导数的应用笔记

一，求过定点切线

1，切线

切线的来源就和导数很像。
先过切点做一条割线，再将第二个交点不断靠近切点，这时两个无限接近的交点可以看作一个交点

2.求过定点切线解析式

• 1.定点在函数上
  求导解出斜率k，再将定点带进去求出b,没什么好说的
• 2.定点不在函数上
  以求过原点的\(f(x)=x^2+1\)的切线为例：
  求导得到\(f^ {'}(x)=2x\)
  设切点为\((x0,x0^2+1)\)（显然切点不是原点，只是原点在这条切线上）
  \(k=2x0\)
  解析式为\(y-x0^2-1=2x0(x-x0)\)（为y-y0=k(x-x0)的形式）
  代入\((0,0)\)
  解得\(x1=1,x2=-1\)
  所以过\((0,0)\)的切线解析式为\(y=x\)和\(y=-x\)

二，求函数单调区间

若一段区间上的\(f^ {'}(x)>0\)则为函数的增区间，若\(f^ {'}(x)<0\)
ps:像\(f(x)=x^3(x\epsilon R)\)这样有拐点（\(f^ {'}(x)=0\)）的区间也是增区间

三，求极值

1.定义

若函数\(y=f(x)\)在点a处的函数值比它在\(x=a\)附近的函数值都小，称\(f(a)\)为该函数的一个极大值，极小值同理。

2.求解

解方程\(f^ {'}(x)=0\),当\(f^ {'}(x0)=0\)时

• 1.如果在\(x0\)附近的左侧\(f^ {'}(x)>0\),右侧\(f^ {'}(x)<0\),那么\(f(x0)\)为极大值
• 2.如果在\(x0\)附近的左侧\(f^ {'}(x)<0\),右侧\(f^ {'}(x)>0\),那么\(f(x0)\)为极小值

四，求函数区间最值

首先，不难发现区间两端点处的函数值可能为区间最值
其次，有结论：除端点外不是若\(f(x0)\)不是极值，则一定不是区间最大值或最小值
证明使用反证法即可。
所以求函数区间最值只需要比较每一个极值和两端点函数值

五，恒成立问题

其实没有什么难点......

六，凹凸性

1.两个基础结论

• 1.在连续函数f上，若\(f(a)=f(b)\),则必有\(x0\epsilon [a,b]\)使得\(f^ {'}(x0)=0\)
  若f在\([a,b]\)上函数值不变，则\(f^ {'}(x0)\)恒为0
  否则存在至少一个极值点，而极值点处有\(f^ {'}(x0)=0\)
• 2.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则存在\(x0\epsilon [a,b]\)使得\(f^ {'}(x0)=0\)
  令\(g(x)=f(x)- [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)]\)
  将\(a,b\)代入\(g\)，得\(g(a)=g(b)=0\)
  由结论1，在\([a,b]\)上存在\(g^ {'}(x)=0\)
  即\({f(x)- [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)]}^ {'}=0\)
  拆括号，化简，得证

2.下凸，上凸函数

定义下凸函数：
对于任意\(x1,x2\),有\(f(\frac{x1+x2}{2})<=\frac{f(x1)+f(x2)}{2}\)
证明：若\(f^ {''}(x)>0\),则\(f(x)\)为下凸函数
设\(x0=\frac{x1+x2}{2}\),\(x2-x0=h,x0-x1=h,\theta 1,\theta 2\)为大于0小于1的常数
由题设，\(f(x2)+f(x1)-2f(x0)>0\)
则：\(f(x2)-f(x0)-[f(x0)-f(x1)]>0\)
由基础结论2，存在\(x0+\theta 1h\)使得\(f^ {'}(x0+\theta 1h)=\frac{f(x2)-f(x0)}{h}\)
同理，令\(f^ {'}(x0-\theta 2h)=\frac{f(x0)-f(x1)}{h}\)
\(\therefore f^ {'}(x0+\theta 1h)h-f^ {'}(x0-\theta 2h)h>0\)
\(\Rightarrow \frac{[f^ {'}(x0+\theta 1h)-f^ {'}(x0-\theta 2h)]}{\theta 1h+\theta 2h} h(\theta 1+\theta 2)h\)
由于\(f^ {''}(x)>0\)，则\(f^ {'}(x)\)为增函数，有：\(\frac{[f^ {'}(x0+\theta 1h)-f^ {'}(x0-\theta 2h)]}{\theta 1h+\theta 2h}>0\)
\(\therefore \frac{[f^ {'}(x0+\theta 1h)-f^ {'}(x0-\theta 2h)]}{\theta 1h+\theta 2h} h(\theta 1+\theta 2)h>0\),得证

