cdots + {x}_{n}{\varepsilon }^{nj},0 \leq j \leq n - 1\) . 又 \(\varepsilon = \exp \left( \frac{2\pi i}{n}\right)\) 是多项式 \({x}^{n} - 1\) 的本原单位根.
1.7.11 试求实多元多项式
\[
\frac{{x}_{1}^{2}}{2} + \frac{{x}_{2}^{{2}^{2}}}{{2}^{2}} + \cdots + \frac{{x}_{n}^{{2}^{n}}}{{2}^{n}} - {x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n} + \frac{1}{{2}^{n}}
\]
的所有实根.
1.7.12 给定复多项式序列 \({\left\{ {p}_{n}\left( x,y,z\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty }\) ,其中 \({p}_{0}\left( {x,y,z}\right) = 1\) . 如果有递推公式
\[
{p}_{n}\left( {x,y,z}\right) = \left( {x + z}\right) \left( {y + z}\right) {p}_{n - 1}\left( {x,y,z + 1}\right) - {z}^{2}{p}_{n - 1}\left( {x,y,z}\right) ,\;n = 1,2,\cdots ,
\]
试证: \({p}_{n}\left( {x,y,z}\right) ,n = 1,2,\cdots\) 为对称多项式.
\end{document}
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