常见离散及连续的分布+期望+方差+特征函数+latex源码

\documentclass{ctexart}
\usepackage{amsmath}
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\begin{document}
	

	\section{离散均匀分布}
	\textbf{分布描述}：随机变量 \(X\) 在整数 \(1, 2, \ldots, n\) 上均匀分布，每个值的概率为 \(\frac{1}{n}\)。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	\[
	P(X = k) = \frac{1}{n}, \quad k = 1, 2, \ldots, n
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
	\]
	首先计算 \(E(X^2)\)：
	\[
	E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}
	\]
	代入方差公式：
	\[
	Var(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2 - 1}{12}
	\]
	
	\section{两点分布}
	\textbf{分布描述}：随机变量 \(X\) 只能取 0 和 1 两个值，对应的概率为 \(P(X=1) = p\)，\(P(X=0) = 1 - p\)。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	\[
	P(X = k) = p^k (1 - p)^{1 - k}, \quad k = 0, 1
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = E(X) - [E(X)]^2 = p - p^2 = p(1 - p)
	\]
	
	\section{二项分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim b(n, p)\)，表示进行了 \(n\) 次独立试验，每次试验成功的概率为 \(p\)。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	\[
	P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} = np
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = np(1 - p)
	\]
	
	\section{几何分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Geo(p)\)，表示在独立的伯努利试验序列中，首次成功出现时的试验次数。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	\[
	P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k - 1} p = \frac{1}{p}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = \frac{1 - p}{p^2}
	\]
	
	\section{Pascal分布（负二项分布）}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Pascal(r, p)\)，表示在独立的伯努利试验序列中，第 \(r\) 次成功出现时的试验次数。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	\[
	P(X = k) = \binom{k - 1}{r - 1} p^r (1 - p)^{k - r}, \quad k = r, r + 1, \ldots
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \frac{r}{p}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = \frac{r(1 - p)}{p^2}
	\]
	
	\section{超几何分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim H(n, N, K)\)，表示在不放回地从含有 \(K\) 个成功品的 \(N\) 个物品中抽取 \(n\) 个，随机变量 \(X\) 表示抽到的成功品个数。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	\[
	P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = \max(0, n - (N - K)), \ldots, \min(n, K)
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
	\]
	
	\section{泊松分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim P(\lambda)\)。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	\[
	P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = \lambda
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = \lambda
	\]
	
	\section{多点分布}
	\textbf{分布描述}：随机变量 \(X\) 在整数 \(1, 2, \ldots, n\) 上离散分布，对应的概率为 \(p_1, p_2, \ldots, p_n\)，满足 \(\sum_{i=1}^{n} p_i = 1\)。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	\[
	P(X = k) = p_k, \quad k = 1, 2, \ldots, n
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \sum_{k=1}^{n} k p_k
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = \sum_{k=1}^{n} k^2 p_k - \left(\sum_{k=1}^{n} k p_k\right)^2
	\]
	
	\section{多项分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim \text{Multinomial}(n, p_1, p_2, \ldots, p_k)\)，表示进行了 \(n\) 次独立试验，每次试验有 \(k\) 种可能的结果，对应的概率为 \(p_1, p_2, \ldots, p_k\)。随机变量 \(X = (X_1, X_2, \ldots, X_k)\) 表示每种结果出现的次数。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	\[
	P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \ldots, X_k = x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k}
	\]
	其中 \(x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n\)。
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X_i) = np_i \quad \text{for} \quad i = 1, 2, \ldots, k
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X_i) = np_i(1 - p_i) \quad \text{for} \quad i = 1, 2, \ldots, k
	\]
	
	\textbf{协方差推导}：
	\[
	Cov(X_i, X_j) = -np_i p_j \quad \text{for} \quad i \neq j
	\]
	


	\section{均匀分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim U(a, b)\)，随机变量 \(X\) 在区间 \([a, b]\) 上具有相同的概率密度。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \begin{cases} 
		\frac{1}{b - a}, & a \leq x \leq b \\ 
		0, & \text{其他} 
	\end{cases}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b - a} dx = \frac{1}{b - a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} = \frac{a + b}{2}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
	\]
	首先计算 \(E(X^2)\)：
	\[
	E(X^2) = \int_{a}^{b} x^2 \cdot \frac{1}{b - a} dx = \frac{1}{b - a} \cdot \frac{b^3 - a^3}{3} = \frac{b^2 + ab + a^2}{3}
	\]
	代入方差公式：
	\[
	Var(X) = \frac{b^2 + ab + a^2}{3} - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{(b - a)^2}{12}
	\]
	