类似的，若\(f^ {''}(x)<0\),则\(f(x)\)为上凸函数

七，拟合函数

有函数\(f,g\),若当\(x=x0\)时，有：
\(f(x0)=g(x0),f^ {'}(x0)=g^ {'}(x0),f^ {''}(x0)=g^ {''}(x0)......\)时，\(f\)与\(g\)互为拟合函数，当项数足够多，可以认为\(f=g\)
一个经典的函数\(g(x)=f(x0)+\frac{f^ {'}(x0)}{1!}(x-x0)+\frac{f^ {''}(x0)}{2!}(x-x0)^2+......\)
\(f(x)与g(x)\)满足上述条件
于是有了泰勒公式：
\(f(x)=f(0)+\frac{f^ {'}(0)}{1!}x+\frac{f^ {''}(0)}{2!}x^2+......\)
这个式子（就是把上文的\(x0\)换成0，当然也可以是任意一个数）用处很大，比如可以令\(f(x)=e^x\),x=1时，得：
\(e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}......\)

八，记录一下经典模型

当x>1时：\(\frac{2(x-1)}{x+2}<lnx<\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})\)
当x<1时：\(\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})<lnx<\frac{2(x-1)}{x+2}\)

九，洛必达法则

eg:

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{lnx}{x}=\lim_{t \to 0^+} \frac{ln\frac{1}{t}}{\frac{1}{t}}=\lim_{t \to 0^+} \frac{(ln\frac{1}{t})^{'}}{(\frac{1}{t})^{'}}=t \]

十，超越函数

定义

超越函数(Transcendental Functions)，指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。

说白了就是有\(e,\pi ......\)的函数

eg

\[f(x)=\frac{x}{e^x} \]

求大致图像：

首先令\(x=0\),得\(f(0)=0\)

考虑\(f(x)\)在\(x=+\infty\)和\(x=-\infty\)处的函数值，不难发现$\lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty $

根据洛必达法则有：$\lim_{x \to +\infty} f(x)=0^+ $

求导，得：\(f^{'}(x)=\frac{(1-x)e^x}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}\)，由\(f^{'}\)的正负和大小可知\(f(x)\)的增减性和增减速趋势

综上可知\(f(x)\)过原点，在\((-\infty,1)\)上单调递增，且增速随\(x\)增大而减缓，在\((1,+\infty)\)上单调递减，且逼近\(0^+\)。

一些关于这个函数的结论

作一条平行与x轴的直线\(y=t(t\in (0,f(1)))\)交函数于两点，记这两点的横坐标分别为\(x1,x2\),令\(x1<x2,\)有以下结论：

• 1.x1+x2>2
  只需证明\(x2\)在\(2-x1\)右侧。
  做差，只需证明\(\frac{x1}{e^{x1}}-\frac{2-x1}{e^{2-x1}}<0\)
  对左式通分,得：\(\frac{x1}{e^{x1}}-\frac{2-x1}{e^{2-x1}}=\frac{x\times e^{2-x1}-(2-x1)\times e^{x1}}{e^{x1}e^{2-x1}}\)
  通分后分母恒为正，只需证明分子为负
  令\(g(x)=xe^{2-x}-(2-x)e^x\)
  易知\(g(1)=0\)
  求导，\(g^{'}(x)=(1-x)e^{2-x}-(1-x)e^x=(1-x)(e^{2-x}-e^x)\)
  得到当\(x\in (0,1)\)内\(g^{'}(x)>0\),故\(g(x1)<0\)，得证

