【USACO 2.3.4】Cow Tours 牛的旅行
题目描述
农民 John的农场里有很多牧区。有的路径连接一些特定的牧区。一片所有连通的牧区称为一个牧场。但是就目前而言，你能看到至少有两个牧场通过任何路径都不连通。这样，Farmer John就有多个牧场了。
John想在牧场里添加一条路径(注意，恰好一条)。对这条路径有以下限制：
一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离(本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离)。考虑如下的有5个牧区的牧场，牧区用“*”表示，路径用直线表示。每一个牧区都有自己的坐标：
(15,15) (20,15)
D E
*-------*
| _/|
| _/ |
| _/ |
|/ |
*-------*-------*
A B C
(10,10) (15,10) (20,10)
这个牧场的直径大约是12.07106, 最远的两个牧区是A和E，它们之间的最短路径是A-B-E。
这里是另一个牧场：
*F(30,15)
_/
_/
_/
/
*-------*
G H
(25,10) (30,10)
添加C至G一条路径后便是：
(15,15) (20,15) (30,15)
D E F
*-------* *
| _/| _/
| _/ | _/
| _/ | _/
|/ | /
*-------*-------*-------*-------*
A B C G H
(10,10) (15,10) (20,10) (25,10) (30,10)
整个牧场直径约为22.071068。 在目前的情景中，他刚好有两个牧场。John将会在两个牧场中各选一个牧区，然后用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。
注意，如果两条路径中途相交，我们不认为它们是连通的。只有两条路径在同一个牧区相交，我们才认为它们是连通的。
输入文件包括牧区、它们各自的坐标，还有一个如下的对称邻接矩阵：
A B C D E F G H A 0 1 0 0 0 0 0 0 B 1 0 1 1 1 0 0 0 C 0 1 0 0 1 0 0 0 D 0 1 0 0 1 0 0 0 E 0 1 1 1 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 0 1 0 G 0 0 0 0 0 1 0 1 H 0 0 0 0 0 0 1 0
其他邻接表中可能直接使用行列而不使用字母来表示每一个牧区。输入数据中不包括牧区的名字。
输入文件至少包括两个不连通的牧区。
请编程找出一条连接两个不同牧场的路径，使得连上这条路径后，这个更大的新牧场有最小的直径。输出在所有牧场中最小的可能的直径。
第1行: 一个整数N (1 <= N <= 150), 表示牧区数
第2到N+1行: 每行两个整数X,Y (0 <= X ,Y<= 100000), 表示N个牧区的坐标。注意每个 牧区的坐标都是不一样的。
第N+2行到第2*N+1行: 每行包括N个数字(0或1) 表示如上文描述的对称邻接矩阵。
只有一行，包括一个实数，表示所求直径。数字保留六位小数。
只需要打到小数点后六位即可，不要做任何特别的四舍五入处理。
SAMPLE INPUT
8 10 10 15 10 20 10 15 15 20 15 30 15 25 10 30 10 01000000 10111000 01001000 01001000 01110000 00000010 00000101 00000010
SAMPLE OUTPUT
22.071068
题解
1. 朴素的想法：Floyd 算法求各个节点间的距离，不同的连通分支(即内部的牧区能够互达的区域)间通过枚举连接后更改了拓扑结构，再应用Floyd 求得最大距离，该算法的复杂度是O(N^5), N 可以是150，超时。
2. 优化方法：
2.1 片区内的节点互联没有意义，因为要求是片区间连接一条路。所以一开始通过并查集将连通分支划分好, 去掉片区内的互联。
2.2 Floyd 算法计算所有片区内的直径, 复杂度O(N^3), 之后再在枚举的过程中计算相连后的大片区直径, 这样可以简单地更新大片区的直径，不需要在枚举过程中再次使用Floyd算法。
2.3 以上是参考foreverpiano的。
#include<bits/stdc++.h> #define inf 2000000 #define maxn 200 using namespace std; double minum=inf; int x[maxn],y[maxn]; int Map[maxn][maxn]; double dis[maxn][maxn],mdis[maxn]; int pre[maxn]; int n; double Dis(int i,int j) { return (sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]))); } void init() { cin >> n; for (int i=1;i<=n;i++) cin>>x[i]>>y[i]; char c; for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) { cin>>c; if (c=='1') dis[i][j]=Dis(i,j); else dis[i][j]=inf; if (i==j) dis[i][j]=0; } } int Find(int x) {//会替换的Find return pre[x]==x?x:pre[x]=Find(pre[x]); } int merge(int x,int y) { int fx=Find(x),fy=Find(y); if (pre[fx]!=fy) { pre[fx]=fy; return 1; } return 0; } void Disjoint() { for (int i=1;i<=n;i++) { pre[i]=i; } int count=0; for (int i=1;i<=n;i++) { for (int j=1;j<=n;j++) { if (dis[i][j]&&dis[i][j]!=inf) { merge(i,j); } } } } int find(int x) {//不会替换值find return pre[x]==x?x:find(pre[x]); } void Floyd() { for (int k=1;k<=n;k++) { for (int i=1;i<=n;i++) { if (find(k)==find(i)) { for (int j=1;j<=n;j++) dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]); } } } for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) if (dis[i][j]>mdis[i]&&dis[i][j]!=inf) mdis[i]=dis[i][j]; // i 所在连通分支的最大直径 } int create() { double Swap; for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=i+1;j<=n;j++) if (dis[i][j]==inf) { Swap=mdis[i]+Dis(i,j)+mdis[j]; if (Swap<minum) minum=Swap; } for (int i=1;i<=n;i++) if (mdis[i]>minum) minum=mdis[i]; } int main() { init(); Disjoint(); Floyd(); //求出i连通分支的牧场的最长的距离。 create(); printf("%.6f",minum); return 0; }
References
http://www.cnblogs.com/foreverpiano/p/6903288.html
