在区间[n,2n]上，至少存在一个完全平方数。

​ 当$n<5$时，在区间$[n,2n]$内存在完全平方数$0,1,4$，可知假设是成立的。

​ 当$n\geq 5$时，可知
$$
\begin{aligned}
\lceil \sqrt{n}\rceil&\leq\sqrt{n}+1\\
n\leq\lceil \sqrt{n}\rceil^2&\leq n+2\sqrt{n}+1\\
\end{aligned}
$$
​ 接下来要证明$2\sqrt{n}+1\leq n$，移项证明$n-2\sqrt{n}-1\geq0$。令$\sqrt{n}=x$，则
$$
\begin{aligned}
x^2-2x-1&\geq0\\
(x-1)^2-2&\geq0
\end{aligned}
$$

若使不等式成立，$n\geq(1+\sqrt{2})^2\approx 5.8$。所以，当$n>5$时，
$$
\begin{aligned}
n\leq\lceil \sqrt{n}\rceil^2&\leq n+2\sqrt{n}+1\leq 2n\\
\end{aligned}
$$
即$n\leq\lceil \sqrt{n}\rceil^2\leq 2n$。