二分图匹配之匈牙利算法

二分图：

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

简单的说，一个图被分成了两部分，相同的部分没有边，那这个图就是二分图，二分图是特殊的图。

匹配：

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
求二分图匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)

注意匈牙利算法，除了二分图多重匹配外在二分图匹配中都可以使用。

注：二分图匹配中还有一个hk算法，复杂度为o（sqrt（n）*e）由于复杂度降低较低，代码量飙升而且绝大多数情况下没人会闲的卡个sqrt的复杂度。。在此先不讲了，有兴趣可以自己百度，貌似卡这个算法的只有hdu2389嘛。
首先我们讲解一下匈牙利算法的过程：
链接：https://www.jianshu.com/p/ee4e0cc72776

它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
核心算法

bool find(int x){
	int i,j;
	for (j=1;j<=m;j++){    //扫描每个妹子
		if (line[x][j]==true && used[j]==false)      
		//如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题，但是没有成功，所以就不用瞎费工夫了）
		{
			used[j]=1;
			if (girl[j]==0 || find(girl[j])) { 
				//名花无主或者能腾出个位置来，这里使用递归
				girl[j]=x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

在主程序我们这样做：每一步相当于我们上面描述的一二三四中的一步

for (i=1;i<=n;i++)
{
	memset(used,0,sizeof(used));    //这个在每一步中清空
	if find(i) all+=1;
}

例题 HDU - 2063

RPG girls今天和大家一起去游乐场玩，终于可以坐上梦寐以求的过山车了。可是，过山车的每一排只有两个座位，而且还有条不成文的规矩，就是每个女生必须找个个男生做partner和她同坐。但是，每个女孩都有各自的想法，举个例子把，Rabbit只愿意和XHD或PQK做partner，Grass只愿意和linle或LL做partner，PrincessSnow愿意和水域浪子或伪酷儿做partner。考虑到经费问题，boss刘决定只让找到partner的人去坐过山车，其他的人，嘿嘿，就站在下面看着吧。聪明的Acmer，你可以帮忙算算最多有多少对组合可以坐上过山车吗？

Input
输入数据的第一行是三个整数K , M , N，分别表示可能的组合数目，女生的人数，男生的人数。0<K<=1000
1<=N 和M<=500.接下来的K行，每行有两个数，分别表示女生Ai愿意和男生Bj做partner。最后一个0结束输入。

Output
对于每组数据，输出一个整数，表示可以坐上过山车的最多组合数。

Sample Input
6 3 3
1 1
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
0

Sample Output
3

题目给出的是边，求最大的对数，即就是一个二分图的最大匹配问题，男生是一个点集女生是一个点集，这样求最大匹配即可。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
//记录女孩们的心思(女生Ai愿意和男生Bj做partner,)
int map[1000][1000] = {0};
//存储女生Ai愿意和男生Bj做partner的记录(boy[3] = 1;表示男孩3和女孩1做partner)
int	boy[500] = {0};
//标记对应的男生有无搭档(0表示没有,1表示有;flag[4] = 1表示男孩4有partner了)
int	flag[500] = {0};
int n, a, b, M, N, num;

int fun(int z);

int main() {	
	while (scanf("%d", &n) != EOF && n)
	{
		//记录结果组合个数,初始值为0
		num = 0;
		//给map,boy数组初始化赋值0,清空上一轮操作的数据
		memset(map, 0, sizeof(map));
		memset(boy, 0, sizeof(boy));
		scanf("%d %d", &M, &N);
		//记录女孩们的心思(女生Ai愿意和男生Bj做partner,)
		while (n--)
		{
			scanf("%d %d", &a, &b);
			map[a][b] = 1;
		}
		//依次判定每个女孩的组合情况,即当前女孩能不能匹配到对应当男孩
		for (int i = 1; i <=M; i++)
		{
			memset(flag, 0, sizeof(flag));
			num += fun(i);
		}
		printf("%d\n", num);
		
	}
	return 0;
}
//判定以z编号女孩为基准进行配对能不能成
int fun(int z) {
	//将当前女孩z和所有男孩进行匹配判定
	for (int k = 1; k <= N; k++)
	{
		//如果女孩z和男孩k可以组合(map[z][k] == 1),且这个男孩在此之前没有和这个女孩进行匹配比较
		if (map[z][k] == 1 && flag[k] ==0)
		{	//男孩k和女孩z进行比较了即将flag[k] 的值改为1
			flag[k] = 1;
			/* 如果当前男孩k没有女孩搭档,或者与他搭档的女孩又其他男孩可以选择那么当前组合成立,
			* 立即返回1,结束方法的递归
			*/
			if (boy[k] == 0 || fun(boy[k]) )
			{
				boy[k] = z;
				return 1;
			} 
			
		}
	}
	//其它情况返回0,
	return 0;
}