九种排序方法（冒泡、选择、插入、希尔、归并、快速、计数、桶、基数）
一、冒泡排序
冒泡排序的名字来源于这个过程：就像水中的气泡从底部向上浮到水面一样，较大的元素会逐步移动到数组的末尾。
我们使用「冒泡」的方式来模拟一下这个过程：
- 将数组元素想象成大小不同的「泡泡」，值越大的元素「泡泡」越大。
- 从左到右依次比较相邻的两个元素。
- 如果左侧元素大于右侧元素，则交换位置。
- 每完成一趟遍历，最大的元素就会「浮」到最右侧。
算法步骤
对于长度为𝑛 的数组，冒泡排序的步骤如下：
第 1 趟冒泡：对前𝑛 个元素依次比较相邻元素，将较大的元素向右交换，最终使最大值移动到数组末尾（第𝑛 个位置）。
- 比较第 1 个和第 2 个元素，如果前者大于后者则交换。
- 比较第 2 个和第 3 个元素，如果前者大于后者则交换。
- 以此类推，直到比较第𝑛 − 1 个和第𝑛 个元素。
- 完成后，最大元素已位于末尾。
第 2 趟冒泡：对前𝑛 − 1 个元素重复上述过程，将次大值移动到倒数第二个位置（第𝑛 − 1 个位置）。
- 比较第 1 个和第 2 个元素，如果前者大于后者则交换。
- 比较第 2 个和第 3 个元素，如果前者大于后者则交换。
- 以此类推，直到比较第𝑛 − 2 个和第𝑛 − 1 个元素。
完成后，次大元素已位于倒数第二位。
持续进行上述冒泡过程，每一趟比较的元素个数递减，直到某一趟未发生任何交换，说明数组已完全有序，排序结束。
以数组[5, 2, 3, 6, 1, 4] 为例，演示一下冒泡排序的算法步骤。
二、选择排序
选择排序（Selection Sort）基本思想是将数组分为两个区间：左侧为已排序区间，右侧为未排序区间。每趟从未排序区间中选择最小的元素，放到已排序区间的末尾。
算法步骤
假设数组长度为𝑛，选择排序的算法步骤如下：
- 初始状态：已排序区间为空，未排序区间为[0, 𝑛 − 1]。
- 第 𝑖 趟选择（𝑖 从 1 开始）：
- 在未排序区间[𝑖 − 1, 𝑛 − 1] 中找到最小元素的位置𝑚𝑖𝑛_𝑖。
- 将位置𝑖 − 1 的元素与位置𝑚𝑖𝑛_𝑖 的元素交换。
- 此时[0, 𝑖 − 1] 为已排序区间，[𝑖, 𝑛 − 1] 为未排序区间。
- 重复步骤 2，直到未排序区间为空，排序完成。
以数组[5, 2, 3, 6, 1, 4] 为例，演示一下选择排序的算法步骤。
三、插入排序
插入排序（Insertion Sort）基本思想是将数组分为有序区间和无序区间，每次从无序区间取出一个元素插入到有序区间的正确位置。
算法步骤
假设数组nums长度为𝑛，算法步骤如下：
- 初始化：有序区间为[0, 0]，无序区间为[1, 𝑛 − 1]
- 第 𝑖 趟插入（𝑖 从 1 到𝑛 − 1）：
• 取出无序区间第一个元素nums[𝑖]
• 从右到左遍历有序区间，将大于nums[𝑖] 的元素右移一位
• 找到合适位置后插入nums[𝑖]
• 有序区间扩展为[0, 𝑖]，无序区间变为[𝑖 + 1, 𝑛 − 1]
以数组[5, 2, 3, 6, 1, 4] 为例，演示一下插入排序的算法步骤。
四、希尔排序
希尔排序（Shell Sort）基本思想是通过设定不同的间隔（gap），将数组分组进行插入排序，然后逐步缩小间隔直至为 1，最终完成整个数组的排序。
算法步骤
假设数组长度为𝑛，算法步骤如下：
- 设定初始间隔gap = n / 2。
- 按间隔将数组分组，对每组进行插入排序。
- 缩小间隔gap = gap / 2。
- 重复步骤 2 ∼ 3，直到gap = 1。5. 最后对整个数组进行一次插入排序。
以数组[7, 2, 6, 8, 0, 4, 1, 5, 9, 3] 为例，演示一下希尔排序的算法步骤。
五、归并排序
归并排序（Merge Sort）基本思想是利用分治法，将数组递归地一分为二，直至每个子数组只包含一个元素。随后，将这些有序子数组两两合并，最终得到一个整体有序的数组。
算法步骤
假设数组的元素个数为 𝑛 个，则归并排序的算法步骤如下：
分解过程：递归地将当前数组平分为两部分，直到每个子数组只包含一个元素为止。
- 找到数组的中间位置 mid ，将数组划分为左、右两个子数组 left_nums 和 right_nums。
- 分别对 left_nums 和 right_nums 递归执行分解操作。
- 最终将原数组拆分为 𝑛 个长度为 1 的有序子数组。
归并过程：从长度为 1 的有序子数组开始，逐步将相邻的有序子数组两两合并，最终合并为一个长度为𝑛 的有序数组。
- 新建数组nums用于存放合并后的有序结果。
- 设置两个指针 left_𝑖 和 right_𝑖，分别指向 left_nums 和 right_nums 的起始位置。
- 比较两个指针所指元素，将较小者加入结果数组 nums ，并将对应指针后移一位。
- 重复上述操作，直到某一指针到达对应子数组末尾。
- 将另一个子数组剩余的所有元素依次加入结果数组 nums 。
- 返回合并后的有序数组 nums 。
