CF1254E

很想许多 agc 那种观察充要条件然后简单计数的题目，想记录一下思考过程。

考虑找一些必要条件。首先每条边操作后，相当于 “独立” 两个部分，于是可以考虑将 \(i \to a_i\) 这条链上的边 \(+1\)，显然每条边的每个方向各被覆盖一次。这显然不充分，因为有 \(a_i=i\) 就错了，于是加一个 \(a_i=i\) 的条件？发现也不充分，于是可以考虑 \(fa_i=(0,1,2,3,2,5),a_i=(2,1,6,3,4,5)\)。

这里有个对于仅加入 \(a_i \not=i\) 的伪证：考虑从叶子出发，找到第一个 \(i\) 往下指的点，将其与儿子交换。但是为什么不对？因为交换 \((u,v)\) 后可能出现 \(a_u=v/a_v=u\)，但是我们发现当 \((a_1,a_2,\cdots,a_n)\) 仅形成一个置换环的时候就不会出现这种情况！而显然，置换环是必要的，所以充要条件就找到了：

• 覆盖 \(2\) 次；
• \((a_1,a_2,\cdots,a_n)\) 组成一个置换环。

于是自低向上计数即可，因为有点菜所以写了 \(O(n \log n)\)。

c++

const int N=5e5+10;
const int mod=1e9+7;

vi e[N];
int n,L[N],R[N];
int tim,df[N],lw[N],Id[N];
int cnt,dfp[N],fr[N],bk[N];

void dfspr(int u, int fa) {
	df[u]=++tim; Id[tim]=u;
	for(auto v:e[u]) if(v!=fa) dfspr(v,u); 
	lw[u]=tim;
}

int ans=1;
void dfs(int u, int fa) {
	for(auto v:e[u]) if(v!=fa) dfs(v,u);
	dfp[cnt=1]=df[u];
	for(auto v:e[u]) if(v!=fa) dfp[++cnt]=df[v];
	rep(i,1,cnt+1) fr[i]=bk[i]=0;
	auto get=[&](int x) {
		if(df[u]<=x&&x<=lw[u])
			return (int)(upper_bound(dfp+1,dfp+1+cnt,x)-dfp)-1;
		return cnt+1;
	};
	auto add=[&](int x, int y) {
//		cout<<u<<" add:: "<<x<<" "<<y<<"\n"; 
		if(bk[x]&&bk[x]!=y) ans=0;
		if(fr[y]&&fr[y]!=x) ans=0;
		bk[x]=y;
		fr[y]=x;
		return ; 
	};
	auto chk=[&]() {
		int cc=0,c=cnt+(fa!=0);
		rep(i,1,c) {
			if(!fr[i]) {
				int u=i;
				while(u) ++cc,u=bk[u];
			}
		}
		if(cc==0) {
			int u=bk[1]; ++cc;
			while(u!=1) ++cc,u=bk[u];
		}
		if(cc!=c) ans=0;
	}; 
//	cout<<u<<" "<<L[u]<<" "<<R[u]<<"\n";
	if(L[u]) add(get(L[u]),1); 
	if(R[u]) add(1,get(R[u]));
	for(auto v:e[u]) if(v!=fa) {
		if(L[v]) add(get(L[v]),get(df[v]));
		if(R[v]) add(get(df[v]),get(R[v]));
	}
	if(!ans) return ;
	int s=0;
	rep(i,1,cnt+(fa!=0)) s+=(fr[i]==0);
	chk();
	rep(i,1,s-1) ans=1ll*ans*i%mod;
	if(fr[cnt+1]) R[u]=R[Id[dfp[fr[cnt+1]]]]; else R[u]=0;
	if(bk[cnt+1]) L[u]=L[Id[dfp[bk[cnt+1]]]]; else L[u]=0;
//	cout<<u<<" "<<L[u]<<" "<<R[u]<<" "<<ans<<"\n";
}

void Mainsolve() {
	cin>>n;
	int u,v;
	rep(i,1,n-1) cin>>u>>v,e[u].pb(v),e[v].pb(u);
	dfspr(1,0);
	rep(i,1,n) cin>>R[i],L[R[i]]=i;
	rep(i,1,n) L[i]=df[L[i]],R[i]=df[R[i]];
	dfs(1,0);
	cout<<ans<<"\n";
}