Soft-Margin SVM

考虑这种情况：

倘若我们使用Hard-Margin SVM，不容许一点点的错误，就会得到右边的结果。很显然，左边的结果更合理，所以在实际情况中，我们使用能够接纳一定错误（容忍噪声）的SVM，即：soft-margin SVM。

合并两个条件，得：

这样做有几个问题：

一是我们的目标函数不再是线性的，所以不能使用QP；第二是我们对大的误差和小的误差一视同仁。

所以我们将∞更换为ε：

（这一点也是一个疑问：ε对于每一个数据都不同，甚至也成为一个目标变量。不是很容易理解）

 

 

 

现在soft-margin SVM的形式已经阐明，如何来解？

1.根据之前我们在hard-margin SVM中推导过的求解对偶问题的过程，可以得到如下结果，同时还有KKT condition中的primal-innner optimal（complementary slackness）。

求解：

这里的问题是b如何求得？根据之前的primal-innner optimal 条件：

 

至此，soft-margin SVM的求解过程结束。

之前hard-margin我们将所有的数据点根据α的值，分为支持向量和一般向量。
现在soft-margin中，α有三种情况，可以分成三类：

 

 

对于高斯核函数，如何选择适当的C和γ？

可以使用validation。同时也可以使用#SV，因为：

使用两者进行选择的区别如下：