高数基础知识整理11.二重积分

1、二重积分

1.1 二重积分的定义

在有界闭区域D上的有界函数f(x,y)的二重积分为

其中λ为各小区域直径中的最大值。
注： 若f(x,y)在有界闭区域上连续，则二重积分一定存在。

1.2 二重积分的性质

2、二重积分的计算

2.1利用直角坐标计算二重积分

若D为X——型区域，则D可用不等式组表示为：a≤x≤b，α₁(x) ≤y≤α₂(x)

若D为Y——型区域，则D可用不等式组表示为：c≤y≤d，ψ₁(y) ≤x≤ψ₂(y)

2.2利用极坐标计算二重积分

• 若极点在D内，则D可用不等式组表示为：0≤θ≤2π，0≤r≤r(θ)

  

• 若极点在D的边界线上，则D可用不等式组表示为：α≤θ≤β，0≤r≤r(θ)

  

• 若极点在D外，则D可用不等式组表示为：α≤θ≤β，r₁(θ)≤r≤r₂(θ)

  

判断极坐标详情参考