	\section{正态分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} dx = \mu
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = \sigma^2
	\]
	
	\section{对数正态分布}
	\textbf{分布描述}：若 \(Y = \ln X\) 服从正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\)，则 \(X\) 服从对数正态分布。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = e^{2\mu + \sigma^2} (e^{\sigma^2} - 1)
	\]
	
	\section{t 分布}
	\textbf{分布描述}：自由度为 \(n\) 的 t 分布。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n + 1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n + 1}{2}}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	对于 \(n > 1\)，
	\[
	E(X) = 0
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	对于 \(n > 2\)，
	\[
	Var(X) = \frac{n}{n - 2}
	\]
	
	\section{F 分布}
	\textbf{分布描述}：自由度为 \(m, n\) 的 F 分布。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{m + n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{(mx + n)^{\frac{m + n}{2}}} \cdot \frac{1}{x}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	对于 \(n > 2\)，
	\[
	E(X) = \frac{n}{n - 2}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	对于 \(n > 4\)，
	\[
	Var(X) = \frac{2n^2(m + n - 2)}{m(n - 2)^2(n - 4)}
	\]
	
	\section{指数分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Exp(\lambda)\)，表示事件发生的时间间隔。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \begin{cases} 
		\lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 
		0, & x < 0 
	\end{cases}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \frac{1}{\lambda}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}
	\]
	
	\section{带有位置参数的指数分布}
	\textbf{分布描述}：位置参数为 \(\mu\)，尺度参数为 \(\lambda\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \begin{cases} 
		\lambda e^{-\lambda (x - \mu)}, & x \geq \mu \\ 
		0, & x < \mu 
	\end{cases}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \mu + \frac{1}{\lambda}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}
	\]
	
	\section{Gamma 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Ga(k, \theta)\)，形状参数 \(k\)，尺度参数 \(\theta\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \frac{x^{k - 1} e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k \Gamma(k)}, \quad x > 0
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = k\theta
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = k\theta^2
	\]
	
	\section{卡方分布}
	\textbf{分布描述}：自由度为 \(n\) 的卡方分布。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \begin{cases} 
		\frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} x^{n/2 - 1} e^{-x/2}, & x > 0 \\ 
		0, & x \leq 0 
	\end{cases}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = n
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = 2n
	\]
	
	\section{Beta 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Beta(\alpha, \beta)\)，形状参数 \(\alpha, \beta\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \frac{x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1}}{B(\alpha, \beta)}, \quad 0 < x < 1
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}
	\]
	
	\section{Laplace 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Laplace(\mu, b)\)，位置参数 \(\mu\)，尺度参数 \(b\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \frac{1}{2b} e^{-\frac{|x - \mu|}{b}}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \mu
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = 2b^2
	\]
	
	\section{Cauchy 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Cauchy(x_0, \gamma)\)，位置参数 \(x_0\)，尺度参数 \(\gamma\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \frac{1}{\pi \gamma \left[1 + \left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)^2\right]}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	期望不存在。
	
	\textbf{方差推导}：
	方差不存在。
	
	\section{Pareto 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Pareto(x_m, \alpha)\)，尺度参数 \(x_m\)，形状参数 \(\alpha\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \begin{cases} 
		\alpha x_m^{\alpha} x^{-(\alpha + 1)}, & x \geq x_m \\ 
		0, & x < x_m 
	\end{cases}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	对于 \(\alpha > 1\)，
	\[
	E(X) = \frac{\alpha x_m}{\alpha - 1}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	对于 \(\alpha > 2\)，
	\[
	Var(X) = \frac{x_m^2 \alpha}{(\alpha - 1)^2(\alpha - 2)}
	\]
	
	\section{幂函数分布}
	\textbf{分布描述}：定义在区间 \([a, b]\) 上，形状参数 \(k\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \frac{k x^{k - 1}}{b^k - a^k}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \frac{kb}{b^k - a^k} \cdot \frac{b^k - a^k}{k} \cdot \frac{a + b}{2} = \frac{a + b}{2}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}
	\]
	
	\section{Weibull 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Weibull(\lambda, k)\)，尺度参数 \(\lambda\)，形状参数 \(k\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(x) = \begin{cases} 
		\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k - 1} e^{-(x/\lambda)^k}, & x \geq 0 \\ 
		0, & x < 0 
	\end{cases}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(X) = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(X) = \lambda^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \left(\Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right)^2\right]
	\]
	
