利用多项式模型对二维平面上的数据点进行拟合时，需要预先指定多项式的次数吗？

需要预先指定多项式的次数，且这个次数属于「超参数」，需通过验证集优化选择，核心逻辑和实操步骤如下：

一、关键结论

多项式回归中，“一次（线性）、二次、三次”本质是模型的结构超参数（决定模型复杂度），不能由数据自动学习，必须先指定候选次数（如1、2、3、4次），再通过训练+验证的流程筛选最优解。

二、实操流程（以Python为例）

1. 步骤1：预先设定候选次数
   先确定要尝试的多项式次数（如 [1, 2, 3, 4]），次数越多模型越复杂（容易过拟合），次数越少越简单（容易欠拟合）。

2. 步骤2：对每个次数，用训练集训练模型
   对每个候选次数，通过sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures构造多项式特征，再用训练集训练模型（优化可学习参数：如一次项系数a、二次项系数b等）。
   例：二次多项式 y = a*x + b*x² + c 中，a、b、c是训练集学到的可学习参数，而“2次”是预先指定的超参数。

3. 步骤3：用验证集评估，选择最优次数
   用同一验证集评估每个次数模型的性能（如MSE均方误差），选择验证集误差最小的次数作为最终超参数。
   例：若3次多项式在验证集上误差最小，就确定最终模型为3次多项式。

4. 步骤4：用测试集做最终评估
   用选定的最优次数模型，在测试集上评估泛化能力（不调整任何参数）。

三、为什么必须预先指定？

多项式的次数决定了模型的“拟合能力边界”——如果不指定次数，模型无法确定要学习哪些特征（是只学x，还是学x、x²、x³），也就无法启动可学习参数的优化。