Codeforces Round #496 (Div. 3)

ABC咕咕咕

D. Polycarp and Div 3

题意：给一个数字串，问最多能选出几个不相交的子串使得它们组成的 \(10\) 进制数都是 \(3\) 的倍数。

\(|s| \leq 2\times 10^5\)

题解：

\(dp_{i,j}\) 表示第 \(i\) 为，数字和 \(\%3\) 为 \(j\)，最多选出几个子串。

\(O(|s|)\)

E2. Median on Segments (General Case Edition)

题意：给一个序列 \(a_1 \cdots a_n\)，求有几个子区间的中位数是 \(m\)。（长度为偶数的中位数算小的）

题解：

首先原序列的元素并没有意义，只有和 \(m\) 的大小关系有意义，把 \(=m\) 的标成 \(0\)，\(<m\) 的标成 \(-1\)，\(>m\) 的标成 \(1\)。

假设一个集合里面有 \(x\) 个数 \(=0\)，则只有这个集合里面所有元素的和 \(\in [-x,x+1]\) 才合法。

考虑容斥，先算和 \(<-x\) 的子区间个数。

如果插入一个 \(-1\) 相当于给和 \(-1\)，插入一个 \(1\) 相当于给和 \(+1\)，插入一个 \(0\) 相当于给 \(x-1\)。

要看 \(-x\) 跟和的大小关系，就考虑和 \(-(-x)\) 的值。

把 \(-1\) 标成 \(-1\)，\(1,0\) 标成 \(+1\)。

问题就变成了求和 \(< 0\) 的子区间个数，把前缀和求出来，用树状数组维护每个前缀有几个比它大的即可。

和 \(\leq x+1\) 的子区间个数方法类似，不过把 \(0\) 标成 \(-1\)，不详细说了。

\(O(n\log n)\)

F. Berland and the Shortest Paths

题意：有一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无权无向图，求出 \(k\) 颗生成树，使得从 \(1\) 到它们的距离跟原图上一样。

\(n,m\leq 2\times 10^5\)，\(k\times m \leq 10^6\)

题解：

对于每个 \(dis=x>0\) 的点，选出恰好一条边，连 \(dis=x-1\) 的点即可。

证：

首先对于每个 \(dis=x>0\) 的点，必能选出一条边使得那个点 \(dis=x-1\) ，否则原图上最短路不是 \(x\)。

其次这样选一定是一棵树，因为有 \(n-1\) 条边且不可能出现环。

然后不存在一条边连的两个点 \(dis\) 相等，否则要不然不连通要不然 \(dis\) 不合法。

所以说有且只有这种选法。（证明的好像不太严格）

\(O(n+m\times k)\)