	\section{多元正态分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(\mathbf{X} \sim N(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})\)，均值向量 \(\boldsymbol{\mu}\)，协方差矩阵 \(\boldsymbol{\Sigma}\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	\[
	f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{k/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} e^{-\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})}
	\]
	
	\textbf{期望推导}：
	\[
	E(\mathbf{X}) = \boldsymbol{\mu}
	\]
	
	\textbf{方差推导}：
	\[
	Var(\mathbf{X}) = \boldsymbol{\Sigma}
	\]
	
	
	\section{离散均匀分布}
	\textbf{分布描述}：随机变量$X$在整数$1,2,\ldots,n$上均匀分布，概率为$\frac{1}{n}$。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	$$P(X=k)= \frac{1}{n},\quad k=1,2,\ldots,n$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \sum_{k=1}^{n} e^{itk} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} e^{itk}$$
	$$= \frac{1}{n} \cdot \frac{e^{it}(1 - e^{itn})}{1 - e^{it}}$$
	
	
	\section{两点分布}
	\textbf{分布描述}：随机变量$X$只能取0和1两个值，$P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	$$P(X=k)= p^k(1-p)^{1-k},\quad k=0,1$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = e^{it \cdot 0}(1-p) + e^{it \cdot 1}p = (1-p) + p e^{it}$$
	
	
	\section{二项分布}
	\textbf{分布描述}：记作$X \sim b(n,p)$，表示进行了$n$次独立的伯努利试验，每次试验成功（取值为1）的概率为$p$，失败（取值为0）的概率为$1-p$。随机变量$X$表示成功次数。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	$$P(X=k)= \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},\quad k=0,1,2,\ldots,n$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \sum_{k=0}^{n} e^{itk} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = (1-p + p e^{it})^n$$
	
	
	\section{几何分布}
	\textbf{分布描述}：记作$X \sim Geo(p)$，表示在独立的伯努利试验序列中，首次成功出现时的试验次数。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	$$P(X=k)= (1-p)^{k-1} p,\quad k=1,2,3,\ldots$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \sum_{k=1}^{\infty} e^{itk} (1-p)^{k-1} p = \frac{p e^{it}}{1 - (1-p) e^{it}}$$
	
	
	\section{帕斯卡分布（负二项分布）}
	\textbf{分布描述}：记作$X \sim Pascal(r,p)$，表示在独立的伯努利试验序列中，第$r$次成功出现时的试验次数。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	$$P(X=k)= \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r},\quad k=r,r+1,\ldots$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \sum_{k=r}^{\infty} e^{itk} \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r} = \left( \frac{p e^{it}}{1 - (1-p) e^{it}} \right)^r$$
	
	
	\section{超几何分布}
	\textbf{分布描述}：记作$X \sim H(n,N,K)$，表示在不放回地从含有$K$个成功品的$N$个物品中抽取$n$个，随机变量$X$表示抽到的成功品个数。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	$$P(X=k)= \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},\quad k=\max(0,n-(N-K)),\ldots,\min(n,K)$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \sum_{k} e^{itk} \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$
	
	
	\section{泊松分布}
	\textbf{分布描述}：记作$X \sim P(\lambda)$。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	$$P(X=k)= \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda},\quad k=0,1,2,\ldots$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \sum_{k=0}^{\infty} e^{itk} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = e^{\lambda (e^{it} - 1)}$$
	
	
	\section{多点分布}
	\textbf{分布描述}：随机变量$X$在整数$1,2,\ldots,n$上离散分布，对应的概率为$p_1,p_2,\ldots,p_n$，满足$\sum_{i=1}^{n} p_i =1$。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	$$P(X=k)= p_k,\quad k=1,2,\ldots,n$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \sum_{k=1}^{n} e^{itk} p_k$$
	
	
	\section{多项分布}
	\textbf{分布描述}：记作$X \sim \text{Multinomial}(n,p_1,p_2,\ldots,p_k)$，表示进行了$n$次独立试验，每次试验有$k$种可能的结果，对应的概率为$p_1,p_2,\ldots,p_k$。随机变量$X=(X_1,X_2,\ldots,X_k)$表示每种结果出现的次数。
	
	\textbf{概率质量函数}：
	$$P(X_1=x_1,X_2=x_2,\ldots,X_k=x_k)= \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k}$$
	其中$x_1+x_2+\cdots+x_k=n$。
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E\left[ e^{i t \cdot X} \right] = \sum_{x_1+x_2+\cdots+x_k=n} e^{i t_1 x_1 + i t_2 x_2 + \cdots + i t_k x_k} \cdot \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k}$$
	$$= \left( \sum_{j=1}^{k} p_j e^{i t_j} \right)^n$$
	
