CF1408H

其实不难，算是给最近的训练涨了 eps 信心。。。讲述一个 \(O(n\alpha(n))\) 的方法，如果使用线性序列并查集可做到 \(O(n)\)。

首先考虑 \(0\) 的位置，则显然一定使用前 \(m\) 个 \(0\) 与后 \(m\) 个 \(0\)。所以找到 \(0\) 的分割点 \(mid\)，则可以分为 \([1,mid]\) 与 \([mid,n]\) 分别考虑前后缀。然后一个有趣的观察就是：对于中间的数 \(a_{j_p}\)，若其 \(\le mid\) 则只需关系其是否能匹配前缀的 \(0\)；否则是关心是否匹配后缀的 \(0\)。于是最终解的形态可以表示为 \((x,y)\)，其中 \([p_0,mid],...,[p_x,mid]\) 中各自寻找 \(a_{j_p}\)，然后在 \([mid,p_y],\cdots,[mid,p_c]\) 各自寻找 \(a_{j,p}\) 后要求 \(a_{j,p}\) 不等即可。

于是对于一个 \((x,y)\) 的判断就可以用 Halls 定理。其本质上只有三种情况需要判定：\([i\le x,x]\) 的点；\([y,j \ge y]\) 的点；以及 \([i \le x,x]+[y,j \ge y]\) 的点判定一下区间中本质不同的数是否 \(>\) 点的个数即可。这样复杂度做到 \(poly(n)\)。

然后考虑最优的 \((x,y)\) 是什么样的。考虑在上述判定中，找到最大的 \(y_0\)，满足 \((0,y_0)\) 符合条件，然后再找到最大的 \(x_0\) 使得 \((x_0,y_0)\) 符合条件。接着考虑 \(y_0\gets y_0-1\) 对 \(x_0\) 的移动，分析几种情况：

• 若 \(x_0\) 已经到达了 \((x_0,0)\) 的极限，显然 \((x_0,y_0)\) 最优；
• 否则根据限制 \(3\) 一定存在 \(i,j\)，满足 \(cnt(p_i,p_j)=x_0-i+1+j-y_0+1\)；所以当 \(j \not= y_0\) 时，则 \(x_0\) 最多 \(+1\)，所以调整不优。
• 然后惊讶的发现，当 \(j=y_0\) 时，相当于转换为 \(cnt(p_i,p_j)=x_0-i+1+1\)；而又因为 \(cnt(p_i,p_j) \ge cnt(p_i,mid)\)，所以 \(x_0 \gets x_0+1\) 后一定会达到 \((x_0,0)\) 的极限，依旧得到调整不优。

所以直接找到最大的 \(y_0\)，然后再找到 \(x_0\) 即可。这里需要求：后缀 \(-1\) 整体查 \(\min\)，可以只用并查集维护后缀 \(\min\) 即可，复杂度 \(O(n\alpha(n))\)。