动态规划【数塔初始篇之一】(原创）

【数塔】杭电2084

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084

1.用递归的方法如下：

#include<stdio.h>
#define MAX_LEN 101
#define MAX(x,y) ((x > y) ? x : y )//计算两个数的最大值
int N,num[MAX_LEN][MAX_LEN];

int MaxSum(int i, int j)
{
	if(i==N-1)//假如计算到最后一行，就直接返回
	{
		return num[i][j];
	}
	else//否则，计算该数下方临近的两个值，取大者
	{
		return num[i][j] + MAX(MaxSum(i+1,j), MaxSum(i+1,j+1));
	}
}
int main()
{
	int t,i,j;
	scanf("%d", &t);
	while((t--) && scanf("%d", &N))
	{
		for(i=0; i<N; i++)
		{
			for(j=0; j<=i; j++)
			{
				scanf("%d", &num[i][j]);//将数据读入二维数组
			}
		}
		printf("%d\n", MaxSum(0,0));//递归计算数塔的最大值
	}
	return 0;
}

经过实验发现，计算的效率很不理想！为什么会这样？我们不妨简单的分析一下：

假如我们计算一个数MaxSum(i,j)，就要调用函数，计算MaxSum(i+1,j)和MaxSum(i+1,j+1)，比较二者的大小，取大者加上num[i][j]返回。只要稍微观察，我们就会发现，在计算MaxSum (i,j+1)的时候，又再一次调用MaxSum(i+1,j+1)，重复计算就是这样产生的。

这样的例子你可能感觉不出什么，我们不妨将每调用一次MaxSum(i,j)称作在（i,j）位置上的一次计算，这样我们能得到一个调用次数的数塔：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

……

怎么样？是不是很熟？没错，就是传说中的杨辉三角！

计算一下总和：2⁰+2¹+2²+……+2^N-1

这是多大的一个数……我想就不用我说了吧……

难道这道题不能用递归计算么？那倒也不是，只需我们将中间算过的数值保存即可……

#include<stdio.h>
#include<memory.h>
#define MAX_LEN 101
#define MAX(x,y) ((x > y) ? x : y )//计算两个数的最大值
int N;
int num[MAX_LEN][MAX_LEN];
int num_temp[MAX_LEN][MAX_LEN];

int MaxSum(int i, int j)
{
	if(i==N-1)//假如计算到最后一行，就直接返回
	{
		return num[i][j];
	}
	else//否则，计算该数下方临近的两个值，取大者
	{
		if(-1==num_temp[i+1][j])//如果没计算过，就计算出结果并保留
		{
			num_temp[i+1][j] = MaxSum(i+1,j);
		}
		if(-1==num_temp[i+1][j+1])//如果没计算过，就计算出结果并保留
		{
			num_temp[i+1][j+1] = MaxSum(i+1,j+1);
		}
		return num[i][j] + MAX(num_temp[i+1][j], num_temp[i+1][j+1]);
	}
}
int main()
{
	int t,i,j;
	scanf("%d", &t);
	while((t--) && scanf("%d", &N))
	{
		memset(num_temp,-1,sizeof(num_temp));//初始化
		for(i=0; i<N; i++)
		{
			for(j=0; j<=i; j++)
			{
				scanf("%d", &num[i][j]);//将数据读入二维数组
			}
		}
		printf("%d\n", MaxSum(0,0));//递归计算数塔的最大值
	}
	return 0;
}

书上说：这种将一个问题分解成子问题递归求解，并且将中间结果保存避免重复计算的办法，就叫做“动态规划”。动态规划通常是用来求最优解的问题，能用动态规划求解的最优解问题，必须满足最优解每个局部解也都是最优的。以上题为例，最佳路径上面的每个数字到达底部都是最佳路径。

综上，我们可以发现动态规划就是一种递归的体现，它一种更加高效的递归方式，高效在于动态规划以空间换效率，保留了中间变量的值，从而减少大量的重复运算！个人觉得，动态规划是一种更加复杂的递归方式！