	\section{均匀分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim U(a, b)\)，随机变量 \(X\) 在区间 \([a, b]\) 上具有相同的概率密度。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{a}^{b} e^{itx} \cdot \frac{1}{b - a} dx$$
	令 \( F(x) = \dfrac{e^{itx}}{it} \)，则 \( F'(x) = e^{itx} \)
	$$\phi(t) = \frac{1}{b - a} \cdot \left[ \frac{e^{itx}}{it} \right]_{a}^{b} = \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b - a)}$$
	
	\section{正态分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \cdot \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} dx$$
	令 \( y = \frac{x - \mu}{\sigma} \)，则 \( x = \mu + \sigma y \)
	$$\phi(t) = \frac{e^{it\mu}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{it\sigma y} e^{-\frac{y^2}{2}} dy$$
	展开指数项并配方：
	$$= \frac{e^{it\mu}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}(y^2 - 2it\sigma y)} dy$$
	$$= e^{it\mu - \frac{\sigma^2 t^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{z^2}{2}} dz$$
	积分结果为 \(\sqrt{2\pi}\)，故：
	$$\phi(t) = e^{it\mu - \frac{\sigma^2 t^2}{2}}$$
	
	\section{对数正态分布}
	\textbf{分布描述}：若 \(Y = \ln X\) 服从正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\)，则 \(X\) 服从对数正态分布。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{0}^{\infty} e^{itx} \cdot \frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}} dx$$
	令 \( y = \ln x \)，则 \( x = e^y \)，\( dx = e^y dy \)
	$$\phi(t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{it e^y} e^{-\frac{(y - \mu)^2}{2\sigma^2}} dy$$
	该积分难以解析求解，通常需要数值方法。
	
	\section{t 分布}
	\textbf{分布描述}：自由度为 \(n\) 的 t 分布。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n + 1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n + 1}{2}}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{n + 1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n + 1}{2}} dx$$
	t 分布的特征函数无闭式表达式，但可以表示为超几何函数。
	
	\section{F 分布}
	\textbf{分布描述}：自由度为 \(m, n\) 的 F 分布。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{m + n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{(mx + n)^{\frac{m + n}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	F 分布的特征函数通常没有简单的闭式表达式，一般使用数值积分方法计算。
	
	\section{指数分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Exp(\lambda)\)，表示事件发生的时间间隔。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{0}^{\infty} e^{itx} \lambda e^{-\lambda x} dx$$
	$$= \lambda \int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda - it)x} dx = \frac{\lambda}{\lambda - it}$$
	
	\section{带有位置参数的指数分布}
	\textbf{分布描述}：位置参数为 \(\mu\)，尺度参数为 \(\lambda\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda (x - \mu)}, & x \geq \mu \\ 0, & x < \mu \end{cases}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{\mu}^{\infty} e^{itx} \lambda e^{-\lambda (x - \mu)} dx$$
	令 \( y = x - \mu \)
	$$\phi(t) = \lambda e^{it\mu} \int_{0}^{\infty} e^{ity} e^{-\lambda y} dy = \frac{\lambda}{\lambda - it} e^{it\mu}$$
	
	\section{Gamma 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Ga(k, \theta)\)，形状参数 \(k\)，尺度参数 \(\theta\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \frac{x^{k - 1} e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k \Gamma(k)}, \quad x > 0$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{0}^{\infty} e^{itx} \frac{x^{k - 1} e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k \Gamma(k)} dx$$
	$$= \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \int_{0}^{\infty} x^{k - 1} e^{-(\frac{1}{\theta} - it)x} dx$$
	令 \( y = (\frac{1}{\theta} - it)x \)
	$$\phi(t) = \frac{1}{(1 - i\theta t)^k}$$
	
	\section{卡方分布}
	\textbf{分布描述}：自由度为 \(n\) 的卡方分布。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} x^{n/2 - 1} e^{-x/2}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{0}^{\infty} e^{itx} \cdot \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} x^{n/2 - 1} e^{-x/2} dx$$
	$$= \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} \int_{0}^{\infty} x^{n/2 - 1} e^{-(\frac{1}{2} - it)x} dx$$
	令 \( y = (\frac{1}{2} - it)x \)
	$$\phi(t) = (1 - 2it)^{-n/2}$$
	