以数组[0, 5, 7, 3, 1, 6, 8, 4] 为例，演示一下归并排序的算法步骤。
六、快速排序
快速排序（Quick Sort）基本思想：采用分治策略，选择一个基准元素，将数组分为两部分：小于基准的元素放在左侧，大于基准的元素放在右侧。然后递归地对左右两部分进行排序，最终得到有序数组。
算法步骤
快速排序的核心是 分区操作，具体步骤如下：
- 选择基准：从数组中选择一个元素作为基准值（通常选择第一个元素）
- 分区操作：
• 使用双指针法，左指针从数组开始，右指针从数组末尾
• 右指针向左移动，找到第一个小于基准值的元素
• 左指针向右移动，找到第一个大于基准值的元素
• 交换这两个元素
• 重复上述过程，直到左右指针相遇
• 将基准值放到正确位置（左右指针相遇处） - 递归排序：对基准值左右的两个子数组分别进行快速排序
以数组[4, 7, 5, 2, 6, 1, 3] 为例，先来演示一下快速排序的分区操作过程。
完成一次分区后，数组被分为三部分：左子数组、基准值、右子数组。然后递归地对左右子数组进行排序。
七、计数排序
计数排序（Counting Sort）基本思想是统计数组中每个元素出现的次数，然后根据统计信息将元素按顺序放置到正确位置，实现排序。
算法步骤
- 确定数值范围：找出数组中的最大值和最小值，计算数值范围。
- 创建计数数组：创建一个大小为数值范围的数组，用于统计每个元素出现的次数。
- 统计元素频次：遍历原数组，统计每个元素出现的次数。
- 计算累积频次：将计数数组转换为累积频次数组，表示每个元素在排序后数组中的位置。
- 逆序填充结果：逆序遍历原数组，根据累积频次将元素放入正确位置。
以数组[3, 0, 4, 2, 5, 1, 3, 1, 4, 5] 为例，演示一下计数排序的算法步骤。
八、桶排序
桶排序（Bucket Sort）是将待排序元素分散到多个桶中，对每个桶单独排序后合并。
算法步骤
- 确定桶的数量：根据待排序数组的数值范围，将其划分为𝑘 个桶，每个桶对应一个特定的区间。
- 元素分配：遍历数组，将每个元素根据其数值映射到所属的桶中。
- 桶内排序：对每个非空桶分别进行排序（可选用插入排序、归并排序、快速排序等算法）。
- 合并结果：按桶的顺序依次合并所有已排序的桶，得到最终有序数组。
以数组[39, 49, 8, 13, 22, 15, 10, 30, 5, 44] 为例，演示一下桶排序的算法步骤。
九、基数排序
基数排序（Radix Sort）基本思想是按照数字的每一位进行排序，从最低位到最高位，逐位比较。
算法步骤
基数排序算法可以采用「最低位优先法（Least Significant Digit First）」或者「最高位优先法（Most Significant Digit first）」。最常用的是「最低位优先法」。
下面我们以最低位优先法为例，讲解一下算法步骤。
- 确定最大位数：遍历数组元素，找到数组中最大值的位数。
- 从最低位（个位）开始，到最高位为止，逐位对每一位进行排序：
- 创建 10 个桶（每个桶分别代表 0 ∼ 9 中的一个数字）。
- 按照每个元素当前位上的数字，将元素放入对应桶中。
- 清空原始数组，然后按照桶的顺序依次取出对应元素，重新加入到数组中。
我们以[692, 924, 969, 503, 871, 704, 542, 436] 为例，演示一下基数排序的算法步骤。
各算法对比
| 排序算法 | 最好时间复杂度 | 平均时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 空间复杂度 | 稳定性 |
|---|---|---|---|---|---|
| 冒泡排序 | O(n) | O(n²) | O(n²) | O(1) | ✅ 稳定 |
| 选择排序 | O(n²) | O(n²) | O(n²) | O(1) | ❌ 不稳定 |
| 插入排序 | O(n) | O(n²) | O(n²) | O(1) | ✅ 稳定 |
| 希尔排序 | O(n log n) ~ O(n) | 约 O(n^1.3) | O(n²) | O(1) | ❌ 不稳定 |
| 归并排序 | O(n log n) | O(n log n) | O(n log n) | O(n) | ✅ 稳定 |
| 快速排序 | O(n log n) | O(n log n) | O(n²) | O(log n) | ❌ 不稳定 |
| 计数排序 | O(n + k) | O(n + k) | O(n + k) | O(n + k) | ✅ 稳定 |
| 桶排序 | O(n + k) | O(n + k) | O(n²) | O(n + k) | 视实现而定 |
| 基数排序 | O(d(n + k)) | O(d(n + k)) | O(d(n + k)) | O(n + k) | ✅ 稳定 |
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