• 2.x1x2<1
  令\(\frac{x1}{e^{x1}}=t=\frac{x2}{e^{x2}}\)
  有下列两式：

\[ln(x2)=ln(t)+x2 \]

\[ln(x1)=ln(t)+x1 \]

两式相减，得：

\[ln(\frac{x2}{x1})=x2-x1 \]

（1式）

令\(m=\frac{x2}{x1}\),则\((m-1)x1=x2-x1\)
把\(m\)代入1式，得：

\[ln(m)=(m-1)x1 \]

由此可知：

\[x1=\frac{ln(m)}{m-1},x2=mx1=\frac{mln(m)}{m-1} \]

下面试证\(\frac{ln(m)}{m-1}\frac{mln(m)}{m-1}<1\)
\(\therefore x1<x2\),有\(m>1,m-1>0\)
两侧同时乘\((m-1)^2\),移项，得：
\(m(ln(m))^2-(m-1)^2<0\),下证此式：
令\(g(m)=m(ln(m))^2-(m-1)^2\),有\(g(1)=0\)
\(g(m)\)关于\(m\)求导，得：\(g^{'}(m)=(ln(m))^2+2ln(m)-2(m-1)\),有\(g^{'}(1)=0\)
\(g^{'}(m)\)关于\(m\)求导，得：\(g^{''}(m)=2\frac{ln(m)}{m}+\frac{2}{m}-2\),有\(g^{''}(1)=0\)
\(g^{''}(m)\)关于\(m\)求导，得：\(g^{'''}(m)=2\frac{-ln(m)}{m^2}\)
当\(m\in (1,+\infty)\)时，\(g^{'''}(m)<0\)
\(\therefore\)当\(m\in (1,+\infty)\)时,\(g^{''}(m)<0,g^{'}(m)<0,g(m)<0\),得证

其他常见函数图像

\[f(x)=xe^x \]

\[f(x)=\frac{ln(x)}{x} \]

\[f(x)=xln(x) \]

十一，经典例题

eg1

已知\(f(x)=e^x+e^{2-x}\),求不等式\(f(2x+1)>f(x)\)的解集

易知\(f(x0)=e^x0+e^{2-x0}=f(2-x0)\),即\(f(x)\)关于\(x=1\)对称

又\(f(x)^{'}=e^x-e^{2-x}\),当x>=1时恒大于0，x<1时恒小于0

那么f先减后增且关于x=1对称，可知\(|2x+1-1|>|x-1|\),解不等式即可

eg2

已知\(a=ln0.99,b=e^{0.1},c=0.99^e\),试比较a,b,c大小关系

首先a<0,b,c>0

再对b,c同时对e取对数
\(log_e b=log_e e^0.1=0.1>0\)
\(log_e c=log_e x0\),其中\(x0<1\),因此\(log_e c<0\)
有c<b
\(\therefore a<c<b\)

eg3

已知实数x,y满足\(ylny=e^{2x}-yln(2x)\)（x>0）,求\(y\)的最小值
移项，得：\(ylny+yln(2x)=e^{2x}\)
\(yln(2xy)=e^{2x}\)
同乘2x,得：\(2xyln(2xy)=e^{2x}2x\)
即\(e^{ln(2xy)}ln(2xy)=e^{2x}2x\),左右两式同构，有：
\(ln(2xy)=2x\),则\(2xy=e^{2x}\)
\(y=\frac{e^{2x}}{2x}\)
令\(g(x)=\frac{e^{2x}}{2x}\)
则\(g(x)^{'}=\frac{(2x-1)e^{2x}}{2x^2}\)
当\(0<x<\frac{1}{2}\)时，\(g(x)^{'}<0\)，当\(x>\frac{1}{2}\)时，\(g(x)^{'}<0\)
\(\therefore g(x)\)在\((0,\frac{1}{2})\)上为减函数，在\((\frac{1}{2},+\infty)\)上为增函数
\(\therefore\)当\(x=\frac{1}{2}\)时，\(y_{min}=e\)