	\section{Beta 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Beta(\alpha, \beta)\)，形状参数 \(\alpha, \beta\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \frac{x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1}}{B(\alpha, \beta)}, \quad 0 < x < 1$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{0}^{1} e^{itx} \cdot \frac{x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1}}{B(\alpha, \beta)} dx$$
	该积分通常无法解析求解，需使用数值方法。
	
	\section{Laplace 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Laplace(\mu, b)\)，位置参数 \(\mu\)，尺度参数 \(b\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \frac{1}{2b} e^{-\frac{|x - \mu|}{b}}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \cdot \frac{1}{2b} e^{-\frac{|x - \mu|}{b}} dx$$
	令 \( y = x - \mu \)
	$$\phi(t) = \frac{e^{it\mu}}{2b} \left( \int_{-\infty}^{0} e^{ity} e^{\frac{y}{b}} dy + \int_{0}^{\infty} e^{ity} e^{-\frac{y}{b}} dy \right)$$
	$$= \frac{e^{it\mu}}{1 + b^2 t^2}$$
	
	\section{Cauchy 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Cauchy(x_0, \gamma)\)，位置参数 \(x_0\)，尺度参数 \(\gamma\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \frac{1}{\pi \gamma \left[1 + \left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)^2\right]}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \cdot \frac{1}{\pi \gamma \left[1 + \left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right)^2\right]} dx$$
	令 \( y = \frac{x - x_0}{\gamma} \)
	$$\phi(t) = e^{itx_0} \cdot \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{it\gamma y}}{1 + y^2} dy$$
	利用复变积分：
	$$\phi(t) = e^{itx_0} e^{-\gamma |t|}$$
	
	\section{Pareto 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Pareto(x_m, \alpha)\)，尺度参数 \(x_m\)，形状参数 \(\alpha\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \begin{cases} \alpha x_m^{\alpha} x^{-(\alpha + 1)}, & x \geq x_m \\ 0, & x < x_m \end{cases}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{x_m}^{\infty} e^{itx} \alpha x_m^{\alpha} x^{-(\alpha + 1)} dx$$
	该积分通常无法解析求解，需使用数值方法。
	
	\section{幂函数分布}
	\textbf{分布描述}：定义在区间 \([a, b]\) 上，形状参数 \(k\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \frac{k x^{k - 1}}{b^k - a^k}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{a}^{b} e^{itx} \cdot \frac{k x^{k - 1}}{b^k - a^k} dx$$
	该积分通常无法解析求解，需使用数值方法。
	
	\section{Weibull 分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(X \sim Weibull(\lambda, k)\)，尺度参数 \(\lambda\)，形状参数 \(k\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(x) = \begin{cases} \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k - 1} e^{-(x/\lambda)^k}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(t) = E[e^{itX}] = \int_{0}^{\infty} e^{itx} \cdot \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k - 1} e^{-(x/\lambda)^k} dx$$
	令 \( y = (x/\lambda)^k \)
	$$\phi(t) = \int_{0}^{\infty} e^{it\lambda y^{1/k}} e^{-y} dy$$
	该积分通常无法解析求解，需使用数值方法。
	
	\section{多元正态分布}
	\textbf{分布描述}：记作 \(\mathbf{X} \sim N(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})\)，均值向量 \(\boldsymbol{\mu}\)，协方差矩阵 \(\boldsymbol{\Sigma}\)。
	
	\textbf{概率密度函数}：
	$$f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{k/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} e^{-\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})}$$
	
	\textbf{特征函数推导}：
	$$\phi(\mathbf{t}) = E[e^{i\mathbf{t}^T \mathbf{X}}] = \int_{\mathbb{R}^k} e^{i\mathbf{t}^T \mathbf{x}} \cdot \frac{1}{(2\pi)^{k/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} e^{-\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})} d\mathbf{x}$$
	令 \(\mathbf{y} = \mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}\)
	$$\phi(\mathbf{t}) = e^{i\mathbf{t}^T \boldsymbol{\mu}} \int_{\mathbb{R}^k} e^{i\mathbf{t}^T \mathbf{y}} e^{-\frac{1}{2} \mathbf{y}^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \mathbf{y}} d\mathbf{y}$$
	通过配方和利用高斯积分性质：
	$$\phi(\mathbf{t}) = e^{i\mathbf{t}^T \boldsymbol{\mu} - \frac{1}{2} \mathbf{t}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{t}}$$

	
\end{document}