Acwing 1010.拦截导弹 —— 单调子序列
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。
但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。
由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
输入格式
共一行，输入导弹依次飞来的高度。
输出格式
第一行包含一个整数，表示最多能拦截的导弹数。
第二行包含一个整数，表示要拦截所有导弹最少要配备的系统数。
输入样例：
389 207 155 300 299 170 158 65
输出样例：
6
2
引理：Dilworth定理
“能覆盖整个序列的最少的不上升子序列的个数”等价于“该序列的最长上升子序列长度”
同理即有：
“能覆盖整个序列的最少的不下降子序列的个数”等价于“该序列的最长下降子序列长度”
即当一个序列的不上升子序列即此子序列满足a[ i ] >=a[ i + 1] >= ......a[ n ]时，能覆盖整个序列的不相交的最少的此序列个数等价于整个序列的最长严格单调上升子序列长度。
同理有
当一个序列的不下升子序列即此子序列满足a[ i ] <=a[ i + 1] <= ......a[ n ]时，能覆盖整个序列的不相交的最少的此序列个数等价于整个序列的最长严格单调下降子序列长度。
其逆命题也为正确。
O(2 * n ^ 2)做法
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdio> 4 #include <algorithm> 5 6 using namespace std; 7 8 const int N = 1010; 9 int a[N]; 10 int f[N], g[N]; 11 int n; 12 13 int main() 14 { 15 while (cin >> a[n]) n ++ ; 16 17 int res = 0; 18 for (int i = 0; i < n; i ++ ) 19 { 20 f[i] = 1; 21 for (int j = 0; j < i; j ++ ) 22 if (a[j] >= a[i]) 23 f[i] = max(f[i], f[j] + 1); 24 res = max(res, f[i]); 25 } 26 27 cout << res << endl; 28 29 res = 0; 30 for (int i = n - 1; i >= 0; i -- ) 31 { 32 g[i] = 1; 33 for (int j = n - 1; j > i; j -- ) 34 if (a[j] > a[i]) 35 g[i] = max(g[i], g[j] + 1); 36 res = max(res, g[i]); 37 } 38 39 cout << res << endl; 40 return 0; 41 }
贪心做法证明即Dilworth定理证明( O( 2 * nlogn ) )
用如下方式维护数组s，数组长度cnt，意为cnt个不上升子序列。保存的是每一个不上升子序列中的最后一个数：
遍历原序列，对于遍历到的每一个数x：
1.若x大于s中每一个数，则新建一个不上升子序列，放入x;
2.否则，找到s中大于等于x的最小的数，将其替换。
由于s每次增加长度时，增加的数必然大于其前面s中的任何一个数；且每次替换时，不改变x与被替换数左右相邻两数的相对大小关系，故s必然维持单调递增。则s即为原序列的最长上升子序列。
设A为用该贪心算法得到的长度，B为最优解长度。
显然B<=A（否则B就不是最优解）。
故只需证明A>=B。用调整法(微调法)。
若A=B，则A=B，显然成立。
否则（即A!=B），必然可以找到两方案中第一个(以原序列的顺序)不同之处（某数放在了不同的位置，且原序列中该数前的所有数在两方案中放的位置皆相同），将该数在两方案中所处的位置上的数(即该数本身)以及两位置之后方案中的序列相互对调，结果所得方案仍为合法解。即我们将贪心算法所得方案调整成了最优方案，且在调整过程中，方案的序列数没有增加，故A>=B（A -> B，且A转变为B的过程中A的大小没有增加）。
当使用lower_bounder和upper_bounder时，若我们要求的是最大不上升子序列长度或最大不下降子序列长度时，我们允许子序列中存在相等的元素，即使用upper_bounder；而当我们要求的是最大上升子序列长度和最大下降子序列长度时，我们不允许子序列中存在相等的元素，即使用lower_bounder。
举个栗子：当我们要求的是最大上升子序列长度和最大下降子序列长度时，如果子序列中存在相等的元素那么这个子序列就是不合法的所以我们不允许存在相等的元素，反之亦然。
